Metodo de la Potencia Este método también evita el cálculo del polinomio característico junto a los problemas emergentes del cálculo de sus raíces, por ejemplo, inestabilidades ya vistas para grados elevados. Se aplica al cálculo del denominado autovalor dominante de una matriz, designándose con ese nombre al autovalor de mayor valor absoluto. Es decir, el método de la potencia es apto para el cálculo del autovalor λ cuando se veri!ica λ " λ # λ # # λn ... $ % obsérvese el sentido estricto de la desigualdad e&istente entre los dos primeros autovalores, mientras 'ue entre los restantes, el sentido de la desigualdad es amplio. Si se dan esas condiciones el cálculo se apoya en el siguiente teorema( Sea ) una matriz diagonalizable con autovalor dominante λ . E&iste un vector no nulo *+- tal 'ue la secuencia ( 0) X
En su !orma primitiva, tiene la ventaja de su gran simplicidad. onsiste en tomar un vector adecuadamente elegido con componente no nula en el vector v correspondiente al autovalor de m/dulo mayor0 tras multiplicaciones sucesivas por la matriz ) del vector resultante, estos vectores van ad'uiriendo mayor peso en la direcci/n del autovector v. omo veremos en el siguiente apartado, estos vectores de1nen los subespacios de 2rylov. 3a limitaci/n del método así e&puesto, es 'ue resulta s/lo válido para el cálculo del autovalor de m/dulo mayor y su velocidad de convergencia es lineal con el cociente entre el primer autovalor y el segundo, resultando muy lenta si el cociente es pr/&imo a uno. 4ielandt propuso el método de la de5aci/n para eliminar el autovalor mayor una vez 6allado y continuar el proceso0 ésta es la de5aci/n implícita. 7ambién 7ambién se puede pued e realizar de manera e&plícita aplicando apli cando el método de potencias a un segundo vector ortogonal al subespacio de autovectores ya 6allados. 3a iteraci/n inversa consiste en aplicar el método de potencias a la matriz +)89:-8 siendo los vectores propios de esta matriz los mismos 'ue los de ). ;esolvemos por medio de un sistema de ecuaciones lineales +)89:-8 <= v >8 y luego normalizamos v > = =Av> B 7 ) v> +v> normalizado-, obtenemos una buena apro&imaci/n de un valor propio si v está pr/&imo a un vector propio. 3a iteraci/n del cociente de ;ayleig6 consiste en aportar una apro&imaci/n del valor propio por medio del cociente de ;ayleig6, para seguidamente segui damente aplicar +)89:-8 6allando una un a apro&imaci/n del autovector propio más pr/&imo al autovalor anteri or. or. Cstroi estableci/ convergencia cDbica bajo ciertas circunstancias tanto para el caso simétrico como el no simétrico. 3a 7reppeniteration 7reppeniteration +iteraci/n en escalera- consiste consi ste en multiplicar multipli car la matriz ) no por un s/lo vector sino por una matriz de vectores 3s +n&s-, !actorizando
el resultado por trans!ormaciones gaussianas como 3s ;s. Si los autovalores son distintos, ;s converge a una matriz cuyos autovalores son los del subespacio dominante. ;utis6auser observ/ 'ue si !actorizamos )=3;, entonces 38)3= 38 3;3=;3 =) Folviendo a !actorizar ) = 3; e iterando, da lugar al método 3;. Si en lugar de una matriz triangular in!erior utilizamos una matriz ortogonal G resulta el potente método G;. 3a ombinaci/n del método de potencias para un nDmero de vectores menor de n junto con la ortogonalizaci/n G; da lugar al método de iteraci/n simultanea.
Entre los métodos 'ue no precisan del calculo del polinomio caracterHstico destaca por su sencillez el método de la potencia iterada +4ielandt 8 IJJ- y todas sus variantes. J. El método de la potencia iterada Se utiliza para calcular el autovalor de mayor modulo +autovalor dominante- de una matriz diagonalizable. Se considera ) K MnLn+;- una matriz diagonalizable con autovalores λ, λ$, . . . , λn, 'ue supondremos ordenados en la !orma( @λ@ # @λ$@ # . . . # @λn@. Esta 6ip/tesis implica la e&istencia de una matriz inversible P = +p@p$@ . . . @pn- tal 'ue P )P = diag+λi-. Por tanto, el sistema Np, p$, . . . , pnO es una base de n !ormada por autovectores( )pi = λipi , i = , . . . , n, donde pi = +pi, pi$, . . . , pin-. El metodo de la potencia iterada permite calcular el autovalor dominante λ y se basa en la construccion de una sucesion Nu >O, con u > = +u > , u> $ , . . . , u> n -, en la !orma( u K n arbitrario, u
>
= )u> , > = , , . . .
Famos a estudiar varios de los casos posibles( )- @λ@ " @λ$@ # . . . # @λn@. +Por tanto, λ K ;.Se tiene el siguiente resultado( 7eorema $ .8 Si elegimos u adecuadamente +en concreto, si( u = Qp Q$p$ . . . Q npn
basta tomar Q
≠
entonces e&iste, al menos, un Hndice i K N, . . . , nO tal
'ue( lim >R u > i u > i = λ. T- @λ@ = @λ$@ = . . . = @λr@ " @λr@ # . . . # @λn@, λ = λ$ = . . . = λr K ;. Se tiene el siguiente resultado( 7eorema % .8 Si elegimos u adecuadamente +en concreto, si( u = Qp Q$p$ . . . Qnpn basta tomar Qp . . .Qrpr U= - entonces e&iste, al menos, un VHndice i K N, . . . , nO tal 'ue( lim >R u > i u > i = λ.
