FUNÇÃO EXPONENCIAL 1) (ENEM 2016.2) O governo de uma cidade está preocupado com a possível epidemia de uma doença infectocontagiosa causada por bactéria. Para decidir que medidas tomar, deve calcular a velocidade de reprodução da bactéria. Em experiências laboratoriais de uma cultura bacteriana, inicialmente com 40 mil unidades, obteve-se a fórmula para a população: p t 40 23t em que t é o tempo, em hora, e p(t) é a população, em milhares de bactérias. Em relação à quantidade inicial de bactérias, após 20 min, a população será at a) reduzida a um terço. si t Resolução: b) reduzida à metade. p a 3 0 c) reduzida a dois terços. População Inicial: p 0 40 2 p 0 40 B . d) duplicada. M 1 e) triplicada. 3 ot 1 1 1 1 População após 20min: p 40 2 3 p 40 2 p 80 a
3
Conclusão:
3
n
3
e R
1 p 2 p 0 (Alternativa D). 3 lo e cr a M r o s s fe or P
2) (ENEM 2007) A duração do efeito de alguns fármacos está relacionada à sua meia-vida, tempo necessário para que a quantidade original do fárm aco no organismo se reduza à metade. A cada intervalo de tempo correspondente a uma meia-vida, a quantidade de fármaco existente no organismo no final do intervalo é igual a 50% da quantidade no início desse intervalo. O gráfico “ao lado” representa, de forma genérica, o que acontece com a
quantidade de fármaco no organismo humano ao longo do tempo. A meia-vida do antibiótico amoxicilina é de d e 1 hora. Assim, se uma dose desse antibiótico for injetada às 12 h em um paciente, o percentual dessa dose que restará em seu organismo às 13h30min será aproximadamente de a) 10%. b) 15%. c) 25%. d) 35%. e) 50%. at
Resolução: Em 1 hora corresponde a 1 meia-vida Em 1hora e 30min corresponde a 1,5 meias-vidas Assim, Pelo gráfico encontramos o valor de 35%. Alternativa D.
P
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a
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M
.
B
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p
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FUNÇÃO EXPONENCIAL 3) (ENEM 2009) A população mundial está ficando mais velha, os índices de natalidade diminuíram e a expectativa de vida aumentou. No gráfico seguinte, são apresentados dados obtidos por pesquisa realizada pela Organização das Nações Unidas (ONU), a respeito da quantidade de pessoas com 60 anos ou mais em todo o mundo. Os números da coluna da direita representam as faixas percentuais. Por exemplo, em 1950 havia 95 milhões de pessoas com 60 anos ou mais nos países desenvolvidos, número entre 10% e 15% da população total nos países desenvolvidos. Suponha que o modelo exponencial y 363 e0,03 x , em que x 0 corresponde ao ano 2000, x 1 corresponde ao ano 2001, e assim sucessivamente, e que y é a população em milhões de habitantes no ano x, seja usado para estimar essa população com 60 anos ou mais de idade nos países em desenvolvimento entre 2010 e 2050. Desse modo, considerando e0,3 1,35 , estima-se que a população com 60 anos ou mais estará, em 2030, entre a) 490 e 510 milhões. Resolução: b) 550 e 620 milhões. No ano de 2030 o valor de x 30 e assim teremos: c) 780 e 800 milhões. 0,03 30 0,9 d) 810 e 860 milhões. y 363 e y 363 e e) 870 e 910 milhões. 3 3 y 363 e 0,3 y 363 1.35
ta si t p
y 363 2, 46
y
a B . M ot a n
893 milhões (Alternativa E). e R ol e cr a M r o s s ef or P
4) (Modelo ENEM) Em uma região industrial, a emissão de poluentes aumenta à taxa de 50% ao ano. Em relação à taxa atual, podemos afirmar que, em quatro anos, a quantidade anual de poluentes emitida na região, aproximadamente, a) duplicará. b) triplicará. c) quadruplicará. at d) quintuplicará. si t e) sextuplicará. p
P
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lo
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M
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B
a
FUNÇÃO EXPONENCIAL 5) (Modelo ENEM) Um grupo de cientistas decidiu utilizar o seguinte modelo logístico, bastante conhecido por matemáticos e biólogos, para estimar o número de pássaros, P(t), de determinada espécie numa área de proteção ambiental:
500
Pt
1 2
, sendo t o tempo em anos e t = 0 o momento em que o estudo foi iniciado. Em quanto tempo
2 t
a população chegará a 400 indivíduos? a) 1,5 anos. b) 2 anos. Resolução: c) 3,5 anos. P t 500 d) 4 anos. 2 t 1 2 e) 5 anos. P t 400 5 00
2 t
4 00
si t p a B . M ot
5
2 t
1 2
4 42
at
4
1
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5
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1
2
4 1 2 2 t
2 t
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5
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R
2
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2
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4 2 t
2
2
2
2 t
2
t
4 anos
M r
(Alternativa D). o s s ef or P
6) (Modelo ENEM) Um modelo matemático para determinar o número de bactérias em determinado objeto é a função definida por N t 500 2t , em que t é o tempo, em horas, a partir da observação inicial. Segundo esse modelo, o tempo, em horas, para que a quantidade de bactérias no objeto atinja 7.000, é dado por um número pertencente ao intervalo at si Resolução: a) [99, 100]. t p t b) [13, 14]. a N t 500 2 B c) [6, 7]. . t t 3 t 4 500 2 7000 2 14 2 2 2 3 t 4 3, 4 M d) [3, 4]. ot Resposta: Alternativa D. e) [1, 2]. a
n e R ol e cr a M r o s s ef or P
7) (ENEM 2015.2) O sindicato de trabalhadores de uma empresa sugere que o piso salarial da classe seja de R$1.800,00 , propondo um aumento percentual fixo por cada ano dedicado ao trabalho. A expressão que corresponde à proposta salarial (s), em função do tempo de serviço (t), em anos, é s t 1800 1, 03 t . De acordo com a proposta do sindicato, o salário de um profissional dessa empresa com 2 anos de tempo de serviço será, em reais, a) 7.416,00. ta Resolução: si b) 3.819,24. t 2 p c) 3.709,62. s 2 1800 1,03 s 2 1800 1,061 s 2 1909 a B d) 3.708,00. . Alternativa E. M e) 1.909,62.
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FUNÇÃO EXPONENCIAL 8) (ENEM 2016.2) Admita que um tipo de eucalipto tenha expectativa de crescimento exponencial, nos primeiros anos após seu plantio, modelado pela função y t at 1 , na qual y representa a altura da planta em metro, t é considerado em ano, e a é uma constante maior que 1. O gráfico representa a função y. Admita ainda que y(0) fornece a altura da muda quando plantada, e deseja-se cortar os eucaliptos quando as mudas crescerem 7,5 m após o plantio. O tempo entre a plantação e o corte, em ano, é igual a a) 3. b) 4. Resolução: c) 6. y 0 0,5 d) log2 7. 1 e) log2 15. a 0 1 0,5 a1 2 a 2
at si t p a
após o plantio
t?
yt
2t 1 8
0,5
2t 1 23
7,5
B
t 1 3
.
y t 8 M ot a
t 4 (Alternativa B).
n e R ol e cr a M r o s s ef or P
9) (Modelo ENEM) A espessura da camada de creme formada sobre um café expresso na xícara, servido na cafeteria A, no decorrer do tempo, é descrita pela função E t a 2b t , onde t 0 é o tempo (em segundos) e a e b são números reais. Sabendo que inicialmente a espessura do creme é de 6 milímetros e que, depois de 5 segundos, se reduziu em 50%, qual a espessura depois de 10 segundos? a) 0,5 mm. Resolução: b) 1,0 mm. 1 c) 1,2 mm. b 0 0 E0 6 a2 6 a 2 6 a 6 d) 1,5 mm. 2 1 e) 2,0 mm. 1 b 5 5b E5 3 6 2 3 2 at
2
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2
2
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1
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t 10 E 10 6 2 5 E 10 6 2 2 3 Para 1 6 E 10 6 E 10 E 10 1, 5 mm 2 4 2 2
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(Alternativa D).
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FUNÇÃO EXPONENCIAL 10) (Modelo ENEM) Uma empresa acompanha a produção diária de um funcionário recém-admitido, utilizando uma função f(d), cujo valor corresponde ao número mínimo de peças que a empresa espera que ele produza em cada dia (d), a partir da data de sua admissão. Considere o gráfico auxiliar abaixo, que representa a função y ex .
Utilizando f d 100 100 e 0,2 d e o gráfico acima, a empresa pode prever que o funcionário alcançará a produção de 87 peças num mesmo dia, quando “d” for igual a:
a) 5. b) 10. c) 15. d) 20. e) 25.
Resolução: at
0,2d
f d 100 100 e
ist p a
f d 87 B
100 100 e 100 e
e
0,2d
0,2d
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13
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0,2d
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. M
87 100 ot a
13 n e
R
0,13 ol e cr
Verificamos, no gráfico apresentado, que y 0,13
quando
y
e
x
a M
quando “x”, ou seja, quando o expoente r o s
de “e” é igual a “– 2”... s ef
Assim, podemos afirmar que e
0,2d
0,13
0, 2 d 2
2 d 2 10
or
P
d 10
(Alternativa B).
11) (Modelo ENEM) Um computador desvaloriza-se exponencialmente em função do tempo, de modo que seu valor “y”, daqui a “ x” anos, será y A k x , em que A e k são constantes positivas. Se hoje o computador vale R$ 5000,00 e valerá a metade desse valor daqui a 2 anos, seu valor daqui a 6 anos será: a) R$ 625,00. Resolução: b) R$ 550,00. 1 at c) R$ 575,00. si x 0 d) R$ 600,00. t Hoje x 0 y A k 5000 A k A 5000 p e) R$ 650,00. a x B Assim y 5000 k .
2
Para x 2
y 2500
5000 k
2
1
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y 5000 k 6 y 5000 k 625 Para x 6 1 3 1 y R$ 625,00 y 5000 y 5000 8 2 1
e
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2 3
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(Alternativa A).
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FUNÇÃO EXPONENCIAL 12) (Modelo ENEM) Uma fórmula matemática para se calcular aproximadamente a área, em metros quadrados, da superfície de uma pessoa, é dada por S p
11
100
p2/ 3 , onde “p” é a massa da pessoa em quilogramas.
Podemos afirmar que a massa (em kg) de uma pessoa com aproximadamente 1,76m² de superfície corporal é um valor que pertence ao intervalo a) [ 40 ; 45 ]. Resolução: b) [ 50 ; 55 ]. at S p 11 p2/ 3 c) [ 60 ; 65 ]. si t 100 d) [ 70 ; 75 ]. p a e) [ 80 ; 85 ]. S p 1 , 76 m² B 11 100
p
3 2 2 p3
2/ 3
176 100
11 p
2/ 3
176 p
2/ 3
. M
16 ot a
3 2
16 p 4
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p4
2
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3 2
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3
p 4 p 64 kg e cr a
(Alternativa C). M r o s s ef or P
13) (Modelo ENEM) Pelos programas de controle de tuberculose, sabe-se que o risco de infecção R depende do tempo t, em anos, do seguinte modo: R R 0 e k t , em que R 0 é o risco de infecção no início da contagem do tempo t e k é o coeficiente de declínio. O risco de infecção atual em Salvador foi estimado em 2%. Suponha que, com a implantação de um programa nesta cidade, fosse obtida uma redução no risco de 10% ao ano, isto é, k 10% . Use a tabela para os cálculos necessários.
e
x
x
8,2
9,0
10,0
11,0
12,2
2,1
2,2
2,3
2,4
2,5
O tempo, em anos, para que o risco de infecção se torne igual a 0,2%, é de: a) 21. b) 22. c) 23. d) 24. e) 25.
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FUNÇÃO EXPONENCIAL 14) (Modelo ENEM) Um aparelho celular tem seu preço “y” desvalorizado exponencialmente em função do tempo (em meses) ”t”, representado pela equação y
p qt , com p e q constantes positivas. Se, na compra, o celular custou
R$500,00 e, após 4 meses, o seu valor é 1/5 do preço pago, 8 meses após a compra, o seu valor será a) R$25,00 b) R$24,00 c) R$22,00 d) R$28,00 e) R$20,00 Resolução: Para t 0
y 500
0 p q
500
at ist
p 500 p a
Assim, y 500 qt
Para t 4
B
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.
500
5
y 100
4 500 q
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1
M
5
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2 1 8 y 500 q4 y 500 t 8 y 500 q 5 Para 20 y 500 1 y R$20,00 (Alternativa E). 25 1
ot n e
2 R lo e cr a M r o s s ef or P
15) (ENEM 2015.1) O acréscimo de tecnologias no sistema produtivo industrial tem por objetivo reduzir custos e aumentar a produtividade. No primeiro ano de funcionamento, uma indústria fabricou 8.000 unidades de um determinado produto. No ano seguinte, investiu em tecnologia adquirindo novas máquinas e aumentou a produção em 50%. Estima-se que esse aumento percentual se repita nos próximos anos, garantindo um crescimento anual de 50%. Considere P a quantidade anual de produtos fabricados no ano t de funcionamento da indústria. Se a estimativa for alcançada, qual é a expressão que determina o número de unidades produzidas P em função de t, para t 1 ? a) P t 0,5 t b) P t 50 t c)
P t
d)
Pt
e)
Pt
1
1
4000 t
8000
8000
8000 .
8000 .
1
8000 .
0,5
1, 5
t
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1
1
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. p a
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Resolução: ot a n
P 1 8000 1 P 2 8000
e
50
100
P 3 P 2 1,5 P 4 P 3 1,5
8000 8000 1 0,5
1
P 3 8000 1,5 1,5 2
P 4 8000 1,5
Podemos afirmar que
Pt
8000
1, 5
1,5 t
1
lo
R
1
P 2 8000 1, 5
2
a
cr
e M
P 3 8000 1,5
3
s
o
r s
P 4 8000 1,5
(Alternativa E). P
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ef
