Financijska Matematika IPS-IIIdio

Financijska matematika IPS UVOD

Financijska matematika IPS

Fakultet organizacije i informatike, Varaˇzdin

Sadrˇ zaj

Financijska matematika

O predmetu

IPS UVOD

Naziv predmeta: Financijska matematika Satnica:

15

0

30

Broj ECTS bodova: 5 ECTS Cilj: Upoznavanje s osnovnim konceptima financijske matematike neophodnim za razumijevanje i razvoj modela potrebnih za financijski menadˇzment i poslovne proraˇcune. Nositelj predmeta: prof. dr. sc. Blaˇzenka Divjak Predavaˇc: dr. sc. Zlatko Erjavec Asistent: Duˇsan Mundar, dipl. ing.

Sadrˇ zaj


Nastavni plan

IPS UVOD

Funkcije i nizovi Jednostavni dekurzivni kamatni raˇcun Sloˇzeni dekurzivni kamatni raˇcun Periodske svote Kredit Pokazatelji isplativosti ulaganja Amortizacija Anticipativni obraˇcun kamata Matematika osiguranja

Sadrˇ zaj


Ishodi uˇ cenja predmeta Studenti će nakon uspjeˇsno zavrˇsenog predmeta biti sposobni: razlikovati vrste obraˇcuna kamata i pojmove relativne, konformne, nominalne i efektivne kamatne stope izvesti osnovne formule kamatnog raˇcuna i periodskih svota te ih primijeniti u rjeˇsavanju zadataka izraditi tablice kod otplate kredita i amortizacije primijeniti NPV i IRR metodu u raˇcunanju kljuˇcnih pokazatelja isplativosti investicijskog projekta koristiti financijske funkcije tabliˇcnog kalkulatora odrediti vjerojatnost doˇzivljenja i smrti te izraˇcunati premiju kod mjeˇsovitog osiguranja prezentirati primjer analize isplativosti investicijskog projekta koristeći IT

IPS UVOD Sadrˇ zaj


Literatura

IPS UVOD

Divjak B., Erjavec Z.: Financijska matematika, TIVA - FOI, Varaˇ zdin, 2007.

Divjak B.,Erjavec Z.: Gospodarska i financijska matematika, TIVA - FOI,Varaˇzdin, 2003. Zima, P., Brown, R. L.: Mathematcs of Finance, Schaum‘s O.S.,1996. Mc Cutcheon, J.J., Scott, W.F.: Introduction to Mathematics and Finance, Butterworth-Heinemann, 1989.

Sadrˇ zaj


Naˇ cin rada

IPS UVOD

predavanja seminari domaće zadaće - Moodle (10 bodova) projekt (20 bodova) kratke provjere znanja - Moodle (10 bodova) kolokviji (3 × 20 = 60 bodova)

konzultacije Kolokviranje uvjet za potpis: viˇse od 20 bodova ocjena: viˇse od 50 bodova dodatni uvjet − barem 25 na kolokvijima

Sadrˇ zaj


Adrese

IPS UVOD Sadrˇ zaj

MOODLE http://www.elf.foi.hr (lozinka za prijavu: Fibonacci) E-MAIL [email protected] [email protected]


Sadrˇ zaj prvog dijela

IPS UVOD Sadrˇ zaj Dio I Dio II Dio III


Sadrˇ zaj drugog dijela

IPS UVOD Sadrˇ zaj Dio I Dio II Dio III


Sadrˇ zaj tre´ ceg dijela 1

AMORTIZACIJA Linearna amortizacija

Sadrˇ zaj Dio I

Metoda sume znamenaka

Dio II

Funkcionalna amortizacija ˇ ANTICIPATIVAN OBRACUN KAMATA Jednostavni i sloˇzeni anticipativni obraˇcun kamata Periodske uplate i isplate kod anticipativnog obraˇcuna Kredit kod anticipativnog obraˇcuna 3

UVOD

Metoda konstantnog postotka Metoda padajućeg/rastućeg salda

2

IPS

MATEMATIKA OSIGURANJA Osnovni pojmovi vjerojatnosti Matematika osiguranja Tablice smrtnosti i princip ekvivalencije Premije u osiguranju ˇzivota

Dio III


Dio I Dio I


Dio II Dio II

Financijska matematika IPS AMORTIZACIJA ANTICIPATIVAN ˇ OBRACUN MATEMATIKA

Dio III Dio III

OSIGURANJA


Sadrˇ zaj 1

AMORTIZACIJA Linearna amortizacija

IPS AMORTIZACIJA Linearna amort. Met. konst. postotka

Metoda konstantnog postotka Metoda sume znamenaka

Met. sume znam. Metode salda Funkcionalna amor.

Metoda padajućeg/rastućeg salda Funkcionalna amortizacija 2

ˇ ANTICIPATIVAN OBRACUN KAMATA Jednostavni i sloˇzeni anticipativni obraˇcun kamata Periodske uplate i isplate kod anticipativnog obraˇcuna Kredit kod anticipativnog obraˇcuna

3


ANTICIPATIVAN ˇ OBRACUN MATEMATIKA OSIGURANJA


Pojam amortizacije i metode procjene Definicija 1. Amortizacija je smanjivanje vrijednosti imovine tijekom vremena uslijed njezina troˇsenja ili iscrpljivanja.

IPS AMORTIZACIJA Linearna amort. Met. konst. postotka Met. sume znam. Metode salda Funkcionalna amor.

Osnovna podjela:

ANTICIPATIVAN ˇ OBRACUN

funkcionalna metoda amortizacije MATEMATIKA

vremenske metode amortizacije Vremenske metode amortizacije: linearna amortizacija metoda konstantnog postotka metoda sume znamenaka metoda rastućeg (padajućeg) salda

OSIGURANJA


Oznake

IPS AMORTIZACIJA Linearna amort.

C - originalna vrijednost (cijena) dobra (eng. cost),

Met. konst. postotka

S - otpisna vrijednost (eng. salvage value),

Metode salda

n - vrijeme trajanja dobra, Rk - troˇsak (kvota) amortizacije u k-tom razdoblju (eng. depreciation repaid), Bk - knjigovodstvena vrijednost u k-tom razdoblju (eng. book value), Dk - akumulirana amortizacija u k-tom razdoblju (eng. depreciation).

Met. sume znam.

Funkcionalna amor.



Osnovna relacija


Uvijek vrijedi: akumulirana amortizacija +


knjigovodstvena vrijednost = originalna vrijednost dobra

Metode salda

Met. sume znam.

Funkcionalna amor.


Dk + Bk = C

MATEMATIKA OSIGURANJA

Takoder vrijedi: B0 = C,

Bn = S,

D0 = 0,

Dn = C − S.

Podatke bitne za amortizaciju upisujemo u tablicu zvanu amortizacijska osnovica.


Linearna amortizacija

IPS AMORTIZACIJA

osnovica za amortizaciju je jednako rasporedena

Met. konst. postotka Met. sume znam.

tijekom ˇzivotnog vijeka dobra

Metode salda

najjednostavnija i najˇceˇsće koriˇstena metoda godiˇsnja stopa amortizacija =

Linearna amort.

100 n

Funkcionalna amor.

ANTICIPATIVAN ˇ OBRACUN MATEMATIKA

Vrijedi:

OSIGURANJA

R=

C −S n

Dk = k · R Bk = C − Dk


Primjer 1.

IPS

Stroj ˇcija je nabavna cijena 350000 kn ima ˇzivotni vijek 5 AMORTIZACIJA

godina i otpisnu vrijednost 20000 kn. Primjenjujući linearnu metodu amortizacije, izraˇcunajmo visinu amortizacijske kvote i

Linearna amort. Met. konst. postotka Met. sume znam.

izradimo amortizacijsku tablicu.

Metode salda Funkcionalna amor.



Primjer 1.

IPS






Rjeˇsenje: C = 350000 n = 5 S = 20000 R = ?



Primjer 1.

IPS






Rjeˇsenje:


C = 350000 n = 5 S = 20000


R = ?

R =

350000 − 20000 = 66000 5


Primjer 1.

IPS






Rjeˇsenje: C = 350000 n = 5 S = 20000 R = ?

350000 − 20000 = 66000 5 = 1 · R = 1 · 66000 =

R = D1



Primjer 1.

IPS






Rjeˇsenje: C = 350000 n = 5 S = 20000 R = ?

350000 − 20000 = 66000 5 = 1 · R = 1 · 66000 = 66000

R = D1



Primjer 1.

IPS






Rjeˇsenje: C = 350000 n = 5 S = 20000 R = ?

350000 − 20000 = 66000 5 = 1 · R = 1 · 66000 = 66000

R = D1

B1 = C − D1 = 350000 − 66000 =



Primjer 1.

IPS






Rjeˇsenje: C = 350000 n = 5 S = 20000 R = ?

350000 − 20000 = 66000 5 = 1 · R = 1 · 66000 = 66000

R = D1

B1 = C − D1 = 350000 − 66000 = 284000



Amortizacijska tablica

IPS AMORTIZACIJA Linearna amort. Met. konst. postotka Met. sume znam.

Linearna amortizacija


k

R

Dk

Bk

0

-

-

350000,00

1

66000,00

66000,00

284000,00

2

66000,00

132000,00

218000,00

3

66000,00

198000,00

152000,00

4

66000,00

264000,00

86000,00

5

66000,00

330000,00

20000,00



Financijska funkcija SLN




Amortizacija metodom konstantnog postotka


amortizacijska kvota je fiksni postotak

Funkcionalna amor.

degresivna metoda amortizacije


amortizacija je zadana stopom amortizacije - d

Vrijedi:

Dk = C − Bk ,


uvjet: S mora biti pozitivan

Bk = Bk−1 − Rk ,

Met. sume znam. Metode salda

knjigovodstvene vrijednosti

Rk = Bk−1 ·


d 100 d n S = C · 1− 100

Primjer 2. Stroj ˇcija je nabavna cijena 350000 kn ima ˇzivotni vijek 5 godina i otpisnu vrijednost 20000 kn. Primjenjujući amortizaciju metodom konstantnog postotka, izraˇcunajmo

Financijska matematika IPS AMORTIZACIJA Linearna amort. Met. konst. postotka

visinu stope amortizacije i izradimo amortizacijsku tablicu.



Primjer 2. Stroj ˇcija je nabavna cijena 350000 kn ima ˇzivotni vijek 5 godina i otpisnu vrijednost 20000 kn. Primjenjujući amortizaciju metodom konstantnog postotka, izraˇcunajmo

Financijska matematika IPS AMORTIZACIJA Linearna amort. Met. konst. postotka



Rjeˇsenje:

Funkcionalna amor.

C = 350000 n = 5 S = 20000


R = ?

OSIGURANJA

MATEMATIKA

Primjer 2.


Stroj ˇcija je nabavna cijena 350000 kn ima ˇzivotni vijek 5 godina i otpisnu vrijednost 20000 kn. Primjenjujući amortizaciju metodom konstantnog postotka, izraˇcunajmo




Rjeˇsenje:


C = 350000 n = 5 S = 20000


R = ?

d = 100 · 1 −

r n

S C

=

Primjer 2.






Rjeˇsenje:


C = 350000 n = 5 S = 20000


R = ?

d = 100 · 1 −

r n

S C

= 43, 585286

Primjer 2.






Rjeˇsenje:


C = 350000 n = 5 S = 20000


R = ?

d = 100 · 1 − R1 = B0 ·

d = 100

r n

S C

= 43, 585286

Primjer 2.






Rjeˇsenje:


C = 350000 n = 5 S = 20000


R = ?

d = 100 · 1 − R1 = B0 ·

r n

S C

= 43, 585286

d = 152548, 50 100

Primjer 2.






Rjeˇsenje:


C = 350000 n = 5 S = 20000


R = ?

d = 100 · 1 −

n

S C

= 43, 585286

d = 152548, 50 100 = R1 =

R1 = B0 · D1

r

Primjer 2.






Rjeˇsenje:


C = 350000 n = 5 S = 20000


R = ?

d = 100 · 1 −

n

S C

= 43, 585286

d = 152548, 50 100 = R1 = 152548, 50

R1 = B0 · D1

r

Primjer 2.






Rjeˇsenje:


C = 350000 n = 5 S = 20000


R = ?

d = 100 · 1 −

n

S C

= 43, 585286

d = 152548, 50 100 = R1 = 152548, 50

R1 = B0 · D1

r

B1 = B0 − R1 =

Primjer 2.






Rjeˇsenje:


C = 350000 n = 5 S = 20000


R = ?

d = 100 · 1 −

r n

S C

= 43, 585286

d = 152548, 50 100 = R1 = 152548, 50

R1 = B0 · D1

B1 = B0 − R1 = 197451, 50




Metoda konstantnog postotka


k

Rk

Dk

Bk

0

-

-

350000,00


1

152548,50

152548,50

197451,50

MATEMATIKA

2

86059,80

238608,30

111391,70

OSIGURANJA

3

48550,39

287158,69

62841,31

4

27389,56

314548,25

35451,75

5.

15451,75

330000,00

20000,00


Primjer 3. Automobil je kupljen po cijeni od 20000 € i godiˇsnja stopa amortizacije je 25%. Nadimo knjigovodstvenu vrijednost na kraju 5. godine i troˇsak amortizacije za 6. godinu.






Rjeˇsenje: C = 20000 d = 25 B5 = ? R6 = ?




AMORTIZACIJA Linearna amort. Met. konst. postotka Met. sume znam. Metode salda Funkcionalna amor.

Rjeˇsenje: C = 20000 d = 25


B5 = ? R6 = ?

OSIGURANJA

d 5 B5 = C · 1 − = 100






B5 = ? R6 = ?

OSIGURANJA

d 5 B5 = C · 1 − = 4746, 09 100






B5 = ? R6 = ?

OSIGURANJA

d 5 B5 = C · 1 − = 4746, 09 100 d = R6 = B5 · 100






B5 = ? R6 = ?

OSIGURANJA

d 5 B5 = C · 1 − = 4746, 09 100 d = 1186, 52 R6 = B5 · 100


Financijska funkcija DB

IPS DB primjer




Metoda sume znamenaka - degresivna metoda amortizacije


Amortizacijske kvote u pojedinim godinama dobijemo tako da kvocijent rednih brojeva godina (u obrnutom redosljedu) i sume znamenaka perioda amortizacije, pomnoˇzimo s troˇskom amortizacije.

Rk =

n−k+1 s (C

− S)

Met. konst. postotka Met. sume znam. Metode salda Funkcionalna amor.


Raˇcunamo redom:

OSIGURANJA

s

=

R1

=

R2

=

1 + 2 + ... + n n (C − S) s n−1 (C − S) s

.. . Rn

=

1 (C − S) s

Primjer 4. Stroj ˇcija je nabavna cijena 350000 kn ima ˇzivotni vijek 5 godina i otpisnu vrijednost 20000 kn. Primjenjujući

Financijska matematika IPS AMORTIZACIJA

amortizaciju metodom sume znamenaka, izraˇcunajmo

Linearna amort.

amortizacijske kvote i izradimo amortizacijsku tablicu.

Met. sume znam.







Linearna amort.


Met. sume znam.


Metode salda

Rjeˇsenje: C = 350000 n = 5 S = 20000 s = ? Rk = ?

Funkcionalna amor.




IPS AMORTIZACIJA


Linearna amort.


Met. sume znam.



Rjeˇsenje:


C = 350000 n = 5 S = 20000


s = ? Rk = ? s

=

1 + 2 + 3 + 4 + 5 = 15



IPS AMORTIZACIJA


Linearna amort.


Met. sume znam.



Rjeˇsenje:


C = 350000 n = 5 S = 20000


s = ? Rk = ? s

=

R1

=

1 + 2 + 3 + 4 + 5 = 15 5 · (350000 − 20000) = 110000 15



IPS AMORTIZACIJA


Linearna amort.


Met. sume znam.



Rjeˇsenje:


C = 350000 n = 5 S = 20000


s = ? Rk = ? s

=

R1

=

R2

=

.. .

1 + 2 + 3 + 4 + 5 = 15 5 · (350000 − 20000) = 110000 15 4 · (350000 − 20000) = 88000 15




Metoda sume znamenaka


k

Rk

Dk

Bk

0

-

-

350000,00


1

110000,00

110000,00

240000,00

MATEMATIKA

2

88000,00

198000,00

152000,00

OSIGURANJA

3

66000,00

264000,00

86000,00

4

44000,00

308000,00

42000,00

5

22000,00

330000,00

20000,00


Financijska funkcija SYD




Usporedba metoda amortizacije

IPS AMORTIZACIJA

Grafiˇcki prikaz ovisnosti knjigovodstvene vrijednosti o vremenu kod linearne amortizacije, metode sume znamenaka i metode

Met. konst. postotka Met. sume znam. Metode salda

konstantnog postotka. 400

Linearna amort.

Funkcionalna amor.


Bk

350

MATEMATIKA 300

OSIGURANJA

250

200

150

100

50

1

2

3

4

5

k 6


Metoda padaju´ ceg salda


unaprijed su zadane amortizacijske stope pojedinih godina

Met. konst. postotka Met. sume znam. Metode salda

suma svih zadanih stopa mora biti 100 metoda padajućeg salda - amortizacijske stope se smanjuju (degresivna metoda)

Funkcionalna amor.


metoda rastućeg salda - amortizacijske stope se povećavaju (progresivna metoda)

Rk = (C − S) ·

dk 100

Primjer 5.


Stroj ˇcija je nabavna cijena 200000 kn ima ˇzivotni vijek 4 godine i otpisnu vrijednost 20000 kn. Izradimo amortizacijsku tablicu primjenjujući amortizaciju metodom padajućeg salda uz


amortizacijske stope dane u tablici.


godina k

1.

2.

3.

4.

Funkcionalna amor.

amort. stopa d

40%

30%

20%

10%


Primjer 5.






godina k

1.

2.

3.

4.

Funkcionalna amor.

amort. stopa d

40%

30%

20%

10%


Rjeˇsenje: C = 200000 n = 4 S = 20000 Rk = ?


Primjer 5.






godina k

1.

2.

3.

4.

Funkcionalna amor.

amort. stopa d

40%

30%

20%

10%


Rjeˇsenje:

OSIGURANJA

C = 200000 n = 4 S = 20000 Rk = ?

R1 = (200000 − 20000) ·

40 = 100

Primjer 5.






godina k

1.

2.

3.

4.

Funkcionalna amor.

amort. stopa d

40%

30%

20%

10%


Rjeˇsenje:

OSIGURANJA

C = 200000 n = 4 S = 20000 Rk = ?

R1 = (200000 − 20000) ·

40 = 72000 100

Primjer 5.






godina k

1.

2.

3.

4.

Funkcionalna amor.

amort. stopa d

40%

30%

20%

10%


Rjeˇsenje:

OSIGURANJA

C = 200000 n = 4 S = 20000 Rk = ?

R1 = (200000 − 20000) · R2 = 54000,

40 = 72000 100

R3 = 36000,

R4 = 18000




Metoda padajućeg salda


k

Rk

Dk

Bk

0

-

-

200000,00

1

72000,00

72000,00

128000,00

2

54000,00

126000,00

74000,00

3

36000,00

162000,00

38000,00

4

18000,00

180000,00

20000,00



Funkcionalna amortizacija


amortizacija se obraˇcunava razmjerno intenzitetu koriˇstenja sredstava za rad ili davanja usluga

Met. konst. postotka Met. sume znam. Metode salda Funkcionalna amor.

koliˇcina usluge: broj sati rada; jedinice proizvoda; prijedeni kilometri i sl.


Troˇsak amortizacije po jedinici uˇcinka a: a=

C −S Q

(Q je planirana koliˇcina uˇcinka)

Rk = k · a

OSIGURANJA


Primjer 6.

IPS

Stroj ˇcija je originalna cijena 60000 kn ima ˇzivotni vijek 4 godine i otpisnu vrijednost od 8000 kn. U godinama koje slijede proizvest će redom 4000, 3500, 2900 i 2600 proizvoda. Nadimo troˇsak amortizacije po jedinici proizvoda i izradimo amortizacijsku tablicu.




Primjer 6.

IPS

Stroj ˇcija je originalna cijena 60000 kn ima ˇzivotni vijek 4 godine i otpisnu vrijednost od 8000 kn. U godinama koje slijede proizvest će redom 4000, 3500, 2900 i 2600 proizvoda. Nadimo troˇsak amortizacije po jedinici proizvoda i izradimo amortizacijsku tablicu. Rjeˇsenje: C = 60000 n = 4 S = 8000 a = ?




Primjer 6.

IPS

Stroj ˇcija je originalna cijena 60000 kn ima ˇzivotni vijek 4 godine i otpisnu vrijednost od 8000 kn. U godinama koje slijede proizvest će redom 4000, 3500, 2900 i 2600 proizvoda. Nadimo troˇsak amortizacije po jedinici proizvoda i izradimo amortizacijsku tablicu. Rjeˇsenje: C = 60000 n = 4 S = 8000 a = ?

C − S = 52000,




Primjer 6.

IPS

Stroj ˇcija je originalna cijena 60000 kn ima ˇzivotni vijek 4 godine i otpisnu vrijednost od 8000 kn. U godinama koje slijede proizvest će redom 4000, 3500, 2900 i 2600 proizvoda. Nadimo troˇsak amortizacije po jedinici proizvoda i izradimo amortizacijsku tablicu.

Linearna amort. Met. konst. postotka Met. sume znam. Metode salda Funkcionalna amor.


Rjeˇsenje:

MATEMATIKA

C = 60000 n = 4 S = 8000

OSIGURANJA

a = ?

C − S = 52000,

AMORTIZACIJA

Q = 4000 + 3500 + 2900 + 2600 = 13000,


Primjer 6.

IPS

Stroj ˇcija je originalna cijena 60000 kn ima ˇzivotni vijek 4 godine i otpisnu vrijednost od 8000 kn. U godinama koje slijede proizvest će redom 4000, 3500, 2900 i 2600 proizvoda. Nadimo troˇsak amortizacije po jedinici proizvoda i izradimo


amortizacijsku tablicu.


Rjeˇsenje:

MATEMATIKA

C = 60000 n = 4 S = 8000

OSIGURANJA

a = ?

C − S = 52000,

AMORTIZACIJA

Q = 4000 + 3500 + 2900 + 2600 = 13000,

Troˇsak amortizacije po jedinici proizvoda a=

C −S = Q


Primjer 6.

IPS

Stroj ˇcija je originalna cijena 60000 kn ima ˇzivotni vijek 4 godine i otpisnu vrijednost od 8000 kn. U godinama koje slijede proizvest će redom 4000, 3500, 2900 i 2600 proizvoda. Nadimo troˇsak amortizacije po jedinici proizvoda i izradimo


amortizacijsku tablicu.


Rjeˇsenje:

MATEMATIKA

C = 60000 n = 4 S = 8000

OSIGURANJA

a = ?

C − S = 52000,

AMORTIZACIJA

Q = 4000 + 3500 + 2900 + 2600 = 13000,

Troˇsak amortizacije po jedinici proizvoda a=

C −S 52000 = =4 Q 13000




Funkcionalna amortizacija


n

br.proiz.

Rk

Dk

Bk

0

-

-

-

60000,00

1

4000

16000,00

16000,00

44000,00

2

3500

14000,00

30000,00

30000,00

3

2900

11600,00

41600,00

28400,00

4

2600

10400,00

52000,00

8000,00



Sadrˇ zaj 1

AMORTIZACIJA Linearna amortizacija Metoda konstantnog postotka Metoda sume znamenaka Metoda padajućeg/rastućeg salda Funkcionalna amortizacija

IPS AMORTIZACIJA ANTICIPATIVAN ˇ OBRACUN Jedn. i sl. kamatni raˇ cun Periodske uplate/isplate Kredit


2


3



Pojam anticipativnog obraˇ cuna kamata

IPS AMORTIZACIJA

Kod anticipativnog obraˇcuna kamata duˇznik kamate na posudeni iznos plaća unaprijed, na poˇcetku razdoblja na koje se dug odnosi, a na kraju razdoblja vraća posudeni iznos. Posljedica takvog obraˇcuna kamata je da duˇznik na poˇcetku razdoblja raspolaˇze posudenim iznosom umanjenim za kamate. q - kamatna stopa kod anticipativnog obraˇcuna kamata Kamate poˇcetkom godine za jednu godinu jednake su:

I=

C0 · q 100

ANTICIPATIVAN ˇ OBRACUN Jedn. i sl. kamatni raˇ cun Periodske uplate/isplate Kredit



Dekurzivni vs. anticipativni kam. raˇ cun

IPS

Primjer 7.

AMORTIZACIJA

Usporedimo dekurzivni i anticipativni kamatni raˇcun na


primjeru posudbe glavnice od 1000 kn na godinu dana uz godiˇsnju kamatnu stopu 10%?

Jedn. i sl. kamatni raˇ cun Periodske uplate/isplate Kredit



Dekurzivni vs. anticipativni kam. raˇ cun

IPS

Primjer 7.

AMORTIZACIJA

Usporedimo dekurzivni i anticipativni kamatni raˇcun na


primjeru posudbe glavnice od 1000 kn na godinu dana uz godiˇsnju kamatnu stopu 10%?


MATEMATIKA

Rjeˇsenje:

OSIGURANJA

vrijeme 1.1.

dekurzivni 1000

anticipativni 1000 -100

”+”

1000

900

31.12.

1000

1000

+100 ”−”

1100

1000


Jednostavni anticipativni obraˇ cun kamata

IPS AMORTIZACIJA

Kamate poˇcetkom godine za n godina, n puta su veće od

ANTICIPATIVAN ˇ OBRACUN Jedn. i sl. kamatni raˇ cun

kamata za jednu godinu:

Periodske uplate/isplate Kredit

Iuk = Cn ·

q·n 100


Nadalje, C0 = Cn − Iuk , iz ˇcega slijedi

Cn = C0 ·

100 100 − q · n

Izraz ima smisla za 100 − q · n > 0, odnosno q <

100 n .

Primjer 8. Kolika je konaˇcna vrijednost glavnice 10000 kn nakon pet godina uz jednostavni anticipativni obraˇcun kamata i godiˇsnju kamatnu stopu 6%?

Financijska matematika IPS AMORTIZACIJA ANTICIPATIVAN ˇ OBRACUN Jedn. i sl. kamatni raˇ cun Periodske uplate/isplate Kredit



Financijska matematika IPS AMORTIZACIJA ANTICIPATIVAN ˇ OBRACUN Jedn. i sl. kamatni raˇ cun

Rjeˇsenje:


C0 = 10000 q = 6 n = 5 C5 = ?




Rjeˇsenje:


C0 = 10000 q = 6 n = 5


C5 = ?

Cn = C0 ·

100 100 − q · n



Rjeˇsenje:


C0 = 10000 q = 6 n = 5


C5 = ?

100 100 − q · n 100 = 10000 · 100 − 6 · 5

Cn = C0 ·



Rjeˇsenje:


C0 = 10000 q = 6 n = 5


C5 = ?

100 100 − q · n 100 = 10000 · 100 − 6 · 5 = 14285, 71

Cn = C0 ·


Sloˇ zeni anticipativni obraˇ cun kamata Zanima nas konaˇcna vrijednost glavnice na kraju n-te godine uz sloˇzen i anticipativan obraˇcun kamata.




Sloˇ zeni anticipativni obraˇ cun kamata

IPS

Zanima nas konaˇcna vrijednost glavnice na kraju n-te godine

AMORTIZACIJA

uz sloˇzen i anticipativan obraˇcun kamata. C1 − C1

q = C0 100

⇒

C1 = C0

100 = C0 100 − q

100 100 − q

1


,Jedn. i sl. kamatni raˇcun Periodske uplate/isplate Kredit




IPS


AMORTIZACIJA


q = C0 100

q C2 − C2 = C1 100

⇒

C1 = C0

100 = C0 100 − q

⇒

100 C2 = C1 = C0 100 − q

100 100 − q

1

100 100 − q

2



,MATEMATIKA OSIGURANJA



IPS


AMORTIZACIJA


q = C0 100

q C2 − C2 = C1 100 C3 − C3 .. .

q = C2 100

⇒

C1 = C0

100 = C0 100 − q

⇒

100 C2 = C1 = C0 100 − q

⇒

100 = C0 100 − q

C3 = C2

100 100 − q

1

100 100 − q

2

100 100 − q

3




,



IPS


AMORTIZACIJA


q = C0 100

q C2 − C2 = C1 100 C3 − C3

q = C2 100

⇒

C1 = C0

100 = C0 100 − q

⇒

100 C2 = C1 = C0 100 − q

⇒

100 = C0 100 − q

C3 = C2

.. . Kolika je vrijednost glavnice nakon n godina?

100 100 − q

1

100 100 − q

2

100 100 − q

3




,



IPS


AMORTIZACIJA


q = C0 100

q C2 − C2 = C1 100 C3 − C3

q = C2 100

⇒

C1 = C0

100 = C0 100 − q

⇒

100 C2 = C1 = C0 100 − q

⇒

100 = C0 100 − q

C3 = C2

.. . Kolika je vrijednost glavnice nakon n godina?

Cn = C0

100 100 − q

n

100 100 − q

1

100 100 − q

2

100 100 − q

3




,


Anticipativni kamatni faktor

IPS AMORTIZACIJA

Uvodimo oznaku za anticipativni kamatni faktor

100 ρ= 100 − q



Uz uvrˇstavanje anticipativnog kamatnog faktora slijedi izraz za konaˇcnu vrijednost glavnice,

Cn = C0 · ρn Primjetimo da izraz ima smisla za 100 − q > 0, odnosno q < 100.


Primjer 9. Kolika je konaˇcna vrijednost glavnice 10000 kn nakon pet godina uz sloˇzeni anticipativni obraˇcun kamata i godiˇsnju kamatnu stopu 6%?






Rjeˇsenje: C0 = 10000 q = 6 ⇒ ρ= n = 5 C5 = ?

MATEMATIKA 100 100−6

= 1, 063829787

OSIGURANJA




Rjeˇsenje: C0 = 10000 q = 6 ⇒ ρ= n = 5


= 1, 063829787

C5 = ?

C5 = C0 ·

100 100 − q

n

=

OSIGURANJA




Rjeˇsenje: C0 = 10000 q = 6 ⇒ ρ= n = 5


OSIGURANJA

= 1, 063829787

C5 = ?

C5 = C0 ·

100 100 − q

n

= 10000 ·

100 100 − 6

5




Rjeˇsenje: C0 = 10000 q = 6 ⇒ ρ= n = 5


OSIGURANJA

= 1, 063829787

C5 = ?

100 = C0 · 100 − q = 13625, 76

C5

n

= 10000 ·

100 100 − 6

5




Rjeˇsenje: C0 = 10000 q = 6 ⇒ ρ= n = 5


OSIGURANJA

= 1, 063829787

C5 = ?

100 = C0 · 100 − q = 13625, 76

C5

n

= 10000 ·

100 100 − 6

Anticipativne kamate su ve´ ce od dekurzivnih!

5


Odnos dekurzivne i anticipativne kamatne stope

IPS AMORTIZACIJA ANTICIPATIVAN ˇ OBRACUN

Ako neku glavnicu uloˇzimo uz istu dekurzivnu i anticipativnu kamatnu stopu, konaˇcne vrijednosti neće biti jednake. Veću konaˇcnu vrijednost dobili bi uz anticipativan obraˇcun kamata. Za zadanu godiˇsnju dekurzivnu kamatnu stopu, ekvivalentnu anticipativnu kamatnu stopu (i obrnuto) odredili bi iz relacije

p 100 C0 1 + = C0 · . 100 100 − q Slijedi,

p=

100 · q , 100 − q

q=

100 · p . 100 + p




Ispodgodiˇsnje ukama´ civanje

IPS AMORTIZACIJA

Relativna kamatna stopa qr dobije se tako da godiˇsnju kamatnu stopu podijelimo brojem razdoblja na koji smo

Kredit

q m

Medutim, iznos koji se dobije ako glavnicu ukamatimo m puta godiˇsnje uz qr , razlikuje se od onoga kojeg dobijemo ako istu glavnicu ukamatimo jednom godiˇsnje uz godiˇsnju kamatnu stopu q. Stoga uvodimo konformnu kamatnu stopu q 0 .

Jedn. i sl. kamatni raˇ cun Periodske uplate/isplate

podijelili godinu. Vrijedi:

qr =




Izvod formule za anticipativnu konformnu kamatnu stopu

IPS AMORTIZACIJA

ˇ Zelimo li da poˇcetna vrijednost glavnice uz nominalnu kamatnu


stopu i jedno ukamaćivanje bude jednaka poˇcetnoj vrijednosti glavnice nakon m ukamaćivanja, moramo uvesti konformnu

Kredit

MATEMATIKA

kamatnu stopu q 0 .

OSIGURANJA

Dakle, vrijedi

C1 100 100−q

=

C1 m 100 100−q0

iz ˇcega slijedi, 0

Periodske uplate/isplate

q = 100 1 −

r m

q 1− 100


Formule za periodske uplate i isplate


Analogne formule formulama za dekurzivni kamatni


raˇcun, uz zamjenu ρ umjesto r.

Kredit

MATEMATIKA

ρn − 1 S=R·ρ· ρ−1 A=R·

ρn − 1 ρn−1 · (ρ − 1)

ρn − 1 S0 = R · ρ−1 A0 = R ·

ρn − 1 ρn · (ρ − 1)

OSIGURANJA


Otplata kredita jednakim anuitetima


Za razliku od otplate kredita kod dekurzivnog obraˇcuna


kamata, kod anticipativnog obraˇcuna svaki anuitet sadrˇzi kamate unaprijed za sljedeći period, tako npr. anuitet koji

Kredit


plaćamo na kraju 5. godine sadrˇzi kamate za 6. godinu (toˇcnije, one obraˇcunavane na poˇcetku 6. ˇsto je u biti na kraju 5. godine). Posljedica toga je da ne moˇzemo jednostavno upotrijebiti odgovarajući izraz za dekurzivni kamatni raˇcun kao ˇsto smo to dosad ˇcinili.


Otplata kredita jednakim anuitetima


No, pokaˇze se da je formula za kredit kod otplate kredita


jednakim anuitetima krajem razdoblja uz anticipativan obraˇcun kamata, analogna formuli za kredit kod dekurzivnog raˇcuna, ali uz prenumerando anuitete.

K =a·

ρn − 1 ρn−1 · (ρ − 1)

Kredit



Izrada otplatne tablice kredita

IPS AMORTIZACIJA

Uslijed ranije navedenog i izrada otplatne osnovice kredita kod anticipativnog raˇcuna se razlikuje od dosad poznate i

ANTICIPATIVAN ˇ OBRACUN Jedn. i sl. kamatni raˇ cun Periodske uplate/isplate

raˇcuna se prema formulama koje slijede:

Kredit

MATEMATIKA

a=K·

I0 =

K ·q , 100

Ik = a − R k ,

ρn−1 · (ρ − 1) ρn − 1 Rk = (a − I0 ) · ρk

Ok = Ok−1 − Rk .

OSIGURANJA


Primjer 10. Kredit visine 6000 kn odobren je na 6 mjeseci uz otplatu

IPS AMORTIZACIJA

mjeseˇcnim anuitetima, anticipativan obraˇcun i godiˇsnju kamatnu stopu 13%. Izradimo otplatnu tablicu kredita.




Primjer 10. Kredit visine 6000 kn odobren je na 6 mjeseci uz otplatu

IPS AMORTIZACIJA



Rjeˇsenje:


K = 6000 q 100 q = 13 ⇒ ρ = 12 100−13 = 1, 011672774 n = 6 a = ?



Primjer 10.

IPS

Kredit visine 6000 kn odobren je na 6 mjeseci uz otplatu

AMORTIZACIJA



Rjeˇsenje:

Kredit

K = 6000 q 100 q = 13 ⇒ ρ = 12 100−13 = 1, 011672774 n = 6


a = ? br. mj. k

anuitet a

kamate Ik

otpl. kvota Rk

ost. duga Ok

0

-

-

-

6000,00

1 2 3 4 5 6


Rjeˇsenje

IPS AMORTIZACIJA

a=K·

ρn−1 ·(ρ−1) ρn −1

=




Rjeˇsenje

IPS AMORTIZACIJA

a=K·

ρn−1 ·(ρ−1) ρn −1

= 1029, 24




Rjeˇsenje

IPS AMORTIZACIJA

a=K·

ρn−1 ·(ρ−1) ρn −1

= 1029, 24


q0

I0 = K 100 =

Kredit



Rjeˇsenje

IPS AMORTIZACIJA

a=K·

ρn−1 ·(ρ−1) ρn −1

= 1029, 24


q0

I0 = K 100 = 69, 23

Kredit



Rjeˇsenje

IPS AMORTIZACIJA

a=K·

ρn−1 ·(ρ−1) ρn −1

= 1029, 24


q0

I0 = K 100 = 69, 23 R1 = (a − I0 )ρ =

Kredit



Rjeˇsenje

IPS AMORTIZACIJA

a=K·

ρn−1 ·(ρ−1) ρn −1

= 1029, 24


q0

I0 = K 100 = 69, 23 R1 = (a − I0 )ρ = 971, 22

Kredit



Rjeˇsenje

IPS AMORTIZACIJA

a=K·

ρn−1 ·(ρ−1) ρn −1

= 1029, 24


q0

I0 = K 100 = 69, 23 R1 = (a − I0 )ρ = 971, 22 I1 = a − R1 =

Kredit



Rjeˇsenje

IPS AMORTIZACIJA

a=K·

ρn−1 ·(ρ−1) ρn −1

= 1029, 24


q0

I0 = K 100 = 69, 23 R1 = (a − I0 )ρ = 971, 22 I1 = a − R1 = 58, 02

Kredit



Rjeˇsenje

IPS AMORTIZACIJA

a=K·

ρn−1 ·(ρ−1) ρn −1

= 1029, 24


q0

I0 = K 100 = 69, 23 R1 = (a − I0 )ρ = 971, 22 I1 = a − R1 = 58, 02 O1 = K − R1 =

Kredit



Rjeˇsenje

IPS AMORTIZACIJA

a=K·

ρn−1 ·(ρ−1) ρn −1

= 1029, 24


q0

I0 = K 100 = 69, 23 R1 = (a − I0 )ρ = 971, 22 I1 = a − R1 = 58, 02 O1 = K − R1 = 6000 − 971, 22 = 5028, 78

Kredit



Rjeˇsenje

IPS AMORTIZACIJA

a=K·

ρn−1 ·(ρ−1) ρn −1

= 1029, 24


q0

I0 = K 100 = 69, 23 R1 = (a − I0 )ρ = 971, 22 I1 = a − R1 = 58, 02 O1 = K − R1 = 6000 − 971, 22 = 5028, 78 R2 = (a − I0 )ρ2 =

Kredit



Rjeˇsenje

IPS AMORTIZACIJA

a=K·

ρn−1 ·(ρ−1) ρn −1

= 1029, 24


q0

I0 = K 100 = 69, 23 R1 = (a − I0 )ρ = 971, 22 I1 = a − R1 = 58, 02 O1 = K − R1 = 6000 − 971, 22 = 5028, 78 R2 = (a − I0 )ρ2 = 982, 55

Kredit



Rjeˇsenje

IPS AMORTIZACIJA

a=K·

ρn−1 ·(ρ−1) ρn −1

= 1029, 24


q0

I0 = K 100 = 69, 23 R1 = (a − I0 )ρ = 971, 22 I1 = a − R1 = 58, 02 O1 = K − R1 = 6000 − 971, 22 = 5028, 78 R2 = (a − I0 )ρ2 = 982, 55 I2 = a − R2 =

Kredit



Rjeˇsenje

IPS AMORTIZACIJA

a=K·

ρn−1 ·(ρ−1) ρn −1

= 1029, 24


q0

I0 = K 100 = 69, 23 R1 = (a − I0 )ρ = 971, 22 I1 = a − R1 = 58, 02 O1 = K − R1 = 6000 − 971, 22 = 5028, 78 R2 = (a − I0 )ρ2 = 982, 55 I2 = a − R2 = 46, 69

Kredit



Rjeˇsenje

IPS AMORTIZACIJA

a=K·

ρn−1 ·(ρ−1) ρn −1

= 1029, 24


q0

I0 = K 100 = 69, 23 R1 = (a − I0 )ρ = 971, 22 I1 = a − R1 = 58, 02 O1 = K − R1 = 6000 − 971, 22 = 5028, 78 R2 = (a − I0 )ρ2 = 982, 55 I2 = a − R2 = 46, 69 O2 = O1 − R2 =

Kredit



Rjeˇsenje

IPS AMORTIZACIJA

a=K·

ρn−1 ·(ρ−1) ρn −1

= 1029, 24


q0

I0 = K 100 = 69, 23 R1 = (a − I0 )ρ = 971, 22 I1 = a − R1 = 58, 02 O1 = K − R1 = 6000 − 971, 22 = 5028, 78 R2 = (a − I0 )ρ2 = 982, 55 I2 = a − R2 = 46, 69 O2 = O1 − R2 = 4046, 23 itd.

Kredit



Otplatna osnova

IPS AMORTIZACIJA

k

anuitet a

kamate Ik

otpl. kvota Rk

ost. duga Ok

0

-

69,23

-

6000,00

1

1029,24

58,02

971,22

5028,78

2

1029,24

46,69

982,55

4046,23

3

1029,24

35,22

994,02

3052,21

4

1029,24

23,62

1005,62

2046,59

5

1029,24

11,89

1017,35

1029,24

6

1029,24

0,00

1029,24

0,00

Σ

6175,44

175,44

6000,00

-




Sadrˇ zaj 1

AMORTIZACIJA Linearna amortizacija Metoda konstantnog postotka Metoda sume znamenaka Metoda padajućeg/rastućeg salda Funkcionalna amortizacija

IPS AMORTIZACIJA ANTICIPATIVAN ˇ OBRACUN MATEMATIKA OSIGURANJA Osnovni pojmovi vjerojatnosti Matematika osiguranja

2


3


Tablice smrtnosti i princip ekvivalencije Premije u osiguranju ˇ zivota


Uvod

IPS AMORTIZACIJA

U praksi se ˇcesto javlja potreba da znamo koliko elemenata ima neki konaˇcni skup kojeg promatramo, tj. treba odrediti njegov kardinalni broj. Tim problemom se bavi grana matematike pod nazivom kombinatorika. Ponekad je to prebrojavanje elemenata jednostavno, no ˇcesto to prebrojavanje moˇze biti komplicirano te se moramo posluˇziti nekom od metoda prebrojavanja. Metode prebrojavanja: bijektivna korespodencija, princip sume, princip produkta, formula ukljuˇcivanja-iskljuˇcivanja.

ANTICIPATIVAN ˇ OBRACUN MATEMATIKA OSIGURANJA Osnovni pojmovi vjerojatnosti Matematika osiguranja Tablice smrtnosti i princip ekvivalencije Premije u osiguranju ˇ zivota


Principi prebrojavanja


Princip jednakosti (bijektivna korespodencija) Ako postoji bijekcija izmedu skupova A i B, tada je k(A) = k(B).

MATEMATIKA OSIGURANJA Osnovni pojmovi vjerojatnosti Matematika osiguranja Tablice smrtnosti i princip ekvivalencije

Princip jednakosti koristimo kada nam je umjesto zadanih objekata jednostavnije prebrojiti neke druge objekte koji su s njima u bijekciji.

Premije u osiguranju ˇ zivota


Princip sume Neka su A1 , A2 , . . . , An konaˇcni skupovi koji su u parovima disjunktni, tj.


Ai ∩ Aj = ∅

za i 6= j.

MATEMATIKA OSIGURANJA Osnovni pojmovi vjerojatnosti

Tada je

Matematika osiguranja

k A1 ∪ A2 ∪ · · · ∪ An =

n X

Tablice smrtnosti i princip ekvivalencije

k Ai .

i=1

Princip sume koristimo kada nam je lakˇse prvo skup (cjelinu) razbiti na viˇse dijelova, a zatim prebrojiti koliko ima objekata u pojedinim dijelovima.



Princip produkta Neka su A1 , A2 , . . . , An konaˇcni skupovi, tada je n Y k Ai . k A1 × A2 × · · · × An =


i=1 MATEMATIKA OSIGURANJA Osnovni pojmovi vjerojatnosti

Princip produkta se ˇcesto formulira u sljedećem obliku:


Teorem 1 (O uzastopnom prebrojavanju).


Neka su A1 , A2 , . . . , An konaˇcni skupovi, a A ⊆ A1 × A2 × · · · × An skup uredenih n-torki x1 , x2 , . . . , xn

definiranih ovako: prva komponenta x1 se moˇze odabrati na p1 naˇcina; za svaku odabranu prvu komponentu drugu komponentu x2 moˇzemo odabrati na p2 naˇcina itd.; za svaki izbor komponenata x1 , x2 , . . . , xn−1 , n-tu komponentu xn moˇzemo birati na pn naˇcina. Tada skup A ima p1 p2 · · · pn elemenata.


Primjer 11. Dijete ima tri zelene bojice razliˇcitih nijansi, dvije plave, dvije smede i jednu ˇzutu. 1

Na koliko naˇcina dijete moˇze izabrati jednu bojicu?

2

Na koliko naˇcina moˇze izabrati bojice za crtanje stabla sa smedim deblom i zelenom kroˇsnjom?

Financijska matematika IPS AMORTIZACIJA ANTICIPATIVAN ˇ OBRACUN MATEMATIKA OSIGURANJA Osnovni pojmovi vjerojatnosti Matematika osiguranja Tablice smrtnosti i princip ekvivalencije Premije u osiguranju ˇ zivota

Primjer 11. Dijete ima tri zelene bojice razliˇcitih nijansi, dvije plave, dvije smede i jednu ˇzutu. 1

Na koliko naˇcina dijete moˇze izabrati jednu bojicu?

2

Na koliko naˇcina moˇze izabrati bojice za crtanje stabla sa smedim deblom i zelenom kroˇsnjom?

Financijska matematika IPS AMORTIZACIJA ANTICIPATIVAN ˇ OBRACUN MATEMATIKA OSIGURANJA Osnovni pojmovi vjerojatnosti Matematika osiguranja Tablice smrtnosti i princip ekvivalencije

Rjeˇsenje: 1

Definiramo sljedeće skupove Z = z1 , z2 , z3 ← skup zelenih bojica P = p1 , p2 ← skup plavih bojica S = s1 , s2 ← skup smedih bojica Zˇ = zˇ1 ← skup ˇzutih bojica



Tada je k Z ∪ P ∪ S ∪ Zˇ = k(Z) + k(P ) + k(S) + k Zˇ = =3+2+2+1=8

AMORTIZACIJA ANTICIPATIVAN ˇ OBRACUN MATEMATIKA

Dijete jednu bojicu moˇze odabrati na 8 naˇcina. 2

Prema principu produkta vrijedi

OSIGURANJA Osnovni pojmovi vjerojatnosti Matematika osiguranja

k S × Z = k(S) · k(Z) = 2 · 3 = 6


Smedu bojicu dijete moˇze izabrati na 2 naˇcina, a za svaki takav izbor smede bojice zelenu bojicu moˇze odabrati na 3 naˇcina. Dakle, izbor bojica odgovara uredenim parovima kojima je na prvom mjestu smeda bojica, a na drugom mjestu zelena bojica.


Permutacije i kombinacije

IPS AMORTIZACIJA

prebrojavanje


uredenih razmjeˇstaja (vaˇzan je poredak objekata)

neuredenih razmjeˇstaja (nije vaˇzan poredak objekata)


bez ponavljanja objekata

sa ponavljanjem objekata

PERMUTACIJE (VARIJACIJE)

bez ponavljanja objekata

sa ponavljanjem objekata

KOMBINACIJE



Permutacije Definicija 2. r-permutacija n-ˇclanog skupa S je uredena r-torka kod koje su sve komponente medusobno razliˇciti elementi

IPS AMORTIZACIJA ANTICIPATIVAN ˇ OBRACUN MATEMATIKA OSIGURANJA

skupa S.

Osnovni pojmovi vjerojatnosti

U sluˇcaju da je r = n = k(S), tada umjesto n-permutacija kratko govorimo permutacija.

Matematika osiguranja Tablice smrtnosti i princip ekvivalencije Premije u osiguranju ˇ zivota

Ukupni broj svih r-permutacija n-ˇclanog skupa oznaˇcavamo s P (n, r).

Broj r-permutacija n-ˇclanog skupa P (n, r) =

n! = n · (n − 1) · · · (n − r + 1) (n − r)!


Primjer 12. ˇ Cetiri skakaˇcice ({a, b, c, d}) se natjeˇcu za tri medalje. Ispiˇsimo sve moguće ishode natjecanja.

AMORTIZACIJA ANTICIPATIVAN ˇ OBRACUN MATEMATIKA OSIGURANJA Osnovni pojmovi vjerojatnosti Matematika osiguranja Tablice smrtnosti i princip ekvivalencije Premije u osiguranju ˇ zivota




Rjeˇsenje:

OSIGURANJA Osnovni pojmovi vjerojatnosti

(a, b, c), (a, b, d), (a, c, b), (a, c, d), (a, d, b), (a, d, c), (b, a, c), (b, a, d), (b, c, a), (b, c, d), (b, d, a), (b, d, c), (c, a, b), (c, a, d), (c, b, a), (c, b, d), (c, d, a), (c, d, b), (d, a, b), (d, a, c), (d, b, a), (d, b, c), (d, c, a), (d, c, b)





Rjeˇsenje:


(a, b, c), (a, b, d), (a, c, b), (a, c, d), (a, d, b), (a, d, c), (b, a, c), (b, a, d), (b, c, a), (b, c, d), (b, d, a), (b, d, c), (c, a, b), (c, a, d), (c, b, a), (c, b, d), (c, d, a), (c, d, b), (d, a, b), (d, a, c), (d, b, a), (d, b, c), (d, c, a), (d, c, b) Radi se o 3-permutacijama ˇcetveroˇclanog skupa {a, b, c, d} i ukupno ih ima P (4, 3) =

4! (4−3)!

=

4! 1!

= 24.



Kombinacije

IPS AMORTIZACIJA

Definicija 3. r-kombinacija n-ˇclanog skupa S je r-ˇclani podskup od


S.


To je zapravo neuredeni izbor od r elemenata u skupu S.


Ukupni broj svih r-kombinacija n-ˇclanog skupa oznaˇcavamo s C(n, r) ili nr , a taj je broj zapravo jednak ukupnom broju svih


r-ˇclanih podskupova n-ˇclanog skupa.

Broj r-kombinacija n-ˇclanog skupa n n! n(n − 1) · · · (n − r + 1) C(n, r) = = = r r!(n − r)! r!



Primjer 13. Ispiˇsimo sve moguće izbore tri elementa ˇcetveroˇclanog


skupa {a, b, c, d}.

OSIGURANJA

MATEMATIKA

Osnovni pojmovi vjerojatnosti Matematika osiguranja Tablice smrtnosti i princip ekvivalencije Premije u osiguranju ˇ zivota




skupa {a, b, c, d}.

OSIGURANJA

MATEMATIKA


Rjeˇsenje:


{a, b, c}, {a, b, d}, {a, c, d}, {b, c, d}





skupa {a, b, c, d}.

OSIGURANJA

MATEMATIKA


Rjeˇsenje:


{a, b, c}, {a, b, d}, {a, c, d}, {b, c, d}


Radi se o 3-kombinacijama skupa {a, b, c, d} i ukupno ih ima 4 4! 3 = 3!(4−3)! = 4.


Primjer 14. Na koliko se naˇcina moˇze odabrati poˇcetna petorka u


koˇsarkaˇskoj ekipi koja ima 10 igraˇca?

MATEMATIKA OSIGURANJA Osnovni pojmovi vjerojatnosti Matematika osiguranja Tablice smrtnosti i princip ekvivalencije Premije u osiguranju ˇ zivota


Primjer 14. Na koliko se naˇcina moˇze odabrati poˇcetna petorka u


koˇsarkaˇskoj ekipi koja ima 10 igraˇca?

MATEMATIKA

Rjeˇsenje: Odabir poˇcetne petorke zapravo odgovara


peteroˇclanom podskupu u skupu od 10 elemenata. Stoga poˇcetnu petorku moˇzemo izabrati na 10 10 · 9 · 8 · 7 · 6 = 252 = 5·4·3·2·1 5 naˇcina.



Definicija 4. r-permutacija s ponavljanjem n-ˇclanog skupa S je

AMORTIZACIJA

uredena r-torka elemenata skupa S u kojoj su dozvoljena


ponavljanja elemenata iz skupa S.


Ukupni broj svih r-permutacija s ponavljanjem n-ˇclanog skupa


oznaˇcavamo s P (n, r).

Matematika osiguranja Tablice smrtnosti i princip ekvivalencije

Uz pretpostavku da svaki element moˇzemo ponoviti po volji mnogo puta (ili barem r puta), vrijedi sljedeća formula

Broj r-permutacija s ponavljanjem n-ˇclanog skupa P (n, r) = nr


Primjer 15. Ispiˇsimo sve 3-permutacije s ponavljanjem skupa


{a, b, c, d}.

AMORTIZACIJA

IPS


Primjer 15. Ispiˇsimo sve 3-permutacije s ponavljanjem skupa


{a, b, c, d}.

AMORTIZACIJA

Rjeˇsenje:


IPS

(a, a, a), (a, a, b), (a, a, c), (a, a, d), (a, b, a), (a, b, b), (a, b, c), (a, b, d), (a, c, a), (a, c, b), (a, c, c), (a, c, d), (a, d, a), (a, d, b), (a, d, c), (a, d, d), (b, a, a), (b, a, b), (b, a, c), (b, a, d), (b, b, a), (b, b, b), (b, b, c), (b, b, d), (b, c, a), (b, c, b), (b, c, c), (b, c, d), (b, d, a), (b, d, b), (b, d, c), (b, d, d), (c, a, a), (c, a, b), (c, a, c), (c, a, d), (c, b, a), (c, b, b), (c, b, c), (c, b, d), (c, c, a), (c, c, b), (c, c, c), (c, c, d), (c, d, a), (c, d, b), (c, d, c), (c, d, d), (d, a, a), (d, a, b), (d, a, c), (d, a, d), (d, b, a), (d, b, b), (d, b, c), (d, b, d), (d, c, a), (d, c, b), (d, c, c), (d, c, d), (d, d, a), (d, d, b), (d, d, c), (d, d, d)

Ukupno ih ima 43 = 64.



Definicija 5. r-kombinacija s ponavljanjem n-ˇclanog skupa S je

IPS AMORTIZACIJA

izbor od r elemenata skupa S pri ˇcemu poredak nije


vaˇzan, a ponavljanja elemenata su dozvoljena.


Ukupni broj svih r-kombinacija s ponavljanjem n-ˇclanog skupa oznaˇcavamo s C(n, r). Uz pretpostavku da svaki element moˇzemo ponoviti po volji mnogo puta (ili barem r puta), vrijedi sljedeća formula

Broj r-kombinacija s ponavljanjem n-ˇclanog skupa n+r−1 C(n, r) = r



Primjer 16. Ispiˇsimo sve 3-kombinacije s ponavljanjem skupa {a, b, c, d}.



Primjer 16. Ispiˇsimo sve 3-kombinacije s ponavljanjem skupa {a, b, c, d}.

AMORTIZACIJA ANTICIPATIVAN ˇ OBRACUN MATEMATIKA OSIGURANJA

Rjeˇsenje: {a, a, a}, {a, a, b}, {a, a, c}, {a, a, d}, {a, b, b}, {a, b, c}, {a, b, d}, {a, c, c}, {a, c, d}, {a, d, d}, {b, b, b}, {b, b, c}, {b, b, d}, {b, c, c}, {b, c, d}, {b, d, d}, {c, c, c}, {c, c, d}, {c, d, d}, {d, d, d} Ukupno ih ima

4+3−1 3

=

6 3

= 20.



Primjer 17. Na koliko se naˇcina iz snopa od 52 karte moˇze izvući 13 karata, ali tako da medu njima budu 2 zelja, 4 srca, 3 bundeve i 4 ˇzira?



Primjer 17. Na koliko se naˇcina iz snopa od 52 karte moˇze izvući 13 karata, ali tako da medu njima budu 2 zelja, 4 srca, 3

OSIGURANJA

Rjeˇsenje: U snopu od 52 karte imamo po 13 karata svake boje. Stoga 2 zelja moˇzemo odabrati na 13 cina, 4 srca na 2 naˇ 13 13 cina, 3 bundeve na 3 naˇcina i 4 ˇzira na 13 cina. 4 naˇ 4 naˇ principu produkta


bundeve i 4 ˇzira?

Prema

AMORTIZACIJA

ukupni broj naˇcina je jednak

13 13 13 13 = 11 404 407 300. 2 4 3 4



Formula ukljuˇ civanja − iskljuˇ civanja

IPS AMORTIZACIJA

Propozicija 1. Neka su A i B podskupovi konaˇcnog univerzalnog skupa


U. Tada vrijedi: 1

k A ∪ B = k(A) + k(B) − k A ∩ B

2

k A ∩ B 6 min k(A), k(B)

3

k A \ B = k(A) − k A ∩ B

4

k Ac = k(U) − k(A)

5

k A × B = k(A) · k(B)

OSIGURANJA



Teorem 2 (Formula ukljuˇ civanja–iskljuˇ civanja).

AMORTIZACIJA

Za podskupove A1 , A2 , . . . , An ⊆ S konaˇcnog skupa S


vrijedi


k A1 ∪ A2 ∪ · · · ∪ An =

X

k(Ai ) −

X

k Ai ∩ Aj +

Osnovni pojmovi vjerojatnosti Matematika osiguranja

+

X

k Ai ∩ Aj ∩ At − · · · + (−1)n−1 k A1 ∩ · · · ∩ An

gdje je prva suma uzeta po svim i ∈ {1, . . . , n}, druga suma po svim 2-kombinacijama {i, j} ⊂ {1, . . . , n}, treća po svim 3-kombinacijama {i, j, t} ⊂ {1, . . . , n}, itd.



Formula U - I za tri skupa


A

B


C

k A ∪ B ∪ C = k(A) + k(B) + k(C) − k A ∩ B − −k A∩C −k B∩C +k A∩B∩C



Primjer 18. U razredu 25 uˇcenik uˇci engleski, 12 ruski i 19 njemaˇcki jezik. 15 uˇcenika uˇci engleski i njemaˇcki, 6 engleski i ruski, a 8 ruski i njemaˇcki. Ako 5 uˇcenika uˇce sva tri jezika, koliko je uˇcenika u razredu?

IPS AMORTIZACIJA ANTICIPATIVAN ˇ OBRACUN MATEMATIKA OSIGURANJA Osnovni pojmovi vjerojatnosti Matematika osiguranja Tablice smrtnosti i princip ekvivalencije Premije u osiguranju ˇ zivota



IPS AMORTIZACIJA ANTICIPATIVAN ˇ OBRACUN MATEMATIKA OSIGURANJA Osnovni pojmovi vjerojatnosti

Rjeˇsenje:


k E ∪ N ∪ R = k(E) + k(N ) + k(R) − k E ∩ N −

−k E∩R −k N ∩R +k E∩N ∩R





Rjeˇsenje:


k E ∪ N ∪ R = k(E) + k(N ) + k(R) − k E ∩ N −


k E ∪ N ∪ R = 25 + 12 + 19 − 15 − 6 − 8 + 5 =





Rjeˇsenje:


k E ∪ N ∪ R = k(E) + k(N ) + k(R) − k E ∩ N −


k E ∪ N ∪ R = 25 + 12 + 19 − 15 − 6 − 8 + 5 = 32



Teorija vjerojatnosti

IPS AMORTIZACIJA

Osnovni pojam u teoriji vjerojatnosti jest sluˇ cajni pokus.


Sluˇcajni pokus je pokus ˇciji ishodi nisu jednoznaˇcno

MATEMATIKA

odredeni uvjetima u kojima se izvodi. Skup svih mogućih ishoda sluˇcajnog pokusa zove se prostor


elementarnih dogadaja i taj skup se oznaˇcava sa Ω. Dogadaj je


neki podskup skupa Ω.


Kako su ∅ i Ω podskupovi od Ω, oni su takoder dogadaji. Prvog od njih zovemo nemogu´ c dogadaj, a drugog siguran dogadaj. Svaki mogući dogadaj je unija nekih elementarnih dogadaja.

Primjer 19 (Bacanje igra´ ce kocke). Sluˇcajni pokus je ”bacanje igraće kocke”. Mogući ishodi tog pokusa su sljedeći:


1

→

”pao je broj 1”

2

→

”pao je broj 2”


3

→

”pao je broj 3”

MATEMATIKA

4

→

”pao je broj 4”

OSIGURANJA

5

→

”pao je broj 5”

6

→

”pao je broj 6”

Stoga je skup elementarnih dogadaja Ω = {1, 2, 3, 4, 5, 6}.


Primjer 19 (Bacanje igra´ ce kocke). Sluˇcajni pokus je ”bacanje igraće kocke”. Mogući ishodi tog pokusa su sljedeći:


1

→

”pao je broj 1”

2

→

”pao je broj 2”


3

→

”pao je broj 3”

MATEMATIKA

4

→

”pao je broj 4”

OSIGURANJA

5

→

”pao je broj 5”

6

→

”pao je broj 6”

Stoga je skup elementarnih dogadaja Ω = {1, 2, 3, 4, 5, 6}. Neki mogući dogadaji vezani uz bacanje igraće kocke: A = pao je parni broj = {2, 4, 6} B = pao je broj veći od 4 = {5, 6} C = pao je neparni broj manji od 5 = {1, 3}



Primjer 20 (Bacanje novˇ ci´ ca). Sluˇcajni pokus je ”bacanje novˇcića”. Mogući ishodi tog


pokusa su sljedeći:

OSIGURANJA

P

→

”pojavilo se pismo”

G

→

”pojavila se glava”

Stoga je skup elementarnih dogadaja Ω = {P, G}.



Primjer 21 (Bacanje dvije igra´ ce kocke).

AMORTIZACIJA

Sluˇcajni pokus je ”bacanje igraće kocke”. Mogući ishodi


tog pokusa su sljedeći: MATEMATIKA OSIGURANJA

ωij = (i, j) →

”na prvoj kocki je pao broj i, a na drugoj broj j”


pri ˇcemu su i, j ∈ {1, 2, 3, 4, 5, 6}. Dakle, prostor


elementarnih dogadaja je


Ω = (i, j) : i, j ∈ {1, 2, . . . , 6} pa imamo ukupno 36 elementarnih dogadaja.


Na primjer,


A = na obje kocke su brojevi manji od tri = (1, 1), (1, 2), (2, 1), (2, 2)

MATEMATIKA OSIGURANJA Osnovni pojmovi vjerojatnosti Matematika osiguranja

B = suma brojeva na obje kocke je 7 = (1, 6), (2, 5), (3, 4), (4, 3), (5, 2), (6, 1)

su neki od mogućih dogadaja vezanih uz sluˇcajni pokus bacanja dvije igraće kocke.



Usporedivanje dogadaja

IPS

Definicija 6. Kaˇzemo da dogadaj A povlaˇ ci dogadaj B ako realizacija dogadaja A povlaˇci realizaciju dogadaja B.


To znaˇci da dogadaj B sadrˇzi sve elementarne dogadaje koje sadrˇzi i dogadaj A. U tom sluˇcaju piˇsemo A ⊂ B. Ako se dogodio dogadaj A, tada se sigurno dogodio i dogadaj B.

OSIGURANJA Osnovni pojmovi vjerojatnosti Matematika osiguranja Tablice smrtnosti i princip ekvivalencije Premije u osiguranju ˇ zivota

W

A B


Primjer 22 (Bacanje dvije igra´ ce kocke). Bacamo dvije kocke. Neka su

AMORTIZACIJA ANTICIPATIVAN ˇ OBRACUN

A = na obje kocke su brojevi veći od 4 , B = suma brojeva na obje kocke je veća od 8 .

Dogadaj A povlaˇci dogadaj B, tj. A ⊂ B, jer ako su oba broja veća od 4, tada je njihova suma veća od 8.

Medutim, dogadaj B ne

ce je da na jednoj kocki padne broj 3, a na drugoj 6 (tada nisu na obje povlaˇ ci dogadaj A, jer mogu´ kocke brojevi ve´ ci od 4), ali je suma ipak ve´ ca od 8.

Dakle, ako se ostvario dogadaj A, tada se sigurno ostvario i dogadaj B, ali obrnuto ne mora vrijediti.



Definicija 7. Za dogadaje A i B kaˇzemo da su ekvivalentni i piˇsemo

IPS AMORTIZACIJA

A = B ako je A ⊂ B i B ⊂ A.


Ekvivalentni dogadaji se sastoje od istih elementarnih dogadaja.

MATEMATIKA

Dogadaj A se ostvario ako i samo ako se ostvario dogadaj B.


Primjer 23 (Bacanje novˇ ci´ ca). Bacamo ispravni novˇcić ˇcetiri puta. Neka su A = pojavila su se toˇcno tri pisma , B = pojavila se toˇcno jedna glava . Tada su dogadaji A i B ekvivalentni.



Definicija 8. Dogadaj koji se ostvaruje ako se ostvario barem jedan od

AMORTIZACIJA

dogadaja A i B zovemo unija dogadaja A i B i


oznaˇcavamo s A ∪ B.


W


B

A AÈB


Definicija 9. Dogadaj koji se ostvaruje ako se ostvario svaki od

AMORTIZACIJA

dogadaja A i B zovemo presjek dogadaja A i B i


oznaˇcavamo s A ∩ B.


W


A

AÇB

B


Primjer 24 (Bacanje igra´ ce kocke).

AMORTIZACIJA

Bacamo igraću kocku. Neka su A = pao je parni broj = {2, 4, 6}, B = pao je broj veći od 2 = {3, 4, 5, 6}.



ˇ je A ∪ B, a ˇsto A ∩ B? Sto




AMORTIZACIJA

Bacamo igraću kocku. Neka su A = pao je parni broj = {2, 4, 6}, B = pao je broj veći od 2 = {3, 4, 5, 6}.



ˇ je A ∪ B, a ˇsto A ∩ B? Sto Rjeˇsenje: A ∪ B = pao je broj veći od 1 = {2, 3, 4, 5, 6}, A ∩ B = pao je parni broj veći od 2 = {4, 6}.



Definicija 10. Za dogadaje A i B kaˇzemo da se medusobno iskljuˇ cuju ili da su disjunktni ako se istovremeno ne mogu ostvariti oba dogadaja, tj. A ∩ B = ∅.

AMORTIZACIJA ANTICIPATIVAN ˇ OBRACUN MATEMATIKA OSIGURANJA Osnovni pojmovi vjerojatnosti

Primjer 25 (Bacanje igra´ ce kocke). Bacamo igraću kocku. Neka su A = pao je parni broj = {2, 4, 6}, B = pao je neparni broj veći od 1 = {3, 5}. Tada su dogadaji A i B disjunktni.



Definicija 11. Dogadaj koji se ostvaruje ako se ostvario dogadaj A, a

AMORTIZACIJA

nije se ostvario dogadaj B zovemo razlika dogadaja A i


B i oznaˇcavamo s A \ B.


Posebno, dogadaj Ω \ A naziva se komplementom ili suprotnim dogadajem dogadaja A kojeg oznaˇcavamo s Ac ili A. Dogadaj Ac se ostvaruje ako i samo ako se nije ostvario dogadaj A.

W

A\ B A

B



Primjer 26 (Bacanje igra´ ce kocke). AMORTIZACIJA

Bacamo igraću kocku. A = pao je parni broj = {2, 4, 6}, Ac = pao je neparni broj = {1, 3, 5}.

ANTICIPATIVAN ˇ OBRACUN MATEMATIKA OSIGURANJA Osnovni pojmovi vjerojatnosti Matematika osiguranja Tablice smrtnosti i princip ekvivalencije

c


A

A


Definicija vjerojatnosti

IPS

Definicija 12. Vjerojatnost je funkcija definirana na sigma algebri F od Ω


P : F → [0, 1]


sa sljedećim svojstvima:


P (Ω) = 1


Za svaku konaˇcnu ili beskonaˇcnu familiju A1 , A2 , A3 , . . . u parovima disjunktnih podskupova od Ω vrijedi P

∞ ] n=1

! An

=

∞ X n=1

P (An )


Uredena trojka Ω, F, P koja se sastoji od prostora elementarnih dogadaja Ω i vjerojatnosti P definirane na sigma algebri F ⊆ P(Ω) zovemo vjerojatnosni prostor.

IPS AMORTIZACIJA ANTICIPATIVAN ˇ OBRACUN MATEMATIKA OSIGURANJA

Teorem 3. Neka je Ω, P vjerojatnosni prostor. Tada vrijedi:

1

P (∅) = 0,

2

P (A \ B) = P (A) − P (A ∩ B),

3

P (A ∪ B) = P (A) + P (B) − P (A ∩ B),

4

P (Ac ) = 1 − P (A),

5

Ako je A ⊆ B, tada je P (A) 6 P (B).



Klasiˇ cni vjerojatnosni prostor

IPS AMORTIZACIJA

Ako promatramo sluˇcajni pokus koji ima konaˇcno mnogo ishoda u većini situacija je razumno pretpostaviti da su svi ti


ishodi (elementarni dogadaji) jednako vjerojatni.


U tom sluˇcaju takav vjerojatnosni prostor zovemo klasiˇ cni vjerojatnosni prostor.

Osnovni pojmovi vjerojatnosti Matematika osiguranja Tablice smrtnosti i princip ekvivalencije

Ω = {ω1 , ω2 , . . . , ωn }


1 pi = P {ωi } = , i = 1, 2, . . . , n n A ∈ P(Ω), A = ωi1 , ωi2 , . . . , ωik P (A) = pi1 + pi2 + · · · + pik =

k n


Vjerojatnost dogadaja A

IPS AMORTIZACIJA

Klasiˇcni vjerojatnosni prostor broj povoljnih ishoda P (A) = broj mogućih ishoda

ANTICIPATIVAN ˇ OBRACUN MATEMATIKA OSIGURANJA Osnovni pojmovi vjerojatnosti

Primjer 27 (Bacanje novˇ ci´ ca). Dva su elementarna dogadaja ω1 = P (pojavilo se pismo) i ω2 = G (pojavila se glava) pa je prirodno pretpostaviti da je P {ω1 } = 12 , P {ω2 } = 12 , tj., da je jednako vjerojatno da se kod bacanja novˇcića pojavi pismo ili glava.




AMORTIZACIJA

Znamo da u ovom sluˇcaju postoji 6 elementarnih dogadaja i svi


su jednako vjerojatni da se dogode, tj. MATEMATIKA

1 P {i} = , 6

OSIGURANJA

i = 1, 2, 3, 4, 5, 6.


Na primjer, P {pao je paran broj} = P {2, 4, 6} =


3 6

P {pao je broj veći od 1} = P {2, 3, 4, 5, 6} =

5 6

su vjerojatnosti nekih dogadaja vezanih uz bacanje kocke.


Primjer 29. Ako se zna da je od 100 ˇzarulja njih 8 neispravnih, kolika je vjerojatnost da će od ˇcetiri odabrane ˇzarulje sve ˇcetiri biti ispravne?



Primjer 29. Ako se zna da je od 100 ˇzarulja njih 8 neispravnih, kolika je vjerojatnost da će od ˇcetiri odabrane ˇzarulje sve ˇcetiri


biti ispravne?

OSIGURANJA

Rjeˇsenje: Od 100 ˇzarulja njih 4 moˇzemo odabrati na

100

ˇ ispravne ˇzarulje moˇzemo odabrati na naˇcina. Cetiri

4

92 4

naˇcina. Stoga je vjerojatnost da sve ˇcetiri odabrane ˇzarulje budu ispravne jednaka broj povoljnih ishoda P (A) = = broj mogućih ishoda

AMORTIZACIJA

92 4 100 4

≈ 0.713



Uvjetna vjerojatnost

IPS AMORTIZACIJA

Definicija 13. Uvjetna vjerojatnost dogadaja A, ako je poznato da se


ostvario dogadaj B takav da je P (B) > 0, je broj

MATEMATIKA

P (A | B) definiran s P (A ∩ B) P (A | B) = . P (B) Formulu uvjetne vjerojatnosti moˇzemo pisati i u obliku

P (A ∩ B) = P (A | B)P (B) koja se koristi kod raˇcunanja presjeka dva dogadaja jer se uvjetna vjerojatnost puno lakˇse raˇcuna od vjerojatnosti presjeka dogadaja.




IPS AMORTIZACIJA

A = pao je broj 5 B = pao je neparan broj C = pao je paran broj


P (A) =

1 6

P (A | B) =

1 3

P (A | C) = 0 P (B | A) = 1



Motivirani prethodnim primjerom uvodimo sljedeću definiciju.


Definicija 14. Dogadaji A i B su nezavisni ako vrijedi


P (A | B) = P (A)

ili P (B | A) = P (B).

Nuˇzan i dovoljan uvjet za nezavisnost je P (A ∩ B) = P (A)P (B).


Primjer 31. Ako su dvije kocke pale na razliˇcite brojeve, kolika je vjerojatnost da je zbroj tih brojeva veći od 8?

Financijska matematika IPS AMORTIZACIJA ANTICIPATIVAN ˇ OBRACUN MATEMATIKA OSIGURANJA Osnovni pojmovi vjerojatnosti Matematika osiguranja Tablice smrtnosti i princip ekvivalencije Premije u osiguranju ˇ zivota

Primjer 31. Ako su dvije kocke pale na razliˇcite brojeve, kolika je vjerojatnost da je zbroj tih brojeva veći od 8?

Financijska matematika IPS AMORTIZACIJA ANTICIPATIVAN ˇ OBRACUN

Rjeˇsenje: Definiramo sljedeće dogadaje

MATEMATIKA

A = suma brojeva na obje kocke je veća od 8 B = kocke su pale na razliˇcite brojeve Traˇzimo P (A | B). Kako je

slijedi da je P (A ∩ B) = P (B)


A ∩ B = (3, 6), (4, 5), (4, 6), (5, 4), (5, 6), (6, 3), (6, 4), (6, 5)

P (A | B) =

OSIGURANJA

8 36 30 36

=

8 4 = . 30 15


Bayesova formula


Pretpostavimo da skup elementarnih dogadaja moˇzemo rastaviti na n medusobno disjunktnih dogadaja Ω = H1 ] H2 ] · · · ] Hn pri ˇcemu je P (Hi ) > 0 za svaki i ∈ {1, 2, . . . , n}. Ovakav rastav zovemo particija vjerojatnosnog prostora. Kaˇzemo joˇs da familija H1 , H2 , . . . , Hn ˇcini potpun sustav dogadaja.



Teorem 4 (Formula potpune vjerojatnosti). Neka je H1 , H2 , . . . , Hn potpun sustav dogadaja u vjerojatnosnom prostoru Ω, F, P . Tada za svaki dogadaj A ∈ F


vrijedi P (A) =

n X

MATEMATIKA

P (Hi )P (A | Hi ).

i=1


Teorem 5 (Bayesova formula). Neka je H1 , H2 , . . . , Hn potpun sustav dogadaja u vjerojatnosnom prostoru Ω, F, P . Tada za svaki dogadaj A ∈ F za koji je P (A) > 0 vrijedi P (Hi )P (A | Hi ) P (Hi | A) = P n P (Hj )P (A | Hj ) j=1



Primjer 32. U prvoj se kutiji nalaze ˇcetiri bijele i dvije crne kuglice, u drugoj tri bijele i dvije crne. Iz prve kutije prebacimo u drugu jednu sluˇcajno odabranu kuglicu. Kolika je

IPS AMORTIZACIJA ANTICIPATIVAN ˇ OBRACUN MATEMATIKA

vjerojatnost da nakon toga na sreću odabrana kuglica iz druge kutije bude bijela?



Primjer 32. U prvoj se kutiji nalaze ˇcetiri bijele i dvije crne kuglice, u drugoj tri bijele i dvije crne. Iz prve kutije prebacimo u drugu jednu sluˇcajno odabranu kuglicu. Kolika je

IPS AMORTIZACIJA ANTICIPATIVAN ˇ OBRACUN MATEMATIKA

vjerojatnost da nakon toga na sreću odabrana kuglica iz druge kutije bude bijela?


Rjeˇsenje: Neka je A dogadaj da je izvuˇcena kuglica iz druge kutije bijela nakon ˇsto smo iz prve kutije u drugu premjestili jednu sluˇcajno odabranu kuglicu. Definiramo hipoteze H1 = iz prve kutije u drugu je prebaˇcena bijela kuglica H2 = iz prve kutije u drugu je prebaˇcena crna kuglica



Kako u prvoj kutiji imamo 4 bijele i 2 crne kuglice, vjerojatnosti pojedinih hipoteza su P (H1 ) =

4 2 = , 6 3

P (H2 ) =

IPS AMORTIZACIJA

2 1 = . 6 3

Pojedine uvjetne vjerojatnosti su


4 2 P (A | H1 ) = = , 6 3

3 1 P (A | H2 ) = = . 6 2

Prema formuli potpune vjerojatnosti je P (A) = P (H1 )P (A | H1 ) + P (H2 )P (A | H2 ) P (A) =

2 2 1 1 · + · 3 3 3 2

P (A) =

11 18



Uvod

IPS AMORTIZACIJA

Definicija 15. AKTUARSKA MATEMATIKA (eng. actuarial


mathematics, njem. Versicherungsmathematik) je dio

MATEMATIKA

osiguravateljne znanosti koji matematiˇckim metodama na temelju raˇcuna vjerojatnosti i statistike, financijske matematike, stohastiˇckih modela, teorije rizika i teorije kredibiliteta utvrduje cjenike osiguranja, potrebne garantne rezerve i druge rezerve u osiguranju, proraˇcune vezane za reosiguravateljno pokriće, visinu samopridrˇzaja i druge elemente poslovne politike. Razlikujemo diskretnu i kontinuiranu matematiku osiguranja.



Oznake

IPS

- poseban sustav medunarodno prihvaćenih oznaka Poznate oznake: p, n, m, r = 1 + Nove oznake: i =

p , 100

v=

1 , r

AMORTIZACIJA

p 100 r−1 r

d=1−v =

=

i r


Formule:

OSIGURANJA

Cn = C0 (1 +

p·n 100 )

Cn = C0 · r n S =R·r· S0 = R · A=R·

r n −1 r−1 n

→

S = B · (1 + i · n)

→

S = B · rn

→

r −1 r−1

→

r n −1 r n−1 (r−1)

→

r n −1 r n (r−1)

→

A0 = R ·

s¨ne = r · sne = a ¨ne =

r n −1 r−1 n

r −1 r−1

r n −1 r n−1 (r−1)

ane =

r n −1 r n (r−1)



Raˇ cunske osnovice

IPS AMORTIZACIJA

Raˇcunske osnovice kod osiguranja ˇzivota: 1

kamate (periodske uplate i isplate)

2

smrtnost (tablica smrtnosti)

3

troˇskovi



Raˇ cunske osnovice

IPS AMORTIZACIJA

Raˇcunske osnovice kod osiguranja ˇzivota: 1

kamate (periodske uplate i isplate)

2

smrtnost (tablica smrtnosti)

3

troˇskovi


Razlikujemo tri vrste troˇskova: troˇskove zakljuˇ cenja (akvizicijski) - jednokratni (stopa troˇskova α) inkaso troˇskovi - troˇskovi prikupljanja premija (stopa troˇskova β) upravni troˇskovi - (stopa troˇskova γ)



Tablica smrtnosti

IPS

ˇ Zadatak: Zelimo odrediti vjerojatnost (qx , x = 0, 1, . . . , ω) da osoba stara

AMORTIZACIJA

x godina ne doˇzivi (x + 1)-vi rodendan. 1

Promatramo skup x-godiˇsnjaka (Lx ) godinu dana i odredimo broj umrlih tijekom godine (Tx ). Kvocijenti

Tx Lx

daju sirove vrijednosti

vjerojatnosti preminu´ ca. Obzirom da tijekom godine skupu Lx pridodamo Ex i oduzmemo Ax , vjerojatnost preminu´ ca dana je formulom: qx ≈ 2 3

Tx Lx +

Odredimo vjerojatnost doˇzivljenja px = 1 − qx Odredimo broj osoba koje doˇzive x godina (lx ) na naˇ cin,

5

l 2 = l1 · p1 ,

...

lx = lx−1 · px−1

Brojevi lx ˇ cine tablicu smrtnosti, joˇs zvanu poredak umrlih ili poredak ˇzivih.



Dobivene vrijednosti poravnavamo: grafiˇ cki, mehaniˇ cki ili analitiˇ cki.

l1 = l0 · p0 ,

MATEMATIKA


Ex −Ax 2

- vjerojatnost da osoba stara x godina doˇzivi idu´ ci rodendan. 4




Tablica smrtnosti -poprjeˇcni i uzduˇzni postupak izrade tablica smrtnosti


lx - ”ˇzivi tablice smrtnosti” (broj ˇzivih x- godiˇsnjaka) dx = lx − lx+1 - ”mrtvi tablice smrtnosti” (broj x-godiˇsnjaka umrlih tijekom (x + 1)-ve godine) ex - srednje trajanje ˇzivota (broj godina ˇzivota koje x-godiˇsnjak moˇze oˇcekivati) ex =

1 lx+1 + lx+2 + . . . + lω + 2 lx



Primjer

IPS AMORTIZACIJA

Tablice smrtnosti Starost

Broj živih

Broj mrtvih

Vjerojatnost smrti

Vjerojatnost doživljenja

Očekivano trajanje života

x

lx

dx

qx

px

ex


0

100000

1367

0,013670

0,986330

68,25

MATEMATIKA

1

98633

85

0,000862

0,999138

68,19

OSIGURANJA

2

98548

45

0,000457

0,999543

67,24

3

98503

53

0,000538

0,999462

66,27


4

98450

46

0,000467

0,999533

65,31

5

98404

40

0,000406

0,999594

64,34

20

97674

140

0,001433

0,998567

49,75

21

97534

154

0,001579

0,998421

48,82

22

97380

145

0,001489

0,998511

47,90

23

97235

149

0,001532

0,998468

46,97

24

97086

142

0,001463

0,998537

46,04

25

96944

142

0,001465

0,998535

45,11

98

82

43

0,524390

0,475610

1,18

99

39

22

0,564103

0,435897

0,93

100

17

17

1,000000

0,000000

0,50



Jednogodiˇsnje vjerojatnosti qx - vjerojatnost da osoba stara x godina umre tijekom naredne godine dx lx − lx+1 −→ qx = = lx lx px - vjerojatnost da osoba stara x godina poˇzivi narednu

px = 1 − qx =


godine −→

IPS

lx+1 lx




px = 1 − qx =


godine −→

IPS

lx+1 lx


Primjer 33. Kolika je vjerojatnost da će muˇska osoba stara 21 godinu doˇzivjeti 22. godinu?



px = 1 − qx =


godine −→

IPS

lx+1 lx


Primjer 33. Kolika je vjerojatnost da će muˇska osoba stara 21 godinu doˇzivjeti 22. godinu? Rjeˇsenje: x = 21 px = ?




godine −→

IPS

px = 1 − qx =

lx+1 lx


Primjer 33. Kolika je vjerojatnost da će muˇska osoba stara 21 godinu doˇzivjeti 22. godinu? Rjeˇsenje: x = 21 px = ? px =

l22 98156 = = 0, 9990 l21 98250


Vjerojatnosti doˇ zivljenja i smrti

IPS AMORTIZACIJA

n px

−→ n qx

- vjerojatnost da će x-godiˇsnjak ˇzivjeti narednih n godina n px

=

lx+n lx

- vjerojatnost da će x-godiˇsnjak umrijeti u narednih n

ANTICIPATIVAN ˇ OBRACUN MATEMATIKA OSIGURANJA Osnovni pojmovi vjerojatnosti Matematika osiguranja

godina −→ n| qx

lx − lx+n n qx = 1 −n px = lx - vjerojatnost da će x-godiˇsnjak doˇzivjeti x + n godina i

umrijeti u sljedećoj −→

n| qx

=

dx+n =n px · qx+n lx



Oznake - komutativne vrijednosti

IPS AMORTIZACIJA

Dx - diskontirani broj ˇzivih osoba starosti x Dx = lx · v x


Nx - zbroj diskontiranih ˇzivih osoba starijih od x godina


Nx = Dx + Dx+1 + . . . + Dω Cx - diskontirani broj umrlih osoba starosti x Cx = dx · v x+1 Mx - zbroj diskontiranih umrlih osoba starijih od x godina Mx = Cx + Cx+1 + . . . + Cω



Princip ekvivalencije premija = uplata osiguranika (kotizacija)

Princip ekvivalencije sadaˇsnja vrijednost matematiˇcki oˇcekivanih uplata = sadaˇsnja vrijednost matematiˇcki oˇcekivanih isplata

IPS AMORTIZACIJA ANTICIPATIVAN ˇ OBRACUN MATEMATIKA OSIGURANJA Osnovni pojmovi vjerojatnosti Matematika osiguranja Tablice smrtnosti i princip ekvivalencije

poopćenje pojma sadaˇsnje vrijednosti - tzv. bruto sadaˇsnja vrijednost (ukljuˇcuje diskontiranje, ali i smrtnost i troˇskove) neto jednokratna premija - podmirivanje obaveza jednokratno na poˇcetku osiguranja



Primjena principa ekvivalencije Primjena principa ekvivalencije u osiguranju na doˇ zivljenje Okvir Ugovaratelj osiguranja starosti x zakljuˇcuje osiguranje plaćanjem premije B kako bi u doˇzivjeloj starosti x + n raspolagao osiguranom svotom S.


lx ˇzivih zakljuˇcuje osiguranje uz premiju B, a samo će lx+n ˇzivih


nakon n godina dobiti osiguranu svotu S, koja u trenutku


ugovaranja vrijedi S · v n .


lx · B = lx+n · S · v n B=S·

lx+n · v x+n lx+n n Dx+n ·v =S· =S· = S ·n Ex lx lx · v x Dx

B=S·

Dx+n Dx


Primjer 34. Koliku premiju mora uplatiti osiguranik starosti 40 godina kako bi nakon doˇzivljenih 65 godina raspolagao osiguranom svotom od 10 000 €?



Primjer 34. Koliku premiju mora uplatiti osiguranik starosti 40 godina kako bi nakon doˇzivljenih 65 godina raspolagao osiguranom svotom od 10 000 €? Rjeˇsenje: S = 10000 x = 40 n = 25 B =?



Primjer 34.

AMORTIZACIJA

Koliku premiju mora uplatiti osiguranik starosti 40 godina kako bi nakon doˇzivljenih 65 godina raspolagao osiguranom svotom od 10 000 €?


Rjeˇsenje:


S = 10000 x = 40 n = 25


B =?

B=S·


D65 = D40


Primjer 34.

AMORTIZACIJA

Koliku premiju mora uplatiti osiguranik starosti 40 godina kako bi nakon doˇzivljenih 65 godina raspolagao osiguranom svotom od 10 000 €?


Rjeˇsenje:


S = 10000 x = 40 n = 25


B =?

B=S·


7992, 32 D65 = 3307, 38 = 10000 · 24165, 12 D40


Primjena principa ekvivalencije Primjena na odgodeno jednogodiˇsnje osiguranje za sluˇ caj smrti


Okvir Ugovaratelj osiguranja starosti x zakljuˇcuje osiguranje plaćanjem premije B. Ukoliko doˇzivi starosti x + n godina i premine u idućoj godini (x + n + 1) njegova bi obitelj raspolagala osiguranom svotom S.


lx · B = dx+n · S · v n+1 B = S·

dx+n n+1 dx+n · v x+n+1 Cx+n ·v = S· = S· = S ·n|1 Ax lx lx · v x Dx

B=S·

Cx+n Dx




IPS AMORTIZACIJA

Poop´ cenje osobnih renti (periodskih isplata): neodgodena doˇzivotna osobna renta


neodgodena osobna renta trajanja n godina

MATEMATIKA

za m godina odgodena doˇzivotna renta (starosna renta)


Nekoliko posebnih vrsta osiguranja: 1

osiguranje za sluˇcaj doˇzivljenja

2

osiguranje za sluˇcaj smrti neodgodeno doˇzivotno osiguranje za sluˇ caj smrti privremeno osiguranje za sluˇ caj smrti

3

mjeˇsovito osiguranje



Osobne rente

IPS

Neodgodena osobna doˇ zivotna renta - nakon uplate premije osiguraniku se doˇzivotno isplaćuje renta a ¨x := 1 +

Dx+1 Dx

+

Dx+2 Dx

+ ... +

Dω Dx


=

Nx Dx



Osobne rente

IPS


Dx+1 Dx

+

Dx+2 Dx

+ ... +

Dω Dx


=

Nx Dx


Primjer 35. Koliku premiju mora uplatiti osiguranik starosti 40 godina kako bi doˇzivotno dobivao godiˇsnju rentu visine 6000 €?



Osobne rente

IPS


Dx+1 Dx

+

Dx+2 Dx

+ ... +

Dω Dx


=

Nx Dx


Primjer 35. Koliku premiju mora uplatiti osiguranik starosti 40 godina kako bi doˇzivotno dobivao godiˇsnju rentu visine 6000 €? Rjeˇsenje: R = 6000 x = 40 B = ?



Osobne rente

IPS


Dx+1 Dx

+

Dx+2 Dx

+ ... +

Dω Dx


=

Nx Dx


Primjer 35.


Koliku premiju mora uplatiti osiguranik starosti 40 godina kako bi doˇzivotno dobivao godiˇsnju rentu visine 6000 €? Rjeˇsenje: R = 6000 x = 40 B = ? B =R·a ¨40 = R ·

N40 = 119479, 29 D40



Osobne rente Neodgodena osobna renta trajanja n godina - nakon uplate premije osiguraniku se n godina isplaćuje renta


a ¨ x:ne := 1 +

Dx+1 Dx+2 Dx+n−1 Nx − Nx+n + + ... + = Dx Dx Dx Dx





a ¨ x:ne := 1 +



Primjer 36. Koliku premiju mora uplatiti osiguranik starosti 40 godina kako bi idućih 25 godina dobivao godiˇsnju rentu visine 6000 €?





a ¨ x:ne := 1 +



Primjer 36. Koliku premiju mora uplatiti osiguranik starosti 40 godina kako bi idućih 25 godina dobivao godiˇsnju rentu visine 6000 €? Rjeˇsenje: R = 6000 x = 40 n = 25 B = ?



Osobne rente

IPS

Neodgodena osobna renta trajanja n godina - nakon uplate premije osiguraniku se n godina isplaćuje renta


a ¨ x:ne := 1 +



Primjer 36. Koliku premiju mora uplatiti osiguranik starosti 40 godina kako bi idućih 25 godina dobivao godiˇsnju rentu visine 6000 €? Rjeˇsenje: R = 6000 x = 40 n = 25 B = ? B =R·a ¨40:25e = R ·

N40 − N65 = 96466, 24 D40



Osobne rente Starosna renta - m godina odgodena doˇ zivotna renta - nakon

IPS AMORTIZACIJA

uplate premije osiguraniku se doˇzivotno isplaćuje renta tek nakon ANTICIPATIVAN ˇ OBRACUN

isteka m godina ¨x m| a

:=

Dx+m Dx+m+1 Dω Nx+m + + ... + = Dx Dx Dx Dx




IPS AMORTIZACIJA



:=


Primjer 37. Koliku premiju mora uplatiti osiguranik starosti 40 godina kako bi od svoje 65 godine doˇzivotno dobivao godiˇsnju rentu visine 6000 €?




IPS AMORTIZACIJA



:=


Primjer 37. Koliku premiju mora uplatiti osiguranik starosti 40 godina kako bi od svoje 65 godine doˇzivotno dobivao godiˇsnju rentu visine 6000 €? Rjeˇsenje: R = 6000 x = 40 m = 25 B = ?



Osobne rente

IPS

Starosna renta - m godina odgodena doˇ zivotna renta - nakon

AMORTIZACIJA



:=



Primjer 37. Koliku premiju mora uplatiti osiguranik starosti 40 godina kako bi od svoje 65 godine doˇzivotno dobivao godiˇsnju rentu visine 6000 €? Rjeˇsenje: R = 6000 x = 40 m = 25 B = ? B = R ·25| a ¨40 = R ·

N65 = 23013, 05 D40



1. Osiguranje za sluˇ caj doˇ zivljenja Osiguranje za sluˇ caj doˇ zivljenja - nakon uplaćene premije osiguraniku se nakon n godina isplaćuje osigurana svota n Ex

:=

Dx+n Dx




:=

Dx+n Dx


Primjer 38.


Koliku premiju mora uplatiti osiguranik starosti 40 godina kako bi


nakon navrˇsene 65 godine raspolagao osiguranom svotom visine


6000 €?



:=

Dx+n Dx


Primjer 38.






6000 €? Rjeˇsenje: S = 6000 x = 40 n = 25 B = ?



:=

Dx+n Dx


Primjer 38.






6000 €? Rjeˇsenje: S = 6000 x = 40 n = 25 B = ? B = S ·25| E40 = S ·

D65 = 1984, 43 D40


2. Osiguranje za sluˇ caj smrti Neodgodeno doˇ zivotno osiguranje za sluˇ caj smrti - po uplati

IPS AMORTIZACIJA

premije, osiguranikovoj se obitelji nakon njegove smrti isplaćuje ANTICIPATIVAN ˇ OBRACUN

osigurana svota Ax :=

Cx Cx+1 Cω Mx + + ... + = Dx Dx Dx Dx




IPS AMORTIZACIJA




Primjer 39. Koliku premiju mora uplatiti osiguranik starosti 40 godina kako bi u sluˇcaju njegove smrti osiguravajuće druˇstvo njegovoj obitelji isplatilo 10000 €?




IPS AMORTIZACIJA




Primjer 39. Koliku premiju mora uplatiti osiguranik starosti 40 godina kako bi u sluˇcaju njegove smrti osiguravajuće druˇstvo njegovoj obitelji isplatilo 10000 €? Rjeˇsenje: S = 10000 x = 40 B = ?




IPS AMORTIZACIJA





Primjer 39. Koliku premiju mora uplatiti osiguranik starosti 40 godina kako bi u sluˇcaju njegove smrti osiguravajuće druˇstvo njegovoj obitelji isplatilo 10000 €? Rjeˇsenje: S = 10000 x = 40 B = ? B = S · A40 = S ·

M40 = 3264, 80 D40



2. Osiguranje za sluˇ caj smrti neodgodeno osiguranje za sluˇ caj smrti s trajanjem n godina -

IPS AMORTIZACIJA

nakon uplate premije, u sluˇcaju smrti osiguranika u idućih n godina, osiguranikovoj se obitelji isplaćuje osigurana svota |n Ax

:=

Cx Cx+1 Cx+n−1 Mx − Mx+n + + ... + = Dx Dx Dx Dx




IPS AMORTIZACIJA


:=


Primjer 40. Koliku premiju mora uplatiti osiguranik starosti 40 godina kako bi u sluˇcaju njegove smrti u idućih 25 godina njegova obitelj raspolagala s osiguranom svotom visine 10000 €?




IPS AMORTIZACIJA


:=


Primjer 40. Koliku premiju mora uplatiti osiguranik starosti 40 godina kako bi u sluˇcaju njegove smrti u idućih 25 godina njegova obitelj raspolagala s osiguranom svotom visine 10000 €? Rjeˇsenje: S = 10000 x = 40 m = 25 B = ?




IPS AMORTIZACIJA


:=


ANTICIPATIVAN ˇ OBRACUN MATEMATIKA OSIGURANJA Osnovni pojmovi vjerojatnosti Matematika osiguranja

Primjer 40. Koliku premiju mora uplatiti osiguranik starosti 40 godina kako bi u sluˇcaju njegove smrti u idućih 25 godina njegova obitelj raspolagala s osiguranom svotom visine 10000 €? Rjeˇsenje: S = 10000 x = 40 m = 25 B = ? B = S ·|25 A40 = S ·

M40 − M65 = 1254, 45 D40



3. Mjeˇsovito osiguranje Mjeˇsovito osiguranje

IPS AMORTIZACIJA

= osiguranje za sluˇcaj doˇzivljenja + osiguranje za sluˇcaj smrti Ax:ne :=n Ex +|n Ax =

Dx+n + Mx − Mx+n Dx




IPS AMORTIZACIJA




Primjer 41. Koliku premiju mora uplatiti osiguranik starosti 40 godina uz mjeˇsovito osiguranje kako bi nakon navrˇsene 65 godine raspolagao osiguranom svotom visine 10000 €?




IPS AMORTIZACIJA




Primjer 41. Koliku premiju mora uplatiti osiguranik starosti 40 godina uz mjeˇsovito osiguranje kako bi nakon navrˇsene 65 godine raspolagao osiguranom svotom visine 10000 €? Rjeˇsenje: S = 10000 x = 40 n = 25 B = ?




IPS AMORTIZACIJA



ANTICIPATIVAN ˇ OBRACUN MATEMATIKA OSIGURANJA Osnovni pojmovi vjerojatnosti

Primjer 41. Koliku premiju mora uplatiti osiguranik starosti 40 godina uz mjeˇsovito osiguranje kako bi nakon navrˇsene 65 godine raspolagao osiguranom svotom visine 10000 €? Rjeˇsenje: S = 10000 x = 40 n = 25 B = ? B=S·

D65 + M40 − M65 = 4561, 83 D40



3. Mjeˇsovito osiguranje Dostatna premija mjeˇsovitog osiguranja - ukljuˇcuje troˇskove

Aax:ne := Ax:ne + α + β · Aax:ne + γ · a ¨x:ne Aa x:ne =

Ax:ne + α + γ · a ¨x:ne 1−β






Primjer 42.


Koliku bruto premiju mora uplatiti osiguranik starosti 40 godina uz


mjeˇsovito osiguranje kako bi nakon navrˇsene 65 godine raspolagao


osiguranom svotom visine 10000 € uz troˇskove α = 0, 025, β = 0, 01 i γ = 0, 002?





Primjer 42.


Koliku bruto premiju mora uplatiti osiguranik starosti 40 godina uz




osiguranom svotom visine 10000 € uz troˇskove α = 0, 025, β = 0, 01 i γ = 0, 002? Rjeˇsenje: S x n α

= = = =

10000 40 25 0, 025 β = 0, 01 γ = 0, 002

B = ?






Primjer 42. Koliku bruto premiju mora uplatiti osiguranik starosti 40 godina uz




osiguranom svotom visine 10000 € uz troˇskove α = 0, 025, β = 0, 01 i γ = 0, 002? Rjeˇsenje: S x n α

= = = =

10000 40 25 0, 025 β = 0, 01 γ = 0, 002

B = ? B = S · Aa 40:25e = 5185, 24


3. Mjeˇsovito osiguranje

IPS AMORTIZACIJA

a Dostatna godiˇsnja premija mjeˇsovitog osiguranja - Px:ne

a a ·a ¨x:ne + γ · a ¨x:ne ·a ¨x:ne = Ax:ne + α + β · Px:ne Px:ne

a = Px:ne

Ax:ne + α + γ · a ¨x:ne (1 − β) · a ¨x:ne



3. Mjeˇsovito osiguranje

IPS AMORTIZACIJA

a Dostatna godiˇsnja premija mjeˇsovitog osiguranja - Px:ne

a a ·a ¨x:ne + γ · a ¨x:ne ·a ¨x:ne = Ax:ne + α + β · Px:ne Px:ne

a = Px:ne

Pa = P +

P

a

=

Ax:ne + α + γ · a ¨x:ne

α a ¨x:ne |n Ax

(1 − β) · a ¨x:ne

Dx+n · 1− Dx +α· 1−


+ β · Pa + γ

Dx+n Dx

(1 − β) · a ¨x:ne

+γ


Primjer - mjeˇsovito osiguranje

IPS AMORTIZACIJA

Primjer 43. Koliku godiˇsnju bruto premiju bi uz mjeˇsovito osiguranje morao upla´ civati


osiguranik starosti 40 godina kako bi nakon navrˇsene 65 godine raspolagao

MATEMATIKA

osiguranom svotom visine 10000 € uz troˇskove α = 0, 035, β = 0, 03 i

OSIGURANJA

γ = 0, 00425?




IPS AMORTIZACIJA




MATEMATIKA


OSIGURANJA

γ = 0, 00425?


Rjeˇsenje: S x n α β γ

= = = = = =

10000 40 25 0, 035 0, 03 0, 00425

B = ?




IPS AMORTIZACIJA




MATEMATIKA



γ = 0, 00425?


Rjeˇsenje: S x n α β γ

= = = = = =


10000 40 25 0, 035 0, 03 0, 00425


B = ? B = S · Pa = S ·

|25 A40

+α· 1−

D65 D40

(1 − β) · a ¨40:25e

+γ = 131, 53

Financijska matematika IPS AMORTIZACIJA ANTICIPATIVAN ˇ OBRACUN

Ovo je kraj predmeta


FINANCIJSKA MATEMATIKA


Hvala na paˇ znji i strpljenju!



Financijska Matematika IPS-IIIdio

Recommend Documents