Centro Universitário Salesiano de São Paulo Larissa Cristina Larissa Renier Larissa D’Avila Rafael Araujo Tatiane Portugal Mendes
Vetores
Tra"a ra"al# l#o o a$re a$rese sent ntad ado o %o&o %o&o e'ig(n%ia $ar%ial $ara o"ten)ão de nota nota e& *lge *lge"r "ra a Line Linear ar e +eo&etria no %urso de ,ngen#ar ,ngen#aria ia ,l-tri%a., ,l-tri%a.,letr/n letr/ni%a i%a no Centro Universitário Sale Salesi sian ano o 1rie 1rient ntad ador or Prof Prof 3enedito Manuel Al&eida
Lorena 20!
Su&ário
4ntrodu)ão! 5 Defini)6e Defini)6es s 7 7 8 9 Cál%ulo %o& :etores 9 Su"tra)ão de :etores0 ; 9 Cál%ulo %o& :etores 9 Produto de u& n<&ero $or :etores0 ! 9 :etor 1$osto 75 De%o&$osi)ão de :etores2 =5 Adi)ão de &ais de dois vetores >&-todo do $ol?gono@ 2 9 :etor so&a de &ais de dois vetores ; 2 9 A$li%a)6es! 25 Ca&$o ,l-tri%o! 25 Prin%i$io da su$er$osi)ão7 22 9 Ble%#as Lin#as de trans&issão= 28 9 Ca&$o Magn-ti%o2 2; 9 Me%ni%a dos Slidos22 2; 9 Eu?&i%a28 C1FCLUSG12 34341+RAB4A2H
4ntrodu)ão Fos dias ias de #ojeI jeI o &er% &er%ad ado o de tra tra"al#o al#o e'ig e'ige e %ad %ada veJ &ais &ais dos engen#eirosI faJendo %o& Kue os estudantes se e&$en#e& &ais a su$rir essa ne%essidade U&a d
2.08.20! 9 ,ntrega do $rojetoN !.0;.20! 9 ,ntrega dos relatriosN 8.0!.20! 9 Pri&eira entrega do relatrio finalN 20.0!.20! 9 A$resenta)ão A$resenta)ão e entrega final do relatrio
5 Defi Defini ni)6 )6es es 1 Kue - :etor :etor :etor etor - u& su"sta su"stanti ntivo vo &as%u &as%ulin lino o Kue signif signifi%a i%a %ondut %ondutor or ou $ortador A $alavra vetor $ode ter diferentes a%e$)6esI de$endendo da área do %on# %on#e% e%i& i&en ento to e& Kue Kue - e&$r e&$reg egad ada a A"ai' "ai'o o algu algu&a &ass área áreass e o seu seu devi devido do signifi%ado Fa B?si%aI vetor - toda grandeJa Kue s fi%a inteira&ente deter&inada Kuando dado u& n<&ero real Kue a &ede nu&a dada unidadeI u&a dire)ão e u& sentido ,& +eo&etriaI vetor - u& raio Kue vai do fo%o ou de u& dos fo%os de u&a %urva a KualKuer $onto da &es&a %urva Fa &ate &ate&á &áti% ti%aI aI na área área de Cál% Cál%ul ulo o :etor etoria ialIlI veto vetorr - o seg& seg&en ento to de reta reta orie orient ntad ado o O o %onj %onjun unto to de n Kuan Kuantitida dade dess Kue Kue de$e de$end nde& e& de u& sist siste& e&a a de %oordenadas n5di&ensionais e Kue se transfor&a& segundo leis "e& deter&inadas Kuando se &uda o siste&a ,& Astrono&iaI vetor - u& raio Kue indi%a a distan%ia variável do %entro do Sol ao %entro de u& $laneta Fa área &ilitarI vetor faJ refer(n%ia a u& ve?%ulo Kue trans$orta %arga e'$losiva &ais es$e%ifi%a&ente nu%lear Por-& nosso o"jetivo $rin%i$al - a utiliJa)ão dos vetores no %urso de ,ngen#aria ,l-tri%a :etorI %o&o já disse&osI - u& instru&entos usadoI $rin%i$al&ente $ela f?si%aI Kue re
MQDUL1 >intensidadeI n<&ero real não5nu&-ri%o@ S,FT4D1 D4R,G1
1s vetores são re$resentados $or KualKuer letra e $or u&a seta desen#ada $or sida sida da letra letraII %o&o %o&o
1 &du &dulo lo deste deste vetor vetor - re$r re$res esen enta tado do $ela $ela letra letra Kue Kue
re$resenta o vetorI $or-& se& a seta e& %i&aI vI ou então $elo s?&"olo do vetor entre
os
sinais
&ate&áti%os
Kue
re$resenta&
&duloI
Para fa%ilitar a nossa %o&$reensão va&os $egar u& e'e&$lo si&$les
Feste este e'e&$lo &$lo te&$ te&$os os u& veto etor Kue Kue $ossui ssui tod todas as infor nfor&a &a)6 )6e es ne%essárias veja •
Dire)ão %o&o ve&osI o vetor a%i&a $ossui a &es&a dire)ão da reta rI
•
#oriJontalN Sentido Bi%a notável Kue o vetor segue de P $ara 1I da esKuerda $ara
•
direitaI neste %asoN Mdulo 1 &dulo - a intensidade do vetorI %o&o já sa"e&os 1 &dulo -I grafi% grafi%a&e a&ente nte re$res re$resen entad tadoI oI $elo $elo ta&an ta&an#o #o do vetor vetor desen# desen#ado adoII Kue Kue e& nossa
%aso
-
de
tr(s
unidades
de
&edidas
uI
ou
seja
8u
13S Deve&os se&$re notar Kue se a unidade de &edida fosse %ent?&etrosI o &dulo do vetor seria 8 %&I e se a unidade de &edida fosse &etrosI o &dulo do vetor $ossuiria 8 &etrosI et% AgoraI $ossu?&os todo o %on#e%i&ento ne%essário $ara retornar Kuela #istria e dela tirar todas as infor&a)6es do vetor Kue re$resenta o %arro visto ,ntão entende&os %o&o As infor&a)6es do vetor são são • • •
Sentido Sentido %entro de São Paulo Dire)ão A &es&a dire)ão da Av Re"ou)as Mdulo A$ro'i&ada&ente H0 &.#
9 :etores iguais e :etores diferentes ,ste - outro ite& &uito i&$ortante $ara entender&osI definitiva&enteI u& vetor Para Kue dois vetores seja& iguais elesI ne%essaria&enteI $re%isa& $ossuir &dulosI sentidos e dire)ão iguais Por e'e&$lo
1s vetores a%i&a são iguaisI $ois $ossue& as tr(s infor&a)6esI Kue %onstitui u&
vetorI
iguais
Se tiver&os tiver&os dois vetores vetores Kue $ossue& $ossue& &dulos &dulos e dire)6es dire)6es iguaisI iguaisI $or-& $or-& sentido sentidoss difere diferente ntesI sI diJe&o diJe&oss Kue estes estes vetore vetoress são difere diferente ntess e o$ost o$ostos os Por e'e&$lo
,stes dois vetores são diferentesI $ois $ossue& a &es&a dire)ão >#oriJontal@I o &es&o &duloI $or-& o sentido %ontrário e o$ostos
2 9 Cál%ulo %o& :etores 9 Adi)ão de :etores Euando e'e%uta&os u&a o$era)ão %o& vetoresI %#a&ados o seu resultado de resultante
Dado dois vetores V A 5 1 e V 3 5 1I a resultante - o"tida
grafi%a&ente tran)ando5se $elas e'tre&idades de %ada u& deles u&a $aralela ao outro
,& Kue Kue
- o vetor vetor so&a so&a Co&o Co&o a figura figura for&ad for&ada a - u& $ara $aralel lelogr ogra&o a&oII este este
&-todo - deno&inado &-todo do $aralelogra&o A intensidade do vetor - dado $or
,sta ,sta e'$r e'$res essã são o - o"ti o"tida da $ela $ela lei lei dos dos %o5s %o5sen enos os $ara $ara o tri tring ngul ulo o 1WC 1WC
, a $artir desta eKua)ão "asta su"stituir os valores do $aralelogra&o a%i&aI $ara
se
o"ter
a
eKua)ão
do
&-todo
do
$aralelogra&o
Euando te&os u& %aso $arti%ular onde os vetores estão e& $osi)6es ortogonais entre siI "asta a$li%ar o teore&a de Pitágoras
8 9 Cál%ulo %o& :etores :etores 9 Su"tra)ão de :etores
Dados dois vetores
V A 5 1 e V 3 5 1I o vetor resultante - dado $or
5 V >A 5 1@ 5 >3 5 1@ V A 5 1 5 3 X 1N
V
V A 5 3I onde A - a e'tre&idade e 3 - a
orige&
Analiti%a&ente o vetor • • •
- dado $or
Mdulo Dire)ão da reta A3 Sentido de 3 $ara A
Se tiv-sse&os tiv-sse&os efetuado
V A 5 3I o sentido sentido seria de A $ara 3 e o &dulo seria o
&es&o
; ; 9 Cál% Cál%ul ulo o %o& %o& :etore toress 9 Prod Produt uto o de u& n<&e n<&ero ro $or $or :etore toress 1 $roduto $roduto de u& n<&ero n<&ero a $or u& vetor
I resultará resultará e& u& outro vetor
dado $or • • •
Mdulo V a Y Dire)ão A &es&a de N Sentido @ se a
Z
0
2@ se a [ 0 5 %ontrário de
! 9 :etor 1$osto
5
o
&es&o
sentido
de
Antes de entrar&os e& outra $arte i&$ortante do estudo de vetorI $re%isa&os $re%isa&os entend entender er o Kue Kue - u& vetor vetor o$osto o$osto Deno&in Deno&ina5s a5se e vetor o$osto o$osto de u& vetor I o vetor
%o& as seguintes %ara%ter?sti%as
A figura re$resenta o vetor e o seu o$osto
Detal#es
Euando dois vetores tivere& a &es&a dire)ão e o &es&o sentido >a V 0\@I o vetor resultante será
2
Euando Euando dois dois veto vetores res tive tivere& re& a &es &es&a &a dire) dire)ão ão e os os sentid sentidos os o$ost o$ostos os >a V
0\@I o vetor resultante será
75 De%o&$osi)ão de :etores :etores São dados u& vetor e u& siste&a de dois ei'os ortogonais ' e ]
Projet Projetand ando o ortogo ortogonal nal&en &ente te as e'tre&id e'tre&idade adess do vetor nos ei'os ei'os ' e ]I o"tendo suas %o&$onentes retangulares e
Analiti%a&ente te&os o tringulo tringulo 1P^P - retnguloI $ortanto
=5 Adi)ão Adi)ão de &ais de dois vetores v etores >&-todo do $ol?gono@ Feste &-todo o o"jetivo - for&ar u& $ol?gono %o& os vetores Kue se deseja so&a so&arrI o"ed o"ede% e%en endo do ao segu seguin inte te %rit %rit-r -rio io a $art $artir ir de u& $ont $ontoI oI $rev $revia ia&e &ent nte e es%ol#idoI %olo%a5se u& vetor eKui$olente a u& dos outros vetores dados e assi& su%essiva&ente 1 vetor so&a ou resultante será aKuele Kue te& orige& na orige& do $ri&eiro e e'tre&idade do
:etor eKui$olente - u& vetor Kue te& o &es&o &duloI a &es&a dire)ão e o &es&o sentido Kue o vetor %onsiderado ,'e&$lo Deter&inar o vetor so&a dos vetores a"ai'o
Resolu)ão Bi'ando o $onto 1 ar"itraria&ente
Fota&os
Y
Euando a e'tre&idade do R V 0@
Y
,& KualKu KualKuer er orde& orde& de %olo%a %olo%a)ão )ão dos vetor vetoresI esI o vetor vetor Result Resultan ante te terá terá o
&es&o &dulo
9 :etor so&a de &ais de dois vetores Euan Euando do o sist siste& e&a a - for& for&ad ado o $or $or &ais &ais de dois dois veto vetore ress %on% %on%or orre rent ntes es e %o$lanaresI a solu)ão anal?ti%a - $oss?vel Para tanto se deve e&$regar o &-todo das $roje)6es de %ada vetor e& dois ei'os $er$endi%ulares Feste ite& va&os %onsidera %onsiderarr o ngulo ngulo Kue o vetor for&a %o& o ei'o de refer(n%ia refer(n%ia %o&o sendo sendo u& ngulo &enor ou igual a H0\ 1 ei'o de refer(n%ia será se&$re o ei'o ' De a%ordo %o& esta %onven)ãoI o"serva5se o ngulo Kue %ada vetor da figura for&a %o& o ei'o '
2 9 A$li%a)6es AgoraI a$s definir&os o Kue são vetores e seus %ál%ulos vere&os Kual a sua utilidade e& algu&as &at-rias do Curso de ,ngen#aria ,l-tri%a
25 Ca&$o ,l-tri%o U& %a&$o %a&$o el-tri% el-tri%o o - o %a %a&$ &$o o de fo for) r)a a $rov $rovo% o%ad ado o $ela $ela a)ão a)ão de %argas el-tri%asII >el-trons el-tri%as el-tronsII $rtons $rtons ou ou ?ons ?ons@@ ou $or siste&as delasI e& outras $alavrasI Ca&$o el-tri%o - a região ao redor de u&a %arga >$ositiva ou negativa@I na KualI ao se %olo%ar u& %or$o eletriJadoI este fi%a sujeito a u&a for)a el-tri%a As %argas el-tri%as %olo%adas nu& %a&$o el-tri%o estão sujeitas a)ão de for)as el-tri%asI el-tri%asI de atra)ão e re$ulsão
1 %a&$o el-tri%o e& u& $onto - u&a gran grandeJa deJa veto vetorial rialII $ort $ortan anto to re$resentado $or u& vetor
Ca&$o el-tri%o gerado $ela %arga E Euando o %a&$o el-tri%o - %riado e& u&a %arga $ositiva eleI $or %onven)ãoI terá u& sentido de afasta&ento Euando o %a&$o el-tri%o - %riado e& u&a %arga negativa eleI $or %onven)ãoI terá u& sentido de a$ro'i&a)ão
Eue fiKue %laro Kue o sentido do %a&$o el-tri%o de$ende e'%lusiva&ente do sinal da %arga el-tri%a A eKua)ão eKua)ão usada $ara se %al%ular a intensidade do vetor %a&$o el-tri%o >,@ dada $ela rela)ão entre a for)a el-tri%a >B@ e a %arga de $rova >K@
Unidade no Siste&a 4nterna%ional de Unidades Unidades
1nde F - a unidade de for)a >Fe_ton@ e C a unidade de %arga >Coulo&"@
25 Prin%i$io da su$er$osi)ão A for)a %o& a Kual duas %argas interage& não - &odifi%ada $ela $resen)a de u&a ter%eira ,& outras $alavrasI se u&a %arga está e& $resen)a de outras %argas el-tri%asI a for)a resultante so"re ela - a so&a vetorial das for)as e'er%idas $or %ada u&a das %argas e& se$arado
22 9 Ble%#as Lin#as de trans&issão U&a U&a info infor& r&a) a)ão ão e'tre e'tre&a &a&e &ent nte e
anterior&enteI a fle%#a de$ende do %o&$ri&ento do vãoI da te&$eratura do %a"o e da tra)ão a$li%ada ao %a"o Kuando este - instalado A fle%#a $ode ser %al%ulada ad&itindo u&a $ará"ola >Pri&eira figura @ %o&o a fun) fun)ão ão Kue Kue defi define ne o ei'o ei'o do %a"o %a"o ou to&a to&and ndo5 o5se se a for& for&a a de u&a u&a %ate %atená nári ria a > Segunda figura@I Kue seria a &el#or a$ro'i&a)ão Fa $ráti%aI a utiliJa)ão da $ará"ola ou inv-s da %atenária %onduJ a $eKuenos erros Kuando o vão ta&"-& $eKueno Por e'e&$loI &enor Kue ;!0 &etros Consid Considere ere a Bigura Bigura >@I >@I Kue re$res re$resent enta a u& %ondut %ondutor or sus$e sus$ens nso o e& dois dois su$ort su$ortes es r?gido r?gidosI sI A e BI se$ar se$arado adoss entre entre si $or u&a distn%i distn%ia a a ,ssa distn%ia %o&u&e %o&u&ente nte re%e"e re%e"e o no&e no&e de vão vão Co&o Co&o os $ontos $ontos A e B estão a u&a &es&a alturaI a %urva des%rita $elo %ondutor será si&-tri%aI e seu $onto &ais "ai'oI o v-rti%e OI en%ontra5se so"re u& ei'o a &eia5distn%ia entre A e B
Bigura >@ 9 Condutor sus$enso e& dois su$ortes de &es&a altura
A distn%ia OF V ƒ re%e"e o no&e de fle%#a Fas lin#as de trans&issãoI as alturas de sus$ensão > H @ dos %ondutores estão direta&ente rela%ionadas %o& o valor das fle%#as e %o& as distn%ias dos v-rti%es das %urvas ao solo > h@ A fle%#a for&ada de$ende do vãoI da te&$eratura e do valor da tra)ão a$li%ada ao %a"o nos $ontos de fi'a)ão A e B
A altura #I deno&inada altura de segurançaI - esta"ele%ida $or nor&asI e& fun)ão da %lasse de tensão da lin#aI do ti$o de terrenos e dos o"jetos atravessados $elas lin#as
Bigura >2@ 9 Condutor sus$enso e& dois su$ortes de altura diferente
A$ro'i&ando a figura $ara se o"ter u&a &el#or análise dos $ontos e elegendo u& $onto KualKuer da %urvaI te&5se do v-rti%e da %urva a este $onto M u& seg&ento de %o&$ri&ento ds %o&o $ode ser visto na Bigura >8@
Bigura >8@ 9 Bor)as Kue Atua& na LT $ara ,feito de Cál%ulo
Considerando5se T a for)a de rea)ão da estruturaN ` a tensão &e%ni%a #oriJontal na lin#a >dado de $rojeto@N g a a%elera)ão da gravidadeN ds o seg&ento do %ondutor do v-rti%e at- o $onto MN o ngulo for&ado $ela for)a tangente da tra)ão e a #oriJontal
1 Kue %ausa& as fle%#as A energia t-r&i%a adKuirida $elo %ondutor devido %orrente el-tri%a >efeito boule@ e s altas te&$eraturas a&"ientes %ausa& e'$ansão t-r&i%a nas lin#as de trans&issãoI au&entando signifi%ativa&ente o %o&$ri&ento do %ondutor e %onseKcente&ente a fle%#a for&ada Fa Bigura >;@ - ilustrado o au&ento da fle%#a de D f %orres$ondente ao au&ento de te&$eratura de T0 $ara T1
Bigura >;@ 9 Au&ento da fle%#a for&ada devido á varia)ão de te&$eratura
28 9 Ca&$o Magn-ti%o O a regi região ão $r' $r'i&a i&a a u& ?&ã ?&ã Kue Kue influ influen en%i %ia a outro outross ?&ãs ?&ãs ou &ate &ateri riai aiss ferro&agn-ti%os e $ara&agn-ti%osI %o&o %o"alto e ferro Co&$are %a&$o &agn-ti%o %o& %a&$o gravita%ional ou %a&$o el-tri%o e verá Kue todos estes t(& as %ara%ter?sti%as eKuivalentes Ta&"-& - $oss?vel definir u& vetor Kue des%reva este %a&$oI %#a&ado vetor indu)ão &agn-ti%a &agn-ti%a e si&"oliJado $or $or Se $uder&os %olo%ar %olo%ar u&a $eKuena $eKuena "
As lin#as de indu)ão e'iste& ta&"-& no interior do ?&ãI $ortanto são lin#as fe%#adas e sua orienta)ão interna - do $olo sul ao $olo norte Assi& %o&o as lin#as de for)aI as lin#as de indu)ão não $ode& se %ruJar e são &ais densas onde o %a&$o - &ais intenso
2; 9 Me%ni%a dos Slidos 1 $roduto vetorial de dois vetores P e E - definido %o&o sendo o vetor : Kue satisfa)a as %ondi)6es • •
A lin#a de a)ão : - $er$endi%ular $er$endi%ular ao $lano Kue %onte& %onte& P e E A intensidade de : e o $roduto das intensidades de P e E e do sen do ngulo for&ado $or P e E e Kue seja :V PEsen 1 sentido de : - deter&inado $ela regra da &ão direita
•
Deter& Det er&ina inare& re&os os $s $rodutos $rodutos vetori vetoriais ais de KuaisKu KuaisKuer er
doiss vetores doi vetores iI j e
Considerando $ri&eira&ente o $roduto i ' j vere&os Kue esse $roduto deve ser já Kue os vetores iI j e são &utua&ente ortogonais e for&a& u& triedro $ositivo Por outro ladoI o $roduto j ' i será igual a 9 $ois a rota)ão de H0 graus Kue traJ j a i -
o"servada %o&o anti #orária Deve ser o"servado Kue o $roduto vetorial de u& vetor unitárioI tal %o&o i ' i e JeroI $ois os vetores te& a &es&a dire)ão 1s $rodutos dos $ares $oss?veis de vetores são 4'iV0 4'jV 4 ' V 5j b ' iV 5 b'jV0 b ' V i ' iV 5 ' jV 5i ' V 0 1 $roduto vetorial dos vetores PV 'i X ]j ]j X J e EV '2i X ]2j X J2 e igual a P ' EV >]J2 9 J]2@ i X >J'2 9 J2'@ j X >']2 9 ]'2@
2; 9 Eu?&i%a Dada u&a liga)ão %ovalente >A3@ $ode&os ter dois %asos a@ A e 3 a$resenta& a &es&a eletronegatividade eletronegatividade A liga)ão - %#a&ada %#a&ada %ovalente %ovalente a$olar ,'e&$lo BBN 11N ClCl "@ A e 3 te& eletronegatividades diferentes ,'e&$lo `BN `1N `Cl Considere as &ol-%ulas &ol-%ulas `2 `2 e `B
H–He
δ+
H – Fδ-
Fa &ol-%ula `2I o $ar de el-trons - %o&$artil#ado igual&ente $elos dois áto&os áto&os Fa &ol-%u &ol-%ula la `B - %o&$a %o&$arti rtil#a l#ado do desigu desigual& al&ent enteI eI a$are% a$are%end endo o no lado lado do fl
$eKuena %arga for&al
negativaI
enKuanto
no
lado
do #idrog(nio a$ar a$are% e%e e u&a u&a %arg %arga a for& for&al al $osi $ositiv tiva a A &ol-%u &ol-%ula la de `B - dipoloI definindo5se &o&ento di$olar a grandeJa μ= δ . dI sendo d a distn%ia entre os dois %entros de %argas for&ais Asso%ia5se ao &o&ento di$olar u& vetor >
@ %o& a orienta)ão orienta)ão dada dada
na figura Para u&a &ol-%ula %o& &ais de u&a liga)ãoI define5se o &o&ento di$olar total >so&a vetorial do &o&ento di$olar de %ada liga)ão@ a@ Se total h 0 &ole%ular $olar ,'e&$lo
"@ Se total V 0 &ol-%ula a$olar ,'e&$lo
Considere Kue o vetor &o&ento de di$olo >
@ re$resente a $olaridade de
u&a liga)ão Ku?&i%a O i&$ortante %#a&ar a aten)ão de Kue a $olaridade de u&a liga liga))ão ou &ol&ol-%u %ula la não não $ode $ode ser ser &edi &edida daNN a$en a$enas as o &o&e &o&ent nto o de di$o di$olo lo -
&ensur &ensuráve ávell Co&o u&a entida entidade de vetoria vetorialIlI dire)ão e sentido
- %ara%ter %ara%teriJa iJado do $elo seu seu &duloI &duloI
Mol-%ulas diat/&i%as #eteronu%leares são &ol-%ulas $olares e $ossue&
não nulo bá as &ol-%ulas diat/&i%as #o&onu%leares são a$olaresI $ois e'i"e&
V
0 A $olaridade de &ol-%ulas tri e $oliat/&i%as de$ende da so&a vetorial dos
vetores vetores
individuai individuais s ,ssa ,ssa so&a so&a vetoria vetoriall s $ode ser feita feita a$s a$s a deter&ina) deter&ina)ão ão
da geo&etria &ole%ular As &ol-%ulas C12 >geo& >geo&etria etria linear@I linear@I 3B8 >geo&e >geo&etri tria a triang triangula ularr ou trigon trigonal al $lana@ e CCl ; >geo&etria tetra-dri%a@ são a$olares Fa figura 2 essas &ol-%ulasI os &o&e &o&ent ntos os de di$o di$olo lo indiv individ idua uais is são são %an% %an%el elad ados os &utu &utua& a&en ente te e& virtu virtude de das das
geo&etrias &ole%ularesI faJendo %o& Kue o vetor &o&ento de di$olo resultanteI
I ten#a &dulo igual a Jero U&a &ol-%ula a$olar - %ara%teriJada $or
Por Por %aus %ausa a das das geo& geo&et etri rias as &ole &ole%u %ula lare resI sI &uit &uitos os nio nions ns $oli $oliat at/& /&i% i%os os >&ol-% >&ol-%ula ulass %o& %o& %arga %arga negativ negativa@ a@ são a$olar a$olaresI esI a$esar a$esar de for&ar for&are& e& %o&$o %o&$osto stoss i/ni%os %o& %átionsI %o&o F1 85I S1;25I P1;85 Fas &ol-%ulas de ` 21I FB8 e C`Cl8 >%lorofr&io@I os &o&entos de di$olo das
liga)6es não se anula& e as &ol-%ulas são ditas $olaresI já Kue Kue o di$olo resultante - diferente de Jero@ >Bigura 8@
>&o&ento
Cons Consid ider ere e tr(s tr(s ti$o ti$oss de gran grande deJa Ja %o&o %o&o fun) fun)6e 6ess %ont %ont?n ?nua uass do es$a es$a)o )o tridi&ensional R 8 >elas ta&"-& $ode& ser fun)ão do te&$oI &as a de$enden%ia te&$or te&$oral al
-
irrele irreleva vante nte $ara $ara as %onsid %onsidera era)6e )6ess desta desta se)ão se)ão %o& %o& %oorden %oordenada adass
%artesianas r V >'I ]I J@ %ujos vetores unitários %anoni%os são >e'I e]I eJ@ V >'I ]I J@I v V v>'I ]I J@I T V T>'I ]I J@ >8@ - u& es%alarI ou sejaI - definido $or u&a %o&$onente %o&$onente a$enasI - u& vetor vetor no es$a)o R 8 I e T - u&a &atriJ 8 k 8 >ta&"-& %#a&ada %#a&ada de tensor de orde& orde& 2 no es$a)o R 8@ %o& nove %o&$onentes
1 $roduto vetorial entre dois vetores u e v te& %o&o resultado u& vetor _ %uja %ujass %o&$ %o&$on onen ente tess são são dada dadass e& %oor %oorde dena nada dass %arte %artesi sian anas as e& ter& ter&os os das das %o&$onentes de u e v $or _ V u k v V >u]vJ uJv]I uJv' u'vJI u'v] u]v'@ 1 &dulo de _ - igual a area do $aralelogra&o $aralelogra&o %ujos lados são os vetores vetores u e v v A dire)ão de _ - $er$endi%ular ao ao $lano definido $or u e vI vI e o sentido - dado $ela regra da &ão direita Por defini)ãoI u k v V v k u Fote ta&"-& Kue a e'$ressão $ode ser %al%ulada %o&o o deter&inante _VukvV
e' e] eJ u' u] uJ v' v] vJ
Su$on#a Kue u& %or$o no instante t V t0 o%u$a u&a %erta região do es$a)o A $osi)ão es$a%ial de u&a $art?%ula $ode ser des%rita $elo vetor mI &edido a $artir de u& $onto fi'o Seja ' o vetor $osi)ão da $art?%ula no instante t ,ntãoI te&os ' V '>mIt@ %o& '>mIt0@ V m >@ e essas eKua)6es des%reve& o %a&in#o de KualKuer $art?%ula Kue e& t V t0 está na $osi)ão m >diferentes m^s $ara diferentes $art?%ulas@ A terna >mIm2Im8@ serve $ara identifi%ar as diferentes $art?%ulas do %or$o e %on#e%ida %o&o %oordenada &aterial
C1FCLUSG1 Con%lu?&os Kue a $ergunta realiJada anterior&ente fora o"tida %o& ('itoI visto Kue a"range&os de for&a in%isiva e teri%a não s na teoriaI &as ta&"-& as suas a$li%a)6es $ráti%as
34341+RAB4A #tt$.."d&un""r."itstrea&.0;8.;=2..202FeilMartinsdaSilva$df #tt$..___ufjf"r.$$ee.files.200.2.2 #tt$..___ ufjf"r.$$ee.files.200.2.20;H$ 0;H$df df #tt$..$t_ii$ediaorg._ii.Ca&$oelC8AHtri%o #tt$..___infoes%ola%o&.fisi%a.%a&$o5eletri%o. #tt$..___"rasiles%ola%o&.fisi%a.%a&$o5eletri%o#t& #tt$..edu%a%aoglo"o%o&.fisi%a.assunto.eletro&agn #tt$..edu%a%aoglo"o %o&.fisi%a.assunto.eletro&agnetis&o.for%a5eletri%a5e5%a&$o5 etis&o.for%a5eletri%a5e5%a&$o5 eletri%o#t&l #tt$..___%efets$"r.edu.oa&ura.veto #tt$..___%efets$"r.edu.oa&ura.vetoresresu&oteori%o#t& resresu&oteori%o#t&
