Flujo Optimo de Potencia

UNIVERSIDAD NACIONAL DEL CENTRO DEL PERU

Tabla T abla de contenido RESUMEN................. RESUMEN............................ ...................... ..................... ..................... ..................... ........................................... ................................. 2 INTRODUCCION:................ INTRODUCCION:.......................... ..................... ..................... ..................... ...................... ................................... ........................ 3 MARCO TEORICO:............... TEORICO:.......................... ..................... ..................... ..................... ............................................ .................................. 4 1. DESCRIPCION DESCRIPCION GENERA GENERA DE UNA UNA RED E!CTR E!CTRICA... ICA....... ........ ........... .............. ..............." ........" 2. E PRO#EMA PRO#EMA DE $U%OS $U%OS DE DE POTENCIA POTENCIA &PTIMO.... &PTIMO........ .......... .............. ............... ............' .....' 3. $ORMUACION $ORMUACION GENERA GENERA.... ........ ........ ........ ........ ........ ........ ........ ........ ......... ............ ............... ............... ..............( .......( 3.1. Re Re)t*icc )t*iccione) ione) de de)i+,aldad. de)i+,aldad..... ........ ........ ........ ........ ........ ........ ........... ............... ............... ...........1....13.2. Tie/o) Tie/o) 0nio) 0nio) de encendido encendido  a/a+ado.. a/a+ado...... ........ ........ ........ ........ ........ ............11 ........11 3.3. 0ite) 0ite) de de elocidad elocidad de cabio cabio de +ene*ac +ene*acin.... in........ ........ ........ ........... ............11 .....11 3.4. 0ite) 0ite) de ,5o) ,5o) en la) la) *aa)..... *aa)......... ........ ........ ........ ........ ......... ............ ............... ............... .........12 ..12 3.6. Pe*7le) Pe*7le) de olta5e.... olta5e........ ........ ........ ........ ........ ........ ........ ........ ........ ........ ........ ........... .............. .............. ...........12 ....12 3.". 0ite) 0ite) de la /o)icin /o)icin de ta/)...... ta/).......... ........ ........ ........ ........... .............. ............... ............... ..........13 ...13 4. $ORMUACION MATEMA MATEMATICA:....... TICA:.................. ..................... ..................... .................................... .........................13 13 ". AGORITMO AGORITMO DE $U%O $U%O DE POTENCIA.. POTENCIA...... ........ ........ ........ ........ ........ ........ ........ ........ ........ ........ .........16 .....16 '. RESTRICCIO RESTRICCIONES NES DE SEGURIDAD. SEGURIDAD..... ........ ........ ........ ........ ........ ........ ........ ........ ......... ............ .............. ........1( .1( (. M8todo del +*adiente +*adiente *ed,cido *ed,cido a/licado a/licado al de)/ac9o de)/ac9o de *eactio)....1 *eactio)....1 . $,ncin $,ncin ob5etio.................... ob5etio............................... ..................... ..................... ..................... ..................... .................... .........221-. E%ERCICIOS E%ERCICIOS RESUETOS.......... RESUETOS.................... ..................... ..................... ..................... .............................. ................... 2CONCUSIONES....... CONCUSIONES.................. ..................... ..................... ..................... ..................... ..................... ................................ ...................... 2( #I#IOGRA$;A.......... #I#IOGRA$;A..................... ..................... ..................... ..................... ..................... ..................... ................................ ...................... 2

FACUL ACULT TAD DE INGERIERIA INGERIE RIA ELECTRICA ELEC TRICA Y ELECTRONI ELE CTRONICA CA


RESUMEN El presente trabajo enfoca el flujo óptimo de potencia en general con las que son variables de estado, de la formulación de las funciones objetivo, y la técnica del gradiente reducido a optimización. El punto de operación de un SEP se obtiene cuando las variables de control toman valores reales que permiten la función objetivo planteado, tenga su valor máimo o más cercano a este. Se presentan luego ejercicios desarrollados sobre las fórmulas matemáticas desarrolladas y con el método de la gradiente.



INTRODUCCION: !os sistemas eléctricos de potencia "an eperimentado un crecimiento en sus tres tres sect sector ores es## gene genera raci ción ón,, tran transm smis isió ión n y dist distrib ribuc ució ión. n. En el pasa pasado do,, los los sistemas de transmisión se caracterizaban por un bajo grado de interconeión, de aqu$ que era una tarea fácil el reparto de la carga entre varios generadores. El incremento en la demanda y la complejidad operacional "an introducido mayores dificultades en la operación de las redes eléctricas, lo que "a vuelto imprá impráct ctic ico o dete determ rmin inar ar las las estr estrat ateg egia iass apro apropi piad adas as de oper operac ació ión n basa basada dass %nic %nicam amen ente te en la epe eperi rien enci cia a de los oper operad ador ores es.. Se adop adopta taro ron n nuev nuevos os conceptos basados en aspectos económicos. &arpentier formula por primera vez en '()* la estrategia como un problema de optimización no lineal, y son +ommel y inney quienes lo denominaron flujos de potencia óptima -P/0. Se "an desarrollado desde entonces varias técnicas para la solución de un P/ que permiten una planificación y operación segura de un sistema de potencia!a aplicación de técnicas de optimización a los problemas de planificación y operación de SEP, como lo es /P, es una activa área de investigación. +e esta forma, /P puede ser visto como un término genérico que describe una amplia gama de clases de problemas en los cuales se busca optimizar una función objetivo espec$fico, sujeto a restricciones que representan los balances de potencia activa y reactiva en los nodos de la red, en función de las tensiones y ángulos de las barras. +os objetivos básicos se deben cumplir en la operación de un sistema eléctrico de potencia# 1segurar una operación segura y encontrar un punto de operación económico. En un mercado reestructurado la seguridad está medida por la utilización de los diferentes dispositivos del sistema de potencia dentro de los parámetros de seguridad. !a operación económica significa reducir los costos por la utilización de la energ$a eléctrica, esto incluye los costos de producción, transporte y consumo. 1 pesar de que los costos de transporte de la energ$a eléc eléctr tric ica a "aci "acia a los los cent centro ross de cons consum umo, o, podr podr$a $a repr repres esen enta tarr un pequ peque2 e2o o porcentaje de los gastos totales de operación, la red de transporte es una parte importante en mercados eléctricos reestructurados donde los costos pueden influi influirr en decisi decisione oness import important antes es como como la locali localizac zación ión de nuevo nuevoss recurs recursos os -instalaci -instalación ón de generado generadores0, res0, epansión epansión o reforzamien reforzamiento to del sistema. sistema. Esta variable es particularmente importante en pa$ses con un alto crecimiento en el consumo de energ$a eléctrica y en donde sus centros de producción de la energ$a se encuentra alejados de los de consumo -como es el caso de la gene genera raci ción ón "idr "idroe oelé léct ctri rica ca0, 0, lo que que orig origin ina a que que los los cost costos os de tran transm smis isió ión n FACUL ACULT TAD DE INGERIERIA INGERIE RIA ELECTRICA ELEC TRICA Y ELECTRONI ELE CTRONICA CA


representen una parte significativa del costo total de la energ$a eléctrica, de aqu$ aqu$ la nece necesi sida dad d de esta establ blec ecer er un esqu esquem ema a adec adecua uado do de prec precio ioss de transmisión en el problema de P/.



MARCO TEORICO: /P es un problema que fue definido en los principios del a2o '()3 como una etensión del problema de despac"o económico de carga convencional, que se utiliza para la determinación óptima de las variables de control en un SEP, considerando variadas restricciones. /P, en su formulación general, es un problema de optimización con función objetivo y restricciones no lineales, que representa la operación en estado estacionario del sistema eléctrico. Eisten dos grandes grupos de modelos para representar el /P -4lavitc" y 5ac"er, '(('0#6 7odelos de tipo 1# aquellos que utilizan como n%cleo de cálculo un algoritmo de flujo de potencia clásico que es llamado por un proceso de optimización eterno. Este grupo de algoritmos elabora sucesivamente puntos de entrada al programa de flujo de potencia, orientándolo "acia soluciones que minimizan la función objetivo especificado. 6 7odelos de tipo 5# aquellos que modelan el problema de /P como un problema de optimización global. !as variables del sistema son optimizadas simultáneamente y las ecuaciones de flujo corresponden a restricciones adicionales del problema de optimización. Eisten variadas funciones objetivos que puede considerar un modelo /P, entre las cuales se pueden mencionar -8istanovic, '(()0#    

7inimización de los costos por generación de potencia activa, 7inimización de pérdidas de potencia activa, 7inimización del cambio en las variables de control, 7inimización de la potencia no servida, etc.

9na gran variedad de técnicas de optimización "an sido aplicadas para resolver /P-7omo" y El:;a
Programación lineal. =ersiones "$bridas de programación lineal y programación entera. 7étodos de punto interior. Programación no lineal. • Programación cuadrática. • Soluciones basadas en condiciones de >e
!os métodos de programación no lineal ->!P, >on:!inear Programming0 tratan problemas que involucran restricciones y función objetivo no lineal. !as restricciones pueden ser de igualdad o desigualdad -5azaraa, '((?0.Por su parte, la Programación &uadrática -en adelante @P, @uadratic Programming0 FACULTAD DE INGERIERIA ELECTRICA Y ELECTRONICA


es un caso especial de programación no lineal, donde la función objetivo es cuadrática y las restricciones son lineales -5azaraa, '((?0.

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!as soluciones basadas en condiciones de >ee!P demandan demasiados recursos computacionales -Dolsey, '((0. !os métodos de punto interior, introducidos por AarmarBar, se "an comenzado a popularizar, debido a que se "a podido demostrar que -"asta el momento0 es el %nico algoritmo polinomio para resolver problemas de !P. &abe mencionar que se "a encontrado un ejemplo para el cual Simple no es polinomial, es el conocido problema del cubo de 7inty, para el cual Simple recorre todos los vértices del pol$topo de restricciones antes de llegar al óptimo ->em"auser y Dolsey, '((F0. /tro aspecto importante a considerar en las implementaciones de /P, es aquel que se refiere al tiempo de ejecución del mismo. En &"ile, ante el inminente cambio en la !ey Eléctrica, la tendencia es implementar una bolsa de energ$a, la cual podr$a tener como motor de funcionamiento un /P. En la literatura -7omo" y El:;a


1. DESCRIPCION GENERA DE UNA RED E!CTRICA En esta sección se describen las redes eléctricas que representan a los SEP y se detallan los elementos componentes de las redes que participan en la formulación del /P, a través de parámetros y variables de optimización. !as redes eléctricas se basan en la interconeión entre generadores y consumos, a través de l$neas de transmisión y transformadores, con el fin de abastecer las cargas y brindar una calidad de suministro adecuadaG en sentido de proporcionar confiabilidad a la red a través de la conformación de una red enmallada. !a generación de energ$a eléctrica, se realiza principalmente a través de la conversión de energ$a mecánica en eléctrica. En el SC& coeisten tres tipos principales de tecnolog$as para generar energ$a eléctrica#  4eneración ;idroeléctrica,  4eneración érmica &onvencional,  4eneración érmica de &iclo &ombinado.

!a generación "idroeléctrica se basa predominantemente en la conversión de la energ$a potencial que posee el agua acumulada en embalses. El agua, conducida a través de tuber$as, es aprovec"ada para mover turbinas, en las cuales se genera la energ$a eléctrica. !a generación térmica convencional se basa, en la utilización de alg%n combustible fósil, para permitir el movimiento de las turbinas a vapor o gas y la consecuente generación de energ$a eléctrica. !a generación térmica de ciclo combinado se basa en la combinación de una turbina a gas, cuyo calor ecedente es aprovec"ado en una turbina a vapor, incrementándose en forma importante la eficiencia del proceso. Eisten otros tipos de generación, además de los anteriores, como la generación nuclear, la Eólica, solar y celdas de combustible entre otras. Sin embargo, el SC& está compuesto principalmente por generación de los primeros tres tipos. Para efectos del este trabajo, se considera que una red eléctrica está compuesta principalmente por los siguientes seis elementos# barras o nodos de la red, cargas o consumos, generadores, l$neas de transmisión, transformadores y equipos 1&S S=&. 9na barra permite la interconeión de componentes eléctricas, representa un nodo de un SEP. Su parámetro más importante es el tensión, representado por su magnitud H=H y ángulo <, éstas son variables de estado para /P .!as cargas o consumos, son las demandas por potencia de los usuarios de la red eléctrica. Estas demandas serán, en nuestro caso, datos para /P. Son representadas por P! y @!, siendo P! la potencia activa y @! la potencia reactiva demandada por una carga. !as cargas se conectan a una barra espec$fica. 9n generador corresponde a una máquina eléctrica que es capaz de inyectar potencia -activa P y reactiva @0 a la red, con el fin de abastecer los consumos. FACULTAD DE INGERIERIA ELECTRICA Y ELECTRONICA


Sus parámetros son P4 y @4 y son variables a optimizar por /P. Este elemento posee rangos de operación determinados por caracter$sticas propias de cada máquina y determinarán restricciones para /P. !as l$neas de transmisión y transformadores, son los encargados de transmitir la potencia entre los nodos o barras de la red eléctrica. Sus parámetros están resumidos en una matriz compleja denominada matriz admitancia nodal IJK, la cual representa las admitancias entre los nodos de la red, a partir de un modelo PC asociado a cada l$nea de transmisión o transformador. !os transformadores, son elementos que tienen la capacidad de transformar tensiones alternas. 1demás, pueden cambiar su razón de transformación a través de los denominados taps, que dependiendo del tipo de transformador, pueden ser manipulados de distintas formas por los operadores de la red. En el presente estudio se modelan los taps de los transformadores como variables de optimización continuas e inciden directamente sobre la matriz de admitancia. El flujo de potencia óptimo consiste en despac"ar una serie de generadores para satisfacer una demanda dada teniendo en cuenta las restricciones del sistema y "aciéndolo al menor costo posible. !a solución general de un /P consiste en minimizar o maimizar una función objetivo sujeta a restricciones de igualdad y desigualdad. !a función objetivo puede tomar diferentes formas dependiendo del propósito del /P. 1lgunos ejemplos de función objetivo incluye la minimización de un parámetro como las pérdidas del sistema, el costo de operación y emisiones. /tras formas de función objetivo pueden contemplar la maimización de un parámetro como el beneficio social neto. El problema de flujo de potencia óptimo se puede abordar usando un modelo simplificado de la red, lo cual da origen a un flujo de potencia óptimo dc. El modelo dc de la red se obtiene ignorando las perdidas y linealizando las ecuaciones de flujo de potencia. Este modelo simplificado nació a partir de los trabajos de stott y alssac en /P con restricciones de seguridad. Para resolver un +&/P se puede utilizar técnicas de programación lineal o programación cuadrática.

2. E PRO#EMA DE $U%OS DE POTENCIA &PTIMO 9n estudio de flujos de potencia óptimo es utilizado ampliamente en la industria eléctrica para diferentes aplicaciones, que van desde estudios de planeación "asta operación de los sistemas. El principal objetivo de un P/ es optimizar las condiciones de operación en estado estacionario de un sistema eléctrico de potencia. 9n P/ ajusta las cantidades controlables para optimizar una función objetivo mientras satisface un conjunto de restricciones operativas. FACULTAD DE INGERIERIA ELECTRICA Y ELECTRONICA


9na función objetivo puede incorporar aspectos económicos, de seguridad o medioambientales, que se resuelve utilizando técnicas de optimización adecuadas. !as restricciones son leyes f$sicas que gobiernan a los generadores, el sistema de transmisión, l$mites constructivos de los equipos eléctricos y estrategias operativas. Esta clase de problema es epresado como un problema de programación no lineal, con la función objetivo epresada como una función no lineal, y las restricciones epresadas como ecuaciones lineales y no lineales. En el P/ convencional no se consideran restricciones de diferencias angulares. Sin embargo, el sistema que está operando en un estado determinado por el P/ puede no preservar la estabilidad transitoria cuando el sistema eperimenta una contingencia. &omo los nuevos mercados eléctricos están inmersos en medios competitivos, y el costo por pérdidas de sincronismo como resultado de una inestabilidad transitoria es muy alto, se "a vuelto un aspecto importante a considerar en la operación y planeación de las redes eléctricas, por lo que en los %ltimos a2os se "a visto la necesidad de incluir tales aspectos dentro del problema de flujos de potencia óptimo.

3. $ORMUACION GENERA Se "an considerado varias funciones objetivo en un P/, pero la que más frecuentemente se usa toma en cuenta los costos de generación, la que refleja aspectos económicos del sistema de potencia. +e aqu$ que la formulación matemática del P/ se enfoca en minimizar el costo de generación de potencia activa por un ajuste adecuado de las variables de control. +e forma general, el P/ puede ser formulado como un problema de optimización no lineal con restricciones, que matemáticamente se epresa como# 7in f- ,u0 s. a. "-,u0 L 3 y g-,u0 M3 -*.'0 donde, =8n' es un vector de n' variables de estado, u =8n* es un vector de n* variables de control, f-,u0 es la función objetivo, "-,u0L3, representa r restricciones de igualdad, g-,u0 representa m restricciones de desigualdad, que consideran los l$mites operativos de las variables de control y las restricciones operativas. =ariables FACULTAD DE INGERIERIA ELECTRICA Y ELECTRONICA


!as variables que pueden ser ajustadas con el fin de encontrar la solución óptima y satisfacer las restricciones se denominan variables de control. !as variables de control pueden incluir#



 !a potencia activa asignada a las unidades de generación.  !a potencia reactiva asignada a las unidades de generación.  7agnitud de voltaje de los nodos de generación.  Posición del tap de los transformadores.  Nngulo de los transformadores cambiadores de fase.  Potencia reactiva de los condensadores s$ncronos.  Potencia reactiva de un compensador de reactivos.  7agnitud de interrupción de carga.  Parámetros de control de los dispositivos 1&S.

!as variables de control pueden tomar valores continuos dentro de sus l$mites operativos -como es el caso de la generación de potencia activa de los generadores0, o valores discretos -por ejemplo la posición del tap de un transformador0. !as variables que se calculan a partir de las variables de control se denominan variables de estado -o dependientes0. !as principales variables de estado son#  !a potencia en el nodo slacB,  7agnitud de voltaje en los nodos de carga.  Potencia reactiva asignada a los generadores.  Nngulo de fase de todos los nodos -ecepto el slacB0.  lujos de potencia en la red de transmisión.

El costo de generación de potencia activa se emplea ampliamente como función objetivo en un P/. 8estricciones de igualdad# !as restricciones de igualdad son t$picamente las ecuaciones de balance de carga, las que se obtienen al imponer una restricción de balance de potencia activa y reactiva en todos los nodos del sistema. En un punto de operación en estado estable, la potencia generada debe ser tal que sea suficiente para cubrir la demanda más las pérdidas en la red. !as ecuaciones de balance consideran un punto de equilibrio de potencia activa y reactiva que debe satisfacer cada una de los nodos#

+onde, es el n%mero de nodos del sistema de potencia ecepto el nodo slacBG son todos los nodos del sistema de potenciaG P4i y @4i son la potencia activa y FACULTAD DE INGERIERIA ELECTRICA Y ELECTRONICA


reactiva de generación programada para el i:ésimo generador, respectivamenteG P+i y @+i son la potencia activa y reactiva, respectivamente, de la carga conectada en el i:ésimo nodo. y son la potencia activa y reactiva, respectivamente, inyectada en el i:ésimo nodo. !a igura *.' muestra un diagrama unifilar de un nodo que incluye generación, carga, y l$neas de transmisión.

3.1. Re)t*iccione) de de)i+,aldad !as restricciones de desigualdad consideran los l$mites que deben satisfacer las variables de control y estado. Estas restricciones reflejan los l$mites operativos impuestos a los dispositivos y al sistema eléctrico de potencia. !as principales restricciones de desigualdad consideradas en un P/ son# •

!$mites de potencia activa y reactiva de generación.: !a potencia activa y reactiva asignada a las unidades de generación deben estar dentro de l$mites de operación. Esta restricción refleja los l$mites operativos y térmicos que un generador debe satisfacerG se les modela por -*.O0.

donde, P4i7C> y P4i71Q son los l$mites de potencia activa m$nima y máima, respectivamente, para el i:ésimo generadorG @4i7C> y @4i71Q son los l$mites de potencia reactiva m$nima y máima, respectivamente, para el i:ésimo generador. FACULTAD DE INGERIERIA ELECTRICA Y ELECTRONICA




3.2. Tie/o) 0nio) de encendido  a/a+ado. &uando un generador cambia de estado, por motivos operativos y térmicos debe satisfacer restricciones de un tiempo m$nimo que la unidad debe permanecer en su nuevo estado. +e aqu$# donde#

/> imei 8epresenta el tiempo que la i:ésima unidad "a permanecido encendida. / imei 8epresenta el tiempo que la i:ésima unidad "a permanecido apagada. /> ime7C>,i Es el tiempo m$nimo que la i:ésima unidad debe permanecer encendida antes de poder ser apagada nuevamente. / ime7C>,i Es el tiempo m$nimo que la i:ésima unidad debe permanecer apagada antes de poder ser encendida nuevamente.

3.3. 0ite) de elocidad de cabio de +ene*acin. !os generadores deben ser capaces de pasar a un nuevo valor de generación en un per$odo corto de tiempo. Sin embargo, si los generadores son unidades grandes, por limitantes térmicas, éstas no serán capaces de modificar la generación de potencia activa por encima de un valor denominado Rvelocidad de cambio de generación. Esta caracter$stica de los generadores requiere la inclusión de restricciones que consideren este aspecto. Por lo tanto, cada unidad térmica debe obedecer a un l$mite en la velocidad de cambio de generación de tal manera que#





donde#

3.4. 0ite) de ,5o) en la) *aa) .&on la finalidad de mantener la seguridad en los sistemas de potencia, los enlaces -l$neas o transformadores0 no deben ser sobrecargados. Por lo tanto, es necesario definir l$mites para todas las ramas -o para un grupo de ellas0. Estos l$mites pueden deberse a restricciones térmicas de los equipos o por consideraciones de seguridad del sistema. !os l$mites de los flujos se pueden formular como#

donde, !/Dm,n71Q representa el máimo flujo de potencia activa permitido en la rama que conecta los nodos m y n.

3.6. Pe*7le) de olta5e +ebido a que el voltaje en los nodos es uno de los criterios de seguridad e $ndice de calidad de servicio más importante, incluir una restricción que mejore el perfil de voltaje de los nodos de carga del sistema es un aspecto importante a ser considerado en el problema de optimización. !os voltajes en los nodos de generación son constantes, mientras que el nivel de voltaje en los nodos de carga debe mantenerse muy cercano a un voltaje de referencia. 7atemáticamente esta restricción se puede definir mediante#

donde, =i, representa la magnitud de voltaje en el i:ésimo nodo de carga, =ref, representa la magnitud de voltaje de referencia, en general definido como =ref L '.3 p.u. FACULTAD DE INGERIERIA ELECTRICA Y ELECTRONICA




3.". 0ite) de la /o)icin de ta/). !os transformadores con cambiador de derivaciones son utilizados como dispositivos para el control de la magnitud de voltaje -y como resultado de esto el control del flujo de potencia reactiva0. Estos transformadores están restringidos por valores del cambiador de tap dentro de l$mites m$nimos y máimos.

donde api, es la posición en la que se encuentra el i:ésimo tap del transformadorG api7C> y api71Q, son la posición m$nima y máima, respectivamente, permitida para el i:ésimo transformador. /tras restricciones que pueden ser incluidas en un P/ son##     

!$mites del cambiador de fase de un transformador. !$mites de las variables de control de los dispositivos 1&S. !$mites de compensación de potencia reactiva. 8equerimientos de reserva rodante. !$mites de emisión de contaminantes al medio.

4. $ORMUACION MATEMATICA: a) ec,acione) /a*a el c>lc,lo de ,5o de ca*+a e)t>n dada) /o* ?1@  ?2@

En e)te ca)o lo) alo*e) calc,lado) de la) ineccione) de /otencia actia  Reactia e)t>n dado) /o* ?3@  ?4@.





Donde:

a) eB/*e)ione) /a*a lo) alo*e) neto) de /otencia) actia  *eactia en la) #a**a) e)t>n dada) /o* ?6@  ?"@

Donde:

Cada nodo e) ca*acte*iado /o* c,at*o a*iable): /otencia) actia  *eactia neta) a+nit,d de olta5e  An+,lo. En cada nodo do) de e)ta) a*iable) )on e)/eci7cada)  do) )on de)conocida). De/endiendo de c,ale) a*iable) )on e)/eci7cada) la) ba**a) )e /,eden diidi* en t*e) ti/o): 1.

#a**a de *ee*encia: en e)ta ba**a la a+nit,d de olta5e  >n+,lo )on e)/eci7cado)  )e de)conocen la) /otencia) actia)  *eactia) neta).

2.

#a**a) PF: en e)ta) ba**a) lo) alo*e) de la) /otencia) actia  *eactia neta) )on e)/eci7cado)  )e de)conocen lo) alo*e) de la a+nit,d d ten)in  >n+,lo. No*alente )on conocida) coo ba**a) de ca*+a.

3.

#a**a) PFH: en e)ta) ba**a) el alo* de la /otencia actia neta  la a+nit,d del olta5e )on e)/eci7cado)  )e de)conocen la /otencia *eactia  el >n+,lo. No*alente )on conocida) coo ba**a) de +ene*acin.

El /*oblea de ,5o de /otencia con)i)te en calc,la* la) a+nit,de) de ten)in  lo) >n+,lo) /a*a cada ,na de la) ba**a). Una e e)to) alo*e) )on conocido) lo) alo*e) de /otencia) actia  *eactia de)conocida) )e /,eden encont*a* de o*a t*iial ediante ),)tit,cin en ?3@  ?4@. Sea BJ el ecto* de la) a*iable) de)conocida) H  K el 8todo de NeLton en o*a /ola* /a*a encont*a* el alo* del ecto* BJ e)t> dado /o* el al+o*ito: FACULTAD DE INGERIERIA ELECTRICA Y ELECTRONICA


1. Selecciona* ,n ne*o de ec,acione) de ?1@  ?2@ i+,al al ne*o de inc+nita) /a*a o*a* el ecto* +?B@J. En e)te ca)o /a*a la) ba**a) PF )e )eleccionan aba) ec,acione) dado ,e e) /o)ible calc,la* la) /otencia) actia)  *eactia) neta). Pa*a la) ba**a) PFH )olaente )e )elecciona la /*ie*a ec,acin /,e) no )e conoce la /otencia *eactia neta. 2.



3. A)i+na* ,n alo* inicial /a*a la) a+nit,de) de ten)in  lo) >n+,lo). No*alente )e ,tilia ,n inicio /lano a)i+nando ,n alo* inicial de ,no en /o* ,nidad /a*a toda) la) ten)ione)  ce*o /a*a lo) >n+,lo). 4. Calc,la* lo) n,eo) alo*e) de /otencia) actia)  *eactia) inectada) ,tiliando ?3@  ?4@  co/a*a*lo) con lo) alo*e) neto) en ?1@  ?2@. Si e)ta) ,ltia) ec,acione) )e c,/len dent*o de dete*inada tole*ancia e)/eci7cada entonce) /a*e de lo cont*a*io contine al /a)o 4. 6. Enc,ent*e ,n n,eo con5,nto de olta5e)  >n+,lo) *e)oliendo ?'@  (@. Re+*e)e al /a)o 3 ,tiliando lo) n,eo) alo*e) de olta5e)  >n+,lo) encont*ado).

En ?'@ la de*iada /a*cial de +?B@ *e)/ecto a B e) conocida coo at*i %acobiana  ), e)t*,ct,*a e)t> dada /o*

Donde:

". AGORITMO DE $U%O DE POTENCIA Pa*a iniia* la) /e*dida) la ,ncin ob5etio ,tiliada e) la /otencia ent*e+ada /o* la ba**a de *ee*encia. En el c>lc,lo de ,5o de ca*+a no )e e)/eci7ca la /otencia +ene*ada /o* la ba**a de *ee*encia. E)to )e da debido a ,e e)ta ba**a e) la enca*+ada de ),/li* la) /8*dida) del )i)tea. Con)ec,enteente al iniia* la /otencia ent*e+ada /o* la ba**a de *ee*encia )e e)t>n iniiando a la e la) /8*dida) de /otencia actia) del )i)tea. Si la) /otencia) neta) )on antenida) con)tante) e)te /*ocediiento e) llaado ,5o /tio de *eactio). El /*oblea de o/tiiacin ),5eto )olaente a la) ec,acione) de ,5o de ca*+a del )i)tea e)t> dado /o*:





En e)e ca)o )e 9an incl,ido en la o*,lacion la) a*iable) de cont*ol ,. E)ta) )on a*iable) ,e /,eden )e* a5,)tada) )in alte*a* la) *e)t*iccione) de i+,alad. TQ/icaente e)ta) a*iable) *e/*e)entan la) a+nit,de) de ten)ione) en la) ba**a) de +ene*acion la) c,ale) /,eden )e* a5,)tada) a ,n alo* 75o. El /*oblea con)i)te entonce) en a5,)ta* e)to) /a*aet*o) de cont*ol de odo ,e )e iniicen la) /e*dida) del )i)tea. U)ando el etodo de o/tiiacion cla)ico de lo) ,lti/licado*e) de a+*an+e el Qnio de la ,ncion ob5etio ),5eta a la) *e)t*iccione) de i+,aldad )e /,ede encont*a* int*od,ciendo ,na a*iable a,Bilia*  /a*a cada *e)t*iccion  iniiando la ,ncion la+*an+eana i**e)t*icta.

Al a/lica* la) condicione) de o/tialidad de a*,)9 ,9nFT,ce* )e obtiene el )i+,iente )i)tea:

Se /,eden 9ace* a*ia) ob)e*acione) a e)te )i)tea de ec,acione): 1. En ?11@ a/a*ece la at*i %acobiana t*an)/,e)ta la c,al ,e de7nida en ?@  ,eda di)/onible de)/,8) de co**e* ,n ,5o de ca*+a /o* el 8todo de NeLton. 2. En ?13@ a/a*ecen la) ec,acione) de ,5o de ca*+a o )ea la) *e)t*iccione) de i+,aldad del /*oblea de iniiacin eB/*e)ado en ?1-@. 3. Pa*a c,al,ie* ,5o de ca*+a actible ?13@ e) )ati)ec9a. 4. a de*iada /a*cial de la ,ncin ob5etio *e)/ecto a lo) /a*>et*o) de cont*ol e) conocida coo el +*adiente. El ecto* +*adiente indica la di*eccin de >Bio c*eciiento de la ,ncin ob5etio. En e)te ca)o el +*adiente e) el t8*ino del lado de*ec9o de ?12@. 6. a) eB/*e)ione) ?11@ ?12@  ?13@ )on no lineale)  )olaente )e /,eden *e)ole* ediante ,n 8todo ite*atio. Una o*a de *e)ole* FACULTAD DE INGERIERIA ELECTRICA Y ELECTRONICA


e)te )i)tea de ec,acione) e) ediante el 8todo del +*adiente. E)te 8todo con)i)te en /a*ti* de ,n /,nto actible en di*eccin cont*a*ia al +*adiente  lle+a* a ,n n,eo /,nto actible con ,n alo* de ". $,ncin ob5etio eno*. Re/itiendo e)te ti/o de oiiento eent,alente )e lle+a al o/tio. El al+o*ito de )ol,cin /a*a el 8todo del +*adiente e): a. b.

A),a alo*e) iniciale) /a*a la) a*iable) de cont*ol ,J. Enc,ent*e ,na )ol,cin /a*a el ,5o de /otencia ,)ando el 8todo de NeLton. En e)te ca)o la at*i %acobiana ,eda di)/onible.


UNIVERSIDAD NACIONAL DEL CENTRO DEL PERU c.

Re),ela ?14@ /a*a encont*a* lo) alo*e) de J.

d.

Utilice lo) alo*e) de J /a*a calc,la* el +*adiente. El +*adiente ide la )en)ibilidad de la ,ncin ob5etio *e)/ecto a lo) cabio) en la) a*iable) de cont*ol ,J ),5eta a la) *e)t*iccione) de i+,aldad +?B ,@J  -.

e.

Calc,la* ,na di*eccin actible dJ ,)ando ?16@. Si la no*a de la di*eccin actible e) eno* a ,na tole*ancia e)/eci7cada entonce) /a*e.

f.

Calc,la* ,n /a)o  act,alia* lo) alo*e) de ,J de)/la>ndo)e a lo la*+o de la di*eccin actible

Donde

a /a*te c*0tica del al+o*ito )e enc,ent*a en el /a)o ". El alo* de indica el taaVo del /a)o ,e debe da* el al+o*ito en di*eccin cont*a*ia al +*adiente. Un alo* de c , /e,eVo a)e+,*a la cone*+encia /e*o 9a*> ,e el al+o*ito /*eci)e de ,c9a) ite*acione). Un alo* , +*ande de c /,ede ca,)a* o)cilacione) al*ededo* del 0nio. El alo* /tio de c no*alente )e enc,ent*a ,tiliando ,n 8todo de b),eda ,nidien)ional. En e)te ca)o )e /*o/onen do) o/cione) die*ente): ,tilia* ,n alo* con)tante /a*a c  encont*a* ,n alo* /tio /a*a e)te a /a*ti* de ,n 8todo de a5,)te de /a*>bola. M8todo de a5,)te de /a*>bola. El 8todo de b),eda dien)ional /o* a5,)te de /a*>bola con)i)te en calc,la* t*e) /,nto) die*ente) de la ,ncin ob5etio  -  1   2 de odo ,e  - W  1   2 W  1. E)to) /,nto) deben e)ta* di)tanciado) ,n alo* i+,al a 9 coo )e ,e)t*a en la 7+,*a 1.



El alo* 0nio de la /a*>bola ,e a/*oBia e)to) t*e) /,nto) e)t> dado /o*

a eB/*e)in ?1"@ indica el alo* de c ,e /*od,ce la ao* *ed,ccin de la ,ncin ob5etio. El /*inci/al inconeniente de e)ta etodolo+0a e) encont*a* t*e) alo*e) de la ,ncin ob5etio ,e )i+an el /at*n de)c*ito /o* la 7+,*a 1. Pa*a encont*a* e)to) /,nto) )e debe ,tilia* ,n /*oce)o ite*atio.

'. RESTRICCIONES DE SEGURIDAD Xa)ta a9o*a )olaente )e 9an con)ide*ado la) *e)t*iccione) de i+,aldad en el Al+o*ito /*o/,e)to )in eba*+o eBi)ten l0ite) 0nio)  >Bio) tanto en lo) /a*>et*o) de cont*ol coo en la) a*iable) inde/endiente). a@ Re)t*iccione) en lo) /a*>et*o) de cont*ol o) /a*>et*o) de cont*ol /,eden a*ia* en ,n *an+o de7nido /o*

E)ta) *e)t*iccione) de de)i+,aldad /,eden )e* ane5ada) >cilente 9aciendo ,n a5,)te en el al+o*ito. En e)te ca)o al a/lica* ?16@ )i al+,no de lo) n,eo) /a*>et*o) de cont*ol iola ,no de ),) l0ite) e)te e) a5,)tado a ,n alo* i+,al al l0ite iolado coo )e indica en ?1'@.



b@ Re)t*iccione) en la) a*iable) inde/endiente) a) *e)t*iccione) en la) a*iable) inde/endiente) )on de la o*a

Pa*a ane5a* e)te ti/o de *e)t*iccione) )e 9a ,tiliado ,n 8todo de /enalidad el c,al con)i)te en ),a* a la ,ncin ob5etio /enalidade) a)ociada) a la iolacin de lo) l0ite) en e)ta) a*iable). a ,ncin ob5etio /enaliada ,eda de la o*a

Donde:

En e)te ca)o )J e) el ecto* de acto*e) de /enalidad. A e)to) acto*e) )e le) a)i+na ,n alo* /e,eVo al inicio del /*oce)o ite*atio el c,al )e inc*eenta en cada ,na de la) ite*acione). E)to 9ace ,e a edida ,e el al+o*ito )e ace*,e al o/tio la) a*iable) inde/endiente) tiendan a /e*anece* dent*o de ),) l0ite).

(. M8todo del +*adiente *ed,cido a/licado al de)/ac9o de *eactio) El método del gradiente reducido, puede resolver el problema del despac"o de potencia reactiva, siempre que sea relacionada con l os generadores. El planteamiento del despac"o de potencia reactiva se "ace siguiendo la forma que se vio en la sección O.. !a función a optimizar será la ecuación de pérdidas la cual depende de la magnitud de los voltajes, as$ que las variables de control serán# voltaje en nodo compensador, voltaje en nodo tipo P= y taps de transformadores regulables. T =T 9 L T=T 

en el nodo compensador en nodos controlados tipo P= taps de transformadores.

7atemáticamente el problema de flujos óptimos de reactivos se escribe# FACULTAD DE INGERIERIA ELECTRICA Y ELECTRONICA


+onde f-,u0 L 3 son las ecuaciones normales de flujos y  son las variables de estado para dic"o estudio o sea las magnitudes de voltajes y los ángulos nodales. !as variables de control están formadas, como se mencionó anteriormente por las magnitudes de voltajes de los nodos P= y la posición de taps en transformadores. !os valores iniciales para u se deben de seleccionar "aciendo suposiciones adecuadas para el sistema a resolver, lo cual puede depender del nivel de carga para el cual se desea resolver el problema. El incorporar funciones de desigualdad, como por ejemplo l$mites máimos o m$nimos para los voltajes en los nodos de carga, se puede llevar a cabo utilizando funciones de penalización que se aumentan a la función objetivo cuando eiste violación. !a penalización no permite que el valor violado se aleje significativamente del l$mite, pero con la ventaja de que es posible obtener una solución al tener las caracter$sticas de un l$mite UsuaveU. !a penalización es una indicación del precio que se paga por liberar la restricción.

. $,ncin ob5etio El objetivo de este trabajo es determinar un despac"o óptimo de potencia reactiva a partir de un despac"o económico de potencia activa. El despac"o de potencia activa se basa en la optimización de la función costo, la cual es una función lineal por lo que se utiliza técnicas de optimización lineal. En nuestro caso el despac"o de reactivos está fuertemente vinculado con la configuración de la red de transmisión, y para su análisis se necesita resolver las ecuaciones de flujo de potencia activa y reactiva, las cuales presentan la caracter$stica de no linealidad. Por otro lado, al "ablar de despac"o óptimo de reactivos, nos referimos a encontrar la asignación apropiada de potencia reactiva para los generadores y elementaos de compensación, que en consecuencia impliquen la menor cantidad de pérdidas de potencia en las l$neas de transmisión, reduciendo también el costo operativo, y que a la vez, se cumpla con los criterios de operación segura, es decir lograr que los niveles de tensión en cada nodo se encuentren dentro del rango aceptable -VW: FX del valor nominal0. !a función objetivo será entonces la sumatoria de pérdidas de potencia activa en las l$neas de transmisión.



1-. E%ERCICIOS RESUETOS 1.Y A contin,acin )e il,)t*a ,n e5e/lo /a*a el )i)tea de t*e) ba**a) /*e)entado en 2J. Se 9a )eleccionado e)te )i)tea de /*,eba dado ,e 9a )ido a/liaente di,l+ado en la lite*at,*a  )e conoce ), )ol,cin o/tia ?1-" MZ@. En e)te ca)o la ba**a 1 )e 9a toado coo *ee*encia.

a) a*iable) de e)te )i)tea )on la) a+nit,de) de lo) olta5e)  lo) >n+,lo) en cada ,na de la) ba**a). El >n+,lo de la ba**a de *ee*encia )e antiene i+,al a ce*o )in eba*+o la a+nit,d del olta5e en la ba**a de *ee*encia e) ,tiliada coo /a*>et*o de cont*ol. o) ecto*e) de a*iable) inde/endiente) ?a*iable) de e)tado@  a*iable) de cont*ol e)t>n dado) /o*:

En e)te ca)o la) iolacione) de ten)in en la ba**a 3 )e*>n /enaliada) en la ,ncin ob5etio ?/o* )e* ,na a*iable inde/endiente@ ient*a) ,e lo) liite) en lo) olta5e) 1  2 )e*>n cont*olado) ,)ando ?1'@. a ,ncin ob5etio en e)te ca)o e) de la o*a

Donde:

a) *e)t*iccione) de i+,aldad co**e)/ondiente) a la) ec,acione) de ,5o de /otencia e)t>n dada) /o*:

a) *e)t*iccione) de de)i+,aldad en la) a*iable) de cont*ol e)tan dada) Po* FACULTAD DE INGERIERIA ELECTRICA Y ELECTRONICA


o) l0ite) 0nio)  >Bio) con)ide*ado) /a*a todo) lo) olta5e) ,e*on -  12 /, *e)/ectiaente. Pa*a a/lica* el al+o*ito de)c*ito en la )eccin 3 )e debe *e)ole* de o*a ite*atia el )i)tea no lineal ?11@ ?12@  ?13@. En e)te ca)o la) eB/*e)ione) /a*a el c>lc,lo de la) de*iada) /a*ciale) ,edan di)/onible) en la at*i %acobiana del ,5o de /otencia. 2.- 1

fin de ilustrar el planteamiento y solución del problema del despac"o óptimo de reactivos se "ace uso del sistema simplificado, sin considerar restricciones de desigualdad.

Si el nodo O es el compensador.

+e otra manera

Se ve que al minimizar las pérdidas corresponde a minimizar la potencia generada por PgO, por lo que en este ejemplo en particular la función a optimizar será la potencia generada por el compensador PgO. Se trata de#


UNIVERSIDAD NACIONAL DEL CENTRO DEL PERU , , / V /¿

+onde f-,u0 son las ecuaciones de flujo, el vector

¿

x =¿

y el vector

¿

¿ V 1 /, /V 3 /¿ ¿ . !as funciones PgO tienen la forma siguiente# u=¿ ¿

En términos de variables de estado  y de control u, PgO#

El método del gradiente reducido requiere ∂C /∂ x para el cálculo de los multiplicadores de lagrange ʎ . 9tilizando la ecuación -O.?0 tenemos#

En ∂ f /∂u los términos se calculan utilizando un esquema de simplificación.

+ónde# FACULTAD DE INGERIERIA ELECTRICA Y ELECTRONICA


En forma resumida se tienen los pasos principales del algoritmo para la solución del problema. Paso 1 (k ) Se "ace B L 3 y se suponen valores para u

=

( 0.95,0 .95 )t

Paso 2 ( k ) (k ) Se resuelve f ( x ) ) interactivamente para conocer , u

2

x =( x 1, x 2, x 3 )

.

Paso 3

1 fin de calcular los m%ltiplosY, se encuentra ∂C /∂u y el inverso del jocobiano de la %ltima interacción del paso ' se transpone, para usarlos en la epresión.


UNIVERSIDAD NACIONAL DEL CENTRO DEL PERU Paso 4

Se calcula ∂C / ∂u, as$ como ∂ f / ∂u para que el gradiente reducido usar para comprobar convergencia.

∇υ

se pueda

Si se cumple con una tolerancia especiifcada se "a encontrado la solución y se detiene el proceso. En caso contrario y si no se "a ecedido el n%mero de iteraciones se contin%a el paso ?. Paso 5

Se actualizan los valores de las variables de control por medio de la epresión (k +1) =u k −¿ α ∇ . Se comprueba si no "ay valores que violen sus restricciones y u en caso de "aberlas se toman las medidas pertinentes y se regresa al paso '. abla de los valores obtenidos del ejemplo utilizando 4radiente 8educido.



El

resultado del flujo óptimo es#


UNIVERSIDAD NACIONAL DEL CENTRO DEL PERU Se propone resolver el P/ del sistema de 'O barras mostrado en la figura ? y cuyos datos se relacionan en la tabla# 3.-

!a tolerancia del P es 'e:). !a tolerancia del P/ es 3.33F. +1/S +E 51881 51881 4E>E81&CZ> ' 3V3i * 3V3i O 3V3i ? 3V3i F 3V3i ) 3V3i \ 3V3i  3V3i ( 3V3i '3 3V3i '' 3V3i '* 3V3i 'O 3V3i

+E71>+1 3.333V3.333i 3.'?V3.3?)i 3.3(V3.3O?i 3.'\(V3.3?Fi 3.')3V3.'?i 3.')'V3.3)3i 3.3\V3.''3i 3.''FV3.33)i 3.3(V3.3'Oi 3.')?V3.3*3i 3.')'V3.3)3i 3.''FV3.33)i 3.3(V3.3O?i

=/!1[E ' ' ' ' ' ' ' ' ' ' ' ' '

CP/ slacB carga &arga &arga &arga &arga &arga &arga &arga &arga &arga &arga carga

Para la primera iteración del P/, se obtiene# 3.(O?

:3.33F*

:3.33'?

3.((FF

[acobiana dos L

8esolviendo el sistema -'*0 y -'O0 se obtiene el vector del incremento de las variables de estado#

3.33)(

∆Ζ= 0.000



&on este valor se verifica criterio de parada y si no cumple se actualizan las variables de estado y se pasa a la siguiente iteración. 1l cabo de \ iteraciones del P se obtiene el punto de operación del sistema radial# 

HOT.?P.U.@ 

1.- -.-( -.(3' -.616 -.3(6 -.1"( [. -.1-2 -.--4 -.((" -.((1- -.('1- -.("-- -.(6'1

T ANG.?GRAD@  [.

-

Y-."("2 Y1."' Y3.262

Y3.46' Y4.46

Y3.-"(

Y3.(3"6

Y3.36

Y4.6'3

Y3.1-

Y4."214 [

Y3.43

Para realizar la primera iteración del P/ se debe calcular la [acobiana uno. !a matriz que se obtiene es de dimensiones *?  *? y es bastante dispersa, por la caracter$stica radial del sistema. 1 continuación se calculan algunos elementos d e ésta#

[-','0L*3'.(3\F [-',*0L:F.?)O( [-'?,*0L :*'.O3(3 [-?,O0L :OO.?O\

[-*,'0L:F.O?? [-'O,'0L :O).F(?' [-'?,'0LO.\F(*]. [-*,*0L''F.F)(? [-O,*0L:*(.'F? [-'O,*0L3.\O)]. [-'F,*0L '(.'))' [-*,O0L :O3.'F3 [-O,O0L)).?)?' ]. [-(,O0L :O.?''* [-'?,O0L '\.F?( [-'F,O0L:)O.\)F(

[-'),O0L O.F'?

[-*',O0L ).O)FF

]

El vector gradiente es# ∇f = −-.2("2

Se actualizan los parámetros de control a través de -*'0 y -**0 y se verifica convergencia, si cumple con el criterio de convergencia se obtienen resultados del P/, sino, pasa a la segunda iteración. Se pudo comparar el desempe2o de P/ usando tanto el método de >e


M8todo NeLton

Ite*. $P 61

Ite*. $PO 12

T.?)e+@ 2.("4

Cadena

4(



1.1-2

P8*dida) ?/,@ -.-'-("\-.1-3( '6i -.-'-(6\-.1-3 ('6i

4.Y Re)ole* el )i+,iente /*oblea teniendo en c,enta *e)t*iccione) de )e+,*idad

Sol,cin El ob5etio de e)te /*oblea e) iniia* el co)to total de o/e*acin )in el co)to a)ociado /o* la oc,**encia de contin+encia) la ,ncin ob5etio /a*a e)te e5e/lo )e de7ne /o*:

Donde.

a )ol,cin de /*oblea indica ,e la >Bia +ene*acin de la ,nidad >) ba*ata ?G1@ e)t> liitada /o* la >Bia t*an)e*encia de /otencia Pe*itida a t*a8) de la) l0nea) ,e conectan lo) nodo) 1Y2  2Y3 ,e o/e*an ce*ca de ),) l0ite) o/e*atio). De a,0 ,e la )alida de e)ta) l0nea) )e con)ide*an coo contin+encia) de ao* i/acto /a*a el /*oblea de $POY RS. FACULTAD DE INGERIERIA ELECTRICA Y ELECTRONICA


CONCUSIONES El /*inci/al inconeniente al ,tilia* ,n /a)o con)tante e) ,e no )e conoce con antici/acin ,n alo* /tio de e)te. E)ta )it,acin /,ede llea* al al+o*ito a ,na cone*+encia /*eat,*a o *ealia* >) ite*acione) de la) nece)a*ia). Al ,)a* ,n /a)o a*iable calc,lado a /a*ti* del 8todo de a5,)te de /a* ]abola )e encont* ,e en +ene*al )e *ed,ce el ne*o de ite*acione). El inconeniente de e)te 8todo e) ,e )e deben encont*a* t*e) /,nto) de la ,ncin ob5etio c,a t*aecto*ia /,eda )e* a/*oBiada /o* ,na /a* ]abola. Pa*a encont*a* e)to) /,nto) )e debe ,tilia* ,n /*oce)o ite*atio  co**e* a*io) ,5o) de ca*+a lo c,al 9ace ,e el e),e*o co/,tacional de cada ite*acin )ea ao*. 1ctualmente, el proceso de despac"o de carga se realiza considerando un modelo de costos marginalista. En este esquema las restricciones técnicas del sistema se consideran en forma simplificada, llevando a soluciones no necesariamente óptimas.

!a utilización del /P llevará a mejoras en este proceso, dado que generaliza el despac"o económico de carga convencional utilizado. Esto se debe a que incluye restricciones técnicas, tales como# balances de flujo de potencia activa y reactiva, l$mites técnicos de operación de los equipos y limitaciones en la mantención del factor de potencia en la liberación de carga. Esto se verá plasmado en una disminución de costos al determinar y fijar en forma óptima las variables de control de un SEP. Se "a podido comprobar emp$ricamente, que la introducción adecuada de equipos S=& entendidos como caso particular de los 1&S -leible 1& ransmission Systems0 en una red de transmisión de energ$a eléctrica, llevar$a a menores costos totales por concepto de a"orro de generación de potencia activa.


Flujo Optimo de Potencia

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