FORMULARIO SERIE NUMERICHE - Serie Notevoli, Serie Di Potenze, Criteri Di Convergenza

S E R I E

N U M E R I C H E

Somme parziali



n



r   k 

k  0

1  r n 1

n



n  , r  , r   1

1  r 

 k 

2



nn  12n  1

k 1

n

1

1

 k k   1  1  n  1

(progressione aritmetica )

 nn  1  k      6     k 1 n

n  1

6

n  1

2

k 1

(progressione geometrica di ragione r ) n

nn  1

k  

2

n  1

3

n

 sin k  

n  1

k 1

sin

n

2

k 1

 sin

sin

n 1

2

1 2

(somma telescopica)

Serie notevoli



diverge a   r   1  1  converge  1  r   1  la somma è 1  r   irregolare 1 r      diverge r   1 



 r 

n

n 1

(serie geometrica di ragione r )



Se r   1

 a  r  n 1



converge  p  1   diverge p  1

1

n n 1

 p



n n2



Se

converge  p  1, q   converge  p  1, q  1    diverge  p  1, q  1  diverge  p  1, q  

1  p

ln q n

an

n 

bn

0     

  

  

0,

an ~ bn  stesso carattere

  

0

se bn converge  an converge

  

 se bn diverge  an diverge



a

1  r 

(serie armonica generalizzata) generalizzat a)

(serie di Abel)

C riterio iterio del del confr c onfronto onto asintotico otico an  0, bn  0  lim

n 1



 r 

n

n  k 

k 



r 

1  r 

Criterio del rapporto an  0, bn  0



Se

lim

an 1

n  

  

an

  

0,

la serie diverge    1  la serie converge    1    1 nessuna informazione 

Criterio della radice an  0, bn  0 



Se

lim

an   

n

n  

  

0,

la serie diverge    1  la serie converge    1    1 nessuna informazione 

Serie di potenze



Valide  x  , 

e   x

 x



n

 n!

sin  x 

n0

cosh  x 



( 1) n x 2 n 1

n 0



 x

2n  1!

2n

 2n! n 0

Valide solo per particolar i intorni di  x 1 1   x 1 1   x



  x n n0



   1  x n n 0



2

  x 2 n

 x   1;1

n 0



1 1   x

 x   1;1

n

1 1   x

 x   1;1

   1  x 2 n

 x   1;1

n

2

n0

arctan x 



  1

n

n 0

ln 1   x   



 x

 x 2 n 1

n 1



m

  1

n



 x

n 1

n 1

   

1   x       x n n n 0  

   



2n  1!!

 x   1;1  x   1;1

 2n  12n!! x n 0

 x   1;1

m 1



n 0

arcsin  x 

 x

 n  1   m n 0

ln 1   x  

 x   1;1

2n  1

2 n 1

 x   1;1



cos x 

 n 0

( 1) n x 2 n

2n !



sinh  x 

 x 2

n 1

 2n  1! n 0