Fase 3 Axiomas de Probabilidad 8

Universidad Nacional Abierta y a Distancia UNAD Vicerrectoría Académica y de Investigación - VIACI Escuela: Ciencias Básicas Tecnología e Ingeniería Curso: Probabilidad Probabilidad Código: 100402 –

UNIDAD 1 PRINCIPIOS BÁSICOS DE PROBABILIDAD.

FENER MARIN LÓPEZ DAZA CÓDIGO 17.588.908 DANIEL ARMANDO ROJAS HENAO CÓDIGO 1118121632 MEIBY YAZMIN GIRON CÓDIGO 47.442.390 IVAN DARIO LOPEZ DAZA CÓDIGO 17.592.377 LILIA FERNANDA PLAZAS CONTRERAS CODIGO: 1.118.557.500

PROBABILIDAD 100402_38

TUTOR DE GRUPO: ING. LUZ ANA ABAD LONDOÑO

UNIVERSIDAD NACIONAL ABIERTA Y A DISTANCIA UNAD MARZO DE 2018


INTRODUCCIÓN La teoría de Probabilidades comienza a partir de una disputa entre jugadores en 1654. Los dos matemáticos que participaron de tales discusiones fueron Blaise Pascal y Pierre de Fermat, y su intercambio de correspondencia sentó las bases de la teoría de Probabilidades. Un matemático holandés, Christian Huygens tomó contacto con esa correspondencia y escribió el primer libro sobre Probabilidades en 1657, el cual trataba fundamentalmente sobre problemas relacionados con los juegos de azar. Durante el siglo XVIII la teoría se desarrolló y se enriqueció con los aportes de Jacob Bernoulli y Abraham de Moivre. En 1812 Pierre de Laplace introdujo una serie de nuevas ideas y técnicas matemáticas en su libro Theorie Analytique des Probabilités y fundamentalmente sacó a la teoría del marco exclusivo de los juegos de azar y aplicó las ideas a muchos problemas científicos y prácticos. La probabilidad es usada como herramienta de ayuda para la toma de decisiones porque proporciona una forma de medir, expresar y analizar las incertidumbres asociadas con eventos futuros de razones entre el número de casos favorables y el número de casos posibles. La incertidumbre se presenta debido a la aleatoriedad del fenómeno que se observa, pero además por el desconocimiento del verdadero estado del sistema lo cual equivale a ignorar ignorar los parámetros que determinan ese estado de la naturaleza.


INTRODUCCIÓN La teoría de Probabilidades comienza a partir de una disputa entre jugadores en 1654. Los dos matemáticos que participaron de tales discusiones fueron Blaise Pascal y Pierre de Fermat, y su intercambio de correspondencia sentó las bases de la teoría de Probabilidades. Un matemático holandés, Christian Huygens tomó contacto con esa correspondencia y escribió el primer libro sobre Probabilidades en 1657, el cual trataba fundamentalmente sobre problemas relacionados con los juegos de azar. Durante el siglo XVIII la teoría se desarrolló y se enriqueció con los aportes de Jacob Bernoulli y Abraham de Moivre. En 1812 Pierre de Laplace introdujo una serie de nuevas ideas y técnicas matemáticas en su libro Theorie Analytique des Probabilités y fundamentalmente sacó a la teoría del marco exclusivo de los juegos de azar y aplicó las ideas a muchos problemas científicos y prácticos. La probabilidad es usada como herramienta de ayuda para la toma de decisiones porque proporciona una forma de medir, expresar y analizar las incertidumbres asociadas con eventos futuros de razones entre el número de casos favorables y el número de casos posibles. La incertidumbre se presenta debido a la aleatoriedad del fenómeno que se observa, pero además por el desconocimiento del verdadero estado del sistema lo cual equivale a ignorar ignorar los parámetros que determinan ese estado de la naturaleza.


Cuadro sinóptico

Universidad Nacional Abierta y a Distancia UNAD Vicerrectoría Académica y de Investigación - VIACI Escuela: Ciencias Básicas Tecnología e Ingeniería Curso: Probabilidad Código: 100402 –

Resumen individual Aportes de cada participante en donde evidencia el resumen de los conceptos teóricos de la unidad que le permitieron solucionar el estudio de caso seleccionado. 1. Nombre del participante y caso seleccionado: DANIEL ROJAS HENAO Caso Nº. 1 Resumen de conceptos teóricos: Probabilidad: Surge de la necesidad de predecir cuándo se podría ganar o perder en los di ferentes juegos de azar. La probabilidad básica se usa para evaluar la probabilidad de que ocurra un suceso o evento. La probabilidad es usada asimismo en la toma de decisiones en base a una recopilación de datos. Experimentos: Fenómeno Aleatorio: Es aquel experimento en donde conocemos los resultados posibles, pero no conocemos cual en particular resultara. Fracción Probabilística: Es cada posible resultado de un fenómeno probabilístico, al cual puede asignársele una fracción probabilística de ocurrencia. Experimento: Es la forma mediante el cual se obtiene mediciones de un fenómeno, las cuales pueden ser numérico o no numérico, a cada resultado se le llama punto de muestra. Cuando se tienen todos los posibles resultados posibles del experimento se forma el espacio muestral. Espacio muestral: Es el conjunto de todos los resultados posibles que pueden obtenerse de un experimento. Suceso o evento: Está formado por un conjunto de puntos muestrales, que son todos los resultados posibles que puede contener el suceso. Los puntos muestrales del suceso deben pertenecer al espacio muestral, el cual está asociado con un experimento. Suceso Simple: Es aquel que está formado por un solo punto muestral. Suceso compuesto: Está formado por dos o más puntos muéstrales y se puede descomponer en sucesos simples. Suceso Imposible: Aquel que está formado por resultados que no se consideran para el estudio, pero pertenecen al espacio muestral. Suceso complemento: Es el conjunto de todos los puntos muestrales que no pertenecen a A y que se encuentran en este. Suceso mutuamente excluyente o exclusivo: Este suceso se define al considerar dos sucesos, A y B los cuales no pueden ocurrir al mi smo tiempo. Sucesos mutuamente no excluyentes o exclusivos: Se define al considerar dos sucesos A y B, los cuales ocurren o se presentan al mismo tiempo. Suceso colectivamente exhaustivos: Al realizar un experimento se obtiene el espacio muestral y este puede estar formado por un alista de sucesos que son mutuamente excluyentes o colectivamente exhaustivos.


Técnicas de conteo: Para experimentos de etapas múltiples: Consiste en considerar que hay n1 maneras de realizar una cosa y n2 maneras de hacer otra, de tal manera que hay n1 * n2 formas de hacer las cosas. El resultado de dicha multiplicación es el número total de resultados posibles que tendrá el espacio muestral. Permutaciones: Es el número de maneras de arreglar un orden r objetos seleccionados de net re n objetos. En las permutaciones es importante considerar el orden. Combinaciones: La combinación es un arreglo de n objetos tomados r a la vez. En este arreglo, el orden de los objetos no se considera. Asignación de probabilidades: Probabilidad como frecuencia relativa: Se fundamenta en el uso de datos históricos para asignar probabilidades. Método Subjetivo: Se emplea cuando el método de frecuencia relativa y el método clásico no se pueden aplicar en todos aquellos casos donde se quiere evaluar probabilidades. Matriz de probabilidad: Es una herramienta utilizada en la solución de problemas de probabilidad. Esta muestra las probabilidades marginales y las probabilidades conjuntas y se construye como una taba o cuadro de dos dimensiones con una variable en cada lado del cuadro. Eventos y sus probabilidades: Probabilidad de un suceso: Cuando se desea obtener la probabilidad de un suceso A sin recurrir a la experimentación, se considera la probabilidad del evento A como un número real P(A), Si no se realiza el experimento, se parte del supuesto que el suceso A ocurre, por tanto el número real P(A) tendrá un valor muy cercano al que se obtiene si se realiza el experimento, siempre y cuando esta frecuencia sea obtenida de un número muy grande de repetición del experimento. Probabilidad del suceso complemento: Es aquel que está formado por todos los puntos muestrales que no están incluidos en A, pero que pertenecen al espacio muestral. Probabilidad conjunta: Cuando los sucesos mutuamente no excluyentes, a la probabilidad de estos se le denomina probabilidad conjunta. La probabilidad conjunta mid e la posibilidad de que dos o más sucesos ocurran en forma simultánea.

Leyes de la probabilidad:


Probabilidad clásica: El método clásico de asignar probabilidades se basa en leyes y reglas. La probabilidad clásica incluye un experimento, del cual se obtiene los resultados posibles, de estos seleccionan los que le corresponden al suceso en estudio. Probabilidad axiomática: El espacio muestral debe ser finito, este tendrá un suceso simple por cada i resultados posible y cada suceso simple toma un valor de probabilidad Pi. En la probabilidad axiomática el valor de probabilidad de cada suceso simple puede ser diferente al de los demás, en otras palabras los sucesos simples no son equiprobables. La posibilidad de ocurrencia de cada suceso simple con respecto a otro, puede ser doble, triple, etc. Probabilidad Incondicional: Se tienen dos sucesos AyB, a la probabilidad de que ocurra un evento A sin considerar que ocurra el suceso B, se llama probabilidad incondicional. Esta probabilidad también es conocida como probabilidad marginal. Probabilidad condicional: Sean los sucesos A y B asociados con un experimento, la probabilidad condicional dl suceso B dado que el suceso a ya ocurrió. La probabilidad condicional también puede calcularse fácilmente en forma deductiva, si se considera que el espacio muestral, se reduce a un nuevo espacio muestral, este nuevo espacio muestral es igual que el tamaño que ya ocurrido. Teorema de Bayes: Es también conocido como fórmula para la probabilidad de causas, y se desarrolla a partir de la probabilidad condicional y la probabilidad simple o marginal.

2. Nombre del participante y caso seleccionado: MEIBY YAZMIN GIRON MENDIVELSO Caso Nº. 2 Resumen de conceptos teóricos:



3. Nombre del participante y caso seleccionado: LILIA FERNANDA PLAZAS CONTRERAS Caso Nº. 3 Resumen de conceptos teóricos: ¿QUE E S LA PROBABILIDAD? La Probabilidad es la mayor o menor posibilidad de que ocurra un determinado suceso. En otras palabras, su noción viene de la necesidad de medir o determinar cuantitativamente la certeza o duda de que un suceso dado ocurra o no. Ésta establece una relación entre el número de sucesos favorables y el número total de sucesos posibles. Por ejemplo, lanzar un dado, y que salga el número uno (caso favorable) está en relación a seis casos posibles (1, 2, 3, 4, 5 y 6); es decir, la probabilidad es 1/6. La probabilidad está basada en el estudio de la combinatoria y es fundamento necesario de la estadística, además de otras disciplinas como matemática, física u otra ciencia. En ellas se aplica una teoría de probabilidades, la cual tiene como fin examinar las formas y medios para obtener esas medidas de certeza, así como encontrar los métodos de combinarlos cuando intervienen varios sucesos en un experimento aleatorio o prueba. Cada uno de los resultados obtenidos al realizar un experimento recibe el nombre de suceso elemental. Se llama espacio muestral el conjunto de todos los sucesos elementales obtenidos, de forma que todo subconjunto del espacio muestral es un suceso. Cuando hablamos de probabilidad tenemos que diferenciar los tipos de sucesos que pueden ocurrir, pueden ser: sucesos naturales, son aquellos cuyo resultado podemos predecir; y sucesos por azar, cuyo resultado no podemos predecir, pero que si se conoce los resultados posibles que se pueden dar. Los sucesos por azar se pueden clasificar en: suceso seguro, es aquel que es cierto, que ocurrirá sin lugar a dudas. Por ejemplo, si lanzamos un dado, es seguro que saldrá un número del 1 al 6. En suceso posible, es todo lo que compone un fenómeno determinado. Por ejemplo, al lanzar una moneda, los sucesos posibles son cara o sello. Y de último, tenemos al suceso imposible, el que no pueden ocurrir y se contraponen a un suceso seguro. Por ejemplo, que en una partida de domino dos jugadores tengan la misma ficha, ser ía imposible porque son 28 fichas diferentes. La probabilidad es 0 cuando el suceso es imposible y 1 cuando el suceso es seguro. En la actualidad existen compañías de seguros que evalúan las probabilidades de los sucesos que les interesan (accidentes de coches, inundaciones, epidemias, etc.) y así poder asignar las cuotas de manera justa. También, las probabilidades son importantes para la ingeniería, específicamente la Civil: características de los materiales, dimensiones de elementos estructurales, carga viva en edificios, carga sísmica y de viento, tránsito de vehículos, entre otras.


Los axiomas de probabilidad son las condiciones mínimas que deben verificarse para que una función que definimos sobre unos sucesos determine consistentemente valores de probabilidad sobre dichos sucesos. La probabilidad P de un suceso E, denotada por P(E), se define con respecto a un "universo" o espacio muestral Ω, conjunto de todos los p osibles sucesos elementales, tal que P verifique los

Axiomas de Kolmogórov, enunciados por el matemático ruso de este nombre en 1933. En este sentido, el suceso E es, en términos matemáticos, un subconjunto de Ω.

AXIOMAS DE KOLMOGÓROV

Dado un conjunto de sucesos elementales, Ω, sobre el que se ha definida una σ -álgebra (léase sigma-álgebra ) σ de subconjuntos de Ω y una función P que asigna valores reales a los miembros de σ, a los que denominamos "sucesos", diremos que P es una probabilidad sobre (Ω,σ) si se

cumplen los siguientes tres axiomas.

PRIMER AXIOMA La probabilidad de un suceso A es un número real mayor o igual que 0. P(A) \geq 0 La probabilidad de un suceso es un número positivo o nulo. SEGUNDO AXIOMA La probabilidad del total, Ω, es igual a 1.

P(\Omega) = 1\!

Ω representa todas las posibles alternativas y se denomina suceso seguro.

TERCER AXIOMA Si A1, A2... son sucesos mutuamente excluyentes (incompatibles dos a dos, disjuntos o de intersección vacía dos a dos), entonces: P(A_1 \cup A_2 \cup \cdots) = \sum P(A_i). Según este axioma se puede calcular la probabilidad de un suceso compuesto de varias alternativas mutuamente excluyentes sumando las probabilidades de sus componentes. Propiedades que se deducen de los axiomas De los axiomas anteriores se deducen otras propiedades de la probabilidad: P(\varnothing)=0 donde el conjunto vacío (\varnothing) representa en probabilidad el suceso imposible Para cualquier suceso P(A) \leq 1 P(A^c)=1-P(A)\;\! Si A \subseteq B entonces P(A) \leq P(B) P(A \cup B)= P(A) + P(B) - P(A \cap B) En términos más formales, una probabilidad es una medida sobre una σ -álgebra de subconjuntos del espacio muestral, siendo los subconjuntos miembros de la σ -álgebra los sucesos y definida de tal manera que la medida del total sea 1. Tal medida, gracias a su definición matemática, verifica igualmente los tres axiomas de Kolmogórov. A la terna formada por el espacio muestral, la σ -álgebra y la función de probabilidad se la denomina Espacio probabilístico, esto es, un "espacio de sucesos" (el espacio muestral) en el que se han definido los posibles sucesos a c onsiderar (la σ -álgebra) y la probabilidad de cada suceso (la función de probabilidad). Como ejemplo se puede tomar como espacio muestral a los posibles resultados al arrojar un dado corriente \Omega = \left \{ 1, 2, 3, 4, 5, 6 \right \ } , tomaremos como σ -álgebra todos los subconjuntos posibles de Ω (que en matemáticas se denota por \mathcal {P}(\Omega)) y como función de probabilidad P(A)= \frac {\mbox {numero de elementos de A}} {6}


Es fácil comprobar que esta función verifica los tres axiomas de Kolmogórov y, por tanto, consituye una probabilidad sobre este conjunto. P(A)= \frac {\mbox {numero de elementos de A}} {6} \geq 0, puesto que es el cociente de dos números positivos P(\Omega)=P \left ( \left \{ 1, 2, 3, 4, 5, 6 \right \} \right )= \frac { \mbox{numero de elementos de } \left \{ 1, 2, 3, 4, 5, 6 \right \} } {6} = \frac {6} {6} = 1 Si A= A_1 \cup A_2 \cup A_3 \cup \cdots de tal manera que A_i \cap A_j = \varnothing \quad \forall i \ne j entonces \begin{matrix} \mbox {numero de elementos de } A & = & \mbox {numero de elementos de } A_1 + \\ \ & + & \mbox {numero de elementos de } A_2 + \\ \ & + & \mbox {numero de elementos de } A_3 + \cdots \end{matrix} con lo que P(A)=\sum P(A_i) 4. Nombre del participante y caso seleccionado: FENER MARIN LOPEZ DAZA Caso No. 4 Resumen de conceptos teóricos: PROBABILIDAD Tiene su origen en el vocablo latino probus, que indicaba la cualidad de las cosas materiales de estar erguidas, siendo capaces de desplazarse. Más tarde fue aplicado como adjetivo con sentido moral a los hombres, siendo probus el hombre «bueno, honrado, virtuoso, probo». En este sentido fue utilizado por Plutarco. De probus derivaron probitas «honradez» y probo, as, are «encontrar adecuado, probar, demostrar». También derivaron probatio y sus formas cultas probabilitas y probabilis. La palabra probatio tiene su equivalente griego que significa «prueba» o «examen», mientras que probabilis es «probable», «plausible», refiriéndose la probabilitas a todo aquéllo que, por haber sido probado varias veces con resultado satisfactorio, es fácil que se vuelva a cumplir. Es una medida numérica de la posibilidad de que ocurra un evento. Por tanto, las probabilidades son una medida del grado de incertidumbre asociado con cada uno de los eventos previamente enunciados. La definición de probabilidad se produjo debido al deseo del ser humano por conocer con certeza los eventos que sucederán en el futuro. Constituye un importante parámetro en la determinación de diversas casualidades obtenidas tras una serie de eventos esperados dentro de un rango estadístico. La probabilidad se denota con la letra p y se expresa en términos de una fracción y no en porcentajes, por lo que el valor de p cae entre 0 y 1. En el contexto de la probabilidad, un experimento es definido como un proceso que genera resultados definidos. Y en cada una de las repeticiones del experimento, habrá uno y sólo uno de los posibles resultados experimentales. SUCESO Procede del latín successus participio pasado de succedo, que entre otras acepciones significa «pasar, suceder» y, por tanto, se refiere a las cosas que suceden, que tienen lugar u ocurren. El uso que damos a este término en Cálculo de Probabilidades y Estadística no es muy afortunado si atendemos a su raíz, pues «suceso», en Estadística, es lo que puede suceder y no lo que ha sucedido ya, como hemos señalado en el epígrafe anterior. Más correcto habría sido utilizar, para describir lo que puede suceder, el vocablo «evento» (como aparece en la literatura estadística inglesa, italiana y francesa), pues evento procede del latín eventus referente a un «resultado incierto, a las «posibles consecuencias», la «eventualidad».


Experimentos, reglas de conteo y asignación de probabilidades: En el contexto de la probabilidad, un experimento es definido como un proceso que genera resultados definidos. Y en cada una de las repeticiones del experimento, habrá uno y sólo uno de los posibles resultados experimentales. A continuación se dan varios ejemplos de experimentos con sus correspondientes resultados. 4.1 Experimentos, reglas de conteo y asignación de probabilidades 143 Algunos de los primeros trabajos sobre probabilidad se dieron en una serie de cartas entre Pierre de Fermat y Blaise Pascal durante el año de 1650. Experimento Resultado experimental Lanzar una moneda Cara, cruz Tomar una pieza para inspeccionarla Con defecto, sin defecto Realizar una llamada de ventas Hay compra, no hay compra Lanzar un dado 1, 2, 3, 4, 5, 6 Jugar un partido de futbol Ganar, perder, empatar Al especificar todos los resultados experimentales posibles, está definiendo el espacio muestral de un experimento. ESPACIO MUESTRAL: Es el conjunto de todos los resultados experimentales. Probabilidad como medida numérica de que un evento ocurra.

Reglas de conteo , combinaciones y permutaciones: Al asignar probabilidades es necesario saber identificar y contar los resultados experimentales. A continuación tres reglas de conteo que son muy utilizadas. Experimentos de pasos múltiples: La primera regla de conteo sirve para experimentos de pasos múltiples. Considere un experimento que consiste en lanzar dos monedas. Defina los resultados experimentales en términos de las caras y cruces que se observan en las dos monedas. ¿Cuántos resultados experimentales tiene este experimento? El experimento de lanzar dos monedas es un experimento de dos pasos: el paso 1 es lanzar la primera moneda y el paso 2 es lanzar la segunda moneda. Si se emplea H para denotar cara y T para denotar cruz, (H, H) será el resultado experimental en el que se tiene cara en la primera moneda y cara en la segunda moneda. Si continúa con esta notación, el espacio muestral (S) en este experimento del lanzamiento de monedas será el siguiente: Por tanto, hay cuatro resultados experimentales. En este caso es fácil enumerar todos los resultados experimentales. La regla de conteo para experimentos de pasos múltiples permite determinar el número de resultados experimentales sin tener que enumerarlos. REGLA DE CONTEO PARA EXPERIMENTOS DE PASOS MÚLTIPLES: Un experimento se describe como una sucesión de k pasos en los que hay n1 resultados posibles en el


primer paso, n2 resultados posibles en el segundo paso y así en lo sucesivo, entonces el número total de resultados experimentales es (n1) (n2)...(nk). Si considera el experimento del lanzamiento de dos monedas como la sucesión de lanzar primero una moneda (n1 2) y después lanzar la otra (n2 2), siguiendo la regla de conteo (2) (2) 4, entonces hay cuatro resultados distintos. Como ya se mostró, estos resultados son S {(H, H), (H, T), (T, H), (T, T)}. El número de resultados experimentales de seis monedas es (2)(2)(2) (2)(2)(2)

“Sin el diagrama de árbol podría pensarse que sólo se pueden tener tres resultados experimentales en dos lanzamientos de una moneda: 0 caras, 1 cara y 2 caras.”

Un diagrama de árbol: Es una representación gráfica que permite visualizar un experimento de pasos múltiples. En la figura 4.2 aparece un diagrama de árbol para el experimento del lanzamiento de dos monedas. La secuencia de los pasos en el diagrama va de izquierda a derecha. El paso 1 corresponde al lanzamiento de la primera moneda, el paso 2 al de la segunda moneda. En cada paso, los dos resultados posibles son cruz o cara. Observe que a cada uno de los resultados posibles en el paso 1 pertenecen dos ramas por los dos posibles resultados en el paso 2. Cada uno de los puntos en el extremo derecho del árbol representa un resultado experimental. Cada trayectoria a través del árbol, desde el nodo más a la izquierda hasta uno de los nodos en el extremo derecho del árbol, muestra una secuencia única de resultados. Combinaciones: Otra regla de conteo útil le permite contar el número de resultados experimentales cuando el experimento consiste en seleccionar n objetos de un conjunto (usualmente mayor) de N objetos. Ésta es la regla de conteo para combinaciones.


“Cuando se hace un muestreo de una población finita de tamaño N, la regla de

conteo para combinaciones sirve para hallar el número de muestras de tamaño n que pueden seleccionarse.”

Permutaciones: La tercera regla de conteo que suele ser útil, es para permutaciones. Dicha regla permite calcular el número de resultados experimentales cuando se seleccionan n objetos de un conjunto de N objetos y el orden de selección es relevante. Los mismos n objetos seleccionados en orden diferente se consideran un resultado experimental diferente.

La regla de conteo para permutaciones tiene relación estrecha con la de combinaciones; sin embargo, con el mismo número de objetos, el número de permutaciones que se obtiene en un experimento es mayor que el número de combinaciones, ya que cada selección de n objetos se ordena de n! maneras diferentes. REGLA DE LA ADICION La regla de la adición o regla de la suma establece que la probabilidad de ocurrencia de cualquier evento en particular es igual a la suma de las probabilidades individuales, si es que los eventos son mutuamente excluyentes, es decir, que dos no pueden ocurrir al mismo tiempo. P(A o B) = P(A) U P(B) = P(A) + P(B) Si A y B no son mutuamente excluyentes, P(A o B) = P(A) + P(B) − P(A y B)

Siendo: P(A) = probabilidad de ocurrencia del evento A, P(B) = probabilidad de ocurrencia del evento B, y P(A y B) = probabilidad de ocurrencia REGLA DE LA MULTIPLICACION La regla de la multiplicación establece que la probabilidad de ocurrencia de dos o más eventos estadísticamente independientes es igual al producto de sus probabilidades individuales. P (A y B) = P (A B) = P (A) P (B) si A y B son independientes. P (A y B) = P (A B) = P (A) P (B|A) si A y B son dependientes.


Siendo P (B|A) la probabilidad de que ocurra B habiéndose dado o verificado el evento A simultánea de los eventos A y B. REGLA DE LA MULTIPLICACION La regla de la multiplicación establece que la probabilidad de ocurrencia de dos o más eventos estadísticamente independientes es igual al producto de sus probabilidades individuales. P (A y B) = P (A B) = P (A) P (B) si A y B son independientes. P (A y B) = P (A B) = P (A) P (B|A) si A y B son dependientes. Siendo P (B|A) la probabilidad de que ocurra B habiéndose dado o verificado el evento A. REGLA DE LAPLACE La Regla de Laplace establece que: * La probabilidad de ocurrencia de un suceso imposible es 0. * La probabilidad de ocurrencia de un suceso seguro es 1, es decir, P(A) = 1. Para aplicar la regla de Laplace es necesario que los experimentos den lugar a sucesos equiprobables, es decir, que todos tengan o posean la misma probabilidad. * La probabilidad de que ocurra un suceso se calcula así: P(A) = Nº de casos favorables / Nº de resultados posibles, esto significa que: la probabilidad del evento A es igual al cociente del número de casos favorables (los casos dónde sucede A) sobre el total de casos

1. Nombre del participante y caso seleccionado: IVAN DARIO LOPEZ DAZA Caso Nº. 5 Resumen de conceptos teóricos: Cuadro sinóptico


Determinista: un experimento que siempre que se

repita con las mismas condiciones iniciales se obtiene igual resultado. Aleatorio: cuando al repetirse con las mismas condiciones iniciales, no se puede predecir el resultado. (Ejemplo: lanzar un dado o extraer una carta).

CLASES

EXPERIMENTOS ALEATORIOS, ESPACIO

P

MUESTRAL,

R

SUCESOS

O

ESPACIO MUESTRAL

Es el conjunto formado por todos los resultados posibles de un experimento o f enómeno aleatorio. Lo denotamos con la letra . Ejemplo: lanzar una moneda, lanzar dos dados

B A B I

SUCESOS

L I

Es cada uno de los subconjuntos del espacio maestral. Para designar cualquier suceso, también llamado suceso aleatorio, de un experimento aleatorio utilizaremos letras mayúsculas.

D A D Si un evento A puede ocurrir de n1 maneras y una vez que este ha ocurrido,

TÉCNICAS DE CONTEO

otro evento B puede n2 maneras diferentes entonces, el número total de formas diferentes en que ambos eventos pueden ocurrir en el orden indicado, es igual a n1 x n2. 

La técnica de la multiplicación



La técnica aditiva



La técnica de la suma o Adición



La técnica de la permutación



La técnica de la combinación.

Es la suma exhaustiva de las probabilidades de todos los P R O B A B I L

PROBABILIDAD TOTAL

casos mutuamente excluyentes que conducen a dicho evento,

 =  ∩  +  ∩  +⋯+ ∩   = ( ) ∗   + ( ) ∗   +⋯+( )∗


T E O R E M A S TEOREMA DE BAYES

Nos expresa la posibilidad que ocurra un suceso determi nado, condicionado a que el suceso ya ha ocurrido

   ∗      (  ) =   ∗    +   ∗   +⋯+  ∗    





Solución al estudio de caso 1: El grupo entrega aquí, de manera organizada, el análisis, desarrollo y solución del ESTUDIO DE CASO presentado RESPONSABLE ROL SELECCIONADO DANIEL ARMANDO ROJAS ENTREGAS (No borrar este encabezado) ESTUDIO DE CASO 1 La publicidad en televisión es indiscutiblemente la más poderosa forma de publicidad. Anunciarse en televisión implica llegar a cientos de miles o a millones de personas al mismo tiempo, y hacerlo


a través del medio publicitario más relevante y prestigioso. La publicidad en televisión aporta notoriedad y credibilidad, y ayuda más que ninguna otra a conseguir el posicionamiento deseado. Una empresa de publicidad desea determinar en qué canal es más probable que sus anuncios sean vistos y realiza una encuesta entre 400 personas de varias ciudades del país para determinar cuáles son los canales más vistos y el horario en el que más audiencia tienen.

Con base en esta información y haciendo uso de los axiomas de probabilidad, prepare para la empresa de publicidad un informe en el que debe incluir como mínimo lo siguiente: 1. Canal en el que hay mayor Probabilidad de que una persona vea los anuncios de la empresa.

: 109 400 =0,2725  100%=27,25% :27,25% 2. Horario en el que hay mayor probabilidad de que una persona vea los anuncios de la empresa.

: 220 400 = 0,5 5  100% = 55% :55% 3. Probabilidad de que una persona prefiera ver T.V en la tarde.

65 =0,1625  100%=16,25%  = 400 =16,25% 4. Probabilidad de que una persona prefiera el canal RCN o Caracol.


194 = 0,485  100% = 48,5%  = 85+109 = 400 400 =48,5% 5. Probabilidad de que una persona prefiera ver TV en la mañana o en la tarde.

180 = 0,45  100% = 45%  = 115+65 = 400 400 =45% 6. Probabilidad de que una persona prefiera ver el canal Caracol en la mañana.

39 = 0,0975  100% = 9,75%  = 400 =9,75% 7. Probabilidad de que una persona prefiera ver el canal Fox en la Noche.

26 = 0,065 100% = 6,5%  = 400 =6,5% 8. Probabilidad de que una persona prefiera ver el canal Fox SI prefiere ver Tv en la noche.

26 = 0,065 100% = 6,5%  = 400 =6,5% 9. Probabilidad de que una persona prefiera ver Tv en la noche si prefiere el canal Fox.

257 =0,6425  100%=64,25%  = 37+220 = 400 400 =64,25% 10. Que le sugiere a la empresa de publicidad sobre sus anuncios en TV. (tenga en cuenta las probabilidades aquí encontradas) Se sugiere que publique en el Canal caracol debido a que según la muestra de 400 personas encuestadas, el 27,25 % prefieren ver Caracol, asi mismo tenemos un 55% de mayor probabilidad que en el horario de la noche vean los anuncios. Solución al estudio de caso 2: El grupo entrega aquí, de manera organizada, el análisis, desarrollo y solución del ESTUDIO DE CASO presentado


RESPONSABLE ROL SELECCIONADO MEIBY YAZMIN GIRON EVALUADOR (No borrar este encabezado) ESTUDIO DE CASO 2 Una pareja de jóvenes acaba de casarse, ambos tienen 20 años y viven en lo profundo de la Patagonia comiendo pescado crudo, lo que imprime un carácter fuerte: NADIE SE DIVORCIA y todos tienen BUENA SALUD. La mitad de la población de esa región, en efecto, vive hasta los 110 años, una cuarta parte vive hasta los 100 años, y el último cuarto de la población vive hasta los 90 años. Los jóvenes esposos se preguntan: “Lo más probable es que nuestro matrimonio dure…?”

Haciendo uso de los axiomas de probabilidad y en especial de la probabilidad para eventos independientes, ayude a los jóvenes esposos a responder la pregunta, y encuentre como mínimo lo siguiente: 50 (110 años)= -  0.50 - ½ 25 (100 años)= -  0.25 - ¼ 25 (90 años)= - 0.25 - ¼ 1.- Probabilidad de que ambos vivan 90 años P ( 90años) Rta: P (H Ո M) = ¼*1/4 = 1/16

2.- Probabilidad de que ambos vivan 100 años P (100 años) Rta: P (H Ո M) = ¼* ¼ = 1/16

3.- Probabilidad de que ambos vivan 110 años P (110 años) Rta: P (H Ո M) = ½* ½= ¼

4.- Probabilidad de que el esposo viva 90 años y la esposa 110 años P (90 ≠110 años) Rta: P (H Ո M)= ¼ * ½= 1/8

5.- Probabilidad de que la esposa viva 90 años y el esposo 100 años. P (90 ≠100 años) Rta: P (M Ո H)= ½ * ¼ = 1/8

6.- Finalmente, la respuesta a la inquietud de los esposos es: “Lo más probable es que el matrimonio dure __90___ años”.


La probabilidad más alta de vida es de 110 años (1/4) Puedo deducir que: 110-20= 90 años. Para resolver el estudio de caso se sugiere completar el siguiente diagrama: El Esposo vivirá hasta: (probablemente) 90 años

La Esposa vivirá hasta: (probablemente) 90 años 100 años 110 años ¼* ¼ = 1/16 ¼* ¼ = 1/16 ¼*½= 1/8

100 años

¼* ¼ = 1/16

110 años

½* ¼ = 1/8 ¼

¼* ¼ = 1/16

¼* ½ = 1/8

½* ¼ = 1/8

½* ½ = 1/4 ½

¼

Solución al estudio de caso 3: El grupo entrega aquí, de manera organizada, el análisis, desarrollo y solución del ESTUDIO DE CASO presentado RESPONSABLE ROL SELECCIONADO Fernanda Plazas Contreras revisor (No borrar este encabezado) ESTUDIO DE CASO 3 Colombia ha clasificado al Mundial de Rusia 2018; así que muchos aficionados han comenzado los preparativos para el viaje. Teresa quiere ir al mundial y decide utilizar una aerolínea de bajo costo por lo que es importante que decida que va a llevar para que no le toque pagar más por sobrepeso. Teresa decide hacer una lista de lo que podría llevar: una maleta, una mochila, una cámara, y unas lindas gafas que lleva a todos sus viajes. Al revisar en algunas páginas de internet sobre viajes, encuentra que hay una posibilidad sobre siete de que pierda la maleta, una sobre cinco de que pierda su mochila, una sobre tres de que pierda la cámara y una posibilidad de tres sobre diez de que pierda sus preciosas gafas. Teresa se queda preocupada y decide calcular la probabilidad de que su viaje no sea tan perfecto como lo tiene previsto si por alguna razón se pierden sus cosas. Haciendo uso de los axiomas de probabilidad, su tarea es ayudar a Teresa y para eso debe encontrar como mínimo lo siguiente:

 =           =        


1. Probabilidad de que no pierda la maleta.

=100%=1 +=1100% 1 + 6 = 7 1 7 7 7 =1− 1 − 17 = 67 6 =0,85% 7            0,85% 2. Probabilidad de que pierda la maleta y pierda el bolso de mano

    ℎ =   ∩ ℎ =    ℎ  = 17  15 = 351 =0,0285 =2,85%                2,85 3. Probabilidad de que pierda la maleta o pierda el bolso de mano

    ℎ  =    ∪  ℎ = 17 + 15 = 535+ 7 = 12 35 =0.3428  ℎ    =34,28%             ℎ  = 34,28% 4. Probabilidad de que NO pierda ninguna de sus cosas

     =     =     


=1−∑  = 1 − (17 + 15 + 13 + 103 )  = 1 − 41 42  = 421 =0,0238 =2,38%             2,38% 5. Finalmente, Determine la probabilidad de que el viaje de Teresa no sea tan perfecto como lo tiene previsto, si por alguna razón se pierden todas sus cosas.

    =1−∑  = 1 − (67 + 45 + 23 + 107 )  = 1 − 127 42  = 127 42 =3,02% =3,02%           ,% Para resolver el estudio de caso se sugiere completar el siguiente cuadro: Probabilidades que tiene Teresa de Perder No perder La Maleta 1/7 6/7 La Mochila 1/5 4/5 La Cámara 1/3 2/3 Las Gafas 3/10 7/10


Solución al estudio de caso 4: El grupo entrega aquí, de manera organizada, el análisis, desarrollo y solución del ESTUDIO DE CASO presentado RESPONSABLE ROL SELECCIONADO FENER MARIN LOPEZ DAZA COMPILADOR (No borrar este encabezado) ESTUDIO DE CASO 4 Los exámenes de selección están asociados principalmente con exámenes médicos de diagnóstico pero ahora están encontrando aplicaciones en varios campos de actividad. Estos exámenes se evalúan sobre la probabilidad de un falso negativo o un falso positivo y éstas dos son probabilidades condicionales. Un falso positivo es el evento de que el examen sea positivo para una condición determinada , dado que la persona no tiene la condición. Un falso negativo es el evento de que el examen sea negativo para una condición determinada, dado que la persona tiene la condición. Se supone que una cierta prueba detecta cierto tipo de cáncer con probabilidad del 85% entre gente que lo padece, y no lo detecta el 15% restante. Si una persona no padece este tipo de cáncer la prueba indicará que no lo tiene un 95% de las veces e indicará que lo tiene un 5% de ellas. Por estudios realizados se supone que el 5% de la Población padece este tipo de cáncer. Con base en esta información y usando el Teorema de Bayes, elabore un informe que c omo mínimo, debe incluir: Para este ejercicio voy a asignar las variables así:

=: Sano y =: Enfermo y= Resultado de la prueba;  = : Positivo y  =  : Negativo =/ =  = 85% =/==15% =/==95% =/==5% ==5%

X= Estado de salud;

1. Probabilidad de que una persona NO tenga este tipo de cáncer Nos piden

=    son complementarios,

Damos por hecho que el 5% padece la enfermedad, y dado  concluimos que:

==5%   =  +==100%


  =  =100%−5%   =  =95% 2. Probabilidad de que el examen indique que la persona tiene cáncer Nos piden:

  = / =   = ? Aplicando el teorema de Bayes tenemos:

  = / =     =   =  /  =  /  =  =   =   =  /  =  / [ =   = /  =  +  =   = /  = ] = 0,05 ∗ 0,85 / 0,05 ∗ 0,85 + 0,95 ∗ 0,05 = 0,0425 / 0.0425+0.0475= 0.0425/0.09 = 0.4722 La probabilidad de que el examen indique que la persona tiene cáncer es del 47,22%. 3. Probabilidad de que el examen indique que la persona no tiene cáncer Nos piden:

  = / =   = ? Aplicando el teorema de Bayes tenemos:

 =  ∗   =  = = /=   0.15 ∗ 0.05 =0.05 0.15 La probabilidad de que el examen indique que la persona no tiene cáncer es del 5%. 4. Probabilidad de un falso positivo , es decir que el examen indique que la persona tiene cáncer dado que la persona no lo tiene. Nos piden:

  = /  =  =?   =  ∗= /  =  =   =  ∗ =  /  = +   =  ∗ = /  =  0.95∗0.05 0.0475 = = 0.0475 =0.52 = 0.95 ∗ 0.05 = + 0.05 ∗ 0.85 0.0475 + 0.0425 0.09 La probabilidad de un falso positivo , es decir que el examen indique que la persona tiene cáncer dado que la persona no lo tiene es del 52%.


5. Probabilidad de un falso negativo , es decir, que el examen indique que la persona no tiene cáncer dado que la persona tiene la enfermedad Nos piden:

  = /  =  =?   =  ∗= /  =  =   =  ∗ =  /  = +   =  ∗ = /  =  0.05∗0.15 0.0075 = 0.05 ∗ 0.15 = + 0.85 ∗ 0.95 0.0075 + 0.8075 = 0.0075 0.815 =0.0092 La probabilidad de un falso negativo , es decir, que el examen indique que la persona no tiene cáncer dado que la persona tiene la enfermedad es del 0.92%. 6. De acuerdo con las probabilidades encontradas, que tan confiable es este examen para detectar este tipo de cáncer Para resolver el estudio de caso se sugiere realizar un diagrama de árbol, que represente las probabilidades utilizadas para resolverlo.


Solución al estudio de caso 5: El grupo entrega aquí, de manera organizada, el análisis, desarrollo y solución del ESTUDIO DE CASO presentado RESPONSABLE ROL SELECCIONADO IVAN DARIO LOPEZ DAZA ALERTAS (No borrar este encabezado) ESTUDIO DE CASO 5 Un almacén importante considera cambiar su política de otorgamiento de crédito para reducir el número de clientes (deudores) que finalmente no pagan sus cuentas. El gerente de crédito sugiere que a futuro, el crédito se le cancele a cualquier cliente que demore una semana o más en sus pagos en dos ocasiones distintas. La sugerencia del gerente se basa en el hecho de que, en el pasado 90% de los clientes que finalmente no pagaron sus cuentas se demoraron en sus pagos por lo menos dos ocasiones. Un estudio independiente encontró que 2% de todos los deudores finalmente NO pagan sus cuentas y que de aquellas que SÍ las pagan, el 45% se demoró en por lo menos dos ocasiones. Utilice su conocimiento de la probabilidad y las aplicaciones del Teorema de Bayes para preparar un INFORME en el que incluya como mínimo: 1. Probabilidad de que un deudor cualquiera finalmente si pague sus cuentas. 2. Probabilidad de que un deudor cualquiera se demore por lo menos dos ocasiones 3. Probabilidad de que un deudor que no se demoró por lo menos dos ocasiones, finalmente, pague su cuenta. 4. Probabilidad de que un cliente que ya se demoró por lo menos dos ocasiones, finalmente, no page su cuenta. 5. Con los resultados obtenidos analice la política que sugiere el Gerente de crédito. Esta de acuerdo, sí o no, ¿por qué? Para resolver el estudio de caso se sugiere realizar un diagrama de árbol, que represente las probabilidades utilizadas para resolverlo. DESARRROLLO CASO 5 Aplicando el teorema de Bayes: A1: clientes q si pagan A2: clientes q no pagan 2 ocasiones (0.45) P(pagan)=0.98 1 ocasión (0.55)

P(No pagan)=0.98

2 ocasiones (0.90) 1 ocasión (0.10)


Clientes No Pagan Si Pagan

No Pagan 0.90 0.10

Con Crédito 0.02 0.45

 ()=0.90∗0.02=0.018  ()=0.98∗0.45=0.441  =0.018+0.441=0.459     = . . =0.96078=96%

La probabilidad de que un cliente que se atrasa en un pago acabe convirtiéndose en moroso es 0,96 que es menor que la probabilidad 0,90 exigida por el gerente de la empresa y como consecuencia, se debería de cambiar el tipo de política ya que un cliente que se atrase en un pago Solución CASO # 5 Estudio 1 CP: Cliente si PAGA CN: Cliente NO PAGA CPD: Cliente PAGA Demorado CPN: Cliente PAGA y NO demorado CND: Cliente NO pago y Demoro el pago CNN: Cliente que NO pago Nada - () 90% NO pagaron (demora en 2 ocasiones de no pago) – Almacén - () 10% NO pagaron (No pagaron nada) - Almacén - () 2% NO pagan sus créditos – Estudio - () 98% SI Pagan sus créditos - Estudio - () 45% SI pagan sus créditos (demora en 2 ocasiones de no pago) – Estudio - () 55% SI pagaron y no se demoraron 1. Probabilidad de que un deudor cualquiera finalmente si pague sus cuentas. P (CP) = 0.98 P (CN) = 0.02 0.98* 1/ (0.98 * 1 + 0.02 * 1) = 98% P (CPD)= 0.45 P (CND)= 0.90 P (CPN)= 0.55 P (CNN) = 0.10 El 98% de los clientes pagaran, en el enunciado no especifica las ocasiones o no del mismo. 2. Probabilidad de que un deudor cualquiera se demore por lo menos dos ocasiones 3 P (CP) = 0.98 P (CN) = 0.02 P (CPD)= 0.45 P (CND)= 0.90 0.98*0.45/ 0.98*0.45 + 0.02*0.90 = 96 % P (CPN)= 0.55 P (CNN) = 0.10 3. Probabilidad de que un deudor que no se demoró por lo menos dos ocasiones, finalmente, pague su cuenta. P (CP) = 0.98 P (CN) = 0.02 0.98*0.55/ 0.98* 0.55 + 0.02 * 0.10 = 99% P (CPD)= 0.45 P (CND)= 0.90 P (CPN)= 0.55 P (CNN) = 0.10 4. Probabilidad de que un cliente que ya se demoró por lo menos dos ocasiones, finalmente, no page su cuenta. P (CP) = 0.98 P (DN) = 0.02 0.98*0.45/ 0.98* 0.45 + 0.02 * 0.90 = 96% P (CPD)= 0.45 P (DND)= 0.90 P (CPN)= 0.55


P (CNN) = 0.10 5. Con los resultados obtenidos analice la política que sugiere el Gerente de crédito. Está de acuerdo, sí o no, ¿por qué? RTA. Estoy de acuerdo que si cambie la política; porque la probabilidad de que un cliente que se atrasa en un pago acabe convirtiéndose en moroso es 0,96 que es menor que la probabilidad 0,90 exigida por el gerente de la empresa y como consecuencia, se deb ería de cambiar el tipo de política ya que un cliente que se atrase en un pago.

Conclusiones (mínimo 1 por cada participante) (No borrar este encabezado) ESTUDIANTE

CONCLUSIÓN La aplicación de los métodos de probabilidad en la vida cotidiana, sirve como herramienta para el estudio y análisis de comportamiento de fenómenos aleatorios. FENER MARIN LOPEZ DAZA Cuando aplicamos las técnicas estadísticas a la recogida, análisis e interpretación de los datos, la teoría de la probabilidad proporciona una base para evaluar la fiabilidad de las conclusiones alcanzadas y las inferencias realizadas. La probabilidad sin duda es una materia muy importante en la carrera de ingeniería, ya que nos ayuda a resolver problemas que se nos presentan a menudo, es FERNANDA PLAZAS CONTRERAS indispensable en la preparación de proyectos en los cuales tengamos que hallar datos aleatorios, de esta manera podemos llegar a importantes conclusiones y definiciones basado en el estudio de la probabilidad. 




MEIBY GIRON MEDIVELSO

IVAN DARIO LOPEZ DAZA

La probabilidad hace parte de la matemática, la estadística y se complementan para ser más exactas y poder dar soluciones a situaciones de incertidumbres. Es aplicable en la vida diaria y en diferentes áreas de las distintas ciencias ya que se convierte en una gran herramienta de la rama de matemáticas que estudia, mide o determine los experimentos o fenómenos aleatorios. Por medio de esta actividad logramos proporcionarnos de habilidades como profesionales ante situaciones o eventos que permitan llevar a cabo un análisis probabilistico, el cual nos permitan tomar decisiones mediante los conceptos y fundamentos y métodos de la probabilidad.

yReferencias bibliográficas en formato APA. (Mínimo una por cada participante, no pueden repetir referencias) (No borrar este encabezado) http://bibliotecavirtual.unad.edu.co:2460/lib/unadsp/reader.action?docID=3192101&ppg=151 http://bibliotecavirtual.unad.edu.co:2081/ps/retrieve.do?resultListType=RELATED_DOCUMENT& searchType=BasicSearchForm&userGroupName=unad&inPS=true&contentSegment=&prodId=G VRL&isETOC=true&docId=GALE|CX4052400005

Fase 3 Axiomas de Probabilidad 8

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