Descripción del ejercicio 2 Considere el siguiente problema, defina el sistema de ecuaciones lineales que le describe y soluciónelo por medio de una reducción de Gauss –Jordan. Valide su resultado por medio de Geogebra*. Se desea obtener un preparado semanal que cubra las necesidades mínimas de una persona en proteínas, hidratos de carbono y grasas. Suponga que el preparado debe contener una mezcla de los productos A, B y C cuyos contenidos por onzas son los que se indican en la siguiente tabla:
Proteínas
Hidratos
Grasas
Producto A
2
1.5
0.5
Producto B
0.5
3
1.5
Producto C
1.5
2.2
0.5
Disponibilidad
0.5 lb
0.5 lb
0.5 lb
¿Cuántas onzas de cada producto deberán mezclarse semanalmente para obtener el preparado? Solución Como las cantidades de disponibilidad están en libras hacemos la conversión para pasarlas a onzas como lo están las medidas de las proteínas hidratos y grasas 0.5 lb = 8 onzas , pues una libra tiene 16 onzas Con esta medida en onzas Al plantear las ecuaciones tenemos que Ecuación 1 = 2x + 0.5y + 1.5z = 8 Ecuación 2 = 1.5x + 3y + 2.2z =8 Ecuación 3 = 0.5x + 1.5y + 0.5z = 8 Al tener planteadas las tres ecuaciones las solucionamos por el método de Gauss-Jordan
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PASO 1
Planteamos la primera matriz y realizamos la siguiente operación fila 1 con la fila 2 multiplicamos -1.5 por la fila 1 y 2 por la fila 2 -1.5 2
-3 3 0
2 1.5 0.5
-0.75 6 5.25
0.5 3 1.5
-2.25 4.4 2.15
1.5 2.2 0.5
8 8 8
-12 16 4
Los números resaltados en amarillo son los nuevos valores que colocaremos en la primera matriz segundo renglon, como podemos observar al efectuar esta operación obtuvimos el primer cero 2 0 0.5
0.5 5.25 1.5
1.5 2.15 0.5
8 4 8
PASO 2 Ahora realizaremos realizaremos la operación correspondiente a la fila 1 y la fila 3 para obtener el siguiente cero en el tercer renglón y lo hacemos multiplicando el renglón uno por -0.5 y el renglón tres por 2, tendremos lo siguiente
-0.5 2
2 0 0.5
0.5 5.25 1.5
1.5 2.15 0.5
8 4 8
Al realizar las multiplicaciones correspondientes tenemos -1
-0.25
-0.75
-4
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Los números resaltados en amarillo son los nuevos valores que colocaremos en la primera matriz tercer renglón, como podemos observar al efectuar esta operación obtuvimos obtuvimos el segundo cero. 2 0 0
0.5 5.25 2.75
1.5 2.15 0.25
8 4 12
PASO 3 Ahora realizaremos realizaremos la operación correspondiente a la fila 2 y la fila 3 para obtener el siguiente cero en el tercer renglón segunda columna y lo hacemos multiplicando el renglón dos por -2.75 y el renglón tres por 5.25, tendremos lo siguiente -2.75 5.25
2 0 0
0.5 5.25 2.75
1.5 2.15 0.25
8 4 12
Al realizar la multiplicación tenemos 0 0 0
-14.4375 14.4375 0
-5.9125 1.3125 -4.6
-11 63 52
Los números resaltados en amarillo son los nuevos valores que colocaremos en la primera matriz tercer renglón, como podemos observar al efectuar esta operación obtuvimos el tercer cero.
2 0 0
0.5 5.25 0
1.5 2.15 -4.6
8 4 52
PASO 4 Ahora realizaremos realizaremos la operación correspondiente a la fila 3 y la fila 2 para obtener el siguiente cero en el segundo renglón tercera columna y lo hacemos
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4.6 2.15
2 0 0
0.5 5.25 0
1.5 2.15 -4.6
8 4 52
Al realizar la operación tenemos que 0 0 0
24.15 0 24.15
9.89 -9.89 0
18.4 111.8 130.2
Los números resaltados en amarillo son los nuevos valores que colocaremos en la primera matriz segundo renglón, como podemos observar al efectuar esta operación obtuvimos el cuarto cero.
2 0 0
0.5 24.15 0
1.5 0 -4.6
8 130.2 52
PASO 5 Ahora realizaremos realizaremos la operación correspondiente a la fila 3 y la fila 1 para obtener el siguiente cero en el primer renglón tercera co lumna y lo hacemos multiplicando el renglón uno por 4.6 y el renglón tres por por 1.5, tendremos lo siguiente
4.6 1.5
2 0 0
0.5 -24.15 0
1.5 0 -4.6
8 130.2 52
Al realizar la operación tenemos que
9.2 0
2.3 0
6.9 -6.9
36.8 78
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Los números resaltados en amarillo son los nuevos valores que colocaremo s en la primera matriz primer renglón, como podemos observar al efectuar esta operación obtuvimos el quinto cero.
9.2 0 0
2.3 24.15 0
0 0 -4.6
114.8 130.2 52
PASO 6 Ahora realizaremos realizaremos la operación correspondiente a la fila 2 y la fila 1 para obtener el siguiente cero en el primer renglón tercera co lumna y lo hacemos multiplicando el renglón uno por -24.15 y el renglón dos por 2.3, tendremos lo siguiente
-24.15 2.3
9.2 0 0
2.3 24.15 0
0 0 -4.6
114.8 130.2 52
Al realizar la operación correspondiente tenemos que
-222.18 0 -222.18
-55.545 55.545 0
0 0 0
-2772.42 299.46 -2472.96
Los números resaltados en amarillo son los nuevos valores que colocaremos en la primera matriz primer renglón, como podemos observar al efectuar esta operación obtuvimos obtuvimos el sexto cero.
-222.18 0 0
0 24.15 0
0 0 -4.6
-2472.96 130.2 52
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PASO 7 Como ya obtuvimos todos los ceros de la matriz procedemos a obtener la diagonal de unos de la siguiente manera El renglón 1 lo dividimos por -222.18 y el resultado lo colocaremos en la matriz principal El renglón 1 sería igual a 1
0
0
11.13
El renglón 2 lo dividimos por 24.15 y el resultado lo colocaremos en la matriz principal El renglón 2 sería igual a
0
1
0
5.391304
El renglón 3 lo dividimos por 4.6 y el resultado lo colocaremos en la matriz principal El renglón 2 sería igual a 0
0
1
-11.3043
Respuesta matriz final 1 0 0
0 1 0
0 0 1
11.13 Cantidad de producto A 5.39 Cantidad de producto B -11.30 Cantidad de producto C
La unidad de estos resultados está en onzas
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