Flujo Optimo de Potencia

“UNIVERSIDAD NACIONAL DEL CENTRO DEL PERÚ” FACULTAD DE INGENIERÍA ELÉCTRICA Y ELECTRÓNICA

FLUJO ÓPTIMO DE POTENCIA CURSO:

ANÁLISIS DE SISTEMAS DE POTENCIA II

DOCENTE:

ING. PEDRO TORRES MAYTA

ALUMNOS:

PONGO DELGADILLO RICHARD RAMOS SALAZAR ANTHONY RIVAS MEZA BRYAN ROJAS MAITA CARLOS ROSALES CARRASCO MARIO SANDOVAL OBISPO ERICK TAIPE QUISPE LEINER TAYPE CAYLLAHUA OSCAR TINOCO ROJAS JOHN TORRES CHUQUILLANQUI JOSE VELAZCO FLORES ANDRE ALDAIR VILCAPOMA APOLINARIO CARLOS

SEMESTRE:

OCTAVO

Huancayo 2017

FLUJO ÓPTIMO DE POTENCIA

ÍNDICE INTRODUCCIÓN.

2

EL FLUJO ÓPTIMO DE POTENCIA.

3

Flujo óptimo en la planificación y operación de Sistemas de Potencia. Definiciones. FORMULACIÓN MATEMÁTICA DEL FLUJO ÓPTIMO DE POTENCIA.

4

Función objetivo y variables de control para flujo óptimo de potencia activa (Despacho económico). Función objetivo y variables de control para flujo óptimo de potencia reactiva (minimización de pérdidas). Función objetivo y variables de control para flujo óptimo de potencia activa y reactiva. Modelo general de optimización. MÉTODO DEL GRADIENTE REDUCIDO PARA LA SOLUCIÓN DEL FLUJO ÓPTIMO DE POTENCIA.

7

EXTENSIONES DEL FLUJO ÓPTIMO DE POTENCIA, COMPARADAS CON EL FLUJO DE POTENCIA.

9

ALGORITMO PARA LA SOLUCIÓN DEL FLUJO ÓPTIMO DE POTENCIA.

11

Modelo sin restricciones de desigualdad. Modelo con restricciones de desigualdad. APLICACIONES

16

CONCLUSIONES

23

BIBLIOGRAFÍA

24

1


INTRODUCCIÓN La operación económica de un sistema de potencia es muy importante para recuperar y obtener beneficios del capital que se invierte. Las tarifas que fijan las instituciones reguladoras y la importancia de conservar el combustible presionan a las compañías generadoras a alcanzar la eficiencia máxima posible. La máxima eficiencia minimiza el costo del kW-h a los consumidores y también el costo que representa a la compañía el suministro de este kW-h ante el alza constante de precios de combustible, mano de obra, materia prima y mantenimiento. Esta operación económica que involucra la generación de potencia y el suministro, se puede subdividir en dos partes: una llamada despacho económico, que trata con el costo mínimo de producción de potencia y otra, la del suministro con pérdidas mínimas de la potencia generada a las cargas. Para cualquier condición de carga específica, el despacho económico determina la salida de potencia de cada central generadora o planta (y de cada unidad generadora dentro de una planta) que minimizará el costo total de combustible necesario para alimentar la carga del sistema. El Flujo de Potencia Óptimo es un medio necesario para resolver el problema del despacho económico, como también el de pérdidas mínimas. A diferencia del flujo de potencia convencional, cuyo objetivo consiste en determinar el estado del sistema tomando como datos de partida las potencias generadas y consumidas en todos los nodos, así como el estado de los equipos de control (transformadores, reactancias, condensadores, etc.), un flujo óptimo de potencia permite resolver las ecuaciones del sistema eléctrico y obtener los valores de determinadas variables de control que optimizan un objetivo concreto, cuantificado éste en forma de una función escalar de las variables del problema.

2


1. EL FLUJO ÓPTIMO DE POTENCIA 1.1 FLUJO OPTIMO EN LA PLANIFICACION Y OPERACIÓN DE SISTEMAS ELECTRICOS DE POTENCIA: 1.1.1

Definiciones: 

Flujo óptimo de potencia: El estudio que permite la formulación del flujo de potencia, optimizándolo en algún sentido y cumpliendo al mismo tiempo un conjunto de restricciones, recibe el nombre de flujo óptimo de potencia. En la formulación del flujo óptimo se requiere de alguna función objetivo, la cual se debe optimizar (maximizar o minimizar), y de una técnica de optimización. Algunas de las funciones objetivo son: -

Minimizar los costos de generación. Minimizar las pérdidas del sistema. Minimizar la compensación de potencia reactiva.

El proceso de optimización requiere de la división de las variables del sistema, en variables de control y variables de estado. La solución óptima se obtiene encontrando el valor de las variables de control que minimicen la función objetivo, y al mismo tiempo satisfagan las restricciones del problema.

1.1.2



Despacho económico: El proceso de repartir la potencia activa total de carga entre las diferentes unidades de generación, de un sistema de potencia, con el objeto de realizar la mayor economía en el funcionamiento del mismo, recibe el nombre de despacho óptimo o despacho económico. Dicho en otras palabras, el despacho económico es un flujo óptimo de potencia en el que la función objetivo es minimizar los costos de generación. Para realizar despacho económico, se considera que las unidades de generación son térmicas. Si las unidades de generación son hidráulicas, se considera que puede obtenerse el equivalente en unidades térmicas o que previamente han sido optimizadas.



Planificación de SEP: La planificación de un sistema de potencia es el estudio que se hace, de una posible expansión del sistema existente, debido principalmente al incremento de carga por la aparición de nuevos centros de consumo. El estudio incluye la proyección de la demanda, lo cual exige técnicas de proyección determinísticas, probabilísticas o estocásticas, de acuerdo con la cantidad, tipo e incertidumbre de la información que se disponga.



Operación de SEP: La operación de sistemas de potencia es el estudio a corto plazo, y en tiempo real, en el cual las fuentes de potencia del sistema existente, deben ser programadas para satisfacer las condiciones de carga, de modo que el sistema en conjunto opere en las mejores condiciones, tanto técnicas como económicas.

Importancia del flujo óptimo en la planificación y operación de SEP: Siempre se ha tratado de conseguir un modelo del sistema de potencia mediante el cual se optimice el funcionamiento del mismo. Desde este punto de vista, el planificar un 3


sistema de potencia también va encaminado a conseguir las condiciones óptimas de operación del sistema futuro. Un estudio de flujos de potencia ayudará considerablemente a conocer el funcionamiento del sistema proyectado, y si esta forma parte de un estudio de flujos óptimos, se puede llegar a conocer las capacidades óptimas de generación, transmisión y distribución, que lógicamente estarán ligadas a una cierta incertidumbre, ya que la carga proyectada tiene también una incertidumbre. Dentro de la operación de sistemas de potencia, el poder realizar despacho económico, minimización de pérdidas, o ambos a la vez, convierte al flujo óptimo de potencia en un modelo poderoso y útil para dicha actividad. En general, podemos concluir que la operación, actual o futura, de un sistema eléctrico de potencia, puede ser sintonizada en su punto óptimo, mediante el flujo óptimo de potencia, de aquí que este es una herramienta necesaria para la planificación y operación de sistemas eléctricos de potencia. 1.2 FORMULACIÓN MATEMÁTICA DEL FLUJO ÓPTIMO DE POTENCIA: En general, cualquier tipo de optimización consiste en buscar el valor óptimo (mínimo o máximo) de una función objetivo, siempre y cuando en el óptimo, se cumpla con un conjunto de restricciones de igualdad y desigualdad. En el caso de flujo óptimo de potencia, generalmente, la optimización es una minimización para lo cual necesitamos de un conjunto de variables de control, tomaremos el vector 𝑦̅ de variables independientes y lo dividiremos en dos vectores, uno de variables de control 𝑢̅, y otra de variables fijas 𝑝̅, de modo que: 𝑢̅ 𝑦̅ = [ ] 𝑝̅ El vector 𝑢̅ estará formado por parámetros controlables que son: - Magnitudes de voltaje en las barras PV. - Taps en transformadores. - Potencias activas de generación PG. 1.2.1

Función objetivo y variables de control para flujo óptimo de potencia activa (Despacho económico): La función objetivo para despacho económico, en general, es minimizar costos de generación. Por otro lado, se asumen unidades térmicas de generación, por cuanto la función objetivo para cada unidad será la función de costo de combustible. Generalmente, las funciones de costo de combustible son curvas polinómicas, por cuanto su representación gráfica será:

Figura 1. Curva típica de entrada- salida 4


En donde 𝐶(𝑃𝐺 ) es el consumo de combustible en kcal/hora, que pueden traducirse a $/hora, y PG es la potencia generada. Estas curvas se obtienen experimentalmente midiendo la cantidad de combustible por hora que se consume para una potencia fija de generación, con lo que se consigue un punto de la curva. Procediendo de la misma forma para varias potencias de generación, se obtendrá varios puntos, y a partir de éstos, la curva. Estas curvas también se denominan curvas de entrada – salida. Para el proceso de optimización se requiere de una función analítica de la curva, para lo cual, típicamente se le aproxima a una función cuadrática, aunque en algunos casos se puede considerar que es lineal o cubica, de modo que: 𝐶(𝑃𝐺 ) = 𝑎𝑃𝐺 2 + 𝑏𝑃𝐺 + 𝑐

(1)

Para nuestro propósito, consideraremos que las funciones son cuadráticas, y que conocemos la función objetivo de cada una de las unidades de generación del sistema. Consideremos un sistema de potencia de M barras de carga, S barras PV y una barra oscilante. Dividamos un poco más el sistema y asumamos que las S barras PV son de dos tipos:  SS barras PV, asociadas a condensadores sincrónicos.  (S-SS) barras PV, con generación de potencia activa y reactiva. Esta subdivisión es porque teóricamente el condensador sincrónico no genera potencia activa y para nuestros propósitos necesitamos saber que unidades tienen generación de potencia activa. Con estas consideraciones, tendremos que la función objetivo de todo el sistema, para despacho económico será: 𝑘

2 𝑓 = 𝑎1 𝑃𝐺1 2 + 𝑏1 𝑃𝐺1 + 𝑐1 + ∑𝑖=𝑘 (𝑎𝑖 𝑃𝐺𝑖 2 + 𝑏𝑖 𝑃𝐺𝑖 + 𝑐𝑖 ) 1

(2)

En donde: k1=M+2 k2=M+S-SS+1 El vector de control 𝑢̅ estará formado por las siguientes variables: 𝑢̅ = {

𝑃𝑜𝑡𝑒𝑛𝑐𝑖𝑎𝑠 𝑎𝑐𝑡𝑖𝑣𝑎𝑠 𝑑𝑒 𝑔𝑒𝑛𝑒𝑟𝑎𝑐𝑖𝑜𝑛 𝑒𝑛 𝑙𝑎𝑠 𝑏𝑎𝑟𝑟𝑎𝑠 𝑃𝑉, 𝑛𝑜 𝑎𝑠𝑜𝑐𝑖𝑎𝑑𝑎𝑠 𝑎 𝑐𝑜𝑛𝑑𝑒𝑛𝑠𝑎𝑑𝑜𝑟𝑒𝑠 𝑠𝑖𝑛𝑐𝑟ó𝑛𝑖𝑐𝑜𝑠

Nótese: -

-

1.2.2

Las potencias de generación están intrínsecamente relacionadas con el vector 𝑦̅, ya que: 𝑃𝑁𝐸𝑇𝑖 = 𝑃𝐺𝑖 − 𝑃𝐶𝑖 𝑃𝐶𝑖 = Potencia de carga de la barra i. No se toma la potencia de la barra oscilante, como variable de control, puesto que se deberán tomar en cuenta las pérdidas del sistema.

Función objetivo y variables de control para flujo óptimo de potencia reactiva (minimización de pérdidas): Para la solución de flujo de potencia, no se especifica potencias en la barra oscilante, puesto que no conocemos con anterioridad las pérdidas del sistema. Por tal razón, cuando el flujo de potencia queda resuelto, la barra oscilante tendrá que cubrir las pérdidas, según la ecuación de equilibrio: 5


𝑃𝐺𝑖 = 𝑃𝐿 + Σ𝑃𝐶 + Σ𝑃𝐺

(3)

En donde: 𝑃𝐺𝑖 : es la potencia de generación de la barra oscilante. 𝑃𝐿 : es la potencia de pérdidas del sistema. Σ𝑃𝐶 : es la carga total del sistema. Σ𝑃𝐺 : es la potencia total de generación, excluyendo a la barra oscilante. Según esto, minimizar las pérdidas del sistema, significa precisamente minimizar la potencia activa neta de la barra oscilante, de aquí que la función objetivo tendrá que ser: 𝑓 = 𝑃𝑁𝐸𝑇1 = 𝑃1 (𝑥̅ , 𝑦̅)

(4)

El vector 𝑢̅ estará formado por las siguientes variables: − 𝑀𝑎𝑔𝑛𝑖𝑡𝑢𝑑𝑒𝑠 𝑑𝑒 𝑣𝑜𝑙𝑡𝑎𝑗𝑒 𝑒𝑛 𝑙𝑎𝑠 𝑏𝑎𝑟𝑟𝑎𝑠 𝑑𝑒 𝑡𝑒𝑛𝑠𝑖ó𝑛 𝑐𝑜𝑛𝑡𝑟𝑜𝑙𝑎𝑑𝑎. − 𝑀𝑎𝑔𝑛𝑖𝑡𝑢𝑑 𝑑𝑒 𝑣𝑜𝑙𝑡𝑎𝑗𝑒 𝑒𝑛 𝑙𝑎 𝑏𝑎𝑟𝑟𝑎 𝑜𝑠𝑐𝑖𝑙𝑎𝑛𝑡𝑒. 𝑢̅ = { − 𝑇𝑎𝑝𝑠 𝑒𝑛 𝑡𝑟𝑎𝑛𝑠𝑓𝑜𝑟𝑚𝑎𝑑𝑜𝑟𝑒𝑠.

1.2.3

Función objetivo y variables de control para flujo óptimo de potencia activa y reactiva: Puesto que debemos realizar despacho económico y minimización de pérdidas simultáneamente, entonces la función objetivo será la misma que para despacho económico. La diferencia estará en las variables de control: 𝑘

2 𝑓 = 𝑎1 𝑃𝐺1 2 + 𝑏1 𝑃𝐺1 + 𝑐1 + ∑𝑖=𝑘 (𝑎𝑖 𝑃𝐺𝑖 2 + 𝑏𝑖 𝑃𝐺𝑖 + 𝑐𝑖 ) 1

(5)

En donde: k1=M+2 k2=M+S-SS+1 El vector 𝑢̅ estará conformado por: − 𝑀𝑎𝑔𝑛𝑖𝑡𝑢𝑑𝑒𝑠 𝑑𝑒 𝑣𝑜𝑙𝑡𝑎𝑗𝑒 𝑒𝑛 𝑙𝑎𝑠 𝑏𝑎𝑟𝑟𝑎𝑠 𝑃𝑉. − 𝑀𝑎𝑔𝑛𝑖𝑡𝑢𝑑 𝑑𝑒 𝑣𝑜𝑙𝑡𝑎𝑗𝑒 𝑒𝑛 𝑙𝑎 𝑏𝑎𝑟𝑟𝑎 𝑜𝑠𝑐𝑖𝑙𝑎𝑛𝑡𝑒. 𝑢̅ = − 𝑇𝑎𝑝𝑠 𝑒𝑛 𝑡𝑟𝑎𝑛𝑠𝑓𝑜𝑟𝑚𝑎𝑑𝑜𝑟𝑒𝑠. − 𝑃𝑜𝑡𝑒𝑛𝑐𝑖𝑎𝑠 𝑎𝑐𝑡𝑖𝑣𝑎𝑠 𝑑𝑒 𝑔𝑒𝑛𝑒𝑟𝑎𝑐𝑖ó𝑛 𝑒𝑛 𝑙𝑎𝑠 𝑏𝑎𝑟𝑟𝑎𝑠 𝑃𝑉, { 𝑛𝑜 𝑎𝑠𝑜𝑐𝑖𝑎𝑑𝑎𝑠 𝑎 𝑐𝑜𝑛𝑑𝑒𝑛𝑠𝑎𝑑𝑜𝑟𝑒𝑠 𝑠𝑖𝑛𝑐𝑟ó𝑛𝑖𝑐𝑜𝑠. Nótese que la potencia activa de generación de la barra oscilante no toma parte del control 𝑢̅. Sin embargo, como veremos más adelante, ésta será una variable intermedia en la derivación de la función objetivo. 1.2.4

Modelo general de la optimización: Una vez planteada la función objetivo y las variables de control para cada uno de los casos propuestos, el modelo general que tendremos, puede ser expresado como sigue: 6


𝑚𝑖𝑛𝑢̅ 𝑓(𝑥̅ , 𝑦̅)

(6)

Se lee, obtener el mínimo de f, con 𝑢̅ óptimo. Sujeto a las restricciones de igualdad impuestas por el flujo de potencia: 𝑔̅ (𝑥̅ , 𝑢̅, 𝑝̅ ) = 0

(7)

Para resolver el problema, usaremos el método clásico de optimización de los multiplicadores de Lagrange, para lo cual deberemos ampliar la función objetivo con las restricciones de igualdad, es decir que deberemos plantear la función ampliada de Lagrange. 𝐿(𝑥̅ , 𝑢̅, 𝑝̅ ) = 𝑓(𝑥̅ , 𝑢̅) + 𝜆𝑇̅ 𝑔̅ (𝑥̅ , 𝑢̅, 𝑝̅ )

(8)

En donde los 𝜆𝑖 , elementos del vector 𝜆̅, son llamados los multiplicadores de Lagrange. La función ampliada de Lagrange, deberá cumplir con las siguientes condiciones necesarias, en el mínimo: 𝑑𝐿

=

𝑑𝑓

𝑇

𝑑𝑔̅ + [ ] 𝜆̅ = 0

𝑑𝑥̅ 𝑑𝑥̅ 𝑑𝑥̅ 𝑑𝐿 𝑑𝑓 𝑑𝑔 𝑇 = ̅ + [ ̅] ̅ 𝑑𝑢 𝑑𝑢 𝑑𝑢 𝑑𝐿 𝑑𝜆

𝜆̅ = 0

= 𝑔̅ (𝑥̅ , 𝑢̅, 𝑝̅ ) = 0

(9) (10) (11)

Nótese que la ecuación (9) contiene la matriz [𝑑𝑔̅ ⁄𝑑𝑥̅ ], que es la matriz Jacobiana de la última iteración del flujo de potencia, razón por la cual hemos usado el método formal de Newton- Raphson, en el cual el Jacobiano varía en cada iteración, La ecuación (10) contiene la matriz [𝑑𝑔̅ ⁄𝑑𝑢̅], que se conoce como el Jacobiano reducido. Las ecuaciones (11) son las ecuaciones del flujo de potencia. Estas ecuaciones se igualan a cero para obtener la optimización. 1.3 MÉTODO DEL GRADIENTE REDUCIDO PARA LA SOLUCIÓN DEL FLUJO ÓPTIMO DE POTENCIA: En general, en cualquier punto de solución factible, no necesariamente optimo, el flujo de potencia puede ser resuelto ósea que las ecuaciones (11) pueden ser satisfechas. Una vez resuelto el flujo de potencia, con la ayuda del Jacobiano de la última iteración y con el vector de la derivada F con respecto al, vector 𝑥̅ , se puede encontrar el vector de los multiplicadores de Lagrange 𝜆̅, aplicando la ecuación (9). Reemplazando este vector 𝜆̅ en la ecuación (10) nos encontramos en general con el vector 𝑑𝐿⁄𝑑𝑢̅ ≠ 0, ya que no necesariamente estaremos en el óptimo. Este vector 𝑑𝐿⁄𝑑𝑢̅ tiene un significado importante; es el vector gradiente ∇𝑓𝑢 , el cual es ortogonal a los contornos de valores constantes de la función objetivo.

7


Los contornos de valores constantes de la función objetivo, en general pueden ser curvas cóncavas o convexas, pero aquellas que estamos planteando son funciones convexas. Una función es convexa si la interpolación lineal entre los valores de dos puntos cualesquiera, nos da como resultado un valor no menor al punto que tiene igual abscisa que el punto de interpolación, y que pertenece a la curva. En el caso de dos dimensiones tendríamos:

Figura 2. Curva convexa Los contornos de igual valor de las funciones objetivo planteadas tiene, en el caso de dos dimensiones, las siguientes formas:

Figura 3. Contornos de valor constante de las funciones objetivo En donde la curva más abierta tiene mayor valor así f 5>f4>…>f1. Cada una de estas formas indica el lugar geométrico en donde la función objetivo tiene un valor constante, así por ejemplo se tendrá un valor f4 de la función objetivo, cuando las variables de control tomen los valores [u 11; u21]; como vemos, para obtener un valor de la función objetivo se puede obtener un infinito número de soluciones, de las cuales unas serán factibles, y otra no como se verá más adelante cuando se introduzcan las restricciones de desigualdad sobre los parámetros de control.

8


Por otro lado, las ecuaciones (9), (10) y (11) son ecuaciones no lineales y pueden resolverse solamente con métodos iterativos. El esquema iterativo más simple es el “método del descenso más pronunciado”, llamado también método del gradiente. La idea básica de éste método es partir de una solución factible del flujo de potencia (un punto en la figura anterior) y moverse a lo largo de la dirección del descenso más pronunciado, o sea en la dirección del gradiente negativo, para encontrar un nuevo punto factible de solución, pero que estará más cercano al punto óptimo, o sea que se tendrá un menor valor en la función objetivo. Gráficamente, en dos dimensiones, tendremos:

Figura 4. Movimiento en la dirección del gradiente negativo

En el gráfico anterior, supongamos que A es el punto de solución del flujo de potencia. En este punto evaluamos el vector gradiente ∇𝑓𝑢 , y nos movemos al punto 𝐵, a lo largo de la dirección del gradiente negativo. En el punto 𝐵 se tendrá un valor de la función objetivo que será menor que el valor que tenía para el punto 𝐴, por lo cual, estaremos más cerca del óptimo que antes. Ahora, en el punto 𝐵 se deberá satisfacer la ecuación (11), por lo que se deberá resolver un flujo de potencia para conocer el valor del vector de estado 𝑥̅ , Una vez satisfecha la ecuación (11) se tendrá que 𝐵 es un nuevo punto de solu ción factible y se podrá iniciar nuevamente el proceso, llegando al punto 𝐶, y luego a 𝐷, y así sucesivamente, hasta satisfacer un criterio de convergencia y consecuentemente se encontrará el valor mínimo de la función objetivo. Este es, a grandes rasgos, el método del gradiente. Le llamaremos método del gradiente reducido porque, como se verá más adelante, no solo se cambia de signo al gradiente, sino que además se le multiplica por una constante 𝑐, cuyo valor dependerá del valor del gradiente, así como del valor de la función objetivo, que se tenga en un punto dado, o más bien, gráficamente, el valor de 𝑐 será tal, en cada iteración, que permita un camino corto entre el punto 𝐴 inicial y el punto óptimo. 1.4 EXTENSIONES DEL FLUJO OPTIMO DE POTENCIA, COMPARADAS CON EL FLUJO DE POTENCIA El flujo óptimo de potencia es la formulación del flujo dé potencia, optimizándolo en algún sentido. De esta definición es fácil comprender que el flujo de potencia es una parte constitutiva del flujo óptimo de potencia. En el presente trabajo, se ha tomado como funciones objetivo la minimización de costos de generación, la minimización de pérdidas, o ambos a la vez, pero el uso potencial del flujo óptimo de potencia es tan amplio que podemos, en general, decir que éste no ha sido extensivamente usado en la planificación y operación de sistemas eléctricos de potencia, puesto que además de 9


las tres funciones objetivo que se ha propuesto, puede haber muchas más, como la minimización de costos de compensación reactiva, desviación de voltaje y sobrecargas, etc. Como se verá más adelante, en el algoritmo de solución, para resolver el flujo óptimo de potencia, necesitamos de dos partes, fundamentalmente: - El flujo de potencia. - Proceso de optimización. Desde este punto de vista, veamos que extensiones tiene el flujo óptimo de potencia, comparándolo con el flujo de potencia. 1. En la introducción de datos. - Generalmente, los datos que se necesitan para correr un flujo de potencia son las potencias de carga, activa y reactiva en las barras de carga, potencia activa y magnitud de voltaje en las barras PV, el voltaje, en magnitud y ángulo en la barra oscilante. A más de esto, se introducen como datos, los valores estimados de las componentes del vector de estado, para tener un punto inicial, a partir del cual se obtendrá la solución del flujo de potencia. Para un flujo óptimo de potencia, dependiendo de lo que se desee optimizar, a más de estos datos serán necesarios otros, tales como los límites máximos y mínimos de las magnitudes de voltaje en las barras PV; los límites máximos y mínimos de las potencias activas de generación, en las barras PV, asociadas a generadores; los límites máximo y mínimo de la magnitud de voltaje, en la barra oscilante; las posiciones iniciales y los límites máximos y mínimos de los taps en transformadores con cambiadores de taps. Esto en cuanto a las restricciones de desigualdad sobre los parámetros de control. En cuanto a las restricciones funcionales, deberemos proporcionar además datos como los límites máximos y mínimos de las magnitudes de voltaje en las barras PQ; el ángulo máximo de desfasamiento angular entre dos barras interconectadas; los límites máximos y mínimos de las potencias reactivas de generación en las barras PV y de la barra oscilante. Además, si se desea realizar despacho económico o flujo optimo en general, se deberá proporcionar los coeficientes a, b y c de las funciones objetivo de cada una de las centrales generadoras. 2. En la modelación. - La modelación del sistema es casi igual para los dos casos. Difiere solamente en un punto, y éste es la modelación de taps en transformadores, los cuales, en el flujo de potencia son tomados como variables de estado mientras que en el flujo óptimo de potencia son tomados como variables de control, puesto que se requiere conocer la posición óptima de éstos para cumplir con la optimización deseada (minimización de pérdidas o flujo óptimo en general). 3. En el proceso de optimización. - Los puntos 1 y 2 se refieren en común para los dos casos, Mientras que el proceso de optimización lo tiene solamente el flujo óptimo de potencia. Este proceso requiere el conocimiento del Jacobiano de la última iteración del flujo de potencia como lo establece la ecuación (9), a partir del cual se podrá obtener el vector de los multiplicadores de Lagrange (𝜆̅). A partir de este vector y con la ayuda de la ecuación (10) podremos obtener el vector gradiente. Nótese que resolver la ecuación (10) implica el cálculo de la matriz [𝑑𝑔̅ ⁄𝑑𝑢̅], cuya dimensión dependerá de la optimización requerida, ya que como hemos visto, las variables de control no son iguales para los 3 casos y consecuentemente, la dimensión del vector 𝑢̅ variará para cada caso. El proceso de optimización requerirá además ̅ 𝑑𝑥̅ y 𝑑𝑓⁄ ̅ 𝑑𝑢̅ , los cuales con una extensión más, puesto que la obtención de los vectores 𝑑𝑓 ⁄ 10


de estos vectores tendrá su agrado de dificultad, cuánto más si consideramos las restricciones funcionales. Una vez obtenido el vector gradiente ∇𝑓𝑢 , el proceso de optimización verifica convergencia, con un criterio dado para el flujo óptimo de potencia. Si no sea satisfecho el criterio de convergencia, se corregirán los parámetros de control, y consecuentemente el vector 𝑦̅, teniéndose un nuevo estado para el cual se deberá correr un nuevo flujo de potencia. La corrección de los taps en los transformadores, se reflejará en la corrupción de la matriz de admitancia de barra. 4. En los resultados. - Los resultados que se dan en un flujo de potencia son los voltajes en magnitud y ángulo en todas las barras del sistema, el flujo de potencia por cada uno de los elementos y la potencia de pérdidas. En el flujo óptimo de potencia, puesto que son resultados de un proceso de optimización, tendremos los voltajes en magnitud y ángulo en todas las barras del sistema, las potencias activas de generación y la posición de los taps, que se hacen que la función objetivo tengo un valor mínimo. Si la función objetivo es minimizar Los costos de generación, entonces el costo encontrado será el mínimo; si la función objetivo es la minimización de perdidas entonces las perdidas, entonces, las perdidas encontradas serán las mínimas, y si la función objetivo conjuga las dos anteriores, entonces habremos obtenido el costo mínimo de generación y las pérdidas mínimas; con los valores óptimos de las variables de control 𝑢̅ que deberán ajustarse a dichos valores. 2. ALGORITMO PARA LA SOLUCIÓN DEL FLUJO ÓPTIMO DE POTENCIA. 2.1 MODELO SIN RESTRICCIONES DE DESIGUALDAD El modelo del problema de optimización sin restricciones de desigualdad, como se había visto antes, puede ser planteado como sigue: min 𝑓(𝑥 , 𝑢 ⃗ ) ⃗ 𝑢

Sujeto a las restricciones de igualdad: 𝑔(𝑥 , 𝑢 ⃗ , 𝑝) = 0 Lo cual puede ser resuelto mediante el método de optimización de los multiplicadores de Lagrange, al ampliar la función objetivo con las restricciones de igualdad: 𝐿(𝑥 , 𝑢 ⃗ , 𝑝) = 𝑓(𝑥 , 𝑢 ⃗ ) + 𝜆𝑇 𝑔(𝑥 , 𝑢 ⃗ , 𝑝) Esta función ampliada, en el mínimo debe cumplir con: ⃗ ,𝑝) 𝜕𝐿 (𝑥 ,𝑢 𝜕𝑥

=

⃗) ⃗ ,𝑝) 𝑇 𝜕𝑓 (𝑥 ,𝑢 𝜕𝑔⃗ (𝑥 ,𝑢 +( ) 𝜆 𝜕𝑥 𝜕𝑥

=0

⃗ ,𝑝) 𝜕𝐿 (𝑥 ,𝑢 𝜕𝑢

=

⃗) ⃗ ,𝑝) 𝑇 𝜕𝑓 (𝑥 ,𝑢 𝜕𝑔⃗ (𝑥 ,𝑢 +( ) 𝜆 𝜕𝑢 𝜕𝑢

=0

11


⃗) ⃗ ,𝑝,𝜆 𝐿 (𝑥 ,𝑢 𝜕𝜆

= 𝑔 (𝑥 , 𝑢 ⃗ , 𝑝) = 0

Que son las ecuaciones 𝜕𝐿 𝜕𝑥

=

𝜕𝑓 𝜕𝑥

+ ( )𝑇 𝜆 = 0

𝜕𝑔 𝜕𝑥

𝜕𝐿 𝜕𝑢

=

𝜕𝑓 𝜕𝑢

+ ( )𝑇 𝜆 = 0

𝜕𝐿 𝜕𝜆

= 𝑔 (𝑥 , 𝑢 ⃗ , 𝑝) = 0

𝜕𝑔 𝜕𝑢

Puesto que estas ecuaciones son no lineales, para su solución deberemos aplicar un método iterativo, para lo cual tomamos el método del gradiente. 2.1.1 Algoritmo de solución Una vez definidas las funciones objetivo y las variables de control para cada uno de los casos propuestos, para solucionar el proceso de optimización, el algoritmo de solución por el método del gradiente es el siguiente: a) Asumir un conjunto de variables de control, para formar el vector de control u. b) Encontrar una solución factible del flujo de potencia por el método de Newton Raphson formal. Con esto se obtendrá la matriz Jacobiano en el punto de solución, en forma factorizada c) Resolver la ecuación para obtener el vector (

⃗ ,𝑝) 𝑇 𝜕𝑔(𝑔⃗ (𝑥 ,𝑢 ) 𝜕𝑥

𝜆= −

⃗) 𝜕𝑓𝑔⃗ (𝑥 ,𝑢 𝜕𝑥

Cabe anotar en este punto que el vector X será obtenido mediante el proceso de bifactorización. El vector I será utilizado so lamen, te en la iteración que se está efectuando. d) Insertar el vector A Δ𝑓𝑢 =

⃗) ⃗ ,𝑝) 𝑇 𝜕𝑓𝑔⃗ (𝑥 ,𝑢 𝜕𝑔(𝑔⃗ (𝑥 ,𝑢 +( ) 𝜕𝑥 𝜕𝑥

𝜆

e) Verificación de convergencia: Si |Vfu| es suficientemente pequeño el mínimo ha sido alcanzado, de otra forma ir al paso f. f) Encontrar un nuevo valor para cada una de las variables de control: → (𝑛𝑢𝑒𝑣𝑜) =→ (𝑎𝑛𝑡𝑒𝑟𝑖𝑜𝑟) + Δ𝑢 𝑢

𝑢

Δ𝑢 = −𝑐Δ𝑓𝑢 El paso f es la parte crítica del algoritmo, ya que la corrección del vector ü puede ser hecha de algunas maneras, más o menos complicadas. Por otro lado, un valor de la constante c es válido solamente para un ciclo iterativo de optimización, puesto que no en todos los puntos factibles a los que se ha llegado se requiere de una misma corrección; por ejemplo» en el caso de dos dimensiones y en base a la siguiente figura tendríamos 12


El punto A y el punto B tienen un mismo valor para la función objetivo, y los dos son puntos factibles que pueden haber sido escogidos inicialmente. Para llegar a tener un valor f3, partiendo desde el punto As y recorriendo en la dirección negativa del gradiente, necesitamos una corrección – c1 Δf A, mientras que si partimos del punto B, se necesita una corrección - c2 Δf B, y por lo general se tendrá que c1 es diferente de c2 Igualmente, hay cambio en el valor de la constante c, entre iteración e iteración. Por esta razón el escoger un valor apropiado para esta constante resulta difícil puesto que no hay una forma matemática para hacerlo, y el escogimiento se torna empírico. Luego de muchas pruebas experimentales se recomienda el uso de la siguiente fórmula: 𝑁𝑈

1 𝑐= ∑ 𝑐𝑖 𝑁𝑈 𝑖=1

𝑐𝑖 =

𝑢𝑖 (𝑛𝑢𝑒𝑣𝑜 ) − 𝑢𝑖(𝑎𝑛𝑡𝑒𝑟𝑖𝑜𝑟) Δ𝑓𝑢𝑖 (𝑛𝑢𝑒𝑣𝑜 ) − Δ𝑓𝑢𝑖(𝑎𝑛𝑡𝑒𝑟𝑖𝑜𝑟)

Donde: ui: Componente i del vector u. Δfui: Componente i del vector Δfu. NU: Número de componentes del vector u. 2.1.2

Formación para flujo óptimo de potencia activa y reactiva. En este caso, la función objetivo las potencias de generación, excepto la de la barra oscilante, forman parte del vector de control, entonces para incluir la potencia de esta barra, haremos lo mismo que antes, con lo cual tendremos: ⃗) 𝜕𝑓𝑔⃗ (𝑥 ,𝑢 𝜕𝑢

=

𝜕𝑓3 𝜕𝑃𝑔1

.

𝜕𝑃𝑔1 𝜕𝑓𝑖 + 𝜕𝑢 𝜕𝑢

Donde: 𝑖 = 𝑀 + 2, … … , 𝑀 + 𝑆 − 𝑆𝑆 + 1 𝑓𝑖 = 𝑎𝑖 𝑃𝑔𝑖 2 + 𝑏𝑖 𝑃𝑔𝑖 + 𝑐𝑖 13


𝑓𝑖 = 𝑎1 𝑃𝑔1 2 + 𝑏1 𝑃𝑔1 + 𝑐1 2.1.3

Formación para flujo óptimo de potencia activa. Teniendo la función objetivo expresada por ecuación y puesto que el vector de control u está formado solo por las potencias activas de generación de las barras PV, no asociadas a condensadores sincrónicos, entonces la derivación será directa.

2.1.4

Formación para flujo óptimo de potencia reactiva. Puesto que en este caso, la función objetivo es la potencia activa necesita de la barra oscilante, y puesto que las variables de control son las magnitudes de voltaje de las barras PV, y los taps, entonces también en este caso se tendrá que la derivación es directa.

2.2 MODELO CON RESTRICCIONES DE DESIGUALDAD Al decir modelo con restricciones de desigualdad, nos referimos al modelo con restricciones de desigualdad sobre los parámetros de control. El restringir los parámetros de control significa reducir el espacio muy amplio de posibles soluciones, a un espacio más pequeño y a la vez técnicamente factibles. Para darnos una idea de lo que ocurre, representemos las restricciones de desigualdad en el caso de dos dimensiones En este caso, solo hemos restringido a una variable de control. La solución deberá estar dentro de estas restricciones, es decir que la solución debe ser tal que U1 debe estar entre U1 min y U2 max pudiendo U2 tomar cualquier valor.

Las restricciones de la expresión son manipuladas de modo que el algoritmo estudiado en la sección no envíe a los parámetros de control más allá de sus límites permisibles. Si cualquier Ui, componente del vector u, al corregirse con ΔUi, llega a tener un valor tal que exceda uno de sus límites, entonces Ui se colocará en el límite correspondiente: 𝑈𝑖 (𝑛𝑢𝑒𝑣𝑜) = 𝑈𝑖 max 𝑠𝑖 𝑢𝑖(𝑎𝑛𝑡𝑒𝑟𝑖𝑜𝑟) + Δ𝑢𝑖 > 𝑢𝑖 𝑚𝑎𝑥 𝑈𝑖 (𝑛𝑢𝑒𝑣𝑜) = 𝑈𝑖 min 𝑠𝑖 𝑢𝑖 (𝑎𝑛𝑡𝑒𝑟𝑖𝑜𝑟) + Δ𝑢𝑖 < 𝑢𝑖 𝑚𝑖𝑛 𝑈𝑖 (𝑛𝑢𝑒𝑣𝑜) = 𝑈 (𝑎𝑛𝑡𝑒𝑟𝑖𝑜𝑟 ) + Δ𝑢𝑖 𝑑𝑒 𝑐𝑢𝑎𝑙𝑞𝑢𝑖𝑒𝑟 𝑓𝑜𝑟𝑚𝑎.

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Esto implica que cuando una de las variables de control ha llegado a uno de sus límites, entonces el movimiento en la dirección del gradiente negativo ya no es precisamente en esa dirección; sino que seguirá a lo largo de la proyección del gradiente negativo sobre el límite alcanzado. Para entender claramente este concepto, grafiquemos para el caso de dos dimensiones.

Como vemos en la figura, a partir de un punto A de solución factible, el proceso de optimización mueve los valores de las variables de control a lo largo del gradiente negativo para llegar sucesivamente a B, C y D. En el punto D, el algoritmo de solución envía al punto E, pero la expresión hará que u tome el valor de su límite máximo, mientras que u si puede moverse libremente. Esto dará como resultado que la verdadera dirección del movimiento será de D a F, o si lo decimos de otras formas habrá movimiento en la dirección del gradiente negativo hasta el punto G, a partir del cual el movimiento se realizará a lo largo de la proyección del gradiente sobre el límite Ahora, no importa que un parámetro haya alcanzado un límite: su participación en el gradiente debe ser siempre tomada en cuenta, ya que en los siguientes ciclos iterativos puede salir del límite, hacia regiones no permitidas, o en el otro caso, volver a regiones en donde su valor esté dentro del rango permitido. Por otro lado, cuando hay restricciones de desigualdad sobre los parámetros de control, en el mínimo las componentes del vector gradiente Vfu deben cumplir con las siguientes condiciones: 𝜕𝐿 𝜕𝑢𝑖

= 0 𝑠𝑖 𝑢𝑖 𝑚𝑖𝑛 ≤ 𝑢𝑖 ≤ 𝑚𝑎𝑥

𝜕𝐿 𝜕𝑢𝑖

≤ 0 𝑠𝑖 𝑢𝑖 = 𝑢𝑖 𝑚𝑎𝑥

𝜕𝐿 𝜕𝑢𝑖

≥ 0 𝑠𝑖 𝑢𝑖 = 𝑢𝑖 𝑚𝑖𝑛

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APLICACIONES APLICACIÓN 1 La variación del costo de combustible para los dos grupos de una central es: 𝑑𝐹1 = 0.01 ∗ 𝑃1 + 2.2 𝑑𝑃1 𝑑𝐹2 = 0.012 ∗ 𝑃2 + 1.6 𝑑𝑃2 Ecuaciones donde F viene dado en dólares por hora y P en Megavatios .Si las dos unidades funcionan todo el tiempo y las cargas máxima y mínima de cada grupo son 125 y 25MW, representar 𝜆 , en dólares/MWh, en función de la salida de la central en Megavatios, para el costo más bajo de combustible, cuando la carga total varía desde 50 a 250 MW. Solución: Inicialmente, cuando la carga es de MW, los dos grupos funcionan al mínimo. En ese instante el grupo tendrá un 𝜆 igual a: 𝜆1 = 0.01 ∗ 25 + 2.2 = 2.45 y 𝜆2 = 0.012 ∗ 25 + 1.6 = 1.9 Luego, una carga adicional se añadirá al grupo 2 que tiene menor costo incremental hasta que: 0.012 ∗ 𝑃2 + 1.6 = 2.45 𝑃2 = 70.8 𝑀𝑊 La carga en ese instante será 𝑃𝑇 = 70.8 + 25 = 95.8 MW Una carga adicional se agrega a ambos grupos teniendo en cuenta que ambos deben tener el mismo valor de costo incremental (𝜆). 𝜆 es incrementado hasta que el grupo 2 alcanza su límite superior donde tiene el siguiente valor: 𝜆2 = 0.012 ∗ (125) + 1.6 = 3.1 Y la carga total es

𝑃𝑇 = 125 +

3.1−2.2 0.01

= 125 + 90 = 215

𝑃𝑇 = 215 MW Una carga adicional solo proviene del grupo 1 hasta llegar al límite de 125 MW y una carga total de 250MW, ósea, en este instante ambos grupos ha llegado a su límite. Se debe notar que cuando el grupo 2 legua a su límite superior su costo incremental permanece constante e igual a 3.1 A continuación presentamos una tabla donde se resumen los resultados.

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Central λ $/MWh 1.9 2.45 2.6 2.8 3 3.1 3.2 3.45

Grup N°1 25 25 40 60 80 90 100 125

Grup N°2 25 70.8 83 100 117 125 125 125

Central P1+P2 50 95.8 123 160 197 215 225 250

A continuación se muestra la representación gráfica del costo incremental en dólares/MWh en función de la salida de potencia total en MW

APLICACIÓN 2 Un pequeño parque generador está formado por tres grupos térmicos, cuyas curvas de coste por hora y límites de potencia son: 𝐶1 = 315 + 15.84 ∗ 𝑃1 + 0.003124 ∗ 𝑃1 2

300 ≤ 𝑃1 ≤ 900𝑀𝑊

𝐶2 = 170 + 15.70 ∗ 𝑃2 + 0.004880 ∗ 𝑃2 2

300 ≤ 𝑃2 ≤ 800𝑀𝑊

𝐶3 = 62 + 15.94 ∗ 𝑃3 + 0.009640 ∗ 𝑃3 2

100 ≤ 𝑃3 ≤ 400𝑀𝑊

Sabiendo que tienen que satisfacer una demanda de 1700MW. Resolver el despacho económico sin perdidas, determinando el coste incremental del sistema, el de cada grupo y el coste total de la generación

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𝜆1 = 15.84 + 0.006248 ∗ 𝑃1

𝜆2 = 15.70 + 0.009760 ∗ 𝑃2

𝜆3 = 15.94 + 0.019280 ∗ 𝑃3 Para determinar las potencias gen𝑒𝑟𝑎𝑑𝑎𝑠 𝑠𝑒 𝑡𝑖𝑒𝑛𝑒𝑛 3 𝑒𝑐𝑢𝑎𝑐𝑖𝑜𝑛𝑒𝑠 𝑐𝑜𝑛 3 𝑖𝑛𝑐ó𝑔𝑛𝑖𝑡𝑎𝑠: 15.84 + 0.006248 ∗ 𝑃1 = 15.7 + 0.009760 ∗ 𝑃2 15.84 + 0.006248 ∗ 𝑃1 = 15.94 + 0.019280 ∗ 𝑃3 𝑃1 + 𝑃2 + 𝑃3 = 1700𝑀𝑊 Cuya solución es: 𝑃1 = 860𝑀𝑊 𝑃2 = 565𝑀𝑊 𝑃3 = 275𝑀𝑊 Con todos los generadores dentro sus límites. El coste incremental del sistema será: 𝜆1 = 𝜆2 = 𝜆3 = 21.213 Los costes individuales se calculan sustituyendo en la función de costes la potencia entregada a cada generador: 𝐶1 = 16248 $/ℎ 𝐶2 = 10598 $/ℎ 𝐶3 = 5174 $/ℎ El coste total del sistema será la suma de los costes individuales 𝐶𝑇 = 32020 $/ℎ

APLICACIÓN 3 Los dos generadores del sistema eléctrico representados en la figura suministran una demanda de 1000MW en el nudo 4. Las curvas de coste de los dos generadores son las siguientes: 𝐶1 (𝑃𝐺1 ) = 250 + 4𝑃𝐺1 + 0.0010𝑃𝐺1 2 (S/.) /h

500 ≤ 𝑃𝐺1 ≤1500

𝐶3 (𝑃𝐺3 ) = 350 + 5𝑃𝐺3 + 0.0015𝑃𝐺3 2 (S/.) /h

300 ≤ 𝑃3 ≤1500

Determinar el despacho económico de ambos generadores mediante un flujo de carga óptimo en los siguientes casos 1. Sin considerar límites de potencia en las líneas 18


2. Imponiendo un límite sobre la potencia transportada por la línea 2-4 de 500MW 3. Las tensiones deben mantenerse en todo caso entre 0.95 y 1.05 en p.u.

Líneas (base 100MVA) j R X 2 0.0030 0.010 4 0.0050 0.050 3 0.0005 0.005 4 0.0010 0.005 4 0.0010 0.010

i 1 1 2 2 3

𝑉𝑖 p.u. 1.000 0.974 1.000 0.946

i 1 2 3 4

Ɵ𝑖 grados 0.000 -7.280 -8.020 -10.116

Nudos 𝑃𝐶 MW

𝑄𝐶 Mvar

1000

600

B 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0

𝑃𝐺 MW 1200

𝑄𝐺 Mvar 80

300

900

SOLUCION El despacho económico clásico de ambos generadores implica el siguiente reparto de potencias 𝐶𝐼1 = 𝐶𝐼2 = 𝜆 𝜆=

𝑑𝐹1 𝑑𝐶1 (𝑃𝐺1 ) = = 4 + 2 ∗ 0.0010𝑃𝐺1 𝑑𝑃1 𝑑𝑃𝐺1

𝜆=

𝑑𝐹2 𝑑𝐶2 (𝑃𝐺3 ) = = 5 + 2 ∗ 0.0015𝑃𝐺3 𝑑𝑃2 𝑑𝑃𝐺3 4 + 2 ∗ 0.0010𝑃𝐺1 = 5 + 2 ∗ 0.0015𝑃𝐺3 1000 = 𝑃𝐺1 + 𝑃𝐺2

𝑃𝐺1 = 800 y 𝑃𝐺2 = 200

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Con un coste marginal 𝜆 = 5.6 (S/. ) /MWh y un coste total de generación 5500(S/. ) /h Sin considerar limites sobre las potencias que transportan las líneas A partir de los parámetros de las líneas proporcionados en la tabla se obtiene la matriz de admitancias nodales 𝛾 ={ 29.503-111.545j -27.523+91.743j 0 -1.980+19.802j

-27.523+91.743j 85.786-482.071j -19.802+198.02 -38.461+192.308j

0 -19.802+198.02 29.703-297.03j -9.901+99.001j

-1.980+19.802j -38.461+192.308j -9.901+99.001j 50.343-311.120j

Eligiendo el nudo 1 como referencia para las fases Ɵ1 = 0 las ecuaciones del sistema son las siguientes

Donde las potencias generadas, tanto activas como reactivas, son variables a determinar y las potencias consumidas son las siguientes expresadas en p.u. 𝑃𝐶𝑇 = [0 0 0 10] 𝑄𝐶𝑇 = [0 0 0 6] Las tensiones nodales en modulo y fase excepto la fase del generador constituyen así mismo variables del problema que una vez conocidas permiten calcular cualquier otra magnitud del sistema eléctrico. Suma de coste de los generadores con 𝑃𝐺1 𝑦 𝑃𝐺1 expresados en p.u. respecto a 100MW 𝐶 = 250 + 4𝑃𝐺1 + 0.0010𝑃𝐺1 2 + 350 + 5𝑃𝐺3 + 0.0015𝑃𝐺3 2  

Potencia de los generadores 5 ≤ 𝑃𝐺1 ≤15 y 3 ≤ 𝑃3 ≤15 Tensiones 0.95 ≤ 𝑉𝑖 ≤1.05 i=1,2,3,4

El problema de optimización consiste en minimizar la suma de los costes de generación imponiendo las distintas ecuaciones de igualdad (ecuación del sistema) y de desigualdad (limites sobre las variables) Por el método iterativo lambda 𝜆1 = 𝜆2 =

𝑑𝐹1 = 4 + 2 ∗ 0.0010𝑃𝐺1 𝑑𝑃1

𝑑𝐹2 == 5 + 2 ∗ 0.0015𝑃𝐺3 𝑑𝑃2 20


1. Primera iteración Se elige con una cierta heurística lambda inicial 𝜆0 = 6 𝑃1 = 𝑃2 =

𝜆0 − 4 = 1000𝑀𝑊 0.002

𝜆0 − 5 = 333.333𝑀𝑊 0.003

𝑃𝑇 = 1000 + 333.333 = 1333.333

𝑒0 = 𝑃𝑇 − 𝑃𝐷 = 333.333

Existe un exceso de generación y como las potencias generadas son proporcionales a lambda. Es necesario reducir a lambda ejemplo 10% 𝜆1 = 𝜆0 − 0.1𝜆0 = 5.4 2. Segunda iteración Empleando las expresiones para calcular las potencias se tiene 𝜆0 − 4 = 700𝑀𝑊 0.002 𝜆0 − 5 𝑃2 = = 133.333𝑀𝑊 0.003 𝑃1 =

𝑃𝑇 = 700 + 133.333 = 833.333

𝑒0 = 𝑃𝑇 − 𝑃𝐷 = −166.667

Obteniendo dos lambdas se puede proyectar a una lambda mediante la siguiente expresión 𝜆𝑖+1 = 𝜆𝑖−1 − 𝜆𝑖+1 = 6 −

𝑒𝑖−1 (𝜆𝑖−1 − 𝜆𝑖 ) 𝑒𝑖−1 − 𝑒𝑖

333.333(6 − 5.4) = 5.6 333.333 − (−166.667)

3. Tercera iteración Las nuevas potencias son 𝜆0 − 4 = 800𝑀𝑊 0.002 𝜆0 − 5 𝑃2 = = 200𝑀𝑊 0.003 𝑃1 =

𝑃𝑇 = 800 + 200 = 1000

𝑒0 = 𝑃𝑇 − 𝑃𝐷 = 0

La solución óptima obtenida por el algoritmo de optimización no lineal se presenta

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Nudos i 1 2 3 4

𝑉𝑖 p.u. 1.000 1.028 1.050 1.012

Nudos Ɵ𝑖 grados 0.000 -4.812 -4.712 -7.277

𝑃𝐺 MW 696.5

𝑄𝐺 Mvar 79

327.6

727

El coste óptimo de generación resulta 𝐶1 (𝑃𝐺1 ) = 250 + 4𝑃𝐺1 + 0.0010𝑃𝐺1 2 (S/.) /h

500 ≤ 𝑃𝐺1 ≤1500

𝐶3 (𝑃𝐺3 ) = 350 + 5𝑃𝐺3 + 0.0015𝑃𝐺3 2 (S/.) /h

300 ≤ 𝑃3 ≤1500

𝐶1 (𝑃𝐺1 ) = 250 + 4 ∗ 696.5 + 0.0010 ∗ 696.52 𝐶3 (𝑃𝐺3 ) = 350 + 5327.6 + 0.0015 ∗ 327.62

El coste total es 𝐶3 (𝑃𝐺3 ) + 𝐶1 (𝑃𝐺1 ) = 5670 (S/.) /h Y las perdidas en el transporte es de 25MW Los multiplicadores de LaGrange asociados a las ecuaciones del sistema eléctrico proporcionan una información muy útil para cuantificar el coste de consumo según su localización en el sistema en este ejemplo, los valores de dichos multiplicadores de LaGrange, también conocidos como precios nodales son los siguientes. Ecuación 𝑷𝟏 𝑷𝟐 𝑷𝟑 𝑷𝟒

Precio nodal (S/.) /MWh 5.53 5.82 5.37 5.28

Ecuación 𝑄1 𝑄2 𝑄3 𝑄4

Precio nodal (S/.) /Mvarh 0.00 0.02 0.00 0.06

Puede observarse como los precios nodales proporcionan el coste de horario asociados al consumo de un MW o MVAR adicionales en cada nudo.

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CONCLUSIONES 

El flujo óptimo de potencia es una herramienta de suma importancia para poder lograr la Programación de la Operación con un nivel de seguridad aceptable mientras se optimiza una función objetivo, que puede ser costos de producción o pérdidas de transmisión.



Las aplicaciones para el flujo óptimo de potencia (activa o reactiva) como se mostró en esta investigación son numerosas, por lo que se podría, en el Sistema Eléctrico de Potencia, especificar diferentes políticas operativas, limitaciones en los equipos y requerimientos de seguridad, y analizar las diferentes implicaciones.



Con el mismo modelo de optimización planteado en este trabajo se puede incluir sin mayor complejidad, restricciones para modelar los taps de los transformadores, modelar los bancos de capacitores y cualquier otra restricción que se requiera analizar.



Una de las principales aplicaciones que se podría dar a este trabajo es el flujo óptimo de potencia en tiempo real. Debido a que los tiempos son considerablemente bajos (del orden de los 3 minutos).



El flujo óptimo de potencia puede servir como una metodología para poder retomar un nivel de operación seguro. Es decir, el sistema pasará a un estado de operación más seguro, en el caso que se registre una perturbación y los elementos del sistema se sobrecarguen o exista una violación en el nivel de voltaje.



En sistemas más grandes se tiene un problema con el tiempo de solución, pero se debe considerar que se está utilizando para la resolución del flujo de potencia, el método de Newton-Raphson completo. Para disminuir este tiempo, se podría plantear la resolución considerando el algoritmo desacoplado rápido para el flujo de potencia.

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BIBLIOGRAFÍA 1. J. Duncan Glover – Mulukuta S. Sarma – “Sistemas de Potencia Análisis y Diseño” – Thomson. España – 2003. 2. Antonio Gómez Expósito – “Sistemas eléctricos de potencia problema y ejercicios resueltos” – Prentice Hall – 2003. 3. Escuela Politécnica Nacional – “Flujo Óptimo de Potencia” – Quito, Ecuador. 4. Recursos por Internet, Google – “Operación Óptima de Sistemas de Potencia” – “Optimal Power Flow”.

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Flujo Optimo de Potencia

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