TURMA DO M˘RIO
Álgebra Porcentagem Taxa percentual ou porcentagem de um número a sobre um número b, b ≠ 0 é a razão x x a x tal que: , e se indica: = = x% . 100 100 b 100 A palavra porcentagem deriva de por (dividido) e centagem (100). Quando se fala x % de x um número, significa multiplicar este número por . 100 15 . 200 = 30 . Exemplo: 15 % de 200 = 100
Potenciação Definições ∀
a ∈ R ⇒ a0
∀
a ∈ R e ∀ n ∈ N ⇒ an
=1 =a
n−1
.a
Propriedades 1. a m . a n 2.
a
=a
m +n
m
=a
n
a m n 3. (a )
m−n
=a
,a ≠ 0
m .n
4. (a . b) n = a n . b n n n n 5. (a : b) = a : b , b ≠ 0 1 –n 6. a = n , a ≠ 0 a n
Nota: Em geral (a m )
≠a
mn
n
Em geral (a + b ) ≠ a n + b n
Radiciação Propriedades 1.
n
a .b=na .
2.
n
a :b
3.
a
4.
m
n
5.
n
m
n
a :
=
n
a
m
( ) n
=
a
=
n
b
n
b ,b ≠ 0
m
n .m
a
m
6.
a
n .p
=a
am . p
n
=
n
am
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Produtos notáveis (a + b) × (a – b) = a 2 - b2 (a + b)2 = a2 + 2ab + b2 (a – b)2 = a2 – 2ab + b2 (a + b)3 = a3 + 3a2b + 3ab2 + b 3 (a – b)3 = a3 – 3a2b + 3ab2 – b 3 (a + b + c)2 = a2+ b 2 + c 2 + 2 × (ab + ac + bc)
Fatoração ab + ac = a × (b + c) ab + ac + db + dc = a × (b + c) + d × (b + c) = (b +c) × (a + d) a2 + 2ab + b2 = (a + b)2 a2 – 2ab + b2 = (a – b)2 ax 2 + bx + c = a.(x – a1) × (x – a2), onde a1 e a2 são as raízes de ax 2 + bx + c = 0. a3 + 3a2b + 3ab2 + b3 = (a + b)3 a3 – 3a2b + 3ab2 – b 3 = (a – b)3 a3 + b3 = (a + b) × (a2 – ab + b2) a3 – b 3 = (a – b) × (a2 + ab + b2) a2 + b2 +c2 + 2 × (ab + ac + bc) = (a + b + c) 2
Números naturais Números primos: primos: Um número natural e maior que 1 é primo se ele tiver apenas dois divisores naturais distintos: 1 e ele mesmo. Números primos entre si: si: Dois números naturais são primos entre si se o único divisor natural comum entre eles for 1. Quantidade de divisores naturais de um número natural
Se n = ap.bq.cr.ds..., então n tem (p+1) × (q+1) × (r+1)... divisores positivos, sendo n um número natural e a, b, c, d, ... fatores primos do número n.
Seqüências Definições
Seqüência real é toda função f : I ® R, onde onde I = N* ou I = {1, {1, 2, 3, 3, ... ..., n} Se I = N*, a seqüência é chamada infinita. Se I = {1, 2, 3, 3, ... ..., n} , a seqüênc seqüência ia é chamada chamada finita. finita.
2
Progressão Aritmética (PA)
Definição Progressão aritmética (PA) é toda seqüência numérica onde, a partir do primeiro termo encontramos os demais somando ao anterior um valor fixo r chamado de razão da PA. Conseqüência da definição: r = a 2 – a 1 = a3 – a 2 = a4 – a3 = ... ... = a n+1 – a n = r
Classificação das PA´s Uma PA de números reais pode ser: I.crescente: (razão positiva): r >0 Þ a n+1 > a n II.decrescente (razão negativa): r < 0 Þ a n+1 < a n III.constante (razão nula): r = 0 Þ a n+1 = a n
Fórmula do termo geral de uma PA Seja a PA(a 1, a 2, a 3, ... ... an). Então:
an = a1 + (n – 1) × r, n Î N*
Conseqüência: Para obtermos um termo qualquer a n, a partir de um termo de ordem p (ap), poderemos utilizar a regra: an = ap + (n – p) × r, n,p Î N*
Termos eqüidistantes em PA Na PA genérica: PA(a 1, a2, a 3,... ap =
..., ap-1, a p, a p+1,...
...,an), tem-se:
a p -k + a p + k com p, k Î IN* 2
Soma dos n primeiros termos de uma PA Seja a PA(a 1, a 2, a 3,... Sn =
..., an,......) , a soma de seus n primeiros termos é dada por:
(a 1 + a n ) × n 2
3
Progressão Geométrica (PG)
Definição Progressão geométrica (PG) é toda seqüência em que cada termo, a partir do segundo, é igual ao produto do termo anterior por uma constante q, que é chamada razão da P.G. Conseqüência da definição: a Se an ¹ 0, então q = n+ 1 ; ou seja, encontramos a razão da PG dividindo um termo an qualquer pelo seu antecessor. Classificação das PG´s: Uma PG pode ser: I.Crescente: quando an+1 > an Exemplo: PG(1, 2, 4, 8, 16, ...), q = 2 II.Decrescente: quando an+1 < an Exemplo: PG(81, 27, 9, 3, 1, ...), q = 1/3 III.Constante: quando an+1 = an Exemplo: PG(2, 2, 2, 2, 2, ...), q = 1 IV.Alternante: quando a1 ¹ 0 e q < 0 Exemplo: PG(2, – 4, 8, – 16, 32, ...), a1 = 2 e q = –2 V. Não decrescente: quando a1 < 0 e q = 0 Exemplo: PG(– 2, 0, 0, 0, 0, ...), a1 = – 2 e q = 0 VI.Não crescente: quando a1 > 0 e q = 0 Exemplo: PG(5, 0, 0, 0, 0, ...), a1 = 5 e q = 0
Fórmula do termo geral da PG n – 1 Î N* ,n Seja a PG genérica: PG(a 1, a 2, a 3, a 4, ......). Assim: an = a1 × q
Conseqüência: Para obtermos um termo qualquer a n, a partir de um termo de ordem p (ap), poderemos utilizar a regra: an = ap × qn – p, n,p Î N*
Termos eqüidistantes em PG Na PG genérica: PG(a 1, a 2, a 3,...
..., ap-1, a p, a p+1,...
...,an), então:
(ap)2 = (ap – k) × (ap + k ), p,k Î N*
Produto dos n primeiros termos de uma PG (Pn) Seja a PG(a 1, a 2, a 3, ..., an, ..., .... ) indicaremos por Pn o produto de seus n primeiros n(n × -1)
termos. Assim:
Pn = a1n × q 2
ou
n 2 Pn = (a1 × an)
4
Soma dos n primeiros termos de uma PG (Sn) Seja (a1, a 2, a 3, ..., an, ...) uma PG de razão q e indiquemos por S n a soma de seus n primeiros termos. Assim: a 1 ×(qn - 1) Se a PG não for constante, ou seja q ¹ 1 teremos: Sn = q -1 Se a PG for constante, ou seja q = 1 teremos: Sn = n × a1
Soma dos termos de uma PG infinita (S) Seja a P.G. = (a 1, a2, a 3, . . . , an, . . . ) de razão q e a soma de seus infinitos termos Sn = a1 + a2 + a3 + . . . + an + . . . (série) Quando lim S n = S existe e é finito, dizemos que a série converge para S. n®¥ Quando esse limite não existe ou não é finito dizemos que a série diverge (não se pode determinar tal soma). Se – 1 < q < 1, pode-se demonstrar que: lim S n = S = n®¥
a1 1- q
Função Exponencial f(x) = ax ;
a>0
e
a¹1
y
Imf = IR *+ Df = IR y
a> 1 função crescente
0
1 0
x
0
x
Propriedades de potência 1. am . a n = am + n 2. am : a n = am – n , a ¹ 0 3. (am)n = am .n 4. n a m = a m n , n Î IN / n >1 1 5. a– n = n , a ¹ 0 a
5
Equação exponencial af(x) = ag(x) Û f(x) = g(x)
Inequação exponencial af(x) > ag(x) Û f(x) > g(x), se a >1 af(x) > ag(x) Û f(x) < g(x), se 0 < a < 1
Logaritmo
Definição logba = x Û a = bx com a > 0, 0 < b ¹ 1
Propriedade de logaritmo 1. logc (a.b) = logca + logcb; a > 0, b > 0, 0 < c ¹ 1 aö 2. logc æ ç ÷ = logca – logcb; a > 0, b > 0, 0 < c ¹ 1 è b ø 3. logc am = m . log ca; a > 0, 0 < c ¹ 1 e m Î IR 1 4. logcm a = . logca; a > 0, 0 < c ¹ 1 e m Î IR* m
Função Logarítmica f(x) = logax , a > 0 e a ¹ 1 y
0
Imf = IR Df = IR *+ y
1
x a> 1 função crescente
0
1
x 0
6
Geometria Plana
Relações métricas no triângulo retângulo b
c
h m
h2=m × n
b × c=a × h
b2=a × m
a2=b2 + c2 (Pitágoras).
c2=a × n
n a
Relações métricas no círculo P
A A
B
C
B
PA × PB = PC × PD
A
C
D
P
B
D
T
PA × PB = PC × PD
P
(PT)2 = PA × PB
Lei dos a b c = = = 2R sena senb seng
Lei dos cossenos a2 = b2 + c2 – 2 × b × c ×cos a b2 = a2 + c2 – 2 × a × c ×cos b c2 = a2 + b2 – 2 × a × b ×cos g
7
Teorema de Tales a1 // a 2 // a 3 // .....
AB = BC = CD = AC = AD A'B' B'C' C'D' A'C' A'D'
Teorema da bissetriz interna A c
b x
b c = x y
y S
Teorema da bissetriz externa A b
c
c y
C
S
B
b c = x y
x
Semelhança de triângulos A P b
c
H B
a b c H k = = = = x y z h
a
C
y
z
h Q
x
R
Área DABC k 2 = Área DPQR
8
Arcos e ângulos
a=a
a=
a 2
a=
a 2
a=
a+ b 2
b
a=
a–b 2
Razões trigonométricas sen a = b a c cos a = a b tg a = c
sen b = c a b cos b = a c tg b = b
Comprimento da circunferência R
C = 2pR
Base média de triângulo
« « MN // BC MN = BC 2
9
Base média de trapézio « « MN // AB MN = AB+CD 2
Baricentro de triângulo
Polígonos convexos Sendo
n = número de lados; d = número de diagonais; Si = soma dos ângulos internos e Se = soma dos ângulos externos,
temos:
d=
n(n – 3) 2
Si = (n – 2) × 180ºe
Se = 360º
Áreas Retângulo
Quadrado
Triângulo
Trapézio
Paralelogramo
10
Losango 1
Losango 2
A Los = (AC) ×(BD) 2
B C Fórmulas especiais para área do triângulo
A=
l2
3
4
1 A = × a ×b ×sena 2
bc A= × 2
A = p(p – a) × (p – b)(p – c)
A=rp
a bc A= × × 4R
a b c p= + + 2
a b c em que p = + + 2
Círculo R
A = p ×R2 Setor circular
A=
a ×p ×R2 360º
a × R2 2 a em radianos
A=
A=
l ×R
2
11
Análise Combinatória / Probabilidades æ n ö æ combinação de n objeto s distintos ö n! Número binomial: çç ÷÷ = = C n, p = çç ÷÷ p agrupados de p em p p!(n – p)! è ø è ø n æ n ö æ n ö æ n ö æ n ö Teorema binomial: (a + b)n = çç ÷÷ anb0 + çç ÷÷ an – 1b1 +. . .+ çç ÷÷ a0bn = å çç ÷÷ a n–i bi è 0 ø è 1 ø è n ø i =o è i ø
Arranjo: An, p =
n! Þ n objetos distintos seqüenciados (enfileirados) de p em p (n – p)!
Permutação de n objetos distintos: Pn = n! Permutação de elementos repetidos: Pna, b, g =
Probabilidade de ocorrer um evento =
n! , a!b!g!
a objetos iguais entre si b objetos iguais entre si g objetos iguais entre si
n.o de elementos do conjunto evento n(A) = =P(A) n.o de elementos do espaço amostral n(E)
æ probabilidade de ocorrer ö æ ocorrer o ö çç ÷÷ e em seguida çç ÷÷ = o evento A evento B è ø è ø æ probabilidade de ö ÷ æ probabilidade de ö ç = çç ÷÷ x ç ocorrer o evento B ÷ Þ Teorema da multiplicação ocorrer o evento A è ø ç sabendo que A ocor reu ÷ è ø
Exemplo: 2 bolas azuis 5 bolas verdes
æ tirar uma bola azul e em ö 2 1 P çç ÷÷ = ´ è seguida uma bola azul ø 7 6
chance de retirar uma bola azul sabendo que já saiu uma azul
Conjuntos, Funções e Inequações
Relação Considerando dois conjuntos A e B, não-vazios, chamamos relação (binária) de A e B a qualquer subconjunto do produto cartesiano ( A x B = {(x; y) / x Î A Ù x Î B}).
Definição Uma relação f de A em B é uma função de A em B, se, para todo x Î A, existe um único y Î B tal que (x; y) Î f. (Indica-se: f : A ® B).
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Exemplo A
Contra-exemplo B
f
1 2 5
A
3 4 6
1 2 3
f é função
· Domínio de f = D(f) = A = {1, 2, 5} · Conjunto Imagem de f = Im(f) = {3, 4} · Contradomínio = CD(f) = B = {3, 4, 6} · 4 é imagem de 5, isto é, 4 = f(5) · 4 é imagem de 2, isto é, 4 = f(2)
B
g
4 5 6
g não é função
Tipos de função Função crescente e decrescente
· Uma função f é crescente em A Ì Df Û (x 1 < x 2 Þ f(x 1) < f(x 2), " x 1, x 2 Î A). · Uma função f é decrescente em A Ì Df Û (x 1 < x 2 Þ f(x 1) > f(x 2), " x 1, x 2 Î A). Função injetora, sobrejetora e bijetora
· Uma f : A ® B é injetora se todos os elementos distintos em A têm imagens distintas em B (" x 1, x 2 Î A, x 1 ¹ x 2 Þ f(x 1) ¹ f(x 2)). · Uma f : A ® B é sobrejetora se todos os elementos de B são imagens de elementos de A (Im(f) = CD(f) ou " y Î B, $ x Î A / f(x) = y) · Uma função de f : A ® B é bijetora se é injetora e sobrejetora.
Exemplos: A 1 2 3
f
B 4 5
f é sobrejetora e não é injetora
A 1 3 5
f
B
A
4 3 2 1
3 4 6
f é injetora e não é sobrejetora
f
B 1 2 3
f é bijetora
A
f
1 2 3
B 4 5 6
f não é injetora e nem sobrejetora
Função par e ímpar
· Uma função f : A ® B é par Û " x Î A, f(x) = f( – x). · Uma função f : A ® B é ímpar Û " x Î A, f(x) = – f( – x). Função periódica
· Uma função f : A ® B é periódica de período p Û " x Î A, f(x + p) = f(x), p > 0. Função composta
· Dadas duas funções f e g, podemos obter uma outra função fog, tal que fog(x) = f(g(x)), chamada função composta de f com g.
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Função inversa
· Denomina-se inversa da função bijetora y = f(x), f : A ® B a função f– 1: B ® A, tal que f–1 (y) = x.
Observação: Para se obter a inversa de uma função f (bijetora) definida por uma sentença matemática y = f(x) a. troca-se x por y e y por x; b. coloca-se o novo y em função do novo x.
Matrizes, Determinantes e Sistemas Lineares
Propriedades dos determinantes a. det(At) = det(A). b. Se uma linha (ou coluna) é formada só de zeros, o determinante é igual a zero. c. Quando trocamos de lugar duas linhas (ou colunas) paralelas, o determinante fica multiplicado por –1. d. Se duas linhas (ou colunas) paralelas são iguais (ou proporcionais), o determinante é igual a zero. e. Se os elementos de uma linha (ou coluna) apresentam um fator comum k, este pode ser colocado em “evidência”. f. Se A é uma matriz quadrada de ordem n, então det(k.A) = k n.det(A) g. Teorema de Binet: det(A.B) = det(A).det(B) Atenção: em geral, det(A+B) ¹ det(A) + det(B) h. Teorema de Jacobi (importante para obtenção de zeros). O determinante de uma matriz não se altera quando somamos a uma linha (ou coluna) outra linha (ou coluna) paralela multiplicada por uma constante. é 1 0 0 0ù ê–3 4 0 0 ú ú Þ det(A) = 1× 4(–5) ×8 i. Matriz Triangular: A = ê 2 3 – 5 0 ê ú ê 5 6 7 8ú ë û
Multiplicação de matrizes æ a b ö æ x y ö æ ax+ bz ay+bw ö çç ÷÷ × çç ÷÷ = çç ÷÷ c d z w cx+dz cy+dw è ø è ø è ø
a. Todo sistema de equações lineares apresenta apenas uma solução, ou seja, é um sistema possível e determinado (s. p. d.), quando D ¹ 0, onde D é o determinante da matriz dos coeficientes de tal sistema. b. Para os casos onde D = 0, para analisar o sistema, ou seja, dizer se o mesmo é impossível (s. i.) ou indeterminado (s. p. i.), deve-se escalonar tal sistema, eliminando ordenadamente as incógnitas das equações. A equação, na incógnita x, ax = b tem apenas uma solução para a ¹ 0; tem infinitas soluções para a = 0 e b = 0 e não tem solução para a = 0 e b ¹ 0. 14
Trigonometria Relações Fundamentais
k p ö Conseqüências æ ç x ¹ ÷
sen2x + cos2x = 1, "x Î R
cotgx =
senx æ p ö ç x ¹ + k p ÷ cosx è 2 ø cosx cotgx = ( x ¹ k p) senx 1 æ p ö secx = ç x ¹ + k p ÷ cosx è 2 ø
1 + tg2x = sec2x
cossecx = 1 ( x ¹ k p) senx
2 tg x sen x = 1+tg2 x
tgx =
è
1 tgx
2 ø
1 + cotg2x = cossec2x cos2 x =
1 1+tg2 x
2
Fórmulas de adição cos(a + b) = cos a . cos b – sen a . sen b cos(a – b) = cos a . cos b + sen a . sen b sen(a + b) = sen a . cos b + sen b . cos a sen(a – b) = sen a . cos b – sen b . cos a + tg(a + b) = tg a tg b 1– tg a × tg b tg a – tg b tg(a – b) = 1+ tg a × tg b
Fórmulas de multiplicação Arcos duplos
Arcos Triplos
sen 2a = 2 sen a cos a ìcos2a – sen2a ï ïï ou cos 2a = í 2cos2 a – 1 ï ou ï ïî 1– 2sen2 a
sen 3a = 3 sen a – 4 sen 3 a cos 3a = 4 cos3 a – 3 cos a 3 3 tga – tg a tg 3a = 2 1– 3tg a
tg 2a = 2 tg 2a 1– tg a
15
Fórmulas de divisão sen x = ± 1– cos x 2 2
cos x = ± 1+ cos x 2 2
tg x = ± 1– cos x 2 1+ cos x
Fórmulas de transformação em produto cos p+cos q= 2 × cos
p+ q p–q × cos 2 2
cos p – cos q = –2 × sen p+ q × sen p – q 2 2 sen p+sen q = 2 × sen
p+ q p–q × cos 2 2
sen p– sen q= 2 ×sen p – q × cos p+ q 2 2 tg p+ tg q=
sen(p+q) cos p× cos q
tg p – tg q =
sen(p – q) cos p × cos q
Equações trigonométricas fundamentais
sen a = sen b Þ a = b+ 2k p ou a = (p – b) + 2k p cos a = cos b Þ a = ±b + 2k p tg a = tg b Þ a = b+ k p Funções circulares inversas
y = arc senx Û seny = x e – p £ y £ p 2 2 y = arc cosx Û cosy = x e 0 £ y £ p y = arc tgx Û tgy = x e –
p p
16
Geometria Espacial · O volume de um prisma e o de um cilindro (retos ou oblíquos) é igual ao produto da área da base (B) pela altura (H). E o volume de uma pirâmide e o de um cone reto (ou oblíquo) é igual a 1/3 do produto da área da base pela altura. R
H
H
H
B
B
g
H
R
1 BH V =— 3
V = BH
· Planificando a superfície lateral de um cilindro reto de raio R e altura H obtemos um retângulo de lados 2 pR e H. Então a área lateral (A L) do cilindro reto é:
· Planificando a superfície lateral de um cone reto de raio R e geratriz g obtemos um setor circular de raio g e arco 2pR. Então a área lateral do cone reto é.
AL = Asetor Þ AL = 2pR × g Þ AL = pRg 2 Sendo a a medida, em graus, do setor, temos: 2R g Asetor = p × = a pg2 Þ R = a g 2 360º 360º
· O volume V e a área A de uma esfera de raio R são dados por:
R
A = 4 pR2
e
V = 4 pR3 3
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Números Complexos
Forma algébrica Nomenclatura
z = a + bi (a, b Î IR) i = unidade imaginária a = Re (z) = parte real de z b= Im (z) = coeficiente da parte imaginária de z Exemplos de números complexos
z = 3i = 0 + 3i = número imaginário puro. z = – 6 = – 6 + 0i = número real. z = a + bi (b ¹ 0) = número imaginário ou número complexo não real. Potências inteiras de i (i k, k Î ZZ )
i0 = 1 i1 = i i2 = – 1 i3 = – i
e e e e
i4k = 1 i4k+1 = i4k . i 1 = i i4k+2 = i4k . i 2 = – i i4k+3 = i4k . i 3 = – i
Conjugado de z = a + bi (a, b Î IR)
z = a – bi Propriedades
1. z + w = z + w 2. z . w = z . w zö z 3. æ ç ÷= è w ø w 4. z n = ( z ) n
(n Î ZZ)
5. ( z ) = z Produtos e divisões notáveis
1. (1 + i)2 = 2i 2. (1 – i)2 = – 2i 3. (1+ i)(1 – i) = 2 4. 1+i = i 1– i 5. 1– i = – i 1+i
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Igualdade na forma algébrica
a + bi = c + di Û
a=c
e
b=d
(a, b, c, d Î IR)
Representação no plano de Argand-Gauss
z = a + bi = (a, b) = P (a, b Î IR) P = afixo de z dop = |z| = a 2 +b2 = módulo de z q + k . 2p = arg(z) = argumento de z (0 £ q < 2p) q = argumento principal de z
0
Propriedades
1. | z | 2 = z . z 2. |z . w | = | z | . | w | z 3. z = (w ¹ 0) w w 4. | z n | = | z | n , n Î ZZ 5. | z + w | £ | z | + | w | 6. | z | = | z |
Forma trigonométrica de z Î C* z = a + bi = | z | (cos q + isen q ) ìcos q = a ïï z 2 2 | z | = a +b e í b ïsen q = z ïî Igualdade na forma trigonométrica
|z|( cos q + i sen q ) = |w|( cos a + i sen a ) 14442444 3 14442444 3 z w z= w
Û
|z| = |w| e q = a + k . 2p
k Î ZZ
19
Operações na forma trigonométrica
Sejam
z = |z| (cos q + isen q ) z1 = |z1| (cos q 1 + isen q 1) z2 = |z2| (cos q 2 + isen q 2 )
· Multiplicação
z1 . z2 = |z1| . |z2| . [cos (q1 + q2) + isen (q1 + q2)] · Divisão z 1 |z 1| = [cos (q1 – q2) + isen (q1 – q2)] z 2 |z 2| · Potenciação
zn = |z|n . [cos (n q) + isen (nq)] · Radiciação n
C 2p ö 2p öù q æ q z = w k = n z éêcos æ ç + k × ÷ +i senç + k × ÷ú , n ø n øû è n ë è n
(k = 0, 1, 2, . . . , n – 1)
Propriedades 1. w0 + w1 + w 2 + . . . + wn – 1 = 0 2. A raiz enésima de z divide a circunferência em n partes iguais. 3. O raio dessa circunferência é n | z |. 2 4. O “ponto de partida” (w o) é o arco q e o “pulo’ de uma raiz para outra é de p . n n Equação binômia em C
ax n + b = 0
(a ¹ 0) C
–b –b ax = – b Þ x = Þ x = n = w k , a a n
n
(k = 0, 1, 2, . . . , n – 1)
Geometria Analítica
Distâncias De dois pontos A e B d AB = (x B – x A ) 2 + (y B – y A ) 2 Do ponto P à reta (r) ax + by + c = 0 |ax +byP +c| d= P a 2 + b2
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Pontos especiais
a. AM =r MB x – x y –y r= M A = M A x B – x M y B – y M M divide AB na razão
x + xB y A + yB ö Se M é ponto médio de AB, M = æ , ç A ÷ 2 ø è 2 b. Ponto do eixo x: A = (a, 0) Ponto do eixo y: B = (0, b) Ponto da bissetriz dos quadrantes pares: C = (k, k) Ponto da bissetriz dos quadrantes ímpares: D = (k, – k) x + x + x y + y + y ö Baricentro do DABC: G = æ ç A B C, A B C÷ 3 3 è ø
Área do D ABC xA yA 1 |D| S= onde D = x B y B 1 2 xC yC 1 Observação: Se A, B e C são colineares, D = 0.
Equação de circunferência (x – x C)2 + (y – y C)2 = r 2 Centro C e raio r, equação reduzida.
Equação de reta · Geral: ax + by + c = 0
(r)
xA yA 1 Conhecendo 2 pontos A e B de r: x B y B 1 = 0 x y 1 · Reduzida: y = mx + k m... coeficiente angular de r k.... coeficiente linear de r m = tga (não existe, se m é vertical) Conhecendo 2 pontos A e B da reta, m =
yB – y A x B – x A
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Paralelas / perpendiculares
· r // s Û mr = ms
Exemplos: Paralela a y = 2x – 3 é y = 2x + k Paralela a 2x + 5y – 3 é 2x + 5y + k = 0 · r ^ s Û mr . m s = – 1
Exemplos: Perpendicular a y = 2x – 3 é y = – 3x + k 3 2 Perpendicular a 2x + 5y – 6 = 0 é 5x – 2y + k = 0 Observação: Se P pertence a ax + by + c = 0, então ax P + byP + c = 0.
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