TRABAJO COLABORATIVO COLABORATIVO N° 2 PROBABILIDAD
INTEGRANTES: OSCAR ANDRES GUERRERO CODIGO: 1.065.631.495 OLGA MARIA MURGAS CODIGO: 1.065.637.909 BRENDA TERESA DAA CODIGO: GRUPO 100402!24 TUTORA SANDRA LILIANA "UI#ONES
UNIVERSIDAD UNIVERS IDAD NACIONAL NACIONA L ABIERTA ABIERTA $ A DISTANCIA UNAD PROGRAMA DE INGENIERIA DE SISTEMAS CEAD VALLEDUPAR MA$O DE 2015
RESUMEN UNIDAD 2 UNIDAD 2: VARIABLES ALEATORIAS $ DISTRIBUCIONES DE PROBABILIDAD VARIABLES ALEATORIAS
En un experimento aleatorio lo que más interesa es conocer el número total de veces que se obtiene un mismo resultado en un determinado número de ejecuciones (es decir, cuantificar) y no en cuál ejecución se obtiene un determinado resultado.
E%&'()* 1. +onsidere el lan*amiento de una moneda. El espacio muestral de este experimento aleatorio está constituido por dos resultados% cara y sello. Concepto de variable aleatoria $i se define (cara)/0 y
DISTRIBUCIONES PROBABILIDAD DISCRETA
$e examinan con detalle seis familias de distribuciones, Estas son% las distribuciones uniforme discreta, binomial, !eom#trica, binomial ne!ativa, &iper!eom#trica y 'oisson. ambi#n parámetros estadsticos, la media o valor esperado, la varian*a y la desviación estándar.
DISTRIBUCIONES PROBABILIDAD CONTINUA
En forma muy simple se puede definir la probabilidad como un número de 0 a , que le asi!namos a suceso para indicar su posibilidad de ocurrir. "as probabilidades se expresan como fracciones o como decimales que están entre uno y cero o tambi#n en valor porcentual entre 0 y 00.
'ara una variable aleatoria discreta uniforme , que puede tomar los valores , -, , n,
"as diferentes interpretaciones que se tienen de la probabilidad% la clásica, la de frecuencias relativas y la subjetiva o a priori.
Distribución uniforme discreta
Distribución uniforme continua Se ubican la distribución uniforme continua,
Distribución binomial
Distribución normal y estándar
Distribución discreta de probabilidad
P(X = x) = 1 0 ≤P X =x ≤1 Distribución continúa de probabilidad la variable puede tomar
Esperanza matemática
"eorema de chébyshev
"
Negativa y geométrica
Distribución hipergeométrica
Distribución de #oisson
Aplicaciones distribución normal
Distribución eponencial y chi! cuadrado
$tras distribuciones continuas utilizadas
EJERCICIOS UNIDAD 2 CAP+TULO 4 2. $ea una variable aleatoria continua con función de densidad
f (x) /
a (x 1 x-) 0 2 x 2 0 en otro caso
,.- D&&/'& &) ,)*/ & , (,/, & ), 8 &, &&,'&& , 8 & &, & (/*,),.
a 3((0) 4 0- ) 4 ( () 4 -) 4 ( (-) 4 --) 4 ( () 4 -)5 / a 30 4 6 4 0 475 / a (-) / a/ E) ,)*/ & , ; 1 ; 0.031 32 -------------------------------------------------------------------------------------------------------------.- C,))& P <1 = > = 2? ' ( 8 8 -) / 9 f(x) dx
' ( 8 8 -) / 9
-
(4 )dx/ -
9 (x) dx 4 9 x-dx -
-
' ( 8 8 -) // 3( - ) 4 ( ) 5 ' ( 8 8 -) // 3((-)- 4 -(-) ) 4 3(()- 4 -() )5 / 3(-7) 4(:)5 ; ; ; ; ' ( 8 8 -) / () / / 0.< - ; =P V,)& 0.17
4. >n ju!ador tiene tres oportunidades de lan*ar una moneda para que apare*ca una cara, el jue!o termina en el momento en que cae una cara o despu#s de tres intentos, lo que suceda primero. $i en el primero, se!undo o tercer lan*amiento aparece cara el ju!ador recibe ?-0000, ?60000 o ?70000 respectivamente, si no cae cara en nin!uno de los tres pierde ?-00000. $i representa la !anancia del ju!ador% a.1 Encuentre la función de probabilidad f(x) b.1 Encuentre el valor esperado E(x), la varian*a @(x) y la desviación estándar $(x) ,. 8 & (/*,), <@? f ( 20.000 ) =
2
( )( ) ) =( )( )( )= )=( )( )( )=
f ( 40.000 )= f ( 80.000
1
1
1
2
2
=
1 4
1
1
1
1
2
2
2
8
f ( −200.000
1
1
1
1
2
2
2
8
"a probabilidad de que apare*ca una cara es A- (:0B), la probabilidad de que apare*ca dos caras se!uidas es (A-)(A-) / (A6) (-:B), la probabilidad de que apare*can tres caras se!uidas es (A-)(A-)(A-) / A7 (-,:B), que es la misma probabilidad de que no apare*ca una sola cara. . V,)*/ &(&/,*: Es valor esperado está definido por% μ x = E ( x )=∑ [ x∗f ( x ) ] x
E ( X )=
(
20000∗1 2
)( +
40000 ∗1 4
)( +
80000 ∗1 8
)( +
−200000∗1 8
)=
5000
"a !anancia esperada para el ju!ador dada las condiciones de jue!o es de ?:000. V,/,,: 2 2 2 σ x =V ( X )= E ( X − μ x ) =∑ [( x − μ x ) ∗f ( x ) ] x
V ( X )=
(
(20000 −5000 )2∗1 2
)+(
( 40000 −5000 )2∗1 4
)+(
( 80000−5000 )2∗1
"a varian*a de la !anancia del ju!ador es de ;<:000000. D&,8 &,/:
8
)+(
(−200000 −5000 )2∗1 8
)=
637500
σ x =√ σ x 2
σ =√ V ( X )=√ 6.375.000 .000=79843.6
"a desviación promedio de la !anancia con respecto a la !anancia esperada es de ?<=76.;. CAP+TULO 5
;. El propietario de una farmacia local sabe que en promedio, lle!an a su farmacia 00 personas cada &ora. ,.- E&/& ), (/*,), & & & (&/** ,* & 3 '* ,& &/& , ), ,/',,
Cistribución de 'oisson personasA&ora &ora
00 personas
;0 minutos
00 personas
minutos
:A D/ : personas
:A personas por minuto
/: '(/x) / eF(1) D Fx A xG en este caso, '(/x) / eF(1:) D:Fx A xG P<>;0? ; &<-5? 50 0F ; 0.0067
.- E&/& ), (/*,), & & & (&/** ,* & 3 '* &/& ' & 5 (&/*, , ), ,/',,.
'(H:) / '(/;) 4 '(/<) 4 '(/7) '(H:) / 1 '(8/:) donde p(8/:) / '(/0) 4 '(/) 4 '(/-) 4 '(/) 4 '(/6) 4 '(/:)
'(/0) / eF(1:) D :F0 A 0G / 0.00;< '(/) / eF(1:) D :F A G / 0.0; '(/-) / eF(1:) D :F- A -G / 0.076'(/) / eF(1:) D :F A G / 0.60 '(/6) / eF(1:) D :F6 A 6G / 0.<:6 '(/:) / eF(1:) D :F: A :G / 0.<:6 $umando '(8/:) / 0.;:; Entonces '(H:) / 1 0.;:; / 0.766 10. En promedio en cierto cruce ocurren diecioc&o accidentes de tránsito al aIo. J+uál es la probabilidad de que para cualquier mes dado en este cruce % a.1 ocurran exactamente accidentes b.1 ocurran menos de accidentes c.1 ocurran por lo menos accidentes
a
(
% Knúmero de accidentes en ese cruceL
X Poisson λaño =18 P ( X =3 )= 1.5
e
acc acc ⟹ λ mes=1.5 año mes
)
− 1.5
3
3!
= 0.125
"a probabilidad de que para cualquier mes ocurran exactamente accidentes es de -.:B
b. −1.5
P ( X < 3 )= P ( X ≤ 2 )= P ( X = 0 ) + P ( X =1 ) + P ( X = 2 )=e
1
+ 1.5
e
−1.5
1!
2
+ 1.5
e
−1.5
2!
= 0.81
"a probabilidad de que para cualquier mes dado, ocurran menos de accidentes es de 7B c. P ( X ≥ 3 ) =1− P ( X < 3 ) =1− P ( X ≤ 2 ) =1−0.81= 0.1 "a probabilidad de que para cualquier mes dado, ocurran por lo menos accidentes es de =B. CAP+TULO 6
2. >n empleado viaja todos los das de su casa en las afueras a su oficina en el centro de la ciudad. El tiempo promedio para un viaje de ida es de -6 minutos con una desviación estándar de ,7 minutos. $i se supone que la distribución de los tiempos de viaje está distribuida normalmente.
a.1 J+uál es la probabilidad de que un viaje le tome al menos media &oraM b.1 $i la oficina abre a las =%00 am y el sale a diario de su casa a las 7%6: am JNu# porcentaje de las veces lle!ará tarde al trabajoM c.1 $i sale de su casa a las 7%: am y el caf# se sirve en la oficina de 7%:0 a =%00 am J+uál es la probabilidad de que se pierda el caf#M a Cistribución normal. m / -6 s / .7 Ol menos media &ora% x P 0 minutos. 30−24 z = =1.5789 3.8
>sando la tabla de probabilidades para .:7 p ( x < 30 ) = P ( z < 30 ) =0.9429 p ( x ≥ 30 )= 1− p ( x < 30 )=0.0571
"a probabilidad de que el tiempo de viaje del empleado sea de por lo menos 0 minutos es de :.<B b "le!ará tarde cuando x P : minutos. Entonces, la probabilidad que se demore &asta : min, 2 : minutos. 15−24 z = =−2.3684 3.8
p ( x ≤ 15 )= P ( z < 15 )= 0.99111 p ( x ≤ 15 )= p ( z ≤−2.3684 )=0.00889
"a probabilidad de demorarse más de : minutos% p ( x > 15 ) =1− p ( x ≤ 15 )=1− 0.00889 =0.99111 Llegaratarde altrabajoel 99,1 de las eces
c 'erderá el caf# si x P -: min. Esta es la probabilidad% '(x P -:)% 25−24 z = =0.2631 3.8
P ( x ≥ 25 )=1− P ( x < 25 )=1 − P ( z 2 < 0.2631 ) P ( x ≥ 25 )=1− 0.6026=0.3974
"a probabilidad de que el trabajador se pierda la tasa de caf# es de =.<6B. =. $uponiendo que las tallas de los adultos de un pas O si!uen una distribución normal con media 70 cm. y desviación tpica : cm. y que las tallas de los adultos en un pas Q si!uen una distribución tambi#n normal, pero con media 70 cm. y desviación tpica : cm., contestar de manera justificada en cuál de los dos pases es más probable encontrar adultos con talla superior a =: cm. y dónde es más probable encontrar adultos con talla comprendida entre <: y 7: cm. O% R / 70 cm y Q% R / 70 cm y
S :S cm S S : cm
TO/ x1 R /=:170 / : / : :
TQ / x1 R /=:170 / : / : :
' (* ) / 1'(* )/ 1 0.==7;:0/ 0.00: ' (* ) / 1'(* )/ 1 0.76;/ 0.:76 Ce acuerdo a los resultados &ay más probabilidad de encontrar adultos con talla mayor a =: cm en el pas Q que en El pas O. 'as O% T/ 1 R / <: 170 /1 : / 1 : :
T-/ 1 R / 7: 170 / : / : :
ESTUDIO DE CASO
$i usted fuera el jefe, J&abra considerado la estatura como criterio en su selección del sucesor para su trabajoM Caniel $le!iman anali*ó en su columna de la revista KUortunedL sus ideas acerca de la estatura como un factor en la decisión de Cen! iaopin! para ele!ir a Vu Waoban! como su sucesor en la presidencia del 'artido +omunista +&ino. +omo afirma $le!iman, los &ec&os que rodean el caso despiertan sospec&as al examinarlo a la lu* de la estadstica. Cen!, se!ún parece solo meda :6 cm de alto, una estatura baja incluso en +&ina. 'or consi!uiente al esco!er a Vy Waoban!, que tambi#n tena :6 cm de estatura, motivo al!unos !estos de desaprobación porque como afirma $lei!man Klas probabilidades en contra de una decisión ajena a la estatura que dan lu!ar a un presidente tan bajo como Cen! son aproximadamente de 60 a L. En otras palabras, si tuvi#ramos la distribución de frecuencias relativas de las estaturas de todos los varones c&inos, solo en 60 es decir -,:B tendran menos :6 cm de estatura o menos. 'ara calcular estas probabilidades $eli!man advierte que no existe el equivalente c&ino del $ervicio de $alud de pases como Estados >nidos y por tanto, es difcil obtener las estadsticas de salud de la población actual c&ina. $in embar!o, afirma que Ken !eneral se sostiene que la lon!itud de un niIo al nacer representa el -7,;B de su estatura finalL y que
en la +&ina la lon!itud media de un niIo al nacer era de 67 cm. Ce esto $eli!man deduce que la estatura promedio de los varones adultos c&inos es% 67 D 00 A -7.; / ;<,7 cm. El periodista asume entonces que la distribución de las estaturas en +&ina si!ue una distribución normal Kal i!ual que en pases como estados >nidosL con una media de ;<,7 cm y una desviación estándar de ;,7 cm.
INHORME A PRESENTAR: P/&(,/& */'& & &) & *'* ''* ),: 1. P*/ '&* & ), (**& & S&)K', ,))& ), (/*,), & & ), &,/, & *)* ,/8 ,)* * &*K* ,) ,,/ &, '&*/ * K,) , 154 '. 2. L* /&),* & ), (/&K, 1 *&/, * ), (/*,),& & S&)K', 3. C*'&& ,&/, & ), ,)& & ), (**& & S&)K', , ,)K &//*/ * & /,*,'&* 4. C* ,& & )* /&),* ,&/*/& ,/K'&& *&/, * * & D&K >,(K *'* & &, ), &,/, ,) &)&K/ , &*/. S*)8:
. omando en cuenta la distribución normal, asumida por $eli!man con valor promedio de ;<.7 cm y desviación estándar de ;.7, se determina la probabilidad de que la estatura de un +&ino se i!ual o menor a :6 cm. ' () / Estatura del nuevo presidente $uposición de $eli!man% X ! " ( 167 # 8 $ 6 # 8 )
σ =6 # 8 cm
% =167.8 cm
. 'robabilidad de que un solo varón adulto c&ino esco!ido al a*ar sea menor o i!ual a :6 cm. X ! " ( μ $ σ )
& " ( 1)
(
P ( X ≤ a )= P & ≤
(
a − μ σ
P ( X ≤ 154 )= P & ≤
)
154 −167,8 6,8
¿ 1− P ( & ≤ 0,83 )=1−0,9788
⇒
)=
P ( & ≤−2,029 )
0,0212
El valor lo buscamos en la tabla de distribución Xormal. La probabilidad de '(e(n solo ar)nad(lto c*ino escogido alazar sea menor o ig(al a 154 cmes del 2,12
-. Ce acuerdo a los resultados obtenidos en la pre!unta -,-B, si concuerdan con las probabilidades estimadas por $eli!man -,:B realmente los cálculos y la estimación están muy cercanos por lo se puede considerar que si concuerdan. . Xo &ay diferencias si!nificativas para estimar que &aya al!ún error básico en el ra*onamiento de $eli!man. 6. +on base en los resultados anteriores, no considero que Cen! iapin! &aya tomado en cuenta la estatura al ele!ir a su sucesor. 'ues se!ún los resultados no se percibe un conocimiento estadstico.
CONCLUSIONES
>na ve* terminado el trabajo colaborativo en su fase - podemos concluir las innumerables aplicaciones de las distribuciones de probabilidades tanto discretas como continuas, las cuales permiten resolver diferentes problemas que se presentan en la vida diaria.
REHERENCIAS
Yorales, Odriana (-00) Yodulo 'robabilidad. Qo!otá C.+., >niversidad Xacional Obierta y a distancia Z >XOC. &ttp%AAdatateca.unad.edu.coAcontenidosA0060-Amodulo[probabilidad[-00\.pdf @ariables aleatorias discretas. omado &ttp%AA]]].uoc.eduAinAemat&AdocsA@O[discretas.pdf +onsultado abril de -0:
de
^alpole, _ (===). 'robabilidad y estadstica para in!enieros. &ttp%AAboo`s.!oo!le.com.coAboo`sM id/`b7V:to>+p!/'O-:<dq/@ariables4aleatorias4continuas4y4sus4distribuciones 4de4probabilidad&l/essa/ei/t^l!>ninorte +anavos, . (=7;). 'robabilidad y Estadstica. Y#xico% Ycra] Vill. rte!ón, Y. (-00) Yódulo de Estadstica Cescriptiva. >niversidad Xacional Obierta y a Cistancia. Ediciones >XOC% \ba!u#.
