BAB I SEJARAH
A. Biogra Biografi fi Eucl Euclid id
Tidak lama Pythagoras meninggal, lahirlah Euclid. Euclid dikenali sebagai Euclides Euclides dari Alexanda Alexandaria ria mesir dan digelar digelar "Bapa Geometri", Geometri", ialah seorang seorang ahli matema matematik tikawan awan unani nani Purba Purba yang yang dilahi dilahirka rkan n pada pada ! #$. Beliau Beliau akti% akti% di &skandariah ketika era pemerintahan Ptolemy & #oter '!(!)(*! #$+. arya beliau The The Elem Elemen en meru merupa paka kan n kary karyaa yang ang pali paling ng berp berpen enga garu ruh h dala dalam m se-a se-ara rah h $atematika, ampir tidak ada yang mengetahui secara pasti apakah Euclid seorang matem matemati atika kawa wan n krea kreati ti%% atau atau seked sekedar ar pand pandai ai meng mengum umpu pulk lkan an dan dan meng menged edit it peker-aan orang lain. #eorang penulis Arab, al)/i%ti '0(1*+, mencatat bahwa ayah a yah Euclid adalah 2aucrates dan kakeknya adalah 3enarchus, bahwa ia adalah seorang unani, nani, lahir lahir di Tirus Tirus dan tingga tinggall di 4amask 4amaskus. us. emung emungkin kinan an ia mengi mengikut kutii akademi akademi Plato di Athena, Athena, menerima pelatihan matematika dari mahasiswa mahasiswa Plato, dan kemudi kemudian an datang datang ke Alexa Alexandr ndria. ia. Ada Ada bebera beberapa pa bukti bukti bahwa bahwa Euclid Euclid -uga -uga mendirikan sekolah dan menga-ar murid)murid ketika ia berada di Alexandria The Element dapat dikatakan karya %enomenal pada -aman itu. Terdiri dari 0! buku yang tersusun berdasarkan tema dan topik. #etiap buku diawali dengan di%ini di%inisi, si, postul postulat at 'hany 'hanyaa untuk untuk buku buku &+, prepos preposisi, isi, theore theorema ma sebelu sebelum m ditutu ditutup p dengan dengan pembuk pembuktian tian dengan dengan mengg mengguna unakan kan di%ini di%inisi si dan postul postulat at yang yang sudah sudah disebutkan. Buku ini ke luar unani tahun 01*(, diter-emahkan ke dalam bahasa
0
5atin dan Arab, serta men-adi buku teks geometri dan logika pada awal tahun 06)an. Garis besar isi masing)masing buku.
Buku The Elements
Buku &
7 4a 4asar sar)dasar geometri etri77 te teori se segitiga iga, se se-a-a -a-arr dan dan luas
Buku &&
7 Al-abar geometri
Buku && &&&
7 Te Teori)teori te tentang li lingkaran
Buk Buku &8 &8
7 9ar 9araa mem membu buat at garis aris dan dan gam gamb bar melen elengk gkun ung g
Buk Buku u8
7 Teori tent tentan ang g pro propors porsi) i)p prop roporsi orsi abst abstra rak k
Buku 8&
7 Bentuk yang sama dan proporsi)proporsi dalam geometri
Buku 8&&
7 4asar)dasar teori angka
Buku 8&&&
7 Proporsi)proporsi lan-utan dalam teori angka
Buku &:
7 Teori angka
Buku :
7 lasi%ikasi
Buku :&
7 Geometri tiga dimensi
Buku :&&
7 $engukur bentuk)bentuk
Buku :&&&
7 Bentuk)bentuk tri)matra 'tiga dimensi+
Bagitu hebatnya Euclid menyusun bukunya sehingga dari bentuknya sa-a suda sudah h mamp mampu u meny menyis isih ihka kan n sem semua buku buku teks teks yang ang pern pernah ah dibu dibuat at oran orang g sebe sebelu lumn mny ya. Buku Buku ini ini
asli asliny nyaa
ditu dituli liss
dala dalam m baha bahasa sa unani nani,,
kem kemudia udian n
diter-emahkan ke dalam pelbagai bahasa. Terbitan pertama muncul pada 01*(,
(
sekitar ! tahun sebelum penemuan mesin cetak oleh ;ohann Gutenberg. #e-ak penemuan mesin cetak, buku itu diterbitkan dalam ribuan edisi dengan beragam corak. corak. Buku Buku The The Elemen Elements ts -auh -auh lebih lebih berpen berpengar garuh uh ketimb ketimbang ang semua semua risalah risalah Aristo Aristotel teles es tentan tentang g logika logika.. Buku Buku ini adalah adalah contoh contoh kompli komplitt periha perihall strukt struktur ur dedukati% dan buah piker yang menak-ubkan dari semua hasil kreasi otak manusia. Pada umumnya orang)perang Eropa tidak beranggapan bahwa geometri ala Euclid hanyalah sebuah system abstrak. $ereka -ustru sangat yakin bahwa gagasan Euclid benar)benar merupakan kenyataan yang sesungguhnya. Pengaruh Euclid Euclid terhad terhadap ap &saac &saac 2ewtow 2ewtown n -uga -uga sangat sangat kentara kentara.. The The prinsi prinsipny pnyaa karya karya 2ewton mirip dengan The Elements. #elain itu, berbagai ilmuwan -uga mencoba menyamakan menyamakan diri dengan dengan Euclid. Euclid. 9aranya 9aranya dengan dengan memperlihat memperlihatkan kan bagaimana bagaimana semua kesimpulan mereka secara logis berasal dari asumsi asli. &tulah yang antara lain dilakukan oleh ahli)ahli matematika seperti Bertrand #pino>a. a. ini ini para para ahli ahli matemat matematika ika telah telah mamakl mamaklumi umi bahwa geometri Euclid bukan satu)satunya system geometri yang men-adi pegangan pokok. $ereka maklum bahwa selama 0? tahun terakhir banyak orang yang merumuskan geometri bukan ala Euclid.
!
Sekilas Catatan Penting
Defenisi
adalah suatu deskripsi atau batasan dari suatu kesepakatan ' Kamus; 9ambridge+
Aksioma adalah suatu aturan dalam matematika yang diasumsikan benar tampa
pembuktian, disebut -uga postulat 'math dictionary provided by a zworksheets.com+
Postulat adalah sesuatu ide yang diterima sebagai prinsip datar sebagai
pembentuk atau pengembangan teorema ' Kamus; 9ambridge+.
Teorema adalah pernyataan yang kebenaranya dibuktikan berdasar de%enisi,
postulat atau teorema yang telah dibuktikan terlebih dahulu '4ra. #usanah $.Pd @ Geometri; (*+.
Proosisi adalah suatu pernyataan logis yang harus dibuktikan benar atau salah
'math dictionary provided by a-zworksheets.com+.
!emma adalah proposisi yang berguna untuk pembuktian teorema lain'math
dictionary provided by a-zworksheets.com+.
1
BAB II "E#$ETRI E%C!ID Euclid&s elements
merupakan risalah yang terdiri dari 0! buku. &ni
merupakan kumpulan de%inisi, postulat 'aksioma+, dalil 'teorema dan konstruksi+, dan bukti matematika dari dalil)dalil. Tiga belas buku mencangkup geometri Euclid 'buku 0) dan 00)0!+ dan teori bilangan.'buku 6)0+. Adapun de%inisi, postulat 'aksioma+, dan dalil 'teorema dan konstruksi+ yang terdapat dalam buku 0) adalah sebagai berikut7 A.
Definisi'Definisi
Def ( ) Titik adalah sesuatu yang tidak punya bagian 'sesuatu yang punya posisi
tetapi tidak punya dimensi+. Def * ) Garis adalah sesuatu yang punya pan-ang tetapi tidak punya lebar. Def + ) Ujung-ujung suatu garis adalah titik. Def , )Garis lurus adalah garis yang terletak secara rata dengan titik)titik pada
dirinya. Def - ) idang adalah sesuatu yang hanya mempunyai pan-ang dan lebar. Def ) !isi-sisi dari bidang berupa garis. Def / ) idang datar adalah bidang yang terletak secara rata dengan garis)garis
lurus pada dirinya. Def 0 )!udut bidang terbentuk dari dua garis pada bidang yang bertemu pada
sebuah titik dan tidak terletak dalam sebuah garis lurus. Def 1 )4an ketika garis)garis yang membentuk sudut lurus, sudut tersebut disebut
rectilinear . Def (2 ) etika garis lurus berdiri pada sebuah garis lurus dan membentuk sudut
berdekatan yang besarnya sama, masing)masing sudut tersebut adalah sudut siku-siku, dan garis yang berdiri dikatakan tegak lurus dengan garis kurus tempatnya berdiri. Def (() !udut tumpul adalah sudut yang lebih besar dari sudut siku)siku. Def (* )!udut lancip adalah sudut yang lebih kecil dari sudut siku)siku. Def (+ ) atas adalah sesuatu yang merupakan u-ung dari apapun.
?
Def (, ) agun adalah sesuatu yang dibentuk oleh batas atau batas)batas. Def (- ) "ingkaran adalah bangun datar yang dibentuk oleh satu garis sedemikian
hingga semua garis lurus yang -atuh pada bangun tersebut dari sebuah titik di dalam bangun tersebut pada bangun tersebut pan-angnya sama. Def ( ) 4an titik tersebut disebut pusat lingkaran. Def (/ ) #iameter lingkaran adalah suatu garis lurus yang digambar melalui
pusat lingkaran dan berakhir di dua arah keliling lingkaran. Def (0 ) !etengah lingkaran adalah bangun yang dibangun oleh diameter dan
keliling lingkaran yang dipotong oleh diameter. Def (1 ) angun-bangun rectilinear adalah bangun)bangun yang dibentuk oleh
garis lurus. Bangun segitiga adalah bangun yang dibentuk oleh tiga garis lurus, bangun segiempat adalah bangun yang dibentuk oleh empat garis lurus, bangun segibanyak adalah bangun yang dibentuk oleh lebih dari empat garis lurus. Def *2 ) 4ari bangun segitiga, segitiga sama sisi adalah segitiga yang memiliki
tiga sisi yang sama, segitiga sama kaki adalah segitiga yang memiliki dua sisi yang sama, segitiga sembarang 'segitiga tak sama pan-ang+ adalah segitiga yang ketiga sisinya tidak ada yang sama. Def *( ) #elan-utnya, pada bangun segitiga, segitiga siku-siku adalah segitiga
yang memiliki sudut siku)siku, segitiga tumpul adalah segitiga yang memiliki sudut tumpul, segitiga lancip adalah segitiga yang memiliki sudut lancip Def ** ) Pada bangun segiempat, persegi adalah bangun yang semua sisinya
memiliki pan-ang yang sama dan memiliki sudut siku)siku, persegi panjang adalah bangun yang memilik sudut siku)siku tetapi tidak memiliki dua pasang sisi yang pan-angnya sama, belah ketupat adlah bangun yang semua pan-ang sisinya sama tetapi tidak memiliki sudut suku)siku. Def *+ ) Garis-garis lurus sejajar adalah garis lurus yang berada pada bidang
datar yang sama, dan -ika diperpan-ang secara terus menerus pada kedua arah tidak akan berpotongan di arah manapun.
B.
Postulat'Postulat
Post ( 7 $elalui dua titik sebarang dapat dibuat garis lurus. Post * 7
dalam sepihak kurang dari dua sudut siku)siku, kedua garis tersebut -ika diperpan-ang tak terbatas, akan bertemu dipihak tempat kedua sudut dalam sepihak kurang dari dua sudut siku)siku.
C. Aksioma Aksio ( ) al)hal yang sama dengan hal yang sama, satu dengan yang lainnya
-uga sama. Aksio *) ;ika sesuatu yang sama ditambah dengan sesuatu yang sama, -umlahnya
sama. Aksio + ) ;ika sesuatu yang sama dikurangi dengan sesuatu yang sama, sisanya
sama. Aksio , ) al)hal yang berimpit satu sama lain, hal)hal tersebut sama. Aksio - ) #eluruh lebih besar dari pada sebagian.
D. Proosisi'Proosisi Pro () ;ika diberikan garis lurus dengan pan-ang terbatas, maka dapat dibuat
segitiga sama sisi
6
Pro * ) ;ika diberikan sebuah garis lurus dan sebuah titik di luar garis, maka
melalui titik tersebut dapat dibuat garis lurus yang pan-angnya sama dengan garis lurus yang diberikan.
Pro + ) ;ika diberikan dua garis lurus dengan pan-ang berbeda, maka garis lurus
yang lebih pan-ang dapat dipotong sehingga pan-angnya sama dengan garis lurus yang lebih pendek.
Pro , ) ;ika dua buah segitiga memiliki dua sisi bersesuaian yang pan-angnya
sama dan sudut)sudut yang dibentuk oleh kedua sisi tersebut besarnya -uga sama, maka pan-ang sisi dan besar sudut yang bersesuaian lainnya -uga sama.
*
Pro - ) 4alam segitiga sama kaki, sudut)sudut alas besarnya sama dan -ika kedua
kaki diperpar-ang maka sudut)sudut di bawah alas -uga sama besar.
Pro ) ;ika dua sudut dalam sebuah segitiga besarnya sama, maka sisi)sisi yang
berhadapan dengan sudut tersebut pangangnya -uga sama.
Pro / ) ;ika alas dua buah segitiga berimpit, dan sisi)sisi yang bersesuaian pada
dalam segitiga)segitiga tersebut sama pan-ang dan searah, maka titik potong sisi)sisi yang bersesuaian dalam setiap segitiga berimpit.
Pro 0 ) ;ika sisi)sisi yang bersesuaian dalam setiap segitiga pan-angnya sama,
maka sudut)sudut yang bersesauaian besarnya -uga sama.
Pro 1 ) #udut rectilinear dapat dibagi men-adi dua sama besar.
Pro (2 ) Garis lurus terbatas dapat dibagi men-adi dua bagian yang sama pan-ang
Pro (( ) ;ika diberikan sebuah garis lurus dan sebuah titik pada garis lurus
tersebut, maka melalui titik tersebut dapat dibuat garis lurus yang tegak lurus pada garis lurus yang di berikan.
Pro (* ) ;ika diberikan sebuah garis lurus dan sebuah titik di luar garis lurus
tersebut, maka melalui titik tersebut dapat dibuat garis lurus yang tegak lurus pada garis lurus yang di berikan.
Pro (+ ) ;ika sebuah garis lurus berdiri pada sebuah garis lurus, maka akan
membentuk dua sudut siku siku atau sudut yang -umlahnya sama dengan dua sudut siku siku.
0
Pro (, ) 4iberikan sebuah garis lurus dan sebuah titik pada garis tersebut, -ika
dua daris lurus melalui titik tersebut dan membentuk sudut yang besarnya sama dengan dua kali sudut siku)siku, maka kedua garis lurus tersebut segaris.
Pro (- ) ;ika dua buah garis lurus berpotongan, maka akan terbentuk dua sudut
bertolak belakang yang besarnya sama Akibat 7 -ika dua buah garis lurus berpotongan, maka sudut)sudut pada titik potong tersebut -umlahnya sama dengan empat sudut siku siku.
Pro ( ) ;ika salah satu sisi dalam segitiga diperpan-ang, maka sudut eksteriornya
lebih besar dari pada sudut interior yang tidak bersisian.
Pro (/ ) ;umlah dua sudut dalam segitiga kurang dari dua sudut siku)siku.
00
Pro (0 ) 4alam segitiga, sudut dihadapan sisi yang lebih pan-ang -uga lebih besar.
Pro (1 ) 4alam segitiga, sisi dihadapan sudut yang lebih besar -uga lebih pan-ang.
Pro *2 ) ;umlah dua sisi dalam segitiga lebih besar dari sisi yang lainnya.
Pro *( ) ;ika dari u-ung)u-ung salah satu sisi segitigadibuat dua garis lurus
sedemikian hingga membentuk segitiga baru, maka -umlah kedua sisi 'yang tidak berimpit+ segitiga baru lebih kecil daripada -umlah kedua sisi 'yang tidak berimpit+ segitiga awal, tetapi besar sudut yang dibentuk lebih besar.
0(
Pro ** ) ;ika diberikan tiga garis lurus maka dari garis lurus, maka dapat dibentuk
sebuah segitiga.
Pro *+) ;ika diberikan sebuah sudut dan sebuah garis lurus, maka melalui garis
lurus tersebut dapat dibuat sudut yang besarnya sama dengan yang diberikan.
Pro *, ) ;ika dua buah segitiga memiliki dua sisi yang bersesuaian, tetapi sudut
yang dibentuk oleh sisi)sisi tersebut pada segitiga pertama lebih besar, maka alas segitiga pertama lebih pan-ang.
Pro *- ) ;ika dua buah segitiga memiliki dua bersesuaian sisi yang sama besar,
tetapi sisi lainnya pada segitiga pertama lebih besar daripada yang di segitiga yang ke dua, maka sudut yang berhadapan dengan sisi yang lebih besar pada segitiga pertama -uga lebih besar daripada yang di segitiga ke dua.
0!
Pro * ) ;ika dua buah segitiga memiliki dua sudut bersesuaian sama besar dan
sisi yang terkait dengan sudut)sudut tersebut sama pan-ang, maka sudut dan sisi yang bersesuaian lainnya -uga sama besar.
Pro */ ) ;ika sebuah garis lurus memotong dua garis lurus dan membentuk sudut
dalam bersebrangan yang sama besar, maka kedua garis lurus yang dipotong btersebut se-a-ar.
Pro *0 ) ;ika sebuah garis lurus memotong dua garis lurus dan membentuk sudut
eksterior sama dengan sudut interior yang tidak bersisian 'sehadap+, atau -umlah sudut interiornya sama dengan dua sudut siku)siku, maka kedua garis lurus yang dipotong btersebut se-a-ar.
01
Pro *1 ) ;ika sebuah garis lurus memotong dua garis lurus yang se-a-ar dan
membentuk sudut dalam bersebrangan yang sama besar, maka sudut eksterior sama dengan sudut interior yang tidak bersisian 'sehadap+, dan -umlah sudut interiornya sama dengan dua sudut siku)siku.
Pro +2 ) ;ika dua buah garis lurus sse-a-ar dengan sebuah garis lurus, maka kedua
garis lurus tersebut se-a-ar satu sama lain.
Pro +() $elalui sebuah titk di luar garis lurus dapat dibuat garis lurus yang se-a-ar
dengan garis lurus tersebut.
Pro +* ) 4alam sebuah segitiga, -ika salah satu sisi diperpan-ang, maka besar
sudut eksterior sama dengan -umlah besar sudutinterior yang tidak bersisian.
0?
Pro ++ 7 Garis lurus yang terkait denga u-ung)u-ung garis lurus yang se-a-ar dan
sama pan-ang -uga se-a-ar dan sama pan-ang.
Pro +, ) 4alam -a-ar gen-ang, sudut)sudut yang tidak bersisian 'berhadapan+ sama
besar dan diagonalnya membagi dua daerahnya sama besar.
Pro +-) ;ika dua buah -a-argen-ang terletak pada garis)garis se-a-ar yang sama dan
alasanya berimpit maka luas kedua -a-argen-ang tersebut sama.
Pro + );ika dua buah -a-argen-ang terletak pada garis)garis se-a-ar yang sama dan
alasanya sama pan-ang maka luas kedua -a-argen-ang tersebut sama.
0
Pro+/ );ika dua buah segitiga terletak pada garis)garis se-a-ar yang sama dan
alasanya berimpit maka luas kedua -a-argen-ang tersebut sama.
Pro +0 );ika dua buah segitiga terletak pada garis)garis se-a-ar yang sama dan
alasanya sama pan-ang maka luas kedua -a-argen-ang tersebut sama.
Pro +1 ) ;ika dua buah segitiga memiliki luas yang sama dan alasnya serta sisinya
berimpit, maka kedua segitiga tersebut terletak pada garis)garis se-a-ar yang sama.
Pro ,2);ika dua buah segitiga memiliki luas yang sama dan alasnya serta sisinya
sama pan-ang, maka kedua segitiga tersebut terletak pada garis)garis se-a-ar yang sama.
06
Pro ,();ika sebuah -a-argen-ang memiliki alas yang berimpit dengan alas sebuah
segitiga dan teletak dalam garis se-a-ar yang sama, maka luas -a-argen-ang sama dengan dua kali alas segitiga.
Pro ,* ) ;ika diberikan sebuah segitiga dan sebuah sudut rectilinear, maka melalui
sudut rectilinier tersebut dapat dibuat -a-argen-ang yang luasnya sama dengan dua kali luas segitiga tersebut.
Pro ,+) 4alam -a-argen-ang, komplemen)komplemen -a-argen-ang pada diagonal
memiliki luas yang sama.
Pro ,,);ika diberikan sebuah garis lurus, sebuah sudut rectilinear, dan sebuah
segitiga, maka melalui sudut dan garis lurus tersebut dapat dibuat sebuah -a-argen-ang yang luasnya sama dengan dua luas segitiga yang diberikan.
0*
Pro ,- ) ;ika diberikan sebuah sudut dan sebuah bidang rectilinear, maka melalui
sudut tersebut dapat dibuat -a-argen-ang yang luasnya sama dengan bidang yang diberikan.
Pro ,) $elalui sebuah garis dapat dibuat sebuah -a-argen-ang.
Pro ,/)4alam segitiga siku)siku, kuadrat sisi di hadapan sudut siku)siku sama
dengan -umlah kuadrat dua sisi yang lainnya.
0
Pro ,0);ika dalam segitiga kuadrat salah satu sisi sama dengan -umlah kuadrat
dua sisi yang lainnya, maka sudut yang dibentuk oleh dua sisi yang lainnya tersebut adalah siku)siku.
PE$B%3TIA4 PR#P#SISI *5 ((5 (5(/5 */5,*
Proposisi 2
;ika diberikan sebuah garis lurus dan sebuah titik di luar garis, maka melalui titik tersebut dapat dibuat garis lurus yang pan-angnya sama dengan garis lurus yang diberikan.
Bukti7 4iberikan garis AB dan titik 9 di luar AB. Buat lingkaran 50 dengan pusat B dan -ari)-ari AB CCC. ' postulat !+ Tarik garis dari B ke 9 CCC. ' postulat 0+ Buat segitiga sama sisi melalui B9 CCC. ' proposisi 0+ 2amakan DB94 Perpan-ang B4 sampai memotong 5 0 di E CCC. ' postulat (+ Buat lingkaran 5( dengan pusat 4 dan -ari)-ari 4E CCC. ' postulat !+ Perpan-ang 94 sampai memotong 5 ( di CCC. ' postulat (+
(
BE F AB CCC. '-ari)-ari 5 0+
CCC.0+
4E F 4 CCC. '-ari)-ari 5 (+ 4B BE F 49 9 CCC. 'aksioma 0+ arena 4B F 49 CCC. 'DB94 sama sisi+ $aka BE F 9 CCC. 'aksioma (+ CCC.(+ 4ari 0+ dan (+ diperoleh AB F 9
Proposisi ((
;ika diberikan sebuah garis lurus dan sebuah titik pada garis lurus tersebut, maka melalui titik tersebut dapat dibuat garis lurus yang tegak lurus pada garis lurus yang di berikan
Bukti 7 4iberikan sebuah garis lurus AB , dan 9 terletak pada garis tersebut. Akan dibuktikan bahwa melalui titik 9, dapat dibuat garis lurus yang tegak lurus dengan garis lurus AB. $isalkan titik 4 adalah sebarang titik pada A9, maka dapat dibuat garis 9E yang sama dengan 94 'Proposisi (+, dan melalui 4E dapat dibuat segitiga sama sisi 4E 'Proposisi 0+ dengan 9 di dalamnya. Akan ditun-ukkan bahwa garis lurus 9 membentuk sudut siku)siku terhadap
garis lurus AB dari titik 9 yang
diberikan. arena 49 sama dengan 9E, dan 9 adalah garis persekutuan, maka kedua garis lurus 49 dan 9 sama dengan masing)masing dua garis lurus E9 dan 9. 4E adalah segitiga sama sisi, maka 4 sama dengan E, sehingga sudut 49 sama dengan sudut E9 'proposisi *+, dan mereka saling berdekatan.
(0
Berdasarkan de%inisi 0,H ketika garis lurus berdiri pada sebuah garis lurus dan membentuk sudut berdekatan yang besarnya sama, masing)masing sudut tersebut adalah sudut siku-siku, dan garis yang berdiri dikatakan tegak lurus dengan garis lurus tempatnya berdiriH. #ehingga masing)masing sudut 49 dan 9E adalah sudut siku)siku, dan terbukti bahwa garis lurus 9 membentuk sudut siku)siku terhadap garis lurus AB dari titik 9 yang diberikan.
Proposisi (
;ika salah satu sisi dalam segitiga diperpan-ang, maka sudut eksteriornya lebih besar dari pada sudut interior yang tidak bersisian.
A
E
B
4 $
9
G Bukti7 $isalkan diketahui DAB9 dan 4 pada perpan-angan B9. Pertama kita tun-ukkan bahwa sudut luar ∠ A94 I ∠ A. Potong A9 men-adi ( bagian, misalkan di E .......... ' proposisi 0+ Perpan-ang BE melalui E hingga ke sedemikian hingga BE F E .......... ' postulat (+
arena AE F E9, BE F E, ∠ AEB F ∠ 9E 'bertolak belakang+
$aka D AEB
≅
D 9E 'ss)sd)ss+ ........... ' proposisi 1+
;adi ∠ BAE F ∠ 9E 'sudut yang bersesuaian+
((
arena
∠ A94 I ∠ 9E .......... 'aksioma ?+
$aka ∠ A94 I ∠ BAE F ∠ A ............ ' ∠ BAE F ∠ 9E+ #elan-utnya akan ditun-ukkan bahwa ∠ A94 I ∠ B Perpan-ang A9 melalui 9 hingga ke Potong B9 men-adi ( bagian, misalkan di $ .......... ' proposisi 0+ Perpan-ang A$ melalui $ hingga ke G sedemikian hingga A$ F $G .......... ' postulat (+ arena B$ F $9, A$ F $G, ∠ A$B F ∠ 9$G 'bertolak belakang+
$aka D A$B
≅
D 9$G 'ss)sd)ss+ ........... ' proposisi 1+
;adi ∠ AB$ F ∠ G9$ 'sudut yang bersesuaian+ arena
∠ $9 I ∠ G9$ .......... 'aksioma ?+
$aka ∠ $9 I ∠ AB$ F ∠ B ............ ' ∠ AB$ F ∠ G9$+ arena ∠ $9 F ∠ A94 .......... 'bertolak belakang+ $aka ∠ A94 I ∠ B
Proposisi (/
;umlah dua sudut dalam segitiga kurang dari dua sudut siku)siku. A
9
B
4
B
4
Bukti7 A
9
(!
$isalkan diketahui
∆
AB9.
Akan ditun-ukkan bahwa ∠ A ∠ B J dua sudut siku)siku. arena Geo Euclid menitik beratkan pembuktian pada gambar, dapat disimpulkan ∠ AB4 F dua sudut siku)siku K ∠ B ......................... '0+
$enurut aksioma (, H jika sesuatu yang sama ditambah dengan sesuatu yang sama$ nilainya samaH sehingga persamaan '0+ men-adi7
∠ AB4 ∠ B F dua sudut siku)siku K ∠ B ∠ B ∠ AB4 ∠ B F dua sudut siku)siku ......................... '(+
emudian perpan-ang 9B melalui B ke titik 4, maka ∠ AB4 adalah sudut luar ∆
AB9. Berdasarkan Teorema 0 H #alam segitiga jika salah satu sisi
diperpanjang$ maka sudut eksteriornya lebih besar dari sudut interior yang tidak bersisian dengan sudut tersebut H maka ∠ AB4 I ∠ A ....................... '!+
4ari '(+, '!+, dan
aksioma ?, H!eluruhnya lebih besar daripada sebagianH
diperoleh7 ∠ A ∠ B J dua sudut siku)siku ............................... '1+
4engan cara yang sama dapat diperoleh7 ∠ A ∠ 9 J dua sudut siku)siku ............................... '?+ ∠ 9 ∠ B J dua sudut siku)siku ............................... '+
4ari '1+, '?+, dan '+ terbukti bahwa dalam segitiga -umlah dua sudut kurang dari dua sudut siku)siku.
(1
Proposisi */
;ika sebuah garis lurus memotong dua garis lurus dan membentuk sudut dalam bersebrangan yang sama besar, maka kedua garis lurus yang dipotong tersebut se-a-ar. A 0
k
A
k
0
9 ( B
m
m
9
( B
Bukti7 $isalkan sebuah garis transLersal memotong dua garis k dan m di titik A dan B dan membentuk sepasang sudut dalam bersebrangan ∠ 0 dan ∠ ( yang sama. Andaikan k dan m tidak se-a-ar, maka keduanya berpotongan di titik 9, dan membentuk DAB9. Titik 9 terletak di sebelah kiri AB atau di sebelah kanannya. 4alam hal ini sudut luar D AB9 sama dengan sudut dalam yang tidak bersisian dengannya ' ∠ 0F ∠ (+. al ini kontradiksi dengan proposisi0, -adi pengandaian salah. Garis m dan k se-a-ar.
Proposisi 42
;ika diberikan sebuah segitiga dan sebuah sudut rectilinear, maka melalui sudut rectilinier tersebut dapat dibuat -a-argen-ang yang luasnya sama dengan dua kali luas segitiga tersebut. Bukti7 0. $isal diberikan segitiga %& dan sudut #, akan dibuat -a-argen-ang melalui sudut #. (. ;ika & dipotong di ' sehingga terbentuk %' 'Pro (26 !. emudian buat sudut&'( yang sama dengan sudut # 7Pro *+6 1. Buat garis %G yang se-a-ar dengan '& 'Pro +(6 dan garis (G ) '& 7Pro *6 ?. 4ari 'Pro +++, terdapat garis &G yang se-a-ar dengan '( dan &G ) '( maka '(G& adalah -a-argen-ang.
(?
. 4ari 7Pro +06, segitiga %' sama dengan segitiga %'& karena ' ) '& dan & ** %G$ maka segitiga %& ) dua kali segitiga %'&. 6. 4ari 'Pro ,(6 -a-arngen-ang '(G& sama dengan dua kali segitiga %'& dan berada dalam garis se-a-ar yang sama. ;adi 7 -a-arngen-ang '(G& sama dengan segitiga %& , dimana diberikan segitiga %& dan sudut rectilinear #.
M
BAB III 3ESEJAJARA4 E%C!ID
(
Telah kita ketahui bahwa pembuktian geometri yang mengambil kesimpulan dari gambar geometri dianggap tidak memuaskan saat ini. Para ahli geometri tedak menemukan ketentuan)ketentuan standard. #ebaliknya, Euclid seorang ahli logika, masih mendasarkan pada gambar geometri dalam pembuktiannya. Penyebab perubahan mendasar adalah perkembangan teori geometri non Euclid yang kontrdiksi dengan kese-a-aran Euclid. #e-auh ini, sebagai mana yang dipercaya para ahli matematika, geometri Euclid adalah satu)satunya teori ruang yang mungkin dan betul)betul menggambarkan dunia %isik. Tidak terpikir oleh mereka bahwa gambar geometri mungkin dapat menyesatkan mereka. Tetapi ketika kedudukan geometri Euclid yang mutlak dan unik ini dibantah pada awal abad 0 oleh penemu geometri non Euclid, para ahli matematika seolah terguncang.
A. Pengganti Postulat 3ese8a8aran Euclid
Pada mulanya postulat kese-a-aran tidak digunakan. Perkembangan selan-tunya , ternyata memebtuhkan postulat kese-a-aran tersebut. Tetapi, pada buku)buku teks sekarang, postulat kese-a-aran Euclud biasanya diganti dengan pernyataan. +anya ada satu garis sejajar dengan garis yang diketahui yang melalui sebuah titik di luar garis yang diketahui. Pernyataan tersebut disebut Postulat Play%air. Postulat Play%air membahas kese-a-aran garis dan postulat kese-a-aran Euclid tentang garis)garis yang berpotongan.
2amun
keduanya
mempunyai
peran
yang
sama
dalam
perkembangan geometri. ita bisa mengatakan kedua postulat tersebut ekuiLalen. &ni berarti -ika postulat Play%air diambil sebagai postulat maka postulat kese-a-aran Euclid dapat disimpulkan sebagai teorema. 4an sebaliknya apabila
(6
postulat kese-a-aran Euclid diambil sebagai postulat maka postulat Play%air dapat disimpulkan sebagai teorema.
B. Eki9alensi Postulat 3ese8a8aran Euclid dengan Postulat Pla:fair
#ekarang kita akan membuktikan ekiLalensi postulat kese-a-aran Euclid dengan postulat Play%air. Pertama:
ita asumsikan postulat kese-a-aran euclid dan kita simpulkan men-adi postulat Play%air. ;ika diketahui garis k dan titik P di luar k. Akan kita tun-ukkan hanya ada satu garis yang melalui P se-a-ar k. n m
P ( 0
k
/
"angkah , 4ari P ditarik garis tegak lurus k dengan titik kaki di /, dan melalui P dibuat garis m tegak lurus
./
. $aka m NN k.
"angkag 0 $isalkan n sebarang garis yang melalui P, dan n ≠ m, akan ditun-ukkan n memotong k. "angkah 1 Garis k dan n dipotong oleh garis transLersal lancip
∠0
./ sehingga
membentuk sudut
dan sebuah sudut siku)siku, yang keduanya merupakan sudut dalam
sepihak dari garis transLersal. arena -umlah kedua sudut ini kurang dari 0* , sesuai dengan postulat kese-a-aran Euclid, kedua garis n dan k akan berpotongan.
(*
;adi m adalah satu)satunya garis yang melalui P se-a-ar k, yang berarti kita dapat menyimpulkan postulat Play%air dari postulat kese-a-aran Euclid.
Kedua
ita asumsikan Postulat Play%air, dan kita simpulkan men-adi postulat kese-a-aran Euclid. P <
E
(
m
0 /
k
$isalkan garis k, m dipotong oleh sebuah garis transLersal di /, P dan ∠0
membentuk sepasang sudut dalam sepihak
dan
∠(
yang -unlahnya kurang
dari 0*, -adi7 ∠0
$isalkan
∠!
∠(
J 0* ................. '0+
adalah suplemen dari
∠0
,
$aka7 ∠0
∠!
F 0* ...................'(+
4ari '0+ dan '(+diperoleh7 ∠(
J
∠!
............................'!+
Pada titik P buatlah ∠!
. $aka
∠(
∠ /.2
∠ /.2
J
yang sama dan bersebrangan dalam dengan
, -adi 2. tidak berimpit dengan garis m 'berbeda
dengan garis m+. $enurut proposisi 03 5 2. NN k. #esuai dengan postulat Play%air, m tidak se-a-ar k@ oleh karena itu m dan k berpotongan. $isalkan m dan k berpotongan pada pihak yang berlawanan dengan dari
∠0
dan
oleh karena itu
∠(
, misalkan titik E. $aka
∠(
∠(
adalah sudut luar
./
∠ ./' @
J ∠ ! , kontradiksi dengan 7+6. Akibatnya pemisalan salah,
-adi m dan l berpotongan pada pihak
./
yang memuat
∠0
dan
∠(
. ;adi
(
postulat kese-a-aran Euclid dapat diperoleh dari postulat Playair, yang berarti kedua postulat ekuiLalen.
BAB I; AP!I3ASI
!
Aplikasi geometri Euclid dapat dilihat pada proposisi 16 dan 1* yang merupakan serapan dari 4alil Phytagoras. #ebelum mengetahui penggunaannnya lebih kita harus membuktikan kebenarannya. Berikut bukti dari 4alil Phytagoras7 4 a b
9
b
a
c c c
a A
b
c a
b
B
5uas daerah yang tidak diarsir F 5uas persegi AB94 K 1 x 5uas daerah yang diarsir c
(
=
( a + b )( a + b ) − 1 4
c
(
= a
(
+ (ab + b
c
(
= a
(
+b
!
0
ab
(
− (ab
(
'Terbukti+
Contoh Alikasi ()
#eorang anak ingin mengukur tinngi pohon dengan cara seperti pada gambar dibawah ini
!0
tinggi anak dari kaki sampai mata 0,? m. Anak ber-arak ! m dari pohon. Tongkat yang tingginya !,? m ditancapkan pada -arak m dari anak itu sedemikian sehingga mata, u-ung tongkat dan puncak pohon segaris sehingga diperoleh segitiga seperti dibawah ini
Tinggi pohon 'T+ F t tinggi anak D %#' O D %& $ maka tinggi sebagian pohon 't + dapat dihitung dengan mggunakan perbandingan segitiga sebagai berikut. %# %
=
#' &
⇔
A !"
=
(
⇔ At = !" × t =
t
!" × (
= 0"
A
;adi, tinggi sebagian pohon 't + adalah 0 m Tinggi pohon 'T + F t tinggi anak F 0 0,? F 00,? m ;adi, tinggi pohon seluruhnya adalah 00,? m Contoh Alikasi *)
!(
#eorang anak menaikkan layang)layang dengan benang yang pan-angnya 0 meter. ;arak anak di tanah dengan titik yang tepat berada di bawah layang) layang adalah meter. itunglah ketinggian layang)layang. Tinggi layang)layang F B9
9
0 " " m
A
B9 F F F F
(
−
(
− A"
%& 0""
%
A " " m
B
(
(
0"""" − !A""
A1""
F * m ;adi ketinggian layang)layang * m
Contoh Alikasi +)
!!
Ada tiga orang siswa, sebut siswa A, B, dan 9 sedang melakukan kegiatan mengukur lebar suatu sungai. egiatan yang mereka lakukan adalah7
-
$ula)mula siswa A dan B berdiri ber-a-ar di salah satu sisi sungai, kemudian siswa 9 berada di tepi sungai yang lain untuk mengecek apakah posisi siswa A dan B telah segaris.
-
$asing)masing siswa menandai posisi tempat mereka berdiri, dan mengukur -araknya menggunakan meteran, sehingga mereka dapat mengetahui -arak siswa A dengan siswa B yaitu ( m.
-
emudian siswa B berpindah tempat se-auh ! m mengikuti tepi sungai, dan di tepi sungai yang lain, siswa 9 mengecek apakah posisi siswa A dan posisi siswa B yg baru telah segaris, sambil mengukur -arak perpindahannya dari posisi semula, sehingga diketahui -arak siswa 9 yang baru dari posisi semula, yaitu m.
-
Berikut adalah sketsa kegiatan yang mereka lakukan.
4ari kegiatan tersebut mereka dapat menghitung lebar sungan menggunakan teori kesebangunan. Analisis yang dilakukan adalah sebagai berikut7 A
(m !m B
B
9
m
9
#egitiga %5 dan segitiga %&&5 sebangun, karena 7 #udut %5 F #udut &%&5 'seletak+ #udut %5 F #udut %&&5 'sehadap+ #udut %5 F #udut %&5& 'sehadap+
!1
maka perbandingan sisi)sisi yang bersesuaian segitiga ABB dengan segitiga A99 adalah sama. #ehingga 7 AB A9 ( A9
F F
BB 99 !
%& ) 6 m
$aka lebar sungai adalah A9 K AB F 1 m K ( m F ( m.
DA
!?