Pre – Intermedio
Pre – Intermedio
GEOMETRÍA
SESIÓN Nº 01
al traz trazar ar las las diag diagon onal ales es de un vértice es:
B
POLÍGONOS Definición: Es la porció porción n del plano limita limitado do por una región región poligo poligonal nal cerrada. B
β
x A
θ ω E
II. Por el número de sus lados: Lado
Nombre
La Lado
C
3 4
9 10
Nonágono Decágono
z
5
Triángulo Cuadriláte ro Pentágon o Hexágon o Heptágon o Octógono
11
Endecágon o Dodecágon o Pentadecágo no Icoságono
y
α
#
δ D
6 7
Elementos: - Lados: AB, BC, CD - Vértices: A, B, C - Ángulos Internos: α, β, θ - Ángulos externos: x, y, z - Diagonal: AC, AD, BD Clasificación: I. Por su forma de su contenido: a) Polígono Convexo: Son aquellos polígonos en los que al trazar una recta secante a su períme perímetro tro ésta lo corta corta en 2 puntos.
8
12 15 20
a) Polígo Polígono no Equián Equiángul gulo: o: Es aque aquell polí polígo gono no que que tien tiene e ángulos iguales. Ejemplo: EL RECTÁNGULO B
A
b) Polígono Polígono Cóncavo: Cóncavo: Son aquellos polígonos en los que el trazar una recta a su perímetro ésta corta en mas de 2 puntos.
C
D
b) Polígono Polígono Equilátero: Equilátero: Es aquel polígono polígono que tiene sus lados iguales. Ejemplo: EL ROMBO
D
Nombre
III.Por sus Lados y Ángulos
s = n ∆
2 −
C
A
c) Polígono Regular: Es aquel aquel polí polígo gono no que que tien tiene e lado ladoss y ángulos iguales. 60°
5. En todo polígo polígono no de “n” lados lados el número de cuadriláteros dete etermin rminad ados os al traz trazar ar las las diagonales diagonales medias desde un lado, es: #
s
n
=
2
6. La suma de los ángulos internos de un polígono de “n” lados es: ∠ i = 1 8 0 ∑
60°
−
(n − 2)
60°
7. El número total de diagonales: PROPIEDADES GENERALES: # D T
Sea “n” número de lados del polígono, se cumple: 1.
#n = #
#∠ i # = =
8. Núme Número ro medias:
e
n = lados v = vértices i = ángulos ángulos internos e = ángulos externos 2. En todo polígono de “n” lados si de un vértice trazamos sus diagonales, se determinan: n – 3 : diagonales 3. En todo todo polígo polígono no de “n” lados lados el núme número ro de diag diagon onal ales es medi medias as trazadas de un lado es: #d.M
n =
−
4. En todo todo polígo polígono no de “n” lados lados el número de triángulos determinados
=
n(n − 3) 2
tota totall
N°D M =
de
diag diagon onal ales es
n(n −1) 2
9. Suma de las medidas de los ángulos exteriores ∠ ∑ E x
= 3 6 0 °
10. Número Número de diagonale diagonaless trazadas trazadas a partir partir de “M” vértices vértices consecutivos: # N°d
= Mn −
(
+1)(
+ 2)
2
PROPIEDADES EN UN POLÍGONO REGULAR DE “N” LADOS 1. Medida de un ángulo interior
Pre – Intermedio M ∠i
=
180(n
−
N° M á x m i o
2)
d) 22 lados e) 8 lados
= 3
n
2. Medida de un ángulo exterior M ∠e
=
5) Mínimo número de ángulos interiores obtusos de un polígono convexo.
360° n
N
M ín i m o
°
n
3
=−
M ∠central
360°
=
n
PROPIEDADES ESPECIALES 1. Número de ángulo rectos a que equivale la suma de la medida de los ángulos interiores: c t o s
N° . ∠ s la l n o s
(n − 2 ) =
3. Propiedad: Si (2p) es el perímetro del polígono convexo de “n” lados. Se cumple:
a1
PRACTICA DE CLASE 01. ¿Cuántos lados tiene el polígono regular cuya medida de un ángulo externo es igual a los 2/13 de la medida de un ángulo interno?.
2 (n − 2 ) =
2. Número de ángulos llanos a que equivale las sumas de la medida de los ángulos internos
a3
an
a) 12 lados b) 8 lados c) 15 lados d) 16 lados e) 14 lados 02. ¿Cuántos lados tiene un polígono cuya suma de las medidas de sus ángulos internos y externos es 7200°?. a) 36 lados b) 50 lados c) 45 lados d) 40 lados e) 24 lados 03. ¿Cuántos lados tiene un polígono regular, si la suma de las medidas de sus ángulos internos es el triple de la suma de las medidas de sus ángulos externos?.
a2
a) 6 lados d) 9 lados
p
a
<
1
a
+
2
a
+
3
...
+
a
+
n
p(n − 1 )
<
4) Máximo número de ángulos interiores agudos de un polígono convexo.
05. Calcular la suma de ángulo internos de aquel polígono convexo, cuyo número total de diagonales exceden en 25 al número de sus ángulos externos. a) 1400° d) 1500°
3. Medida de un ángulo central
N° . ∠ s R e
Pre – Intermedio
GEOMETRÍA
b) 8 lados c) 12 lados e) 10 lados
04. Hallar el número de lados de un polígono convexo, sabiendo que su número de diagonales es mayor que el número de lados es 150. a) 20 lados b) 12 lados c) 16 lados
b) 1450° e) 1560°
c) 1440°
06. ¿Cuántos diagonales en total tiene aquel polígono regular convexo, en el cuál el cuadrado de su ángulo central es igual a quince veces la medida de su ángulo interior?. a) 10 d) 25
b) 15 e) 30
c) 20
07. Un ángulo externo del polígono regular mide 12’. ¿Cuántos lados tiene dicho polígono?. a) 1600 lados lados c) 1800 lados lados e) 820 lados.
b)
1500
d)
1650
08. Si en un polígono regular, su número de lados aumenta en 5, entonces la medida de su ángulo exterior disminuye en 6. Calcular su número de lados. a) 15 d) 20
b) 12 e) 25
c) 18
09. Si el número de lados de un polígono se duplica, entonces la suma de las medidas de su ángulo interiores aumenta en 3060°. ¿Cuántos vértices tiene el polígono?.
a) 16 d) 14
b) 17 e) 15
c) 18
10. Si el número de lados de un polígono disminuye en 2, entonces el número de diagonales disminuye en 15. Calcular el número de triángulo que se forman al trazar las diagonales a partir de un sólo vértice. a) 6 d) 12
b) 8 e) 7
c) 10
11. Calcular la medida del ángulo exterior de un polígono regular, sabiendo a partir de sus cuatro primeros vértices se puede trazar 25 diagonales. a) 10 d) 36
b) 20 e) 30
c) 45
12. Si el número de triángulo que se forman al unir un punto interior de un polígono con los vértices, más el número de ángulos rectos a que equivale la suma de las medidas de sus ángulo interiores es 56. Calcular el número de lados. a) 8 d) 12
b) 20 e) 25
c) 15
13. ABCDE es un pentágono regular, BE y BD dos de sus diagonales. Hallar el ∠ EBD. a) 108° d) 60°
b) 72° e) N.a.
c) 36°
14. ABCDEFGH es un octógono regular. El ángulo ∠ ACB mide: a) 45° d) 30°
b) 22°30’ e) N.a.
c) 25°
Pre – Intermedio 15. Un polígono convexo de 73 lados calcular el número total de diagonales trazadas desde dos vértices consecutivos. a) 140 d) 144
b) 142 e) 141
c) 138
16. Un polígono convexo cuyo número de diagonales se multiplica por 7 al duplicar el número de lados. ¿Cómo se llama el polígono? a) Eneágono c) Hexágono e) Heptágono
b) Pentágono d) Decágono
17. Hallar el número de lados de un polígono regular en el que si se aumentará 12° a un ángulo interno, resultaría de un polígono de un lado más. a) 10 d) 5
b) 18 e) 6
c) 4
18. En un polígono de “n” lados la suma del número de diagonales medias y el triple del número de lados es 1650. Calcular la diferencia entre el número de diagonales trazadas desde 5 vértices consecutivos y de un vértice. a) 198 d) 203
b) 200 e) 202
c) 205
19. Se tiene un polígono convexo de “n” lados cuyo número de diagonales se encuentra entre 22 y 34. Hallar n. a) 8
b) 9
c) 10
d) 11
e) 12
d) 8
20. En cierto polígono al aumentar el número de lados en “K”, el número de diagonales aumenta en 6K. ¿Cuántos polígonos cumplen estas condiciones? a) 2 d) 15
b) 6 e) 14
c) 5
EJERCICIOS PROPUESTOS N° 01 01. Hallar el número de lados de un polígono si se cumple que el número de diagonales de dicho polígono es igual al doble de su número de lados. a) 6 d) 9
b) 7 e) 10
c) 8
02. El número de diagonales de un polígono es 20. Hallar 2x, donde x representa el número de lados del polígono a) 16 b) 20 c) 30 d) 14 e) 15 03. Calcular el número de lados de un polígono regular si se cumple que la suma de sus ángulos externos mas la suma de sus ángulos internos es igual a 900°. a) 4 d) 7
b) 5 e) 8
c) 6
04. Hallar el número de lados de un polígono regular, sabiendo que el triple de la suma de sus externos es igual a la suma de sus ángulos internos. a) 5
b) 6
c) 7
Pre – Intermedio
GEOMETRÍA
e) 9
05. ¿En qué polígono regular, el ángulo interior y exterior están en razón de 5:2 a) Exágono b) Icoságono Heptágono d) Cuadradoe) Decágono
c)
06. Calcular el número de lados de un polígono convexo, si se cumple que la suma de su ángulo interno más 4 veces su ángulo externo es igual a 360°. a) 5 d) 6
b) 6 e) 10
c) 9
07. Calcular el número de diagonales medias de un polígono, si se cumple que el número de diagonales es a su ángulo central como 3 es a 20. a) 10 d) 17
b) 12 e) 20
c) 15
08. Hallar el número de lados de un polígono convexo, sabiendo que el número de sus diagonales medias es el doble de su número de diagonales. a) 4 b) 5 c) 6 c) 7 e) 8 09. ¿Cuál es el número de lados de un polígono en el cual al aumentar en uno el número de lados, el número de diagonales aumenta en 2? a) 6 d) 3
b) 5 e) 10
c) 4
10. Si se disminuye en 2 el número de lados de un polígono, el número de diagonales disminuye en 19. Hallar el polígono a) Icoságono c) Decágono e) Dodecágono
b) Octógono d) Nonágono
11. La s uma entre el número de lados de dos polígonos regulares es 13 y la suma entre sus ángulos exteriores es 117°. Hallar el número de lados del mayor polígono a) 5 d) 3
b) 8 e) 10
c) 13
12. El producto entre el número de lados de 2 polígonos regulares es 36 y la diferencia entre los ángulos exteriores es 50°. Hallar la suma del número de lados de ambos polígonos: a) 10 d) 16
b) 12 e) 13
c) 14
13. Calcular el perímetro de un hexágono equiángulo ABCDEF si AB = 8; BC = 4; CD = 5 y EF = 7. a) 20 d) 31
b) 24 e) 26
c) 27
14. Calcular el número de lados de un polígono equiángulo sabiendo que la suma de 5 ángulos internos es 800° a) 15 d) 18
b) 16 e) 19
c) 17
15. En el hexágono regular (del problema 13) ¿Qué ángulo forman las diagonales AD y CF?
Pre – Intermedio a) 30 d) 150 correcta
b) 60 c) 120 e) M ás de una es
TAREA DOMICILIARIA 01. En un polígono regular desde 4 vértices consecutivos se trazan 105 diagonales. Hallar la medida del ángulo central de dicho polígono. a) 10° d) 12°
b) 8° e) 18°
c) 15°
02. En un polígono convexo desde (n – 6) vértices consecutivos se trazan 25 diagonales. Hallar la suma de las medidas de los ángulos internos de dicho polígono. a) 1800° d) 720°
b) 1440° e) 540°
c) 1080°
03. En dos pol ígonos regulares cuya suma de las medidas de los ángulos internos difieren en 2160°. Y las medidas de los ángulos centrales difieren 5°. Hallar el número de lados del mayor de ellos. a) 36 lados b) 24 lados c) 30 lados d) 38 lados e) 20 lados 04. Al triplicar el número de lados de un polígono regular la medida de del ángulo central es (n 2)°, siendo “n” el número de lados del polígono. Hallar la medida del ángulo interno de dicho polígono. a) 144° d) 150°
b) 120° e) 162°
c) 135°
05. Si el número de lados de un polígono regular aumenta en 10, la medida de cada ángulo interno del nuevo polígono es 3° mayor, que la medida de cada ángulo interno del polígono original. Hallar el número de diagonales del polígono. a) 405 d) 260
b) 410 e) 180
c) 305
06. Hal lar el menor número de ángulos internos obtusos que puede tener un polígono convexo de “n” lados, siendo n mayor que 5. a) n d) n – 3
b) n – 1 e) 3
c) n – 2
07. En un polígono regular de n lados, desde (n – 5) lados consecutivos se trazan (n + 4) diagonales medias. Hallar la suma de los ángulos interiores de dicho polígono. a) 1440° d) 900°
b) 720° e) 540°
08. En un convexo ABCDE. ∡ A = ∡E = 90° ∡ B = ∡C = ∡D Si: BC + CD = 12cm
c) 1080° pentágono
Hallar AE a) 6
b) 12
d) 6 3
e) N.a.
c) 3 3
09. Dado un hexágono convexo ABCDEF tal que: m B =
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GEOMETRÍA
40°; m E = 150° y mC +m D = 330°. Calcular la medida del ángulo que forman las rectas AB y FE al intersectarse. a) 60° d) 20°
b) 70° e) 100°
c) 80°
10. El perímetro de un octógono equiángulo ABCDEFGH es 4(1+ 2) dicho polígono tiene dos tipos diferentes de lados de los cuales se presentan en forma alternada. Calcular AF + BG . a)
2 −1
d) 3 − 2
b) 3 + 2 e)
3 +1
c)
2+1
