UNIVERSIDAD NACIONAL AUTÓNOMA DE MÉXICO
FACULTAD DE INGENIERÍA
APUNTES DE GEOMETRÍA ANALÍTICA
SEMESTRE 2016-1
PROF. ING. ALICIA PINEDA RAMÍREZ
Geometría Analítica
GEOMETRÍA ANALÍTICA MÉTODO DE EVALUACIÓN
La exención se otorgará a los alumnos que acrediten el curso con calificación aprobatoria mínima de siete (7). Para poder presentar los exámenes correspondientes a cada parte del curso, el alumno deberá entregar las series correspondientes a los capítulos que comprenda cada examen. Esta serie tiene un valor del 10% + la calificación del examen. Se dejarán tareas, su promedio tendrá tendrá un valor del 25%, NO SE ACEPTAN TAREAS ATRASADAS. ATRASADAS. Se dejará un proyecto sobre superficies, con valor de hasta un punto sobre la calificación final. En caso de no quedar exentos se tendrá la posibilidad de presentar los dos exámenes finales, siempre y cuando su asistencia a clases sea del 70%. El primer final será promediado con parciales y con el promedio de las calificaciones de las tareas que se dejen a lo largo del curso. Para este promedio se considerarán los siguientes porcentajes. Examen final
50%
Exámenes parciales Tareas
40% 10%
ESCALA DE CALIFICACIONES 0.0 – 5.9 --- 5 6.0 – 6.4 --- 6 6.5 6.6 – 7.4 --- 7 7.5 7.6 – 8.4 --- 8 8.5 8.6 – 9.4 --- 9 9.5 9.6 – 10 --- 10 En caso de no aprobar el primer examen final, la calificación correspondiente será la obtenida en el segundo examen final.
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Los oyentes serán evaluados con el segundo examen final colegiado. FECHAS DE EXAMENES PARCIALES Y FINALES: 1er. Parcial: Temas Temas 1, 2, 31 agosto al 4 septiembre septiembre de 2015 2do. Parcial: Tema 3, 24 al 30 de Septiembre Septiembre de 2015 3er. Parcial: Temas Temas 4, 19 al 23 Octubre de 2015 4to. Parcial: Temas Temas 5 y 6, 25 al 27 de Noviembre Noviembre 2015 FINALES 1er. Final: 3 Diciembre de 2015, 13:00 hrs. 2do. Final: 10 de Diciembre de 2015, 10:30 hrs
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BIBLIOGRAFÍA
1. Bell E.T. Historia de las Matemáticas, Fondo de cultura económica, 1995
2. Castañeda De I.P., Érik Geometría analítica en el espacio, Facultad de Ingeniería, UNAM, 2003
3. Solis U., Rodolfo et al Geometría Analítica, Limusa-Facultad de Ingeniería, UNAM, 1999
4. Swokowski, Earl Cálculo con geometría analítica,CengageLearning, 2007
5. Lehmann, Charles Geometría Analítica, Limusa, 2008
6. Solis U., Rodolfo et al Antecedentes de Geometría Analítica, Trillas- Facultad de Ingeniería 1990 CAPÍTULOS: 1. 2. 3. 4. 5. 6.
Introducción a la Geometría Analítica Curvas en el plano polar Álgebra vectorial La recta y el plano en el espacio Curvas en el espacio Superficies
Geometría Analítica
I.
INTRODUCCIÓN A LA GEOMETRÍA ANALÍTICA.
I.1 Breve historia. Geometría Euclidiana y geometrías no Euclidianas. I.2
Introducción al sistema de coordenadas cartesianas en el plano y en el espacio de tres
dimensiones.
En un espacio de dos dimensiones (plano), los puntos están definidos por una pareja ordenada de números reales; tienen dos coordenadas. Pueden representarse geométricamente en un plano determinado por dos ejes perpendiculares llamados coordenados, que se cortan en un origen común. Denominados ejes X y Y. A la distancia desde el eje Y a cualquier punto del plano, se le llama abscisa del punto. A la distancia desde el eje X a cualquier punto del plano se le llama ordenada del punto. Las dos distancias juntas son llamadas coordenadas del punto y se representa como (x,y). La abscisa es positiva cuando el punto está a la derecha del eje Y, y negativa cuando está a la izquierda. La ordenada es positiva cuando el punto se localiza arriba del eje X y negativa cuando se localiza abajo. A cada punto en el plano le corresponde una pareja ordenada de valores. La posición de un punto en un plano se define por medio de las dos distancias de éste a dos ejes que se cortan y que, normalmente son perpendiculares entre sí. Al sistema descrito, se le conoce como sistema cartesiano en el espacio de dos dimensiones. Principio cartesiano: Un sistema coordenado rectangular en el plano que establece una correspondencia uno a uno entre cada punto del plano y una pareja ordenada de números reales. Este principio implica que a cada punto en el plano le corresponde una y sólo una pareja ordenada de números reales y, recíprocamente, a cada pareja ordenada de números reales le corresponde uno y sólo un punto en el plano. En el espacio de tres dimensiones, un punto se determina mediante sus distancias a tres planos perpendiculares dos a dos y que se llaman planos coordenados. Las distancias del punto a estos planos se denominan coordenadas del punto.
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II.
Curvas en el plano polar
2.1 Sistema de coordenadas polares. Simetría de puntos en coordenadas polares.
Para ciertas curvas y tipos de lugares geométricos el uso de coordenadas polares presenta algunas ventajas sobre las coordenadas rectangulares. En el sistema polar, un punto se localiza especificando su posición relativa con respecto a una recta fija y a un punto fijo de esa recta. La recta fija se llama eje polar ; el punto fijo se llama polo.
P Eje polar
Para el punto P en el plano coordenado, se designa su longitud con r y el ángulo entre AOP. La posición del punto P con relación al eje polar y al polo es determinada cuando se conocen r y . Estas dos cantidades se llaman coordenadas polares del punto P; en particular, r se llama radio vector y ángulo polar . Las coordenadas polares se indican de la siguiente manera (r, ). La línea recta que pasa por el polo y es perpendicular al eje polar se llama el eje a 90°.
El ángulo polar se mide como en trigonometría considerando el eje polar como lado inicial y el radio vector como lado final del ángulo, es decir al partir del eje polar hacia el radio vector; se considera positivo o negativo según el sentido seguido, sea opuesto al de las manecillas del reloj o el mismo.
Un par de coordenadas polares (r, ) determina uno y solamente un punto en el plano coordenado. Mientras el sistema rectangular establece una correspondencia biunívoca entre cada punto del plano y un par de números reales, esta correspondencia no es única en el sistema polar, porque un punto puede estar representado por un número infinito de pares de coordenadas polares. Se tomara el radio vector de un punto particular como positivo y su ángulo polar comprendido entre cero y el ángulo positivo más pequeño menor que 360 °, de manera que la variación de los . A este par se le llamará par principal de coordenadas valores de está dada por: polares del punto.
0°≤≤360°
El ángulo polar puede expresarse en grados o radianes.
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Simetría de puntos en coordenadas polares. Si la curva es simétrica con respecto al eje polar entonces para cada punto P existe un punto P’, tal que el segmento PP’ es bisecado perpendicularmente por el eje polar.
La simetría con respecto al eje polar existe si las sustituciones indicadas cambian a la ecuación dada en una ecuación equivalente. Teorema:
– se remplaza por π –
a) Si se remplaza por y el resultado es equivalente a la ecuación original, la gráfica es simétrica respecto al eje polar. b) Si - y el resultado es equivalente a la ecuación original, la gráfica es simétrica respecto al eje de 90° (copolar). c) Si r se remplaza por r y el resultado es equivalente a la ecuación original, la gráfica es simétrica respecto al polo. 2.2 Transformación de coordenadas cartesianas a polares y de polares a cartesianas. Se obtienen relaciones particularmente simples cuando el polo y el eje polar del sistema polar se hacen coincidir, respectivamente, con el origen y la parte positiva del eje X del sistema rectangular. Dado un punto P que tenga por coordenadas rectangulares (x,y) y por coordenadas polares (r, ), las relaciones quedan:
Despejando:
±√
cos , tan ± √ cos± √
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Entonces la representación de la pareja (x,y) en coordenadas polares queda:
P(r cos , r sen ) r
r cos
rsen
En tales condiciones al vector de magnitud r y ángulo de inclinación , le corresponden las componentes (r cos , r sen ). La magnitud de un vector es un número no negativo, sin embargo para efecto de estructurar el sistema polar de referencia, se puede interpretar la magnitud negativa de un vector, como sigue:
π.
Si r<0 entonces se considera que ( rcos , r sen ) es el vector (-r cos , -r sen ) tal que + , es decir es el vector de magnitud –r y ángulo de inclinación +
π
=
Y
(-r cos , -r sen )
-r
r
X
π π
(r cos , r sen ) =
(-r cos ( + ), -r sen( + )) Hallar un par de coordenadas polares del punto P cuyas coordenadas rectangulares son (3, -5) 2.3 Ecuaciones polares de curvas. Cardioides, lemniscatas, rosas de n pétalos.
Ecuación polar de la recta: Una línea recta en el plano, también se puede definir por medio de una ecuación polar. Si se considera una recta que no contiene al polo, un punto P cualquiera de ella, cuyas coordenadas en el sistema de referencia polar serán (r, ). Para determinar su ecuación polar se define el punto
Np, α que será l a i n tersecci ó n de l a perpendi c ul a r a l a recta y que conti e ne al pol o , p resul t a ser la distancia del polo a la recta y α es el ángulo que forma la perpendicular a la recta que pasa por el polo y el eje polar.
Para el triángulo ONP se puede establecer la siguiente relación:
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cos cos Que será la ecuación polar de la recta. Algunos casos particulares de la ecuación polar de la recta: Si la recta contiene al polo, se ve que p=0 y α no está definida. Por otra parte para cualquier punto P(r, ) que pertenezca a la recta, r coincide con la recta y resulta ser el ángulo que la misma forma con la parte positiva del eje polar. Por lo que será suficiente conocer el ángulo que forma con parte positiva del eje polar, lo cual lleva a la expresión:
; Esta ecuación polar de la recta contiene al polo. Si se tiene una recta paralela al eje polar que contiene el punto P(r 1,
p r sen θ 2
1),
se observa que
Por ser perpendicular al eje polar, así que sustituyendo valores en la ecuación general de la recta, se tiene: Pero
cos
Entonces (r1,
− −
1).
Ecuación polar de la recta paralela al eje polar y que contiene el punto P
El caso de la ecuación de la recta normal al eje polar y que contiene el punto P (r1,
1).
Para este caso: p = r1cos , α=0 Sustituyendo en la ecuación general de la recta en coordenadas polares se tiene:
cos cos
Ecuación polar de la recta normal al eje polar y que contiene al punto P (r 1,
1).
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Ecuación polar de las cónicas.
Ecuación polar de la circunferencia, de radio a y centro en (h, k) cuya ecuación cartesiana es:
ℎ Misma circunferencia pero referida al sistema de coordenadas polares, la relación que existe entre las coordenadas cartesianas y polares del centro de la circunferencia está dada por las siguientes expresiones:
ℎ ℎcos Y la relación entre las coordenadas cartesianas y polares de un punto cualquiera de la circunferencia está dada por:
cos Se llega a la expresión:
2cos Conocida como ecuación general polar de la circunferencia con radio a y centro de coordenadas (c, α). Ecuación polar de la parábola, la elipse y la hipérbola.
Estas curvas se obtienen a partir de las características comunes que guardan entre ellas, se obtendrá una expresión general llamada Ecuación Polar de las Cónicas, de la cual se obtendrán las expresiones particulares correspondientes a la parábola, la elipse y la hipérbola. La cónica es el conjunto de todos los puntos contenidos en un plano, tales que la distancia no dirigida de cada punto a un punto fijo está en razón constante a la distancia no dirigida a una recta fija que no contiene al punto fijo. La razón c onstante se llama excentricidad y se simboliza con “e”.
En una cónica donde un foco coincide con el polo, su eje focal coincide con el eje polar y la directriz del foco está a la izquierda de éste. Entonces:
r= e (p + cos ), desarrollando r (1 –e cos )=ep
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−
Ecuación de una cónica en la cual un foco coincide con el polo, su eje focal coincide
con el eje polar y la directriz está a la izquierda del foco; y representa a una parábola, una elipse o una hipérbola, dependiendo de que respectivamente.
1,0< <1 >1
Para el caso en que, la directriz es una recta normal al eje polar, su ecuación será:
Si en la cónica un foco coincide con el polo, su eje focal coincide con el eje polar, pero la directriz
+
está a la derecha del foco considerado, entonces la ecuación es: por ecuación:
y su directriz tiene
Cuando un foco coincide con el polo, el eje focal de la cónica coincide con el eje copolar, y la
±
directriz es paralela al eje polar, la ecuación de la cónica será: recta de ecuación:
±
y como directriz la
El signo positivo corresponderá al caso de que la directriz esté situada arriba del polo, y el signo negativo corresponde a la directriz situada abajo del polo. Cardioides, lemniscatas, rosas de n pétalos.
Las gráficas de ecuaciones en coordenadas polares se pueden trazar ubicando punto por punto, como en el caso de las coordenadas rectangulares. Toda gráfica tiene sus valores de
0°≤≤360°
y por lo regular los valores de fuera de este
intervalo no producen nuevos puntos.
La gráfica se obtiene partiendo de una tabla de valores de r y . Hay varios tipos de ecuaciones en coordenadas polares a cuyas gráficas se les han dado nombres especiales. Las gráficas de ecuaciones de las formas: r = a sen n
y r = a cos n
donde n es un entero positivo mayor que 1, se llaman curvas de trébol. La gráfica de una curva de trébol está formada por lazos cerrados igualmente espaciados, que parten del origen. El número de lazos, hojas o pétalos, depende del entero n . Si es impar, hay hojas; si es par hay hojas.
– 2 → 2 2180°360°22
Aplicando los criterios de simetría. Si se remplaza r con r, la ecuación:
no establece simetría con respecto al polo. Pero al sustituir a por 180° + da , que resulta que la gráfica es simétrica con respecto al polo.
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De la misma manera se ve que la curva es simétrica con respecto a la recta vertical (eje copolar) , pues al sustituir por r por r y por : . Noté que fallan los criterios para simetría polar y para simetría con respecto a la recta vertical.
– – 2 2, 2
Como se tienen las tres simetrías, solo se necesita determinar la gráfica en el primer cuadrante y después usar las simetrías para graficar toda la curva.
Además si r= 0 se encuentra que =0, 90°, 180°, 270°, se obtendrá una gráfica llamada trébol de cuatro hojas debido a su aspecto.
y 1 0.5 0 -1
-0.5
-0.5
0
0.5
0
0.5
1
-1
r=cos 3
1 0.5 0 -1
-0.5
1
1.5
-0.5 -1
Graficando r = 1+cos . La ecuación puede graficarse fácilmente en coordenadas rectangulares mediante la suma de ordenadas. La curva representada se llama cardioide ma es r=a + b sen , o r=a+bcos . Si , se tiene un cardioide. Un caracol se reconoce fácilmente por la forma de su ecuación.
, que qui e re deci r “semej a nte a un corazón”; es un caso especi|||| al de una curva más general l amada caracol, cuya for
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1.5 1 0.5 0 -0.5
y 0
0.5
1
1.5
2
2.5
-0.5 -1 -1.5
2 < 0<< << <<2 ≤≤ 2 cos2
En este caso la ecuación tiene dos valores de r para cada en los intervalos de
<
mientras que no tiene valor alguno cuando
lazos para
0≤≤
. Se obtendrán dos
. De igual manera se obtienen ambos lazos por segunda vez para
.
Y no hay puntos de la gráfica en el segundo o cuarto cuadrante. A la curva obtenida se le llama lemniscato.En términos generales la ecuación es:
-1
-0.5
1 0.8 0.6 0.4 0.2 0 -0.2 0 -0.4 -0.6 -0.8 -1
0.5
1
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2.4 Análisis de una curva representada por una ecuación polar. El análisis de la ecuación de una curva comprende los siguientes puntos: 1.- Determinación de las intersecciones de la curva con el eje polar y con el eje copolar. 2.- Estudio de la simetría de la curva, respecto al eje polar, al eje copolar y al polo. 3.- Estudio de la extensión de la curva 4.- Cálculo de las coordenadas de algunos puntos de la curva 5.- Representación gráfica de la curva 6.- Transformación de la ecuación polar a una en coordenadas cartesianas. El análisis de una ecuación polar requiere de ciertas precauciones, que no son necesarias cuando se hace el análisis de una ecuación en coordenadas rectangulares. Un punto en el sistema rectangular tiene un solo par de coordenadas, pero un punto en el sistema polar tiene una infinidad de pares de coordenadas. Podría suceder que para un punto P de una curva, un par de sus coordenadas polares satisfaga la ecuación de la curva, pero otro par no la satisfaga. Dada la diversidad de representaciones polares de un punto, se tienen ecuaciones polares equivalentes. La equivalencia entre dos ecuaciones polares puede ser evidente si ésta es algebraica o trigonométrica. Es decir si una ecuación puede obtenerse de otra con efectuar una simplificación algebraico o trigonométrica, por ejemplo:
24cos 2 Evidentemente representan el mismo lugar geométrico. La equivalencia entre ecuaciones polares puede ser más difícil de determinar cuando no es algebraica ni trigonométrica, porque se debe a las diferentes posibilidades de representación de un punto en este tipo de coordenadas 1.- Intersecciones. Con el eje polar, cuando existen se pueden determinar calculando los valores de r que resultan cuando a se le asignan los valores de , donde n Z
± ,± ,…, ; ∈
0,±,±2,…,
Con el eje copolar, en este caso las intersecciones se pueden determinar calculando r para a
igual
. Si para algún valor de resulta r=0, entonces la curva toca el polo.
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2.- Simetrías. Respecto al eje polar: una curva es simétrica si para cada punto P existe un punto P 1 que también pertenece a la curva, de tal forma que el eje polar es mediatriz del segmento obtenido, por lo que una curva es simétrica, si su ecuación polar no se altera cuando se reemplaza por – o por( – y r por –r).
π
Respecto al eje copolar: es simétrica, si para cada punto P de la curva, existe un punto P 1 también de la curva de tal forma que el eje copolar es mediatriz del segmento.Una curva es simétrica respecto al eje copolar si su ecuación polar no se altera cuando se reemplazan por – o ( por – y r por –r).La simetría respecto al eje copolar existe también si al reemplazar los valores anteriores, la ecuación polar de la curva cambia por una equivalente o no cambia.
π
Respecto al polo. Si para cada punto P de la curva, existe un punto P 1 también de la curva tal que el polo es el punto medio del segmento. Es simétrica con respecto al polo si su ecuación polar no se altera cuando se reemplaza por + o r por r. La simetría existe si el reemplazo indicado
π
–
cambia la ecuación polar de la curva en una equivalente. 3.- Extensión: Se determina si la curva es cerrada o abierta, para lo cual será necesario que en su ecuación se exprese r en función de es decir r=f( ). De tal manera que si para cualquier valor de la variable r toma un valor finito, entonces la curva es cerrada.
Si para ciertos valores de la variable r se vuelve infinita, entonces la curva es abierta. Si para ciertos valores de la variable r se vuelve compleja, entonces no hay curva para estos valores. 4.- Calculo de las coordenadas de algunos puntos de la curva. Las coordenadas polares de algunos puntos de la curva pueden obtenerse asignando valores particulares a en la ecuación de la curva r = f( ), con lo que se obtendrán los valores correspondientes de r cuando existen. En general será suficiente dar valores de a intervalos de .
5.- Representación gráfica de la curva. Para esto será necesario trazar un sistema de referencia polar, y localizar, en este sistema, los puntos tabulados en el paso anterior. A continuación se unen estos puntos con una curva continua, que deberá concordar con los datos obtenidos en los pasos uno, dos y tres. 6.- Transformación de la ecuación polar a una en coordenadas cartesianas. Haciendo uso de las ecuaciones de transformación entre el sistema de referencia polar y el cartesiano, se puede transformar la ecuación de la curva f(r, )=0 a otra del tipo f(x, y)=0
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III.
Álgebra vectorial
3.1Sistema cartesiano en tres dimensiones, simetría de puntos
En un espacio de tres dimensiones, los puntos están definidos por una terna ordenada de números reales, ahora se tienen tres coordenadas. En este caso son tres ejes perpendiculares entre sí (cada uno de ellos perpendicular a los otros dos) que se cortan en un origen común. A este sistema se le conoce como sistema cartesiano en el espacio de tres dimensiones. Los ejes se denominan generalmente con las letras X, Y, Z. Los tres ejes definen tres planos llamados Planos Coordenados, que dividen al espacio tridimensional en ocho partes llamadas octantes. El plano XY contiene los ejes X y Y, el plano XZ contiene los ejes X y Z y el plano YZ a los ejes Y y Z. Un punto cualquiera en el espacio tridimensional queda definido si se conocen sus tres distancias dirigidas a los tres planos coordenados. La distancia del punto al plano YZ se llama abscisa, su distancia a XZ es ordenada, y su distancia al plano XY, se llama cota. A cada terna ordenada puede hacerse corresponde un punto del espacio. Ejemplo. P (2,3,3) Para espacios de más de tres dimensiones, los puntos no pueden representarse geométricamente.
Simetría:
Definición: Dos puntos P y P1 son simétricos con respecto a un tercero O, si éste es un punto medio del segmento PP1. Definición: Dos puntos P y P1 son simétricos con respecto a una recta L, si ésta es mediatriz del segmento PP1. Definición: Dos puntos P y P1 son simétricos con relación a un plano, si éste es normal bisector del segmento PP1 Con base en estas definiciones, se puede plantear que a todo punto P (x,y,z) del espacio de tres dimensiones, le corresponde un simétrico P 1 (-x,-y,-z) con respecto al origen. A todo punto P(x,y,z) del espacio de tres dimensiones le corresponde un simétrico P1(x,-y,-z) con respecto al eje X, puesto que este eje es la mediatriz del segmento PP 1. En consecuencia a todo punto P(x,y,z) del espacio de tres dimensiones le corresponde un simétrico P1 (x,y,-z) con respecto al plano XY, pues un plano normal bisector del segmento PP1. Además tiene sus simétricos respecto a los planos YZ P 2 (-x,y,z) y en XZ (x,-y,z).
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3.2 Cantidades escalares y cantidades vectoriales. Definición de segmento dirigido. Componentes escalares de un segmento dirigido en la dirección de los ejes coordenados. El vector como terna ordenada de números reales. Definición de módulo de un vector e interpretación geométrica. Vector de posición de un punto. Vector nulo. Vector unitario. Vectores unitarios i,j,k. Vectores representados por una combinación lineal de los vectores i, j, k.
Es frecuente encontrarse con cantidades que poseen magnitud y dirección, como la fuerza, la velocidad, la aceleración, el desplazamiento, etc. A este tipo de cantidades se les denomina cantidades vectoriales o vectores. Y se denominan cantidades escalares a aquellas en las que las medidas quedan correctamente expresadas por medio de un número y su correspondiente unidad, como masa, temperatura, presión y densidad. Para representar geométricamente a un vector se utiliza el segmento dirigido, el cual es un segmento de recta entre dos puntos al que se le asigna un sentido, con un punto inicial llamado origen y un punto final llamado extremo. Q (extremo)
P (origen) Los segmentos dirigidos presentan las características de un vector: dirección, dada por la dirección de la recta y por el sentido de recorrido (flecha) y magnitud, dada por la longitud del segmento. Por lo general se usan letras minúsculas con una testa para designar a los vectores:
,,̅ .
A fin de describir los vectores desde un punto de vista analítico, es conveniente considerar que dos vectores son iguales si tienen la misma magnitud y la misma dirección, se establece que un vector no se altera si se mueve paralelamente a sí mismo.
Bajo la consideración anterior, el origen de cualquier vector se puede hacer coincidir con el correspondiente sistema coordenado rectangular, con lo cual es factible establecer una descripción de un vector en forma exclusivamente numérica.
Considerando un vector representado gráficamente por un segmento dirigido cuyo punto inicial es el origen del sistema y con punto final
,,
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, , ,, , , , , , , ,
A los tres número reales, se les denomina las componentes escalares del segmento dirigido sobre los ejes coordenados y dado que representa gráficamente al vector , se dice que estos números son las componentes de dicho vector y de esta forma el vector se expresa como: , donde es la componente en X, la componente en Y, y es la componente en Z.
Si se considera ahora a un vector representado geométricamente por el segmento dirigido las coordenadas de R y S son respectivamente entonces dicho vector tiene por componente a . Se puede establecer que si dos vectores son iguales, tienen las mismas componentes; e inversamente, dos vectores con las mismas componentes son necesariamente iguales en magnitud y dirección. Se concluye que un vector queda completamente determinado, especificando, en forma ordenada, los tres números reales que constituyen sus componentes.
,, ,, , , ||
Una ecuación vectorial donde representar las siguientes tres igualdades entre números reales.
Módulo de un vector:
El modulo es la magnitud del vector. El símbolo vector
.
, es una forma de
se utilizará para denotar el módulo del
Para deducir la expresión que calcula el módulo de un vector a partir de sus componentes, se usa la siguiente figura: Z
A=
a,a,a
O Y X
Del triángulo rectángulo OMN
||√
ON√ a a
Del triángulo rectángulo OAN
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Por lo tanto el módulo del vector es:
||√
Vector posición, vector libre. Se denomina aquel que indica la posición por medio de la línea recta dirigida desde la posición previa a la posición actual. Lo usual es que el vector une al origen con cualquier punto P es el vector de posición P. DEFINICIÓN: Sea el punto A en el espacio de tres dimensiones, cuyas coordenadas son se llama vector de posición de este punto al representado por el segmento dirigido que va del origen del sistema a dicho punto.
,,;
0, 0, 0,, Designado por
al vector de posición del punto A, sus componentes son: , como se puede observar, las componentes del vector de posición son siempre iguales a las coordenadas del punto. A O
,,
,,
A cada punto del espacio de tres dimensiones le corresponde un vector de posición y viceversa. En general está correspondencia existe, cualquiera que sea la dimensión del espacio en que se trabaje. Un vector libre queda caracterizado por su módulo, dirección y sentido. Este vector es independiente del lugar en el que se encuentra. Cada vector fijo es un vector libre, son vectores equipolentes es decir, que tienen igual módulo, dirección y sentido.
0 0,0,0,…,0
Un vector nulo es un vector cuyas componentes son cero, esto es: . Este vector tiene módulo cero, por eso se llama vector nulo, pero no se le asigna ninguna dirección en particular. Geométricamente puede ser considerado como un segmento dirigido para el cual el origen y el extremo son coincidentes, es decir, son el mismo punto. Un vector es unitario cuando su módulo es igual a la unidad. Para cualquier vector diferente de cero, siempre es posible determinar el vector unitario en su misma dirección. Así la expresión para obtener un vector unitario en el espacio de tres dimensiones es:
|| , || , || |1| ,,
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Los vectores unitarios i, j, k, tienen la dirección de los ejes coordenados y su módulo es igual a 1. Z
k j i
Y
X A los vectores unitarios no se acostumbra testarlos. En términos de sus componentes, los vectores unitarios quedan expresados de la siguiente manera
1,0,0, 0,1,0, 0,0,1 ,,,0,00,,00,0, 1,0,00,1,00,0,1 4,10,9 4109 Así entonces el vector
es una combinación lineal de vectores unitarios.
Esta expresión define al vector
en su forma trinómica.Así la forma trinómica del vector . Ambas notaciones son equivalentes.
3.3 Definición de igualdad de vectores. Operaciones con vectores: adición, sustracción y multiplicación por un escalar. Propiedades de las operaciones. DEFINICIÓN: Dados dos vectores en el espacio de n dimensiones,
,,,…, ,,,…, , correspondientes son iguales; es decir
, ,…,
es igual a si y solo si, sus componentes si y sólo si .
Se dice que dos vectores son iguales si sus respectivos segmentos dirigidos tienen la misma magnitud y dirección.
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Operaciones con vectores:
Adición. DEFINICIÓN: Dados dos vectores en el espacio de n dimensiones, la suma es el vector que se obtiene sumando sus componentes correspondientes. Así se tiene:
,,,…, ,,,…,, , ,…,
En esta definición se llama suma al vector que resulta de aplicar la operación de adición entre los vectores . La adición de vectores en el espacio de tres dimensiones se puede interpretar geométricamente, a partir del siguiente razonamiento. El fenómeno de desplazamiento de un cuerpo se puede interpretar matemáticamente a través de vectores, así si un objeto se desplaza en una trayectoria recta de un punto R a un punto S, esto queda representado por el segmento . Si posteriormente el mismo objeto se mueve en línea recta desde el punto S al punto T, es desplazamiento es Entonces el desplazamiento total corresponde a que si se hubiera efectuado uno solo desde el punto R al T, por lo que el vector es la resultante de los desplazamientos y .
En la siguiente figura se observa que .
.
es una diagonal del paralelogramo definido por
y
T
R
S
Propiedades:
1) Cerradura. Si son dos vectores del espacio de n dimensiones, entonces también es un vector de n dimensiones. 2) Asociatividad. Se cumple que: 3) Existencia del elemento idéntico. Para la adición de vectores existe un elemento idéntico que es el vector cero, cuyas componentes son iguales a cero y designado por , y tiene la propiedad que: 4) Existencia de los inversos. Si se tiene un vector , su negativo es , definido como . Entonces se cumple que: . Para cada vector siempre existe su inverso, tal que al sumarlos da como resultado el vector cero. 5) Conmutatividad. Se cumple que:
( ̅) ()̅ 0 0,0,0,…,0 0 0 – –,,…, 0
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Si λ es un número realdimlensilamado comúnmente escal a r o nes, el producto λ por λ, es decir:
Multiplicación por Escalar. DEFINICIÓN. y es un vector en el espacio de n vector obtenido multiplicando cada componente de
,,,…, λλa,λa,…,λa
es el
Al multiplicar un vector por un escalar, da como resultado un vector del mismo espacio. Si el escalar es mayor que uno, el resultado de la multiplicación será un vector con la misma dirección del vector, pero conmódulo mayor que el del vector original. Si el escalar es mayor que cero pero menor que uno, el resultado será un vector con la misma dirección pero con módulo menor. Cuando el escalar es mayor que -1, pero menor que cero se obtendrá un vector paralelo al vector original, pero con dirección opuesta y módulo menor. Finalmente si el escalar es menor que menos uno, el resultado será un vector paralelo al vector inicial pero con dirección opuesta y módulo mayor. Propiedades:
Si λ y λ λ λ λ λ λ λ λ λ |λ||λ λ |λ |λ | 0 0 0 1
2 son
escalares y
son vectores del mismo espacio, se cumplen las siguientes
propiedades:
1) 1 1 + 1 2) 1 + 2) 1 2 3) 1 2) 1 2 ) 4) 5) 0 = , 1 = , (-1) =- , - =
Sustracción de vectores:
() ,,…,,, …, , ,…, ()
DEFINICIÓN: La sustracción de vectores
se puede definir a partir de la adición como:
La interpretación geométrica de la sustracción de dos vectores, muestra que los vectores se consideran con origen común y la diferencia es el vector que va del extremo de . Es decir se hace la adición de
Geometría Analítica
Z
3.4 Producto escalar de dos vectores y propiedades. Condición de perpendicularidad entre vectores. Componente escalar y componente vectorial de un vector en la dirección de otro. Ángulo entres dos vectores. Ángulos, cosenos y números directores de un vector. Producto escalar de dos vectores: DEFINICIÓN El producto escalar de dos vectores en el espacio de n dimensiones denotado por , es:
,,,…,
,,,…,
∙ ∙ ∑ ⋯ =
y
El resultado del producto escalar de dos vectores es un escalar (número real). A este producto escalar también se le conoce como producto interno o producto punto. Propiedades.
,,̅
Dados los vectores en el espacio de n tiene las siguientes propiedades: 1) 2) 3) 4)
∙ ∙( ̅∙)∙ ∙̅ λa∙b λ (a∙b), λ ∈R ∙>0 ≠0
dimensiones y el escalar λ, el producto escalar
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Condición de perpendicularidad. Dos vectores
∙ 0
son ortogonales si y solo si
Geométricamente se establece que triángulo descrito se cumple que:
|| 0,
son perpendiculares (ortogonales) si y solo si en el
∙ 0
En caso de que los vectores sean iguales a entonces necesariamente se cumple que En esta situación, el vector no tiene una dirección definida; sin embargo se ha adoptado que el vector nulo es ortogonal a todo vector.
0
Componente escalar y componente vectorial.
λ .Al escalar λ se le l ama componente escalar, ydeλes
DEFINICIÓN: La componente vectorial de un vector sobre otro vector , que se simboliza en el cual es un vector unitario en la dirección de un escalar tal que es ortogonal a sobre .
.. , es unλ vector λ . ∙ El escalar λ, o sea la componente escalar de
La componente vectorial de sobre está dada por la expresión:
sobre está dada por la expresión:
Geometría Analítica
.. ∙ Por otro lado del triángulo rectángulo se tiene que:
|∙| ∙ cos
De donde:
|| || ∙ ||cos; 0° ≤≤180° cos0
∙
Se debe notar que cuando son ortogonales, se tiene que y por lo tanto , que coincide con la proposición enunciada previamente acerca de la ortogonalidad de vectores.
0
Además, el signo del producto escalar i)
ii) iii)
∙
es importante, pues expresa:
cos>0, . cos0 cos<0 Si
el ángulo que forman es agudo y, por lo tanto, la proyección de en la dirección de tiene el mismo sentido que el vector que recibe la proyección; es decir Si , el ángulo es de 90° y la proyección de en la dirección de es el vector nulo. Si , es obtuso y tiene sentido contrario al de
Ángulo entres dos vectores. Anteriormente se llegó a determinar la expresión:
∙ || , 0≤≤180°
En la cual el ángulo es el ángulo que forman los vectores común.
Al despejar a cos de la expresión anterior se tiene:
Es decir que:
cos |||∙|
cos |∙|
al considerarlos en origen
Geometría Analítica
Ángulos, cosenos y números directores de un vector.
,
DEFINICIÓN: Los ángulos directores de un vector , son los ángulos respectivamente foma el vector con los vectores unitarios .
,
que
k
γ α
β
j
i Las expresiones para calcular los ángulos directores de un vector, se pueden obtener a partir de la expresión planteada anteriormente, esto es:
cos |∙|| | || cos |∙|| | || cos |∙||| || , || ; || ; ||
Frecuentemente es más conveniente trabajar con los cosenos de estos ángulos; a dichos cosenos se les llama cosenos directores del vector los cuales está dados por las siguientes expresiones:
Geometría Analítica
Los cosenos directores de un vector no pueden ser arbitrarios; y su relación se puede establecer como sigue:
|| || || Sumando se tiene
|| || || || || || Entonces:
1
Expresión que relaciona a los cosenos directores del vector .
3.5 Producto vectorial: definición, interpretación geométrica y propiedades. Condición de paralelismo entre vectores. Aplicación del producto vectorial al cálculo de un paralelogramo. Producto vectorial, solo es aplicable a parejas de vectores del espacio de tres dimensiones y se obtiene como resultado otro vector del mismo espacio, representado por
, quese le e“a cruz b” está defi n i d o por el vector: 000 0,0,00 DEFINICIÓN: Sean tres dimensiones. El producto vectorial
dos vectores en el espacio de
Una representación más fácil de recordar el producto vectorial determinante de tercer orden:
En el producto vectorial si
son iguales al vector cero, entonces:
es por medio de un
Geometría Analítica
Propiedades:
Si λ es un escalar, y () ̅ λ () λa x b ∙( ) ∙() || ; 0°≤≤180°
son dos vectores en el espacio de tres dimensiones, entonces se
cumple que: 1) ( 2) 3)
El vector
(Anticonmutatividad) (Ley Distributiva)
es perpendicular tanto a como a .
Demostración:
Interpretación geométrica. La definición del producto vectorial está basada en la regla de la mano derecha que dice: Cuando es girado hacia de tal manera que los dedos de la mano derecha giran en la dirección de la rotación, entonces el dedo pulgar indica la dirección del vector .
Condición de paralelismo entre vectores.
Condición: Dos vectores en un espacio tridimensional, diferentes del vector nulo, son paralelos si y sólo si su producto vectorial es igual a o sea
0 0 ||,
Esta afirmación se basa en la expresión los vectores no son nulos y para que resulte cero, la única posibilidad es que sen sea igual a 0; o sea igual a 0° o 180° . En ambos casos los vectores son paralelos, sólo que cuando =0° los vectores tienen la misma dirección y cuando =180° tienen la dirección opuesta.
Geometría Analítica
Y se deduce que: el producto vectorial de cualquier vector igual a
0; 0
,,
por si mismo es
Por medio del producto vectorial, se puede calcular el área de un paralelogramo, a partir del siguiente razonamiento. Considerando un paralelogramo que aloja en dos de sus lados concurrentes a los vectores tal como se demuestra en la siguiente figura.
,
h
| |, ||
||.
La altura del paralelogramo está dada por , en tanto que su base es igual a El área del paralelogramo será entonces igual a que al relacionarla con la expresión , se deduce que el módulo del producto vectorial es igual al área del paralelogramo en cuyos lados se alojan los vectores es decir:
||
Área del paralelogramo =
3.6 Producto mixto e interpretación geométrica. DEFINICIÓN: Dados tres vectores cualesquiera; ), se llama producto mixto de los tres vectores
,,
, ,,, ,, ̅ ̅, ∙̅ ̅ ∙ al escalar
.
Al calcular el producto mixto, primero se debe efectuar el producto ya que si la expresión se asocia de otra manera no tiene significado. Dado que es un escalar y el producto vectorial está definido para dos vectores. El producto mixto, denominado también como triple producto escalar, puede expresarse en términos de un determinante de tercer orden:
∙ ̅ ,,∙ , , ∙ ̅
Geometría Analítica
∙ ̅ ∙ ̅ ∙̅ ̅ ∙
Mediante un cálculo directo se puede demostrar que:
Si en el determinante se intercambia dos veces sus renglones se obtiene el mismo resultado; también se tiene igual resultado si se vuelve a intercambiar dos veces más los renglones. Esto implica que el resultado del producto mixto no se altera al cambiar cíclicamente el orden de
̅
los vectores.
Ahora bien, como el producto escalar es conmutativo, se puede escribir:
∙ ̅ ̅ ∙ ̅ ∙ ̅ ∙ ∙̅ ∙ ̅ ∙̅ ̅] [ [ ̅] ∙ ̅ ∙̅
Cambiando cíclicamente el orden de los vectores:
Por lo que se tiene que:
En el producto mixto se pueden intercambiar el punto y la cruz, sin que se altere el resultado. Por esta razón, en ocasiones se utiliza la notación para indicar el producto mixto de los vectores , o sea:
,,̅
Geometría Analítica
Representación gráfica:
, ̅
Considerando tres vectores cualesquiera , alojados en tres aristas concurrentes de un paralelepípedo, como se muestra a continuación.
̅
Como se vio anteriormente, el área del paralelogramo, cuyos lados concurrentes son los vectores es Por otro lado la altura del paralelepípedoen la figura anterior es , donde es el ángulo entre . En la figura cos es positivo porque
. |90°.|
̅
Entonces el volumen del paralelepípedo está dada por:
|̅|
0°≤<
Pero como el producto escalar entre dos vectores es el producto de sus módulos multiplicados por el coseno del ángulo, se tiene que:
()∙̅ ∙ ̅ [̅] ̅ 90°<≤180°
= Volumen del paralelepípedo.
Cuando el ángulo entre volumen del paralelepípedo.
es:
, el producto
[̅]
es el negativo del
Esta interpretación geométrica conduce a la conclusión de que la condición necesaria y suficiente para que tres vectores, llevados a un origen común, estén en un mismo plano es que su producto mixto sea igual a cero, los vectores soncoplanares. Doble producto vectorial:
( ̅) ∙ ̅ ∙ ̅ ( ) ̅ ∙ ̅ ∙̅
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4.1 Ecuación vectorial y ecuaciones paramétricas de la recta. Ecuaciones cartesianas en forma simétrica y en forma general de la recta.
̅
DEFINICIÓN: Una recta es el conjunto de puntos P(x,y,z) tales que el vector de posición de cualquiera de ellos se puede expresar como la suma del vector de posición del punto más un vector paralelo al vector ; .
̅
≠0
̅ ̅ ̅ ̅ Z
Po
P
L
Y
X
̅ ̅ ∈ ̅ ̅ ̅ ̅ ̅ ̅ ̅ ̅ La condición̅ para que un punto P pertenezca a l a recta L, está dada por: P ≠ P ̅ ,, , Si el vector existe un escalar
es paralelo a , entonces por la condición de paralelismo entre vectores, tal que .
Entonces
Considerando que y están fijos y que el escalar t (parámetro), puede tomar cualquier valor en los R; entonces se dice que la recta que contiene a y es paralela al vector , es el conjunto de todos los puntos P para los cuales sus respectivos vectores de posición satisfacen la expresión , ecuación paramétrica vectorial o ecuación vectorial de la recta. si y solo si
̅
o pertenece
aL
es paralelo a .
El vector determina la dirección de la recta, por lo que a sus componentes se les llama números directores de la recta. Cualquier vector paralelo a determinaría también la dirección de la recta y se podría utilizar en lugar de que se le llama vector director de la recta L. Cualquier terna de números proporcionales a a, b y c también pueden utilizarse como números directores de la recta.
Geometría Analítica
Si se quiere determinar la ecuación vectorial de la recta a partir de los puntos fijos y para obtener la ecuación ya se tiene el vector posición , falta definir el vector que determina la dirección de la recta, por lo cual se debe tomar al vector como el vector , entonces la ecuación queda:
,, ,,, ̅ ̅
̅
̅ ̅ ̅ ̅ 0,1
En esta ecuación el valor t=0 , corresponde al punto Po, y el valor t=1 corresponde al punto P1, cuanto t toma los valores en el intervalo de , el punto P describe el segmento de recta que une a Po y P 1. Para valores de t menores que cero o mayores que uno, se obtienen los demás puntos de la recta. Z Po
P
P1 L
̅̅
̅
Y
X
Ecuaciones paramétricas:
̅ ̅
De la ecuación vectorial de una recta que contiene al punto P o y al vector director :
Si en esta ecuación se sustituyen los vectores por sus respectivas componentes se tiene:
,, ,,,,,,,, ,, , , Por igualdad de vectores, entonces:
; ; Y son llamadas las ecuaciones paramétricas de la recta que contiene el punto P, y cuyo vector director es .
La recta es el conjunto de puntos cuyas coordenadas (x,y,z) se determinan respectivamente por las ecuaciones paramétricas cuando t toma todos los valores reales.
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Ahora bien, si ninguna de las componentes del vector director es cero, se puede despejar a t de las ecuaciones paramétricas, obteniendo:
, ;
Igualando se obtiene:
− − −
Que son las ecuaciones en forma simétrica de la recta que contiene a P o y es paralela a
Si una o dos de las componentes de son nulas, se presentan casos particulares en estas ecuaciones.
Si el vector es paralelo al plano YZ, la recta también será paralela al plano YZ. Ecuación de la recta que contiene a dos puntos dados. Dada la ecuación vectorial que contiene a los puntos los vectores de posición .
,, ,,
y sean
̅,̅ ̅ ,,, ,,,,, ,, , , , ,
Al sustituirlos en la ecuación vectorial:
Por igualdad de vectores se tiene:
, , Obteniendo las ecuaciones paramétricas de la recta que contienen a los puntos P y P 1. Si
≠, ≠ ≠
, se puede despejar a t de las ecuaciones:
Ecuaciones de forma simétrica de la recta que contiene a los puntos P 0 y P 1 4.2 Distancia de un punto a una recta. Ángulo entre dos rectas. Condición de perpendicularidad y condición de paralelismo entre rectas. Distancia entre dos rectas. Intersección entre dos rectas. : Sea L una recta que contiene al punto P 0 y es paralela a sea Q un punto fijo dado que no pertenece a L.
,y
La distancia del punto Q a la recta L es igual a la longitud del segmento dirigido que es perpendicular a L y que tiene como punto inicial a Q y como punto final un punto sobre la recta L.
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Z
Q
d
L
P0 O
Y
X
Para calcular el valor de la distancia d, se puede hacer por distintos procedimientos, si se considera la siguiente figura: Z
Q
̅d
L
P1 P0 O
̅ Y
X Del triángulo rectángulo P 0, P1 y Q se tiene:
|− ̅| ̅ ,donde
son los vectores de
posición de los puntos Q y P0 respectivamente.
|̅| ̅ El ángulo α lo forman la recta y el|segmento | − ̅ |− ̅||| |̅| ||−− ̅̅||| | |−| ̅| | Al despejar a d se tiene:
y es el mismo que forma el vector
el vector . Por lo que el
Sustituyendo en la expresión de distancia:
con
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Expresión que permite calcular la distancia de un punto fijo Q a una recta que pasa por el punto P0 y es paralela a , aplicando el producto vectorial.
Otro procedimiento para calcular la distancia, sería aplicando el teorema de Pitágoras en el triángulo rectángulo P0, P1 y Q, quedando expresado de la siguiente manera:
|| || | | ̅ ̅ . ̅ |̅ | ∙
El segmento es la representación del vector , el módulo de es la distancia que se quiere calcular, y es la componente del segmento sobre la recta L, que es equivalente a la componente escalar de sobre , esto es:
Por lo que la expresión inicial queda:
̅ ∙ |̅| || De donde:
|̅| −| ̅| ∙
Expresión que permite calcular la distancia del punto Q a la recta
L que contiene a P0 y cuyo vector director es , aplicando el producto escalar.
Sea L1una recta que contiene al punto P 01 y es paralela a punto P02 y es paralela a
.
, y sea L2 una recta que contiene al
Z P01
L1
P02 L2 Y
X
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El ángulo que forman dos rectas L 1 y L2 en el espacio de tres dimensiones, es el ángulo que forman sus respectivos vectores paralelos .
Y de acuerdo con la definición sobre ángulo entre vectores, expresión:
cos ||| ∙|
Sean las rectas L1 y L2 paralelas a los vectores
está dado por la siguiente
respectivamente.
Perpendicularidad: Se dice que dos rectas son perpendiculares cuando el ángulo que forman es de 90°, es decir cuando el ángulo entre sus vectores directores es de 90°. Esto lleva a que si la expresión
||| ∙|
∴ ∙ 0
cos ||| ∙|
, y considerando el ángulo de 90°, entonces:
0
De aquí que se tiene la siguiente condición
Paralelismo: Si L1 es paralela a y L 2 es paralela a , y a su vez L1 es paralela a L 2, entonces son vectores paralelos, es decir el ángulo entre es igual a 0° o 180°.
De la expresión de álgebra vectorial:
|| || || 0 || || ||
Al considerar un ángulo de 0° o 180°, entonces sen =0 por lo que:
De donde:
0
Entonces Se puede afirmar también que la recta L 1 es paralela a la recta L 2, si las componentes de sus respectivos vectores directores son proporcionales. Coincidencia: Si para las rectas L 1 y L2 se satisface la condición de paralelismo y además un punto cualquiera P(x,y,z) de L 1 pertenece también a L 2, entonces las rectas son coincidentes.
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Z
‖,
L2
L1
P0 Y
Sean L1 una recta que contiene al punto P 01 y es paralela al vector contiene a P02 y es paralela a
y sea L 2 una recta que
La distancia entre dos rectas en el espacio de tres dimensiones, es la mínima longitud que existe entre ambas, medida sobre una perpendicular común. Z L2
L
P02
d
C2 C1
L1
Y
X Si L es perpendicular a L 1 y L 2, entonces un vector director de L, es también perpendicular a , entonces:
̅ ̅
El vector que se obtiene de restar los vectores de posición de los puntos conocidos de L 1 y L2, , se traslada paralelamente, de tal forma que su punto inicial coincida con el punto C1 (intersección entre L con L 2). Entonces la distancia es igual al valor absoluto de la componente escalar del vector sobre la dirección de L, que es equivalente a:
̅
|.̅ ̅|.̅ ̅
̅
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|̅ |̅ ∙| | Esta expresión permite calcular la distancia entre dos rectas que se cruzan o intersectan, que será cero. Si las rectas son paralelas, la expresión no tiene solución, ya que su producto vectorial es igual a cero. En este caso la distancias entre las rectas es igual a la distancia de una de ellas a un punto cualquiera de la otra. En el caso de que las rectas sean paralelas y la distancia entre ellas sea igual a cero, y todos sus puntos son comunes, entonces las rectas son coincidentes.
Cuando se sabe que dos rectas se intersectan, se puede determinar el punto de intersección. Si el punto P(x,y,z) es el punto de intersección, entonces sus coordenadas deben satisfacer simultáneamente a las ecuaciones de las rectas, en tal caso se puede hacer la siguiente igualación:
,,,,,,,,,,,,
Siendo datos entonces las incógnitas son los parámetros . Esto implica que se tiene un sistema de tres ecuaciones con dos incógnitas, el cual tiene solución única o no tiene solución.
Se resuelve para dos de las ecuaciones y los valores de satisfacen la tercera ecuación, entonces esos valores de son la solución al sistema. Si no se satisface la tercera ecuación entonces el sistema no tiene solución y en consecuencia las rectas no se intersectan.
Si existe la solución, entonces al sustituir el valor de en las ecuaciones de L 1 o el de en las ecuaciones de L 2, se obtendrán los valores de x, y, z, correspondientes a las coordenadas del punto de intersección.
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4.3 Ecuación vectorial, ecuaciones paramétricas y ecuación cartesiana del plano. Distancia de un punto a un plano. Ángulo entre dos planos. Condición de perpendicularidad y condición de paralelismo entre planos. Distancia entre dos planos. Intersección entre planos. La recta en el espacio se definió como el conjunto de puntos P para los cuales, el vector de posición de cualquiera de ellos puede expresarse como la suma del vector de posición de un punto dado más un vector paralelo a un vector dado , que analíticamente quede especificado como: .
̅
̅
̅ ̅ ,, ,,
De forma análoga es en el plano, con la diferencia de que el vector paralelos a dos vectores dados .
̅
se le suman dos vectores
,,
Se partirá de las siguientes condiciones: Sea un punto en el espacio y sean dos vectores no paralelos. DEFINICIÓN: Un plano en el conjunto de puntos P(x, y, z) tales que el vector de posición de cualquiera de ellos se puede expresar como la suma del vector de posición del punto P0 más dos vectores paralelos a los vectores respectivamente.
̅ ̅ ̅ ; , ̅ ̅
Y queda expresado por la siguiente ecuación vectorial: Si r=s=0 entonces la ecuación se reduce a plano.
, lo que indica que el punto P 0 pertenece al
La interpretación geométrica es la siguiente:
Z
P0
P
π
̅̅ Y
X
Ecuación vectorial del plano que contiene al punto P 0 y que es generado por los vectores :
̅ ̅ ; ,
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Plano definido por dos rectas que se intersectan: Cuando en la ecuación vectorial del plano, s toma el valor de cero, entonces la ecuación se reduce a: que es la ecuación de una recta que contiene al punto P 0 y es paralela a y está contenida en el plano. Si por el contrario ahora es r el que se anula, entonces queda , que es la ecuación de una recta que contiene al punto P 0, es paralela a y también está contenida en el plano.
̅ ̅ ̅̅
En este caso se han definido dos rectas que están contenidas en el plano y que se intersectan en P0 y cuyos vectores directores son los vectores que generan al plano. Contrariamente dos rectas no coincidentes, que se intersectan en un punto, definen a un plano cuyos vectores generadores son respectivamente los vectores directores de las rectas. Plano definido por tres puntos no colineales. Sean tres puntos misma recta.
,,, ,,, ,, son tres puntos no colineales, existe un plano π y solo uno que contiene
que no pertenecen a una
Teorema: Si P0, P1 y P2 a los tres puntos.
Para obtener la ecuación vectorial de un plano definido por tres puntos los vectores generadores se pueden determinar restando los respectivos vectores de posición de los tres puntos.
̅ ̅ ̅ ̅ ̅ ̅ ̅ ̅̅ ̅
Y la ecuación vectorial del plano queda: Ecuaciones paramétricas del plano:
̅ ̅ ,, ,,,,,, ,, , ,
Si en la ecuación vectorial del plano respectivas componentes se tiene:
se sustituyen a los vectores por sus
Por igualdad de vectores se tiene:
Que son las ecuaciones paramétricas del plano que contiene al punto P 0 y se genera por
Geometría Analítica
Ecuación cartesiana del plano: Para establecer la representación cartesiana del plano, se puede eliminar los parámetros con las tres ecuaciones paramétricas. Al ser dos parámetros el resultado será una sola ecuación. Por otro lado se puede trabajar con la ecuación normal del plano, esto es: se obtiene un vector normal que será el vector perpendicular al plano, que es generado por , por lo cual este vector normal también será perpendicular a .
̅ ̅ ∙ 0
De esto se obtiene que la ecuación normal del plano está dada por: si el plano está definido por tres puntos no colineales, la ecuación será:
̅ ̅ ∙̅ ̅ ̅ ̅ Así ,, para conformar un plano π que contiene al punto ,, ̅ ̅ ∙ ̅ ∙ 0∙̅ 0
y
=0
y cuyo vector normal es
.
Al usar la ecuación normal ecuación se puede expresar como:
, por propiedades del producto escalar, la
Sustituyendo los vectores por sus respectivas componentes:
,,∙,, ,,∙,,0 Efectuando los productos escalares:
0 0
Si se hace: Queda:
que es la ecuación cartesiana general del plano.
Distancia de un punto a un plano
Sea un plano π que contiene al punto P pertenece al plano.
0 y
cuyo vector normal es , y sea un punto Q que no
DEFINICIÓN. La distancia de un plano a un punto Q, es la longitud del segmento dirigido ortogonal al plano, y cuyo punto inicial es un punto del plano y punto final es Q.
Geometría Analítica
Gráficamente: Z
̅ P0
̅
Q d
P1
π
Y
X La distancia es el valor absoluto de la componente escalar del vector
|.. ̅| |−| ̅|∙ |
̅ sobre :
En el caso particular de encontrar la distancia de un plano al origen, se sabe entonces que el plano contiene al punto P0 y su vector normal es por lo que:
Recordando que
̅ ∙
|0 |̅|∙ | ||̅ ∙| |
=D, lo que implica que si el plano está dado por su ecuación
cartesiana, entonces la distancia del origen al plano está dada por:
||||
.
Ahora si el plano contiene al origen, entonces esta distancia será cero.
0 |||| 0
expresión que se cumple sólo cuando D=0
Entonces la ecuación cartesiana de un plano que contiene al origen del sistema de referencia es:
Geometría Analítica
Ángulo entre dos planos.
DEFINICIÓN: El ángul o entre l o s pl a nos π y π el punto y el vector normal que definen a un plano π el vector normal que definen a otro planoángulπ o entre el plano π y π 2 es
1
el ángulo que forman sus respectivos
vectores normales Sea P01 y
son
1 y
sea P02 y el punto y 2, y de acuerdo a la expresión para calcular el 1 2es:
ángulo entre dos vectores, se tiene que el
cos |||∙|
Π
Π
2
1
Condición de perpendicularidad y condición de paralelismo entre planos
Dos planos π y π Sea el plano π 1
2 son
perpendiculares si y sólo si sus respectivos vectores normales son
ortogonales.
1 definido
, sea también el plano π
por el punto P 01 y por el vector normal 2 definido por el punto P 02 y por el vector normal serán perpendiculares si estos vectores normales forman un ángulo igual a 90°. Entonces:
cos90° |||∙| 0 ∙ 0 ,
.
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π 1
π 2
Si en la ecuación cartesiana de un plano, el coeficiente de la variable Z es cero, entonces el plano es perpendicular al plano coordenado XY.
0 Esto porque el vector normal del plano debe ser ortogonal a cualquier vector normal a XY, pero a su vez cualquier vector normal al plano XY es paralelo a la dirección del eje Z, por lo que su tercer componente es nula y el vector normal del plano es del tipo
,,0
De forma análoga se concluye que si en la ecuación cartesiana de un plano, el coeficiente de la variable Y o el de la variable X es cero, entonces el plano es perpendicular al plano XZ o al YZ respectivamente.
DEFINICIÓN: Dos planos π y π 0 , ≠ 0 Si el plano π es paralelo al plano XY, entonces el vector normal a π debe ser paralelo a 0,0, 0 − 0 0 ; ∴ 1
2 son
paralelos si y sólo si sus respectivos vectores normales
son paralelos. Es decir:
lo que es equivalente a que se cumpla también que:
cualquier vector normal a XY, pero a su vez cualquier vector normal al plano XY es paralelo a la dirección del eje Z y como consecuencia es ortogonal a la dirección del eje X y a la dirección del eje Y, de donde sus dos primeras componentes serán nulas es decir: . La ecuación cartesiana del plano paralelo al XY es de la forma: Donde:
Pero
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Sustituyendo Z=Z0, donde Z0 es la cota de todos los puntos del plano, por lo que se concluye que un plano paralelo al plano XY tiene una ecuación de la forma Z=k, k es constante. El plano paralelo a YZ se tiene una ecuación de la forma X=k. Un plano paralelo al XZ es Y=k. COINCIDENCIA.
Dos pl a nos π y π paralelos y además existe al menos un punto que está contenido en π y π ≠0 1
2
son coincidentes si y sólo si sus respectivos vectores normales son 1
2.
Si sus respectivos vectores normales son paralelos entonces: Suponiendo que las ecuaciones de los planos son:
: 0 : 0 , , ,, 0 0
Y por condición de paralelismo entre sus vectores normales: Ahora suponiendo que existe un punto ecuaciones de los planos quedan como:
De donde:
contenido en ambos planos, las
(
Lo que implica que
Distancia entre dos planos. En el espacio, dos planos se intersectan o son paralelos. En caso de ser paralelos, la distancia entre ambos estará dada por la distancia de uno de los puntos de un plano a un punto del otro plano, la cual se puede calcular por la expresión:
|−| ̅|∙ |
En caso de intersectarse se considera que la distancia es nula.
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Intersección entre planos.
La i n tersecci ó n de dos pl a nos π y π pertenecen al plano π y al plano π DEFINICIÓN:
1
2 es
el conjunto de todos los puntos que
2.
1
Si cada punto de la intesección de dos planos está contenido en ambos, entonces cualquier punto de la intersección deberá satisfacer las ecuaciones de los dos planos. Las características de la intersección entre dos planos están dadas por el siguiente teorema.
Teorema: Para dos planos π y π Siπ π⋂ πy π SiSi ππ yy ππ son coincidentes entonces: π ⋂ π π π A las intersecciones de un plano π con los planos coordenados se les l ama trazas del plano π. Dado un plano π cuya ecuación c La traza del plano π sobre el plano XY, es una recta contenida en el plano XY; la cota de ecuaciones de la traza del plano π Análogamente: AxCzD0; y0; son las ecuaciones de la traza del plano π sobre el plano 1
a)
1
paralelos no coincidentes, entonces su intersección es el conjunto vacío
2 =
1
b) c)
2 son
2 se tiene que:
1
2
1
1
2 no son paralelos ni
2
1
2
coincidentes, entonces su intersección es una recta.
artesiana es Ax+By+Cz+D=0
cualquier punto contenido en XY es igual a cero, por lo que haciendo z=0, la ecuación cartesiana del plano es Ax+By+D=0; z=0; que serán las sobre el plano XY. XZ.
Finalmente: By+Cz+D=0; x=0; son las ecuaciones de la traza del plano YZ. 4.4 Relaciones entre rectas y planos. Ángulo entre una recta y un plano, condición de paralelismos y condición de perpendicularidad. Intersección de una recta con un plano. Distancia entre una recta y un plano. Relaciones entre rectas y planos: Ángulo entre una recta y un plano.
El ángul o entre el pl a no π y l a recta L, es el ángul o que forma l a recta L con su proyección ortogonal sobre el plano π , , , y sea un pl a no π ,, Seun entenderá por proyecci ó n ortogonal de l a recta L sobre el pl a no π, l a i n tersecci ó n de π con plano perpendicular a π y que contiene a la recta L. DEFINICIÓN.
.
Sea una recta L definida por un punto P 0 y su vector director definido por un punto P1 y su vector normal
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Π
1
L
π
L1
l a fi g ura π es un pl a no perpendi c ul a r al pl a no π del plano π y π se ha representado por L , el ángulo entre π y L es el ángulo En
1
1
1
y que contiene a la recta L, la intersección que hay entre
las rectas L y L 1.
El ángulo es complementario al que forman los vectores
.
L1 Así que
= 90° -
cos∅ |||∙ | cos90° |||∙ | cos90°90°90° |||∙ |
Para calcular se tiene: Pero:
entonces
Finalmente:
Distancia entre una recta y un plano. Para determinar la distancia entre el plano y la recta, el problema se reduce a calcular la Distancia de un punto a un plano)
distancia de un punto de la recta L al plano π.
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Condición de paralelismos y condición de perpendicularidad.
Sea un plano π definido por un punto P , , ,, 1 y
su vector normal definida por un punto P0 y su vector director .
, y sea una recta L
El plano y la recta son paralelos si y solo si el vector normal del plano es ortogonal al vector director de la recta.
‖ ↔ ∙0 L π
Perpendicularidad. El plano y la recta son perpendiculares si y solo si el vector normal del plano es paralelo al vector director de la recta.
π ⊥ L ↔ , ≠0 π
L
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Intersección de una recta con un plano.
Para un plano π y una recta L se tiene. Si π∩ yL∅son paralelos y L no está contenida en π, su intersección es el conjunto vacío: SiSi ππ yy LL nosonsonparalparaleloeslyos,L suestáinconteni d a en π, su i n tersecci ó n es i g ual a L: ∩ tersección es un punto. :̅ ̅ ∙ 0 : ̅ ̅ ,(el̅punto P de L está conteni d o en π si y sól o si dado ̅)∙ 0 a)
b) c)
Sea por su vector de posición se cumple que:
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5.1 Ecuaciones paramétricas y ecuación vectorial de una curva contenida en planos paralelos a los planos coordenados.
,, ,,| ,,; ∈ ∩ ∩} , ̅ ̅ ̅
Sean tres funciones reales de una variable real t, respectivamente. Entonces:
,
, cuyos dominios son
Es conjunto de ternas ordenadas con una gráfica en el sistema cartesiano. Para todo número t en la intersección de
existe un vector definido por:
Para cada valor de t, definirá el vector de posición de un punto; cuando t toma todos los valores en la intersección de los dominios, el punto final de la representación de posición del vector traza una curva C.
̅
Z
,, C
̅ Y
X
La ecuación:
̅ Es la ecuación vectorial de la curva C. Para curvas en situadas en el plano X, Y la componente dada por es siempre cero.
Un punto de la curva C tiene la representación cartesiana (x, y, z) donde:
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, , Estas ecuaciones se llaman ecuaciones paramétricas de la curva C y a la variable t en función de la cuales están definidas las variables x, y, z , se llama parámetro. En la ecuación vectorial de una curva, así como en sus paramétricas, se puede dar al parámetro t distintas intersecciones. Intervalo paramétrico. Se llama intervalo paramétrico, al conjunto de valores de t para los cuales está definida la función , es decir el conjunto de valores de t que pertenecen al dominio de la función .
̅ ̅ ∴ é | ∈ ∩ ∩, ∈}
5.2 Ecuaciones paramétricas y ecuación vectorial de las cónicas. A partir de las ecuaciones canónicas de las cónicas, y al aplicar algunas identidades trigonométricas para transformarlas en las ecuaciones paramétricas de la curva pero ahora en el espacio, la ecuación vectorial se obtiene a partir de las ecuaciones paramétricas de esta curva. Para deducir parejas de ecuaciones paramétricas para algunos casos particulares de curvas cónicas en un espacio de dos dimensiones, así como sus respectivas ecuaciones vectoriales. Elipse: Considerando dos circunferencias concéntricas de radio a y b, con centro en el origen, siendo a > b. Se traza una recta cualquiera L que pasa por el origen, formando un ángulo con la parte positiva del eje X. Esta recta corta a las dos circunferencias en los puntos A y B.
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cos , cos, ̅ , , 1 ̅
De la figura se tiene que: O sea:
que son las ecuaciones paramétricas de la elipse.
Si se toma el vector de posición del punto P, se puede plantear la ecuación vectorial correspondiente. Para eliminar el parámetro:
, despejando
Sumando estas expresiones se tiene:
Entonces: , que es la ecuación cartesiana de la elipse con centro en el origen, semieje mayor (horizontal) a y semieje menor b. Circunferencia: Sea una circunferencia con centro en el origen y radio a. Sea el vector de posición del punto P de la circunferencia. Se designa con al ángulo que forma el vector con la parte positiva de eje X. Y P(x,y)
̅ y x
X
a
Pero
|̅|
por lo que
|̅|, |̅| ; ̅
(Ecuaciones paramétricas)
La ecuación vectorial correspondiente es:
Eliminando el parámetro en las ecuaciones de la circunferencia se obtiene la ecuación cartesiana:
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Hipérbola: Se consideran dos circunferencias circunferencias concéntricas, con centro en el origen y radio a y b respectivamente, a > b. Se traza una recta M que pasa por el origen y forma un ángulo con el eje X. C es el punto de intersección de dicha recta con la circunferencia de radio mayor; se pasa por C la tangente de dicho círculo, que corta al eje X en el punto D. En el punto B se traza una paralela al eje Y, que corta a la recta M en el punto E. Se pasa por D una paralela al eje Y y por E una paralela a X, rectas que se cortan en el punto P, el cual pertenece a la hipérbola con centro en el origen y eje focal coincidente con el eje X.
P
; ̅ 1 1 Del triángulo rectángulo OCD: Del triángulo rectángulo OBE:
Por lo que:
(ecuaciones paramétricas paramétricas de la hipérbola)
̅
Si es el vector de posición del punto P, la ecuación vectorial correspondiente es:
Eliminando el parámetro de las ecuaciones paramétricas (mediante la desigualdad ), se obtiene la ecuación cartesiana:
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Parábola: Sea una parábola con vértice en el origen, cuya ecuación cartesiana es:
4; ≥0 Si α es el ángulo de inclinación de la tangente a la curva en cualquier punto.
Aplicando derivada como tan α: 2 ′ 4 ′ 42 2 , ≠0 2 2 4 , 2 ̅ 2 Despejando a y:
. Sustituyendo en la cartesiana de la parábola se tiene:
Donde:
Las ecuaciones paramétricas de la parábola:
La ecuación vectorial correspondiente, está dada por:
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5.3 Ecuaciones cartesianas de una curva plana en el espacio, obtenidas a partir de sus ecuaciones paramétricas . Una vez que se tienen las ecuaciones paramétricas de la curva en el espacio, se pueden obtener las ecuaciones cartesianas de la curva de acuerdo al despeje de parámetros que se encuentran en la ecuación y la aplicación de identidades trigonométricas.
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6.1 Clasificación de superficies. Superficies cuádricas. Definición de superficies cilíndricas, cónicas, regladas y de revolución. Superficie es el conjunto de puntos y solamente aquellos puntos, cuyas coordenadas satisfacen la ecuación de la forma F(x,y,z)=0; se establece que si esta ecuación representa un lugar geométrico, ese lugar es una superficie. Y recíprocamente, si una superficie puede representarse analíticamente, tal representación es una sola ecuación de la forma F(x,y,z)=0. Observación: No todas las ecuaciones de la forma F(x,y,z)=0 representan una superficie. Clasificación de algunos tipos de superficies: -
-
-
Superficies alabeadas: aquella que no pueden estar contenidas en un plano. Una superficie que no es plana. Superficies cuádricas o cuadráticas: las que se representan por una ecuación de segundo grado en tres variables. Una sección plana de una cuádrica es una cónica o una forma degenerada o límite de ésta, y se subclasifican en: esferas, elipsoides, hiperboloides de uno y dos mantos, paraboloides circulares o de revolución, paraboloides elípticos, paraboloides hiperbólicos y degeneración de las anteriores. Superficies cilíndricas: aquellas que se forman con el movimiento de una recta que se conserva siempre paralela a un vector dado y que se apoya en una curva fijaen un plano. Superficies cónicas: aquellas que se generan con el movimiento de una recta que pasa siempre por un punto fijo llamado vértice y que se apoya en una curva fija. Superficies regladas: las que pueden generarse por medio de rectas Superficie de revolución: aquellas que se generan con el giro de una curva plana alrededor de una recta fija en el plano de la curva, llamada meridiana, alrededor de un eje contenido en el mismo plano. La trayectoria de cada punto de la curva es un círculo con centro sobre el eje de la superficie.
6.2 Ecuación vectorial y ecuaciones paramétricas de una superficie cuádrica. Una ecuación vectorial expresa matemáticamente una superficie por medio de una ley que describe el desplazamiento de un vector de posición, el cual toca continuamente con su extremo a dicho lugar geométrico.
̅ ̅ ̅ ̅̅ ó ̅ ó á. , .
La ecuación vectorial que representa a un plano en la superficie:
, donde:
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̅ ̅
Para lograr que el vector tenga su extremo en el plano, dicho vector debe poder obtenerse como la suma del vector más dos vectores paralelos a los vectores respectivamente, los parámetros r,s modifican su magnitud, aún su sentido pero no su dirección. Si un punto no pertenece al plano, al no poder alterar la dirección de los vectores , no podrá alcanzarse con un vector obtenido con esas características.
̅ , ̅
̅
La ecuación también puede escribirse:
̅ ( ) Que es la ecuación vectorial de la superficie. Si se sabe que:
̅ ̅
̅
Si tiene como componentes (x,y,z) , con la sola condición de que pertenezca al plano, por igualdad de vectores se pueden establecer las ecuaciones paramétricas de la superficie:
Pero, recordando que tanto la ecuación vectorial como las ecuaciones paramétricas no son las únicas expresiones matemáticas que representan al plano. La ecuación cartesiana del plano es:
0
Para determinar otras ecuaciones paramétricas y de allí una ecuación vectorial, se puede parametrizar haciendo:
̅
Por lo tanto en la ecuación cartesiana: ecuaciones paramétricas. Por lo que se tiene:
que es la tercera de las
que es otra ecuación vectorial de la superficie. Para representar paramétricamente o vectorialmente a una superficie, es necesario utilizar dos parámetros, mientras que para la representación de una curva se necesita únicamente de uno.
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6.3 Obtención de la ecuación cartesiana por el método de las generatrices. Curva generatriz: Es aquella que cambia de posición y a veces de forma para que al apoyarse
constantemente en curvas fijas l amadas directrices “genere” una superficie. Esta curva tiene parámetros.
Curva directriz: Es una curva fija que señala la dirección por donde se mueve la generatriz para formar una superficie. Esta curva no tiene parámetros. Las ecuaciones de la(s) directriz(ces) y ecuaciones de la generatriz o es dato o por las características de la superficie deben obtenerse. Si en las ecuaciones de la generatriz figuran n parámetros, el problema estará determinado si se tienen n-1 directrices. La generatriz tiene 2 ecuaciones cartesianas por ser una curva. Descripción del Método: 1.- Con las ecuaciones de la generatriz y con las de la directriz uno, se eliminan las variables X, Y, Z y se obtiene una ecuación que contiene solo parámetros y constantes. Se le llama ecuación de condición uno. 2.- Con las ecuaciones de la generatriz y las de la directriz dos, se eliminan X, Y, Z y se obtiene la ecuación de condición dos. ecuaciones de condición.
Se prosigue con todas las directrices, hasta obtener “n”
3.- Con todas las ecuaciones de condición junto con las ecuaciones de la generatriz, se eliminan los parámetros, obteniéndose una ecuación que contiene las variables X, Y, Z y constantes. Esta es la ecuación de la superficie. En general: si en la generatriz figuran n parámetros, para que el problema esté determinado deben existir n-1 ecuaciones de condición. La ecuación de la superficie engendrada se obtiene eliminando a los parámetros entre las dos ecuaciones de la generatriz y las ecuaciones de condición. La ley según la cual la generatriz se desplaza y se deforma en el espacio estará obligando a la generatriz a tocar constantemente a ciertas curvas fijas llamadas directrices. Simplificaciones del método. 1. Superficies cilíndricas: Cuando la directriz está contenida en un plano coordenado o en un plano paralelo a un coordenado. Generatriz de la recta:
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:
: :
Paralelo al plano XY
Paralelo al plano YZ
2. Superficies cónicas. En las que su directriz está alojada en un plano coordenado o en uno paralelo a uno de ellos.
: {
: ,0 ,, : : {
Paralelo al plano XY
Paralelo al plano XZ
3. Superficies de Revolución. Cuando una meridiana está alojada en un plano coordenado y el eje de rotación es un eje coordenado contenido en dicho plano.
: ,0 0 : { 6.4 Ecuación cartesiana de una superficie a partir de una de sus ecuaciones vectoriales. Se necesitan quitar los parámetros, auxiliándose por identidades trigonométricas, se puede llegar a los términos X, Y, Z que representan a la ecuación cartesiana de la superficie.
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6.5 Determinación de las características de una superficie cuádrica (identificación) a partir de su ecuación cartesiana. Identificación de una Superficie: I. II. III.
IV. V.
Intersección con los ejes coordenados Trazas con los planos coordenados Simetrías: - Ejes coordenados - Planos coordenados - Origen Secciones paralelas a los planos coordenados Representación Gráfica Preidentificación de superficies.
Clasificación de cuádricas con centro
Con R positivo: A, B, C Todos positivos Todos negativos Dos positivos y uno negativo Uno positivo y dos negativos Uno nulo y dos positivos Uno nulo y dos negativos Uno nulo y los otros de signos diferentes Dos nulos y uno positivo Dos nulos y uno negativo Con R nulo: A, B, C Todos del mismo signo Dos positivos y uno negativo Uno nulo y los otros dos del mismo signo Uno nulo y los otros de signos diferentes Dos nulos Cuádricas sin centro
Lugar Geométrico Elipsoide Ningún lugar geométrico Hiperboloide de un manto Hiperboloide de dos mantos Cilindro elíptico recto, si los dos son iguales es circular. Ningún lugar geométrico Cilindro hiperbólico recto Dos planos paralelos Ningún lugar geométrico.
Lugar Geométrico El origen Cono recto Un eje coordenado Dos planos que se cortan Un plano coordenado
Con R positivo: A, B Del mismo signo Diferentes signos Uno nulo
Lugar Geométrico Paraboloide elíptico Paraboloide hiperbólico Cilindro parabólico recto
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Con R nulo: A, B Del mismo signo Signos diferentes Uno nulo
Lugar Geométrico Un eje coordenado Dos planos que se cortan Un plano coordenado.
La ecuación más general de segundo grado en tres variables es:
0 Suponiendo que a, b y c son constantes positivas. Si una superficie cuádrica es cortada por un plano cualquiera, la curva de intersección es una sección cónica o una forma límite de una sección cónica.
1
La superficie representada por la ecuación , se llama elipsoide . La superficie es simétrica con respecto a cada plano coordenado, a todos los ejes coordenados, y al origen.
Todas las trazas sobre los plano coordenados son elipses. Si cualquiera de los coeficientes en la ecuación anterior son iguales, se llama elipsoide de revolución . En particular, si a>b y c=b, se tiene el elipsoide alargado. Si a>b y c=a se tiene un elipsoide achatado o esferoide. Si a = b = c, la superficie es una esfera de radio a.
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La forma canónica de la ecuación del hiperboloide de una hoja es: formas de la ecuación son:
1 1
1. Las otras
Estas ecuaciones representan a la misma superficie difieren solamente en sus posiciones con relación a los ejes coordenados. Las intercepciones con los eje X y Y son , respectivamente. No hay intercepciones con el eje Z.
± ±
Las trazas sobre los planos XY es una elipse:
1,0. Traza XZ la hipérbola
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1,0, y en YZ, la hipérbola 1,0. La superficie es simétrica con respecto a todos los planos coordenados, ejes coordenados y al origen. Las secciones de la superficie por planos paralelos al XY son las elipses:
1 ,
Cualquier hiperboloide de una hoja se extiende a lo largo del eje coordenado correspondiente a la variable cuyo coeficiente es negativo. Si en la ecuación a=b, la superficie es un hiperboloide de revolución de una hoja que puede engendrarse haciendo girar las hipérbola
1,0, en torno del eje Z.
1
Hiperboloide de dos hojas. La forma canónica de la ecuación es: , igual que al hiperboloide de una hoja, hay otras dos formas canónicas, siendo la representativa de todas las formas la ecuación anterior.
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Las intersecciones con el eje X son
±
. No hay intercepciones con los ejes Y y Z.
La traza sobre los planos XY es la hipérbola
1.0; con el plano XZ es la hipérbola
1; 0. No hay trazas sobre el plano YZ.
La superficie es simétrica con respecto a todos los planos coordenados, ejes coordenados y el origen. Las secciones de esta superficie por planos paralelos al YZ son las elipses:
;
.
Cualquier hiperboloide de dos hojas se extiende a lo largo del eje coordenado correspondiente a la variable cuyo coeficiente es positivo en la forma canónica de su ecuación. Si en la ecuación b=c, la superficie es un hiperboloide de revolución de dos hojas que pueden engendrarse haciendo girar la hipérbola
1.0, en torno al eje X.
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Paraboloide elíptico. Una forma canónica de la ecuación del paraboloide elíptico es:
. Las otras dos formas canónicas son
. Para cada
y forma se pueden tener dos variaciones según que c sea positivo o negativo.
La superficie pasa por el origen. No hay otras intercepciones con los ejes coordenados. La traza sobre el plano XY es el origen, con el plano XZ es la parábola con YZ es la parábola
; 0.
; 0, y la traza
La superficie es simétrica con respecto a los planos YZ, XZ y con respecto al eje Z.
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,
Las secciones de las superficies por planos paralelos al XY son las curvas: estas curvas son elipses si c y k son del mismo signo; si c y k tienen signo contrario, no hay lugar geométrico. Cualquier paraboloide elíptico se extiende a lo largo del eje coordenado correspondiente a la variable de primer grado en la ecuación. Si en la ecuación a=b, la superficie es un paraboloide de revolución que puede engendrarse haciendo girar la parábola eje Z.
, esta ecuación . Hay dos variaciones para
Paraboloide hiperbólico . Una forma canónica de la ecuación es:
representativa de las otra dos formas: cada forma, según que c sea positivo o negativo.
;0, en torno al