FLUJO DE POTENCIA METODO NEWTON RAPHSON.pdf

NIVERSIDAD NACIONAL DE SAN AGUSTÍN U NIVERSIDAD LABORATORIO DE ANALISIS DE SISTEMA DE POTENCIA II

INDICE

INTRODUCCION. .................................................................................................................... .................................................................................................................... 2 FORMULACION DEL PROBLEMA DE FLUJOS DE POTENCIA. P OTENCIA. .......................................................... 3 ECUACIONES DE FLUJOS DE POTENCIA. ..................................................................... ........................................................................................ ................... 7 FORMULACIÓN DE ESTUDIOS DE FLUJOS DE POTENCIA EN COORDENADAS POLARES ............. 14 CÁLCULO DE FLUJOS DE POTENCIA EN COORDENADAS POLARES.............................................. 17 MÉTODO DE NEWTON RAPHSON ............................................................................................... ............................................................................................... 19 ALGORITMO ................................................................... ........................................................................................................................ ..................................................... 24 EJEMPLO PARA EL METODO DE NEWTON RAPSON ........................................................... .................................................................... ......... 25 PROBLEMA Y SOLUCIÓN NEWTON-RAPHSON DEL FLUJO DE POTENCIA.................................... 27 USANDO LA MATRIZ JACOBIANA ............................................................................................ 31 SOLUCIÓN DESACOPLADO RÁPIDO DEL FLUJO DE POTENCIA .................................................... .................................................... 35 CONCLUCION:........................................................................................................................ .............................................................................................................................. ...... 38 BIBLIOGRAFÍA. ............................................................................................................................. ............................................................................................................................. 38 INFOGRAFIA: .............................................................. ............................................................................................................................... ................................................................. 38

TACO CONDORI GORKI LUIS

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INTRODUCCION. La necesidad sistemática de cálculos numéricos requiere que se ejecuten por medio de un procedimiento iterativo, más usado el método Newton‐ Raphson. El método de Newton-Raspón es muy importante para la solución de sistemas lineales y no lineales en la cual este método nos es útil para la solución de sistemas de flujo de potencia que es un tema se análisis de sistemas de potencia 2. Los estudios de flujo de potencia, más normalmente llamados estudios de flujo de carga, son sumamente importantes para evaluar el funcionamiento de los sistemas de potencia, su control y planificación para expansiones futuras. Un estudio de flujo de potencia define principalmente las potencias activa y reactiva y el vector de tensión en cada bus en el sistema, aunque mucha información adicional estará disponible en la salida por impresora del ordenador del estudio de flujo de potencia típico.


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INTRODUCCION. La necesidad sistemática de cálculos numéricos requiere que se ejecuten por medio de un procedimiento iterativo, más usado el método Newton‐ Raphson. El método de Newton-Raspón es muy importante para la solución de sistemas lineales y no lineales en la cual este método nos es útil para la solución de sistemas de flujo de potencia que es un tema se análisis de sistemas de potencia 2. Los estudios de flujo de potencia, más normalmente llamados estudios de flujo de carga, son sumamente importantes para evaluar el funcionamiento de los sistemas de potencia, su control y planificación para expansiones futuras. Un estudio de flujo de potencia define principalmente las potencias activa y reactiva y el vector de tensión en cada bus en el sistema, aunque mucha información adicional estará disponible en la salida por impresora del ordenador del estudio de flujo de potencia típico.


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FORMULACION DEL PROBLEMA DE FLUJOS DE POTENCIA. Antes de iniciar la formulación del problema de flujos de potencia, es imprescindible plantear la relación que existe entre P, Q, │V│ y δ (ángulo del voltaje, relacionado con la

frecuencia). Consideremos una línea de transmisión, como se muestra en la figura 1, en la cual se ha omitido la resistencia serie, con el fin de simplificar el análisis posterior, lo cual no compromete las conclusiones, además de que en líneas aéreas de transmisión en efecto la relación x/r es muy alta, lo cual significa que el valor de la resistencia es despreciable para algunos fines.

La potencia S12 será igual a

De lo anterior obtenemos, separando parte real y parte imaginaria de la última expresión


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La última aproximación se debe a que (θ1 – θ2) es muy pequeño y por tanto cos(θ1 – θ2) ≈ 1. Lo anterior muestra que existe una fuerte dependencia entre P - δ, por un lado, y entre Q - │V│ por otro. Por lo que podemos observar que, debido a que δ está relacionado con la frecuencia, entonces un exceso de MW generados tiende a elevar la frecuencia, mientras que un exceso de MVAR generados tiende a elevar │V│. Es también

muy importante observar que mientras f (frecuencia) es una variable de efecto global y por tanto su cambio se siente en todo el sistema, │V│ es una variable de efecto local y sus cambios, por consecuencia, no son uniformes y son más grandes en los buses con mayor exceso de Q. En este punto es importante hacer la observación de que el término bus constituye un tecnicismo de uso muy extendido, y es sinónimo de nodo. Lo usaremos de aquí en adelante, en virtud de que ya es un término demasiado extendido en el argot técnico, esperando que no provoque histeria en los defensores de la lengua española, a los cuales les pedimos disculpas de antemano, si es que este material llegara a caer en sus manos. Las observaciones anteriores son cruciales en la comprensión de la formulación del modelo de flujos de potencia. Los aspectos más importantes del estudio de flujos pueden resumirse como sigue [1]: 1) Solamente los generadores pueden producir potencia activa, P. La localización y capacidad de dichos generadores es fija. La generación debe ser igual a la demanda más las pérdidas y esta ecuación de balance de potencia debe cumplirse en todo momento (también debe cumplirse para el caso de Q). Dado que la potencia generada debe dividirse entre los generadores en una razón única con el objeto de lograr operación económica óptima, los niveles de generación deben mantenerse en puntos definidos por anticipado. 2) Los enlaces de transmisión pueden transmitir solamente ciertas cantidades de potencia (cargabilidad), debemos asegurarnos de operar dichos enlaces cerca de los límites de estabilidad ó térmico. 3) Se deben mantener los niveles de voltaje de operación de ciertos buses dentro de ciertas tolerancias. Lo anterior se logra mediante la generación apropiada de potencia reactiva. 4) Si el sistema eléctrico que es el objeto del estudio forma parte de un sistema más grande (¨power pool¨), deberá cumplir con ciertos compromisos contractuales de potencia en puntos de enlace con los otros sistemas vecinos. 5) Los disturbios ocurridos después de grandes fallas en el sistema, pueden causar salidas de servicio; los efectos de dichos eventos pueden minimizarse mediante estrategias de pre-falla apropiadas desarrolladas a través de múltiples estudios de flujos de potencia. TACO CONDORI GORKI LUIS

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6) Para llevar a cabo de manera apropiada y eficiente la tarea de planeación, es imprescindible el uso extensivo de estudios de flujos de potencia. El problema se puede dividir a su vez, en los siguientes problemas [1]: 1. Formulación de un modelo matemático adecuado para la red. Debe describir adecuadamente las relaciones entre voltajes y potencias en el sistema interconectado. 2. Especificación de las restricciones de potencia y voltaje que deben aplicarse a todos los buses. 3. Cálculo numérico de las ecuaciones de flujos de potencia sujetas a las restricciones arriba mencionadas. De estas ecuaciones obtenemos todos los voltajes de la red. 4. Cuando todos los voltajes de bus han sido determinados, podremos finalmente calcular los flujos de potencia en todos los elementos de transmisión, y con esto, las pérdidas de potencia. Con el fin de plantear el problema básico del análisis de flujos de potencia, hacemos uso del sistema más simple posible, sin perder generalidad, dado que este sistema, consistente de dos buses, contiene los elementos básicos de cualquier sistema eléctrico. Esto permite, sin obscurecer el problema con la complejidad, innecesaria en esta etapa por otro lado, del tamaño. Lo anterior significa que el problema que se va a analizar contiene los elementos suficientes para llevar a cabo dicho planteamiento. El sistema eléctrico mencionado, y que se muestra en la figura 1, contiene un generador y una carga, en cada bus, y los buses se unen con una línea de transmisión, la cual se modelará a través un circuito Π nominal.

En este sistema, cada bus es alimentado por un generador que inyecta una potencia SG1 y SG2, respectivamente. A su vez existen cargas en cada uno, que consumen potencias SD1 y SD2, o también podríamos deci r que “inyectan” potencias -SD1 y -SD2, respectivamente. Aquí es importante mencionar que la convención más común consiste P á g i n a 5 | 38 TACO CONDORI GORKI LUIS


en considerar positiva la potencia inyectada en un bus, y por tanto, una potencia extraída en un bus, se puede considerar que es una potencia inyectada negativa. Por otro lado, el voltaje de cada bus es V1 y V2, respectivamente. Dichos voltajes son, por supuesto, fasores, cuya definición completa se dará más adelante. La línea de transmisión que une los buses se representa por medio de un circuito Π nominal. Como se puede observar en la figura 2, esta línea está caracterizada por las admitancias en derivación a cada lado de los buses, así como la impedancia serie, cuya metodología de cálculo se vio en las unidades introductorias del curso de Sistemas Eléctricos de Potencia I.

En la siguiente parte del análisis, concentraremos la inyección total en cada bus, es decir la suma de las inyecciones provenientes del generador y las cargas correspondientes, para lo cual usaremos un símbolo adecuado, como se muestra en la figura 3, que defina la naturaleza de una “fuente” de inyección de potencia nodal.


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Tal como se muestra en la figura, la potencia neta inyectada en cada bus está dada

en el bus1, mientras que para el bus2 será:

Es importante notar que en la figura 3, las flechas de trazo grueso representan las “fuentes “ de inyección de potencia en ambos buses.

También se debe hacer hincapié en que la potencia neta inyectada al bus, dada por las ecuaciones anteriores, para los buses 1 y 2 respectivamente, se refiere a la denominada potencia de bus y se define, como puede observarse, como la diferencia entre la potencia de generación y la potencia de carga en dicho bus. Recordemos que la parte real de la primera (potencia activa del generador), se obtiene por manipulación automática del par de entrada, proporcionado por la máquina prima y su valor en todo momento debe cumplir con el balance de potencia, que implica que su valor debe ser igual a la suma de la demanda más las pérdidas. El criterio de frecuencia constante indica que el balance se mantiene. En cuanto a la componente imaginaria de la misma (potencia reactiva), se mantiene a través de la manipulación de la corriente de campo en el generador, manteniendo el voltaje constante a un nivel predeterminado en cada bus, lo cual constituye el criterio de que el balance en potencia reactiva se mantiene.

ECUACIONES DE FLUJOS DE POTENCIA. En esta sección obtendremos el modelo básico de las ecuaciones de flujos de potencia, usando el sistema eléctrico de dos buses. La potencia inyectada al bus 1, S1, estará dada por S1 = V1·I1 * en donde I1 es la corriente neta inyectada al bus 1. Esta corriente se compone de dos términos; con referencia a la figura 3, vemos que una de esas componentes circula por la rama en derivación Ysh , mientras que la otra circulará por la rama serie Zser. En el primer caso, la corriente será igual a V1· Ysh, mientras que en el segundo caso su valor será (V1- V2)· Yser , donde Yser es el inverso de Zser. TACO CONDORI GORKI LUIS

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Tomando en cuenta lo anterior tendremos para la corriente del bus 1

y de manera similar para el bus 2

Si factorizamos, esta ecuaciones podrán escribirse como sigue

donde definimos

Observamos que los elementos anteriores son elementos de la matriz de admitancias nodales, YBUS. Tomando en cuenta lo anterior, podremos definir las siguientes variables nodales


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Con las definiciones anteriores podemos escribir las ecuaciones (3.5) en forma compacta como sigue

la cual invertida nos conduce a la conocida forma alternativa

Además sabemos que

es la matriz de impedancia de bus (o nodal). Estas últimas dos ecuaciones matriciales son lineales, lo cual está acorde con el hecho de que la red eléctrica que estamos modelando es lineal. Sin embargo en realidad, son las potencias y no las corrientes lo que conocemos, por lo cual al escribir estas ecuaciones en función de la potencia, obtenemos

Fundamentalmente estas son las ecuaciones de flujos de potencia. Es importante observar que están en función de los voltajes nodales. Las ecuaciones anteriores pueden escribirse en forma más compacta y conveniente de la siguiente forma


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En general, las ecuaciones anteriores pueden escribirse

En forma polar, cada voltaje nodal se define como magnitud k V y ángulo k δ, medido con respecto a alguna referencia angular, por el momento aún no definida. Por otro lado las admitancias se definen como Yij = Yij ∠γ ij . Con esto, las ecuación (2.2.10) nos quedaría como sigue

Donde para el caso presente del sistema de dos buses, n = 2 . Si separamos en parte real e imaginaria la ecuación anterior se convierte en las siguientes ecuaciones

Ahora referiremos nuestro análisis al caso del sistema de dos buses, con el objeto de simplificar la discusión de la formulación del modelo de flujos de potencia, y evitar hacer oscurecer el análisis con las complicaciones de las ecuaciones generales de orden n, a las cuales regresaremos más adelante, ya con el concepto entendido. Desarrollando para el caso n = 2 las ecuaciones (2.2.12) obtendremos


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Observamos las características de estas ecuaciones. Son ecuaciones algebraicas debido a que representan un modelo en estado estable de corriente alterna, lo que las hace además complejas. Por otro lado, son no lineales, lo cual, salvo para los casos más simples, las hace imposibles de resolver analíticamente, por lo que se requiere recurrir a una solución numérica. Por otro lado el balance de potencia activa es representado por

Observamos que la suma F p1 + f p2 , representa las pérdidas de potencia activa. De igual forma tendremos que el balance de potencia reactiva resulta

También podemos ver que la suma f q1 + f q2 , representa las “pérdidas” de potencia reactiva. El entrecomillado anterior se debe a que, debemos recordar, que las denominadas pérdidas reactivas, no tienen el mismo sentido de pérdidas en forma de calor, como en el caso de la potencia reactiva, sino representan los requerimientos de energía reactiva de los elementos de transmisión. Observemos que las funciones f q1, f p1, f q2, f p2 y por tanto las pérdidas P perdidas y Q perdidas, son función de los voltajes TACO CONDORI GORKI LUIS

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Si revisamos cuidadosamente las ecuaciones de flujos para, este sistema de ejemplo de dos buses, vemos que tenemos 12 incógnitas:

y solamente cuatro ecuaciones. Aunque es importante observar que las últimas dos incógnitas, los ángulos de los voltajes, siempre aparecen en los argumentos de las funciones trigonométricas en forma de diferencias. Esto nos indica que debemos reducir, de alguna manera, el número de incógnitas con el fin de que igual al número de ecuaciones, es decir, a cuatro incógnitas. En este punto, es importante clasificar las variables involucradas en el modelo. Esta clasificación es muy importante, la cual tiene un enfoque sistémico, y será muy útil para quién estudie, en cursos más avanzados, el problema de flujos de potencia óptimos, y es la que vamos a utilizar. Dividimos en tres grupos las variables del modelo: variables incontrolables o de perturbación, variables de estado y variables de control. En el primer grupo, representamos las demandas: . Mientras que el segundo grupo, variables de estado, están representados los voltajes, tanto en magnitud como en ángulo: V1 , V2 , 1 , 2 δ δ . En el tercer grupo, variables de control, obviamente

incluimos las generaciones: Evidentemente debemos conocer las demandas, lo cual elimina cuatro variables del grupo de incógnitas, dejándonos aún con ocho. Una primera opción, que probablemente se nos antoje como buena, consiste en que a partir de que se conocen las demandas, lo cual es por supuesto correcto, suponer las cuatro variables de control, es decir las generaciones y entonces terminar con un modelo matemático consistente, que incluye los voltajes y sus ángulos como incógnitas. La propuesta anterior, aunque parece buena y hasta cierto punto natural, resulta que no es conveniente por varias razones. Por principio, si observamos las ecuaciones de flujos de potencia, nos damos cuenta que los ángulos de los voltajes aparecen como argumento de funciones trigonométricas en fo rma de diferencias, δ1 – δ2 , nunca en forma individual y por lo tanto no podemos resolver estos valores en forma individual. Otra enorme limitante a nuestra propuesta es que no podemos especificar las cuatro potencias generadas, por la sencilla razón de que no conocemos las pérdidas por anticipado, pues estas son función, como se discutió antes, de los voltajes, es decir de TACO CONDORI GORKI LUIS

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las incógnitas. Lo anterior implica que podemos especificar dos de estas potencias generadas, pero dejar libres las otras dos para que adopten el valor correspondiente en el transcurso del proceso iterativo. Las dificultades expuestas arriba se pueden solventar como indicamos a continuación. Primeramente, el problema de la diferencia angular se puede resolver si fijamos uno de los ángulos, dejando el otro como incógnita; en efecto, esto es conveniente porque además nos permite disponer de una referencia fasorial, lo cual es necesario para darle sentido al ángulo de un voltaje fasorial. De esta forma si fijamos el valor de δ1 = 0,

entonces quedará como referencia el fasor del voltaje del bus 1. Con esto, hemos reducido el número de incógnitas a cinco: De este grupo restante, debemos fijar otra variable más para poder intentar la solución del problema de flujos. Matemáticamente cualquiera podría ser, pero desde el punto de vista físico existen limitantes. La elección estaría entre pues una de estas eliminaría a la otra, debido al fuerte acoplamiento que existe entre estas; recordemos este hecho discutido páginas atrás. Hasta este punto, no hemos fijado ninguna magnitud de voltaje y es necesario mantener los voltajes dentro de ciertos límites, por lo que sería conveniente fijar G1 Q1 V , aprovechando la presencia de un generador en ese bus, el cual puede , dentro de sus límites de operación, mantener un voltaje de operación constante; además, como no conocemos las pérdidas de potencia, tanto activa como reactiva, se requiere dejar sin especificar en un bus ambas variables, con el fin de que al final de la solución, exista esta “holgura” y poder cumplir con el balance de potencia. Por lo tanto al dejar libres las variables y , deberán quedar definidos G1 P G1 Q 1 V y 1 δ , lo cual lo convierte en una referencia fasorial, como discutimos previamente. Lo anterior nos deja con un grupo de cuatro incógnitas, 1 1 2 , , , G G P Q V 2 δ , que

constituyen un sistema de ecuaciones consistente, cuatro ecuaciones en cuatro incógnitas, que por su naturaleza no lineal, deberán resolverse en forma numérica. Los pioneros de la formulación de flujos, quizás Ward y Hale, establecieron la manera sistemática que nos conduce a la obtención del modelo de flujos de potencia para cualquier sistema. Lo anterior implica la clasificación de los buses del sistema en tres clases, que se describen a continuación. 1. Bus de referencia o compensador (en inglés “swing” o “slack”), por su naturaleza de

que las potencias tomarán los valores requeridos para que se cumpla el balance de potencias en el sistema, aparte de que al fijar el ángulo de voltaje, estamos definiendo una referencia fasorial. 2. Bus PQ, a veces llamado también bus de carga, aunque esta designación es menos usada en la actualidad. En este tipo de buses, se especifican las potencias inyectadas al bus, tanto activa como reactiva, quedando libre la magnitud y el ángulo de voltaje. TACO CONDORI GORKI LUIS

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3. Bus PV, a veces denominado bus de generación, que al igual que en el caso anterior, es una designación menos usada en la actualidad. En este tipo de buses, se especifican la potencia activa inyectada al bus, así como la magnitud de voltaje. En la siguiente tabla, resumimos estos conceptos.

FORMULACIÓN DE ESTUDIOS DE FLUJOS DE POTENCIA EN COORDENADAS POLARES En este tipo de coordenadas, el conjunto de ecuaciones algebraicas no lineales y diferenciables, será del orden de(n-n g -2), en donde se conoce (n-1) potencias activas de generación, (n-ng), potencias reactivas de generación y n potencias activas y reactivas de carga (siendo estas las variables de control o independientes), y se desconoce(n-n g 2), magnitudes de voltaje y (n-1) ángulos de fase (variables de estado o dependientes), donde ng es el número de nodos de generación en el sistema eléctrico Expresando en coordenadas polares las cantidades involucradas en la ecuación (2.8):

Substituyendo en (2.8):

Aplicando la identidad de Euler para separar partes reales e imaginarias:


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y de aquí,

Donde las ecuaciones (2.12) son las que representan el problema de flujos de potencia en coordenadas polares. Debe hacerse notar que se introduce dos ecuaciones por cada nodo del sistema eléctrico. De acuerdo a la definición del problema, tanto la generación como la carga son especificadas en cada nodo del sistema, de modo que las incógnitas del problema son las magnitudes de voltaje y sus ángulos de fase. Entonces, en total se tendría un conjunto de 2n ecuaciones con 2n incógnitas. Sin embargo, debido a que el problema es no lineal, no es posible, desde un punto de vista analítico, establecer la existencia y unicidad de solución. Adicionalmente, físicamente no es posible establecer como regla general que en todos los nodos existe una especificación de potencias de carga y generación y que lo que se debe calcular, a través de un proceso iterativo, son las magnitudes y ángulos de fase de los voltajes complejos nodales. Esto ha conducido a establecer una clasificación básica de nodos, de acuerdo a lo que se puede definir como variables de control (especificadas) y variables dependientes (incógnitas), desde un punto de vista eléctrico. Esta clasificación básica consiste en los siguientes tipos de nodos: Nodos de carga. Los nodos de este tipo tienen como variables de control a las potencias

de carga y generación, P esp y Q esp, debido a que se suponen conocidas o especificadas (controlables), mientras que las variables dependientes son su magnitud de voltaje, V, y su ángulo de fase, θ. A estos nodos se les da el nombre de nodos PQ. Nodos de voltaje controlado. Generalmente, en este tipo de nodos se puede incluir a

todos aquellos que tienen instalados dispositivos capaces de mantener fijo el voltaje. Sin embargo, normalmente, únicamente se contempla a aquellos nodos que tienen la capacidad de controlar la magnitud de voltaje en sus terminales, mediante la generación/absorción de potencia reactiva, como generadores y condensadores síncronos, así como compensadores estáticos de VAr. En este caso, las variables de control son la magnitud de voltaje, V, las potencias activas de carga y generación, Pesp, así como su potencia reactiva de carga, QD. La potencia reactiva de generación, QG, está íntimamente relacionada con la magnitud de voltaje, de modo que no es posible controlar ambas variables al mismo tiempo. Entonces, para los nodos de voltaje controlado (nodos PV), las variables dependientes serán la potencia reactiva de P á g i n a 15 | 38 TACO CONDORI GORKI LUIS


generación y el ángulo de fase del voltaje complejo nodal. Además, debido a que no es posible especificar a priori a la potencia reactiva generada, la ecuación de balance correspondiente a la potencia reactiva es eliminada del conjunto de ecuaciones. Nodo compensador. Observando las ecuaciones del problema de flujos en coordenadas

polares, se nota que el planteamiento se basado en el balance nodal. Sin embargo, si la parte resistiva de los elementos de transmisión es incluida, entonces habrá pérdidas en el sistema eléctrico, las cuales, de manera explícita no están incluidas en la formulación. Debido a esto, debe existir, cuando menos, un generador en el sistema que absorba estas pérdidas, las cuales no pueden conocerse antes de resolver el problema, de modo que para el generador o generadores que absorban estas pérdidas no podrá especificarse su potencia activa de generación y, por lo tanto, no es posible establecer una ecuación de potencia activa. Si a esto se le agrega que son nodos PV, entonces, no se especificará las potencias de generación activa, PG, y reactiva, QG, sino más bien su magnitud de voltaje, V. Por otra parte, los voltajes complejos nodales pueden representarse por fasores cuyos ángulos de fase guardan una relación entre sí, lo cual hace necesario especificar una referencia angular que, precisamente, es asignada al nodo compensador y, por lo general, tendrá un valor de cero grados. Al igual que en los dos tipos de nodos anteriores, las potencias activa y reactiva de carga, PD y QD, son especificadas, siendo las variables dependientes las potencias de generación. Por otra parte, el nodo compensador no introduce ecuaciones del tipo (2.18) a la formulación del problema de flujos. No es estrictamente necesario que únicamente de especifique un nodo compensador en el sistema; hay la posibilidad de que haya más nodos de este tipo en el sistema eléctrico. A este tipo de nodo también se le conoce como nodo tipo Vθ. La

tabla 2.1 muestra un resumen de variables de control y especificadas, de acuerdo a la anterior clasificación de nodos.


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CÁLCULO DE FLUJOS DE POTENCIA EN COORDENADAS POLARES Después de obtener una solución para los voltajes, se podrá calcular los flujos de potencia en todos los elementos de la red eléctrica [32], donde cada uno de ellos se representa por su modelo π equivalente de secuencia positiva, tal como se muestra en la figura 2.1.

Debe recordarse que las admitancias del circuito π son parámetros físicos del elemento, y en el que existen pérdidas, de modo que, en términos generales, se cumple que P im ≠ Pmi y que .Q im ≠Q mi

Por otra parte, se tiene las relaciones de corriente siguientes:

y la potencia que se envía del nodo i al nodo m:

Además, se tiene lo siguiente:

Obteniendo los conjugados de las corrientes, y substituyendo en la ecuación (2.14):

Obteniéndose:

De igual manera, el flujo de potencia compleja del nodo m al nodo i será:


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Recordando que la ecuación de flujo de potencia compleja en cualquier elemento conectando a los nodos i y m es:

y expresando en términos exponenciales las cantidades complejas de esta ecuación:

Sabiendo que:

Separando partes reales e imaginarias:

Si se considera que las admitancias en derivación del circuito π son puramente reactivas, las expresiones anteriores se simplifican a las siguientes:

En la misma forma, los flujos de potencia del nodo m al nodo i están dados por:

A continuación, se describe los métodos de solución del problema de flujos de potencia formulado en coordenadas polares. La representación matemática de sistemas eléctricos de potencia, generalmente resulta en un conjunto de ecuaciones algebraicas no lineales [33]. La mayoría de las técnicas existentes para solución, transforma el problema no lineal a un problema linealizado, dando lugar a un proceso iterativo. Adicionalmente, los métodos de solución en coordenadas polares son: 1. Método de Newton –Rapshon. 2. Método de Newton Desacoplado. 3. Método Desacoplado Rápido.


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y el ordenamiento de las ecuaciones linealizadas hace de estos métodos una herramienta poderosa en el análisis de los SEP.

MÉTODO DE NEWTON RAPHSON En el caso del problema de flujos, en general, para cada nodo del sistema eléctrico de potencia, setiene el siguiente par de ecuaciones algebraicas no lineales [33,34]:

Aplicando la expansión en Series de Taylor, despreciando los términos con derivadas mayores a la primera derivada y suponiendo que todas las variables involucradas pertenecen a una solución, se obtiene las expresiones:

De acuerdo a la definición del problema, hay variables que son constantes, siendo estas, en principio, las potencias de generación y carga, así como los elementos de la matriz de admitancias nodal. Entonces, las expresiones anteriores se simplifican a las siguientes:

Aplicando el método de Newton al problema de flujos de potencia en coordenadas polares, el modelo linealizado del problema, a resolver en cada iteración k es el siguiente [3]:


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Desarrollando las derivadas parciales de FP y FQ, se notará que pueden expresarse en función de las derivadas parciales de las potencias netas inyectadas:

Este resultado es debido a que las potencias de generación y de carga son constantes y, por tanto, sus derivadas parciales son cero. Entonces, la ecuación (2.28) se convierte en la siguiente:

y eliminando los signos negativos, se obtiene el sistema de ecuaciones a resolver en cada iteración del método de Newton en coordenadas polares:

Si los términos de (2.29) involucrando derivadas parciales con respecto a la magnitud de los voltajes son multiplicados y divididos por estas variables, es decir


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Estas expresiones pueden rescribirse como:

de modo que la ecuación (2.29) se modifica a la siguiente:

Esto permitirá que las expresiones para determinar cada elemento de la matriz de derivadas parciales o Jacobiano se simplifiquen, resultando en las siguientes:

Al observar estas ecuaciones, puede notarse lo siguiente:  

Hay elementos de la matriz de admitancias nodal en todas las ecuaciones, de modo que el Jacobiano tendrá las mismas características de dispersidad. Debido a que (θi - θm) ≠ (θm - θi), el Jacobiano no resulta simétrico, desde un punto de vista numérico, aunque es simétrico en estructura, es decir, por cada elemento (i,m) distinto de cero, existirá otro que también será distinto de cero en la posición (m,i), pero de valor diferente.


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Lo anterior permite, en forma relativamente sencilla, la aplicación de técnicas de dispersidad para resolver la ecuación (2.30), evitando tanto el uso excesivo de memoria de computadora como de la ejecución de operaciones aritméticas innecesarias. El vector independiente de la ecuación (2.30) debe calcularse de la siguiente manera:

donde:

Una vez que se resuelve (2.30), será necesario multiplicar cada incremento de voltaje por su magnitud, esto es,

y estar en condiciones de actualizar ángulos de fase y magnitudes de voltaje mediante las expresiones:

Nótese que (2.32) son las ecuaciones de balance de potencia nodal evaluadas en cada iteración. El error entre los valores que se calculan para V y θ en cada paso del proceso iterativo y los de solución causa, en consecuencia, la desviación en el balance de potencia nodal. Entonces, es de esperar que, conforme se tiende hacia una solución, las desviaciones de potencia nodal, ΔP y ΔQ, tiendan a cero. Esto permite establecer un criterio de convergencia para el método de Newton en coordenadas polares, expresado en la siguiente forma:

Cuando se cumpla con este criterio, se ha logrado la convergencia hacia una solución, terminando así el proceso iterativo. En caso contrario, se continúa con el proceso, revisándose la convergencia en las iteraciones subsecuentes. TACO CONDORI GORKI LUIS

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Para iniciar el proceso iterativo, será necesario especificar valores de magnitud y ángulo de fase para cada voltaje nodal del sistema eléctrico. En la práctica, se ha comprobado que el perfil plano de voltaje es el más adecuado, si no se conoce otra condición inicial mejor (un estudio de flujos de potencia previo). Esta condición inicial consiste en especificar todas las magnitudes de voltaje en los nodos PQ iguales a 1.0 pu, mientras que los ángulos de fase en nodos PQ y PV serán iguales a 0.0 grados. En resumen, el método de Newton en coordenadas polares consta de los siguientes pasos: 1. Condiciones iniciales. En este paso, se proporciona o inicializa la información necesaria para arrancar el proceso iterativo, lo cual incluye: a) Parámetros de líneas, transformadores, compensación fija en derivación y cargas. b) Para nodos PV, se especifica los límites máximo y mínimo de potencia reactiva de generación. c) Número máximo de iteraciones, potencia base y algunos otros parámetros que se consideren necesarios para controlar el proceso iterativo. d) Cálculo de la matriz de admitancias nodal, potencias especificadas mediante la ecuación (2.7), especificación de magnitudes y ángulos de fase iniciales. 2. Proceso iterativo. Con los valores actuales de V y θ, calcular las potencias netas inyectadas real y reactiva usando (2.33), determinar las desviaciones de potencia nodal, ΔP y ΔQ, con las expresiones (2.32), así como sus máximos y aplicar el

criterio de convergencia dado por (2.36). En caso de cumplir con las tolerancias especificadas, ir al paso 4; de otra manera, hacer el siguiente. 3. Solución del conjunto de ecuaciones lineales y actualización de variables. Con los valores actuales de V y θ, determinar los elementos del Jacobiano mediante las expresiones (2.31.1)-(2.31.8), substituir en (2.30) y resolver para Δθ y ΔV/V. Corregir el vector de increm entos de voltaje con (2.37) y actualizar V y θ

mediante (2.36). Por último, regresar al paso 2. 4. Cálculos finales. Cuando ya se tiene conocido el estado del sistema (voltajes complejos nodales), puede calcularse, entre otras cosas, lo siguiente: (a) Potencias de generación en el nodo compensador. (b) Flujos de potencia en elementos de red con las ecuaciones (2.24) y (2.25). (c) Pérdidas por transmisión. La figura 2.2 muestra el diagrama de flujo del método de Newton en coordenadas polares. Los cuatro pasos anteriores representan un método de Newton sin ajustes o modelos de dispositivos especiales. Al incluir algún tipo de estos, se debe agregar los pasos necesarios y coordinarlos adecuadamente con los anteriores. Un ajuste imprescindible de agregar es el manejo de límites de potencia reactiva de generación, cuya aplicación se describe en secciones posteriores. P á g i n a 23 | 38 TACO CONDORI GORKI LUIS



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EJEMPLO PARA EL METODO DE NEWTON RAPSON


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PROBLEMA Y SOLUCIÓN NEWTON-RAPHSON DEL FLUJO DE POTENCIA Es matemáticamente superior al de Gauss- Siedel para SEP ha resultado más eficiente, y practico en número de iteraciones requeridas para obtener una solución, no depende del tamaño del sistema, pero se requiere más en cada i teración La ecuación de flujo e potencia para su solución Newton-Raphson es en forma polar.

Vi

yi1

V1 yi2

Ii

V2

yi3 V3

yi0 n

Ii

 Vi yij  j0

Admitancia shunt

n

 yijVj

(5.1)

j1 j1


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La escritura polar facilita el uso de dicho método entonces la expresión (5.1) resulta: Ii



n

 YijVj j 1

Ii



(5.2)

n

 | Yij || Vj | (θij  δj) j 1

Potencia conjugada de la barra i: Pi



jQi



Pi



jQi

| Vi | (δi) | Yij || Vj |(θij 

*

Vi Ii n

δj)

(5.3)

j 1

Pi



n

 | Yij || Vj | | Vi | cos(θij  δi

 δj)

j 1

(5.3)’

n

Qi

  | Yij || Vj | | Vi | sen(θij  δi  δj) j 1

(5.3)’ constituye un sistema de ecuaciones algebraicas no lineales, en tanto de las variables independientes las ecuaciones (5.3) se pude escribir cuando j=i Cuando j=i entonces resulta:

Pi

| Vi |2

Gii



n

 | Vi | | Vj || Yij | cos(θij  δi  δj) j1 ji

Pi

 [| Vi |

2

Bii



n

 | Vi | | Vj || Yij | cos(θij  δi  δj)] j1 ji

------ (5.3’’)

ANALISIS Analizamos el método de Newton-Raphson para un sistema de 4 nodo, uno de los 4 nodos, es el nodo slack, de donde tenemos que:


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Nodo

1

2

3

4

slack

Cualquiera de estas expresiones puede ser expandida mediante la serie de Taylor que las expresiones son ecuaciones no lineales. P 2

| V 2 || V 1 || Y 12 | cos(θ12 

δ2



δ1)



| V 2 ||| Y 22 | cos(θ22) | V 2 || V 4 || Y 24 | cos(θ24



δ2



δ4)

P 3

| V 3 || V 1 || Y 13 | cos(θ13 

δ3



δ1)



| V 3 ||| Y 33 | cos(θ33) | V 3 || V 4 || Y 34 | cos(θ43



δ3



δ4)

P 4

| V 4 || V 3 || Y 43 | cos(θ43 

δ4





| V 4 ||| Y 44 | cos(θ44) | V 4 || V 2 || Y 42 | cos(θ42



δ4



δ2)

δ3)

2

2

2

Cualquiera de estas expresiones pude se expandida mediante la serie de Taylor ya que las expresiones son ecuaciones no lineales. Las variables son V2,δ2,V4, δ4, luego: (0)

P 2

(0)

P 3

 

P 2 P 2 P 2 δ2(0)  δ4(0)  δ2 (0) δ4 (0)  | V 2 P 3 P 3 P 3 δ3(0)  δ4(0)  δ3 (0) δ4 (0)  | V 3

 |

(0)

| V 2 |



(0)

 |

(0)

(0)

| V 3 |



P 2 

| V 4 |



0



0

(0)

| V 4 |

(0)

P 3 

 

| V 4 |(0)

(0)

| V 4 |

(0)

P 4 ... (0)

Q 2 ... (0)

Q 3 ...

Evalúo de manera similar las potencias reactivas alrededor del punto inicial. Escribiendo en forma matricial tenemos, y generalizando para el caso que todos los nodos están conectados entre si.


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Ejemplo: Usando el método de Newton-Raphson, resolver el flujo de potencia del sistema 250MW 109MVAR V1=1.03

∟0º

1

6.8966-j17.2414

7 . 5 4 7 2 - j 2 6 . 2 1

2

1 8 1 . 4 9 j 2 7 4 6 7. 1

3

|V3|=1.02 120MW

S2=-2.5-j1.09 P3=1.2 V1=1.03∟0º V2=1.0+j0.0 V3=1.02+j0.0 TACO CONDORI GORKI LUIS

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Solución: Conformamos La matriz de admitancias:

Ybarra

45.9836  77.6941    18.5696111.8015  27.4721105.9455 

P 2

| V 2 || V 1 || Y 12 |

P 3

| V 3 || V 1 || Y 13 | cos(θ13 

Q 2

 

cos(θ12



δ2



δ3



| V 2 || V 1 || Y 12 | sen(θ12



18.5696111.8015 52.7154

62.2517

34.2998120.9638

| V 2 ||| Y 22 | cos(θ22) | V 2 || V 3 || Y 23 | cos(θ23



δ2



δ3)



| V 3 ||| Y 33 | cos(θ33) | V 3 || V 2 || Y 32 | cos(θ32



δ3



δ2)

δ1)



  34.2998120.9638  61.2483  65.7105 



δ1)

δ2



27.4721105.9455

2

2



δ1)

| V 2 ||| Y 22 | sin(θ22) | V 2 || V 3 || Y 23 | sen(θ23 2

P 2  1.9402 P 3  0.9170 Q 2  0.0155

Hallando la matriz Jacobiana: P 2  V 2 V 1 Y 12 cos(θ12  δ2  δ1)  V 2 V 3 Y 23sen(θ23  δ2  δ2 P 2   V 2 V 3 Y 23sen(θ23  δ2  δ3) δ3 P 2  V 1 Y 12 cos(θ12  δ2  δ1)  2V 2 Y 22 cos(θ22)  V 3 Y 23  V 2

δ3)

cos(θ23



δ2



δ3)

P 2  47.7586 δ2 P 2  30.0000 δ3 P 2  23.9838  V 2 P 3   V 3 V 2 Y 23sen(θ23  δ3  δ2) δ2 P 3  V 3 V 1 Y 13sen(θ13  δ3  δ1)  V 3 V 2 Y 23sen(θ23  δ3 P 3  V 3 Y 23 cos(θ23  δ3  δ2)  V 2

δ3



δ2)

P 3  30.0000 δ2 P 3  57.7517 δ3 P 3  18.0000  V 2 TACO CONDORI GORKI LUIS

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

δ2



δ3)


Q 2  V 2 V 1 Y 12 cos(θ12  δ2  δ1)  V 2 V 3 Y 23 cos(θ23  δ2  δ3) δ2 Q 2   V 2 V 3 Y 23 cos(θ23  δ2  δ3) δ3 Q 2   V 1 Y 12sen(θ12  δ2  δ1)  2V 2 Y 22sen(θ22)  V 3 Y 23sen(θ23   V 2

δ2



δ3)

Q 2  25.1034 δ2 Q 2  18.0000 δ3 Q 2  45.5477  V 2

 47.7586  30.0000 23.9838    18.0000 J   30.0000 57.7517   25.1034 18.0000 45.5477  0.0273 0.0166  0.0078  1  0.0168 0.0256 J 0.0013  0.0084  0.0010 0.0171   δ2  P 2 P 3  J  δ3       V 2  Q 2  δ2  P 2  δ3   J 1 P 3      V 2  Q 2

 δ2  0.0273 0.0166  0.0078  1.9402  δ3   0.0168 0.0256   0.9170  0.0013       V 2  0.0084  0.0010 0.0171   0.0155   δ2    0.0378  δ3     0.0090      V 2    0.0169


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 δ2(1)  0   0.0378  (1)       δ3   0   0.0090  V 2(1) 1  0.0169    δ2(1)   0.0378  (1)     δ3    0.0090  V 2(1)  0.09831    Analizamos lo mismo para una segunda iteración Valores iniciales: (1)

δ2

(1)

δ3

(1)

V 2

  0.0378rad   0.0090rad  0.09831rad

 2.4544 (2) P 3  1.1929 (2) Q 2  1.0664 (2)

P 2

P 2  P 2  P 2(2) P 3  P 3  P 3(2) Q 2  Q 2  Q 2(2) P 2  0.0456 P 3  0.0071 Q 2  0.0246 Hallamos el Jacobino de la segunda iteración:

 46.1528  28.9711 21.6316     J   29.9891 57.6680 17.1297     26.1743 18.5363 44.7799  0.0283 0.0166  0.0073  1  0.0175 0.0257 J 0.0014  0.0093  0.0009 0.0175 


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 δ2  P 2 P 3  J  δ3       V 2  Q 2  δ2  P 2  δ3   J 1 P 3      V 2  Q 2 Luego: Los valores aproximados son: V2=0.9815-j0.0381; Q3=0.44;V3=1.02-j0.0099 Calculo de las corrientes en las líneas: I 12 I 21 I 13 I 31 I 23 I 32 I 12 I 21 I 13 I 31 I 23 I 32

     

y 12(V 1

 V 2)

I 12 y 13(V 1

 V 3)

I 13 y 23(V 2

 V 3)

I 23

 0.9914  j0.5739  0.9914  j0.5739  0.3367  j0.1909  0.3367  j0.1909  1.5089  j0.6337  1.5089  j0.6337

S 12



V 1.I 12

S 21



V 2.I 21

S 13



V 1.I 13

S 31



V 3.I 31

S 23



V 2.I 23

S 32



V 3.I 32

*

*

*

*

*

*


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S 12 S 21 S 13 S 31 S 23 S 32

 1.0211  j0.5911  0.9949  j0.5255  0.3468  j0.1966  0.3453  j0.1914  1.5051  j0.5645  1.5452  j0.6314

Pérdidas en las líneas: Sl12 Sl13 Sl23

  

0.0262 0.0015 0.0402

 j0.0656  j0.0052  j0.0670

SOLUCIÓN DESACOPLADO RÁPIDO DEL FLUJO DE POTENCIA En las líneas de transmisión las X>>R por lo que los cambios de potencia real ∆P son poco sensibles a los cambios de la magnitud del voltaje.∆V, peor son bastantes susceptibles a los cambios del ángulo de fase ∆δ. De igual manera la potencia reactiva es poco sensible a los cambios en el ángulo pero son bastantes sensibles a los cambios de la magnitud del voltaje. Por lo tanto los elementos de la matriz Jacobiana resulta: J

J 1 0      0 J 2

De acuerdo a la ecuación (5.5) resulta

P  J 1 0  δ   Q   0 J 2  V  (5.5)      O la última ecuación matricial se pude desacoplar en 2 ecuaciones.

P  Q 

J 1δ J 4 V

P δ δ Q   V  V



(5.6)


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Además se pueden hacer simplificaciones para no calcular J1 y J4 durante cada iteración, este procedimiento resulta en las ecuaciones desacopladas del flujo de potencia. Los elementos de la diagonal de J1 n Pi   Vi Vj Yijsen(θij  δj  δi j1 Pi 2  Qi  Vi Yiisen(θii) δi Pi 2  Qi  Vi Bii δi

δi)



2

Vi Yijsen(θii)

En un SEP típico Bii>>Qii por lo tanto podemos desprecia Qii, además asumimos que |Vi|2≈|Vi|, entonces

Pi  Vi Bii (5.8) δi En condiciones de operación normales δi- δj es bastante pequeño por lo que la ecuación (5.3)’’ θii- δi+δj resulta θii, es decir θii- δi+δj= θii y los elementos fuera de la diagonal de J1 resultan:

Pi   Vi VjBij (5.9) δi si asumimos que |Vj|=1 entonces.

Pi   Vi Bij δi

(5.9’)

Similarmente se hace un análisis para los electos de J4. n Qi   ViYiisen(θii)   Vi Vj Yijsen(θij  δj  δi)  Vi j1 Qi   ViYiisen(θii)  Qi  Vi

Luego Bii>>Qii

Qi   Vi Bii  Vi TACO CONDORI GORKI LUIS

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Asumiendo θii- δi+δj= θii

Qi   Vi Bij Para los electos fuera de la diagonal (5.11)  Vi Con éstas simplificaciones (5.6) y (5.7) resultan:

P  B' δ (5.12)  Vi Q  B''  Vi (5.13)  Vi Entonces B’ y B’’ son la parte imaginaria de la matriz Ybarra, como los elementos de esa matriz son constantes, entonces para su solución se necesita triangular e invertir solo una vez en el proceso iterativo.


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