Geometria II

Geometría Pág. Generalidades sobre un triángulo .................................................................................

Cap. 2

Línea recta, rayo, segmentos ....................................................................................... 13

Cap. 3

Operaciones con segmentos ........................................................................................ 19

Cap. 4

Ángulos .................................................................................................................... 25

Cap. 5

Repaso (Evaluación mensual) ...................................................................................... 33

Cap. 6

Ángulos determinados por dos rectas paralelas y una secante a ellas (Uso del complemento y suplemento) ........................................................................... 39

Cap. 7

Otros sistemas para la medición de ángulos .................................................................. 49

Cap. 8

Repaso bimestral ....................................................................................................... 55

Cap. 9

Triángulos ................................................................................................................. 61

Cap. 10

Líneas notables asociadas al triángulo I (Ceviana, altura y bisectriz)................................ 71

Cap. 11

Líneas notables asociadas al triángulo II (Mediana y mediatriz) ...................................... 79

Cap. 12

Triángulos rectángulos notables ................................................................................... 87

Cap. 13


Cap. 14

Congruencia de triángulos ........................................................................................... 103

Cap. 15

Aplicaciones de la congruencia de triángulos ................................................................. 111

Cap. 16


CONTENIDO

Cap. 1

ÁLGEBRA Ó2007- TR ILCE Depa rta m ento de P ublic a c iones L ima - P erú TRCO3SLIAL1B-07.pmd

5

3er año de secundaria

Cap. 17

Polígonos .................................................................................................................. 129

Cap. 18

Polígonos regulares .................................................................................................... 135

Cap. 19

Cuadriláteros (Trapezoides y Trapecios) ........................................................................ 141

Cap. 20

Cuadriláteros (Paralelogramos) .................................................................................... 149

Cap. 21


Cap. 22

Circunferencia ............................................................................................................ 163

Cap. 23

Ángulos asociados a la circunferencia ........................................................................... 173

Cap. 24


Cap. 25

Proporcionalidad ........................................................................................................ 187

Cap. 26

Semejanza de triángulos ............................................................................................. 197

Cap. 26

Relaciones métricas en triángulos rectángulos ............................................................... 205

Cap. 26

Áreas de regiones poligonales ...................................................................................... 215

Cap. 27

Áreas de regiones circulares ........................................................................................ 223

Cap. 28

Sólidos geométricos .................................................................................................... 231

Cap. 29


TRILCE

UN TRIÁNGULO

C

GENERALIDADES SOBRE

ap ít ul

o

COLEGIO

TRILCE

1

TRIÁNGULOS Propiedades B

e°2

q° c e°1

a° + q° + w° = 180°

2.

e°1 + e°2 + e°3 = 360°

3.

e°1 = w° + q° e°2 = a° + w° e°3 = a° + q°

a

a°

A

1.

w° b

C

e°3

Triángulo isósceles

L

L

q°

q°

Triángulo equilátero

60° L

L

60°

60° L

Organización Educativa TRILCE

5

G eneral id ad es s ob re un triá ng ul o

1. Del gráfico, calcular “x°”. B

Resolución:

X° + 20°

X° + 30°

X° + 70°

A

C

2. Del gráfico, calcular “x”. B

Resolución:

2x - 5°

A

6

x+10°

125° C

Tercer Año de Secundaria

GEOMETRÍA 3. Del gráfico, calcular "x". B

Resolución: 100°

x + 60°

C

A

120°

4. En un triángulo ABC, se cumple: m A=2m C = 80° , calcular la m

C.

Resolución:

5. Si el triángulo ABC es isósceles, calcular "x". Resolución:

B x

A

92°

C


7


Practiquemos Bloque I

5. Calcular “x°”


B x°

40°

60°+x°

x°+20° a) 4° d) 8°

80°+2x°

A

b) 5° e) 10°

c) 6°

q°

a° a°

C

a) 80° d) 140°

q°

b) 100° e) 160°

c) 120°

Bloque II

2. Si: AB = BC, calcular “x°”.

1. Calcular "x"

B

x

20° a

4x°

A a) 5° d) 20°

C

a

65°

b) 10° e) 25°

c) 15°


a) 40° d) 70°

b) 50° e) 80°

c) 60°

2. Calcular "x" B

P

80°

B x° 60° 40°

40°

A

C

a) 20° d) 50°

b) 30° e) 60°

35°

A

Q c) 40°


D

a) 10° d) 40°

x°

25°

C

b) 20° e) 50°

c) 30°

3. Del gráfico, calcular "a° + b° + c° + d° + e° + f°".

B

c°

b°

80°

A

a° a°

a) 20° d) 70°

8

a°

I x° q°

q°

b) 40° e) 80°

d° f°

C c) 50°

a) 180° d) 450°

e°

b) 270° e) 540°

c) 360°


GEOMETRÍA 4. En un triángulo ABC, se traza BP ("P" está en AC ) de tal manera que AB=BP=PC. Hallar la m ABP , si: m BCA = 40° . a) 10° d) 40°

b) 20° e) 50°


B a° a°

c) 30°

5. Calcular "x°"

A B

A

20°

x°

60°

a) 55° d) 80°

C

80°

x°

30° D

b) 65° e) 37°

C

c) 75°

3. Calcular “x°”, si: AB = BC = AD. B

70°

100°

D A a) 110° d) 140°

b) 120° e) 150°

60°

x°

C

c) 130° D

Bloque III a) 50° d) 80°

1. Calcular “x°”, si: AC = BC.

b) 60° e) 75°

c) 70°

B 4. En un triángulo ABC (AB = BC) se ubica el punto “D” en AB , tal que: CD = AC. Hallar m Ð CBA, si: m Ð DCA = 25°.

A a) 50° d) 75°

75° b) 45° e) 15°

x° C c) 60°

a) 20° d) 15°

c) 25°

5. En un triángulo ABC, se traza BP (“P” está en AC ) de tal manera que: BP = PC. Hallar la medida del ángulo ABC, sabiendo además que: m Ð ABP - m Ð BAC = 40°. a) 90° d) 80°


b) 50° e) 12° 30’

b) 100° e) 180°

c) 110°

9


Tarea domiciliaria 1. Calcular “x°”

7. Si el triángulo ABC es equilátero, calcular “x°” B

B 4x°

A

44°

36°

70°

A

C

C



B

71° b

2x°+20°

b x°

x°+10°

A

3x°+30° C


3. Calcular “x°”, en términos de “q°”.

3 x°

B

A

x° C

q°

5x°-10° 70°

10.En el gráfico, calcular “x°”.

4. Si: BD = BC, hallar: m Ð BCA. B

3x°+30°

° 40 2x°+20°

A

30°

5x°+10°

C

D

11.Calcular “x°” en el gráfico.

5. Calcular “x°” B

x°+10° ° 10

A

x°

70° D

20°

80°

C

50°

12.Si: BD = 10m, calcular “BC”.


B

B ° 40

x° 120° A

10

C 130°

A

30°

D

70°

C


GEOMETRÍA 18.Calcular "x"

13.Calcular “x°” x° 30 °

11x

5x 12x

160° 100°

19.Calcular el perímetro del triángulo ABC, si es equilátero.

B

14.Calcular "x"

B

x+2

2x - 3

70°

C

A A

x

a° a°

q° q°

20.En un triángulo isó scel es ABC s e sabe que: m A = 100° , calcular la m C .

C

15.Calcular "x"

21.Calcular "x + y" B

E

80°

A

x° w°

a° a°

l

w°

y+40°

l

2x - 10°

C

l

16.Calcular "x", si: AB = BP = PC.

22.Calcular "x"

B 30° x

40° x

A

P

50°

23.Calcular "x"

C

B a a

17. Calcular "BC", si: AD = BD = 4. B

A

40°

b C

E

x b

24.Calcular "x" A

80°

40° D

C

B 80° A a a

w

C w

E x Organización Educativa TRILCE

11

G eneral id ad es s ob re un triá ng ul o 25.Calcular "x"

28.En un triángulo ABC, se ubica el punto "D" en AC , tal que: AD = DB y DC = BC. Si m A=25° , calcular m C.

B 130° E q q

q

x F

110°

26.En un triángulo isósceles ABC (AB=BC) se ubica el punto "P" en AC , tal que: AP=AC, si m m PAC .

B = 30° , calcular la

27. En un triángulo ABC se traza BM ("M" en AC ), tal que: AM = MB = MC. Calcular la m ABC .

12

29.Se tiene un triángulo isósceles ABC donde AB = BC, en el cual se traza una ceviana CP. Sobre CP se ubica el punto “Q”, tal que: BP = BQ y la m R QBC = 36°. Hallar: m R ACP.. 30.En un triángulo ABC se traza la bisectriz exterior BF ("F" pertenece a la prolongación de AC ) luego en AB se ubica el punto "E", de modo que: AE = EC y m R AFB = 20°. Hallar: m R ECB..


C

LÍNEA RECT A, RAYO,

ap ít ul

o

COLEGIO

TRILCE

2

SEG MENT OS

LÍNEA RECTA

Segmentos congruentes

Es un conjunto ilimitado de puntos que están en una misma dirección.

Dos segmentos son congruentes si tienen la misma longitud. 8m

Q

P

A

Línea recta PQ: PQ

B

8m C

RAYO

D AB @ CD

Es cualquiera de las dos partes de una línea recta que se determina al tener un punto fijo sobre ella. A

O

Rayo OA: OA Rayo OB: OB

B

Punto medio de un segmento 4m

O: origen A

4m O

B

O: Punto medio de AB SEMIRECTA Es un rayo sin origen.

Operaciones con segmentos B

O Semirecta OB: OB

A

B

C

D

E

AE = AB + BC + CD + DE SEGMENTO DE RECTA

AB = AE - BE

Es una porción de una línea recta que tiene dos extremos fijos.

A

B 10m

Segmento de recta AB: AB Longitud del segmento AB: Número real positivo: AB = 10m


13

L ínea rec ta , ra yo , se gmento s

1. En el gráfico, calcular “x”. 30m

10m Resolución:

A

B

D

C

x

28m

2. En el gráfico, si “B” es punto medio de AC , calcular “x”.. Resolución: 30m

A

10m

B

C

D

x

3. Si “M” y “N” son puntos medios de AB y BC respectivamente, calcular “x”.. Resolución:

40m M A

N B

C

x

14


GEOMETRÍA 4. Del gráfico, calcular “BC”.

17m A

B

C

15m

D

24m Resolución:

5. Si “C” es punto medio de AD , calcular “BC”.. 18m

14m A

B

C

D

Resolución:


15

L ínea rec ta , ra yo , se gmento s

Practiquemos Bloque I 1. Se tienen los puntos consecutivos “A”, “B”, “C” y “D”. Si: AC = 21m, BD = 28m y AD = 30m, calcular “BC”. a) 10m d) 14

b) 12 e) 19

c) 15

2. Se tienen los puntos consecutivos “A”, “B”, “C” y “D”. Si: AC = 19m, BD = 24m y AD = 27m, calcular “BC”. a) 12m d) 16

b) 14 e) 11

c) 15

b) 20 e) 18

R

22m

S

c) 17

5. Calcular “x”, si: AM = MD; AC = 5m y AD = 16m. x C

a) 7 m d) 4

M

b) 6 e) 3

D c) 5

1. Se tienen los puntos consecutivos “A”, “B”, “C” y “D”. Si: AD = 20m, AB = 8m y CD = BC, calcular “AC”. b) 14 e) 18

c) 15

2. Se tienen los puntos consecutivos “A”, “B”, “C” y “D”. Si: AB = BC, AC = CD y AD = 48m, calcular “BC”. a) 24m d) 16

b) 10 e) 12

puntos medios de AC y BD respectivamente.

A

18m

16

B

c) 9

B

C

8m C

D

b) 7 e) 10

c) 8

Bloque III

22m

P

Q

a) 5 u d) 8

b) 6 e) 9

D

R

S

T c) 7

2. Se tienen los puntos consecutivos "A", "B", "C" y "D". Si: AB = CD, BC + AD = 42m, calcular "AC". b) 22 e) 30

c) 18

3. Sean los puntos consecutivos: "A", "B", "C" y "D" en una recta, tal que: AB = BD = 3CD y AD = 12 m, calcular "CD". a) 2 m d) 18

b) 4 e) 5

c) 16

4. Sobre una recta se ubican los puntos consecutivos "A", "B", "C" y "D"; tal que: CD = 7AC; BD - 7AB = 40m, calcular "BC". a) 2m d) 18

c) 9

3. Del gráfico mostrado, calcular “MN”, siendo “M” y “N”

12m

A

a) 21m d) 20

Bloque II

a) 13m d) 16

b) 8 e) 18

16m

b) 16 e) 19

A

a) 6m d) 7

1. Calcular "RS", siendo "R" y "S" puntos medios de PT y QT respectivamente.

30m a) 15 u d) 18

4. En una recta se ubican los puntos consecutivos “A”, “B” y “C”, en ese orden. Si: AC + AB = 18m, calcular “AM”, siendo “M” punto medio de BC .

a) 6 u d) 9

18m Q

c) 10

22m

c) 15

4. Calcular “PM”, siendo “M” punto medio de QR .

P

b) 8 e) 14

5. Se tienen los puntos colineales "A", "B", "C" y "D", siendo "B" punto medio de AC . Calcular "AB", si: 3BD = 4AC.

3. Se tienen los puntos consecutivos “P”, “Q”, “R”, “S” y “T”. Si: PQ = QR, RS = ST, PR = 12m y RT = 20m, calcular “QS”. a) 12m d) 16

a) 6 u d) 12

b) 5 e) 20

c) 8

5. Sobre una recta se ubican los puntos consecutivos “A”, “B”, “C” y “D”. Si: AC + BD = 24m, calcular "PQ", siendo “P” y “Q” puntos medios de AB y CD respectivamente. a) 4 m d) 18

b) 6 e) 24

c) 12 Tercer Año de Secundaria

GEOMETRÍA

Tarea domiciliaria 1. Calcular “AN”, si: AP = 2m, PB = 3m y BN = 7m.

P

A

B

N

13.Sobre una recta se ubican los puntos consecutivos “A”, “B”, “C” y “D”, de modo que: AB = 6m, BC = 8m y CD = 10m. Luego se ubica “M” punto medio de AB y “N” punto medio de CD. Calcular “MN”..

2. Calcular “AP”, si: PB = 3m y AB = 10m.

P

A

B

3. Si: PR = a y RT = b, calcular “PT” en términos de “a” y “b”.

R

P

5. Sobre una recta se ubican los puntos consecutivos “A”, “B”, “C” y “D”. Determinar el número total de segmentos que se forman. 6. Según el gráfico: AC = 26m. Calcular “x”.

B 2x

7. Del gráfico, “M” es punto medio de BC . Si: AM = 9m y MC = 2m, calcular “AB”. B

A

M

C

C 3x+1

D

16.Sobre una recta se toman los puntos consecutivos “A”, “B”, “C” y “D”. Calcular “AD”, si: AC = 10m y AD + CD = 30m.

18.En una recta se ubican los puntos consecutivos “A”, “B”, “C” y “D”, de tal manera que: AC = 22m, BD = 25m y AD = 33m. Calcular “BC”.

4x+3

A

C

D

11.Si: AB = 6 cm; BC = 8 cm y CD = 10 cm, calcular “MN”. M b

B b

C

N a


C

E

D

C

B

M a

a

N b

D b

21.Si: AB = CD = 18 cm y BC = DE = 16 cm, calcular la longitud del segmento que une los puntos medios de AB y DE. A

A

M

20.Si: AC + BD = 46 cm, calcular “MN”.

10.Si: AC = 12 cm; BD = 14 cm y BC = 7 cm, calcular “AD”. B

3x

15.Sobre una recta se ubican los puntos consecutivos “A”, AB BC CD = = “B”, “C” y “D”. Calcular “AC”, si: y 2 3 5 AD = 40m.

9. Sobre una recta se toman los puntos consecutivos “A”, “B” y “C”, de modo que: BC = 2AB. Calcular “AB”, si AC = 36m.

A

D

2x

A

B 3x

x

C

19.Si “M” es punto medio de AE y AC - CE = 32 cm, calcular “MC”.

8. Si: AD = 44, calcular “x”.

A

B

17. Sobre una recta se toman los puntos consecutivos “A”, “B”, “C” y “D”. Calcular “AB”, sabiendo que: AC = 14m, BD = 18m y CD = 2AB.

C

12m

14.De la figura: AD = 48m. Calcular “BC”. A

T

4. Sobre una recta se ubican los puntos consecutivos “A”, “B” y “P” de modo que AB > BP. ¿En qué segmento se encuentra el punto medio de AP ? (Graficar).

A

12.Sobre una recta se ubican los puntos consecutivos “A”, “B”, “C” y “D”. Calcular “BC”, si: AD = 10m, AC = 8m y BD = 6m.

B

C

D

E

22.Sobre una recta se ubican los puntos consecutivos “A”, “B”, “C” y “D”. Si: AC + BD = 24m, calcular “PQ”, siendo “P” y “Q” puntos medios de AB y CD respectivamente.

a

17

L ínea rec ta , ra yo , se gmento s 23.En una recta se dan los puntos consecutivos “A”, “B”, “C” y “D”. Calcular “AD”, sabiendo que: AC = 4 + CD. Además: AB BC CD = = 2 3 4

24.“M” y “N” so n puntos medi os de AB y CD ; BC = 4 cm y AD = 10 cm. Calcular “MN”. A

M

B

C

N

D

26.En una recta se dan los puntos consecutivos “A”, “B”, “C” y “D” donde “M” es punto medio de AB y “N” es punto medio de CD. Si: AC = 14m y BD = 8m, calcular “MN”. 27. Sean los puntos consecutivos “A”, “B”, “C” y “D” sobre una recta, tal que: AB = BD = 3CD. Calcular “CD”, si: AD = 18m. 28.Calcular “BD”, si: AB = 3BC y AD + 3CD = 12m.

A 25.Sobre una recta se ubican los puntos consecutivos “A”, AB BC CD = = “B”, “C” y “D”, tal que: y AD = 24m. 3 4 5 Calcular la longitud del segmento que une los puntos

B

C

D

29.“A”, “B”, “C” y “D” son puntos consecutivos tomados sobre una recta. Si “M” es punto medio de AD , AB + CD = 10m y BM - MC = 2m, calcular “CD”.

medios de los segmentos AC y BD . 30.Sobre una línea recta se ubican los puntos consecutivos “A”, “B”, “C”, “D”, “E ” y “F ”. Sabi endo que: BE AB = EF = y AC + BD + CE + DF = 24m, calcular 3 “BE”.

18


C

OPERACIONES CON

ap ít ul

o

COLEGIO

TRILCE

3

SEG MENT OS

B6

A6

B5

A5

Las vigas, los soportes y los alambres de la estructura de acero (que aparece en la fotografía) forman triángulos, que son las figuras geométricas más sencillas que se pueden formar con puntos y rectas.

A’’ A’

A4

B4

A3 A2

B3

B2

A

B’’ B’

B

A1

B1 O

Recordar: SUMA DE SEGMENTOS

RESTA DE SEGMENTOS

Ejemplo:

Ejemplo:

Hallar "x"

Hallar "x" x 2m

3m A

B

C

x

5m

5m D

P

AD = AB + BC + CD x = 3m + 2m + 5m x = 10 m

Q

R 12 m

QR = PR - PQ x = 12m - 5m x = 7m

PUNTO MEDIO DE UN SEGMENTO Ejemplo: Hallar "x", si "M" es punto medio de AC 2x + 10

A

5x - 20

M

C

AM = MC 2x + 10 = 5x - 20 30 = 3x 10 = x


19

Op erac io ne s c on s eg me nt os

1. Si: AC = BD = 32m y AD = 40m, calcular “BC”. A

B

C

D

Resolución:

2. En una recta se toma los puntos consecutivos "A", "B", "C" y "D", tal que: AC = 18 m, BD = 20 m y AD = 30 m. Hallar "BC". Resolución:

3. Si: AC = 30m, BD = 28m y AD = 40m, calcular “BC”.

A

20

B

C

D

Resolución:


GEOMETRÍA 4. En una recta se toma los puntos consecutivos "A", "M", "O" y "R" tal que: AM = 10 m, AR = 50 m y "O" es punto medio de MR . Hallar "AO". Resolución:

5. Si: PR = 17m, QS = 15m y PS = 24m, calcular “QR”.

P

Q

R

S

Resolución:


21

Op erac io ne s c on s eg me nt os

Practiquemos Bloque I 1. Si AC =30 m; BD=50 m y AD=70 m, hallar "BC". A

a) 30 m d) 5

B

C

b) 20 e) 40

A

D

b) 15 e) 18

c) 20

a) 17 m d) 27

S

R

b) 23 e) 15

b) 8 e) 12

D

c) 9

3. En una recta se ubican los puntos consecutivos “A”, “B”, “C” y “D”. Si “C” es punto medio de BD y

BC 1 = , AC 2

calcular “CD”; además: AD = 12 m.

3. En la figura hallar "TS + RP", si: SR = 10 m y TP = 37 m. T

C

B

a) 7 m d) 10

c) 10

2. Sobre una recta se dan los puntos consecutivos PQRS, tal que "Q" es punto medio de PR . Si: PR=30 m y RS=10 m, hallar "QS". a) 12 m d) 25

2. Si: AD - AB = 20 m y "C" es punto medio de BD, hallar "CD".

a) 2,4 m d) 4,2

b) 3,5 e) 4,8

c) 4

4. Sobre una recta se ubican los puntos consecutivos “A”, “B”, “C”, “D” y “E”. Si se cumple que:

P

c) 25

AB =

BC CD DE = = ; AE = 80m 3 5 7

calcular “BD”. 4. Si "O" es punto medio de MA y "P" es punto medio de AB ; hallar "OP", tal que: MA=18 m y AB=20 m. M

O

a) 15 m d) 21

A

P

b) 17 e) 25

B

c) 19

P

a) 50 m d) 70

5k E

b) 60 e) 30

2k R

U

c) 40

1. Sobre una recta se ubican los puntos consecutivos “P”, “Q”, “R” y “S”, tal que: PR = 10 m, QS = 12 m y QR = 4 m. Calcular “MN”, siendo “M” y “N” puntos medios de PQ y RS .

22

b) 14 e) 11

c) 12

c) 60

5. Se tienen cuatro puntos consecutivos en una línea recta: “A”, “M”, “B” y “C”, de modo que “M” es punto medio de AB . Si: AC + BC = 30m, hallar “MC”.. b) 12 e) 13

c) 15

Bloque III

Bloque II

a) 13 m d) 15

b) 40 e) 20

a) 10 m d) 18

5. Si: PU = 120 m, hallar "ER". 3k

a) 30 m d) 10

1. Sobre una recta se dan los puntos consecutivos “A”, “B”, “C” y “D”; tal que: AC = 19m y BD = 23m. Calcular la longitud del segmento que une los puntos medios de AB y CD . 2. En una recta se ubican los puntos consecutivos “A”, “B”, “C” y “D”, tal que “B” es punto medio de AD y AC = 5CD.. Calcular:

BC AB

3. Sobre una recta, se ubican los puntos consecutivos "A", "B", "C" y "D". Se cumple: AB = 3m, AC = 5m y 4AB - BD - 2CD = 4m. Calcular "AD".


GEOMETRÍA 4. En una recta se dan los puntos consecutivos “M”, “A”, “O” y “B”, siendo “O” punto medio de AB . Calcular “MO”, sabiendo que: (MA)(MB) = 32m2 y AB = 4m.

5. Sobre una recta se ubican los puntos consecutivos “P”, “Q”, “R” y “S”. Calcular “PR”, sabiendo que: QR = RS y (PS)2 - (PQ)2 = 12QS.

Tarea domiciliaria 1. En la figura, calcular “BC”, si: AD = 10m, AC = 8m y BD = 7m.

A

C

B

D

2. Sobre una recta se ubican los puntos consecutivos “A”, “B”, “C” y “D”. Calcular “BC”, si: AD = 12m, AC = 9m y BD = 8m. 3. Sobre una recta se toman los puntos consecutivos “A”, “B”, “C” y “D”, de tal manera que: AD = 20m, AC = 18m y BD = 15m. Calcular “BC”.

9. Si “B” y “C” son puntos medios de AC y AD , calcular “AD”.

B

A

C

D

9 cm 10.Si: AB = 26 cm y CD = 6 cm, calcular “MN”.

A

C

M a

D

a

N b

B b

4. Si: AC = 12m, BD = 15m y AD = 20m, calcular “BC”. 11.Si “M” y “N” son puntos medios de AC y CB , calcular “AB”. A

C

B

D

a

5. Si: PQ = QR, RS = ST, PR = 12m y RT = 18m, calcular “QS”.

P

R

Q

S

T

A

a

b C

N

b M

B

8 cm

12.En la figura, calcular “MN”, si “M” es punto medio de PQ , “N” es punto medio de QR y PR = 20m.

6. Si: MN = 5u, NQ = 12m y NP = PQ, calcular “MP”.

P M

P

N

Q

7. Sobre una recta se ubican los puntos consecutivos “A”, “B”, “C” y “D”, tal que: AC = 24m, BD = 30m y BC = 15m. Calcular “AD”.

N

R

13.En la figura, calcular (MO)2, si: MA = 2m y AB = 8m. Además “O” es punto medio de AB .

A

M 8. “A” y “P” son puntos medios de MN y NQ respec-tivamente, MN = 10m y MQ = 30m. Calcular “AP”.

Q

M

O

B

14.Calcular “x” 48 cm

M

A

N

P


Q

Q

P 3x

R 9x

23

Op erac io ne s c on s eg me nt os 15.Si “M” es punto medio de AC , calcular “x”.. 8m

x

12m

B

A

M

C

16.Calcular “x”, si “C” es punto medio de BD.

9m

2m

B

A

C

D

x 17. Si: AC + AB = 32 cm, calcular “BC”. 20 cm B

A

C x

18.Sobre una recta se ubican los puntos consecutivos “A”, AB BC CD DE = = = “B”, “C”, “D” y “E”. Calcular “BE”, si: 2 3 5 7 y AE = 85m.

19.Calcular “PR”, si: RQ - PR = 14 cm.

30 cm R

P

Q

20.Si: AD + AB = 20m y BC = CD, calcular “AC”. A

B

C

D

21.Sobre una recta se ubican los puntos consecutivos “A”, “B”, “C” y “D”, tal que: AB = BC y CD + AD = 18m. Calcular “BD”.

24

22.En la figura, calcular “AM”, si: AC + AB = 20m y “M” es punto medio de BC .

A

B

M

C

23.Sobre una recta se ubican los puntos consecutivos “A”, “B”, “C” y “D”, tal que: CD = 4AC. Calcular “BC”, si: BD - 4AB = 30m. 24.Sean los puntos consecutivos “A”, “B”, “C” y “D” sobre una recta, tal que: AB = BD = 4CD. Calcular “CD”, si: AD = 40m. 25.Sobre una recta se ubican los puntos consecutivos “A”, “B”, “C” y “D”. Sabiendo que: AC = 30m y BD = 20m, calcular la longitud del segmento que une los puntos medios de AB y CD . 26.En la figura, calcular “MN”, si: AC + BD = 30m, “M” es punto medio de AB y “N” es punto medio de CD. A

M

B

C

N

D

27. Sobre una recta se toman los puntos consecutivos “S”, “O”, “L” y “A”. Calcular “SA”, si: SL = 30m y SA + LA = 70m. 28.Sobre una recta se dan los puntos consecutivos “M”, “A” y “B”, siendo “O” punto medio de AB . Calcular “MO”,, sabiendo que: MA = 18m y AB = 20m. 29.Sobre una recta se toman los puntos consecutivos “A“, “B”, “C” y ”D”. Sabiendo que: AC = 20m y BD = 60m, calcular la longitud del segmento que une los puntos medios de AB y CD . 30.“A”, “B”, “C”, “D” y “E” son puntos consecutivos tomados sobre una línea recta, tal que “C” es punto medio de AE , AC = BD y AD + BE = 30m. Calcular “BD”..


C

ap ít ul

ÁNGULOS

o

COLEGIO

TRILCE

4

DEFINICIÓN

Bisectriz de un ángulo

Es aquella figura geométrica formada por la unión de dos rayos que tienen el mismo origen. La medida de un ángulo se expresa en grados sexagesimales.

Es el rayo cuyo origen es el vértice del ángulo y divide a dicho ángulo en dos medidas iguales. A

OR: Bisectriz del ángulo AOB

A Región interior del ángulo AOB

O

a°

O

m

R

a° a°

AOR = m AOR =

ROB

BOR

B

CLASIFICACIÓN DE ÁNGULOS B

• Según sus medidas

ELEMENTOS

- ÁNGULOS CONVEXOS

Lados: OA y OB

Ángulo agudo Cuando su medida es mayor que 0° y menor que 90°.

Vértice: O Notación ˆB Ángulo AOB: R AOB ó AO

0° < a° < 90° a°

Medida del ángulo AOB: m R AOB m R AOB = a°

Ángulo recto Cuando su medida es igual a 90°.

Congruencia de ángulos Dos ángulos son congruentes si tienen la misma medida. A

O

A m

P

@

a° B

Q

a° R

R AOB @ R PQR (los ángulos AOB y PQR son congruentes)

m R AOB = m R PQR

O

AOB = 90°

B

Ángulo obtuso Cuando su medida es mayor que 90° y menor que 180°.

90° < a° < 180° a°


25

Ángul o s Ángulo llano Cuando su medida es igual a 180°.

- Ángulos consecutivos en un mismo semiplano Los ángulos AOB, BOC, COD y DOE son consecutivos.

a C

B

a = 180°

D

A

- ÁNGULO NO CONVEXO Cuando su medida es mayor que 180° y menor que 360°.

q

b

a

g E

O

a + b + q + g = 180°

a 180° < a < 360°

Ángulos coplanares alrededor del vértice

A B • Según la posición de sus lados a°

Ángulos adyacentes Son dos ángulos que tienen el mismo vértice y además están situados a distintos lados de un lado común.

w°

B

A

q°

b° O

C a° + q° + w° + b° = 360°

En el gráfico, los ángulos AOB y BOC son adyacentes a°

D

Ángulos opuestos por el vértice

q° O

C

- Ángulos adyacentes suplementarios Los ángulos AOB y BOC son adyacentes.

a° B a

b

O

A

q°

C

a + b = 180°

a° = q°

Ángulos consecutivos

B A a b qw

C

D

En el gráfico, los ángulos AOB, BOC, COD y DOE son consecutivos E

O

26


GEOMETRÍA

1. Calcular el valor de "x". B

Resolución:

C 68°

x D

O

A

2. Si: m

AOC = 165° ; hallar "b". C

B

b A

Resolución:

64° O

3. Calcular el valor de "q".

Resolución: 120°

q 80°


27

Ángul o s

4. En la figura hallar la m

POR si OP es bisectriz del

A

BOC

Resolución:

P B

° 20

O

AOB y OR es bisectriz del

R

35°

C

5. Se tiene los ángulos adyacentes suplementarios AOB y BOC. Si: m

OX bisectriz del

AOB = 140° ; hallar m

XOC , siendo

BOC .

Resolución:

28


GEOMETRÍA

Pract iquemos Bloque I

5. Se tiene dos ángulos adyacentes suplementarios. Calcular la medida del ángulo que forman sus bisectrices.

1. Hallar: m Ð AOB B

C

Bloque II 1. Calcular la medida del ángulo formado por las bisectrices de los ángulos consecutivos AOB y BOC, si: m Ð AOC = 84°.

a°+ 50°

2.

C

a l c u l a r

a°+ 10°

a°

A

O “

D

2. Las medidas de dos ángulos están en relación de 2 a 3. Si suman 70°, calcular la medida del mayor.

a°”

3. Sean los ángulos adyacentes AOB y BOC, tales que la m Ð BOC = 4m Ð AOB y la m Ð AOC = 50°. Hallar la m Ð BOC.

a°

a°+30°

a°+50°

4. Hallar el valor de "x".

a°+40° M x q°


q° a° a° N

3x °

-2

0°

O 100°

x° + 10°

5. En la figura, hallar: m Ð COM, si: m Ð BOC - m Ð AOC = 36°. ( OM : bisectriz del Ð AOB)

4. Si: m Ð AOB = 40° y m Ð AOC = 110°; hallar: m Ð AOR.

M

B

B

A

C R

b° b°

O

A

C

O


29

Ángul o s Bloque III

3. Se tienen los ángulos consecutivos AOB y BOC, se traza

1. Si: m Ð AOB - m Ð BOC = 80°; hallar: m Ð MOB, además OM es bisectriz del ángulo AOC.

A

el rayo OD bisectriz del ángulo AOB. Hallar m Ð COD,, si: m Ð AOC + m Ð BOC = 140°. 4. Se tiene los ángulos consecutivos AOB y BOC de tal manera que el ángulo AOB mide 42°. Hallar la medida del ángulo formado por las bisectrices de los ángulos AOC y BOC.

M

B

O

C

5. Se tienen los ángulos consecutivos AOB y BOC, cuyas medidas se diferencian en 50°. Calcular la medida del ángulo formado por la bisectriz del ángulo AOC y el rayo OB.

2. La diferencia de las medidas de dos ángulos consecutivos AOB y BOC es 60°. Hallar m Ð DOB, si: OD es bisectriz del ángulo AOC.

Tarea domiciliaria 1. Calcular "x°"


60° 2x° + 15° 2x° - 15°

2x° 40°

5. Calcular “x°” 2. Calcular "x°"

2x° - 10° 3x°

3x° + 10°

2x°

3. Calcular "x°"


A

3x° + 5°

4x° - 10°

B 4x° x° + 10° C

30


GEOMETRÍA 7. Calcular la medida del ángulo que forman las bisectrices de los ángulos POQ y QOR.

Q

R

° 24

P

12.Calcular "a"

4a - q

5a - 20°

a+q

60° 0

13.Calcular "x", si: m

AOD=102° .

8. Calcular: m Ð AOB

B A

C

C

B

x-a x

46° O

A

D

D

9. Si: mÐAOB = 40° y mÐAOC = 110°; hallar: mÐAOR.

A

x+a

O

14.Si OB y OC son bisectrices de AOC y AOD res pectivamente, hallar m BOC , si además m AOD=60° .

B A

R b° b°

B

0

C

O

C

lar BOC y m BOC = 48°; hallar

10.Si: OM es bisectriz del m AOM.

D

A B 20°

15.Hallar m

MOE

M

C

M D

C

11.Si: m

AOB=100° y m

a a

B

BOC=40° ; hallar m MON.

O a a

b

C

b

E

O

A

N B

A

38°

16.Hallar el valor de "a + b". 120°

M

3a

3b b

a


31

Ángul o s 17. La diferencia de dos ánglos adyacentes suplementarios es 60°. Hallar el mayor ángulo. 18.Si: m ROQ = 2m POQ y OM es bisectriz del QOR . Hallar m POM M

Q

R

108°

P

24.Se tienen dos ángulos consecutivos AOB y BOC. Si se OD bisectriz del ángulo AOB, hallar: m Ð COD.. Además: mÐ AOC + mÐ BOC = 160°. t r a z a

25.Se tiene tres ángulos consecutivos que forman un ángulo llano y las bisectrices del primer y tercer ángulo forman 140°. Calcular la medida del segundo ángulo. 26.Calcular “x°”, si: m Ð AOC + m Ð BOD = 140°.

A

B

O

C

x° 19.Si: m

AOC = 4(m AOB) , hallar m

AOB .

A

D 27. Si: mÐAOC + mÐBOD = 230°; calcular: mÐBOC.

B

C

B 36°

O

C

O

A 20.

C

a l c u l a r

“ x ° ”,

s i :

q° = 18°.

q° 2q° x°

21.Sean los ángulos adyacentes AOB y BOC, tales que la m Ð BOC = 4m Ð AOB y la m Ð AOC = 50°. Hallar la m Ð BOC. 22.Se tiene los ángulos consecutivos AOB y BOC. Si los ángulos AOC y BOC son suplementarios y m Ð AOB = 80°, hallar: m Ð AOC. 23.Se tiene dos ángulos adyacentes. Calcular la medida del ángulo que forman sus bisectrices, si la suma de dichos ángulos es 15°.

D

28.La diferencia de las medidas de dos ángulos consecutivos AOB y BOC es 60°. Hallar: m Ð DOB, si: OD es bisectriz del ángulo AOC. 29.Los ángulos consecutivos AOB, BOC y COD miden 25°; 45° y 75° respectivamente. Calcular la medida del ángulo formado por las bisectrices de los ángulos AOC y BOD. 30.En el gráfico OX es bisectriz del Ð AOB y OY es bisectriz del ÐCOD. Hallar: m Ð AOC, si: m Ð XOY = 90° y m Ð BOD = 99°.

X

A

B C

0

Y D

32


(EVALUACIÓN

C

REPASO

ap ít ul

MENSUAL)

o

COLEGIO

TRILCE

5

1. Los puntos "A", "B", "C" y "D" son colineales .Calcula el valor de "BC". Resolución:

2. Se tienen los puntos colineales "A", "B", "C" y "D". Si AB=BC, AC=CD y AD=48 cm; calcular "BC". Resolución:


33

Repaso (evaluación mensual) 3. Si OM es bisectríz del ángulo AOC, calcula la medida del ángulo "x". Resolución:

4.

S e

t ie n e n

lo s

á n g u lo s

c o n s e c u t iv o s

P O

Q

,

Q

O

R

y

R

O

S

d e

m

o d o

q u e :

m

Hallar mÐQOR.

ÐPOR=mÐROS y mÐQOS - mÐPOQ= 56°.

Resolución:

5. Si el triángulo ABC es equilátero , calcula el ángulo "x". Resolución:

34


GEOMETRÍA


Bloque II

1. Si "M" es punto medio de AC , Calcular "BM".

1. Sobre una recta se ubican los puntos consecutivos "M", "A" y "B", siendo "O" punto medio de AB . Calcular "MO", sabiendo que: MA=13 cm y AB=20 cm. a) 20 d) 23

a) 1 d) 4

b) 2 e) 5

"B", "C" y "D", tal que: "B" es punto medio de AD y AC=5(CD) .

Calcular la distancia de "B" al punto medio de AC . b) 6 e) 10

b) 7 e) 10

Calcular: BC CD a) 1 d) 4

c) 8

3. Sean los puntos colineales "A", "B" y "C". Si: "M" es punto medio de BC , MC=2 y AM=9; calcular "AB". a) 6 d) 9

c) 22

2. En una recta se ubican los puntos consecutivos "A",

c) 3

2. En AC se ubica el punto "B", tal que: BC - AB=16.

a) 4 d) 9

b) 21 e) 24

b) 2 e) 5

c) 3

3. Calcula la medida del ángulo BOC, si: mÐAOC=120° y mÐBOD=150°. C B

c) 8

150° 120°

4. Si la mÐAOB=100°, mÐBOC=40° ; OM y ON son bisectrices de los ángulos AOB y BOC respectivamente, calcula la medida del ángulo "x".

O

A

a) 53° d) 80°

D

b) 60° e) 90°

c) 75°

4. Sean los ángulos consecutivos AOB y BOC, siendo la mÐAOB = 7mÐBOC. Calcular la medida del ángulo AOC, si: OM es bisectríz del ángulo AOC y mÐMOB=60°. a) 130° d) 160° a) 60° d) 75°

b) 65° e) 80°

c) 70°

b) 140° e) 170°

c) 150°

5. En la figura, AB=BC. Calcular la medida del ángulo "x".

B

5. El triángulo FEA es equilátero y AB=BC. Calcular la medida del ángulo "x"

A

F B 20° A

a) 75° d) 120°

C

30°

x

100° C

E

b) 80° e) 130

x

c) 100°


a) 45° d) 70°

b) 53° e) 80°

c) 60°

35

Repaso (evaluación mensual) Bloque III 1. Sobre una recta se ubican los puntos consecutivos "A", "B", "C" y "D", tal que: CD=5(AC). Hallar "BC", si: BD - 5AB = 30. a) 2 d) 5

b) 3 e) 6

c) 4

2. Se tienen los puntos colineales y consecutivos "A", "B", "C" y "D", tal que: BC = AB + 1 y CD = AB - 3. Calcular "AD", si "AB" toma su mínimo valor entero. a) 8 d) 11

b) 9 e) 12

4. En un triángulo DEF se traza ER ( R está en DF ), de tal manera que ER=RF. Hallar la medida del ángulo DEF, sabiendo que: mÐDER - mÐEDF = 30°. a) 90° d) 110°

b) 100° e) 120°

5. En la figura DE = EF. Calcular "x". E

c) 10

C

x

F 50°

f D

3. Calcular la medida del ángulo "x". A a) 20° d) 35°

a) 10° d) 25°

c) 105°

b) 15° e) 40°

f

100°

b) 25° e) 40°

B

c) 30°

c) 20°

Tarea domiciliaria 4. Hallar: m Ð AOM, si: OM es bisectriz del ÐBOC.


A

80° x°

B

30°

O

M

20°

C 2. Calcular “q°”

5. Calcular “x°” 110° q°

a° a°

3. Calcular “q°”

2x° x°+30° 100°

q° + 10 °

110°

q° q°

36

x°

4q°

q°+10°


GEOMETRÍA 6. Calcula la medida del ángulo "x".

12.Dado el triángulo equilátero ABC, levante por "C" una perpendicular al lado AC tal como CF , de modo que AC=FC. Calcular la medida del ángulo BAF .

B C 68° A

13.Calcular “x° + y°”

x

O

D

70°

7. En la figura, calcular “x°” y°

120°

80° x°

5x°

2x°

14.Hallar: m Ð ABC

B

x°

+2

0°

8. Según el gráfico, calcular el valor de “x°”, si: a° + b° = 120°.

a°

b°

A

2x°

x°

9. Si el triángulo ABC es equilátero y BM=MC, calcula "x".

x°+10°

70°

C

15.Hallar: m Ð ABC si: AB = BD = DC y m Ð BDC = 140° B

B x

A

M

10.Hallar: m Ð ARC, si: m Ð ABC = 60°.

D

A

C

C

16.Calcular “a°”

B 4a° + 20°

R

A

2w° w° C

° 2a a°

3a° + 50°

17. Calcular "x°", si OC es bisectriz del

11.Hallar: m Ð ABC

BOD .

C

B

B 2x° A

x°

A

50°

x° O

D

99° C


37

Repaso (evaluación mensual) 23.En una línea recta se ubican los puntos consecutivos "A", "B", "C" y "D", tal que: AC = 8m y BD = 10m. Calcular la longitud del segmento que une los puntos medios de AB y CD .

18.Calcular “x°”

x° 2x° 5x°

24.Sobre una recta se ubican los puntos "A", "B" y "C" consecutivos, tal que: AC - AB = 10m, luego se ubica el punto medio "M" de BC. Calcular "BM".

3x° 4x°

19.El complemento de “x°” es 30°. Calcular “2x°”. 20.Calcular “x°”

34°

26.Sobre una línea recta se ubican los puntos consecutivos: "A", "B ", "C" y "D", tal que: AB = BC = CD y 4 5 3 AD = 240 m. Calcular "BC".

4x°

27. El suplemento de un ángulo es el triple de su complemento. Calcular el valor del ángulo.

21.Si: m Ð AOB = 30° y m Ð BOC = 120°; hallar: m Ð XOY. O b° b° C

Y

A X

a° a° B

22.En una línea recta se ubican los puntos consecutivos "A", "B", "C" y "D", Si: AB = 12m, BC = 8m y CD = 2AB - CD, calcular la longitud del segmento que une los puntos medios de AB y CD .

38

25.En una línea recta se ubican los puntos consecutivos "A", "B", "M" y "C", siendo "M" punto medio de AC , además: BC - AB = 6m. Calcular "BM".

28.Sobre una recta se toman los puntos consecutivos "A", "B", "C" y "D". Calcular "AD", si: AC = 10m y AD + CD = 30m. 29.Se tienen los ángulos consecutivos: AOB, BOC y COD de modo que: m Ð AOC = m Ð COD. Hallar la m Ð BOC, si: m Ð BOD - m Ð AOB = 48°. 30.Sean los ángulos adyacentes AOB y BOC; tales que: m Ð BOC = 4m Ð AOB y la m Ð AOC = 50°, hallar: m ÐAOB.


C

DOS RECTAS PARALELAS Y UNA SECANTE A ELLAS (USO DEL COMPLEMENTO Y SUPLEMENTO)

ap ít ul

o

COLEGIO

TRILCE ÁNGULOS DETERMINADOS POR

6

RECTAS PARALELAS

Ejemplos:

Veamos algunas nociones de paralelismo de rectas.

1. Si las rectas "m" y "n" son paralelas; calcular el ángulo "x".

¿Cuál es la ubicación de las cuerdas en un arpa? ¿Cuál es la disposición de los surcos de un sembrío para su irrigación? DEFINICIÓN Se denomina así a dos rectas ubicadas en un mismo plano y que no se intersecan.

3x - 5° = 40° ..........( Alternos Internos ) 3x = 40° + 5° x = 45°/3

L1 L2

NOTACIÓN: L1

Resolución:

\ x = 15° 2. Si L1

L2

L2 ; Calcular el ángulo "x".

Se lee: la recta L1 es paralela a la recta L2

L1 ÁNGULOS EN DOS RECTAS PARALELAS L1

L2 Y L2

UNA RECTA SECANTE L S A AMBAS 1 2 1 2

Resolución

2

L1

1

2 1

2x - 3° = 55° ..........( Alternos Internos ) 2x = 55° + 3° x = 58°/2

L2

\ x = 29°

LS

II. ÁNGULOS CORRESPONDIENTES (Ambos tienen igual medida)

I. ÁNGULOS EN ALTERNOS INTERNOS (Sus medidas son iguales)

L1

L1

L2

L2

L1

L1

L2

L2


f f

a

L1 L2

a

39

Ángulos e n par alelIsmo de rec tas Resolución:

x

L1

f

a

L2

f

56°

m

56°

a

n

x + 56° = 180°.....(par lineal) x = 180° - 56° \ x = 124°

Ejemplos: 3. Si las rectas "m" y "n" son paralelas, encuentra el ángulo "x".

III. ÁNGULOS CONJUGADOS INTERNOS (sus medidas suman 180°)

L1

80°

m

L2

3x+5°

n

L1

a b

Resolución:

a + b = 180° L2

3x + 5° = 80° .......... ( Ángulos Correspondientes ) 3x = 80° - 5° x = 75°/3

\ x = 25°

f q

4. Si: L1

5x + 30°

L1

Ejemplos: 1.

L2

q + f = 180° L2

L2 ; calcular el ángulo "x".

130°

L1

S i :

L1


L1

Resolución: 5x + 30° = 130°........ (Ángulos Correspondientes) 5x = 130° - 30° x = 100°/5 \ x = 20°

L2 Resolución:

5. Si: m // n , calcular el ángulo "x".

x 56°

L1 L2

m n

2x + 130° = 180° ......(Conjugados Internos) 2x = 180° - 130° x=

50° 2

\ x = 25° 40


GEOMETRÍA 2. Si: L1

ÁNGULOS COMPLEMENTARIOS


Son dos ángulos cuya suma de sus medidas es igual a 90°. 150°

L1

2x + 10°

L2

EL COMPLEMENTO C(x) DE UN ÁNGULO "x"

C(x) = 90° - x Ejemplos: C(37°) = 90° - 37° = 53°

Resolución:

C( 60°) = 90° - 60° = 30° L1 L2

C(10°) = 90° - 10° = 80° ÁNGULOS SUPLEMENTARIOS

150° + 2x + 10° = 180° ... (Conjugados internos) 2x = 180° - 160° x=

20° 2

\ x = 10°

Son dos ángulos cuya suma de sus medidas es igual a 180°. EL SUPLEMENTO S(x) DE UN ÁNGULO "x"

S(x) = 180° - x Ejemplos: S(135°) = 180° - 135° = 45° S(120°) = 180° - 120° = 60° S(80°) = 180° - 80° = 100°


41

Ángulos e n par alelIsmo de rec tas

1. Si el complemento de la medida de un ángulo es igual a 30°. Encuentra la medida de dicho ángulo. Resolución:

2. Si el suplemento de la medida de un ángulo es igual a 50°. Halla la medida de dicho ángulo. Resolución:

3. Si la medida de un ángulo es el doble de su complemento. ¿Cuál es la medida del ángulo ? Resolución:

4. Si L1

L2 ; calcular el ángulo "x". Resolución: 116°

L1 L2

2x°

5. Si: m // n ; calcular "x". Resolución: m n

42

120° 2x + 20°


GEOMETRÍA

Practiquemos Bloque I

Bloque II

1. Si: a // b ; calcular el ángulo "x".

1. Si: a // b , calcular el ángulo "x".

a 3x°

a) 7° d) 11°

b b) 9° e) 12°

a

44° x 26°

153°

a) 60° d) 74°

c) 10°

b

b) 70° e) 80°

c) 72°

2. Si: m // n , calcular "x".

2. En la figura calcular "x", si: m // n . 40°

m

n

° -x 4 2°

a) 10° d) 13°

b) 11° e) 14°

c) 12°

3x° - 1° 71°

n

b) 20° e) 24°

c) 22°

b) 30° e) 53°

a) 46° d) 60°

b) 30° e) 45°

c) 37°

m

40° 100° a) 37° d) 60°

n

b) 45° e) 75°

c) 54°

4. En la figura calcular "x", si: m // n . 30° a+10° 40° x a+20°

c) 35° a) 60° d) 75°


c) 54°

x

5. Si el suplemento de un ángulo es el triple de la medida de su complemento, calcular la medida de dicho ángulo. a) 25° d) 40°

b) 50° e) 70°

m

4. Calcular la medida de un ángulo cuyo suplemento y complemento suman 210° . a) 25° d) 45°

n

x

3. En la figura calcular "x", si: m // n .

3. Si: m // n , calcular el ángulo "x".

a) 18° d) 23°

m

16° x° +

b) 65° e) 80°

m

n

C) 70°

43

Ángulos e n par alelIsmo de rec tas 5. ¿Cuál es la diferencia entre el suplemento y el complemento de un ángulo cualquiera? a) 80° d) 120°

b) 90° e) 135°

3. Calcular "x", si: a a

c) 100°

c.

b

68° f

b x

f

c

Bloque III a) 130° d) 146°

1. En la figura, si: a // b , calcular "x".

130°

b) 136° e) 152°

c) 140°

4. Calcular "x", si: a // b .

110°

a

160°

a

x

60°

b x

a) 10° d) 25°

b) 15° e) 30°

c) 20°

2. En la figura mostrada, hallar "x".

a) 10° d) 40°

b) 20° e) 50°

E m

x C

b) 50° e) 70°

c) 53°

n n

A

a) 43° d) 46°

44

c) 30°

5. Si: a // b y la medida del ángulo ABC es agudo, calcular el menor valor entero impar de "x".

20° 50°

a) 45° d) 60°

b

b) 44° e) 47°

a

m D

B

b

c) 45°


GEOMETRÍA

Tarea domiciliaria 1. Si: L1 // L2, calcular “x°”..

6. Calcular: a° + b°, si: L1 // L2 .

80°

120°

L1

35° a°

115°

b°

L2

x°

150°

2. Si: L1 // L2 , hallar: m Ð AOB..

A

L1

50°

L2

7. Si: L1 // L2 y L3 // L4 , calcular “a° + b°”..

L1

L1

L2 L3

O

110° B

a°

b°

L2

L4 3. Si: L1 // L2 , calcular “x°”.. 8. Si: AB // FG , calcular “x°”.. x°

140°

L1 x° A

L2

B

G

9. Calcular “x°”, si: L1 // L2 .

30° 75° x°

80°

F

4. Si: AB // CD , calcular “x°”..

A

B

60°

D

x°

L2

10.Si: L1 // L2 y a° + b° = 160°, calcular “x°”..

5. Si: L1 // L2 , calcular “x°”..


L1

120°

144° C

41° 67° 32° 36° x°

100°

b°

L1

x°

L1

60°

L2

a°

L2

45

Ángulos e n par alelIsmo de rec tas 16.Si: m Ð AOB = 90° y L1 // L2 , calcular “a°”..

11.Si: L1 // L2 , calcular “x°”.. 9x°

L1

8q°

B

a°

L2

12.Si: L1 // L2 , calcular “a°”..

L2

17. Calcular “x°”, si: L1 // L2 . x°

160° 4a° 3a°

L1 60° 100° 80° 40° L2

2a° a°

L2

L1

A O

q° 2q°

L1

5a° + 10°

13.En el gráfico: L1 // L2 y w° - q° = 130°, calcular “x°”.. 18.Calcular “x°”, si: L1 // L2 . L1

q°

a° a°

x°

w°

130° x°

L2

b°

110°

b° 14.En la figura mostrada: L1 // L2 , calcular “a°”.. a° a° a°

a°

L2

19.Calcular “a°”, si: L1 // L2 .

L1

L1

130° 2a° L2

15.En la figura: b° - a° = 75°, L3 // L4 , L1 // L2 , calcular: “x°”. x°

L1

L1

150°

L2

20.Calcular “a°”, si: L1 // L2 . L1

140° 2a°

b° L3

46

150°

L2

L2

L4


GEOMETRÍA 26.En la figura: L1 // L2, calcular “x°”..

21.Calcular “x°”, si: L1 // L2 .

50°

L1

L1

x° q°2q°

2x°

2b° 114°

L2

22.Calcular “x°”, si: m // n y p // q .

m

n q° q°

50°

L2 b°

27. Del gráfico: L1 // L2 y a° + b° = 160°. Calcular “x°”.. a° x°

p

L1

x° a°

a°

q

28.Calcular “x°”, si: L1 // L2 .

23.Calcular “a°”, si: L1 // L2 y L3 // L4 .

q° 3a°

L3

L1

2q°

q°

L1

b°

L2

x°

2b°

q° a°

L2

b°

L2 L4

29.En la figura, calcular “x°”, si: L1 // L2 . 24.En la figura: L1 // L2 y L3 // L4 . Calcular “q° - a°”.. x°

138° q°

L1 L3

a°

L1 L2

45° 2a°

a°

L2 L4

25.En la figura calcular “x°”, si: BC = CE = BE. B

C

x°

A a° 36°

2x°

E


a°

D

47

C

OT ROS SISTEMAS PARA LA MEDICIÓN DE

ap ít ul

o

COLEGIO

TRILCE

7

ÁNGULOS INTRODUCCIÓN

En las medidas de longitud podemos encontrar más de un sistema como se muestra en el gráfico. 5,58 pies

1,70 m

66,95 pulg

De igual manera en las medidas angulares podemos encontrar más de un sistema de medición angular. El sistema que usamos en los capítulos anteriores es el sistema sexagesimal (S).

SISTEMA DE MEDIDAS ANGULARES Los sistemas de medidas angulares más usados son tres: SEXAGESIMAL, CENTESIMAL y RADIAL.

r O

1. Medida en grados sexagesimales Es el sistema más utilizado, que definimos al ángulo de una vuelta como aquel ángulo cuya medida es 360° (1°: Grado sexagesimal).

La medida de un ángulo

L

en radianes (número de

q r

radianes) viene expresado por: q = L R

Es decir, podemos definir un ángulo de un radián (1.rad) como el ángulo central que subtiende un arco cuya longitud es igual a la del radio. La medida de un ángulo de una vuelta es 2prad.

Donde:

1’ : Minuto sexagesimal 1’’ : Segundo sexagesimal

2. Medida en grados centesimales

Observaciones i)

En este sistema definimos al ángulo de una vuelta cuya g g medida es 400 (1 : Grado centesimal). 360° <> 400

O

Donde:

g

<> 2pRad

m

1s : Minuto centesimal 1 : Segundo centesimal

3. Medida en radianes Consideremos un ángulo que mide “q” y dibujemos una circunferencia de radio que mide “r” y el vértice del ángulo en su centro “O”, sea además “L” la longitud del arco de la circunferencia que se genera.


ii) g

180° < > 200 < > prad

O

49

Otros sistemas para la medición de ángulos iii)

iv)

90° < > 100

g

9° < > 10

g

O

O

1. Expresar en el sistema radial: 24° Resolución:

2. Expresar en el sistema centesimal: 36° Resolución:

3. Expresar en el sistema sexagesimal: p rad 36 Resolución:

4. Expresar en el sistema sexagesimal: Resolución:

p rad 4

5. Expresar en el sistema sexagesimal: 70

g

Resolución:

50


GEOMETRÍA

Practiquemos Bloque II

Bloque I 1. Si se convierte 20° al sistema radial, se obtiene:

1. Hallar "x"

p Rad 12

5x° O

2. Al convertir 36° al sistema circular, se obtiene: 2. Hallar "x" Si: AB=BC B xg

3. Al convertir

p rad al sistema sexagesimal, se obtiene: 3

70°

A

C

3. En el gráfico: AB= BC. Hallar "a". B p Rad 3

4. Al convertir 60° al sistema centesimal, se obtiene:

4a°

A

C

4. Hallar "x" 5. Hallar "x" x°

20

g

xg 36°


51

Otros sistemas para la medición de ángulos 5. Hallar f

3. Calcular: F = 40g +

40 g

f°

p rad 3

p rad 12

en el sistema sexagesimal.

4. Las medidas de dos ángulos complementarios se p diferencian en rad . Determinar la medida del mayor,, 5 en sexagesimales.

Bloque III 1. Los ángulos agudos de un triángulo rectángulo miden g

(17x + 2)° y 20(x + 1) . Calcular “x”.

2. Calcular: p rad + 50 g 4 en el sistema sexagesimal. E=

5. Las medidas de los ángulos de un triángulo son proporcionales a 3; 5 y 7. Determinar la medida del menor en radianes.

Tarea domiciliaria g

1. Convertir 60 al sistema radial.

2. Convertir

p rad al sistema centesimal. 40

3. Convertir 72° al sistema centesimal. 4. Convertir 45° al sistema radial. 5. Convertir 10° al sistema radial. 6. Convertir 80° al sistema radial.

12.Convertir 20° al sistema radial. 13.Convertir 70° al sistema centesimal. g

14.Convertir 40 al sistema radial. 15.Calcular “x”, si: (8x + 6)° =

3p rad 10

16.Calcular “x”, si se cumple: (7x + 5)° = 10(x - 1)

g

7. Convertir


17. Calcular “x”, si: 3(x + 5)° =

8. Convertir


18.Hallar la medida de un ángulo interior de un triángulo equilátero en el sistema centesimal.

p 9. Convertir rad al sistema sexagesimal. 9

10.Convertir 40° al sistema radial. g

11.Convertir 50 al sistema centesimal.

52

xp rad 30

19.Calcular “m”, sabiendo que: (5m - 2)° = (6m - 4)g 20.Expresar en el sistema radial: 20° 21.Expresar en el sistema radial: 40° y 60° Tercer Año de Secundaria

GEOMETRÍA 22.Al convertir 36° al sistema radial se obtiene: 23.Expresar en el sistema sexagesimal: 30

g

24.Las medidas de dos ángulos de un triángulo suman g 130 . Determinar el complemento del tercero. 25.Los ángulos internos de un triángulo miden: g

p æ 20 ö (14x)°, ç x ÷ y rad 3 3 è ø

Calcular “x”. 26.La suma de las medidas de dos ángulos es igual a 54° p y la diferencia de las mismas es igual a rad. Indicar 10 la medida del mayor ángulo en sexagesimales.


27. El mayor ángulo agudo de un triángulo rectángulo mide 2p rad, indicar la medida del menor ángulo en 5 sexagesimales. 28.Las medidas de dos de los ángulos de un triángulo son 5p y 55°, indicar la medida del tercer ángulo en 12 sexagesimales. 29.El doble del número de grados sexagesimales disminuido en el número de grados centesimales del mismo ángulo es igual a 120. Determinar la medida en radianes de dicho ángulo. 30.El número de grados centesimales excede en 6 unidades al número de grados sexagesimales del mismo ángulo, indicar la medida radial de dicho ángulo.

53

BIMESTRAL

C

REPASO

ap ít ul

o

COLEGIO

TRILCE

8

1. Hallar: m Ð AOD, si OD es bisectriz del ángulo COE. C

Resolución:

B D 40°

A

O

2. Si: L 1 // L 2 y el

E

ABC es equilátero, calcular “x°”.. x°

L1

B

Resolución:

A 160°

L2

C

3. Calcular “a°”, si: AB = CD.

2a°

B

A

D 8a°

Resolución:

12a°

2a°

C


55

Rep as o bi me st ra l

4. Calcular “x°” B

Resolución:

40° I A

a° a°

x°

q° q°

C

5. Calcular la diferencia entre el suplemento de 48° y el complemento de 32°. Resolución:

6. El equivalente de 54° en el sistema radial es: Resolución:

g

7. En un triángulo los ángulos interiores miden: 160 ; Resolución:

p rad y "x°". Calcular “x°”.. 10

8. Sobre una recta se ubican los puntos consecutivos “A”, “B” y “C”, de tal forma que: BC - AB = 12m. Calcular “BP”, siendo “P” punto medio de MN ; “M” y “N” puntos medios de AB y BC respectivamente. Resolución:

56


GEOMETRÍA 9. Se tiene los ángulos consecutivos AOB, BOC y COD. Hallar la medida del ángulo formado por las bisectrices de los ángulos AOB y COD, si: m Ð AOC = m Ð BOD = 72°. Resolución:

10.Se tiene los ángulos consecutivos AOB, BOC y COD, tal que los ángulos AOC y AOB son complementarios, y m Ð AOD + m Ð AOB = 130°. Hallar: m Ð DOC. Resolución:


2. Si: L1 // L2 , calcular “x°”..

1. Si: L1 // L2 , calcular "x°".

L1 2q°

L1 100° x°

a) 30° d) 60°

L2

L2

q° x°

2a° a°

150°

b) 40° e) 20°

c) 50°


a) 50° d) 100°

b) 60° e) 120°

c) 80°

57

Rep as o bi me st ra l 3. Si: L1 // L2 , calcular “x°”..

2. En la figura adjunta AB , CD y EF son paralelas, m Ð FEB = 65° y m Ð EBD = 25°. Hallar: m Ð CDB..

L1 2x°

E

4x°

L2 a) 15° d) 45°

b) 20° e) 60°

C

F

D

c) 30°

A

B

a) 130° d) 160°

4. En la figura: L1 // L2 , calcular “x°”.. L1

x° 3x°

c) 150°

3. Sobre una recta se toman los puntos consecutivos “P”, “X”, “Q”, “R” y “S”. Sabiendo que “X” es punto medio de PR y:

4x° 7x°

b) 140° e) 170°

(PR )2 = 289m 2 4

(PS)(RS) +

L2

calcular “XS”. a) 10° d) 16°

b) 12° e) 18°

c) 15°

a) 11m d) 17m

b) 13m e) 19m

c) 15m

5. Si: L1 // L2 , calcular “x°”..

x°

L1 2x°

a) 120° d) 90°

120°

a) 20° d) 50°

b) 30° e) 60°

4. Dado el par lineal AOB y BOC, se trazan las bisectrices OM y ON de los ángulos AON y BOC respectivamente. Si: m Ð MOB = 60°, hallar: m Ð MOC.

L2

c) 40°

c) 100°

5. Dados los ángulos consecutivos AOB, BOC y COD. Calcular el suplemento de la medida del ángulo AOD, sabiendo que los ángulos AOC y BOD son suplementarios, m Ð DOC = 2(m Ð AOB) y m Ð BOC = 42°. a) 21° d) 34°

Bloque II

b) 80° e) 70°

b) 36° e) 28°

c) 42°

g

1. Sabiendo que: 63° <> (a + 2)(b - 2) , calcular:

E = 3 2a - b a) 1 d) 4

58

b) 2 e) 5

c) 3


GEOMETRÍA

Tarea domiciliaria 1. Sobre una recta se ubican los puntos consecutivos “A”, “B”, “C” y “D”. Calcular “BC”, si: AD = 25m, AC = 20m y BD = 21m. 2. Sobre una recta se toman los puntos consecutivos “K”, “L”, “M” y “N”. Calcular “KN”, si: KM = 20m, KN + MN = 120m.

9. Si el complemento de “x°” es igual a “4x°”, calcular “x°”. 10.Calcular “a°”

a°

3. Sobre una recta se ubican los puntos consecutivos “A”, “B”, “C” y “D”, se ubica “M” y “N” puntos medios de AB y CD respectivamente. Calcular “MN”, si: AC + BD = 100m. 4. Sobre una recta se ubican los puntos consecutivos “A”, “B”, “C” y “D”, tal que: CD = 4AC. Calcular “BC”, si: BD - 4AB = 80m. 5. Sobre una recta se ubican los puntos “A”, “B” y “C” consecutivos. Sea “M” punto medio de AB ; “N” punto medio de BC y “P” punto medio de MN . Calcular “BP”,, si: BC - AB = 24m. 6. Si: OM es bisectriz, calcular “x°”..

70° 150°

11.Si: L1 // L2 , calcular “x°”..

L1

x° 110°

L2

12.Si: L1 // L2 , calcular “x°”..

x° + 10° 2x° M

25 °

O

35°

A

L1

B


x°

L2

13.En la figura, calcular “x°”, si: L1 // L2 . 5x°

L1

82°

68° x°

x°

14.Calcular “x°” en la figura, si: L1 // L2 .

8. Si: L1 // L2 , calcular “a°”..

15a° - 20° 2a° + 30°


L2

L1

L2

150°-2a° x°

L1

8a°+10° a°+20°

L2

59

Rep as o bi me st ra l 15.Calcular “a°”, si: L1 // L2 .

24.Calcular “a + b”, si: a°b’ = 369’ .

3a° + 12° L 1 2a° + 9°

g

25.Convertir 20 al sistema radial. 26.Calcular “x°”

3a° - 5° a°

4a° + 12°

x°

L2 x°+20°

16.Calcular “x°”, si: a° + b° = 235°. Además: L1 // L2 .

3x°

27. Calcular “q°”

L1

q°+30°

a° 2q°

b° L2

2x°

18°

28.Calcular “x°” 110°

17. En la figura: L1 // L2 , calcular “a°”.. L1

a°

x°

70°

29.En la figura, calcular el valor de (x° - y°).

a° a°

L2

y° a° a°

18.Se tienen dos ángulos suplementarios, siendo uno de ellos el triple del otro. Calcular la diferencia entre ellos. 19.El suplemento del complemento de un ángulo que mide “q°” y el complemento de 3q° suman 130°. Hallar el complemento de “q°”.

30.En la figura mostrada, calcular “q°”, si: AB = BD. B 45 °

21.Convertir 10 al sistema sexagesimal. 0

o

23.Calcular “a”, si: 2a = (a - 4)0

w° w°

g

22.Hallar “a - b”, si: ab = (a + b)0

x°

q° q°

58°

20.Convertir 50° al sistema centesimal.

60

x°-26°

g

A

q°

D

30°

C

g


Geometria II

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