Grado de Indeterminacion

1.5 GRADOS DE INDETERMINACIÓN En el análisis estructural se consideran dos tipos de indeterminación, la estática  y la cinemática . La primera tiene relación con las fuerzas y la segunda con los desplazamientos. La indeterminación estática  se refiere a un exceso de reacciones y fuerzas internas desconocidas, comparadas con el número de ecuaciones de equilibrio de la Estática. Esta comparación origina la siguiente clasificación:  Estructuras estáticamente determinadas y  Estructuras estáticamente indeterminada. Las reacciones o fuerzas internas desconocidas que no se pueden obtener por medio de las ecuaciones de equilibrio se denominan fuerzas redundantes   y el número de las fuerzas redundantes definen el grado de indeterminación estática o grados de hiperestaticidad. Existen dos tipos de indeterminación estática: externa e interna, la indeterminación externa se refiere al número de reacciones redundantes de la estructura y la indeterminación interna al número de fuerzas dentro de la estructura que no pueden conocerse con las ecuaciones de equilibrio. El grado total de indeterminación es la suma de los grados de hiperestaticidad externa e interna. Para una mejor comprensión se recomienda analizar los ejemplos y hacer los ejercicios que se indican. Para la indeterminación cinemática   se introduce el concepto de desplazamiento redundante o grado de libertad. Los nudos en las estructuras reticulares, son los puntos en donde concurren uno o más miembros. Cuando la estructura esta sujeta a cargas cada nodo sufrirá desplazamientos lineales y angulares o solamente lineales dependiendo del tipo de estructura, ver figura 1.15. El número de desplazamientos desconocidos o desplazamientos redundantes da los grados de indeterminación cinemática o grados de libertad. x

x4

2 x

x x

1

3

x5

2 x

x

1

x6

3

x4

Figura 1.1 1.15 5 Grados de libertad para armaduras y marcos. Para calcular los grados de hiperestaticidad y libertad se usarán expresiones o fórmulas con literales, como a continuación se indican.

Grados de hiperestaticidad . El grado de hiperestaticidad de una estructura reticular se obtiene con la siguiente expresión: G. H .  G. H . E .  G. H . I 

 

(1.35)

G. H . E .   N . R.   N . E .E .  

(1.36)

Para armaduras en el plano. G. H . I .

 2n 

B



3 

(1.37)

 Ab rev iatur iat ur as Significado G.H. G.H.E. G.H.I. N.R. N.E.E. N B

Grado de hiperestaticidad o número de fuerzas redundantes. Grado de hiperestaticidad externa. Grado de hiperestaticidad interna. Número de reacciones. Número de ecuaciones de equilibrio de la Estática. Número de nudos. Número de barras.

Cuándo las siguientes expresiones se cumplen se tienen: G.H.>0 G.H.=0 G.H.<0

Estructuras hiperestática Estructuras isostática Estructuras inestables

En una estructura al eliminar las reacciones redundantes y/o fuerzas internas se obtienen una o más estructuras isostáticas. Para el G.H.E. puede resultar fácil por observación suprimir reacciones y conocer este grado. Para el G.H.I. en armaduras planas se puede usar la expresión (1.37), para marcos, se recomienda hacer un corte hipotético en una de las barras que formen un anillo, al realizar este corte se estarán eliminando elementos mecánicos por ejemplo en marcos planos el realizar el corte se eliminan 3 fuerzas internas: N, V y M.

Grados de libertad . El número de grados de libertad es igual al número de coordenadas generalizadas necesarias para expresar la configuración del sistema estructural. G. L.   N . D. N    N . D.R.

 Ab rev iatur iat ur as

Sig ni ficad fi cad os

G.L. N.D.N. N.D.R.

Grados de libertad o desplazamientos redundantes. Número de desplazamientos en los nodos, incluyendo fronteras. Número de desplazamientos restringidos.

El número total de desplazamientos de la estructura es igual al número de nodos incluyendo los de las fronteras, por el número de desplazamientos generalizados posibles en cada nudo.

Ejemplos 1.1. A continuación se calculan los grados de hiperestaticidad y libertad de varias estructuras: armaduras en el plano, vigas, marcos planos, armaduras en el espacio y marcos en el espacio.

a) Armadura en el plano.

Solución:

(4)

P

(3)

(1)

(8)

(7)

(5)

(2)

(9)

(6)

R2 R1

R3

x2 P

x1

x4

x3

x6

x5

x8 x7

Figuras 1.16

x9

Cálculo del grado de hiperestaticidad. G. H. =G. H. E. + G.H.I. Grado de hiperestaticidad externo. G.H.E.=N.R. - N.E.E. N.R. = 3 (Observe la figura) N.E.E.= 3 G.H.E. = 3 - 3 = 0 Grado de hiperestaticidad interno. G.H.I. = -2n + b + 3 n=6 b=9 G.H.I. = -2 (6) + 9 + 3 = 0 Concluyendo: G.H. = 0 Luego la estructura es isostática. Calculo del grado de libertad. G.L. =N.D.N. - N.D.R. N.D.N. = (6) (2) = 12 Se tienen 6 nodos y 2 grados de libertad por nodo. N.D.R. = 3 Los desplazamientos x10, x11 y x12 están restringidos o impedidos por lo tanto valen cero. Concluyendo: G.L. = 12 - 3 = 9 Los grados de libertad son los desplazamientos desconocidos x1.....x9

b) Armadura en el plano.

Solución:

P

R4 R1

P

x2 x1

R2

R3

x4

x6 x3

x5

x7

x8

Figur as 1.17 c) Viga si mplemente apoyada.

P R3 R1

R2

P x1

x2

x4 x3

Figur as 1.18 1.18 d) Viga contínua.

Calcular el grado de hiperestaticidad. G.H. = G.H.E. + G.H.I. N.R. = 4 N.E.E. = 3 G.H.E. = 4 - 3 = 1 n=6 b = 11 G. H. I. = -2 (6) + 11 + 3 = 2 Este valor se puede obtener observando la figura (barras marcadas). Sustituyendo valores. G.H. = 1 + 2 = 3 Cálculo del grado de libertad. G.L. = N. D. N. - N. D. R. N. D. N. = 6 (2) = 12 Seis nodos con dos grados de libertad por nodo. N. D. R. = 4 Sustituyendo valores. G.L. = 12 - 4 = 8

Solución: Grado de hiperestaticidad. G.H. = G. H. E. + G. H. I. N. R. = 3 N. E. E. = 3 G. H. E. = 3 - 3 = 0 G. H. I. = 0 (En vigas no hay anillos). Sustituyendo valores. G. H. = 0 + 0 = 0 Grado de libertad. G.L. = N. D. N. - N. D. R. N. D. N. = 3 (3) = 9 Se tienen 3 nodos con 3 grados de libertad por nodo. N. D. R. = 3 G. L. = 9 - 3 = 6 Despreciando los desplazamientos horizontales se tendrán dos grados de libertad por nodo o sea. G.L. = 3 (2) - 2 = 4  Ambas respuestas son soluciones del problema.

Solució n:

P1

P2

P3

R1 R3

R2

R4

R5

P2

P3 x2

x1

Figur as 1.19

Grado de hiperestaticidad. G. H. = G. H. E. + G. H. I. N. R. = 5 N. E. E. = 3 G. H. E. = 5 - 3 = 2 G. H. I. = 0 G. H. = 2 + 0 = 2 Grados de libertad. G. L. = N. D. N. - N. D. R. N. D. N. = 3 (2) = 6 Considerando 2 grados libertad por nodos. N. D. R. = 4 G. L. = 6 - 4 = 2

de

e) Marco Marco en el plano.

Solució n:

P

Grado de hiperestaticidad. G.H. = G. H. E. + G. H. I. N. R. = 5 N. E. E. = 3 G. H. E. = 5 - 3 = 2 Se observa que el grado de hiperestaticidad interno es nulo. G. H. I. = 0 Sustituyendo valores: G. H. = 2 + 0 = 2

R

R R

R

x2

P

x3

R

x5 x1

x4

x6

Figur as 1.20

x7

Grado de libertad. G. L. = N. D. N. - N. D. R. Se tienen 4 nodos con 3 grados de libertad por nodo. N. D. N. = 4 (3) = 12 Se observa en la figura 1.20 que los desplazamientos restringidos o sea que valen cero. N. D. R. = 5 Sustituyendo valores. G. L. = 12 - 5 = 7

f) Marco en el plano, de dos niveles.

Solución: Grado de hiperestaticidad. G. H. = G. H. E. + G. H. I. N. R. = 6 N. E. E. = 3 G. H. E. = 6 - 3 = 3 El grado de hiperestaticidad interno, se obtiene rompiendo el anillo superior, que equivale a considerar N = 0, V = 0 y M = 0 G. H. I. = 3 Sustituyendo valores en la primera ecuación. G. H. = 3 + 3 = 6

P

R1 R3

R2

R4 R6

R5

x2

X5

x3

X6

x1

X4

Grados de libertad. G. L. = N. D. N. - N. D. R. N. D. N. = 6 (3) = 18 Se consideran 3 grados de libertad por nodo. N. D. R. = 2 (3) = 6 Tres restricciones en cada empotre. G. L. = 18 - 6 = 12

P X8 X9

X11 X12

X7

X10

Figur as 1.21 g) Armadura en el espacio.

Solució n:

R

R

R R

R

R R

R R

R

R

R

Se ilustran las tres reacciones y los tres grados de libertad en un nodo. Grado de hiperestaticidad. G. H. = G. H. E. + G. H. I. N. R. = 4 (3) = 12 Tres reacciones en cada apoyo. N. E. E. = 6 G. H. E. = 12 - 6 = 6 El grado de hiperestaticidad interno es nulo. En la figura se observa que no hay barras superabundante o sea una sola diagonal en cada tablero. G. H. I. = 0 Sustituyendo valores. G. H. = 6 + 0 = 6

x 20

x 23 x 22 x

x

14

x 21 x 17

24

x13 x

x

x 16

15

x

x 18

x 11 x

x

x 10 12

x

x5

2

8 x 7

9

x 4

x 1

3

Grado de libertad. G. L. = N. D. N. - N. D. R. Se tienen tres grados de libertad por nodo y son 12 nodos. N.D.N. = 12 (3) = 36 Se presentan 3 desplazamientos restringidos en los 4 apoyos. N. D. R. = 4 (3) = 12 Sustituyendo valores. G. L. = 36 - 12 = 24

x 19

x 6

Figur as 1.22 1.22 h) Marco Marco en el espacio.

Solució n:

P

R22 R3

R4 R5

R2

R23 R1

R6

R11 x22

x4 x5

x3P

x6

R21 R20 R19 R9 R24 R10

x23

R8

x21

x1

x2

Figur as 1.23

x11

x12

R14 R18

R17

R13

R7

R12

x20 x19 x24 x10 x9

R15

R16

x16 x17 x8 x7

x15

x18

Grado de hiperestaticidad. G. H. = G. H. E. + G. H. I N. R. = 4 (6) = 24 N. E. E. = 6 G. H. E. = 24 - 6 = 18 El grado de hiperestaticidad interno se obtiene al romper el anillo horizontal que se ilustra anulando 6 elementos mecánicos. G. H. I. = 6 Sustituyendo valores. G. H. = 18 + 6 = 24

x14 x13

Grado de libertad G. L. = N. D. N. - N. D. R. N. D. N. = 8 (6) = 48 Se consideran 6 grados de libertad por nodo. N. D. R. = 4 (6) = 24 Se tienen 4 nodos restringidos. Sustituyendo valores. G. L. = 48 - 24 = 24