Relasi dan Fungsi oleh: Ahmad Khakim Amru Ahmad Amrullah llah Evania Evan ia Kurni urniaw awati ati
Relasi Biner Definisi: Relasi biner antara A dan B adalah himpunan bagian dari A×B. R ⊆ (A×B) A adalah daerah asal (domain) B adalah daerah hasil (range atau codomain) Ingat perkalian kartesian: A×B={(a,b)| a∈A ⋀ b∈B}
Relasi Biner Contoh: A={Ani,Budi,Cecep} B={AlPro,AlLin,MatDis,MetNum} R=relasi yang menyatakan matakuliah yang diambil oleh mahasiswa. Jumlah pasangan terurut terurut yang mungkin |A×B|=3×4=12 |A×B|=3×4=12 Misalkan R={(Ani,AlLin),(Ani,MetNum),(Budi,AlPro),(Budi,AlLin),(Cecep,MetNu m)} Kita lihat bahwa R ⊆(A×B) dan |R|=5.
Contoh: A={2,3,4} B={2,4,8,9,15} R={(a,b)| a∈A ⋀ b∈B ⋀ (a habis membagi b)} Jumlah pasangan terurut yang mungkin |A×B|=3×5=15 R={(2,2),(2,4),(4,4),(2,8),(4,8),(3,9),(3,15)} Kita lihat bahwa R⊆(A×B) dan |R|=7.
Penyajian Relasi dengan Diagram Panah: Ani
AlPro
Budi
AlLin
Cecep
MatDis
MetNum
Diagram Panah : 2 3 4
2 4 8 9 15
Penyajian Penyajian Relasi dengan Tabel A
B
Ani
AlLin
Ani
MetNum
Budi
AlPro
Budi
AlLin
Cecep
MetNum
A
B
2
2
2
4
2
8
3
9
3
15
4
4
4
8
Penyajia ian n Rel elaasi dengan Matriks Misalkan R adalah relasi dari A = {a1, a2
,
{b1, b2
,
…,
…,
am} dan B =
bn}.
Relasi R dapat disajikan dengan matriks M = [mij],
M =
b1 a1 m11
b2 m12
a m
m22
mm 2
a2 m21
m
m1
yang dalam hal ini
1, (a , b ) R m 0, (a , b ) R i
j
i
j
ij
bn m1n
m2 n
m mn
Relasi R pada Contoh sebelumnya dapat dinyatakan dengan matriks 0 1 0 1
1 1 0 0 0 0 0 1
dalam hal ini, a1 = Ani, a2 = Budi, a3 = Cecep, dan b1 = AlPro, b2 = AlLin, b3 = MatDis, dan b4 = MetNum. Relasi R pada Contoh 4 dapat dinyatakan dengan matriks
1 1 1 0 0 0 0 0 1 1 0 1 1 0 0 yang dalam hal ini, a1 = 2, 2, a2 = 3, 3, a3 = 4, dan b1 = 2, 2, b2 = 4, 4, b3 = 8, 8, b4 = 9, 9, b5 = 15.
Pen enya yajijiaan Re Rela lasi si de deng ngan an Gr Graf aftt Be Bera rara rah h
Relasi pada sebuah himpunan dapat direpresentasikan direpresentasikan secara grafis dengan graf berarah (directed graph atau digraph) Graf berarah tidak didefinisikan untuk merepresentasikan merepresentasikan relasi dari suatu himpunan ke himpunan lain. Tiap elemen himpunan dinyatakan dengan sebuah titik (disebut juga simpul atau vertex ), ), dan tiap pasangan terurut dinyatakan dengan busur (arc )
Jika (a, b) R, maka sebuah busur dibuat dari simpul a ke simpul b. Simpul a disebut simpul asal (initial vertex ) dan simpul b disebut simpul tujuan (terminal vertex ). ). Pasangan terurut ( a, a) dinyatakan dengan busur dari simpul a ke simpul a sendiri. Busur semacam itu disebut gelang atau kalang (loop).
Misalkan R = {(a, a), (a, b), (b, a), (b, c), (b, d ), ), (c, a), (c, d ), ), (d , }. b)} adalah relasi pada himpunan { a, b, c, d }. R direpresentasikan dengan graf berarah sbb:
a
c
b
d
Relasi Inversi Definisi: Jika R adalah relasi relasi dari A ke B, B, maka inversi inversi relasi R, ditulis R-1 adalah relasi dari B ke A sebagai: R-1={(b,a)| (a,b)∈R} Contoh: R={(2,2),(2,4),(4,4),(2,8),(4,8),(3,9),(3,15)} maka R-1={(2,2),(4,2),(4,4),(8,2),(8,4),(9,3),(15,3)} kita lihat bahwa R-1={(b,a)| a∈A ⋀ b∈B ⋀ (b kelipatan dari a)}
Sifat-sifat Sifat-si fat Relasi: Relasi: Refleksi Refleksiff (reflexive) Definisi: R bersifat reflexive jika ∀(a∈A) (a,a)∈R Contoh: Misal A={1,2,3,4} R={(1,1),(1,3),(2,1),(2,2),(3,3) R={(1,1),(1,3),(2,1),(2,2),(3,3),(4,2),(4,3),( ,(4,2),(4,3),(4,4)} 4,4)} reflexive? Ya R={(1,1),(1,3),(2,1),(4,2),(4,3),(4,4)} reflexive? Tidak x y ,y )| ,y ∈N, x > y } reflexive? Tidak R={( x )| x y x y ,y )| ,y ∈N, x + y =5} reflexive? Tidak R={( x )| x y =5} R={( x )| x y =10} reflexive? Tidak x y ,y )| ,y ∈N, 3 x + y =10}
Sifat-sifat Relasi: Setangkup (symmetric ) Definisi: R bersifat symmetric jika (a,b)∈R maka (b,a)∈R ∀(a,b∈A) Contoh: Misal A={1,2,3,4} R={(1,1),(1,2),(2,1),(2,2),(2,4) R={(1,1),(1,2),(2,1),(2,2),(2,4),(4,2),(4,4)} ,(4,2),(4,4)} symmetric ? Ya R={(1,1),(2,3),(2,4),(4,2)} symmetric ? Tidak R={(1,1),(2,2),(3,3)} symmetric ? Ya R={(1,1),(1,2),(2,2),(2,3)} symmetric ? Tidak R={(1,2),(2,3),(1,3)} symmetric ? Tidak R={( x )| x y x y ,y )| ,y ∈N, x > y } symmetric ? Tidak x y ,y )| ,y ∈ , x + y =5} R={( x )| x y =5} symmetric ? Ya x y ,y )| ,y ∈ , 3 x + y =10} R={( x )| x y =10} symmetric ? Tidak
Sifat-sifa Sifat-s ifatt Rel Relasi asi:: Tola olak-S k-Seta etangk ngkup up (antisymmetric ) Definisi: R bersifat antisymmetric jika (a,b)∈R dan (b,a)∈R maka a=b ∀(a,b∈A) Contoh: Misal A={1,2,3,4} R={(1,1),(1,2),(2,1),(2,2) R={(1,1),(1,2),(2,1),(2,2),(2,4),(4,2),(4,4)} ,(2,4),(4,2),(4,4)} antisymmetric ? Tidak antisymmetric ? Tidak R={(1,1),(2,3),(2,4),(4,2)} antisymmetric ? Ya R={(1,1),(2,2),(3,3)} antisymmetric ? Ya R={(1,1),(1,2),(2,2),(2,3)} antisymmetric ? Ya R={(1,2),(2,3),(1,3)} x y ,y )| ,y ∈N, x > y } R={( x )| x y x y ,y )| ,y ∈ , x + y =5} R={( x )| x y =5} x y ,y )| ,y ∈ , 3 x + y =10} R={( x )| x y =10}
antisymmetric ? Ya antisymmetric ? Tidak antisymmetric ? Ya
Sifat-sifat Relasi: Menghantar (transitive) Definisi: R bersifat transitive jika (a,b)∈R dan (b,c)∈R maka (a,c )∈R ∀(a,b,c ∈A) Contoh: Misal A={1,2,3,4} R={(2,1),(3,1),(3,2),(4,1),(4,2),(4,3)} R={(1,1),(2,3),(2,4),(4,2)} R={(1,1),(2,2),(3,3),(4,4)} R={(1,2),(2,3)} R={(1,2),(3,4)} R={(2,3)}
transitive? Ya transitive? Tidak transitive? Ya transitive? Tidak transitive? Ya transitive? Ya
x y ,y )| ,y ∈N, x > y } R={( x )| x y x y ,y )| ,y ∈N, x + y =5} R={( x )| x y =5} x y ,y )| ,y ∈N, 3 x + y =10} R={( x )| x y =10}
transitive? Ya transitive? Tidak transitive? Tidak
Relasi Kesetaraan (equivalence relation) Definisi: R disebut equivalence relation jika bersifat: reflexive, symmetric , dan transitive. Contoh: x y ,y )| ,y ∈Mahasiswa R={( x )| x y )} ⋀ ( x x seangkatan dengan y )} (silakan Anda check!)
Rel elas asii Pen engu guru ruta tan n Pa Pars rsiial (partial ordering relation) Definisi: R disebut partial par tial ordering ordering relation jika bersifat: reflexive, antisymmetric , dan transitive. Contoh: R={( x x y ,y ) | x y ,y ∈ Z ⋀ x ≤ x ≤ y } (silakan Anda check!)
FUNGSI
Misalkan A dan B himpunan. Relas elasii bine binerr f dari A ke B meru merupa paka kan n suat suatu u fung fungsi si jika setiap elemen di dalam A dihu dihubu bung ngkan kan de deng ngan an tepat satu elemen di dalam B.
Jika f adalah fungsi dari A ke B kita kita menu menulilisk skan an f : A B yang artinya f memetakan f memetakan A ke B.
A disebut daerah asal (domain) dari f dan B disebut daerah hasil (codomain) dari f .
Nama lain unt untuk fungsi adalah pemetaan atau transformasi. Kita menuliskan f (a) = b jika elemen a di dalam A dihub ihubun ungk gkan an denga engan n elem elemen en b di dalam B. Jika f (a) = b, maka b dinamakan bayangan (image) dari a dan a dinamakan pra-bayangan (pre-image) dari b. Himpunan yang b beerisi semu emua nilai pemetaan f disebut jelajah (range) dari f . Perhati erhatikan kan bahwa bahwa jelajah dari f adalah himpunan bagia gian (mungk gkiin proper subset) dari B.
Fungsi Adalah Relasi yang Khusus •
Tiap elemen di dalam himpunan A harus digunakan oleh prosedur atau kaidah yang mendefinisikan f . Frasa “dihubungkan dengan tepat satu satu elemen di dalam B” berarti bahwa jika (a ( a, b) f dan (a, c ) f , maka b = c .
Pen engk gkla lasi sifi fika kasi sian an Fu Fung ngsi si
Himpu impuna nan n pasa pasang ngan an teru teruru rut. t. Seperti pada relasi. For orm mula ula peng pengis isia ian n nila nilaii (assignment ). Contoh: f ( x x ) = 2 x + 10, f ( x x ) = x 2, dan f ( x x ) = 1/ x x . Kata-kata Contoh: “f adal adalah ah fung fungsi si yang ang meme memeta taka kan n juml jumlah ah bit 1 di di dalam suatu string biner”.
Lanjutan…
Kod odee prog progra ram m (source code) Cont Co ntoh oh:: Fung Fungsi si meng menghi hitu tung ng x |x | ):integer ; function abs(x:integer ): begin if x < 0 then abs:=-x else abs:=x; end;
Contoh Relasi
), (3, w )} )} f = {(1, u), (2, v ), dari A = {1, 2, 3} ke B = {u, v , w } adalah fungsi dari A ke B. Di sini f (1) (1) = u, f (2) (2) = v , dan f (3) (3) = w . Daerah asal dari f adalah A dan daerah hasil adalah B. Jelajah dari f adalah {u, v , w }, }, yang dalam hal ini sama dengan himpunan B.
Contoh Relasi
)} f = {(1, u), (2, u), (3, v )} dari A = {1, 2, 3} ke B = {u, v , w } adalah fungsi dari A ke B, meskipun u merupakan bayangan bayangan dari dua elemen A. Daerah Daer ah asal fungsi adalah A, daerah hasilnya adalah B, dan jelajah fungsi adalah {u, v }. }.
Contoh Relasi
), (3, w )} )} f = {(1, u), (2, v ), dari A = {1, 2, 3, 4} ke B = {u, v , w } bukan fungsi, karena tidak semua elemen A dipetakan ke B.
Contoh Relasi f = {(1, u), (1, v ), ), (2, v ), ), (3, w )} )}
dari A = {1, 2, 3} ke B = {u, v , w } bukan fungsi, karena 1 dipetakan ke dua buah elemen B, yaitu u dan v .
Contoh
Misalkan f : Z Z didefinisikan oleh f ( x x ) = x 2. Daerah asal dan daerah hasil dari f adalah himpunan bilangan bulat, dan jelajah dari f adalah himpunan bilangan bulat tidak-negatif.
Contoh Relasi
), (2, u), (3, v )} )} f = {(1, w ), dari A = {1, 2, 3} ke B = {u, v , w, x } adal adalah ah fung fungsi si satu-ke-satu, Tetapi re relasi lasi )} f = {(1, u), (2, u), (3, v )} dari A = {1, 2, 3} ke B = {u, v , w } bukan fungsi satu atuke-satu, karena f (1) (1) = f (2) (2) = u.
Fungsi f dikatakan dipetakan pada (onto) atau surjektif (surjective) jika setiap elemen himpunan B merupakan bayangan dari satu atau lebih elemen himpunan A. Dengan kata lain seluruh elemen B merupakan jelajah dari f . Fungsi Fun gsi f disebut fungsi pada himpunan B. A
B
a
1
b
2
c
3
d
Contoh Relasi
)} f = {(1, u), (2, u), (3, v )} dari A = {1, 2, 3} ke B = {u, v , w } bukan fungsi pada karena w tidak termasuk jelajah dari f . Relasi f
= {(1, w ), ), (2, u), (3, v )} )}
dari A = {1, 2, 3} ke B = {u, v , w } meru merupa paka kan n fungs fungsii pada karena semua anggota B meru merupa paka kan n jela jelaja jah h dari f .
Jika f adal adalah ah fung fungsi si berk berkor ores espo pond nden en satu satu-k -kee-sa satu tu dari A ke B, mak akaa kita dapat menemukan balikan (invers) dari f . Balik alikan an fung fungssi dila dilamb mban angk gkan an de deng ngan an f – 1. Misalkan adalah ah angg anggot otaa himp himpun unan an A dan b adalah a adal angg anggot otaa himp himpun unan an B, maka f -1(b) = a jika f (a) = b. Fung Fungsi si ya yang ng berk berkor ores espo pond nden en satu satu-k -kee-sa satu tu se seri ring ng dinamakan juga fungsi yang invertible (dapat dibal dibalik ikkan kan), ), ka karrena ena kita kita dapa dapatt mend mendefi efini nisi sikan kan fung fungsi si bali balika kann nnya ya.. Sebu Sebuah ah fung fungsi si dika dikata taka kan n not invertible (tidak dapat dibalikkan) jika ia bukan fungsi fungsi yang berkor berkorespon esponden den satu-k satu-ke-satu, e-satu, kar karena ena fungsi gsi balika ikannya tidak ada.
Contoh 37. Relasi f = {(1, u), (2, w ), ), (3, v )} )}
dari A = {1, 2, 3} ke B = {u, v , w } adalah fungsi yang berkoresponden satu-ke-satu. Balikan fungsi f adalah f -1 = {(u, 1), (w , 2), (v , 3)}
Jadi, f adalah fungsi invertible.
Komposisi dari Dua buah Fungsi
Misalkan g adalah fungsi dari himpunan A ke himpunan B, dan f adalah fungsi dari himpunan B ke himpunan himpu nan C . Komposisi f dan g , dinotasikan dengan f g , adalah fungsi fungsi dari A ke C yang didefinisikan oleh g (a)) (f g )( )(a) = f ( g
Contoh 40. Diberikan fungsi g = {(1, u), (2, u), (3, v )} )}
yang memetakan A = {1, 2, 3} ke B = {u, v , w }, }, dan fungsi f = {(u, y ), ), (v, x ), ), (w , z)} x , y , z}. yang memetakan B = {u, v , w } ke ke C = { x Fungsi komposisi dari A ke C adalah ), (2, y ), ), (3, x ) } f g = {(1, y ),
Fungs Fun gsii Flo Floor or Da Dan n Cei Ceilin lingg Misalkan x adal adalah ah bila bilang ngan an riil riil,, bera berarti rti x berada di antara dua bilangan bulat. Fungsi floor dari x: x menyatakan nilai bilangan bulat terbesar yang lebih kecil atau sama dengan x Fungsi ceiling dari x : menyatak atakan an bila bilang ngan an bula bulatt ter erkkec ecilil ya yang ng lebi lebih h x men besar atau sama dengan x Deng De ngan an ka kata ta lain lain,, fung fungsi si floor membulatkan x ke bawa bawah, h, se seda dang ngka kan n fung fungsi si ceiling membulatkan x ke atas.
lai fungsi floor dan ceiling : Contoh 42. Beberapa contoh nilai
3.5 = 3 0.5 = 0 4.8 = 4 – 0.5 = – 1 3.5 = – 4 – 3.5
3.5 = 4 0.5 = 1 4.8 = 5 – 0.5 = 0 3.5 = – 3 – 3.5
omputer, data dikodekan dikodekan dalam Contoh 42. Di dalam komputer untaian byte, satu byte ter terdiri iri atas atas 8 bit. bit. Jika Jika panj panjan angg data data 125 bit, bit, maka maka jumlah jumlah byte yang yang diperlu diperlukan kan untuk untuk merepr merepresent esentasik asikan an data adalah 125/8 = 16 byte. Per erha hati tika kanl nlah ah bahw bahwaa 16 8 = 128 bit, bit, sehingga sehingga untuk byte yang ya ng tera terakh khir ir perl perlu u dita ditamb mbah ahka kan n 3 bit bit ek ekst stra ra agar agar satu satu byte teta tetap p 8 bit bit (bit (bit eks ekstr traa ya yang ng dit ditam amba bahk hkan an untu untukk meng mengge gena napi pi 8 bit disebut padding bits).
Fungsi modulo Misalkan a ada adalah lah se sem mbara barang ng bila bilang ngan an bula bulatt dan m adalah bila bilang ngan an bula bulatt posi positi tif. f. a mod m membe emberi rika kan n sisa isa pem pembag bagian ian bila bilang ngan an bula bulatt bil bila a diba dibagi gi de deng ngan an m a mod m = r sedemi sedemikia kian n sehing sehingga ga a = mq + r , de deng ngan an 0 r < m.
eberaapa conto ontoh h fung fungsi si mod odul ulo o Contoh 43. Beber 25 mod 7 = 4 15 mod 4 = 0 3612 mod 45 = 12 0 mod 5 = 5 – 25 – 4) 25 mod 7 = 3 (sebab (sebab – 25 25 = 7 ( – 4) + 3 )
Fungsi Faktorial
Fungsi Eksponensial
Untuk kasus perpangkatan negatif,
Fungsi Logaritmik Fungsi logaritmik berbentuk
Fungsi Rekursif
Fungsi f dikatakan fungsi rekursif jika definisi fungsinya mengacu pada dirinya sendiri.
Fungsi rekursif disusun oleh dua bagian: (a) Basis Bagian yang ber berisi isi nil nilai awal yang tidak menga ngacu pada diriny inya se sen ndiri. Bagian ini juga uga seka se kaliligu guss meng menghe hent ntik ikan an de defi fini nisi si rek ekur ursi sif. f.
(b) Rekurens Bagian ini mend endefini finissika ikan argumen fung ungsi dala alam ter termino minolo logi gi dirin irinya ya se send ndir iri.i. Seti Setiaap ka kalili fung fungsi si meng engac acu u pad pada dirin irinya ya se send ndiiri, ri, ar argu gume men n dari fungsi harus lebih dekat ke nilai awal (basis).
Contoh definisi rekursif dari faktorial: (a) basis: n! = 1 , jika n = 0 (b) rekurens: n! = n (n -1)! -1)! , jika jika n > 0
4! dihi dihitu tung ng de deng ngan an lang langka kah h beri beriku kut: t: (1) 4! = 4 3! (rekurens) (2) 3! = 3 3! (3) 2! = 2 1! (4) 1! = 1 0! (5) 0! = 1 (5’) 0! = 1 (4’) 1! = 1 (3’) 2! = 2 (2’) 3! = 3 (1’) 4! = 4
Jadi, 4! = 24
0! = 1 1 = 1 1! = 2 1 = 2 2! = 3 2 = 6 3! = 4 6 = 24
Di bawah bawah ini adalah contoh-contoh fungsi rekursif lainnya: 1.
2. Fungsi Fungsi Chebysev Chebysev
3. Fungsi fibonacci:
