Geom Ge omet etrr´ıa Eu Eucl´ cl´ ıdea ıd ea Plan Pl ana a Primer Cuatrimestre 2005
Elementos b´ asicos
Introducci´ on on
1
1. Incidencia Incidencia y separaci´ separaci´ on on
2
2. Longitudes de segmentos y medidas de ´ angulos
6
3. Igualdad de tri´ angulos
8
4. Relaciones Relaciones entre los ´ angulos angulos y lados del tri´ angulo
9
5. Tri´ angulos rect´ angulos
10
6. Construcciones y lugares geom´ etricos
11
7. Rectas paralelas
14
8. Cuadri Cuadril´ l´ ateros
15
9. Quebradas y pol´ıgonos
17
Bibliograf´ıa
19
Introducci´ on on Cuando tratamos de hacer una demostraci´on, on, debemos deb emos saber sab er qu´e es lo que suponemos supon emos conocido, cono cido, en qu´e nos apoyamos ap oyamos para hacer determinadas afirmaciones. Rastreando hacia atr´as, as, llegamos a una serie de afirmaciones que tenemos que suponer v´alidas. alidas. Estas afirmaciones se llaman axiomas o postulados de la teor teo r´ıa. ıa . Euclides de Alejandr´ Ale jandr´ıa, ıa, unos u nos 300 3 00 a˜ a nos n ˜os a.C., propuso un tratamiento tratamiento de la geometr´ geometr´ıa conocida en ese entonces, bas´andose andose en definiciones, postulados y nociones comunes (ver [Euc, Hea]) a partir de los cuales se deducen los resultados. Euclides presenta cinco postulados, que hoy llamar´ llamar´ıamos axiomas:
I. Dados dos puntos distintos se puede trazar una recta por ellos. II. Una (fragmento (fragmento de) l´ınea recta se puede puede extender indefinidamente. III. Dados dos puntos, se puede trazar una circunferencia con centro en uno y que contenga al otro. IV. Todos los ´ angulos rectos son iguales.
P´ ag. 2
V. Si una recta corta a otras dos formando ´ angulos correspondientes internos que sumen menos de dos ´ angulos rectos, estas dos rectas (extendidas indefinidamente) se cortan en un punto que est´ a del mismo lado donde los ´ angulos correspondientes suman menos de dos rectos. El quinto postulado se conoce como de las paralelas , ya que tiene la formulaci´on on equivalente, a veces llamada de Playfair : (1)
Dados una recta y un punto no en ella, se puede trazar una ´ unica paralela a la recta que pasa por el punto. En este cap´ cap´ıtulo presentamos axiomas para fundamentar la geometr´ geometr´ıa que estudiaremos, de alguna forma parecidos a los postulados de Euclides. Un sistema axiom´atico atico debe presentar propiedades de consistencia , consistencia , i.e. que las propiedades no se contradicen entre s´ı, e independencia , independencia , i.e. que unas propiedades no se deducen de otras. Los matem´ matematicos a´ticos realizaron esfuerzos durante siglos tratando de demostrar que el postulado de las paralelas se deduce de los otros postulados y nociones comunes. El mismo Euclides posterga el uso de este axioma lo m´as as posible (hasta la proposici´on on I.29), a´ un cuando ciertas demostraciones un anteriores se podr´ıan ıan simplificar con su uso. Finalmente, N. Lobachevsky en 1829 y J. Bolyai en 1832, publicaron independientemente geometr´ metr´ıas en el que este e ste quinto postulado postul ado se reemplaza por otro, o tro, (2) demostrando demostra ndo as´ as´ı la l a independencia indep endencia del postulado de las paralelas respecto de los otros axiomas en Euclides. En otra l´ınea bastante distinta, a trav´ trav´es es de los a˜nos nos se fue observando que algunas de las demostraciones en Euclides depend´ depend´ıan de nuestra concepci´on on f´ısica y no se basaban basaban en los postulados. Una de las primeras es la proposici´on on I.4 de Euclides, que luego se tom´o como axioma adicional (el axioma V nuestro sobre igualdad de tri´angulos). angulos). No obstante, hacia fines del siglo XIX una gran sorpresa fue dada por M. Pasch quien mostr´o que varios resultados, como por ejemplo nuestro teorema 1.11, no se deducen de los axiomas y postulados de Euclides, dando lugar al axioma II sobre separaci´on. Las ideas de Pasch fueron desarrolladas posteriormente por D. Hilbert quien en su Grundlagen der Geometrie (fundamentos de la geometr´ geometr´ıa) de 1899 propuso un sistema de axiomas que finalmente puso en una base firme a la geometr´ıa ıa eucl´ıdea. ıdea. Que hayan pasado m´ as as de 2000 a˜ nos hasta que se determinara la independencia de los postunos lados o se descubrieran algunas fallas en la presentaci´on de Euclides, nos hace pensar que no tiene sentido sentido poner un sistema sistema absolutame absolutamente nte riguroso riguroso y formal formal en un curso introductor introductorio. io. Por lo tanto, tanto, en este curso no pretendem pretendemos os una extrema extrema rigurosida rigurosidad d (lo cual llevar llevar´´ıa demasiado tiempo y nos alejar alejar´ıa de los objetivos). objetivos). Mucho Mucho menos abordaremos abordaremos temas temas de consistenc consistencia ia o independencia de los axiomas presentados. En cambio, trataremos de ubicarnos en un punto intermedio entre lo formal y lo intuitivo, siguiendo la presentaci´on on del libro de Pogor´elov elov [Pog], quien a su vez simplifica la axiom´atica atica de Hilbert y otros que le siguieron. Como Euclides, Euclides , Pogor´ Pogo r´ elov elov retrasa r etrasa lo m´ m ´as as posible el uso del axioma de las paralelas, presentado aqu´ aqu´ı como axioma VI, por p or lo que los resultados hasta nuestra secci´on on 7 no dependen depen den de aqu´el. el. A prop´ osito, osito, pr´acticamente acticamente todos los resultados de nuestra secci´on 7 (como 7.1, 7.3, 7.5 o 7.9), o el teorema de Pit´agoras, agoras, son equivalentes al axioma de las paralelas (suponiendo los otros axiomas).
1. Incidencia y separaci´ on on A partir de la fundamentaci´on on de Hilbert, Hilbert, se han clasificado clasificado las geom geometr etr´´ıas de acuerdo acuerdo a los axiomas axiomas que se toman. toman. Con algo similar a nuestro nuestro axioma axioma I se obtiene obtiene una geometr geometr´´ıa de incidencia si se incluye unicidad o abstracta si no. Al agregar axiomas de separaci´on on (similares
(1)
Por John Playfair (1748–1819). En realidad Proclus (411–485 d.C.), a trav´es es de cuyos Comentarios conocemos la obra de Euclides, ya la hab´ hab´ıa formulado, y el mismo Playfair establece claramente que se basa en Proclus. (2) Seg´ un un el mismo C. F. Gauss, ´el no se atrevi´o a presentar resultados similares por temor a la reprobaci´on on de los matem´ aticos aticos de su ´epoca. epoca. Algo de raz´on on tendr´ tendr´ıa: la Academia de Ciencias de San Petersburgo rechaz´ o el trabajo de Lobachevsky, quien tuvo que publicarlo en una revista de menor prestigio.
1. Incidencia y separaci´ on
Pag. ´ 3
a nuestro axioma II), se obtiene una geometr´ geometr´ıa de Pasch , midiendo angulos a´ngulos y distancias distancias entre puntos (contemplados en los axiomas III y IV), I V), obtenemos una geometr´ geometr´ıa m´etrica etri ca de transp tran sporortador . En fin, agregando el axioma V obtenemos una geometr´ geometr´ıa neutral y agregando el VI una eucl´ eu cl´ıdea ıd ea . Separaremos las secciones seg´un un un esquema similar, introduciendo los axiomas a medida que avanzamos y son necesarios.
Usaremos • para agregar incisos en definiciones, con
indicamos indicamos observaciones observaciones y comentari comentarios os (en letras letras m´ as peque˜ nas),
mientras que en k
ponemos una un a s´ s´ıntesis ıntes is de las la s ideas en las l as demostraciones demost raciones (tam( tambi´en en en letras m´ as peque˜ nas).
Axioma I. 1. Cualquiera Cualquiera que sea la recta, recta, existen puntos puntos que perte p ertenecen necen a la recta recta y puntos puntos que no pertenecen a la recta. 2. Cualesquie Cualesquiera ra que sean dos puntos (distintos), (distintos), existe existe una —y s´ olo una— recta que pasa por olo estos puntos. 1.1. Teorema (1.1 en [Pog]). Dos rectas diferentes no se cortan o se cortan en un ´ unico punto. k
Usa el axioma I.2.
Axioma II. 1. De tres puntos distintos de una recta, uno —y solamente uno— de ellos se halla entre los otros dos.
Se eestable stablece ce as a s´ı una un a relaci´ re laci´on on entre tres puntos alineados , alineados , i.e. que est´ an an en una misma recta.
1.2. Definici´ on. on. Si los puntos (distintos) A,B,C se A,B,C se encuentran en una recta y B est´a entre A y C , diremos que A y C est´ an a distintos lados de B , o que B separa a A y B .
Las definiciones que damos en general no son muy rigurosas, m´as bien son explicaciones, como las de palabras en el diccionario.
Axioma II (continuaci´ on). on). 2. Un punto A en una recta la divide en dos partes llamadas semirrectas (o rayos ), ), de modo que todo punto de la recta distinto de A est´ a en alguna de las dos. A separa a dos puntos en distintas semirrectas, pero no separa puntos de una misma semirrecta. 1.3. Definici´ on. on. El punto de la recta que produce la divisi´on on en dos semirrectas se llama origen de (cada una de) las semirrectas. • Las dos semirrectas as´ı obtenidas se llaman complementarias u opuestas .
El axioma II.2 no precisa si el origen pertenece a ambas semirrectas o a ninguna.
1.4. Definici´ on. on. Dados los puntos A y B , con A = B , se llama segmento AB a los puntos de la recta por AB que est´an an entre A y B .
P´ ag. 4
• A y B son los extremos del segmento AB. AB .
Observar que el orden de los extremos no es importante para determinar el segmento AB. AB . Tomada la definici´on on literalmente, literalm ente, un segmento no incluir´ incluir´ıa a sus extremos. extre mos.
1.5. Teorema (1.2 en [Pog]). El segmento AB es una parte de la semirrecta AB. AB . k
Usa axioma II.1 y II.2.
Axioma II (continuaci´ on). on). 3. Toda recta divide al plano en dos semiplanos , de modo que todo punto del plano que no est´a en la recta est´a en alguno de ellos. Si los extremos de un segmento cualquiera pertenecen a un semiplano, el segmento no corta la recta. Si ambos extremos del segmento pertenecen a diferentes semiplanos, el segmento corta a la recta.
Como en el caso del origen de una semirrecta, no queda claro si la recta pertenece a ambos semiplanos o a ninguno. Cuando dos puntos est´an an en distintos semiplanos, semi planos, tambi´en en decimos que la recta separa los dos puntos. Es usual denotar semiplanos con letras min´ usculas, a veces griegas como α o π . usculas,
1.6. Teorema (1.3 en [Pog]). Si por el punto A de origen de la semirrecta AB se traza una recta a que no pase por el punto B , toda la semirrecta AB estar´ a en un semiplano respecto a la recta a (el semiplano en el que est´ a ubicado B ). k
Si C est´ a en la semirrecta AB, AB , el segmento BC est´ a contenido en la recta AB que corta a a s´ olo olo en A pero A deja de un lado a B y C y no puede estar en el segmento segmento BC . BC . Por axioma II.3, C est´ a en el mismo semiplano que B .
1.7. Corolario (1.4 en [Pog]). Si por el extremo A del segmento AB se traza una recta a que no pase por el punto B , todo el segmento AB quedar´ a situado en un semiplano respecto a la recta a (el semiplano en el que est´ a ubicado B ). k
Usa 1.1 y 1.6.
1.8. Definici´ on. on. Dadas dos semirrectas distintas a y b con un origen com´ un un O, se llama angulo ´ a la figura formada por las semirrectas. • O es el v´erti rt ice del angulo. ´angulo. • a y b son sus lados . • Si a y b son semirrectas opuestas, el ´angulo angulo se dice llano. llano .
Si pens´ aramos a la figura como llena, podr´ aramos podr´ıamos decir que un ´angulo angulo es la intersecci´ on on de dos de los semiplanos determinados por las rectas que contienen a sus lados, como hacen algunos autores. Aqu´ Aqu´ı queda la ambig¨ uedad uedad sobre si el ´angulo angulo es lleno o no, pero en general pensaremos que un ´angulo angulo es s´ olo olo un v´ ertice ertice y dos lados.
1.9. Definici´ Definici´ on. on. Un tri´angulo angulo es una figura formada por tres puntos no alineados y los tres segmentos que unen esos puntos de a pares. • Los puntos se denominan v´erti er tices ces y los segmentos lados del tri´angulo. angulo. • En un tri´angulo angulo se forman tres ´angulos angulos llamados angulos ´ del tri´angulo. angulo.(3)
(3)
Nuevamente queda la duda sobre si un tri´angulo es lleno o no, i.e. si incluye su interior. En general pensamos que no, es decir, est´a formado s´ olo olo p or tres v´ ertices ertices y tres segmentos. Cuando veamos ´area, area, cambiaremos el punto de vista
¡Curiosamente! ¡Curiosa mente! De all´ı el nombre de d e tri´angulo, angulo , pero podr po dr´ ´ıa hab erse llamado llam ado tril´ atero atero (como en cuadril´ ateatero).
1. Incidencia y separaci´ on
Pag. ´ 5
Es usual indicar con letras en min´usculas usculas a los lados opuestos a los v´ertices ertices indicados con letras may´ usculas: usculas: si los v´ ertices ertices son A , B , C , los lados ser´ an an a = BC , BC , b = AC , c = AB. AB . Pero esta convenci´ on on no es obligatoria.
1.10. Teorema. Ning´ un angulo ´ de un tri´ angulo es llano, i.e. cualquier ´ angulo de un tri´ angulo es menor que 180 . ◦
k
Los v´ ertices ertic es no est´an an alineados.
1.11. 1.11. Teorema eorema (2.1 (2.1 en [Pog]) [Pog]).. Si una recta a, que no pasa pasa por ninguno ninguno de los v´ ertices ertices del tri´ angulo ABC , ABC , corta a su lado AB, AB, entonces entonces tambi´ en en corta a uno —y s´ olo uno— de los lados BC o AC . k
Por axioma II.3, A y B est´ an en distintos semiplanos respecto de a, y C est´ an a en alguno, usar nuevamente II.3 con C y el punto (A ( A o B ) que est´a en distinto semiplano.
1.12. Definici´ Definici´ on. on. Si a, b y c son semirrectas distintas que tienen el mismo origen, y a y b no son opuestas, diremos que c pasa entre los lados del ´angulo angulo ∠ ab si c corta un segmento AB cualquiera cuyos extremos se hallan en los los lados del ´angulo (y no coinciden coincid en con co n el v´ ertice). ertice).
No queda clara la redacci´on on con el
cualquiera. Podr´ıa ıa entenderse entender se como
[...] corta a alg´ un segmento AB (cualquiera) cuyos [...] o [...] corta a todo (cualquier) segmento AB cuyos [...] Supondremos que es la primer interpretaci´on on y —apart´andonos andonos un poco de Pogor´ elov— elov— demostraremos que entonces vale la s egunda. Parece clar o que si vale la segunda, tambi´en en vale la primera.
Si ∠ ab es llano, llano, cualquier cualquier rayo que parte parte del v´ertice ertice (y no coincide coincide con alguno de los lados) pasa entre los lados del ´angulo. angulo. 1.13. Lema. Si las rectas a y b se cortan en O, entonces las semirrectas opuestas determinadas por O en b est´ an en distintos semiplanos respecto de a. k
Si las semirrectas son b y b , y B ∈ b , B ∈ b (B , B = O), como O est´a entre B y B , el segmento B B corta a a (en O), y usamos II.3 y 1.6.
1.14. Teorema (2.3 en [Pog], con agregados). Si el rayo c pasa entre los lados del ´ angulo ab, en el sentido de que corta a alg´ un segmento AB con A ∈ a y B ∈ b ( A y B distintos del ∠ ab, v´erti er tice ce de ∠ ab), ab), la recta que contiene el rayo c separa los lados del ´ angulo, i.e. las semirrectas a y b se hallan en distintos semiplanos respecto a la recta que contiene al rayo c. M´ as a´ un, b y c se encuentran en un mismo semiplano respecto de la recta que contiene a a. k
A y B se encuentran en distintos semiplanos respecto de la recta r que contiene a c (II.3); y por 1.6, a est´ a en un semiplano respecto de r y b en el otro. Del mismo modo, si C es el punto de intersecci´on on del segmento AB con c, C est´ a en el mismo semiplano que B respecto de la recta a (pues BC puede cortar ´ unicamente unicamente a a en A, pero A deja de un mismo lado a B y C ), ), y usamos 1.6 con c y C .
1.15. Teorema. Si el rayo c pasa entre los lados del ∠ ab, ab, en el sentido de que corta a alg´ un segmento AB con A con A ∈ a y B y B ∈ b ( A y B distinto dist intoss del de l v´ertice ert ice de ∠ ab), ab), y ∠ ab no es llano, entonces c corta a cualquier segmento con un extremo en cada lado del ´ angulo (si los extremos no coinciden con el v´ertice ert ice del angulo). ´ k
Sean P ∈ a, Q ∈ b, c la semirrecta opuesta a c, y r la recta que contiene a c y c . Por 1.14, a y b est´ an en distintos semiplanos respecto de r, por lo que el segmento P Q corta a r en, an digamos, C . El segmento P Q est´ a en el mismo semiplano respecto de a que B (1.7), y entonces C (que es intermedio) tambi´en. en. Pero el semiplano semi plano respecto resp ecto de a que contiene a B es el mismo que contiene a b (1.6) y c (segunda parte de 1.14). Como C ∈ r y est´ a en el mismo semiplano respecto de a que c, no puede ser C ∈ c (1.13) y debe ser C ∈ c.
P´ ag. 6
2. Longitudes de segmentos y medidas de ´ angulos angulos Axioma III. 1. Todo segmento segmento tiene una longitud determinada determinada,, may mayor or que 0.
Impl´ Impl´ıcitamente ıcitamente estamos aceptando aceptando que se ha establecido establecido una unidad unidad de longitu longitud d , que podemos pensar como un cent´ cent´ımetro, o pulgada, pulgada, o milla n´autica, autica, etc., o, m´as a s en la filos lo sof´ıa eucl´ eucl´ıdea, que se fija un segmento arbitrario como de longitud longitud 1, con el cual los restantes restantes segmentos segmentos se comparan. comparan. No pondremos una notaci´on on especial para la longitud del segmento AB, AB , que seguiremos llamando AB. AB .
2. Si el punto C de la recta AB se halla entre los puntos A y B , la longitud del segmento AB es igual a la suma de las longitudes de los segmentos AC y BC . BC . 3. Todo ´angulo angulo tiene una medida en grados determinada, mayor que 0. El ´angulo angulo llano mide 180 . ◦
As´ As´ı como en el caso cas o de la longitud de segmentos, s egmentos, se sup one que hay una unidad de medida de ´ angulos que —a diferencia de aquel caso en el que no se especifica— se toma como grado. Por ahora, supondremos que las medidas de los ´angulos angulos est´ an an entre 0 y 180 . M´ as as adelante adelante ampliaremos las posibilidades posibilidades y consideraremos consideraremos otras unidades de medida de angulos. ´ angulos. ◦
◦
4. Si un rayo rayo c parte del v´ertice ertice de un ´angulo angulo formado por las semirrectas a y b, y pasa entre sus lados, la medida del ´angulo angulo ∠ ab es igual a la suma de las medidas de los ´angulos angulos ∠ ac y ∠ cb. cb. Axioma IV. 1. Cualquiera que sea el n´umero umero positivo , en una semirrecta se puede construir a partir de su punto de origen un segmento —y s´olo olo uno— de longitud .
Dada una recta y dos puntos sobre ellas indicados como origen y unidad, el axioma establece establece una correspondencia correspondencia biu bi un´ıvoca ıv oca entre puntos de la recta y n´umeros umeros reales. Si a es una recta, el axioma I dice que hay al menos un punto en a, pero no dice que haya dos. Habiendo tomado A ∈ a, por el axioma I.1, y usando II.2, con IV.1 podemos encontrar encontrar en realidad infinitos puntos en cada semirrecta (pues hay infinitos reales positivos). La observaci´ on on anterior tambi´ en en produce pro duce que dada una semirrecta haya una ´unica recta que la contiene, por el axioma I.1.
2. Cualquiera Cualquiera que sea el el n´ umero umero , 0 < < 180, a partir de una semirrecta dada y en el semiplano dado, se puede construir un ´angulo angulo —y s´ olo olo uno— de grados. 2.1. Definici´ on. on. Diremos que dos segmentos son iguales si sus longitudes lo son.
Esta definici´ on puede producir ambig¨uedades: on uedades: los segmentos segmentos AB y CD pueden pueden ser iguales porque sus longitudes lo son, y a la vez ser distintos o diferentes como conjuntos de puntos si, por ejemplo, los puntos A , B , C , D son todos distintos. distintos.
• Tambi´en en podemo p odemoss comparar com parar segmentos: uno ser´ s er´a mayor que otro si la medida del primero es mayor que la del segundo. 2.2. Definici´ on. on. La distancia entre dos puntos, A y B , se define como
0 longitud del segmento AB
si A = B , si A = B.
A fin de no generar m´as as notaciones,(4) indicaremos a la distancia entre A y B como AB, AB , interpretando que si A = B , el segmento AB tiene longitud longitud 0.
(4)
¡Que ya tenemos bastantes!
2. Longitudes de segmentos y medidas de ´ angulos
Pag. ´ 7
2.3. Definici´ on. on. Dos angulos ´angulos son iguales si sus medidas lo son.
Observar Observar que, a diferencia del caso de segmentos, segmentos, en la notaci´ on on ∠ ABC es importante el orden de las letras. Ver por ejemplo el ejercicio 1.4 de la pr´actica actica 2. Valen las mismas observaciones sobre las ambig¨ uedades que puede producir esta definici´on: uedades on: podemos tener ∠ ABC = ∠ DEF DE F porque sus medidas coinciden, pero los ´angulos angulos son distintos (en el sentido que podemos distinguirlos) si, por ejemplo, los puntos A , B , C , D , E , F son todos distintos.
• De la misma forma podemos comparar dos ´angulos, angulos, y decir que uno es mayor que otro si el primero tiene medida mayor que el segundo. 2.4. Teorema (1.5 en [Pog]). Si en una semirrecta AB se construye, a partir de su punto de origen A, un segmento AC de longitud menor que la del segmento AB, AB , C resultar´ a entre A y B . k
Usa axioma III.2 y axioma IV.1.
2.5. Teorema eorema (2.2 en [Pog]) [Pog]).. Si a partir de una semirrecta a se construyen en un mismo semiplano los ´ angulos ∠ ab y ∠ ac distintos, entonces o bien el rayo b pasar´ a entre los lados del angulo ´ a entre los lados del ´ angulo ∠ ab (pero no ambas cosas a la vez). ∠ ac o bien el rayo c pasar´ k
Usando semirrecta semirrecta a opuesta a a, se supone ∠ a b < ∠ a c, se construye un tri´angulo angulo A BA, BA , por 1.11 c debe cortar al segmento A B o al AB, AB , pero no puede cortar a AB pues por III.4 ser´ıa ∠ a c + ∠ cb = ∠ a b < ∠ a c.
De paso demostramos que el rayo correspondiente al menor de los ´angulos angulos pasa entre los otros dos, v´ıa adyacent adyacentes es que definimos definimos un poco m´as as adelante. adelante. Ver tambi´ tambi´ en en el ejercicio ejercicio 1.1 de la pr´ actica actica 2.
2.6. Definici´ on. on. Dos rectas (distintas) en el plano que no se cortan se dicen paralelas . • Para evitar evi tar problemas p roblemas,, tambi´en en diremos di remos que una u na recta r ecta es e s paralela par alela a s´ı misma. mis ma. • Cuando las dos rectas distintas se cortan, diremos que son secantes .
En las geom ge omet etr´ r´ıas ıa s no n o euc e ucl´ l´ıdea ıd eass el paralelismo se define de otra forma: pueden haber rectas que no se cortan y no son paralelas.
2.7. Definici´ on. on. Supongamos dadas las rectas r = AB, AB , s = CD y t = AC . Entonces los ´angulos angulos ∠ BAC y ∠ ACD se dicen: • Correspondientes Correspondientes internos si B y D se encuentran en un mismo semiplano respecto de t. • Alternos internos si B y D se encuentran en distintos semiplanos respecto de t. 2.8. Definici´ on. on. Dos ´angulos angulos son adyacentes si tienen un lado com´ un y sus otros dos lados son un semirrectas complementarias. complementarias. 2.9. Teorema (3.1 en [Pog]). La suma de ´ angulos adyacentes es 180 . ◦
k
Usa axioma III.4 y definici´on on de adyacentes.
2.10. Corolario. Si dos ´ angulos son iguales, tambi´ en en son iguales sus ´ angulos adyacentes. 2.11. Definici´ on. on. Dos ´angulos angulos son opuesto opue stoss por el e l v´ertice erti ce o verticales si los lados de un ´angulo angulo son semirrectas complementarias del otro. ´ 2.12. Teorema (3.2 en [Pog]). Angulos opuestos por el v´ ertice ertice son iguales. k
Son adyacentes comunes a un tercer ´angulo, y usar 2.9.
2.13. Definici´ on. on. Un angulo a´ngulo recto es un angulo ´angulo de 90 . ◦
2.14. Proposici´ on. on. El angulo ´ adyacente a uno u no recto recto tambi´en en es recto. recto.
P´ ag. 8
◦
◦
La suma es 180 y uno vale 90 .
k
2.15. Definici´ Definici´ on. on. Las rectas a y b se dicen perpendiculares si se cortan y los cuatro ´angulos angulos formados son rectos. 2.16. Teorema Teorema (3.3 en [Pog]). [Pog]). Por todo punto de una recta se puede trazar una —y s´ olo una— recta perpendicular a ella. Usa axioma IV.2.
k
3. Igualdad de tri´ angulos angulos 3.1. Definici´ Definici´ on. on. Dos tri´angulos angulos ABC y A B C son iguales si sus lados y sus ´angulos angulos correspondientes son iguales, i.e. si
a ) AB = A B , BC = B C , AC = A C , y b ) ∠ A = ∠ A , ∠ B = ∠ B , ∠ C = ∠ C .
Observar que —seg´ un un esta convenci´on— on— es importante importante el orden en que se dan los v´ ertices ertices de los tri´ angulos para determinar la igualdad. Por ejemplo, en general el tri´angulo ABC no es angulos igual al tri´angulo angulo BC A (ver ejercicio 1.4 de la pr´ actica actica 2).
Axioma V (primer criterio de igualdad de tri´ angulos, angulos, LAL ). Si en dos tri´angulos angulos ABC y A B C se tiene ∠ A = ∠ A , AB = A B y AC = A C , entonces los tri´angulos angulos son iguales.
Llamamos a este criterio
LAL por lado-´ angulo-lado. angulo-lado.
3.2. Teorema (segundo criterio de igualdad de tri´ angulos, angulos, ALA , 4.1 en [Pog]). Si los tri´ angulos ABC y A B C son tales que AB = A B , ∠ A = ∠ A y ∠ B = ∠ B , entonces los tri´ angulos son iguales. iguales . I.e. I .e. tambi´en en ∠ C = ∠ C , AC = A C y BC = B C .
k
ALA por ´ angulo-lado-´ angulo-lado-´ angulo. angulo.
Usamos LAL si AC = A C . Si no, suponemos, e.g., AC > A C , construimos el tri´ angulo angulo ABC con AC = A C , por 2.4 el rayo BC pasa entre los rayos BA y BC , BC , por ejercicio 1.1 de la pr´actica actica 2 es ∠ ABC < ∠ ABC , ABC , con LAL llegamos a contradicci´ on. on.
3.3. Definici´ on. on. Un tri´angulo angulo es is´ osceles si tiene dos lados iguales. El tercer lado se llama base .
Un tri´ angulo angulo equil´ atero atero tambi´en en es is´osceles. osceles. En este caso la base puede ser cualquiera de los lados. El t´ermi er mino no base de tri´angulo angulo se usa tambi´ en en para indicar un lado distinguido de un tri´angulo angulo arbitrario, como en la f´ ormula ormula del ´ area area b × h/2. h/2.
3.4. Teorema (4.2 y 4.3 en [Pog]). En un tri´ angulo is´ osceles, los ´ angulos de la base son iguales, es decir, si el tri´ angulo es ABC con AC = BC , BC , la base es AB y se tiene ∠ A = ∠ B . Rec´ Rec´ıprocamente, ıprocament e, si en el tri´ tri angulo ´ ABC se tiene ∠ A = ∠ B , entonces AC = BC y el tri´ angulo es is´ osceles. k
Se comparan los tri´angulos angulos CAB y CB A, usando LAL para una implicaci´on on y la otra.
ALA para
3.5. Definici´ Definici´ on. on. El punto medio del segmento AB es un punto D sobre la recta AB tal que AD = DB. DB . 3.6. Definici´ on. on. La bisectriz de un ´angulo angulo ∠ ab y origen O, es un rayo c con origen en O tal que c est´ a entre a y b, y las medidas de los ´angulos angulos ∠ ac y ∠ bc son iguales.
En el caso de un ´angulo angulo llano, existir´ an an dos bisectrices. Por el contrario si el ´angulo angulo mide 0 , i.e. si a = b, la bisectriz ser´ a la misma semirrecta. ◦
4. Relaciones entre los ´ angulos y lados del tri´ angulo
Pag. ´ 9
3.7. Proposici´ on. on. Si el angulo ´ unica bisectriz, i.e. existe una ´ unica ∠ ab no es llano, tiene una ´ semirrecta c entre a y b tal que ∠ ac = ∠ cb. cb. k
Usar axioma III.3 y axioma IV.2.
3.8. Definici´ on. on. Dado el tri´angulo angulo ABC decimos que • El segmento CD es mediana del tri´angulo angulo (respecto del lado AB) AB) si D es punto medio de AB. AB . • El segmento C D es bisectriz del tri´angulo angulo (respecto del ´angulo angulo ∠ C ) si el rayo C D (con origen en C ) es bisectriz del ´angulo angulo ∠ C . • Dado D en la recta AB, AB , decimos que el segmento CD es altura del tri´angulo angulo (respecto del v´erti er ticce C ) si las rectas AB y C D son perpendiculares.
A veces distinguimos un lado del tri´angulo angulo llam´ andolo andolo base , como como mencio mencionam namos os en la definici´ on o n de base de tri´angulo angulo is´ osceles. En este caso, cuando nos referimos a la altura osceles. correspondien correspondiente te a la base, nos referimos referimos a la altura con respecto al v´ ertice ertice opuesto al lado denominado denominado como base.
3.9. Teorema (4.4 en [Pog]). En un tri´ angulo is´ osceles, la mediana m ediana relativa relativ a a la base es tambi´ t ambi´en en bisectriz y altura. k
Si CD es la mediana relativa a la base, se ve que los tri´angulos CAD y CB D son iguales (LAL), y de ∠ ACD = ∠ BC D se obtiene bisectriz y de ∠ ADC = ∠ BDC se obtiene obtiene altura.
3.10. Teorema (tercer criterio de igualdad de tri´ angulos, angulos, LLL , 4.5 en [Pog]). Si los tri´ angulos ABC y A B C son tales que AB = A B , AC = A C y BC = B C , entonces los tri´ angulos son iguales. I.e. los ´ angulos correspondiente correspondientess tambi´en en son iguales. iguales .
Como hicimos con los criterios anteriores,
k
Si ∠ A = ∠ A o ∠ B = ∠ B , se usa LAL. En otro caso se construye C en el semiplano en el que est´a C respecto de la recta AB, AB , de modo que ∠ BAC = ∠ A . Por LAL, los tri´ angulos angulos A B C y ABC son iguales, i.e., BC = B C . Los tri´ angulos angulos CC A y CC B son is´ osceles osceles y CC es base com´ un. un. Si D es el punto medio del segmento CC , D no est´ a en la recta AB (C y C est´ an en el mismo semiplano respecto de esa recta de modo que el segmento an CC no la corta), usamos 3.9 y 2.16.
LLL es por lado-lado-lad lado-lado-lado. o.
4. Relaciones Relacion es entre los ´ angulos angulos y lados del tri´ angulo angulo 4.1. Teorema (5.1 en [Pog]). Las suma de dos ´ angulos cualesquiera de un tri´ angulo es menor que 180 . ◦
k
◦
Si el tri´ angulo angulo es ABC , ABC , demostramos (por ejemplo) que ∠ A + ∠ C < 180 . La idea es poner a los dos ´ angulos angulo s juntos y lo hacemos ha cemos —como veremos ver emos despu´es— es— con una simetr´ sim etr´ıa ıa central. centr al. Sea Se a O punto medio de AC , en rayo BO construimos D tal que BO = OD; OD ; entonces los tri´ angulos angulos AOD y BOD son iguales (LAL), ∠ OC B = ∠ ODA, ODA , ∠ BAD = ∠ BAO + ∠ OAD, OAD , y usamos 1.10.
4.2. Teorema (parte de 8.2 en [Pog]). Sean a,b,c tres rectas tales que c corta a a en A y a b en B . Si vale alguna de las condiciones: i) los angulos ´ alternos internos son iguales, o ii) los ´ angulos correspondientes internos suman 180 , entonces a b. ◦
k
b, sea C ∈ a ∩ b. ∠ BAC y ∠ ABC son i ) y ii ) son equivalente equivalentess por adyacencia adyacencias. s. Si a correspondientes internos y ∠ BAC + ∠ ABC < 180 por 4.1 en el tri´angulo angulo ABC . ABC . ◦
4.3. Corolario. Si a ⊥ c y b ⊥ c, entonces a b.
P´ ag. 10
4.4. Definici´ Definici´ on. on. Un angulo a´ngulo es agudo si mide menos de 90 , es obtuso si es mide m´as as de 90 pero menos de 180 . ◦
◦
◦
◦
Recordemos que el ´angulo angulo es recto si mide 90 , y seg´ un un el axioma III.3, el ´angulo angulo llano mide 180 . ◦
4.5. Definici´ on. on. En el tri´angulo angulo ABC se llama angulo ´ exterior o externo de v´erti er tice ce A al angulo a´ngulo adyacente del ´angulo angulo del mismo v´ertice ertice en el e l tri´ tri ´angulo. angulo. Para distinguirlos, el ´angulo angulo de v´ertice ertice A del tri´angulo angulo a veces se llama angulo ´ angulo interior interior o interno. interno . 4.6. Teorema (5.2 en [Pog]). Todo angulo ´ exterior del tri´ angulo es mayor que cualquier ´ angulo interior interio r no adyacente de ´este. este. k
Si el tri´angulo angulo es ABC , ABC , para demostrar que el ´angulo angulo exterior en A, llam´ lla m´emoslo emo slo α, es mayor que el interior en B , usamos 4.1 para ver que ∠ A + ∠ B < 180 y usamos α + ∠ A = 180 . ◦
◦
4.7. Teorema (5.3 en [Pog]). Si en el tri´ angulo ABC es AB > BC , entonces ∠ C > ∠ A. Rec´ Rec´ıprocamen ıp rocamente te,, si ∠ C > ∠ A, entonces AB > BC . En otras palabras, en un tri´ angulo a mayor ´ angulo se opone mayor lado o, equivalentemente, equivalentemente, a mayor lado se opone mayor ´ angulo .
k
Consideramos C en la semirrecta BA tal que BC = BC , BC , C est´ a entre A y B , la semirrecta CC pasa entre CA y CB , ∠ BC C < ∠ BC A (ejercicio 1.1 de la pr´actica actica 2), ∠ BC C = ∠ BC C por is´ osceles, osceles, y ∠ BC C es exterior en el tri´angulo angulo AC C y por lo tanto mayor que ∠ A. Para el rec´ıproco, ıpro co, si ∠ C > ∠ A no puede ser AB = BC (por is´ osceles osceles y entonces ∠ A = ∠ C ), ), ni AB < BC (por anterior resultar´ resul tar´ıa ıa ∠ A > ∠ C ). ).
4.8. Teorema (5.4 en [Pog]). En todo tri´ angulo, la suma de dos lados es mayor que el tercer lado. k
Si el tri´ angulo angulo es ABC , ABC , construimos construimos D en la semirrecta AC tal que AD = AC + CB , resulta ∠ CB D = ∠ CDB CD B por is´ osceles osceles (3.4), ∠ ABD > ∠ CB D = ∠ CDB CD B pues semirrecta semirrecta BC pasa entre BA y BD, BD , y AC + AC + CB = AD > AB por 4.7.
4.9. Teorema (desigualdad triangular, 5.5 en [Pog]). Si A,B,C son tres puntos, no necesariamente distintos, la distancia AB es menor que la suma de las distancias AC + AC + CB . k
Casos: 1) A , B , C son distintos y no alineados (usar 4.8); 2) distintos pero alineados (usar axioma III.2); 3) dos o tres puntos coinciden (hay una distancia nula).
5. Tri´ angu an gulo loss rect re ct´ ´ angu an gulo loss 5.1. Definici´ on. on. Un tri´angulo angulo es rect´ angulo si tiene un ´angulo angulo recto. • En un tri´angulo angulo rect´angulo, angulo, el lado opuesto al ´angulo angulo recto se llama hipotenusa y los otros dos lados se llaman catetos . catetos . 5.2. Proposici´ on. on. En un tri´ angulo rect´ angulo: a) Los ´ angulos que no son rectos son agudos. b) La hipotenusa hipotenusa es mayor que cualquiera cualquiera de los catetos pero menor que la suma de ´estos. estos. k
El primero se puede deducir de 4.6, el segundo de 4.7.
5.3. Teorema (igualdad de tri´ angulos angulos rect´ angulos, 6.1 en [Pog]). Supongamos angulos, Supongamos que ABC y A1 B1 C 1 son tri´ angulos rect´ angulos en C y C 1 respectivamente. Entonces los tri´ angulos son iguales si se cumple alguna de las siguientes condiciones: a) BC = B1 C 1 y ∠ A = ∠ A1 , o
6. Construcciones y lugares geom´ etricos
P´ ag. 11
b) AB = A1 B1 y BC = B1 C 1 , o c) AB = A1 B1 y ∠ A = ∠ A1 . ◦
No sabemos a´ un un que la suma de los ´angulos angulos es 180 (porque todav´ todav´ıa no usamos el axioma axi oma de las paralelas). Junto con los criterios anteriores ( LAL, ALA, LLL) este teorema nos dice que dado un lado y alg´un un elemento m´as as (otro lado o un ´angulo angulo agudo), el tri´angulo angulo queda un´ un´ıvocamente ıvocam ente determinado deter minado..
k
Si AC = A1 C 1 , a ) y c ) se deducen de LAL, y b ) de LLL. A1 C 1 , consideremos (por ejemplo) A1 C 1 < AC Si AC = A C . En a ) y b ) consideramos A2 en rayo CA tal que CA 2 = C 1 A1 , A2 queda entre A y C (2.4), los tri´ angulos angulos A1 B1 C 1 y A2 BC son iguales por LAL, y debe ser ∠ BA 2 C = ∠ B1 A1 C 1 (lo que es imposible en a ) por 4.6 mirando el tri´angulo angulo ABA 2 ) y BA 2 = B1 A1 (lo que es imposible en b ) pues el tri´ angulo angulo ABA 2 resulta is´ osceles, osceles, ∠ BAA 2 = ∠ BA 2 A es obtuso por exterior a agudo). Para c ) (y A1 C 1 < AC ), ), tomamos tomamos AC 2 = A1 C 1 en la semirrecta AC , los tri´ angulos angulos ABC 2 y A1 B1 C 1 son iguales por LAL, ∠ AC 2 = 90 , y ∠ CC 2 B = 90 , y el tri´ angulo angulo CB C 2 tiene dos ´ angulos angulos rectos. ◦
◦
5.4. Definici´ on. on. Sean A y B dos puntos y a una recta tales que A ∈ a, B ∈ / a, y las rectas a y AB son perpendiculares. Entonces el segmento AB se llama perpendicular a a trazado por B
Y tambi´ t ambi´en en p erpendicul erpe ndicular ar a a trazada por A. Tambi´ Tambi´ en en llamaremos llamarem os de la misma mi sma forma a la recta (en vez de
segmento) AB. AB .
• El punto A se llama pie de la perpendicular o proyecci´ on de B (o A) sobre a. 5.5. Teorema (6.2 en [Pog]). Por todo punto exterior a una recta dada, se puede trazar una —y s´ olo una— perpendicular.
k
Comparar con 2.16. Observar a partir de 4.3 la similitud con el axioma VI de las paralelas, pero sin embargo a´un no hemos usado este axioma. La diferencia est´a en la unicidad . Sea a la recta y B ∈ / a. Veamos primero la existencia. Consideremos dos puntos distintos C y D en a (recordar la nota en el axioma IV.1). Si BC ⊥ a ya est´ a. a. Si no, B est´ a en uno de los semiplanos definidos por a, y construimos B en el otro de modo que ∠ BC D = ∠ B CD y BC = B C (la reflexi´ on on respecto a a que estudiamos m´as as tarde). Como B y B est´ an a n en distintos semiplanos, el segmento BB corta a a (2) en, digamos, A. Los tri´angulos angulos CAB y CAB son iguales por LAL (observar que CD y CA pueden ser opuestas o coincidir), luego ∠ CAB = ∠ CAB = 90 porque adyacentes. Para la unicidad, supongamos que haya dos, BA y BA , con A, A ∈ a, entonces el tri´angulo angulo BAA tiene dos ´angulos angulos rectos.
◦
5.6. Definici´ on. on. Dados un punto B y una recta a, se llama distancia entre B y a, indicada por dist(B, dist(B, a) o dist(a, dist(a, B ), a la longitud del segmento perpendicular a la recta a por el punto B cuando B∈ / a, o 0 si B ∈ a. 5.7. Proposici´ on. on. Si B es un punto y a una recta, dist(B, dist(B, a) ≤ BA para todo A ∈ a. k
Es claro si B ∈ a, recordando que P P = 0 para todo punto P por definici´ on on 2.2. Si B ∈ / a, A es la proyecci´ on on de B sobre a, y C es otro punto en a, en el tri´angulo angulo ABC usamos 5.2 para ˆ = 90 > B ˆ y luego 4.7. obtener A ◦
6. Construcciones Constru cciones y lugares geom´ etricos etricos Si bien en algunos axiomas se dice que ciertas construcciones son posibles (en el axioma IV para segmentos o ´angulos angulos de longitud dada), quiz´as as impl´ impl´ıcitamente (como en el axioma I.2 para una recta por dos puntos), no se dice c´omo omo se puede realizar tal construcci´on. on.
P´ ag. 12
El t´ermi er mino no construcci´ on on se refiere a hacer construcciones usando s´olo olo regla (no graduada) y comp´ as. No se pueden usar instrumentos de medici´on as. on (como la regla graduada o el transportador), ni otras herramientas como escuadras. La regla permite trazar (o construir) una recta dados dos puntos, y el comp´as as nos permite trazar una circunferencia dados el centro y un punto que pertenezca a la circunferencia. Aunque no est´an an expl´ expl´ıcitos, tambi´en en suponemos que dados dos rectas, o una circunferencia y una recta, o dos circunferencias, podemos determinar (o construir ) los puntos de intersecci´on. on. Sin embargo, para otras curvas —como algunas que veremos en cap´ cap´ıtulos posteriores— p osteriores— no siempre es posible p osible construir con s´olo olo regla y comp´as as la intersecci´on, on, aunque se pueda construir individualmente cada punto de la curva. Tambi´en en podemos pod emos usar el comp´as as para transportar longitudes.
En realidad, el comp´ as de Euclides permite trazar una circunferencia dados un centro y un punto sobre la circunferencia, pero al levantarlo el comp´as as se cierra, es decir no permite transportar longitudes directamente. En cambio el comp´ as moderno permite transportar longitudes pues conserva su apertura al levantarlo del papel. Se puede demostrar que con el comp´as de Euclides podemos transportar longitudes (haciendo m´ as pasos que con el comp´as as as moderno), de modo que —para simplificar— simplificar— supondremos que podemos usar un comp´as as moderno.
6.1. Problema Problema (7.1 (7.1 en [Pog]) [Pog]).. Dados los segmen segmentos tos a,b,c, a,b,c, construir un tri´ angulo con esos lados.
Como sabemos, el problema no siempre tiene soluci´ on, ya que deben satisfacerse las relaciones on, a + b > c,
b+c> a
y
c + a > b.
6.2. Problema (7.2 en [Pog]). Dados un ´ angulo ∠ ABC , ABC , una semirrecta OD y un semiplano correspondiente a la recta OD, OD , construir E en ese semiplano tal que ∠ ABC = ∠ EOD. EOD . 6.3. Problema (7.3 en [Pog]). Dado un ´ angulo es bisectriz del ´ angulo.
ABC , ∠ ABC ,
construir E tal que la semirrecta BE
6.4. Proposici´ on. on. Si las rectas a y b, a = b, se cortan en el punto O determinando las semirrectas a , a , b , b , los ´ angulos ∠ a b , ∠ b a , ∠ a b y ∠ b a con respectivas bisectrices c, c , c , c , entonces i) c y c son semirrectas s emirrectas complementaria comple mentarias, s, as´ as´ı como lo son c y c . ii) Las rectas rectas y que contienen respectivamente a c y c , y c y c , son perpendiculares.
6.5. Definici´ on. on. La figura formada por las rectas y de la proposici´on on anterior se llama cruz de bisectrices de las rectas a y b.
6.6. Problema Problema (7.4 (7.4 en [Pog]) [Pog]).. Dado el segmento AB, AB , encontrar encontrar M en el segmento tal que AM = M B , i.e. encontrar el punto medio del segmento. 6.7. Problema (7.5 en [Pog]). Dados el punto A y la recta , trazar por A una perpendicular perpendicular a cuando a) A ∈ , b) A ∈ / .
Una vez resuelto este problema, el uso de la escuadra (no graduada) est´a permitido, como forma de simplificar los pasos.
6.8. Problema (8.7 en [Pog]). Trazar por un punto B una recta paralela a la recta a (se supone B∈ / a). k
Recordar Recordar 4.3.
Observar que a´ un no hemos usado el axioma VI de las paralelas. un
6. Construcciones y lugares geom´ etricos
P´ ag. 13
6.9. Definici´ on. on. Dados un punto en el plano O y un n´ umero umero no negativo r, llamamos circunferencia de centro O y radio r al conjunto de puntos P en el plano tales que P O = r. Un c´ırcu rculo de centro O y radio r es el conjunto de puntos P en el plano tales que OP ≤ r.
Las circunferencias se denotan con letras min´usculas, usculas, como las rectas. En ingl in gl´ ´es es circle es lo que nosotros llamamos circunferencia, y disk es lo que nosotros llamamos c´ırcu ır culo lo..
6.10. Definici´ Definici´ on. on. Un lugar lu gar geom´etri et rico co de puntos es el conjunto de puntos que satisface determinada propiedad.
Por ejemplo, ejemplo, por su misma misma definic definici´ i´ on, on, la circunf circunferen erencia cia de cen centro tro O y radio r es el lugar geom´ etrico etrico de los puntos cuya distancia a O es r. Como un lugar l ugar geom´ geo m´etrico etric o es un conjunto, co njunto, digamos d igamos A, demostrar que coincide con otro conjunto B requiere requiere de demostrar demostrar dos implicaciones: implicaciones: x ∈ A ⇒ x ∈ B y x ∈ B ⇒ x ∈ A.
6.11. Definici´ on. on. La mediatriz de un segmento AB es la recta perpendicular a la recta por A y B que pasa por el punto medio del segmento. 6.12. Teorema (7.6 en [Pog]). La mediatriz del segmento AB es el lugar geom´ geom´etrico etrico de los puntos que equidistan de A y B . k
Sean m la mediatriz y C el lugar geom´etrico. etric o. Si P ∈ m ∩ a, entonces entonces P es el punto medio del segmento AB y P ∈ C ; si P ∈ m \ a y P es la proyecci´ on on de P sobre a, los tri´ angulos angulos AP P y BP P son rect´ angulos angulos en P y por lo tanto iguales, de modo que P A = P B . As´ı que qu e m ⊂ C . Para la otra inclusi´on, on, si P ∈ a ∩ C , P es el punto medio del segmento AB y P ∈ m. Si P ∈ C \ a, y D es el punto medio del segmento AB, AB , los tri´ angulos angulos ADP y BDP son iguales LLL, ∠ ADP = ∠ BDP = 90 (por adyacentes), y la recta DP es la mediatriz, i.e. P ∈ m.
◦
6.13. Teorema. Las mediatrices de los lados de un tri´ angulo se cortan en un ´ unico punto. k
Si el tri´angulo angulo es ABC y P est´ a en la intersecci´on on de las mediatrices de AB y BC , BC , AP = BP = CP . CP .
6.14. Definici´ on. on. Dado el tri´angulo angulo ABC , ABC , se llama circunferencia circunferencia circunscripta circunscripta del tri´angulo angulo a una circunferencia que pasa por los v´ ertices ertices A,B,C . Tambi´en en decimos que el tri´angulo angulo est´a inscripto en la circunferencia.
As´ı como se puede decir septiembre o setiembre, se puede decir circunscripta o circunscrita. La segunda acepci´on on es m´ as as moderna, pero ac´a usaremos casi siempre la primera.
6.15. Teorema. a) Si c Si c es una circunferencia circunscripta al tri´ angulo ABC , ABC , y O es su centro, entonces O es el punto de intersecci´ on en el teorema 6.13, llamado circuncentro del tri´ angulo. b) Todo odo tri´ angulo tiene una ´ unica circunferencia circunferencia circunscripta. circunscripta.
En cambio, un segmento tiene varias.
c) Dados tres tres puntos no alineados, alineados, hay una ´ unica circunferencia que los contiene. En particular, una circunferencia queda determinada por tres de sus puntos. 6.16. Problema (7.7 en [Pog]). Dados tres puntos no alineados, construir una circunferencia que pase por ellos. 6.17. Problema (7.8 en [Pog]). Dada una recta a, dos puntos A ∈ a y B ∈ / a, y una longitud m, construir un punto X en a tal que XA + X B = m.
Se supone AB < m, m, en otro caso la construcci´ on on es imposible. Si A y B son los focos de una elipse (tema que veremos m´as as adelante), se pide encontrar una de las intersecciones de la elipse con una recta que pasa por un foco.
P´ ag. 14
7. Rectas paralelas En esta secci´on on finalmente usaremos el axioma de las paralelas. Axioma VI (de las paralelas). Por todo punto B que no se halla en la recta a, se puede trazar en el plano no m´as as de una paralela a la recta a.
Por 4.3 y 6.8, ya sabemos que podemos trazar una paralela. Ac´a se dice que no se puede trazar otra.
7.1. Teorema (8.1 en [Pog]). Si las rectas a,b,c satisfacen a b y b c, entonces a c. k
Si a ∩ c = ∅, a c. Si P ∈ a ∩ c, entonces por P pasan dos paralelas a b, por axioma VI debe ser a = c, i.e. a c.
7.2. Corolario. Si una recta corta a una de dos rectas paralelas, entonces corta a la otra.
Debe entenderse que las tres rectas son distintas.
k
∅ y c ∩ b = ∅, entonces ∅ debe Si a b y c ∩ a = entonces c b (definici´ on), on), c a (7.1), y como a ∩ c = ser a = c.
7.3. Teorema (parte de 8.2 en [Pog]). Sean a,b,c tres rectas tales que c corta a a en A y a b en B y a b. Entonces los ´ angulos alternos internos son iguales, y la suma de los ´ angulos correspondientes internos es 180 . ◦
k
Es el rec´ıproco ıpro co de d e 4.2. 4. 2. Observar que en la demostraci´on on se usa esencialmente la forma dada por Euclides a su quinto postulado (p´ag. ag. 2). Para geometr´ geometr´ıas no planas que se estudian estudian en cursos de geometr geometr´ıa diferencial, tal vez la forma de Euclides sea m´as acertada, acertada, ya que tiene impl´ impl´ıcitamente ıcitamente la noci´ on on de curvatura. ◦
Si los ´ angulos correspondientes internos no suman 180 , sea a por A tal que la suma de los angulos correspondien correspondientes tes internos internos de a y b con c sea 180 , entonces entonces a b por 4.2, y a = a por axioma VI.
◦
7.4. Corolario. Si a b y c ⊥ a, entonces c ⊥ b.
Comparar con 4.3.
7.5. Teorema (8.3 en [Pog]). La suma de los ´ angulos (interiores) de un tri´ angulo es 180 . ◦
k
Hay varias formas de hacerlo, por ejemplo trazando una paralela a uno de los lados por el v´ ertice ertice opuesto y despu´ es es usar alternos o correspondientes. cor respondientes. Otra forma, como la l a presentada por Pogor´ elov, elov, es rehacer la construcci´ on en 4.1, usando ahora que esencialmente se trata de on un paralelogramo.
7.6. Corolario (8.4 en [Pog]). En un tri´ angulo ABC , ABC , el angulo ´ adyacente a ∠ A es suma de los angulos ´ ∠ B y ∠ C . 7.7. Definici´ on. on. Dos angulos ´angulos son complementarios si suman 90 y son suplementarios si suman 180 . ◦
◦
7.8. Corolario (del teorema 7.5). En un tri´ angulo rect´ rect´ angulo, los ´ angulos agudos son complementarios. 7.9. Teorema (8.5 en [Pog]). Dos rectas paralelas son equidistantes, i.e. todos los puntos de una recta est´ an a una misma distancia de la otra recta. k
Sean a b y A, A ∈ a. Construimos B, B ∈ b tales que AB ⊥ b y A B ⊥ b, los tri´ angulos angulos ABA y B BA resultan iguales (son rect´angulos angulos y 5.3.c 5.3.c por alternos), y AB = A B .
7.10. Problema (8.6 en [Pog]). Encontrar Encontrar el lugar geom´ geom´etrico etrico de los puntos que pertenecen pertenecen a un mismo semiplano respecto de una recta a y que equidistan de esa recta.
8. Cuadril´ ateros
P´ ag. 15
8. Cuad Cuadri ril´ l´ ater ateros os 8.1. Definici´ on. on. Dados cuatro puntos A,B,C,D tales que no hay tres de ellos sobre una misma recta, la figura formada por ellos y los segmentos AB, AB , BC , BC , CD y AD se llama cuadril´ atero, atero , y se denota por ABCD. ABCD. • Los puntos A,B,C,D son los v´erti er tice ces s ,, los segmentos AB,BC,CD,AD son los lados , y los angulos ´angulos ∠ B = ∠ ABC , ABC , ∠ C = ∠ BC D, ∠ D = ∠ CDA CD A, ∠ A = ∠ DAC son los angulos ´ del cuadril´ atero. atero. • Lo Loss v´ertic ert ices es A y C y los l os v´ertice ert icess B y D se dicen opuestos , as´ as´ı como los lados AB y CD, CD , y los lados BC y AD . • El cuadril´atero atero ABCD es convexo si se encuentra en un mismo semiplano respecto de la recta que contiene a cualquiera de sus lados.
En cursos m´ as avanzados se define un conjunto como convexo si para cualquier par de puntos as en ´el, el, el segmento que los une est´a tambi´ en en contenido en el conjunto. Para cuadril´ateros, ateros, esto requerir´ requerir´ıa pedir que la figura fuera fuer a llena, cosa que no se supone aqu´ aqu´ı. Observar que con esta otra definici´on on de convexo el axioma 3 establece que cada semiplano es convexo y que el plano sin una recta no lo es.
• Los segmentos que unen los v´ ertices ertices opuestos del cuadril´ atero atero se llaman diagonales . 8.2. Teorema (9.1 en [Pog]). Las diagonales de un cuadril´ atero convexo se cortan. k
Si ABCD es el cuadril´ atero, atero, la semirrecta AB no puede pasar entre los lados del ´angulo CAD pues C y D est´ an en un mismo semiplano respecto de la recta AB, an AB , por 2.5 AC debe pasar entre AB y AD (semirrectas), luego el rayo —y por lo tanto la recta— AC corta al segmento BD (1.15). Del mismo modo la diagonal AC corta a la recta BD. BD . Las rectas AC y BD se cortan en un ´unico unico punto (porque no son iguales) y por lo tanto los segmentos AC y BD se cortan en ese punto.
8.3. Teorema (9.2 en [Pog]). La suma de los ´ angulos de un cuadril´ atero convexo es 360 . ◦
k
La suma es la suma de los ´angulos angulos interiores de los tri´angulos angulos formados con una diagonal.
8.4. Definici´ on. on. Un paralelogramo es un cuadril´atero atero en el que los lados opuestos son paralelos, i.e. se encuentran en rectas paralelas. 8.5. Lema. Un paralelogramo es un cuadril´ atero convexo. k
Sea ABCD el paralelogramo. De BC AD resulta que B y C est´ an en un mismo semiplano an respecto de recta AD, AD, y lo mismo para los otros lados.
8.6. Teorema (9.3 y 9.4 en [Pog]). En un paralelogramo, a) los lados opuestos opuestos son iguales, iguales, b) los ´ angulos opuestos son iguales, c) las diagonales diagonales se cortan cortan en el punto punto medio de ambas. ambas. k
Sea ABCD el paralelogramo. Las diagonales AC y BD se cortan en O (8.2 y 8.5), ∠ BC A y ∠ DAC son alternos internos pues B y D est´ an en distintos semiplanos respecto de AC , an ´ıdem otros angulos, a ´ngulos, los tri´ angulos angulos ACB y CAD son iguales ALA, y entonces AB = CD, CD , BC = AD y ∠ ABC = ∠ CDA CD A, ´ıdem para otro ´ angulo. angulo. Para ver que se cortan en punto medio, los tri´angulos OAD y CO B son iguales por ALA.
8.7. Teorema (9.5 en [Pog], con agregados). Si un cuadril´ atero convexo satisface alguna de las condiciones: a) tiene dos lados opuestos opuestos paralelos paralelos e iguales, o b) los lados opuestos opuestos son iguales, iguales, o
P´ ag. 16
c) los ´ angulos opuestos son iguales, o d) las diagonales diagonales se cortan cortan en sus puntos puntos medios, medios, entonces el cuadril´ atero es un paralelogramo. k
Agregamos c ) respecto de [Pog], que es el ejercicio 8.4 de la pr´actica actica 2. Los otros incisos se demuestran como los correspondientes en 8.6, pero a partir de la igualdad de los tri´angulos (usando LAL) se deduce que la suma de alternos internos es 180 y por lo tanto los lados son paralelos (4.2). Para c ), ) , si ABCD es el cuadril´ atero convexo, comparamos los tri´angulos atero angulos ABD y CDB CD B . Pongamos ◦
α = ∠ AB D ,
β = = ∠ B D A ,
γ = = ∠ DAB,
α = ∠ C DB ,
β = ∠ DB C ,
γ = ∠ BCD,
◦
y queremos ver que α = α . Como se trata de tri´angulos, angulos, α + β + γ = α + β + γ = 180 , y como la hip´otesis otesis es γ = γ y α + β = α + β, resulta
α + β = α + β
y
α + β = α + β,
de donde α = α y β = β .
8.8. Definici´ on. on. Un rect´ angulo es un cuadril´ atero atero con todos sus ´angulos angulos rectos. 8.9. Teorema (9.6 en [Pog]). Si ABCD es un rect´ angulo, entonces a) es un paralelogr paralelogramo, amo, b) sus diagonales diagonales son iguales. iguales. k
AB CD pues son perpendiculares a CD (4.3), lo mismo para AD BC . BC . La segunda condici´on on sale de la igualdad de los tri´angulos angulos BAD y CD A (que son rect´ angulos angulos y LAL pues ya sabemos paralelogramo).
8.10. Definici´ on. on. Un rombo es un paralelogramo con todos sus lados iguales. 8.11. 8.11. Teorema eorema (9.7 (9.7 en [Pog]) [Pog]).. Las diagon diagonale aless del rombo ombo se cortan ortan en ´ angulo angulo recto, cto, y son bisectrices de sus ´ angulos. k
Si el rombo es ABCD y las diagonales se cortan en O, los tri´ angulos angulos AOB y CO B son iguales (LLL usando que AO = OC por 8.6).
8.12. Definici´ on. on. Un rect´angulo angulo con todos sus lados iguales se llama cuadrado. cuadrado .
El cuadrado tambi´ en en es un rombo.
8.13. Teorema (9.8 en [Pog]). Supongamos que tres rectas a,b,c son paralelas y cortan a las rectas d y d en los puntos A, B , C y A , B , C respectivamente. Si B est´ a entre A y C , entonces B est´ a entre A y C . Adem´ as, si AB = BC , BC , entonces ento nces tambi´ tamb i´en en A B = B C .
Esta es una primera versi´ on del teorema de Tales (que veremos m´as on as adelante), que establece AB/BC = A B/B C . Aqu A qu´ ´ı es el caso c aso particular parti cular AB = BC , BC , pero permite establecer establecer el teorema de Tales cuando AB/BC es racional.
k
A y C est´ an en distintos semiplanos respecto de b, A y A en el mismo pues a b, ´ıdem an ıde m para par a C y C , luego el segmento A C corta a b, pero debe ser en B . Consideremos Consideremos primero el caso en que d y d se cortan en B . Entonces B = B , los tri´ angulos angulos ABA y CB C son iguales (ALA con AB = BC , BC , angulos ´ angulos opuestos opuestos en B y alternos internos en A y C ), ), y por lo tanto A B = BC . Si d y d no se cortan en B , sea d d por B . d corta a a en D y c en E , BB DA y BB EC son paralelogramos, AB = B D y BC = B E . Usamos el caso considerado anteriormente con d y d para obtener B D = A C .
8.14. Problema. Dividir el segmento AB en un n´ umero entero n de partes iguales.
9. Quebradas y pol´ ıgonos
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8.15. Definici´ Definici´ on. on. Un trapecio es un cuadril´atero atero convex convexoo que tiene paralelos paralelos s´olo olo dos lados opuestos. • Los lados paralelos se llaman bases y los otros dos, se llaman laterales del trapecio. • Si sus laterales son iguales, el trapecio se dice is´ osceles . osceles . • El segmento que une los puntos medios de los laterales se llama base media . 8.16. Teorema (9.9 en [Pog]). En un trapecio la base media es paralela a las bases y es igual a la semisuma de las mismas.
No lo cubrimos en clase, queda a cargo de los alumnos.
k
Si ABCD es el trapecio con AD BC y base media P Q con P ∈ AB, AB , Q ∈ CD. CD . La recta por P paralela a AD corta a CD en su punto medio (8.13), i.e. en Q, entonces P Q AD. AD. Para ver la semisuma, trazamos por Q la recta d paralela a AB que corta a las rectas AD y BC en E y F (resp.). C y D est´ an en distintos semiplanos respecto de d, y usamos an alternos internos y ALA para ver que los tri´angulos angulos CE Q y DF Q son iguales y por lo tanto CE = F D . Finalmente, e.g. si C entre B y E , P Q = BE = BC + BC + CE y P Q = AF = AD − DF . DF .
8.17. Definici´ Definici´ on. on. En un tri´angulo, angulo, el segmento que une los puntos medios de dos lados se llama l´ınea ın ea media med ia ,, siguiendo siguiendo a Pogor´ Pogor´ elov, elov, pero en Argenti Argentina na es m´ as as com´ un un llamarlo base media del tri´ angulo. angulo. 8.18. Teorema (9.10 en [Pog]). La base media del tri´ angulo ABC que une los puntos medios de los lados AB y AC es paralela al lado BC y es igual a la mitad de ese lado. k
Sea B C la base media, B ∈ AB, AB , C ∈ AC . Trazando paralela a BC por B corta a AC en punto medio (8.13), i.e. en C , entonces B C BC . BC . Sea d recta por C tal que d AB. AB . d debe cortar a BC en, digamos digamos D (1.11), BB C D es paralelogramo paralelogramo,, sale BD = B C , pero pe ro tambi´ tamb i´en en por 8.13 mirando AB C D sale BD = DC , DC , entonces BD = B C = DC = (1/ (1/2) BC . BC .
8.19. 8.19. Teorema eorema (9.11 (9.11 en [Pog]) [Pog]).. Las tres medianas de un tri´ angulo se cortan en un punto, llamado baricentro del tri´ angulo. El baricentro divide a cada mediana en dos segmentos que est´ an en raz´ on 2 : 1 contando desde el v´erti er tice. ce. k
Veamos una demostraci´ on algo distinta a la de [Pog], trabajando hacia afuera en vez de on adentro del tri´ angulo. angulo. Sea ABC el tri´ angulo, angulo, con puntos medios A ∈ BC , BC , B ∈ AC . El rayo AA pasa entre AB y AC (corta al segmento BC ), BC ), luego corta al segmento BB (B en rayo AC ) en, digamos P . P . Del mismo modo, el rayo BB corta al segmento AA , y debe ser en P . P . Sea D tal que ABDC es un paralelogramo (con diagonales AC y BD que se cortan en B ), el rayo DB pasa entre DA y DC . Sea A en la recta AD tal que A CA A es un paralelogramo. De BC = AD y A C = AA resulta A punto medio de AD. AD. A C corta a BD en P (pues el rayo DB pasa entre DA y DC ), DC ), y por 8.13 debe ser P P = P D, y del mismo modo BP = P P . Nuevamente por 8.13 (con AA A C ), ), P B = B P , es decir BP = 2 P B . Si CC es la otra mediana, cambiando AA por CC obtenemos que BB y CC se cortan en Q con B Q = (1/ (1/2) BB , pero entonces P = Q y las medianas se cortan todas en el mismo punto.
9. Quebradas Quebrada s y pol po l´ıgonos Combinamos el final de la secci´on on 5 en [Pog] con la secci´on on 15 del mismo libro, postergando la discusi´ on on de movimientos y ´areas. areas. 9.1. Definici´ Definici´ on o n (p´ ag. a g. 41 en [Pog]). Dados n puntos A1 , A2 , . . . , An se llama quebrada a la figura formada por los puntos y los n − 1 segmentos A1 A2 , . . . , An 1 An . Denotamos a la quebrada por A1 A2 . . . An (el orden es importante). −
P´ ag. 18
• • • •
Los puntos A1 , . . . se llaman v´erti er tice ces s de la quebrada, los segmentos A1 A2 , . . . son sus lados , los puntos A1 y A2 son los extremos de la quebrada, la longitud de la quebrada es la suma A1 A2 + A2 A3 + · · · + An
1 An .
−
9.2. Corolario (del teorema 4.9). La longitud de una quebrada no es menor que la longitud del segmento que une sus extremos. k
El teorema 4.9 es para tres puntos, y se van agregando de a uno.
9.3. Definici´ on on (p´ ag. ag. 110 en [Pog]). Un pol´ıgon ıg ono o es una figura formada por un n´ umero umero finito de puntos distintos, A1 , A2 , . . . , An (n > 2) llamados v´erti er tice ces s y los n segmentos A1 A2 , A2 A3 ,. . . , An 1 An , An A1 , llamados llamados lados . En general gen eral denotamos d enotamos al pol p ol´´ıgono por A1 A2 . . . An (el orden es importante). −
Es decir, podemos pensar a un pol´ pol´ıgono como una quebrada
cerrada.
• Dos Do s v´ertice ert icess son so n contiguos si quedan queda n unidos por un lado. Cada Ca da v´ertice ertice es contiguo co ntiguo a exactamente exac tamente dos do s v´ertic ert ices. es. • Se llama diagonal de un u n pol p ol´´ıgono a todo to do segmento s egmento que q ue une u ne dos do s v´ertices ertices no contiguos. c ontiguos. • El pol´ıgono ıgono es convexo si est´a situado en un semiplano respecto a cada una de las rectas A1 A2 ,. . . , An A1, y no tiene m´as as puntos comunes con estas rectas que el segmento A1 A2 ,. . . , An A1 correspondiente.
Recordar la nota sobre otras definiciones de convexidad en la p´agina 15.
9.4. Teorema (15.1 en [Pog]). Si los extremos de la quebrada B1 B2 . . . Bn se hallan en diferentes semiplanos respecto a una recta, la quebrada corta a la recta. k
Recorremos la quebrada hasta encontrar dos v´ertices ertices contiguos en distinto semiplano resp ecto de la recta y usamos axioma II.3.
9.5. Teorema (15.2 en [Pog]). Si una recta recta tiene tres puntos punto s comunes con un pol´ pol´ıgono ıgono convexo, contiene a uno de sus lados. k
Sean A , B , C los los puntos en la recta a y el pol´ pol´ıgono con, por ejemplo, B entre A y C . Si s es el lado del p ol´ıgono ıgono que contiene c ontiene a B , como A , B , C est´ est´ an an alineados debe ser A, C ∈ s o A , C ∈ / s, pero en este caso la recta por s separa a A y C , y el pol´ pol´ıgono no es convexo, entonces s ⊂ a.
9.6. Teorema eorema (15.3 (15.3 en [Pog]) [Pog]).. En el pol´ pol´ıgono convexo A1 A2 . . . An , la diagonal A1 A p ( 2 < p < n) lo divide en dos pol´ıgonos convexos, convexos, A1 . . . A p y A p A p+1 . . . An A1 . Estos pol´ pol´ıgonos est´ an en distintos semiplanos respecto de la recta A1 A p , y la semirrecta A1 A p pasa entre las semirrectas A1 A2 y A1 An . k
No damos esta demostraci´ on (es un tanto larga, y el resultado parece intuitivamente claro). on
9.7. Corolario. Si A es v´ertice erti ce de un pol´ pol´ıgono ıgo no convexo, convex o, B y C son sus v´ ertices ertices contiguos, y AP es una semirrecta entre las semirrectas AB y AC , entonces la semirrecta AP est´ a en los mismos semiplanos, respecto de las rectas AB y AC , que el pol´ pol´ıgono. ıgon o. 9.8. Definici´ Definici´ on. on. Si A es v´ertice ertice de un pol´ıgono ıgono convexo, y B y C son los v´ertices ertices contiguos, llamamos angulo ´ interno o interior al angulo a´ngulo ∠ BAC . BAC . • Se llama angulo ´ angulo externo externo o exterior al angulo a´ngulo adyacente a un ´angulo angulo interno (del pol´ıgono ıgono convexo). 9.9. Teorema (15.4 en [Pog]). En un pol´ pol´ıgono ıgono convexo con n v´ ertices, ertices, la suma de los angulos ´ internos es (n − 2) × 180 . Consecuentemente, la suma de los ´ angulos externos es 360 . ◦
k
◦
Dividimos Divid imos el pol´ıgono ıgono en n − 2 tri´ angulos angulos mediante las n − 3 diagonales que salen s alen de un v´ ertice. ertice.
Bibliograf´ ıa
P´ ag. 19
9.10. Definici´ on. on. Un pol po l´ıgono ıgo no convexo convex o es e s regular si sus lados son iguales y sus ´angulos angulos internos son iguales. 9.11. Corolario. En un pol´ pol´ıgono regular regular con n v´ertices erti ces los angulos ´ internos miden los externos 360 /n. /n.
n−2
◦
n
Bibl Bi blio iogr graf´ af´ ıa [Euc]
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[Pog]
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180 y ◦
