Matemáticas Maestría en Ciencias en Ingeniería Química
INTRODUCCIÓN En el presente trabajo se presentan algunos acontecimientos importantes de la vida de Isacc Newton que contribuyeron al desarrollo del algebra no lineal, tal es el caso del método de Newton Rapshon, método iterativo que se aplica para resolver sistema de ecuaciones algebraicas no lineales, el cual se debe el cálculo de raíces de una una unc unci! i!n n por por apro apro"i "ima maci cion ones es suce sucesi siva vas s y tamb tambié ién n se estu estudi dian an las las deiciencias deiciencias de tal método en casos en el cual no e"iste convergencia convergencia y por #ltimo se proponen ejemplos numéricos para demostrar la valide$ y e"actitud del método de Newt Newton on Raps Rapsho hon, n, hacie haciend ndo o uso tambi también én de sotw sotware are para para la soluc soluci!n i!n de ecuaciones no lineales %
HISTORIA DEL METODO DE NEWTON-RAPHSON El método de Newton es probablemente el proceso más antiguo y amoso de iter iterac aci! i!n, n, tien tiene e sus sus prim primer eras as vers versio ione nes s en la anti antigu gua a &abi &abilo loni nia, a, rein reino o de 'esopotamia, hoy Ira( )*+% uriosamente, aunque lleva el nombre de Newton desde el a-o ./*0, no es mérito de Isaac Newton 1.234,.5456 el haberlo propuesto en la manera como hoy lo conocemos% Este, como otros mitos, le asigna a Newton descubrimientos que no hi$o )3+% 7e hecho, no hay evidencia de que Newton lo conociera, seg#n Nic( 8ollerstrom, el crédito debe ser dado a 9homas :impson 1.5.0;.52.6 on> para para la apro" apro"ima imaci! ci!n n de integ integra rales les deinidas% deinidas% 9ambién 9ambién es notable la participaci!n participaci!n de otros matemáticos como ?oseph Raphson, ?oseph @ourier, de tal manera que el método podría ser llamado el método de Newton;Raphson;:impson;@ourier%
MÉTODO DE NEWTON-RAPHSON Definición: El método de Newton es una e"tensi!n directa del método del mismo nombre para buscar ceros de unciones de una variable% Aa idea es reali$ar el desarrollo desarrollo de las series de 9aylor de una unci!n alrededor de una estimaci!n de la raí$ x 0 f ( ( x )= f ( ( x x 0 ) + ( x − x 0 ) f ´ ( x 0 )+
1 ( x − x 0 ) f ´ ´ ( x 0 )+ … 2
9runcando la serie a primer orden e igualando
f ( ( x )=0 se tiene%
Oswa Oswald ldo o Pérez érez Maye Mayett
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f ( x 0 ) f ´ ( x 0 )
Este 'étodo es similar al de la :ecante, la dierencia esencial radica en que en la :ecante se utili$a el 'étodo de dierencias divididas para apro"imar f ´ ( x ) % El 'étodo de Newton;Raphson asume que la unci!n intervalo cerrado )a, b+% Entonces
f ( x ) es derivable sobre un
f ( x ) tiene una pendiente deinida y una #nica
línea tangente en cada punto dentro del intervalo )a, b+% Aa tangente en ( x 0, f ( x 0 ) ) es una apro"imaci!n a la curva de f ( x ) cerca del punto
( x 0, f ( x 0 ) ) % En consecuencia, el cero de la línea tangente es una apro"imaci!n del cero de
f ( x ) denominada raí$ de 1"6%
Figur ! 'odelo general del método de Newton Raphson
Bsando algunos conceptos básicos de cálculo, se tienen maneras de evaluar raíces de unciones complicadas numéricamente% Normalmente, se usa el método de Newton;Raphson% Este proceso iterativo sigue una pauta ija para apro"imar una raí$, considerado la unci!n, su derivada, y un valor " inicial%
El 'étodo de Newton Raphson usa un proceso iterativo para encontrar la raí$ de una unci!n% Aa raí$ especiica que el proceso locali$a un valor que depende del valor " inicial, valor " escogido arbitrariamente% :e alcula la primera apro"imaci!n, "., como el cero de la línea tangente en un punto inicial "0 dado% :e calcula la segunda apro"imaci!n, "4, como el cero de la línea tangente en la primera apro"imaci!n ".% Oswaldo Pérez Mayet
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DERI"ACIÓN DE LA FÓRMULA El 'étodo de Newton tiene una interpretaci!n geométrica sencilla, de hecho, el 'étodo de Newton consiste en una lineali$aci!n de la unci!n, es decir, f se reempla$a por una recta tal que contiene al punto 1 x 0, f 1 x 066 y cuya pendiente coincide con la derivada de la unci!n en el punto, f 1 x 06% Aa nueva apro"imaci!n a la raí$, x ., se obtiene de la intersecci!n de la unci!n lineal con el eje X de ordenadas% Aa ecuaci!n de la recta que pasa por el punto 1 x 0, f 1 x 066 y de pendiente f´ 1 x 06 esC y D f(x 0 ) f´(x 0 )(x D x 0 )
7e donde, haciendo y 0 y despejando x se obtiene la ecuaci!n de Newton;Raphson x n + 1 = x n − f ( x n )/ f ´ ( x n )
Figur # Iteraciones del método de Newton Raphson
7emostraci!nC :ea x 0 la raí$ supuesta inicial o valor inicial de las iteraciones y si se aplican unciones trigonométricas al ángulo F de la igura 4 se tiene que tan1F6 f 1 x 06 G1 x 0- x .6, a partir de esta !rmula se puede decir queC 1 x 0; x .6 f 1 x 06 G tan1F6% H despejando x . se tendría la !rmula de Newton% Aa pendiente en x 0 está dada por tan1F6 f 1 x 06%9eniendo en cuenta lo anterior se tendría entonces queC x . x 0 J f 1 x 06 G f 1 x 06% 9ambién se puede deducir de teniendo en cuenta que la ecuaci!n de la línea tangente en x 0 está dada porC y D f(x 0 ) f´(x 0 )(x D x 0 ). Aa primera apro"imaci!n x . es obtenida como la raí$ de 1.6% Ksí 1 x .,06 es un punto sobre la ecuaci!n anterior%
7e aquí,
0 −f ( x 0 ) = f ´ ( x 0 )( x 1 − x 0 )
7espejando, x 1− x 0 =−f ( x 0 ) / f ´ ( x 0 ) @inalmente se obtieneC
x 1= x 0 −f ( x 0 ) / f ´ ( x 0 )
Oswaldo Pérez Mayet
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Lor construcci!n similar se obtieneC
x n + 1 = x n − f ( x n )/ f ´ ( x n )
7onde, x n es un valor para " conocido actualmente, de la unci!n evaluada en x n, y
f ´ ( x n )
f ( xn) representa el valor
es la derivada evaluada en x n, x nM.
representa el pr!"imo valor para " que se está tratando de encontrar como raí$ al aplicar el modelo% Esencialmente, f ´ ( x 0 ) la derivada representa f ( x ) / dx , 1d" delta;"6 !
dx x 0 J x .% :in embargo, el término
f ( x ) / f ´ ( x ) representa un
valor de dx x % f ( x ) f ( x ) = = Δ x f ´ ( x ) f ( x ) / Δ x
ORDEN DE CON"ER$ENCIA :ean "0, " ., " 4% % % una secuencia que converge a r y sea en " n ; r% :i e"iste un lim en + 1 =C cuando n#mero m y una constante 1distinta de cero6, tal queC ⎢ en ⎢m n → ∞ , entonces m es llamado
%r&en &e c%n'ergenci de la secuencia y el
error asint!tico constante% Lara m.,4,*, la convergencia se dice lineal, cuadrática y c#bica respectivamente .
AN(LISIS DE CON"ER$ENCIA :ean x 0, x ., x 4,%%%, x n, x nM. las apro"imaciones en sucesivas iteraciones% :ea r el verdadero valor de la raí$% :i se toma como error en la n;esima iteraci!n a e n % Entonces el error
en
estará dado porC
e n = x n−r
y en consecuencia
e n + 1= x n+ 1−r
:i se tiene que, x n +1 = x n − f ( x n )/ f ´ ( x n ) e n + 1= x n− f ( x n )/ f ´ ( x n )− r e n + 1= x n−r −f ( x n )/ f ´ ( x n )
e n + 1=e n− f ( x n)/ f ´ ( x n )
Oswaldo Pérez Mayet
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Matemáticas Maestría en Ciencias en Ingeniería Química e n + 1=( enf ´ ( x n )− f ( x n ) )/ f ´ ( x n ) … Ec 1
Khora, e"pandiendo
f ( x n−e n ) en serie de 9aylor se obtiene, f ( x n−e n )= f ( x n ) −f ´ ( x n ) e n +( f ´ ´ ( C ) / 2 ) e n O
f ( r ) =f ( x n )−e n f ´ ( x n ) +( f ´ ´ ( C ) / 2 ) e n O 0 =f ( x n ) −e n f ´ ( x n ) +( f ´ ´ ( C ) / 2 ) e n O
en f ´ ( x n )− f ( x n )=( f ´ ´ ( C ) / 2 ) e n O…Ec2
7e las ecuaciones . y 4 se obtiene, e n + 1=( f ´ ´ ( C ) / 2 ) e n ² / f ´ ( x n ) ,
Esto es, 7e aquí
e n + 1=Ce n ² donde
e n + 1=1 / 2 ( f ´ ´ ( C ))/ f ´ ( x n ) e n ²
C =1 / 2 ( f ´ ´ ( C ) / f ´ ( x n ))
e n + 1 ≤ C ∗ e n ² , esto es,
x n + 1− r ≤ C ∗ x n + 1−r
²
Lor lo que Newton;Raphson es un método que converge cuadráticamente, es decir, que el n#mero de ciras decimales correctos se duplica apro"imadamente en cada iteraci!n, o el error es apro"imadamente proporcional al cuadrado del error anterior% 7os situaciones en las que el 'étodo de Newton no unciona adecuadamenteC 1a6 el 'étodo no alcan$a la convergencia y 1b6 el 'étodo converge hacia un punto que no es un cero de la ecuaci!n%
Figur ) No convergencia en la que se puede incurrir con el método de newton% Entre más iteraciones se ejecuten, los dx x tenderán a ser más peque-os y por ende tenderán a cero 106 minimi$ando el valor del error% Oswaldo Pérez Mayet
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9e!ricamente, se podría ejecutar un n#mero ininito de iteraciones para encontrar una representaci!n perecta para la raí$ de la unci!n% :in embargo, éste es un método numérico que se usa para disminuir el trabajo de encontrar la raí$, para que toque hacer de orma manual este proceso%
E*EMPLOS DEL MÉTODO DE NEWTON RAPHSON E+e,.%!/ Btilice el método de Newton;Raphson para calcular la raí$ de 2 f ( x )= x − 4 :oluci!n% Aa primera derivada de la unci!n es f ´ ( x )=2 x
Empe$ando con un valor inicial calcular
0
x
1 2, se aplica esta ecuaci!n iterativa para
TA3LA ! Resultados del método de newton para el ejemplo .% n
0
.
4
*
xn
f ( x n )
f ´ ( x n )
x n +1
X 0 2
f ( x 0 )=¿
f ´ ( x 0 )=¿
x 1=¿
*4
.4
*
f ( x 1 ) =¿
f ´ ( x 1 ) =¿
x 2 =2.27
.%02
5%0P
2%22
f ( x 2 )=¿
f ´ ( x 2 ) =¿
x 3 =¿
4%0
0%42
.%.Q
3%Q3
f ( x 3 )=¿
f ´ ( x 3 )=¿
4%0
0%0.
0%03
3%04
X . *%**
X 4 4%45
X 4 4%0.
dx *%*
.
x 4 =¿ 0
Interpretando lo mostrado en la tabla . así usando un valor inicial para x 0 2, se 2 encontr! que la raí$ de la ecuaci!n f ( x )= x − 4 es x =2 después de 3 Oswaldo Pérez Mayet
!
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iteraciones con un d" igual a 0%0.% :i se toma un valor inicial dierente para x 0, se puede llegar a la misma raí$, o puede encontrar alguna otra raí$, por ejemplo x J4%
E+e,.%#/ Btilice el método de Newton;Raphson para calcular la raí$ de − x f ( x )=e − x :oluci!n% Aa primera derivada de la unci!n es f ´ ( x )=−e −1 − x
Empe$ando con un valor inicial calcular
0
x
1 0, se aplica esta ecuaci!n iterativa para
TA3LA # N#mero de las iteraciones para el ejemplo 4% n
xn
f ( x n )
x n +1
f ´ ( x n )
dx
0
X 0 0
f ( x 0 )=¿ .
f ´ ( x 0 )=¿ ;4
x 1= 0.5
.
X . 0%Q
f ( x 1 ) =¿ 0%.02Q
f ´ ( x 1 ) =¿ ;
x 2 =0.56631
0%022
x 3 =0.5671
0%0005/
x 4 =0.5675
0%0003
.%202 4 X 4 0%Q22*.
f ( x 2 )=¿ 0%00.*02
f ´ ( x 2 ) =¿ ;
.%Q25 *
X 4 0%Q25.
f ( x 3 )=¿ 0%00025/
f ´ ( x 3 )=¿ ;
.%Q25. Ksí, el método converge rápidamente a la raí$ verdadera% Sbserve que el error relativo porcentual verdadero en cada iteraci!n disminuye mucho más rápido en la tabla 4 así usando un valor inicial para x 0 0, se encontr! que la raí$ es x =0.5675 después de 3 iteraciones con un d" igual a 0%0003% :i se toma un valor inicial dierente para x 0, se puede llegar a la misma raí$, o puede encontrar alguna otra raí
%$E+e,.% ): Ecuaci!n polinomial de orden * Tea a continuaci!n un ejemplo, con la siguiente ecuaci!nC
f ( x )= x + x + 16 3
:oluci!n% Aa primera derivada de la unci!n es Oswaldo Pérez Mayet
"
Matemáticas Maestría en Ciencias en Ingeniería Química f ´ ( x )=3 x + 1 2
Empe$ando con un valor inicial calcular
0
x
1 #, se aplica esta ecuaci!n iterativa para
TA3LA ) f ´ ( x )=3 x + 1 2
alculo de iteraciones para la unci!n f ( x n )
f ´ ( x n )
f ( x n ) / f ´ ( x n )
x n + 1 = x n − f ( x n )/ f ´ ( x n )
n
xn
0
4%00
42%00
.*%00
4%00
0%00
.
0%00
.2%00
.%00
.2%00
;.2%00
4
;.2%00
;30P2%00
52P%00
;Q%*0
;.0%50
*
;.0%50
;.4.0%50
*34%/0
;*%Q0
;5%.0
3
;5%..3
;*QQ%*P
.Q3%0.
;4%*052
;3%/*3.
Q
;3%/*3
;.0.%5P/*
5.%.03P
;.%3*.5
;*%3043
2
;*%304
;42%5P04
*Q%54P*
;0%53P/
;4%2Q42
5
;4%2Q4
;Q%*.5.
44%.0/P
;0%430Q
;4%3.4.
/
;4%3.4
;0%3323
./%3Q3/
;0%0434
;4%*/5P
P
;4%*/5
;0%0034
./%.02Q
;0%0004
;4%*/55
Aos cálculos anteriores correspondientes al ejemplo *, se comprobaron haciendo uso del paquete 'atlab con el siguiente c!digo% ormat short "3 ""%U*M"M.2 while abs1"6V0%0000. ""%U*M"M.2 d"*W"U4M. "n";"Gd" disp 1)" " d" "Gd" "n+6 ""n end :i desea tener más ciras signiicativas puedes cambiar el ormato de presentaci!n por el de ormat long%
CONCLUSIONES Oswaldo Pérez Mayet
#
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El método de newton es eiciente en la soluci!n de sistemas de ecuaciones no lineales, converge muy rápidamente y proporciona una muy buena precisi!n en los resultados% El método se emplea en la soluci!n de problemas académicos reales% El método no puede ser utili$ado para los casos en que X1"60% Aa eiciencia del método depende del valor inicial elegido%
3I3LIO$RAF4A ).+hapra :%% y anale R%L% 'étodos numéricos para ingenieros% QY% ed%, 'cZraw;[ill, 'é"ico, 4005% )4+SN7E :% 7, arl de &oor% Knálisis numérico elementalC Bn enoque algorítmico% 'c% Zraw;[ill .P54% )*+ 7% @% &ailey K [istorical :urvey o :olution by @unctional Iteration 'athematics 'aga$ine, Tol% 24, No% *% 1?un%, .P/P6% )3+ Nic( 8ollerstrorn, 9hornas :impson and \Newtons method o appro"imation>C Kn enduring myth, &ritish, ?ournal or the [istoy o :cience 4Q 1.PP46 )Q+'K9[EB:% ?ohn [% @in( 8urtis 7% 'étodos Numéricos con 'K9AK&% Editorial Lrentice [all% )2+httpCGGwww%unalmed%edu%coG]iasmarGlibro%html )5+httpCGGwww%uv%esG]dia$GmnGmn%html
Oswaldo Pérez Mayet
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