VETORES 7 As dimensões de uma sala são 3,00 m (altura) x 3,70 m x 4,30 4 ,30 m. Uma mosca parte de um canto da sala e vai pousar em um canto diagonalmente oposto. (a) Qual o modulo do deslocamento da mosca? (b) A distancia percorrida pode ser menor que este valor? (c) Pode ser maior? (d) Pode ser igual? (e) Escolha um sistema de coordenadas apropriado e expresse ex presse as componentes do vetor deslocamento em termos de vetores unitarios. (f) Se a mosca caminhar, em vez de voar, qual o comprimento do caminho camin ho mais curto para o outro canto? (Sugestao: o problema pode ser resolvido resolv ido sem fazer cálculos complicados. A sala e como uma caixa: desdobre as paredes para representa-las em um unico plano antes de procurar uma solução).
O medidor de unidade de comprimento está compreendido em todo o cálculo. (a) Nós calcular a distância de um canto para o canto diametralmente oposto:
√(3,00 m)² + (3.70 m) ² + (4.30 m) ².
(b) O vetor deslocamento é ao longo da linha reta desde o início até o ponto final da viagem. Uma vez que uma linha reta é a menor distância dis tância entre dois pontos, o comprimento do o percurso não pode ser menor menor do que a magnitude magnitude do deslocamento. (c) pode ser maior, no entanto. A mosca pode, por exemplo, rastrear ao longo das bordas do quarto. O deslocamento seria o mesmo, mas o comprimento do percurso seria l + +
w + h = 11,0 m.
(d) O comprimento do percurso é a mesma que a magnitude do deslocamento se a mosca voa juntamente o vetor deslocamento. (e) Tomamos o eixo x para estar fora da página, págin a, o eixo y seja para a direita, eo eixo z para ser ascendente. Em seguida, o componente X do deslocamento é w = 3,70 m, o componente y o deslocamento é 4,30 m, e o componente de z é de 3,00 m. Assim, d = (3,70 m) de î + (4,30 m) j + (3,00 m) k. Uma resposta igualmente correto é obtido trocando o comprimento, largura e altura.
(f) Suponhamos que o caminho da mosca é como mostrado pelas linhas tracejadas no diagrama superior. Fingir existe uma dobradiça, onde a parede frontal do quarto se junta ao chão e colocar a parede para baixo, como mostrado no diagrama de baixo. A curta distância mais curta entre a parte inferior lateralesquerdo da sala e no canto superior direito da frente é a linha reta pontilhada mostrada no diagrama. Seu comprimento é de L =√ (w + h)² + l² =
√(3.70 m + 3,00 m)² + (4,30 m)² = 7,96 m.
13 Dois vetores sao dados por a = (4,0m)i - (3,0m)j + (1,0m)k e b=(- 1,0m)i+(1,0m)j + (4,0m)k. Em termos de vetores unitários. Determine (a) a + b, (b) a - b (c) um terceiro vetor, C, tal que a - b + C = 0.
Todas as distâncias desta solução são entendidas como sendo em metros. (a) a + b = [4.0 + (-1,0)] i + [(-3,0) +1,0] j+ (1,0 + 4,0) k = (3.0i - 2.0J+ 5,0 k) m. (b) a - b = [4.0-(-1,0)] i + [(-3,0) -1,0] j + (1,0-4,0) k = (5,0 i - 4.0j - 3.0 k) m. (c) A exigência de um a - b + c = 0 leva a c = b - a, o que notamos é o oposto do que encontramos na parte (b). Assim, c = (-5.0i + 4.0j + 3.0k) m. 22 Um explorador polar foi surpreendido por uma nevasca, que reduziu a visibilidade a praticamente zero, quando retornava ao acampamento. Para chegar ao acampamento ele deveria caminhar 5,6 km para o norte, mas quando o tempo melhorou percebeu que na realidade havia caminhado 7,8 km em uma direçao 50° ao norte do leste. (a) Que distancia e (b) em que sentido deve caminhar para voltar à base? O resultado desejado é o vetor de deslocamento, em unidades de Km, A = (5.6 km), 90º (medidos a partir do sentido anti-horário eixo + x), ou A = (5,6 km) j em que j é a unidade vetor ao longo do eixo y positivo (norte). Esta consiste na soma de dois deslocamentos: durante o White out, B = (7,8 km), 50 ° ou B = (7.8 km) (cos50 ° i + sin50 ° j) = (5,01 quilômetros) i + (5,98 km) j e o desconhecido C. Assim, A = B + C. (a) O deslocamento desejado é dado por C = A-B = (-5,01 km) i - (0,38 km) j. A magnitude é √(-5,01 km) ² + (-0,38 km) ² = 5,0 km.
(b) O ângulo é tan ¹ [(-0,38 km) / (-5,01 km)] = 4,3 °, ao sul do oeste.
23 O oásis B esta 25 km a leste do oásis A. Partindo do Oasis A, um camelo percorre 24 km em uma direção 15° ao sul do leste e 8.0 km para o norte. A que distancia o camelo esta do oásis B? A estratégia é encontrar onde o camelo esta (C ) Pela adição de dois consecutivos deslocamentos descritos no problema, e em seguida, encontrar a difer ença entre os locais e o oásis (B ). Usando a notação grandeza de ângulo
C = (24 ∠ -15 °) + (8,0
∠ 90
°) = (23,25
∠ 4,41
°) assim
B - C = (25 ∠ 0 °) - (23,25 ∠ 4,41 °) = (2,5 ∠ - 45 °) que é implementado de forma eficiente usando uma calculadora capaz vetor no modo polar, o distância é, por conseguinte, 2,6 km.
Seja A representam a primeira parte da viagem de besouro 1 (0,50 m leste ou 0.5 i) e C representam a primeira parte da viagem pretendida viagem de besouro 2 (1,6 m a 50 ° ao norte do leste), para as respectivas segundas partes: B é de 0,80 m a 30 º ao norte do leste e D é o desconhecido. A posição final do besouro 1 é: A + B = (0,5 m)i + (0,8 m) (cos30 ° i + sin30 ° j) = (1,19 m) i + (0,40 m) j A equação que se relaciona a estes é A + B = C + D , onde C = (1,60 m) (i + cos50.0°i + sin50.0 ° j) = (1,03 m) i + (1,23 m) j (a) Nós achamos D = A + B-C = (0,16 m) i + (-0,83 m) j, e a magnitude é D = 0,84 m. (b) O ângulo é tan¹ (-0,83 / 0,16) = -79 °, que é interpretado como significando 79° sul de leste (ou 11° a leste do sul).
O resultante (ao longo do eixo y, com a mesma magnitude C ) forma (juntamente com C ) de um lado do triângulo isósceles (com B formando a base). Se o ângulo entre C e o eixo y é θ = tan¹ (3/4) = 36,87 °, em seguida, deve ficar claro que (referindo-se a magnitudes dos vetores) B = 2Csin (θ / 2). Assim, (já que C = 5,0), encontramos B = 3,2.
Neste solução , se empregam os métodos "tradicionais" . (a) A magnitude de a é
= √( 4,0 m ) ² + (-3,0 m ) ² = 5,0 m .
(b) O ângulo entre a e o eixo + x é tan ¹ [ (-3,0 m) / (4,0 m)] = -37 ° . O vetor é 37 ° no sentido horário a partir do eixo definido pelo i. (c) A magnitude b é = √( 6,0 m ) ² + ( 8,0 m ) ² = 10 m . (d) O ângulo entre b e o eixo + x é tan ¹ [ ( 8,0 m ) / ( 6,0 m)] = 53 ° . (e) a + b = ( 4,0 m + 6,0 m ) i + [ (-3,0 m ) + 8,0 m ] j = ( 10 m ) i + ( 5,0 m ) j . A magnitude deste vetor é | a + b | =√ (10 m) ² + (5,0 m) ² = 11 m; O que nos arredonda para duas significativas figuras em nossos resultados . (f ) O ângulo entre o vetor descrito na parte (e ) e do eixo + x é tan ¹ [ ( 5,0 m ) / ( 10 m)] = 27 °. ( g ) b - a = ( 6,0 m - 4.0 m ) i + [ 8,0 m - (-3,0 m ) ] j = ( 2,0 m ) i + ( 11 m ) j . A magnitude deste vetor é | b - a | = √(2,0 m) ² + ( 11 m ) ² = 11 m , que é , de forma interessante , o mesmo resultado como na parte ( e) ( exatamente , e não apenas para dois algarismos significativos ) (esta curiosa coincidência é tornada possível pelo facto de a ⊥ b). (h) O ângulo entre o vetor descrito na parte (g) e o eixo + x é tan¹ [(11 m) / (2.0 m)] = 80 °. (i) A-B = (4,0 m-6.0 m) i + [(-3,0 m) -8,0 m] j = (-2,0 m) i + (-11 m) j. A magnitude deste vetor é | a-b | =
√(-2,0 m) ² + (-11 m) ² = 11 m
(j) As duas possibilidades apresentadas por um cálculo simples para o ângulo entre o vetor descrito na parte (i) e a + x são tan¹ [(-11 m) / (-2,0 m)] = 80 °, e 180 ° + 80 ° = 260 °. A última possibilidade é a resposta correta (ver parte (k) por mais um observação relacionada com este resultado). (k) Desde que a - b = (-1) (b - a), eles apontam em opostas (anti-paralelas) direções, o ângulo entre eles é de 180 °.
Os vetores de deslocamento pode ser escrito como (em metros)
(a) O produto escalar de d1 e d2 é
(b) O produto cruzado de d 1 e d 2 é
(c) As magnitudes de d 1 e d 2 são
Assim, o ângulo entre os dois vectores é
Desde ab cos φ = AxBx + + ayby azbz,
As magnitudes dos vectores indicados no problema está
O ângulo entre eles é encontrado a partir de
O ângulo é 22º
A partir da definição de produto escalar entre A e B, A = B ⋅ ABcosθ,
temos
Com A = 6,00, B = 7,00 e A ⋅ B = 14,0, cosθ = 0,333, ou θ = 70,5 °.
