UNIVERSIDADE FEEVALE
Formulário Vetores Propriedades da multiplicação de um número por um vetor : u e v (vetores) e
m e n (números):
1. associativa:
( α ⋅β)⋅ v = α ⋅(β⋅ v )
3. distributiva em relação à adição de escalares:
(α +β)⋅v = α⋅v +β⋅v
2. identidade:
1⋅ v = v
4. distributiva em relação à adição de vetores:
α⋅(u + v) = α⋅u + α⋅v
= AB ⇒ v = B − A B = A + v ⇒ B = A + AB
v
v
IR 2: u
= ( x1 , y1 ) e
v
v
= ( x 2 ,y 2 ) ;
igualdade de vetores: operações com vetores: v etores:
versor de
v
= ( x2 − x1 , y 2 − y1 ) u = v ; x1 = x 2 , y1 = y 2 . mu = ( mx1 ,my1 ) ; m ∈ IR
módulo:
v
=
x 2
x 2
=
y1
+ y
módulo: d ( A , B) = AB
u
= ( x 2 , y 2 , z 2 ) , w = ( x3 ,y3 ,z 3 ) u = v : x1 = x 2 , y1 = y 2 , z 1 = z 2 . = (mx1 ,my1,mz 1 ) ;
x1 + x 2 y1 + y 2 z1 + z 2 , , 2 2 2
módulo: v
=
x1 x 2 x 2
=
y1 y 2
z 1 z 2
=m
+ y 2 + z 2
módulo: d ( A , B) = AB
+ ( y 2 − y1 ) 2
=
=
( x2 − x1) 2
x1 x 2 x 3 colineares:
∆=
y1 y 2 y 3 z 1 z 2 z 3
Produto escalar: u produto escalar: escalar: u
m ∈ IR
+ v = ( x1 + x 2 ,y1 + y 2 , z 1 + z 2 )
paraleleismo:
( x 2 − x1 ) 2
v
v
ponto médio: M =
2
=
oposto do versor de
operações com com vetores: mu
=m
y 2
= ( x1 , y1 , z 1 ) ,
igualdade de vetores:
+ v = ( x1 + x 2 ,y1 + y 2 ) ; x1 + x 2 y1 + y 2 , ponto médio: M 2 2 x1
v v
IR 3: u
AB
u
paraleleismo:
−
= x1 i + y1 j + z 1 k e ⋅ v = x1 x2 + y1 y 2 + z 1 z 2
v
= x 2 i + y 2 j + z 2 k
→
+ ( y2 − y1)2 + ( z 2 − z 1)2
x1 x 2 x3
=0
y1 y 2 y 3 z 1 z 2 z 3
:
propriedades do produto escalar: 1. u ⋅ v 2. 3. 4.
= v⋅u ; u (v + w ) = u ⋅ v + u ⋅ w e (u + v ) w = u ⋅ w + v ⋅ w ; m(u ⋅ v ) = ( m ⋅ u )v = u ( m ⋅ v ) ; u ⋅ u > 0 se u ≠ 0 e u ⋅ u = 0 se u = 0 = (0, 0, 0) ;
5. u ⋅ u u ⋅u u
=u
2
; u
= ( x, y, z)
e u
=
x 2
= ( x, y, z) ⋅ ( x, y, z) = x 2 + y 2 + z 2
=
u
⋅u →u ⋅u = u
+ y 2 + z 2
;
e
2
fórmula para cálculo do ângulo entre dois vetores: vetores: u ⋅ v u ⋅v
>0
→ 0 < θ < 90
; u ⋅v
Álgebra Linear – vetores .
<0
=u
→ 90 < θ < 180
;
v cos θ ; 0
u ⋅v
≤ θ ≤ 180 ;
cos θ =
u ⋅v u v
;
= 0 → θ = 90 → condição de ortogonalidade
