Curso IEE-443 Sistemas Eléctricos de Potencia Capitulo 10: Flujo de Potencia I
Contenido
Solución de Ecuaciones Algebraicas Solución de Ecuaciones Lineales Solución de Ecuaciones No Lineales
Solución de Ecuaciones Algebraicas
Considere el siguiente conjunto de ecuaciones algebraicas:
Donde “x”, “y” son vectores de orden N y A es una matriz cuadrada de orden NxN
Los valores en “x”, “y”, y la matiz A pueden ser números complejos
A es una matriz no singular Det(A) ≠ 0
Entonces, existe una solución única
Solución de Ecuaciones Algebraicas
El sistema de ecuaciones se podría resolver fácilmente si la matriz es triangular superior (Upper):
Dado que a ultima ecuación solo involucra xN, se tiene que:
Luego que xN es calculado, se puede resolver la penúltima ecuación:
Solución de Ecuaciones Algebraicas conocidos, la kth ecuación se puede
En general con resolver:
Este proceso de solución es conocido como sustitución reversa (backward sustitution)
Pero que sucede si la matriz A no es triangular superior?...
Solución de Ecuaciones Algebraicas
Cuando la Matriz A no es triangular, se puede transformar en una utilizando la eliminación de Gauss
La eliminación se ejecuta en N-1 pasos
Primero de multiplica la primera ecuación por ecuación resultante se resta a la ecuación “n”:
y luego esta
Solución de Ecuaciones Algebraicas
La nueva matriz tiene la siguiente forma, donde (1) representa el paso No1:
Luego el en segundo paso, se multiplica la segunda ecuación por y luego esta ecuación resultante se resta a la ecuación “ n”:
Solución de Ecuaciones Algebraicas
La nueva matriz tiene la siguiente forma, donde (2) representa el paso No2:
En el paso k, se comienza con la matriz
La ecuación k es multiplicada por ecuación n
Luego de N-1 pasos se llega a triangular
y luego restada a la donde A(N-1) es
Solución de Ecuaciones Algebraicas
Ejemplo 1: Resuelva el siguiente sistema de ecuaciones lineales usando eliminación de Gauss y sustitución reversa:
Dado que N=2, hay solo un paso de eliminación ( N-1=1)
Multiplicando tiene:
a la ecuación 1 y restándola de 2, se
Solución de Ecuaciones Algebraicas
Ejemplo 1: cont.
Una vez obtenida la matriz triangular, se comienza con la sustitución reversa:
Para k=2
Para k=1
Solución de Ecuaciones Algebraicas
Ejemplo 2: Triangularizar la siguiente ecuación:
Multiplicamos la primera ecuación por -4/2 para restar a la segunda ecuación y por 10/2 para la tercera ecuación
Solución de Ecuaciones Algebraicas
Ejemplo 2: Cont.
Con sustitución reversa se resuelve en este orden: x3, x2, x1
Solución de Ecuaciones Algebraicas
Los requerimiento de memoria computacional para resolver la eliminación de Gauss es N2 para A y N para y
Si no es necesario almacenar A e y, se puede almacenar A(k) en A e y(k) en y Es posible demostrar que el método Gauss realiza:
N(N-2)/2 divisiones, (N3-N)/3 restas y (N3-N)/3 multiplicaciones
Resolver N=10.000 ecuaciones tomaría un tiempo de simulación ser de hasta 5 minutos
Para resolver flujos de potencia con miles de buses este método podría ser muy ineficiente
Sin embargo, cuando las matrices tienen varios elementos nulos (sparse matrix o matriz dispersa), técnicas especiales pueden utilizarse para reducir el tiempo computacional
Solución de Ecuaciones Lineales
La ecuaciones lineales se pueden resolver con métodos iterativos
La solución iterativa general se resuelve como sigue:
Donde en vector x(i) es el resultado de la i th iteración de aplicar el vector de funciones g cuya dimensión es N El proceso iterativo continua hasta que la siguiente expresión se cumple:
Donde xk(i) es el kth componente de x(i) y ε es la tolerancia especificada
Solución de Ecuaciones Lineales Pero surgen las siguientes preguntas:
Convergerá el proceso iterativo a una solución única?
Cual es la taza de convergencia, o cuantas iteraciones se requieren?
Al usar un computador, cual es el requerimiento de capacidad de memoria y velocidad o tiempo de simulación?
Estas preguntas se pueden abordar por medio de dos métodos de solución iterativos:
Jabcobi
Gauss-Siedel
Notar que el método Jacobi es conocido también como el método de Gauss, por lo que Gauss-Seidel es una modificación del método Gauss
Solución de Ecuaciones Lineales Método Jacobi:
Consideremos la kth ecuación del sistema y=Ax
Resolviendo para xk
Solución de Ecuaciones Lineales
El método Jacobi utiliza valores históricos de x(i) en la iteración “i” en el lado derecho de la ecuación para generar nuevo valor de x(i+1) en el lado izquierdo de la ecuación general:
En formato matricial se puede escribir como:
Donde D es la matriz diagonal de A
Solución de Ecuaciones Lineales
Ejemplo 3: Resuelva el ejemplo 1 usando el método Jacobi. Considere las condicione iniciales x 1(0)=x2(0)=0 y continúe hasta que ε<10-4
Solución de Ecuaciones Lineales
Ejemplo 3: Alternativamente, usando el método matricial:
Solución de Ecuaciones Lineales
Ejemplo 3: Comenzando con las condiciones iniciales x1(0)=x2(0)=0, se tiene:
Se puede observar que la solución converge al valor final con la tolerancia deseada (<10-4) en la iteración 10.
Solución de Ecuaciones Lineales Método Gauss Seidel:
Consideremos la kth ecuación del sistema y=Ax
El método es similar al método Gauss, pero en este caso los nuevos valores de xk(i+1) para n
Solución de Ecuaciones Lineales
Método Gauss Seidel:
El método se puede resolver en forma matricial al igual que Gauss pero acá la matriz D es la matriz triangular inferior de A:
Solución de Ecuaciones Lineales
Ejemplo 4: Resuelva el ejemplo 1 usando Gauss Seidel:
Solución de Ecuaciones Lineales
Ejemplo 4: Usando el método matricial:
Solución de Ecuaciones Lineales
Ejemplo 4: Comenzando con las condiciones iniciales x1(0)=x2(0)=0, se tiene:
Se puede observar que la solución converge al valor final con la tolerancia deseada (<10-4) en la iteración 6.
Solución de Ecuaciones Lineales
Comparación entre los dos métodos muestra que para algunas matrices A el método Jacobi es mas rápido y para otras Gauss Seidel converge mas rápido como en el caso anterior.
En otros casos de matriz A, los métodos pueden diverger
Ejemplo 5: Resuelva el siguiente sistema usando ambos métodos:
Solución de Ecuaciones Lineales
Ejemplo 5: Solución usando método Gauss Seidel:
Claramente se observa que la solución diverge usando GaussSeidel.
Solución de Ecuaciones Lineales
Ejemplo 5: Solución exacta y única usando inversión de matrices sería:
Es posible demostrar que la solución también diverge usando el método Jacobi.
Si cualquier elemente de la diagonal de A es cero o mucho menor que los elementos fuera de ella, entonces no es posible resolver usando Gauss Seidel o Jacobi y/o la solución diverge
El método G-S requiere menor capacidad de almacenamiento pues los valores xk(i+1) nuevos se pueden almacenar en x k(i) antiguos
Solución de Ecuaciones No Lineales
El método mas utilizado para resolver sistemas de ecuaciones no lineales es el método iterativo Newton-Raphson
Asumir que se tiene un conjunto de ecuaciones no lineales dado por:
Donde y, x son vectores de orden N y f(x) un vector de funciones de orden N
Dado y, f(x) se busca resolver x
Solución de Ecuaciones No Lineales
Los métodos presentados anteriormente (Gauss) se pueden extender a funciones no lineales por lo tanto:
Agregando Dx a ambos lados de la ecuación (donde D es una matriz invertible de orden NxN):
Usando los valores nueve de x(i+1) al lado izquierdo y los valores históricos o antiguos x(i) al lado derecho:
Solución de Ecuaciones No Lineales
Para la el conjunto de ecuaciones no lineales f(x)=Ax:
Lo queyes idéntico a la expresión matricial de los métodos GaussSeidel Jacobi
Para el caso no lineal la matriz D debe ser especificada
Un método para especificar D es llamado Newton-Raphson (N-R), el cual se basa en la expansión de las serie de Taylor de f(x) alrededor de un punto de operación x0 (linearizacion):
Solución de Ecuaciones No Lineales
Despreciando los términos de orden superior y resolviendo para x:
El método N-R reemplaza x0 por x(i) y x por x(i+1)
Donde J(i) es la matriz Jacobiana:
Solución de Ecuaciones No Lineales
Ejemplo 6: Resolver la ecuación escalar y=f(x) donde y=9, f(x)=x2 comenzando con x(0)=1. Resuelva usando a) N-R, y b) GaussSeidel con D=3, para una tolerancia <10-4
a) N-R
Solución de Ecuaciones No Lineales
Ejemplo 6: Comenzando con x(0)=1, se tiene:
b) Usando G-S con D=3:
Solución de Ecuaciones No Lineales
Ejemplo 6:
Se observa que en el método G-S la solución oscila en torno a la solución y converge lentamente
Si el valor inicial es negativo la solución convergerá a la solución negativa x=-3
Obviamente no se puede comenzar con x(0)=0 en este caso pues la solución es conocida x=3
Solución de Ecuaciones No Lineales
Ejemplo 7: Resolver usando N-R para una tolerancia <10-4 :
Solución de Ecuaciones No Lineales
Ejemplo 7: Resolver usando N-R para una tolerancia <10-4 :
Solución de Ecuaciones No Lineales
Alternativamente:
Por lo que se pueden completar 4 pasos para resolver: Paso 1: Calcular
Δy(i)
Paso 2: Calcular J(i)
Paso 3: Usar eliminación de Gauss para resolver Paso 4: Calcular x(i+1) de
Solución de Ecuaciones No Lineales
Ejemplo 8: Resolver ejemplo 7 en 4 pasos:
Solución de Ecuaciones No Lineales
Ejemplo 8: Resolver ejemplo 7 en 4 pasos:
Igual resultado que el caso anterior para la primera iteración
Solución de Ecuaciones No Lineales
La experiencia en la resolución de flujos de potencia dice que N-R converge en mas casos que G-S mas robusto
El numero de iteraciones requeridas para N-R no depende de N lo que no es el caso de G-S y Jacobi
La mayoría de los flujos de potencia con N-R convergen en menos de 10 iteraciones para redes grandes
