Geometria 4to 2bim 2009 Smdp

CEP Santa María de la Providencia

Capítulo 1

Segundo Periodo

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4to. de Secundaria


Segundo Periodo

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4to. de Secundaria


1.- LA ALTURA Es la recta que parte de un vértice y cae perpendicularmente en el lado opuesto o en su prolongación.

ORTOCENTRO Punto de concurrencia de las tres alturas de un triángulo. Todo triángulo tiene un ortocentro. * Forma de trazar una altura en  obtusángulo

Caracteristica: El ortocentro es un punto Exterior. Ortocentro

Segundo Periodo

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4to. de Secundaria


* En un triángulo Acutángulo

AN 

 CH  Alturas del VABC  BM   Caracteristica: el ortocentro es un punto interior, cuando el triángulo es acutángulo. * En un triángulo Rectángulo

Característica El ortocentro, es un punto ubicado en el vértice del ángulo recto. Cuando el triángulo es rectángulo. 2.- MEDIANA Es el segmento de recta que une un vértice con el punto medio del lado opuesto. BARICENTRO o GRAVICENTRO Punto de concurrencia de las tres medianas de un triángulo.

Segundo Periodo

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4to. de Secundaria


AN 

 BM  Medianas VABC  CP   * En un triángulo rectángulo:

Características • El Baricentro es siempre un punto interior en todo triángulo. • Todo triángulo tiene un solo baricentro. 3.- MEDITRIZ Es la recta perpendicular a uno de los lados que pasa por su punto medio. CIRCUNCENTRO Punto de concurrencia de las 3 mediatrices de un triángulo. Todo triángulo tiene un solo circuncentro. * En un triángulo obtusángulo Circuncentro

Segundo Periodo

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4to. de Secundaria


Características: El circuncentro es un punto exterior, si el triángulo es obtusángulo. * En un triángulo rectángulo

Características: El circuncentro se encuentra ubicado en el punto medio de la hipotenusa, en un triángulo rectángulo. 4.- BISECTRIZ Es el rayo que biseca el ángulo interno o externo de un triángulo. a. INCENTRO Punto de concurrencia de las bisectrices interiores.

Características:  

Todo triángulo tiene un solo incentro El incentro siemprees un punto interior al triángulo.

Segundo Periodo

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4to. de Secundaria


b. Excentro Punto de concurrencia de dos bisectrices exteriores y una interior.

Carcteristicas:  Todo triángulo tiene 3 excentros.  Los excentros son puntos exteriores a todo triángulo. EJERCICIOS 01.- Trazar 1 altura en el PQR

02.- Trazar 1 altura en el MNS

Segundo Periodo

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4to. de Secundaria


03.- Trazar 2 alturas en el triángulo ABC

04.- Determinar el ortocentro

05.- Trazar alturas en el siguiente triángulo

06.- Trazar alturas en el siguiente triángulo.

Segundo Periodo

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4to. de Secundaria


07.- Determinar el ortocentro

08.- Hallar “”

09.- Calcular “2”, si AD = DC = BD

10.- Del gráfico calcular “x” si BC = CD

Segundo Periodo

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4to. de Secundaria


11.- Encontrar “x”, el triángulo ABC equilátero.

12.- En la siguiente figura, calcular “x”. Si: BM = MC = AC

13.- En el gráfico si AB = BC. Calcular “x”

Segundo Periodo

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4to. de Secundaria


14.- En un triángulo equilátero se traza la altura AH, por H se traza una recta paralela HM a la recta CA, calcular mMHB 15.- Se ABC un triángulo donde los 3 ángulos internos se encuentran en progresión aritmética de razón 10º. Calcular la diferencia que existe entre el mayor y menor ángulo. 16.- Del gráfico calcular “”. L1 // AC

17.- En la figura: MN = NC = BC . Hallar “x”

Segundo Periodo

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4to. de Secundaria


PROBLEMAS PROPUESTOS Trazar en cada uno de los triángulos siguientes: • Las tres medianas y ubicar el Baricentro. • Las tres bisectrices interiores y ubicar el incentro. • Las tres alturas y ubicar el ortocentro. • Las tres mediatrices y ubicar el circuncentro. 1. Los lados de un triángulo miden 6 cm, 7 cm y 9 cm. Construir el triángulo y calcular el perímetro y su Semiperímetro. 2. Los lados de un triángulo miden 3 cm, 4cm y 5 cm. Construir el triángulo y calcular el perímetro y su Semiperímetro. 3. Los lados de un triángulo miden 9 cm, 7cm y 9 cm. Construir el triángulo y calcular el perímetro y su Semiperímetro. 4. Los lados de un triángulo 8 cm, 7 cm y 13 cm ; calcular el perímetro y su Semiperímetro. 5. Los lados de un triángulo miden 5 cm, 4 cm y 10 cm. Construir

el

triángulo

y

calcular

el

perímetro

y

su

Semiperímetro. 6. O6. Los lados de un triángulo miden 6cm, 7 cm y 14 cm. Construir

el

triángulo

y

calcular

el

perímetro

y

su

Semiperímetro. 7. Los lados de un triángulo miden 7cm, 7cm y 14cm. Construir el triángulo y calcular el perímetro y su Semiperímetro. 8. Los lados de un triángulo miden 6 cm, 8 cm y 10 cm. Construir

el

triángulo

y

calcular

el

perímetro

y

su

Semiperímetro.

Segundo Periodo

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4to. de Secundaria


9. Construir un triángulo que tenga un ángulo de 50° y los dos lados que lo forman midan 5 cm y 4 cm. 10. Construir un triángulo que tenga un ángulo de 80° y los lados que lo forman midan 5 cm y 6 cm. 11. Construir un triángulo que tenga un ángulo de 120° y los dos lados que lo forman midan 6 cm y 7 cm. 12. Construir un triángulo que tenga un ángulo de 130° y los dos lados que lo forman midan 8 cm y 7 cm 13. Construir un triángulo que tenga un ángulo de 110° y los dos lados que lo forman midan 8 cm y 6,5 cm. 14. Construir un triángulo que tenga un ángulo de 100° y los dos lados que lo forman midan 7 cm y 7,5 cm. 15. Construir un triángulo que tenga un ángulo de 60° y los dos lados que lo forman midan 6 cm y 7 cm. 16. Construir un triángulo que tenga un ángulo de 140° y los dos lados que lo forman midan 6 cm y 6 cm. 17. Construir un triángulo que tenga un ángulo de 70° y los dos lados que lo forman midan 8 cm y 9 cm. 18. Construir un triángulo que tenga un lado que mida 7 cm y los dos ángulos adyacentes midan 30° y 70°. 19. Construir un triángulo que tenga un lado que mida 9 cm y los dos ángulos adyacentes midan 40° y 50°. 20. Construir un triángulo rectángulo que tenga catetos de 5 cm y 12 cm

Segundo Periodo

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4to. de Secundaria


IMPORTANTE  Bisectriz interior recta que divide a la medida de un ángulo interior en dos partes iguales.  BD es bisectriz del ángulo ABC  Bisectriz exterior Recta que divide a la medida de un ángulo exterior en dos partes iguales. 

CP es bisectriz del ángulo exterior BCQ

PROPIEDADES ADICIONALES 01.x = 90° +

 2

x = 90° -

 2

02.-

04 .x=

Segundo Periodo

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 2

4to. de Secundaria


PROBLEMAS 01.-

02.-

03.-

04.-

Segundo Periodo

15

4to. de Secundaria


05.-

06.-

07.- H: Ortocentro

08.-

09.- I : incentro

Segundo Periodo

16

4to. de Secundaria


10.- E: excentro

11.- I: Incentro

12.-

13.-

14.- E: Excentro

Segundo Periodo

17

4to. de Secundaria


15.-

16.-

17.-

18.-

Segundo Periodo

18

4to. de Secundaria


DESAFÍO 01.- Hallar “x” a) b) c) d) e)

120° 127° 137° 140° 135° v

02.- Calcular “x” a) b) c) d) e)

50° 40° 43° 44° 45°

03.- Calcular el valor de “x”. a) b) c) d) e)

18° 24° 30° 36° 48°

03.- Hallar “x” en la figura a) b) c) d)

40° 50° 70° 80°

Segundo Periodo

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4to. de Secundaria


e) 90° 04.- Hallar “x” a) 16º b) 15º c) 32º d) 28º e) NA 05.- Hallar “x” a) 45º b) 135º c) 120º d) 110º e) NA 06.- Hallar “x” a) 9,5º b) 10º c) 38º d) 25º e) NA

07.- Hallar “x” a) 10º b) 20º c) 30º d) 25º e) NA

Segundo Periodo

20

4to. de Secundaria


Capítulo 2

Segundo Periodo

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4to. de Secundaria


Segundo Periodo

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4to. de Secundaria


CONGRUENCIA DE SEGMENTOS Dos segmentos son congruentes, si tienen la misma longitud. Así, por ejemplo: A

B

C

D Si AB = CD entonces AB es congruente Con CD y se denota: AB  CD CONGRUENCIA DE ÁNGULOS Dos ángulos son congruentes si tienen la misma medida Así, por ejemplo: A

M

C

B

N

D

Si mAMB = mCND, entonces el AMB es congruente con el CND y se denota:

Segundo Periodo

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4to. de Secundaria


 AMB  CND CONGRUENCIA DE TRIÁNGULOS Un triángulo es congruente con otro, si y sólo si, existe una correspondencia entre sus vértices de modo que sus lados y ángulos sean respectivamente congruentes con los lados y ángulos del otro. Según esto se tiene: B

E

A

C

D

F

 AB  DE

RA  RD



ABC  DEF   BC  EF y RB  RE  RC  RF  AC  DF La notación: ABC  DEF, se lee: el triángulo ABC es congruente con el triángulo DEF. CASOS O CRITERIOS DE CONGRUENCIA Son las condiciones mínimas para que dos triángulos sean congruentes. Primer Caso – ALA (ángulo – lado – ángulo) Si dos triángulos tienen respectivamente congruentes un lado y los ángulos adyacentes a este lado, entonces dichos triángulos son congruentes. B E

° A

Segundo Periodo

°

° C

D

° F

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4to. de Secundaria


ABC  DEF Segundo Caso – LAL (lado – ángulo – lado) Si dos triángulos tienen respectivamente congruentes dos lados y el ángulo comprendido, entonces dichos triángulos son congruentes. B E

°

°

A

C

D

F

ABC  DEF

Tercer Caso (LLL) (lado – lado – lado) Si dos triángulos tienen respectivamente congruentes sus tres lados, entonces dichos triángulos son congruentes. B

E

° A

° C

D

F

ABC  DEF NOTA 

Sólo cuando se demuestre que dos triángulos son congruentes se podrá decir que a lados congruentes se

Segundo Periodo

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4to. de Secundaria


oponen ángulos congruentes y recíprocamente, a ángulos congruentes se oponen lados congruentes. Ejemplos: Indicar los casos de congruencia que se cumplen. a) Dados:

CASO: ………………… b) Dados

CASO: ………………… c) Dados

Segundo Periodo

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4to. de Secundaria


CASO: ……………………. d) Dados

CASO: ……………….. e) Dados

CASO: ……………..

Segundo Periodo

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4to. de Secundaria


EJERCICIOS Indicar el caso de congruencia en cada uno de los casos siguientes. (01)

(02)

I

II

I II

(03)

(04)  I

  II



(05)

06)  

I

 

II

I

II 

II

Segundo Periodo

28



I

4to. de Secundaria


(07)

(08) II 110°

70°

II

I

I

(09)

(10) II

 



I

II

I

(11)

(12) II I

II

I

Segundo Periodo

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4to. de Secundaria


(13)

(14)

(15)

(16)

(17)

(18)

Segundo Periodo

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4to. de Secundaria


PROBLEMAS

01.- Hallar “x+y”.

a) 14

b) 12

c) 13

d) 15

e) 11

c) 40°

d) 50°

e) 60°

02.- Hallar “”.

a) 45°

b) 70°

03.- En la figura, Si: BC=CD y AC=CE. Hallar “x+y”.

a) 41°

b) 35°

c) 32°

d) 26°

e) 68°

04.- Hallar “x”.

Segundo Periodo

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4to. de Secundaria


a) 54° b) 56° 05.- Hallar “x”.

c) 58°

d) 62°

e) 64°

a) 70°

c) 60°

d) 40°

e) N.A.

c) 10

d) 12

e) N.A.

c) 30

d) 80

e) 90

b) 50°

06.- Si: AE=DC. Hallar “x+y”.

a) 8

b) 9

07.- Hallar “QR”.

a) 50

b) 60

08.- Hallar “”

Segundo Periodo

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4to. de Secundaria


a) 5°

b) 10°

c) 12°

d) 15°

e) 20°

09.- Calcular “x” a) 40º b) 50º c) 60º d) 70º e) 80º 10.- Hallar QT, si: PQ = 5 ; ST = 12 y PR = RS a) 13 b) 14 c) 15 d) 16 e) 17

11.- Calcular “x+y” a) 18 b) 20 c) 16 d) 15 e) 24 12.- Si: AB = 4 y BD = 12. Calcular “BC” a) b) c) d) e)

2 9 6 8 NA

13.- Calcular: “-” a) b) c) d)

50º 20º 30º 25º

Segundo Periodo

33

4to. de Secundaria


e) 35º 14.- Si: AB = BC ; PQ = 10 y AP = 3. Hallar CQ a) 7 b) 3 c) 5 d) 4 e) 12

15.- Calcular “x”, si: AB = BC a) 2 b) 3 c) 4 d) 5 e) 8

16.- Hallar AQ, si: BA + PQ = 10. a) b) c) d) e)

8 9 10 11 12

17.- Si el ABC es congruente al PQR , hallar “x+y” a) b) c) d) e)

120º 60º 100º 110º 140º

Segundo Periodo

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4to. de Secundaria


18.- Si: AC = DC , BC = EC , AB = 12. Calcular DE a) b) c) d) e)

6 8 10 12 24

19.- Si : AC = EC , AB = 6 ; ED = 9. Calcular BD a) b) c) d) e)

10 12 15 18 20

20.- Calcular “x” a) b) c) d) e)

20º 15º + 30º -

21.- Si el ABC es congruente al PQR, entonces, hallar “x”. a) b) c) d) e)

20º 40º 60º 30º 25º

Segundo Periodo

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4to. de Secundaria


DESAFIO 01.- Hallar “PQ”, Si: ABCD es un cuadrado y AP=3; CQ=7. a) 8 b) 10 c) 12 d) 6 e) 9

02.- Si: ABCD es un cuadrado, calcular “x”. a) 70° b) 72° c) 74° d) 79° e) 80° 03.- Si: AB=BC, calcular “AN”, si: BM=4. a) 4 b) 4 2 c) 3 d) 3 2 e) 5 04.- Si: BF=BC y AF=EC. Hallar “x” a) 60° b) 50° c) 80° d) 75° e) NA

Segundo Periodo

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4to. de Secundaria


Capítulo 3

Segundo Periodo

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4to. de Secundaria


Segundo Periodo

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4to. de Secundaria


Propiedad de la Bisectriz Todo punto perteneciente a la bisectriz de un ángulo, equidista de los lados de dicho ángulo

Propiedad de la Mediatriz de un segmento Todo punto perteneciente a la recta mediatriz de un segmento equidista de los extremos de dicho segmento. Si: L es mediatriz de AC Se cumple:

Segundo Periodo

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4to. de Secundaria


Propiedad de la base media Llamado también teorema de los puntos medios; si por el punto medio de un lado se traza una paralela a otro de sus lados ésta cortará al tercer lado en su respectivo punto medio y además el segmento determinado es igual a la mitad de la longitud del lado al cual es paralelo. Si: L // AC y “M” es punto medio de AB. Se cumple:

Propiedad de la mediana en el triángulo rectángulo En todo triángulo rectángulo la longitud de la mediana relativa a la hipotenusa es igual a la mitad de dicha hipotenusa.

Propiedad isósceles

en

el

triángulo

En todo triángulo isósceles la altura, la mediana y la bisectriz relativa a la base, están representadas por el mismo segmento y pertenecen a la mediatriz relativa a la base.

Segundo Periodo

40

4to. de Secundaria


EJERCICIOS Calcular “x”, en los gráficos siguientes.

(1)

(2) 2x

(3)

3x - 8

-3

x

x

 

(4)

x

(5)

13 ° 50 25°

15

x

(7)

(8)



x

(9) 18

 x

x

x



(6) x

7



2x - 9



18

24

Segundo Periodo

41

4to. de Secundaria


(10)

(11)

(12)

x

x

 

45°

18

8 8

x 

(13)

(14)

(15) 30°

16

7

60°

30°

x

 

 

x

(16)

8

4

x

(17)

(18)

15

9

x 30°

37°

x

45°

x

x

45°

42

4x - 1 2

Segundo Periodo

16

4to. de Secundaria


(19)

(20)

(21)

9 30°

x

PROBLEMAS

01.- Calcular “x” a) 10 b) 12 c) 8 d) 17 e) 20 02.- Calcular “x” a) 2 b) 4 c) 6 d) 16 e) 17 03.- En la figura, hallar “PR” a) 6 b) 8 c) 12 d) 9 e) 4 2

Segundo Periodo

43

4to. de Secundaria


04.- BM es mediatriz de AD ; BN es mediatriz de DC y AB=8. Hallar “BC”.

a) 4

b) 6

c) 8

d) 10

e) 16

05.- Calcular “x+1” a) 3 b) 4 c) 5 d) 6 e) 7 06.- Calcular “x” a) 1 b) 2 c) 0,5 d) 3 e) 5

07.- Si: (AB)(NR) = 32cm2. Hallar “AB” a) b) c) d) e)

3 9 4 8 NA

08.- Hallar “BQ”, si: AC=16

Segundo Periodo

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4to. de Secundaria


a) b) c) d) e)

9 12 10 15 8

09.- Si AB=7 y AC=16. Hallar EC a) b) c) d) e)

8 10 11 9 12

10.- Hallar “MN”, si: AB=8cm y AC=18cm a) b) c) d) e)

4cm 5 3 6 10

11.- Hallar MH. a) 3 b) 2 c) 1 d) 6 e) 2 12.- Si: AM=MC y HN=k . Hallar: AC

Segundo Periodo

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4to. de Secundaria


a) b) c) d) e)

2k 3k 4k 5k 6k

13.- Si: AC=24u y BC=16u. Hallar MH a) b) c) d) e)

18u 22 20 19 21

14.- Si: AM es bisectriz, AM es perpendicular a BF ; BN=NC ; AB=6 y AC=14 . Hallar MN a) 3 b) 4 c) 5 d) 6 e) 8 15.- Si: MN//BE y MN=6cm. Hallar “BF” a) b) c) d) e)

8cm 9 7 10 12

Segundo Periodo

46

4to. de Secundaria


16.- Según el gráfico. Hallar PQ. a) b) c) d) e)

a 5a/2 2a 3a/2 2a/3

Segundo Periodo

47

4to. de Secundaria

Geometria 4to 2bim 2009 Smdp

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