ACADEMIA SAN PABLO
GEOMETRÍA TEOREMA 3:
CAPÍTULO I Y II TRIÁNGULOS PROPIEDADES BÁSICAS
B
y
En el ABC se cumple:
COZ TOLENTINO, Hector CONCEPTO. Es la figura geométrica que se obtiene al unir tres puntos no colineales mediante segmentos de recta.
x + y + z = 360°
x C
A
z
TEOREMA 4: En todo triángulo al lado de mayor longitud se le opone el ángulo de mayor medida y viceversa (Propiedades de Correspondencia).
B
c
1. ELEMENTOS: Vértices: A , B y C
AB
Lados: , BC y AC Medida de los ángulos internos: , , Medida de los ángulos externos: X , Y, Z Perímetro de la región triangular ABC: (2PABC) = a + b + c
A
a
> C
TEOREMA 5: En todo triángulo la longitud de un lado es mayor que la diferencia de las longitudes de los otros dos y menor que la suma de las mismas (Propiedad de existencia).
Semiperímetro de la región triangular: (PABC) =
En el ABC, si a > c Entonces:
abc 2
3. CLASIFICACIÓN DE TRIÁNGULOS: 3.1 SEGÚN LAS MEDIDAS DE SUS ÁNGULOS:
2. PROPIEDADES FUNDAMENTALES DEL TRIANGULO:
a) Triangulo Rectángulo: Es aquel triángulo que tiene un ángulo interno que mide 90°.
En la figura: + = 90°
TEOREMA 1:
En el ABC se cumple:
AB y BC : Catetos
+ + = 180°
AC : Hipotenusa Pitágoras: 2
2
2
b =a +c
b) Triángulo Acutángulo: Es aquel triángulo cuyos ángulos internos son agudos.
< 90° < 90° < 90°
TEOREMA 2:
B En el ABC se cumple:
A
x=+
c) Triángulo Obtusángulo: Es aquel triángulo que tiene un ángulo interior obtuso.
> 90°
x C 223
ACADEMIA SAN PABLO 3.2 SEGÚN LAS MEDIDAS DE SUS LADOS:
PRACTCA N° 01
a) Triángulo Escaleno: Es aquel triángulo cuyos lados tienen diferente longitud.
1. Calcula el valor de x, si: AB = BC = CD = DE.
a b b c a c
b) Triángulo isósceles: Es aquel triángulo que tiene dos lados de igual longitud.
A. 16° D. 26°
B. 18° E. 24°
C. 20°
2. Según el grafico el triángulo ABC es equilátero y el triángulo MNQ es isósceles (MN = NQ). Calcule x + y
c) Triángulo Equilátero: Es aquel triángulo cuyos lados tienen la misma longitud.
a=b=c
A. 130° D. 90°
C. 100°
3. Si: a + b +c + d = 240. Calcule “x”
A. 80º D. 100º
4. PROPIEDADES ADICIONALES: a)
En la figura, se cumple:
B. 110° E. 120°
4.
B. 120º E. 110º
C. 150º
Calcule “x”:
x=++
b)
En la figura, se cumple:
+=+
a) 10 5.
b) 12
c) 15
d) 18
e) 19
Calcule “x”:
c)
En la figura, se cumple:
x+y=+
a) 30º 6.
224
b) 20º c) 25º d) 24º e) 18º
En la figura, calcule “x”:
ACADEMIA SAN PABLO 12. Calculex si el triángulo PCQ es equilátero, el triángulo BPT es isósceles y AR =AC. A. 60° B. 40° C. 80° D. 90°
a) 18º 7.
E. 70°
b) 72º c) 36º d) 60º e) 90º
13. Si: LP+HC=11, calcula BC.
En la figura, calcule “x”:
B y aa
60°
70° A
P
C
H
L
A.9 D.12
a) 20º
B.10 E.13
m
b) 25º c) 30º d) 35º e) 40º
40° x
14. Calcula x, si AT=TQ. 8.
60°
B
El perímetro de un triángulo es 36u. calcule el mínimo valor entero de la hipotenusa. a) 12u b) 13u c) 14u d) 15u e) 16u
96° 72°
2x
T
E
x
36°
a C
A
A.20° D.50°
B.30° E.60°
C. 40°
15. En la figura calcula el valor de x.
H
50° 50°
C 200º
10° x
30°
A. 15° A. 18º D. 10º
B. 20°
B. 12º E. 14º
C. 16º
16. Calcula x si AF=BF+BC
C. 25°
B D. 30°
108°
E. 10° 11. De la figura, calcula y/x
24°
x A
A. 2/3 B. 1/5
D. 2/5
17. Calcular “x + y”
E. 1/2
A) B) C) D) E)
225
C
F A. 12º D. 15º
C. 3/5
L b 100° F D
Q
9. Del gráfico, calcule x + y.
A. 240º B. 190º D. 300º E. 260º 10. Del gráfico, calcule x.
m
30°
C.11
80º 50º 40º 20º 60º
B. 24º E. 30º
C. 36º
M N
ACADEMIA SAN PABLO
se sabe que la longitud de la mediana relativa al lado LD , es un número entero en metros? A) Acutángulo C) Obtusángulo E) N.A.
18. En la siguiente figura calcule x + y
A) 80º B)75º C) 120º D) 60º E) 90º
B) Rectángulo
D) F.D.
26. En un triángulo ABC, se sabe que el ángulo externo de A
es el triple del ángulo interno C, la mediatriz del lado AC corta al lado BC en P. Calcular la longitud de BP , si los 19. Dado un triángulo ABC; en AB y BC se ubican los
puntos
M
y
N
respectivamente,
en
las
prolongaciones de AC y de CA se ubican los puntos Q y P respectivamente; calcule la medida del ángulo que determinan las bisectrices de los ángulos BNQ y BMP. Si: AP = AM; CQ = CN y mABC = 40º A) 110º D) 100º
lados AB y BC miden 7 m y 10 m respectivamente. A) 2 m B) 3 mC) 4 mD) 5 m E) 6 m
B) 105º C) 85º E) 95º
27. En un triángulo rectángulo DOA, se trazan la mediana
OC y la bisectriz interior OP (P y C están en la hipotenusa DA ). Calcular la medida del ángulo POC, si OP = OD. A) 15°B) 25° C) 27,5° D) 22,5° E) N.A. 28. Los ángulos B y C de un triángulo obtusángulo ABC
miden 120° y 20° respectivamente. La mediatriz del lado
20. El ángulo B de un triángulo ABC mide 70°. Las
mediatrices de los lados AB y BC cortan al lado AC en Q y P respectivamente. Calcular la medida del ángulo PBQ . A) 20° B) 25° C) 30°D) 40° E) N.A.
BC corta al lado AC en el punto P. Calcular la longitud del lado AB , sabiendo que: AC = 40 m y AP = 25 m. A) 12,5 m C) 18 m E) 15 m B) 17,5 m
D) 20 m
21. El ángulo A de un triángulo ABC mide 30°. Se traza la
29. La mediatriz del cateto BC de un triángulo rectángulo
bisectriz interior BP (P está en AC ), luego se traza la
ABC, corta a la prolongación de la altura BH en P. Calcular la medida del ángulo ACP si mA = 55°. A) 55° B) 30°C) 20° D) 15° E) N.A.
mediatriz de BP , la cual corta a la prolongación de AC en Q, calcular la medida del ángulo QBC. A) 25° B) 30°C) 50°D) 45° E) N.A.
30. En un triángulo rectángulo ABC la mediatriz de BC 22. En un triángulo PQR recto en Q, TS es mediatriz del
lado QR (T en QR y S en PR) . Si N es punto medio de SR y TN + QS = 30, hallar PR. A) 60 B) 40 C) 30D) 20
E) N.A.
corta a AC en P. Si PB es bisectriz del ángulo APM siendo M punto medio de BC . Calcular la medida del ángulo PBM. A) 30°B) 45°C) 60° D) 75° E) N.A.
23. Los ángulos A y B de un triángulo ABC miden a° y b°
31. El ángulo A de un triángulo ABC mide 57°. La bisectriz
respectivamente. Se traza la altura BH y luego la mediatriz de dicha altura, la cual corta al lado BC en el punto P. Calcular la medida del ángulo BPH. A) (a°+b°)/2 D) 180°–(a°+b°)
interior del ángulo B y la mediatriz del lado BC se cortan
B) a°+b°
E) 360°–2 (a°+b°)
ambas en un mismo punto del lado AC . Calcular la medida del ángulo B. A) 32° B) 41° C) 64°D) 82° E) 90° 32. En un triángulo rectángulo ABC. La mediatriz de AC
C) 2(a°+b°) 24. El lado AB de un triángulo ABC mide 10 cm. Sobre el
interseca a BC en P. Calcular la longitud AB , si BP = 5 m y mBAC = 3mBCA. A) 1 m B) 2 mC) 3 mD) 4 m E) 5 m
lado AC se toma un punto P, de tal manera que la
33. En un triángulo ABC, mB = 122°, las mediatrices de los
mediatriz de AP pasa por el vértice B. Calcular la
lados AB y BC cortan al lado AC en los puntos M y N respectivamente. Hallar la medida del ángulo MBN. A) 58° B) 64° C) 66° D) 68° E) N.A.
longitud del lado AC , sabiendo además que: mA = 2mC y AM = 6; siendo M punto medio de AP . A) 20 B) 21C) 22 D) 23 E) N.A. 25. Los lados LS y LD de un triángulo LSD miden 0,5 m y
8 m, respectivamente. ¿Qué clase de triángulo es LSD, si
226
ACADEMIA SAN PABLO 34. En un triángulo rectángulo ABC, se trazan la altura -
BH y la bisectriz del ángulo HBC que corta a AC en M. Hallar MC. Si: AB=5u y BC=12u. A) 7u D) 9u
B) 6u E) 10u
CAPÍTULO III CONGRUENCIA DE TRIÁNGULOS
C) 8u
HECTOR COZ TOLENTINO I CASO:
35. SEn un triángulo ABC; AB=9u y BC=13u, por el
(ALA). Ángulo – Lado – Ángulo
AC que A y C en
vértice B se traza una recta paralela a corta a las bisectrices exteriores de los puntos P y Q. Hallar PQ. A) 21U D) 24U
PROYECTO INGENIO.(2003)Geometría. Lima – Perú. Editorial Ingenio.
B) 23U E) 20U
Postulado: dos triángulos son congruentes, si presentan un lado de igual longitud y los ángulos adyacentes a él de igual medida.
C) 22U
AE y BD que se cortan en Q, tal que: mABD = mACB y AB = BD y AM = MC. Hallar la mBQM. Además mCBD = 48°
36. En un triángulo ABC, se trazan las cevianas
A) 76° D) 66°
B) 82° E) 90°
Entonces:
C) 88°
II CASO: (LAL). Lado – Ángulo – Lado
37. En un triángulo rectángulo ABC, se trazan la altura
Teorema dos triángulos son congruentes, si estos presentan un ángulo de igual medida y los lados adyacentes a él de igual longitud
BH y la bisectriz interior AE que se cortan en Q. . Hallar BH si: BE = 6u y QH = 3u. A) 12U D) 11U
ABC PQR
B) 7,5U E) 10,5U
C) 9U
38. Dado el triángulo ABC recto en C, se trazan CH y
la mediana A) 46° D) 38°
CM . Hallar la mHCM. Si mB = 24° B) 42° E) 36°
C) 43° Entonces:
B
III CASO:
39. En la figura AP = PC. Calcular x.
(LLL). Lado – Lado – Lado
P
Teorema: Dos triángulos son congruentes, si estos presentan sus tres lados de igual longitud.
30
º
A) 40°
ABC PQR
Q
B) 70°
20
30
xº
D) 80° A 40º E) 60° 40. Calcular x, si AB = AQ.
º
C) 50°
R
º
C
B
A) 15° Entonces:
B) 45°
P
C) 20° D) 60° E)30°
A
PROPIEDADES DE LA BISECTRIZ Siendo OP la bisectriz de AOB se cumple
x 3
60º -2
ABC PQR
C
Q
227
PA = PB
OA = OB
ACADEMIA SAN PABLO 2.
que AB=DC, AC=BC y mADB=30. Calcula: mDBC.
A O
En un ABC se ubica el punto “D” en AC de manera
A) 10 D) 20
º º
P
3.
B) 15 E) 25
C) 18
Calcular el valor de “x”
b
B a) 40 b) 140 c) 120 d) 130 e) 150
PROPIEDADES DE LA MEDIATRIZ Siendo: L mediatriz de AB se cumple:
L
a
x
40
E
a
4.
b
Calcular x: 130
M
A
a) 130 b) 50 c) 30 d) 150 e) 40
B
EA = BE 5.
B Altura
BH
6.
Mediana
C
H
20 x
Segmento de mediatriz
PROPIEDAD DE LA BASE MEDIA
60
Calcular “x”; si DM es mediana A) 8 B) 16 C) 4 D) 6 E) 12
Bisectriz
A
Calcular x: A) 40 B) 60 C) 50 D) 30 E) 20
PROPIEDAD EN EL TRIÁNGULO ISÓSCELES
º º
x
B 8 M
Q
F
E P
D
A
7.
Calcular “x” A) 50 B) 60 C) 40 D) 80 e) 70
R =
x
x 110 º 20
20
80
8.
PRACTCA N° 02 1.
70
A) 70 B) 60 C) 80 D) 85 E) 75
En un ABC se traza la ceviana BD de tal forma que AD=BC, mADB=40 y BD=DC. Calcula :mA.
A) 40 D) 50
B) 25 E) 60
Calcular “x”
C) 30
228
50
x
C
ACADEMIA SAN PABLO
9.
14. En un ABC se traza la ceviana BD de tal forma
Calcular “” , si : m∢AFC = 120
que AD=BC, mADB=40 y BD=DC. Calcula
A) 24
B
B) 20 C) 30 D) 18 E) 15
:mA.
2
A) 40 D) 50
F 2
B) 25 E) 60
C) 30
15. En un ABC se ubica el punto “D” en AC de
C
A
10. En la figura mostrada. Calcula “”.
manera que AB=DC, AC=BC y mADB=30. Calcula: mDBC.
B
A) 10 D) 20
6°
B) 15 E) 25
C) 18
16. En el gráfico mostrado se sabe que EC=2HC. 3
4° D B) 7,5 E) 18,5
A) 15 D) 10
Calcula “”.
C
C) 18
B E
11. Del gráfico AC=CD. Calcula x.
D F
x° ° ° °
A
C
H
A) 15 B) 18 C) 10 D) 12 E) 16 17. En unABC recto en “B” se traza la ceviana AD
A
18,5°
tal que mC=mBAD y además AB=2DC.
C
B
Calcula: mC. A) 30 D) 34,5
B) 37
C) 26,5
a) 34 b) 36 c) 32 d) 40 e) 38 18. En un triangulo ABC se traza la ceviana BD de
E) 28,5
12. Se tiene un ABC tal que 9AB=5AC y mA=37.
manera que AD+BD=BC, mA=40 y además
Calcula :mC.
mC=20. Calcula :mABD. A) 70 D) 85
A) 30 B) 22,5 C) 31 D) 26,5 E) 10,5 13. Del gráfico se sabe que AC=CD.
B) 75 E) 90
C) 80
19. Del gráfico mostrado, calcule q.
Calcula : “”. C ° ° °
B
A) 40 D) 70
A. 68º D. 57º
D
A
B) 50 E) 80
B. 69º E. 59º
C. 71º
C) 60 20. Dado un triángulo ABC en la cual la bisectriz interior
AE
229
y la altura
BH
se intersecan en P. Tal que
ACADEMIA SAN PABLO
mPCH = 15° y en
PC ;
A) 15° D) 53°
AH se ubica el punto Q, si QP
QC = 2(BP), calcule la mABP.
B) 30° E) 60°
25.
C)45°
21. Se tiene un triángulo ABC en la cual se traza la mediana
CM
y la ceviana
AN
intersecan en T, tal que MT = TC y
las cuales se TN = 5u, calcule
AT. A) 10 D) 7,5
B) 15 E) 10
C) 20
22. En un triángulo rectángulo ABC recto en B, se traza la bisectriz exterior del ángulo A que interseca en D a la
26. calcular
prolongación de la altura BH. Hallar AH. Si AB=5 y la
el
valor
de
"X"
si
AB=BC
distancia del punto D a BC mide 8. A) 1u D) 4u
B) 2u E) 5u
C) 3u
23. En la figura Hallar el valor de X. A) 50 D) 80
B) 60 E) 90
C) 70 A) 5 D) 12
B) 6 E) 9
C) 10
27. En el grafico hallar el valor de "X" si AB=DC
24. A) 10 D) 18
B) 12 E) 20
C) 15
28. En el grafico hallar el valor de "X" si AB=DC
A) 13 D) 16
B) 14 E) 17
A) 10° B) 12° D) 45°/2 E) 15°/2
C) 15
C) 20°
REFERENCIA BIBLIOGRÁFICA -
230
ACADEMIA CESAR VALLEJO (2003). Geometría. Lima – Perú.Editorial Lumbreras.
ACADEMIA SAN PABLO
-
ALVA GALLEGOS, F (2005). Geometría. Lima – Perú.Editorial San Marcos.
-
SAN MARCOS (2005). Geometría. Lima – Perú. Editorial San Marcos.
-
EDITORIAL CUZCANO Geometría tomo del I al XII.
-
EDICIONES LUIS UBALDO CABALLERO Geometría tomo del I al XII.
-
COLECCIÓN GOÑI. (2003) Preuniversitario. Editorial Ingeniería.
Geometría
el
-
ACADEMIA “CESAR VALLEJO”. Compendio Académico de Matemática–Geometría.
-
PROYECTO INGENIO.(2003)Geometría. Lima – Perú. Editorial Ingenio.
CAPÍTULO IV POLIGONOS HECTOR COZ TOLENTINO Figura geométrica formada de la unión de tres o más puntos no colineales y coplanares, mediante segmentos de recta.
II. De acuerdo a su número de lados: - Triángulo 3 lados - Cuadrilátero 4 lados - Pentágono 5 lados - Hexágono 6 lados - Heptágono 7 lados - Octógono 8 lados - Nonágono 9 lados - Decágono 10 lados - Endecágono 11 lados - Dodecágono 12 lados - Pentadecágono 15 lados - Icoságono 20 lados III. De acuerdo a sus ángulos y a sus lados: a. Polígono equilátero: Tienen sus lados de medidas iguales.
b. Polígono equiángulo: Tiene sus ángulos internos de medidas iguales.
ELEMENTOS: - Vértices - Lados - s Interiores - s Exteriores - Diagonales - Perímetro
: A, B, C, D, E : AB, BC, CD, DE, EA : : 1, 2, 3, 4, 5 : AC, AD, BD, BE, CE : 2p = a + b + c + d + e
c. Polígono regular: Es aquel polígono equiángulo y equilátero a la vez.
CLASIFICACIÓN I. De acuerdo a su región: Polígono convexo
Polígono no convexo
PROPIEDADES
231
Número Total
de Diagonales en
n( n 3) D 2
un
Polígono:
ACADEMIA SAN PABLO
Suma de Ángulos Internos en un Polígono Convexo:
Ángulo interno:
S i 180º (n 2) i
180(n-2) , n
se cumple en
polígonos equiángulos y regulares.
Suma de Ángulos Externos en un Polígono Convexo:
S e 360º
Número Total de Diagonales Medias en un Polígono
DM
n(n 1) 2
Número de Diagonales Trazadas desde los “v” Primeros Vértices Consecutivos en un Polígono de “n” Lados:
Dv.n n.v
(v 1)(v 2) 2
PRACTCA N° 03 1. En un polígono regular el número de diagonales aumentado en el número de vértices es igual a 153. Calcular el valor de su ángulo central. A) 20° B) 18° C) 36° D) 45° E) 30°
7. Si la suma de los ángulos internos de un polígono es 1080, cuántas diagonales posee A) 10 B) 20 C) 30 D) 40 E) 50 8. Si la suma de los ángulos internos de un polígono es 1440. ¿Cuántas diagonales posee? A) 5 B) 25 C) 15 D) 35 E) 45 9. En que polígono se cumple que la suma de los ángulos internos es 80 veces el número de diagonales. A) Exágono B) Pentágono C) Nonágono D) Endecágono E) Exadecágono 10. En que polígono se cumple que al disminuir en 3 el número de lados, el número de diagonales disminuye en 15. A) Nonágono B) Pentágono C) Exágono D) Octágono E) Decágono 11. En que polígono se cumple que al disminuir en 2 el número de lados, el número de diagonales disminuye en 11. A) Octágono B) Nonagono C) Exágono D) Decágono E) Endecagono 12. En que polígono se cumple que al disminuir en 6 el número de lados, el número de diagonales disminuye en 27. A) Nonágono B) Pentágono C) Exágono D) Heptágono E) Octágono
2. Si en un polígono se duplica su número de lados, su número de diagonales aumenta en 18. Calcular su número de lados. A) 8 B) 6 C) 4 D) 5 E) 3 3. Si los polígonos son regulares hallar “x°”
13. En que polígono se cumple que al disminuir en 4 el número de lados, el número de diagonales disminuye en 34. A) Pentágono B) Exágono C) Dodecágono D) Heptágono E) Nonágono
A) 10° B) 15° C) 20° D) 24° E) 30°
14. En que polígono se cumple que al disminuir en 8 el número de lados, el número de diagonales disminuye en 12. A) Heptágono B) Hexágono C) Nonagono D) Octágono E) Pentágono
xº 4. En un hexágono regular ABCDEF. Calcular el ángulo FBD. A) 40° B) 60° C) 45° D) 37° E) 30°
15. ¿Cuánto mide cada uno de los ángulos interiores de un polígono regular de 18 lados? A) 160° B) 150° C) 120° D) 130° E) 450°
5. En un polígono convexo desde 4 vértices consecutivos se pueden trazar como máximo 65 diagonales, hallar la suma de los ∢s internos de dicho polígono. A) 3240° B) 7200° C) 2340° D) 3000° E) 2440°
16. El número de diagonales de un polígono regular, es igual a la suma del número de vértices, número de lados y número de ángulos centrales. Hallar el número de lados A) 5 B) 7 C) 9 D) 11 E) 13 17. Quince veces el ángulo interior de un polígono regular equivale al cuadrado de su ángulo exterior. ¿Cuál es ese polígono? A) pentágono regular
6. En un polígono convexo de “n” lados, desde (n- 4) n2 7 vértices consecutivos se han trazado
4
diagonales. Halle el número de lados del polígono. A) 12 B) 9 C) 10 D) 8 E) 13
232
ACADEMIA SAN PABLO B)
REFERENCIA BIBLIOGRÁFICA
cuadrado
C) triángulo equilátero D) octágono regular E) decágono regular 18. En un polígono regular al disminuir en 10° cada ángulo interior, resulta otro polígono regular cuyo número de lados es loa 2/3 partes del número de lados del polígono original. Calcular el número de lados del polígono regular. A) 20 B) 16 C) 18 D) 24 E) 30 19. Se tiene dos polígonos regulares cuyos números de diagonales se diferencian en 27, y cuyos ángulos centrales están en la relación de 3/4. Calcular la diferencia de las medidas de sus ángulos centrales. A) 20° B) 15° C) 24° D) 10°E) 18° 20. Calcular la relación de las bases de un trapecio en el cual las diagonales trisecan a la mediana. A) 2/3 B) 1/2 C) 1/4D) 2/5E) 3/4 21. De dos polígonos regulares, uno de ellos tiene tres lados menos que el otro, pero el ángulo exterior de uno de ellos mide 27° menos que la medida del ángulo exterior del otro. Hallar la suma de las medidas del total de ángulos internos de dichos polígonos. A) 1620° C) 1400° E) 2000° B) 1380° D) 1800° 22. En un polígono regular se cumple que las medidas de un ángulo central, un ángulo exterior y un ángulo interior es 210. Calcula el número total de diagonales. A) 50 B) 52 C) 54 D) 56 E) 60 23. Tres ángulos consecutivos de un octógono convexo mide 90° cada uno. Halla la medida de cada uno de los restantes, sabiendo que son congruentes entre sí. A) 130° B) 135° C) 145° D) 20° E) 30° 24. La suma de las medidas de ángulos internos, mas la suma de las medidas de ángulos centrales de un polígono regular es igual a ocho veces la suma de las medidas de los ángulos exteriores. Halla el número de diagonales de dicho polígono. A) 100 B) 102 C) 104 D) 106 E) 108 25. ¿Cuál es el polígono que tiene 119 diagonales? Calcula el número de lados. a) Nonágono b) Icoságono c) Pentágono d) Heptadecágono e) Octágono
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ACADEMIA CESAR VALLEJO (2003). Geometría. Lima Perú.Editorial Lumbreras. ALVA GALLEGOS, F (2005). Geometría. Lima Perú.Editorial San Marcos. SAN MARCOS (2005). Geometría. Lima - Perú. Editorial San Marcos. EDITORIAL CUZCANO Geometría tomo del I al XII.
