SEGMENTOS
ANGULOS Elementos:
SEGMENTO:
A
Es la porción de recta limitada por dos puntos llamados extremos. El segmento AB de la figura adjunta, se denota: AB o BA
-
. Los puntos A y B son los extremos.
Vértice: O
O A
- Lados: OA, OB
Notación:
B
AOB, AOB
B
Si la longitud o medida del segmento AB es 10 unidades, podemos escribir: AB = 10 ó m AB = 10. En este último caso, la “m” se lee medida.
PUNTO MEDIO DE UN SEGMENTO:
M
Se llama así al punto que equidista de los extremos del segmento dado.
Notación: “M” punto medio
AB .
A
AM = MB
M
Medida:
P
Q
O
m AOB =
OM Bisectriz
del
POQ
B
CLASIFICACIÓN: SEGMENTOS CONGRUENTES: Dos segmentos son congruentes si tienen la misma longitud. Donde AB CD nos señala que AB y CD , son congruentes. La notación aquí mostrada indica que AB = CD. A
B
C
2. Á ng ulos C onvex os : 0º < < 180º
AB + BC + CD = AD También:AC + CD = AD AB + BD = AD B
= 0°
D
OPERACIONES CON SEGMENTOS: A dición dic ión::
A
A . P OR S U MED ME D ID A : 1. Á ngul ng ulo o Nulo: Nulo:
C
Á ng ulo Ag A g udo D
0º < < 90º
S us tracción: tracc ión: AC – AB = BC También:AC – BC = AB A
B
C
Á ng ulo R ecto
Corolario: Las operaciones con segmentos gozan de las mismas propiedades que las operaciones aritméticas.
Igualdad:
= 90º
Dos segmentos son iguales si tienen la misma longitud. Si: MN = 9 u y AB = 9 u Luego: MN = AB
R elación elación de s egmentos: egmentos:
Á ng ulo Obtus o
Si se cumple que: AB
2
BC
AB
2k
BC
3k
3
A
B 2k
C 3k
90º < < 180º
3. Áng ulo Llano:
= 180º
Si:
L1 // L2
es intersecada por la transversal
L
.
4. Áng ulo Cóncavo:
180º < < 360º
L1
5. Áng ulo de una vuelta:
L2
L
= 360º
Ángulos Alternos (iguales) a) b)
B . POR SU POSICIÓN:
Internos: Externos:
= ; = = ; =
Ángulos correspondientes (iguales) = ; = ; =
1. Áng ulos Consecutivos:
Ángulos conjugados (suplementarios) 1. 2.
2. Áng ulos Opues tos por el Vértice:
= = 180° ; + = 180° = = 180° ; + = 180°
PROPIEDADES PARTICULARES: 1.
Si:
L1 // L2
=
Internos: Externos:
L1
x = +
x
3. Áng ulos A dyacentes :
L2
En general: (
+ = 180º
Se cumple:
L1 // L2
) L1
C. POR SU RE LACIÓN:
1. Áng ulos Complementarios :
Dos ángulos son complementarios, si la suma de
L2
sus medidas es 90º. Se cumple: C = 90º –
Complemento de + + + = + +
2. Áng ulos S uplementari os :
2.
Si:
L1 // L2
Dos ángulos son suplementarios, si la suma de
L1
sus medidas es 180º.
S = 180º –
Suplemento de
Se cumple: + + = 360°
L2
3.
Si:
4.
L1 // L2
Hallar: A B C D E F C B
L1
80°
60°
D 40°
A
E F
x
5.
A, B, C y D son puntos consecutivos de una recta. Si AC = 12 cm, BD = 17 cm y AD = 21 cm, calcular BC. A) 7 cm C) 9 cm E) 11 cm B) 8 cm D) 10 cm
6.
P, Q y R son puntos consecutivos de una recta, tales que
L2
Se cumple:
PQ = RQ + 22. Si M es punto medio de PR , calcular MQ. A) 22 B) 11 C) 33 D) 5,5 E) 2,75
+ + + + = 180° 7.
P, Q, R y S son puntos consecutivos de una recta; PR + QS = 27 y PS = 20. Calcular QR. A) 3 B) 7 C) 5 D) 9 E) 4
8.
En una recta se ubican los puntos consecutivos A, B, C y D; si: 3(CD) = 2(AD) y BD – 2(AB) = 18, calcular BC. A) 3 B) 6 C) 12 D) 18 E) N.A.
9.
En una recta se ubican los puntos consecutivos A, B, C y D de modo que AC – BD = BC. Si AB = 4, calcular AD: A) 2 B) 4 C) 6 D) 8 E) N.A.
x = + + +
1.
10. En una recta se ubican los puntos consecutivos A, B, C, D y E; tal que AB = BC; DE = 3(CD) y AE = 40. Calcular BM,
Según el gráfico, calcular x. Si L1 // L2 2
si M es punto medio de CE . A) 10 B) 15 C) 20
L1
2.
En la figura, - = 10° y L1 // L 2 // L 3 ; calcular x. L1
x
3.
A y B (A PB ), si 2(PA) = 3(AB) = (BQ) y BQ – PA = 9 m. Calcular PQ. A) 17 B) 21 C) 33 D) 41 E) N.A.
L2
2
L2
L3
En el gráfico L1 // L 2 // L 3 y + = 240°, calcule x.
L1
2
L2
x
12. En una recta se ubican los puntos A, B, C y D. De modo que: 5(AD) – BC – 2(AC) = 5(BD) y BC = 4. Calcule AB: A) 6 B) 4 C) 8 D) 10 E) 5 13. Pedro, Pablo y Dino están en línea recta, (Dino entre Pedro y Pablo). Entre Pedro y Pablo hay 12 m de separación. Si Dino avanzara 2 m hacia pedro, estaría a igual distancia de ambos. ¿Qué distancia separa a Dino de Pablo? A) 5 m B) 4 m C) 4,5 m D) 3,6 m E) 3 m 14. Se tienen tres puntos consecutivos A, B y C medidos en un sistema tal que 1 pre = 4 cato. Si AB = 8 cato y BC = 5 pre, hallar MN, donde M y N son los puntos medios de AB y BC, respectivamente. A) 7 cato C) 7 pre E) 12 cato B) 14 pre D) 14 cato 15. En una recta se ubican los puntos A, B, C, D, E y F. De modo que AB = BC = CD y CF = 2(BE) = 4(AD); y EF = 14. Calcule CE. A) 10 B) 12 C) 14 D) 16 E) 18 16. En una recta se ubican los puntos consecutivos A, B, C y D tal que AC = 8 y BD = 10. Calcular la longitud del segmento que tiene por extremos los puntos medios de
2
E) N.A.
11. Se tiene el segmento PQ, en el cual se ubican los puntos
x
D) 25
L3
CB y AD . A) 1 B) 2
C) 3
D) 4
E) N.A.
17. Sobre una recta se toman los puntos consecutivos A, B, C y D tal que BC es menor que CD. Halla BC, si AB = 4, CD = 18 y MN = 16, siendo M y N puntos medios de
AB y BD , respectivamente. A) 5 B) 15 C) 10
D) 20
31. Si al suplemento de un ángulo se le disminuye el séxtuplo de su complemento. Resulta la mitad del valor del ángulo. Hallar el suplemento del complemento del ángulo A) 100º B) 170º C) 110º D) 140º E) N.A. 32. En la figura, L1 // L2 . Calcular el valor de x.
E) 25
18. El FOA y el AOG son consecutivos y OM bisectriz del FOG. Si mMOA = 24° y m FOG = 90°, calcular m AOG. (Si mFOA > m AOG). A) 20° B) 23° C) 22° D) 21° E) 24° 19. Se tienen los ángulos consecutivos AOB, BOC y COD tal que: m AOD = 6mBOC y m AOB + mCOD = 75°. Calcular la mBOC. A) 5° B) 10° C) 15° D) 20° E) 25°
ángulos
AOB
y
AOC
L2
48° x
2+5°
: bisectriz del AOB. Hallar la mCOD si: m AOC + mBOC = 160°. A) 20º B) 40º C) 60º D) 80º E) N.A. los
L1
son
complementarios siendo OX bisectriz del ángulo BOC. Entonces el AOX mide: A) 15º B) 30º C) 45º D) 60º E) N.A.
118° 112° 102° 108° 128°
33. En la figura: L1 // L2 . Calcular el valor de x.
OD
que
A) B) C) D) E)
56°
x
20. Se tienen los ángulos consecutivos AOB y BOC; se traza
21. Sabiendo
L1
L2
150° –
A) B) C) D) E)
37° 48° 52° 77° N.A.
A) B) C) D) E)
102° 104° 107° 106° 108°
A) B) C) D) E)
90° 60° 45° 30° N.A.
34. Calcular el valor de x, si L1 // L2 . x
22. y son medidas de ángulos adyacentes y: 2 + = 200°. Calcular el valor de . A) 20° B) 40° C) 100° D) 140° E) 160°
L1
32°
L2
23. El suplemento del complemento de un ángulo de 32°, mide: A) 132° B) 102° C) 112° D) 122° E) 142°
35. Si: 4y – x = 30°; L1 // L2 . Calcular “x” 24. Se tienen dos ángulos complementarios, si a la medida de uno de ellos se le quita 30° para agregarlos al otro, resultan números iguales. Calcular la medida del menor. A) 30° B) 15° C) 75° D) 60° E) 45°
4y
L1
x
25. Las medidas de dos ángulos suman 110°. ¿Cuánto suman sus complementos? A) 110° B) 60° C) 70° D) 50° E) 80°
L2
y
26. El complemento de la mitad del suplemento de 20° es: A) 20° B) 10° C) 45° D) 80° E) 15° 36. En la figura, L1 // L2 ; calcular x. 27. La suma del complemento y suplemento de un ángulo es igual al triple de la medida de dicho ángulo. Calcular el suplemento del ángulo cuya medida es el doble de la medida del primer ángulo. A) 18° B) 36° C) 54° D) 72° E) 144°
L1
A) 55° B) 67°
110° x
28. El suplemento del complemento de un ángulo es igual al quíntuplo del complemento del mismo ángulo. Calcular el suplemento del ángulo que tiene por medida a la mitad de la medida del primer ángulo. A) 100° B) 120° C) 150° D) 160° E) 172° 29.
Las medidas de dos ángulos suplementarios son proporcionales a 1 y 5. Calcular el suplemento del complemento del complemento del menor de los ángulos mencionados. A) 30° B) 50° C) 110° D) 140° E) 150°
30. Si al suplemento de un ángulo se le aumenta el complemento del complemento del ángulo, resulta el cuádruple del complemento del mismo. Hallar la medida del ángulo. A) 10º B) 30º C) 60º D) 70º E) 45°
C) 85° D) 97° E) N.A. L2
37. Hallar “” si: L1 // L2 .
m°
L1 n°
3
4 n°
m° L2
A) B) C) D) E)
22,5° 30° 45° 60° 18°