Curso IEE-443 Sistemas Eléctricos de Potencia Capitulo 10: Flujo de Potencia II
Contenido
Problema de Flujo de Potencia Solución Flujo de Potencia – Gauss-Seidel Solución Flujo de Potencia – Newton-Raphson Control de Flujos de Potencia Matrices Dispersas Flujo de Potencia Desacoplado Rápido Flujo de Potencia DC (CC)
Problema de Flujo de Potencia
El objetivo es calcular los voltajes y ángulos para cada barra del sistema estudiado
Como resultado, las corrientes y flujos de potencia activa y reactiva de líneas, transformadores y otros equipos son
calculadas Asimismo se pueden calcular las pérdidas de potencia
El punto de partida es la definición del diagrama unifilar del sistema eléctrico del cual los datos de entrada se pueden obtener
Los datos de entrada corresponden a voltajes de buses, parámetros de líneas y transformadores, datos de carga y generación, etc.
Problema de Flujo de Potencia Las siguiente variables de pueden asociar a un bus k cualquiera:
Magnitud del voltaje
Angulo del voltaje
Potencia activa suministrada al bus
Potencia reactiva suministrada al bus
En cada bus, dos de estas variables son conocidas y las otras dos se calculan por medio de algoritmos computacionales
Problema de Flujo de Potencia
Por conveniencia, la potencia suministrada al bus k es separada en términos de generación PG y carga PL:
Cuando no hay generación Pk es negativo, lo mismo para Qk, lo que implica una carga inductiva
Cada bus o nodo puede ser categorizado entre tres tipos de nodos:
Nodo de referencia (slack/swing)
Nodo de carga (PQ)
Nodo controlado por voltaje (PV)
Problema de Flujo de Potencia
=
Problema de Flujo de Potencia
Problema de Flujo de Potencia
El modelo de línea se completa entrando el valor de la impedancia serie y la admitancia shunt/paralelo del modelo π. Además, de debe ingresar a distancia de la línea si los parámetros están dados en Ω/km
Para el caso de transformadores se ingresa la admitancia de fuga
o serie, mas la capacidad en MVA y el tipo de conexión El en caso de trasformador con taps se debe ingresar los parámetros de paso, banda muerta y rango de regulación. La matriz YBu s se construye a partir de los parámetros de líneas y transformadores de acuerdo a:
Yii : Corresponde a la auto impedancia del nodo “i” en la diagonal de la matriz y es igual a la suma algebraica de todas as impedancias conectadas al nodo “i”
Yik = Yki : Corresponde a los elemento s fuera de la diagon al o impedancias mutas entre los nodos “i-k” y se calculan como la suma negativa de todas las admitancias conectadas entres los nodos “i-k”
Problema de Flujo de Potencia Ejemplo 1: La figura siguiente muestra un sistema de potencia de 5 buses donde los parámetros de entrada están dados en las tablas en base 100MVA.
a) Para cada bus determine las variable conocidas y desconocidas
B) Determine los parámetros de la segunda fila de la matriz YBus
Problema de Flujo de Potencia
Ejemplo 1: Tablas:
Problema de Flujo de Potencia
Ejemplo 1:
a) Variables de entrada conocidas y salidas desconocidas:
Problema de Flujo de Potencia
Ejemplo 1:
b) Matriz de impedancia 5x5. Determinar parámetros en fila 2:
Dado que buses 1 y 2, y 2 y 3 no están conectados directamente Y21=Y23=0
Problema de Flujo de Potencia
Usando la matriz YBu s se pueden escribir las ecuaciones de corrientes de nodos:
Para un sistema de N nodos, para cada nodo k se cumple:
Problema de Flujo de Potencia
La solución de flujo de potencia utilizando Gauss-Seidel se basa en las ecuaciones nodales, donde cada corriente Ik se calcula a partir del balance de potencia en cada nodo:
Problema de Flujo de Potencia
Por otro lado asumiendo:
Se llega a:
Problema de Flujo de Potencia
Si Ykn se expresa en forma polar, se tiene:
Si Ykn se expresa en forma rectangular (Gkn+jBkn), se tiene:
Estas ecuaciones no lineales son usada por el método NewtonRaphson y Gauss Seidel
Solución Flujo de Potencia – Gauss-Seidel
Las ecuaciones nodales I=Ybu s V corresponden a un set de ecuaciones lineales de la forma y=Ax , por lo que se podría resolver usando el método GS descrito anteriormente
Sin embargo, como hemos visto existen buses del tipo PQ y PV, por lo que las ecuaciones nodales no se ajustan al formato lineal
y=Ax El vector de corrientes I es en efecto desconocido y las ecuaciones son no lineales
Para cada bus de carga (PQ), Ik se puede calcular como:
Solución Flujo de Potencia – Gauss-Seidel
Luego, aplicando GS a las ecuaciones nodales con Ik conocido (nodo carga PQ) se tiene:
Esta ecuación puede ser aplicada dos veces durante cada iteración, primero con Vk*(i) y luego reemplazando Vk*(i) por Vk*(i+1)
Solución Flujo de Potencia – Gauss-Seidel
Para un nodo controlado por voltaje (PV), Qk es desconocido pero puede ser calculado a través de:
Si QGk no excede los limites del generador k, entonces Qk se usa en la ecuación anterior para calcular Vk(i+1) :
Solución Flujo de Potencia – Gauss-Seidel
Como la magnitud del voltaje en un nodo PV es conocida y fija, solo se actualiza el ángulo y se mantiene el modulo de Vk*(i):
Si QGk excede los limites (Qmax/Qmin) del generador en la barra para una iteración, entonces el nodo se convierte a nodo de carga (PQ) con QGk = Qmax (o Qmin)
En este caso, el generador no es capaz de mantener el voltaje Vk especificado, por lo que el algoritmo calcula un nuevo valor de Vk
Solución Flujo de Potencia – Gauss-Seidel
Por ultimo, para la barra de referencia (swing bus), tanto las magnitud V1 como el ángulo δ1 del voltaje son conocidos. Por lo que no se requiere ninguna iteración
En cada iteración se calcula Pk y Qk usando:
El proceso iterativo de convergencia termina una vez que el proceso ha convergido (error < tolerancia)
Solución Flujo de Potencia – Gauss-Seidel
Ejemplo 2: Para el sistema del ejemplo 1, calcule el fasor de voltaje en el nodo 2 para la primera iteración, V2(1), usando el método Gauss-Seidel. Considere los ángulos iniciales igual a cero y magnitud de voltaje igual a 1.0, excepto para el bus 3 que es conocido (1.05pu):
Solución Flujo de Potencia – Gauss-Seidel
Ejemplo 2: Cont.
Como nodo 2 es un nodo de carga: P2=-8 y Q2=-2,8
Utilizamos:
Solución Flujo de Potencia – Gauss-Seidel
Ejemplo 2: Cont.
Calculo de V2(1):
Solución Flujo de Potencia – Gauss-Seidel
Ejemplo 2: Cont.
Luego se reemplaza nuevamente el valor V2(1) calculado en la misma ecuación:
Valor Final V2=0.834/_-22.407° pu
Solución Flujo de Potencia – Newton-Raphson
Las ecuaciones siguientes son análogas a la ecuación del tipo y=f(x) resueltas anteriormente con el método NR:
Definiendo los vectores y , x , y f como:
Solución Flujo de Potencia – Newton-Raphson
Donde los términos P, V, Q están en por unidad y la magnitud y ángulo del voltaje de referencia es omitido pues se conoce:
La formulación del método NR es:
Solución Flujo de Potencia – Newton-Raphson
Lo primero es resolver la matriz Jacobiana:
Solución Flujo de Potencia – Newton-Raphson
Ahora resolvemos el problema de flujo de potencia usando NR en 4 pasos: Paso 1: Calcular
Δy (i)
Paso 2: Calcular J (i) Paso 3: Usar eliminación de Gauss para resolver Paso 4: Calcular x (i+1) de
Paso 1:
Paso 2: Calcular Jacobiano J (i)
Solución Flujo de Potencia – Newton-Raphson
Paso 3: Usar eliminación de Gauss y sustitución reversa para calcular los vectores de voltaje:
Paso 4: Calcular x(i+1)
Comenzando con un valor inicial x (0) de vector voltajes, el proceso continua y converge hasta alcanzar tolerancia mímica del error de potencias [ΔP, ΔQ]
Solución Flujo de Potencia – Newton-Raphson
Para cada nodo PV, el voltaje (magnitud) se conoce y la función Qk no se necesita por lo que se puede omitir V k del vector x y Qk del vector y
Además, del Jacobiano se podría eliminar la columna correspondiente a las derivada parciales con respecto a V y las k filas de la derivadas parciales con respecto a Qk
Durante cada iteración, la magnitud del voltaje Vk(i+1) en cada nodo PV se resetea a Vk que es conocido
Al final de cada iteración, se calcula Qk para cada nodo PV y si el valor de QGk excede los limites, el valor de QGk se fija a su valor limite y se calcula el nuevo valor de V k
Solución Flujo de Potencia – Newton-Raphson
Ejemplo 3: Para sistema el ejemplo 1, determine la dimensión de la matriz Jacobiana y calcule ΔP2(0) en el paso 1 y J1 24(0) en paso 2 de la primera iteración. Considere los ángulos iniciales igual a cero y magnitud de voltaje igual a 1.0, excepto para el bus 3 que es conocido (1.05pu)
Solución Flujo de Potencia – Newton-Raphson
Ejemplo 3: a) Dado que el sistema tiene 5 buses la matriz J contiene 2*(N-1)=8 ecuaciones, por lo que J es dimensión 8x8. Sin embargo, como hay un nodo PV (nodo 3), las ecuaciones para V3 y Q3 se eliminan por lo que el Jacobiano se reduce a una matriz de 7x7 Paso1:
Solución Flujo de Potencia – Newton-Raphson
Ejemplo 3:
Paso 2:
Solución Flujo de Potencia
Solución exacta del ejemplo 1 se puede obtener resolviendo las ecuaciones de forma manual o mediante el uso de software de flujos de potencia:
Solución Flujo de Potencia Las herramientas computacionales mas comunes para resolver flujos de potencia son:
DigSilent PF (Chile, Sudamérica) PSS/E, PSLF, DSAT, CYME (Norteamérica) PowerWord, Eurostag (Europa)
Control de Flujos de Potencia Los flujos de potencia activa y reactiva se pueden controlar de varias maneras:
A través del controlador de velocidad de la turbina (governor) y la excitación de los generadores Por medio de la conmutación (switching) de bancos de condensadores y rectores en paralelo Por medio de la conmutación (switching) de bancos de condensadores y rectores en serie A través de la regulación de los cambiadores de taps en transformadores Tecnologías FACTS
SVC TCSC STATCOM Transformadores Desfasadores
Tecnología HVDC (Corriente continua)
Punto a punto Dos terminales Multi-terminales
Control de Flujos de Potencia
El modelo de simplificado del generador se representa por una reactancia y una tensión interna:
La potencia inyectada por el generador es:
Control de Flujos de Potencia
Separando la parte real (P) e imaginaria (Q), se tiene:
Se concluye que la potencia activa generada puede aumentar cuando el ángulo interno del generador aumenta, esto ocurre cuando la velocidad del rotor aumente debido al controlador e velocidad (prime mover)
Asimismo la potencia activa aumenta cuando la magnitud del voltaje interno aumente, esto ocurre al aumente la excitación del generador
Control de Flujos de Potencia
Por ejemplo, la figura siguiente muestra el efecto de agregar un banco de condensadores en un sistema equivalente Thevenin:
Antes de cerrar el interruptor SW, Vt=Eth por lo que no hay flujo de correinte A cerrar SW la corriente es 90° en atraso respecto del voltaje por lo que el sistema absorbe corriente reactiva y el voltaje interno Eth es menor a Vt Como ahora Vt > Eth el condensador entrega potencia reactiva al sistema equivalente
Matrices Dispersas
Los sistemas de potencia por lo general tiene menos de 3 líneas conectadas a cada bus
Luego, cada fila de la matriz Ybu s tendrá menos de 4 elementos distintos de cero fuera de la diagonal
Esta matriz se conoce como matriz dispersa El método NR utiliza técnicas de dispersidad para reducir el almacenamiento de datos y requerimientos de tiempo computacional Esto incluye almacenamiento compacto de Ybu s y J(i), mas el reordenamiento de buses para evitar llenar J(i) durante la eliminación de Gauss
Matrices Dispersas
Sea la siguiente matriz S:
Una forma de almacenamiento compacto involucra la definición de cuatro vectores:
DIAG : Elemento ordenados de la diagonal
OFFDIAG : Elementos no cero fuera de la diagonal
COL : Numero de columna de cada elemento fuera de la diagonal
ROW: Numero de elementos fuera de la diagonal en cada fila
Matrices Dispersas
Se debe notar que la matriz completa se puede reconstruir a partir de estos 4 vectores
Para una matriz de NxN se puede demonstrar que se requieren 40N bytes de memoria para almacenar Ybu s 2
con el método compacto versus 8N con el método completo sin compactar
La matriz Jacobiana también es dispersa, por lo que se puede usar la misma metodología
Un sistema de 30.000 buses se requieren 10Mbytes
Matrices Dispersas
Adicionalmente, es posible reordenar las matrices
Supongamos que usamos Gauss para triangularizar la matriz S
Lugo de la primera iteración se tiene:
Los elementos cero fuera de la diagonal en filas 2, 3 y 4 se pierden
Entonces si reordenamos buses 1, 2, 3, 4 a 4, 3, 2, 1….y rehacemos la eliminación de Gauss
Matrices Dispersas
La nueva matriz S luego de la primare iteración es:
Se observa que se pueden mantener la dispersidad (elemento =0) de la matriz srcinal
Reduciendo el numero de iteraciones requeridas para la triangularización
Adicionalmente, los buses podrían ser renumerados durante cada iteración de Gauss para tomar en cuenta los cambios de reordenamiento durante el proceso
Hoy en día, las técnica de matriz dispersa y ordenamiento están implementadas en todas la herramientas computacionales de flujos de potencia
Flujo de Potencia Desacoplado Rápido
El análisis de contingencias es de vital importancia en la operación de sistemas eléctricos
Los norma técnica eléctrica define el criterio N-1, que significa que el sistema debe tolerar una salida de servicio de cualquier elemento serie del sistema (generadores, líneas,
transformadores, cargas, etc.) Para verificar este nivel de cumplimiento, se realiza el análisis de contingencias en software de flujos de potencia
Este ejercicio involucra un gran numero de simulaciones la que muchas veces se debe realizar en tiempo real
Dado el reducido tiempo de simulación requerido es necesario simplificar el método de solución de NR
Con este propósito se desarrolló el Flujo de Potencia desacoplado Rápido (FPDR)
Flujo de Potencia Desacoplado Rápido
El FPDR se creo con el fin de poder realizar múltiples simulaciones en menos de un segundo
El algoritmo se basa en la siguiente simplificación de la matriz Jacobiana:
FPDR asume que la variación del flujo activo no depende de la variación de la magnitud de voltaje (J 2=0) sino que solo del la variación del ángulo
Adicionalmente, FPDR asume que la variación del flujo reactivo no depende de la variación del ángulo (J 3=0) sino que solo de la variación de magnitud de voltaje
Flujo de Potencia Desacoplado Rápido
El tiempo de simulación es reducido significativamente con el algoritmo FPDR
Además, se pude mejorar aun mas los tiempos de simulación con simplificaciones adicionales a la matriz J
Por ejemplo:
Flujo de Potencia Desacoplado Rápido
Esto implica que J 1 y J 4 son matrices constantes, cuyos elementos son los valores negativos de la componente imaginaria de Ybu s
De este modo, J 1 y J 4 no tiene que ser recalculados en cada iteración sucesiva
Este supuesto resulta en soluciones muy rápidas aun cuando se requieran mas iteraciones
Lo anterior debido a que el Jacobiano no necesita ser recalculado en cada iteración
En algunas ocasiones el método FPDR puede ser utilizado con un número reducido de iteraciones (1 o 2) para obtener un aproximación ultra rápida (estimación gruesa) de los flujos por líneas
Flujo de Potencia DC (CC)
El flujo de potencia en corriente continua es una simplificación del FPDR en donde se desprecian por completo las relaciones de ecuaciones Q-V y se asume que los voltajes son iguales a 1.0pu
Así, el flujo de potencia entre un nodo j y k se reduce a:
La educación de balance de potencia real se reduce a un problema completamente lineal:
Donde B es la componente imaginaria de Ybu s calculada despreciando la resistencia de líneas
Flujo de Potencia DC (CC)
Dado que la ecuación anterior es lineal con una forma similar a la de un circuito resistivo, este método es conocido como el flujo de potencia DC (o en CC)
Sin embargo, contrario al FPDR, el resultado es solo un solución aproximada de los flujos de potencia por la líneas
No obstante, este método es cada vez mas utilizado en estudios de mercado, planificación de la operación y estudios tarifarios
PLP
PCP
OSE2000
Flujo de Potencia DC (CC)
Ejemplo 4: Determine la solución del ejemplo 1 utilizando el método de flujo de potencia DC
Flujo de Potencia DC (CC) Ejemplo 4: cont.
Primero se construyen las matrices B y P. El bus 1 es el bus slack por lo que se excluye:
Flujo de Potencia DC (CC) Ejemplo 4: cont.
Luego se calculan los angulas de voltajes de buses usando Gauss:
Software de Flujos de Potencia
PowerWorld (PSS/E)
Software de Flujos de Potencia
DigSILENT PF
