UNIVERSIDAD NACIONAL MAYOR DE SAN MARCOS (Universidad del Perú, DECANA DE AMERICA)
FACULTAD DE CIENCIAS FÍSICAS ESCUELA DE INGENIERÍA MECÁNICA DE FLUIDOS
TRABAJO DE NVESTIGACIÓN – FLUJO DE REYLEIGH
CURSO:
FLUJO COMPRESIBLE
PROFESOR:
ING. JUAN JOSÉ GUILLERMO NAVARRO
INTEGRANTES:
CHRISTIAN CCONAYA BERMEJO 10130186 SERGIO LERMO MAMANI 03130183 ANGEL PINTADO GARCÍA 06130097 ABEL OLIVAS NINAHUANCA 11130050 FRANK RAMON CUSTODIO 061 30118 JUAN SUPO ALBUJAR 09130043 FLAVIO SOTOMAYOR CARHUATTOCTO 09130129
LIMA-PERÚ 2018
Tabla de contenido
INTRODUCCIÓN ............................................................................................................. 3 CONCEPTO ..................................................................................................................... 4 CÁLCULO DE LA GARGANTA SÓNICA ................................................................... 9
EVOLUCION DE ENTALPIA Y ENTROPIA ........................................................... 9
RELACIONES ADICIONALES ............................................................................... 11
LÍNEA DE RAYLEIGH ............................................................................................ 13
APLICACIONES ....................................................................................................... 15
BIBLIOGRAFÍA.............................................................................................................. 18
INTRODUCCIÓN El flujo de Reyleigh es un tipo de flujo compresible en conductos. Se caracteriza por ser adiabático, absorbe o cede calor para mantener una sección de paso constante sin cambio en la masa que circula por ella y sin efecto de la fricción. Aunque el caso general es el compresible, se puede aplicar los resultados también para el caso simplificado de flujo incompresible. Su planteamiento analítico parte de las premisas del modelo de gas perfecto.
Debido a esta transferencia de calor, la temperatura de estancamiento cambia con el intercambio de calor. Esto particularmente lo diferencia de otros casos como el flujo de Fanno o el flujo compresible con variación de sección, donde la temperatura de estancamiento es constante. Este intercambio afecta también a la presión de estancamiento con lo que se denomina como efecto Rayleigh: el aumento de la temperatura genera un cambio de la densidad que para conservar el gasto másico altera la velocidad. Por conservación de la energía se produce una variación de presión.
Así la adición de calor al flujo tenderá a llevar el flujo (sea este supersónico o subsónico) a Mach unitario, bloqueándolo. A la inversa, la cesión de calor al exterior tenderá a bajar el número de Mach si es subsónico y a aumentarlo si es supersónico. Se puede demostrar que para gas perfecto la máxima entropía ocurre para M=1. Este modelo es normalmente apropiado para describir el flujo en cámaras de combustión de ciclos Joule-Brayton, usados en motores de aviación y generación de energía eléctrica con turbina de gas.
Ilustración 1. Diagrama del ciclo Brayton teórico (en negro y real en azul), en
función de la entropía S y la temperatura T.
CONCEPTO Se denomina Flujo de Rayleigh al flujo de un gas perfecto compresible, isentrópico (s=cte) y no adiabático (Q≠0) en un ducto de sección constante como el de la figura. La ecuación de cantidad de movimiento que aplica al volumen de control es:
p1 A1 + m V 1 = p2 A2 + m V 2 + 0
p
( V ) 2
cte ….. (1)
Utilizando la ecuación de estado para gases ideales la ecuación anterior se puede escribir como: p
( V ) 2 RT p
cte
Como el producto ρV es constante para el flujo de Rayleigh la ecuación anterior relaciona, para un flujo dado ®, la presión con la temperatura. Combinando esta relación con la segunda ecuación vista anteriormente para la entropía se puede graficar el desarrollo del flujo en un diagrama T – s obteniéndose curvas como la que se muestran en la figura.
Ilustración 2. Diagrama T-s para flujo de Rayleigh.
Diferenciando (1) y utilizando la forma diferencial de la ecuación de estado, la ecuación de continuidad y la segunda de las ecuaciones para T ds la ecuación anterior se puede escribir como
ds dT
C p T
1
V
T T V ( ) V R
Para el punto a de la curva se cumple que ds/T=0 de donde:
V a
RT a k
Lo que indica que el número de Mach en el punto a es uno, es decir, M a=1. Para el punto b se cumple que dT/ds = 0 de donde:
M b
1 k
Dado que k>1 para todos los gases, el flujo en el punto b debe ser subsónico. La ecuación de conservación de la energía para el VC es:
.
m[h2
h1
V 22
2
V 12
2
.
g ( z 2
.
z1 )] Q W
Como W = 0para el flujo de Rayleigh y despreciando z 2-z1 la ecuación anterior, en forma diferencial, se escribe de la siguiente manera: .
.
dh VdV q (Q/ m)
Utilizando dh=CpdT, la ecuación para la velocidad del sonido, el número de Mach, la ecuación de continuidad y la ecuación de estado, la ecuación anterior se escribe como:
V
1
q
dV
C p T (1 M 2 )
De la ecuación anterior se puede ver que para un flujo subsónico (M<1) un calentamiento del flujo ( q>0) produce una aceleración del flujo (dV>0) y que un enfriamiento ( q<0) produce una desaceleración del flujo (dV<0). para el caso supersónico se verifica un comportamiento inverso, es decir, ( q > 0) → dV < 0 y ( q < 0)→dV > 0.
Efectuando un desarrollo equivalente al realizado para el flujo de Fanno es posible determinar las siguientes ecuaciones:
p1 p 2
T 1 T 2
1
kM 22
1
kM 1
M M
2
1
1 kM 2
2
1 kM 1
2 2
2
Ilustración 3. Diagrama t-s para el flujo de Rayleigh
k
k 1 2 k 1 1 M 1 2 ( p 0 )1 p1 1 kM 2 2 k 1 2 ( p0 ) 2 p 2 1 kM 12 1 M 2 2
k
k 1 2 k 1 1 2 M 1 1 k 1 M 22 2
Utilizando el punto a, donde Ma=1, como referencia se obtiene
p p a
T T a
( p0 ) ( p0 ) a
1 1
k
kM
2
M (1 k ) 2 1 kM
2
1 k 2 k 1 2 M 1 2 1 kM 2 1 k
2
(T 0 ) (T 0 ) a
2(k 1) M 1
a
k 1 2 M
2
(1 kM ) 2
V
V a
M
2
2
(1 k )
1 kM 2
k k 1
Ilustración 4. Correlaciones para el flujo de Rayleigh
La Ilustración 4 muestra en forma gráfica las relaciones anteriores.
CÁLCULO DE LA GARGANTA SÓNICA Con tan solo considerar M 2=1, la resolución de la ecuación diferencial lleva a la siguiente relación entre los valores en un punto del flujo (sin superíndice) y los de la "garganta térmica" (con superíndice *), la zona donde los efectos térmicos bloquean el flujo como sigue: T 0 * T 0
2(k 1) M 2 1 (1 kM 2 ) 2
k 1 2 M ;
2
Estos valores son claves para el diseño en sistemas de combustión. Por ejemplo, si una cámara de combustión de un turborreactor tiene una temperatura máxima de T0* = 2000 K; T0 y M en la entrada deberán escogerse para que dicho bloqueo no ocurra y disminuya el empuje del motor.
EVOLUCION DE ENTALPIA Y ENTROPIA
Para este modelo, el incremento de entropía en un punto y la garganta es, adimensional izado como entropía entre calor especifico.
k 1 k s 2 k 1 S ln M 2 1 kM C p
Con lo que se puede trazar un gráfico relacionando el número de Mach con el aumento de entropía.
Ilustración 5. Rayleigh Line Plot (H-DeltaS Diagram)
Igualmente, se puede obtener una ecuación para sacar la relación entre M y H. Para calcular dicha entalpía se considera el modelo de gas perfecto, donde la entalpía queda determinada a partir de la temperatura estática por medio de un calor específico constante. Igual que en el caso de la entropía, esa se adimensional iza dividiéndola por la entalpía en la garganta.
H
C p T
h
T T
*
h
*
*
C p T
T
*
T
(k 1) M 2 1 kM
2
Sin embargo, dada la ecuación que relaciona T/T* existen más de un número de Mach para un mismo valor de entalpía.
Por eso es más habitual trazar el diagrama que relaciona la entalpía adimensional H con ΔS. Así M puede ser una variable independiente y ΔS y H pueden relacionarse como en
la gráfica anexa. Se ve en ella como el calentamiento acelera flujos subsónicos hasta M = 1, donde el flujo se bloquea. En cambio, añadir calor a un flujo supersónico causa que el Mach disminuya hasta bloquear igualmente el flujo. Enfriar el flujo produce los resultados inversos. En dicho punto crítico de M=1, se ve cómo la entropía alcanza un máximo. Por contra, la entalpía alcanza un valor máximo para M = 0,845. Esto indica que a partir de dicho punto y hasta M=1, aunque se añada calor al flujo la temperatura de este disminuye debido a que el aporte de energía es menor que la energía que se está convirtiendo en energía cinética.
RELACIONES ADICIONALES
Como premisas del modelo, el área y el flujo másico A diferencia del flujo de Fanno, el factor de fricción de Manning permanece constante. En cambio otras propiedades varían. Análogamente a lo calculado con la temperatura de remanso, puede establecerse la relación entre las propiedades en un punto arbitrario del flujo (sin superíndice) y las del flujo en la garganta (con superíndice *). Estas son: p p *
*
T T *
V V *
k 1 1 kM
2
1 kM 2 (1 k ) M
2
( k 1) 2 M 2 2
(1 kM )
2
(k 1) M 2 1 kM 2
p p 0*
k 1 2
1 2 1 kM k 1
k 1 2 M
k k 1
2
Como en el caso de la relación entre M y T 0, es posible relacionar dos puntos arbitrarios a través de estas relaciones: k 1 2
p1
p 2
1 kM 1
k 1 2
1 kM 2
1 kM 12 1
2
(1 k ) M 12 1 kM 22 (1 k ) M 22
(k 1) 2 M 12 T 1 T 2
(1 kM 12 ) 2 (k 1) 2 M 22 (1 kM 22 ) 2
( k 1) M 12 V 1 V 2
1 kM 12 ( k 1) M 22 1 kM 22
k
k 1
p1 p 2
k 1 2 M 1 2 1 kM k 1 2
2
1
1
k 1
2 k 1 1 M 2 1 kM k 1 2
2
2
2
k
1
k k 1
LÍNEA DE RAYLEIGH
Las condiciones antes y después de la onda de choque, deben satisfacer la ecuación de la cantidad de movimiento , de la forma (p+ρ c2 = Cte) que junto con las otras ecuaciones que definen el incremento de entropía del proceso irreversible, la ecuación de continuidad y la ecuación de estado de fluido, permiten determinar, en un diagrama (i,s), la línea de Rayleigh.
Eliminando c entre las ecuaciones de continuidad y de la cantidad de movimiento se obtiene: p G 2 v 2 p
G2 g
2
cte
Cte B
Eliminando p entre esta ecuación y la de la entropía, resulta: G 2 G 2 B 2 v k B 2 k g g s s0 cv ln cv ln 0 cv ln k k p0 v0
La entalpia se puede poner en función de
0
y
k
d las condiciones aguas arriba; teniendo
en cuenta el valor de B, se tiene: 2 2 v G Cp G i CpT Cp B Cp B 2 2 R R g gR g
pv
Las dos últimas ecuaciones relacionan i y s a través del parámetro , su representación gráfica en un diagrama (i,s) permite obtener la linea de Rayleigh (fig. XII.14.) Para hallar el máximo de entropía, o lo que es lo mismo, el punto de tangencia vertical, hay que calcular, ds/di=0
Ilustración 6. Linea
de Rayleigh en el diagrama (i-s)
Ilustración 7. Intersección
de las curvas de Fanno y Rayleigh.
Es decir, en el punto de tangencia vertical se tiene, al igual que para la curva de Fanno, una velocidad igual a la del sonido, M=1. Como las condiciones de flujo inmediatamente y después de la onda de choque normal deben quedar incluidas en ambas curvas, la única posibilidad de que esto se cumpla es que dichas condiciones cambien súbitamente desde un punto de intersección, en
condiciones subsónicas a otro punto en condiciones supersónicas, tal como se muestra en la figura XII.15.
Como la entropía es siempre creciente, resulta que la sección aguas arriba de la onda de choque normal corresponde al punto de intersección de menor entropía, es decir, régimen supersónico, por lo que esta onda de choque se producirá siempre desde flujo supersónico a subsónico.
APLICACIONES
El modelo de Rayleigh tiene muchos usos analíticos, particularmente para el cálculo de motores de aviación. Las cámaras de combustión de estos motores suelen tener un flujo másico constante en una sección constante, pero con una obvia adición de calor. Ello cumple todas las premisas del modelo de Rayleigh siempre que la reacción química no haga que la mezcla de aire y combustible difiera mucho del gas perfecto. Las ecuaciones se usan entonces para prever el comportamiento del flujo y evitar que se produzca una onda de choque o un bloqueo sónico que disminuyan el empuje del motor. El modelo se suele usar en combinación con el flujo de Fanno. Ambos flujos dan los mismos resultados para los puntos donde sus curvas características se cortan, lo que es significativo ya que son los puntos donde un flujo puede desembocar en el otro. Esto se debe a que aunque ambos modelos dan una entropía máxima en M=1, difieren en los valores de entropía que predicen para dicho máximo.
Ilustración 8
Si se comparan los valores que dan en función de un punto medido con entropía s i y Mi, podemos comparar los resultados que ambos dan:
k s si M k S F ln Cp M i
1
s si M S R ln Cp M i
k 1 M i 1 2 k 1 M 1 2
2
2
k 1 2 2 M i 1 2 k 1 M 1 2
2
k 1 2 k
k 1 k
En la figura de ejemplo se ha trazado para unas condiciones iniciales de s i = 0 y Mi = 3.0. Con esos valores se igualan las ecuaciones:
2 k 1 2 M 2 k 1 2 M i 1 M i M 1 2 2 2 2 2 2 (1 kM i ) (1 kM )
Interesantemente, los puntos de intersección ocurren al valor inicial de Mach y al valor de este número tras una onda de choque. En la figura, estos son M = 3.0 y 0.4752, que se pueden obtener en una tabla de valores para ondas de choque. Esos puntos peculiares son aquellos en los que un flujo puede cambiar de un modelo a otro.
BIBLIOGRAFÍA
Flujo de Rayleigh. Wikipedia: https://es.wikipedia.org/wiki/Flujo_de_Rayleigh
R. Mott; Mecánica de Fluidos, 6a edición, Pearson Prentice Hall, 2006.
Y. Cengel, J. Cimbala; Mecánica de Fluidos, Fundamentos y Aplicaciones, McGraw Hill, 2006.
R. Fox, A. McDonald; Introduction to Fluid Mechanics, 5a edición, Wiley, 1998.
Munson, Young, Okiishi; Fundamentals of Fluid Mechanics, 3a edición, Wiley, 1998.
Potter, Wiggert; Mecánica de Fluidos, 2ª edición, Prentice Hall, 1998.
J. Anderson; Modern Compressible Flow, McGraw Hill, 1982.
Shames; La Mecánica de los Fludos, McGraw Hill, 1978.
Flujo Isentrópico, Toberas Laval, cohete. JASF. (2016). : https://jasf1961.wordpress.com/category/toberas-laval-flujo-isentropico/
