Anticipativni način obračuna kamata Anticipativni način obračuna kamata znači da je dužnik na početku razdoblja posudio iznos C uz kamatnu stopu q, a dužnik plaća odmah kamate u iznosu K=
C ⋅q 100
a osnovni dug C vraća na kraju razdoblja, što je isto kao da mu se na početku razdoblja posudi iznos C ' = C − K = (C −
C ⋅q q ) = C (1 − ) 100 100
a na kraju obračunskoga razdoblja duguje upravo početni iznos C. Ukoliko je
ρ = 1−
q 100
može se reći da je dužnik dobio na ruke iznos C' = C ⋅ ρ , a na kraju razdoblja treba vratiti upravo iznos C. Kako se koeficijent ρ odnosi na iznos na koji se primjenjuje anticipativni način obračuna kamata, zove ga se anticipativni kamatni faktor. Dekurzivni način obračuna kamata Ukoliko je dužnik posudio na početku razdoblja iznos C uz kamatnu stopu p, na kraju razdoblja platiti će posuđeni iznos C uvećan za kamate u iznosu K=
C⋅ p 100
Odnosno dug na kraju razdoblja je C+K =C+
ili ako je r = 1 +
C⋅ p p = C 1 + 100 100
p 100
tada na kraju razdoblja treba vratiti iznos C ⋅ r . Ekvivalentni kamatnjaci Veza između dekurzivnih i anticipativnih kamatnjaka: p=
100q 100 p ili q = 100 − q 100 + p
1
Jednostavan kamatni račun Vrijednost početnoga iznosa C0 na kraju n-tog jediničnog razdoblja uz pretpostavku da se kamata obračunava po jednostavnom kamatnome računu uz fiksnu kamatnu stopu p u svakom pojedinom razdoblju uz dekurzivan obračun kamata je p⋅n C n = C 0 1 + 100 u tom slučaju su kamate za svako razdoblje i I i, j =
C0 ⋅ p , i=1,2,3,…,n 100
Odnosno ukupne kamate (Ij su ukupne jednostavne kamate) za sva obračunska razdoblja su n
I j = ∑ I i, j = i =1
C0 ⋅ p ⋅ n 100
pa je na kraju razdoblja početni iznos jednak C n = C0 + I j = C0 +
C0 ⋅ p ⋅ n p⋅n = C 0 1 + . 100 100
Ukoliko se za različita obračunska razdoblja koriste varijabilne kamatne stope tada početni iznos nakon n razdoblja iznosi n pi ∑ C n = C0 1 + i =1 100
a kamate za svako pojedino razdoblje su:
I i, j =
C 0 ⋅ pi , i=1,2,3,…,n 100
ukupne kamate su: n
n
i =1
i =1
I j = ∑ I i, j = ∑
n C0 ⋅ pi C = 0 ⋅ ∑ pi 100 100 i =1
pa je početni iznos na kraju razdoblja jednak: n pi ∑ C0 n i =1 C n = C0 + I j = C0 + ⋅ ∑ pi = C 0 1 + 100 i =1 100
2
Složeni kamatni račun Ako se kamate obračunavaju po složenom kamatnom računu uz fiksnu kamatnu stopu p u svakom jediničnom razdoblju uz dekurzivan obračun kamata tada je početni iznos nakon n razdoblja jednak: n
p n C n = C0 ⋅ 1 + = C0 ⋅ r 100 ukupne su kamate Is ukupne složene kamate: I s = C n − C0 = C0 ⋅ (r n − 1) Izraz p r = 1 + 100
n
n
ovisi o dvije veličine kamatnoj stopi i broju jediničnih razdoblja kapitalizacije i osim izračunavanja može ga se očitati iz tzv. prvih financijskih tablica za n razdoblja i p kamata. Načelo financijske ekvivalentnosti kapitala n
p p n C n = C 0 1 + = C0 r , r = 1 + 100 100 (p je fiksna kamatna stopa, n broj razdoblja ukamaćivanja, C0 sadašnja, a Cn konačna vrijednost iznosa. Ako su sva razdoblja ukamaćivanja jednake duljine kao polazno razdoblje na koje se odnosi fiksna kamatna stopa p sadašnju vrijednost nekog iznosa računamo formulom C0 =
Cn p 1 + 100
n
=
Cn p r n gdje je ( r = 1 + ) 100
Broj jediničnih razdoblja ukamaćivanja računa se po formuli: n=
log C n − log C 0 log r
a kamatna stopa po formuli C p = 100 n n − 1 . C0 Konformna kamatna stopa Za razdoblja ukamaćivanja kraća od razdoblja na koje se odnosi kamatna stopa ona se računa po izrazu:
3
p p ' = 100 m 1 + − 1 100 Ukoliko je razdoblje na koje se odnosi kamatna stopa kraće od razdoblja kapitalizacije tada je konformna kamatna stopa jednaka m p p ' = 100 1 + − 1 . 100
Konačna i sadašnja vrijednost Vrijednost iznosa C0 nakon n razdoblja ukamaćivanja uz nepromjenjiv kamatnjak p jednaka je: n
p p n ) C n = C0 1 + = C0 r , ( r = 1 + 100 100 Sadašnja vrijednost toga iznosa jednaka je: C0 =
Cn p 1 + 100
n
=
Cn p r n gdje je ( r = 1 + ) 100
Ako je v=
1 p 1+ 100
=
1 r
n tada je C 0 = C n v , v je diskontni kamatni faktor, a radi se o iznosu koji treba uložiti na početku jediničnoga razdoblja da bi se uz fiksni kamatnjak p na kraju n razdoblja imalo pravo podići novčanu jedinicu. Vrijednosti v se mogu izračunavati, ali se mogu i očitati u drugim financijskim tablicama za n razdoblja i p kamata.
Konačna i sadašnja vrijednost više periodičnih iznosa Konačna i sadašnja vrijednost više iznosa uplaćenih ili isplaćenih početkom razdoblja Konačna vrijednost n jednakih iznosa R koji se isplaćuju ili uplaćuju početkom svakoga od n razdoblja (uz složen obračun kamata, na kraju svakoga pojedinačnoga razdoblja i uz primjenu fiksne kamatne stope p izračunava se po izrazu: Sn = R ⋅ r ⋅
p rn −1 , ( r = 1+ ). 100 r −1
Iz prethodnoga je izraza moguće izračunati broj iznosa koje je potrebno npr. uplatiti da bi se na kraju raspolagalo sa određenim iznosom, uz jednake uplate i određenu kamatnu stopu:
4
S ⋅ (r − 1) log n + 1 R⋅r n= log r Sadašnja vrijednost iznosa koji će se isplatiti na početku n razdoblja zbroj je sadašnjih vrijednosti svakoga pojedinoga iznosa tj. A = R⋅
r n −1 r n−1 (r − 1)
Konačna i sadašnja vrijednost više iznosa uplaćenih i isplaćenih na kraju razdoblja Konačna vrijednost n jednakih iznosa R’ koji se isplaćuju ili uplaćuju krajem svakoga od n razdoblja (uz složen obračun kamata, na kraju svakoga pojedinačnoga razdoblja i uz primjenu fiksne kamatne stope p izračunava se po izrazu: S 'n = R '⋅
p rn −1 , ( r = 1+ ). 100 r −1
Iz prethodnoga je izraza moguće izračunati broj iznosa koji je potrebno uplatiti na kraju svakoga razdoblja da bi se raspolagalo sa određenim iznosom, uz jednake uplate i određenu kamatnu stopu: S ' ⋅(r − 1) log n + 1 R' n= log r Sadašnja vrijednost iznosa koji se isplaćuju na kraju n razdoblja zbroj je sadašnjih vrijednosti svakoga pojedinoga iznosa tj.: A' = R '⋅
r n −1 r n (r − 1)
Vječna renta Koliko se mora uložiti danas ako se na osnovi toga iznosa želi vječno podizati jednake iznose R’ na kraju razdoblja uz pretpostavku složenoga, godišnjega, dekurzivnoga obračuna kamata? Takav iznos naziva se vječna renta. sadašnja vrijednost vječne rente izračunava se po formuli, A∞ =
100 R p
a ako je poznat iznos koji se ulaže da bi se na osnovi njega mogla podizati vječna renta tada je iznos vječne rente: R=
pA∞ 100 5
Kamatna stopa uz koju se sadašnja vrijednost A∞ može vječno rentati jest: p=
100 R A∞
Zajmovi Krediti (zajmovi) uz jednake anuitete C – iznos kredita (zajma) ai – anuitet n – broj razdoblja amortizacije (otplate) zajma Ii – iznos kamate na kraju t-tog razdoblja otplate Ri – iznos otplatne kvote na kraju i-tog razdoblja Ci – ostatak duga na kraju i-tog razdoblja otplate p – stalni dekurzivni kamatnjak za jedinično razdoblje Iznos zajma kao funkcija anuiteta C=
a r n −1 ⋅ r n ( r − 1)
Iznos anuiteta (visine otplate) a =C⋅
r n (r − 1) (r n − 1)
rn −1 može se očitati iz IV. financijskih tablica (recipročne se vrijednosti nalaze r n ⋅ (r − 1) u V. financijskim tablicama) Vrijednost
Otplatna tablica Razdoblje
Anuitet (ai)
Kamate (Ii)
Otplatna kvota (Ri)
0 1 2 . . . n
Ostatak duga (Ci) C
C Kamate za i-to razdoblje I1 =
Ci −1 ⋅ p , a visina anuiteta umanjena za kamate jednaka je otplatnoj 100
kvoti.
6
Ako anuiteti nisu godišnji, a kamatna je stopa zadana na godišnjoj razini tada je potrebno najprije izračunati konformni kamatnjak za razdoblje na koje se odnosi otplata (anuitet) i vrijeme izraziti u jediničnom vremenu obračuna kamata. Npr. ukoliko je otplata kredita svakih pola p − 1 ). godine, a kamatnjak godišnji. (formula p ' = 100 m 1 + 100 Zajam uz nominalno jednake otplatne kvote (različite anuitete) Izračun otplatnih kvota C – iznos kredita (zajma) ai – anuitet n – broj razdoblja amortizacije (otplate) zajma Ii – iznos kamate na kraju t-tog razdoblja otplate R – iznos otplatne kvote Ci – ostatak duga na kraju i-tog razdoblja otplate p – stalni dekurzivni kamatnjak za jedinično razdoblje Kamate se obračunavaju na ostatak duga po izrazu I i =
Ci −1 p C , anuitet je ai = I i + R , R = . 100 n
Potrošački krediti Anticipativni kamatni faktor za potrošačke kredite (uz kamatnu stopu q i broj mjeseci otplate kredita). k=
C k C (m + 1)q (m + 1)q , pa su ukupne kamate jednake K = 1 = 1 . 24 100 2400
Ukupan dug C 2 = C1 + K = C1 +
Mjesečna rata R =
C1k k ( m + 1)q = C1 1 + = C1 1 + 100 2400 100
C2 . m
k p k = C 1 − 1+ Ako je C 2 = C1 1 + (udio učešća kredita) 100 100 100 Odnosno p k C 1 − 1+ = Rm 100 100 Onda je mjesečna rata kredita: R=
C p k 1− 1+ m 100 100
7
