Metodo de Integracion Newton-Cotes

UNIVERSIDAD CIENTÍFICA DEL SUR

Tema:

MÉTODO DE INTEGRACIÓN NEWTON-COTES

Curso:

Métodos Numéricos II

Proesor:

!osé D"#i$a

I%te&ra%tes:

Car$os I'a(eta  A$o%so de $os Rios

ÍNDICE

)u%dame%to te*rico

+

Método de i%te&raci*% Ne,to%-Cotes

+

Re&$a de $os Traecios

.

Re&$a de Simso%

/

Co%c$usio%es

01

2i'$io&ra3a

2

I.

FUNDAMENTO TEÓRICO

MÉTODO DE INTEGRACIÓN NEWTON-COTES 4as *rmu$as de Ne,to%-Cotes so% $os es5uemas de i%te&raci*% %uméricos m"s comu%es6 Estos datos se 'asa% e% $a estrate&ia de sustituci*% de u%a u%ci*% com$icada o ta'u$ada co% u%a u%ci*% 5ue es "ci$ de i%te&rar 5ue se aro7ima:

Do%de  % 879  u% o$i%omio de $a orma

E% do%de % es e$ orde% de$ o$i%omio6 Por e;em$o< e% a< u% o$i%omio de rimer orde% 8$3%ea recta9 se usa como u%a aro7imaci*%6 E% '< se em$ea u%a ar"'o$a ara e$ mismo ro*sito6

Por e;em$o< e% $a i&ura< tres se&me%tos de recta se uti$i(a% ara aro7imar $a i%te&ra$6 Po$i%omios de orde% suerior uede% ser uti$i(ados ara e$ mismo ro*sito 3

4a i%te&ra$ tam'ié% se uede aro7imar uti$i(a%do u%a serie de o$i%omios e% artes a$icados a $a u%ci*% o datos a tra#és de se&me%tos de $o%&itud co%sta%te6

)ormas cerradas = a'iertas de $as *rmu$as de Ne,to%-Cotes est"% diso%i'$es6 4as ormas cerradas so% a5ue$$as e% $as 5ue se co%oce% $os u%tos de datos a$ ri%ciio = a$ i%a$ de $os $3mites de i%te&raci*% 8)i&6 a96 4as ormas a'iertas tie%e% $3mites de i%te&raci*% 5ue se e7tie%de% m"s a$$" de$ ra%&o de $os datos 8)i&6 '96 E% este se%tido< so% simi$ares a $a e7trao$aci*%6 4as )*rmu$as de Ne,to%-Cotes a'iertas %o se uti$i(a% &e%era$me%te ara $a i%te&raci*% dei%ida6

Si% em'ar&o< este método se uti$i(a ara $a e#a$uaci*% de i%te&ra$es imroias = ara $a so$uci*% de ecuacio%es diere%cia$es ordi%arias6

4



MÉTODO NUMÉRICO: REGLA TRAPEZOIDAL O DE TRAPECIO

4a re&$a de$ traecio es $a rimera de $as *rmu$as de i%te&raci*% cerradas Ne,to%-Cotes6 Se correso%de co% e$ caso e% e$ 5ue e$ o$i%omio de $a ecuaci*% es de rimer orde%:

E$ "rea de'a;o de esta $3%ea recta es u%a estimaci*% de $a i%te&ra$ de  879 e%tre $os $3mites de a = ':

E$ resu$tado de $a i%te&raci*% es:

4a cua$ es de%omi%ada $a re&$a de$ traecio6 Geométricame%te< $a re&$a trae(oida$ es e5ui#a$e%te a $a aro7imaci*% de $a (o%a de$ trae(oide 'a;o $a $3%ea recta de co%e7i*% 8a9 = 8'9 e% $a i&ura6

5

De $a &eometr3a se i%iere 5ue $a *rmu$a ara ca$cu$ar e$ "rea de u% traecio so% $os tiemos de a$tura de $a media de $as 'ases 8a9 = ara este método e$ co%ceto es e$ mismo ero e$ e% traecio es su $ado 8'96

Por $o ta%to< $a estimaci*% i%te&ra$ uede ser rerese%tado como:  A%c>ura 7 a$tura media O A$tura media

E% do%de< ara $a re&$a trae(oida$< $a a$tura media es e$ romedio de $os #a$ores de $a u%ci*% e% $os u%tos e7tremos< o ? f 8a9 @ f 8b9 / B6 Todas $as *rmu$as cerradas Ne,to%Cotes se uede% e7resar e% e$ ormato &e%era$ de $a ecuaci*%6 De >ec>o< diiere% s*$o co% resecto a $a ormu$aci*% de $a a$tura media6

Error e% $a re&$a de$ Traecio Cua%do em$eamos $a i%te&ra$ 'a;o u% se&me%to de $3%ea recta ara aro7imar $a i%te&ra$ 'a;o u%a cur#a< es o'#io 5ue se uede i%currir e% u% error 5ue uede ser susta%cia$6 %a estimaci*% ara e$ error de tru%camie%to $oca$ de u%a so$a a$icaci*% de $a re&$a de$ traecio es:

E% do%de se e%cue%tra e% a$&% $u&ar e% e$ i%ter#a$o de a = '6 Esta ecuaci*% i%dica 5ue si $a u%ci*% a i%te&rar es $i%ea$< $a re&$a trae(oida$ ser" e7acta6 De $o co%trario< ara 6

$as u%cio%es co% se&u%das deri#adas = de orde% suerior 8es decir< co% cur#atura9< uede ocurrir a$&% error6



MÉTODO NUMÉRICO: REGLA DE SIMPSON

%a orma de o'te%er u%a aro7imaci*% adecuada de u%a i%te&ra$ es usar o$i%omios de &rado suerior ara u%ir $os u%tos = aro7imar $a u%ci*% rea$6 E$ método de Simso%< a diere%cia de $a Regla trapezoidal, intenta no   i%currir e% u% ma=or %mero de su'di#isio%es se trata de a;ustar u%a cur#a de orde% suerior e% $u&ar  de u%a $3%ea recta como e% $a Regla Trapezoidal 6 Sea u%a u%ci*% 879< si e%tre f(a) = f( b) e7iste u% tercer u%to< e%to%ces ser" osi'$e a;ustar or e$$os u%a ar"'o$a< e% $a misma orma< si e7iste dos u%tos e%tre f (a) =

f( b)<

e%to%ces or esos cuatro u%tos se odr" a;ustar u%a cur#a de &rado tres< = as3 sucesi#ame%te6 E% $a i&ura 0< se muestra $a u%ci*% 5ue es u%a ar"'o$a 5ue aro7ima a $a u%ci*% rea$6 E% este caso se ca$cu$a e$ "rea o $a i%te&ra$ 'a;o $a ar"'o$a 5ue u%e $os tres u%tos6 Note 5ue >a= tres u%tos = dos se&me%tos< or $o 5ue se #er" m"s ade$a%te 5ue esta i%te&ra$ se resue$#e co% re&$a de Simso% 0F+6 Por $o ta%to $as *rmu$as 5ue resu$ta% de tomar  i%te&ra$es 'a;o estos o$i%omios se co%oce% como re&$a de Simso%6

Figura  Descrici*% de $a &r"ica de $a re&$a de Simso% 0F+ 7

E% $a i&ura B< se muestra $a u%ci*% 5ue descri'e u%a ecuaci*% c'ica 5ue aro7ima a $a u%ci*% rea$6 E% este caso se ca$cu$a e$ "rea o $a i%te&ra$ 'a;o $a c'ica 5ue u%e $os cuatro u%tos6 Note 5ue >a= cuatro u%tos = tres se&me%tos< or $o 5ue se #er" m"s ade$a%te 5ue esta i%te&ra$ se resue$#e co% re&$a de Simso% +F6

Figura ! Descrici*% de $a &r"ica de $a re&$a de Simso% +F . R"g#a $" Si%&'() *+

Esta re&$a resu$ta cua%do se uti$i(a u%a i%tero$aci*% o$i%omia$ de se&u%do orde%:

 f  2

4a u%ci*%

 < es $a i%tero$aci*% o$i%omia$ de se&u%do orde%6 Esto se $o&ra co% e$ o$i%omio de 4a&ra%&e de se&u%do &rado6 Sea c 8a@'9FB6

4a u%ci*%  B es u% o$i%omio de 4a&ra%&e de Se&u%do &rado6 Sea c 8a@'9FB6

 f  2

= 8

Sustitu=e%do e% $a ecuaci*% de $a i%te&ra$< se o'tie%e:

 A co%ti%uaci*% se >ace todo e$ a%"$isis matem"tico ara o'te%er e$ #a$or de $a ecuaci*% 5ue es co%ocida como $a re&$a de Simso%6

Toma%do e% cue%ta 5ue >  8'-a9FB = c 8a@'9FB ara $a demostraci*%6 Para ' >acemos $a si&uie%te sustituci*%: h=

( b − a) 2

⇒ b = 2h + a

( a − c )( a − b ) 4a e7resi*%

 $a sustituimos de $a si&uie%te orma6

9

h=

b−a

⇒ a − b = −2h

2 ( a − b) ( a − c)

= −2h( a − c) ( a − b )( a − c ) = −2h( b − 2h − c ) a + b   ( a − b )( a − c ) = −2h   b − 2h −   2     b−a ( a − b )( a − c ) = −2h  − 2h        2   ( a − b )( a − c ) = −2h( h − 2h ) ( a − b )( a − c ) = −h 2

H o'te%emos $o si&uie%te:

sa%do $a e7resi*%: u  7-a< ara e$ cam'io de #aria'$e:

( x − c ) = u + a − c ( x − c ) = u + a − ( x − c ) = u +

a+b

2

a−b

2

( x − c ) = u − h

10

( x − b ) = u + a − b ( x − b ) = u − 2 •

b−a

2

( x − b ) = u − 2 • h

E% do%de se o'tie%e:

E% orma simi$ar se o'tie%e 5ue

Te%emos ues 5ue

4a ecuaci*% a%terior se co%oce como $a re&$a de Simso% 0F+6 4a eseciicaci*% 0F+ se ori&i%a de$ >ec>o 5ue > est" di#idida e% tres i%ter#a$os6 Recorda%do 5ue $a e7resi*% >  8'-a9FB< odemos e7resar $a ecuaci*% a%terior de $a si&uie%te ma%era6

11

 a + b  +  f  (b)     2  

 f  (a ) + 4 f    I  ≅ (b − a )

6

 80609

 Adem"s se uede determi%ar 5ue $a ecuaci*% a%terior tie%e u% error asociado de:  E t 

=

−1 90

• h 5  f  ( 4) (ζ )

4a e7resi*% a%terior se uede e7resar tam'ié% as3:

 E t 

=−

(b − a) 5 2880

( 4)

 f   (ζ  )

 806B9

 f  4 ( ζ  )

E$ térmi%o

 $o odemos aro7imar a$ romedio de $a cuarta deri#ada6 b

∫ 

i ( 4 ) ( λ ) d λ 

i

( 4)

( ζ  ) =

a

b−a

 806+9

E$ error asociado a $a re&$a de Simso% %os i%dica 5ue este método es m"s e7acto 5ue otros métodos de i%te&raci*% como $a re&$a de$ traecio6 emos 5ue e$ error es roorcio%a$ a $a cuarta deri#ada< or $o ta%to e$ coeicie%te de$ tercer &rado se >ace cero e% $a i%tero$aci*% o$i%omia$6 Por $o ta%to< ara ecuacio%es de tercer &rado se o'tie%e% ecuacio%es e7actas au%5ue se aro7ime co% u%a ar"'o$a6 As3< e$ método de Simso% es mu= re$e#a%te6

De $as ecuacio%es 80609 = 806B96 4a i%te&ra$ es i&ua$ a:

12

 a + b  +  f  (b)   ( b − a ) 5 5 (4)   2   − • h f   (ζ  )

 f  (a ) + 4 f    I  ≅ (b − a )

6

2880

 80619

!. R"g#a $" Si%&'() +*,  A co%ti%uaci*% se descri'e $a re&$a de i%te&raci*% de Simso% +F ara $a J integración cerrada”,  es decir< ara cua%do $os #a$ores de $a u%ci*% e% $os e7tremos de $os $3mites de

i%te&raci*% so% co%ocidos6  Adem"s de a$icar $a re&$a trae(oida$ co% se&me%taci*% m"s i%a< otra orma de o'te%er  u%a estimaci*% m"s e7acta de u%a i%te&ra$ es co% e$ uso de o$i%omios de orde% suerior  ara co%ectar $os u%tos 8e% $u&ar de uti$i(ar $3%eas ara co%ectar$os96 4as reglas de Simpson   so% $as *rmu$as 5ue resu$ta% a$ tomar $as i%te&ra$es 'a;o $os o$i%omios 5ue co%ecta% a $os u%tos6 4a deri#aci*% de $a Regla de los Tres Octavos de Simpson  es simi$ar a $a re&$a de u% tercio< e7ceto 5ue se determi%a e$ "rea 'a;o u%a ar"'o$a de tercer &rado 5ue co%ecta 1 u%tos so're u%a cur#a dada6 4a orma &e%era$ de $a ar"'o$a de tercer &rado es:

13

Figura  Descrici*% de $a &r"ica de $a re&$a de Simso% +F

E% $a deri#aci*%< $as co%sta%tes se determi%a% re5uirie%do 5ue $a ar"'o$a ase a tra#és de $os cuatro u%tos i%dicados so're $a cur#a mostrada e% $a i&6 16 E$ i%ter#a$o de i%te&raci*% es de -

a

< $o 5ue roduce:

Kue es $a regla de los tres octavos de Simpson.

14

4a regla de Simpson de 3/8 tie%e u% error or tru%camie%to de:

Por $o ta%to es a$&o m"s e7acta 5ue $a re&$a de 0F+6

4a re&$a de Simso% de 0F+ es< e% &e%era$< e$ método de reere%cia =a 5ue a$ca%(a e7actitud de tercer orde% co% tres u%tos e% #e( de $os cuatro u%tos %ecesarios ara $a #ersi*% de +F6 No o'sta%te $a re&$a de +F tie%e uti$idad e% $as a$icacio%es de se&me%tos m$ti$es cua%do e$ %mero de a;as es imar6

II.

CONCLUSIONES 





III.

El método de integración Newton-Cotes se divide en dos reglas: La regla del Trapecio y la Regla de Simpson, qe esta a s ve! se divide en dos m"s: La de #$% y la de %$&' La regla m"s e(acta es la de Simpson en comparación con la del  Trapecio )entro de la Regla de Simpson e(isten dos tipos la de #$% y la de %$&, esta *ltima es la +orma m"s e(acta al momento de resolver eercicios'

ILIOGRAFÍA

15

Capra Steven . Canale Raymond, Nmerical /etods +or Engineers 0 /étodos Nméricos para ingenier1a, 2oston, McGra,-Li$$< B0< Se(ta edición, pp 34#-3#%'

16