Instituto Tecnológico De Lázaro Cárdenas
5° Semestre Asignatura: Estadística Inferencial II Profesor: Lic. Isaac Vázquez Esqueda Unidad 5 Diseño Experimental con bloques al azar y diseños factoriales. Alumna: Arantza Aquino Prado Cd. Lázaro Cárdenas, Mich. A 30 de noviembre del 2013.
Diseño experimental que sirve para estudiar el efecto individual y de interacción de varios factores sobre una o varias respuestas .Es decir lo que se busca es estudiar la relación entre factores y la respuesta, con la finalidad de conocer mejor como es esta relación y generar conocimiento que permita tomar acciones y decisiones que mejoren el desempeño de proceso.2Estadistica II Diseño factorial Uno de los objetivos particulares más importantes que en general tiene un diseño factorial es determinar una combinación de niveles de los factores en la cual el desempeño del proceso sea mejor que en las condiciones de operación actuales, es decir, encontrar nuevas condiciones de operación que eliminen o disminuyan cierto problema de calidad en la variable de salida.
Contenido temático
Unidad 5: Diseño experimental con bloques al azar y diseños factoriales. 5.1 Metodología del diseño experimental de bloques al azar. 5.2 Diseño de experimentos factoriales. 5.3 Diseño factorial 2k 5.4 Diseño de cuadrados latinos. 5.5 Diseño de cuadrados grecolatinos. 5.6 Aplicaciones.
Unidad 5 5.1 METODOLOGÍA DEL DISEÑO EXPERIMENTAL DE BLOQUES AL AZAR. En muchos problemas de diseño experimental es necesario diseñar el experimento de modo que sea posible controlar la variabilidad generada por un factor indeseable. El procedimiento general para el diseño aleatorizado por bloques completos consiste en seleccionar b bloques y realizar una réplica completa del experimento en cada uno de ellos. En cada bloque existen a observaciones (una por cada nivel del factor), y el orden en que se toman estas observaciones se asigna de manera aleatoria dentro del bloque. Suponga que tiene interés en un solo factor que tiene a niveles, y que el experimento se efectúa en b bloques. Las observaciones pueden presentarse con el modelo estadístico lineal Donde μ es la media global, iτ es el efecto del i-ésimo tratamiento, jβ es el efecto del j ésimo bloque y jiε es el término de error aleatorio, el cual se supone que tiene una distribución normal e independiente con media cero y varianza ().En principio, los efectos de los tratamientos y de bloques son considerados como factores fijos. Por otro lado, los efectos de los tratamientos y de los bloques son definidos como desviaciones de la media global. Modelo Estadístico Para este diseño el modelo lineal esta dado por
Donde del
es
la media global de los tratamientos, es el efecto tratamiento el cual es constante para todas las observaciones
dentro del tratamiento, es el efecto del bloque, es el término del error aleatorio, el cual se distribuye normal e independiente con media 0 y varianza
. Las restricciones del modelo son
Estimación de parámetros Al aplicar el método de mínimos cuadrados, se obtiene como estimadores de los parámetros
Tabla Anova - Análisis de Varianza La tabla de análisis de varianza para este diseño se presenta a continuación: Tabla 02. Análisis de varianza para un diseño de bloques completos al azar
Causa de Grados de variación libertad
Suma de cuadrados
Cuadrado medio
Tratamient os Bloques
Error
Total
Para contrastar las hipótesis de no efectos de tratamientos
Valor esperado de cuadrados medios
Se puede utilizar el cociente
ya que si que
es cierta
y así
es un estimador intestado de
, lo cual quiere decir y como además
es también un
estimador de entonces de tienen dos estimadores intestados de tanto su cociente deber ser un valor estadísticamente cercano a 1.
y por
Supuestos del modelo El residual en un diseño de bloques completos al azar es dado por
Los supuestos del modelo son: El modelo es aditivo, es decir no existe interacción entre bloques y tratamientos Las variables aleatorias error Las variables aleatorias error
se distribuyen normal con media cero son no correlacionadas (independientes)
Otra manera de enunciar los supuestos es: . Los efectos de tratamientos y bloques son aditivos; las respuestas dentro de los bloques tienen la misma tendencia con respecto a los efectos de los tratamientos. Las observaciones en las tamaño 1 de cada una de las normalmente distribuidas,
celdas constituyen muestras aleatorias de poblaciones Todas las poblaciones son
Las varianzas de cada una de las
poblaciones son iguales
Si la primera condición se tiene se dice que los efectos de bloques y tratamientos no interactúan y una prueba para la no aditividad es debida a Tukey (1949) y Ascombe. Validación de los supuestos del modelo Antes de conocer los métodos de validación de supuestos es importante hacer las siguientes observaciones: 1. La desviación relativamente grande del supuesto de homogeneidad de varianzas tiene muy poco efecto sobre el nivel de significancia, aunque este puede ser mayor que el nivel dado, el poco efecto es debido a que los tratamientos son igualmente replicados. 2. La no actividad puede ser más seria ya que puede aumentar el estimado del error experimental (CM resultando en posibles fallas para detectar diferencias reales de los tratamientos. 3. Antes de probar cualquier supuesto se debe asegurar que no existan valores outlier en los datos. Algunos trabajos han venido desarrollándose para detectar outlier en clasificaciones a dos vías que incluyen el DBC. Cuando el diseño tiene residuales con varianza común, como podría ser el caso de diseños balanceado, la mejor prueba para detectar un solo outlier es basada en el máximo residuo normalizado (MRN) Stefansky (1972) describe un método general para calcular valores críticos del MRN y provee tablas para el caso de dos vías de clasificación con una observación por celda. Para algunos valores de solamente acotados para valores críticos pueden ser obtenidos. Esas tablas son reproducidas en Martin Tablas C- 6a y C- 6b. Las clasificaciones filas y columnas son intercambiables. El máximo residuo normalizado es dado por:
Donde: y es el mayor residual en valor absoluto. Si este valor excede el valor crítico de tabla, la observación es declarada como un outlier potencial. Estas deben ser localizadas y examinadas para buscar causas asignables. La eliminación arbitraria de valores extremos debe evitarse.
Homogeneidad de varianza
La prueba gráfica de igualdad de varianza es graficar los residuales contra los valores predichos ( si existe algún patrón especial que muestre mayor dispersión para un lado de la gráfica se puede decir que no hay homogeneidad de varianza. Las pruebas analíticas para igualdad de varianza dadas por el DCA no son aplicables a bloques ya que no se tienen estimadores independientes de las varianzas de los tratamientos. Existen algunos procedimientos, pero quizá el más simple es el desarrollado por Han ( DBC y asume:
. Esta prueba es especialmente para un
Las poblaciones muestreadas sean normalmente distribuidas Los errores son igualmente correlacionados dentro de los bloques, pero son independientes entre bloques. La prueba estadística es:
Donde el estimado de la varianza para el tratamiento
es:
Donde es el número de bloques y los son los residuales en el tratamiento . Note que la varianza no es calculada directamente de los datos, por ello la no independencia de las varianzas. Observe que para el calculo de la varianza del tratamiento 1 utiliza a la medias de los bloques, tratamiento 2 utiliza también a a la medias de los bloques
, y para el .
Los valores críticos de la prueba estadística son basados sobre puntos de porcentaje de la distribución rango estudentizado Fmax.
en vez de la distribución
Se
homogeneidad
rechaza
la
varianzas
hipótesis
de
si
de
. Los puntos de porcentaje
de han sido tabulados por Harter (1960) y pueden ser obtenidos en la tabla C-7 de Martin. Ejemplo Los datos presentados son tomados de Graybill (1954) de ensayos de variedades de trigo. Cuatro variedades de trigo crecieron en cada una de trece localidades del estado de Oklahoma. Las respuestas en bushels por acre, son dadas en la tabla. variedades Loc.
1
2
3
4
1
43.60
24.05
19.47
19.41
2
40.40
21.76
16.61
23.84
3
18.08
14.19
16.69
16.08
4
19.57
18.61
17.78
18.29
5
45.20
29.33
20.19
30.08
6
25.87
25.60
23.31
27.04
7
55.20
38.77
21.15
39.95
8
55.32
34.19
18.56
25.12
9
19.79
21.65
23.31
22.45
10
46.24
31.52
22.48
29.28
11
14.88
15.68
19.79
22.56
12
7.52
4.69
20.53
22.08
13
41.17
32.59
29.25
43.95
33.29
24.05
20.70
26.16
Las varianzas muéstrales de los tratamientos son:
Por
consiguiente
.
Tomando
, y el aproximado percentil cinco de prueba la hipótesis nula de igualdad de varianzas es rechazada.
. Bajo esta
La Aditividad del modelo Este es un problema más serio que la homogeneidad de varianzas. Cuando no existe aditividad el estimado del error experimental es inflado resultando así un sesgo negativo para la prueba de tratamientos. Aunque una prueba significante para tratamientos implicaría diferencias entre las medias de los tratamientos, una prueba no significativa no necesariamente implica que no hay efecto de las medias de los tratamientos. Para detectar la no aditividad gráficamente, se debe realizar un gráfico de dispersión entre los residuales (eje Y) y los valores predichos (eje X). Una tendencia cuadrática en el gráfico indica la presencia de no aditividad transformable, esto es, no aditividad que puede ser removida por la aplicación de una transformación. Para determinarla naturaleza de la no aditividad, considere el modelo para el diseño de bloques completos al azar con interacción
Donde
es la componente de interacción (no aditividad). Existe aditividad
cuando se cumple que
para todo
y .
TUKEY(1949a), desarrolló una prueba de un solo grado de libertad para determinar si existe el efecto de interacción, asumiendo un modelo de la forma
Es decir, este procedimiento supone que la forma de interacción es particularmente simple o sea
Donde
es una constante desconocida.
Note que cada celda contiene exactamente observaciones que en el caso de bloques completos es una. Si se define la interacción de esta forma, puede usarse
el método de regresión para probar la significancia de este término, al probar la hipótesis
. La tabla de ANOVA es dada por:
Causa de
Grados de Suma de C.M
variación
libertad
cuadrados
Tratamientos
t-1
SC
Bloques
b-1
Residual
(t-1)(b-1)
Error
(t-1)(b-1)-1
No aditividad
1
TOTAL
N-1
SC
SC SC
Acombe (1961) propuso una prueba general que puede ser usada para cualquier modelo lineal, incluyendo modelos de regresión
Donde
es dado en la instrucción
Utilizando SAS
Data TRIGO; Input LOC VAR Y; Cards;
; PROC GLM; CLASS Bloque Ttos; MODEL Y= Bloque Ttos; OUTPUT OUT= VALIDA PREDICTED (o P)=PRE RESIDUAL (o R)= RES; DATA NUEVO; SET VALIDA; Y2= PRE*PRE; Z= RES*Y2; DROP PRE RES;/*excluye las variables PRE y RES*/ PROC MEANS DATA= NUEVO SUM; VAR Z; PROC ANOVA; CLASS Bloque Ttos; MODEL Y2=Bloque Ttos/SS1; RUN; El numerador de la suma de cuadrados de la no aditividad es el cuadrado del total de SUM de Z = 15957.55 y el denominador es la Suma de cuadrados del error para el ANOVA obtenido en la instrucción MODEL Y2=Bloque Ttos/SS1 dado por
SC = 265419.94079804. Luego la suma de cuadrados de no aditividad es dado por
Causa de
Grados de Suma de
Cuadrado
variación
libertad
cuadrados
medio
Tratamientos 3
1106.6
Bloques
12
Residual
36
Error*
35
F
Valor p
368.9
6.55
0.001
3118.2
259.8
4.62
0.000
2026.91
56.3
No aditividad 1
SC
TOTAL
6251.6
51
Donde
La hipótesis a probar es
La hipótesis de aditividad es rechazada al nivel 5%.
Ejercicio Suponga la siguiente tabla de un BC Tratamientos Bloques A
B
C
1
4
7
4
2
4
4
4
3
2
5
2
Qué hacer si no se cumple el supuesto de aditividad Cuando no se cumple del supuesto de aditividad se pueden presentar los siguientes problemas: si el investigador quiere comparar y hacer recomendaciones sobre los tratamientos, la presencia de interacción entre los bloques y los tratamientos implica que tales comparaciones no son la misma para todos los bloques. Por consiguiente hacer comparaciones de la manera usual; por medio de las medias de tratamientos , puede representar una idea equivocada. También, como lo mostró Kempthorne (1952, Sección 8.3), con la no aditividad no es posible obtener un ``razonable'' error estándar para la comparación de los tratamientos. Y finalmente, la no aditividad en una tabla a dos vías puede ser debida a interacción o a la no homogeneidad de varianzas. La no aditividad puede conllevar a diferentes acciones dependiendo de la forma de construcción de los bloques: aquellos construidos de manera ``natural'' dividendo las unidades experimentales heterogéneas existentes en grupos homogéneos y aquellos donde los bloques son introducidos por el investigador en la forma de factores de bloqueo, principalmente para ampliar las inferencias acerca de los tratamientos. Como una ilustración del primer caso puede ser que las unidades experimentales sean las hojas de las plantas y que las plantas sean los bloques. El segundo caso puede ser representado como por un experimento con plantas como unidades experimentales y los bloques las diferentes variedades de plantas. En el primer caso claramente cualquier intento por explicar o modelar la no aditividad no es de valor con respecto a la comparación de los tratamientos. En vez de esto se puede remover tal no aditividad a través de una transformación disponible usando los métodos de transformación. En este caso es útil realizar un
gráfico del valor absoluto de los residuales observaciones datos.
contra las
para tener alguna idea sobre la transformación apropiada de los
En el segundo caso puede ser muy importante modelar la posible no aditividad como un significado de la interpretación diferencial de los efectos de tratamientos. En efecto, en este caso las interacciones entre bloques y tratamientos pueden ser más importantes que los mismos efectos de tratamientos. Se puede sugerir entonces que en lo posible se utilice un diseño diferente como el diseño de bloques generalizado. 5.2 DISEÑO DE EXPERIMENTOS FACTORIALES. En cualquier experimento diseñado, es siempre importante examinar los residuos y verificar si se violan las suposiciones básicas (Normalidad, Independencia, Aditivita e Igualdad de varianzas) que pueden invalidar los resultados. Los valores de los residuos del diseño aleatorizado por bloques completos se obtienen, como es usual, por la diferencia entre los valores observados y los estimados El análisis de varianza del modelo supone que las observaciones están distribuidas de manera normal e independiente, con la misma varianza para cada tratamiento o nivel del factor. Estas suposiciones deben verificarse mediante el análisis de los residuos. La suposición de normalidad puede verificarse mediante la construcción de una gráfica de probabilidad normal de los residuos. Para esto, los residuos se agrupan en una tabla de distribución de frecuencias, se calcula la frecuencia relativa acumulada para cada valor y se grafican en una hoja de papel de probabilidad normal. Si la suposición es válida los puntos tenderán a agruparse sobre una línea recta que pasa por el punto medio. Así, por ejemplo, si el diseño experimental es bloques al azar, el modelo es: yij = µ + τi + βj + ǫij Respuesta = media general + efecto de tratamiento + efecto de bloque + error Si se trata de un diseño factorial, los tratamientos se forman combinando los niveles de los factores en estudio, de manera que el efecto del tratamiento τi se considera a su vez compuesto de los efectos de los factores y sus interacciones. Por ejemplo, si son dos factores en estudio se tiene: τi = τkl = αk + γl + ξkl
Tratamiento = factor A + factor B + interacción AB Haciendo una equivalencia entre los valores de i y los de k y l suponiendo que el factor A tiene K niveles y el factor B L: i k l 1 11 2 12 3 13 .. .. .. t K L Y el modelo resultante es: yklj = µ + αk + γl + ξkl + βj + ǫklj Es poco usual tener diseños experimentales muy complicados en los experimentos factoriales, ya que se discuta el análisis y la interpretación. Las ventajas de los experimentos factoriales son: 1. Economía en el material experimental al obtener información sobre varios factores sin aumentar el tamaño del experimento. Todas las u.e.se utilizan para la evaluación de los efectos. 2. Se amplía la base de la inferencia en relación a un factor, ya que se estudia en las diferentes condiciones representadas por los niveles de otros factores. Se amplía el rango de validez del experimento. 3. Permite el estudio de la interacción, esto es, estudiar el grado y forma en la cual se modifica el efecto de un factor por los niveles de los otros factores. Una desventaja de los experimentos factoriales es que requiere un gran número de u. E., sobre todo cuando se prueban muchos factores o muchos niveles de algunos factores, es decir, se tiene un número grande de tratamientos. (Factoriales fraccionales) Suponga un diseño con dos factores: A con a niveles y B con b niveles, en diseño completamente al azar. (Factorial a × b completo, balanceado, efectos fijos) Sea yijk la respuesta para la k-ésimau.e. del nivel i de A y j de B. yijk = µ + τi + βj + γij + ǫijk
i = 1,. . ., a j = 1, . . ., b k = 1, . . ., n Las hipótesis que se prueban son: H01 :γij = 0 ∀i, j H02 :τi + ¯γi. = 0 ∀ i H03 : βj + ¯γ.j = 0 ∀ j Tipo de Temperatura (F) Material
15
1 130 155
70 125
34 40
74 180 80 75
20 70
82 58
2 150 188 136 122 25 70 159 126 106 115 58 45 3 138 110 174 120 96 104 168 160 150 139 82 60 El ingeniero quiere contestar las siguientes preguntas: 1. Qué efectos producen el material y la temperatura en la vida de la batería? 2. Existe un material que produzca uniformemente más larga vida a la batería sin importar la temperatura? diseño completamente al azar, experimento balanceado, completo, factores fijos. Una observación por celda Suponga un experimento con dos factores A con a niveles y B con b niveles y una sola repetición en cada celda (tratamiento). El modelo con interacción es: yij = µ + τi + βj + (τβ)ij + ǫiji = 1, . . ., a j = 1, . . ., b F.V.
g.l.
E(CM)
A
a−1
σ2 + bθ2ª
B
b−1
σ2 + aθ2b
AB (a − 1)(b − 1) σ2 + θ2ab Error
0
Total
ab − 1
σ2
σ2 no se puede estimar, por lo tanto no hay prueba para los efectos principales a menos que no haya interacción, y entonces el modelo es yij = µ + τi + βj + ǫij ESTE ES EL CASO DE BLOQUES AL AZAR. El Diseño Factorial General. Balanceado El diseño factorial de dos factores se puede generalizar atener p factores: A con a niveles B con b niveles .............. En general, habrá abc · · · n observaciones si hay n repeticionesdel experimento completo. Debe haber por lo menos 2 repeticiones (n ≥ 2) para podercalcular σˆ2 si todas las posibles interacciones están incluidas en el modelo. Tres factores El modelo para un factorial de tres factores en diseño completamente al azar: yijkl = µ+τi+βj +γk+(τβ)ij +(τγ)ik+(βγ)jk+(τβγ)ijk+ǫijkl i = 1,. . ., a; j = 1, . . ., b; k = 1, . . ., c; l = 1, . . ., n Ejemplo: Se desea obtener más uniformidad en el llenado de botellas de refresco. La máquina de llenado teóricamente llena cada botella a la altura correcta, pero en la práctica hay variación, y la embotelladora desea entender mejor las fuentes de esta variabilidad para eventualmente reducirla. El ingenio de procesos puede controlar tres factores durante el proceso de llenado:
El % de carbonato (A), la presión del llenado (B) y las botellas llenadas por minuto (velocidad de la línea) (C). 5.3 DISEÑO FACTORIAL 2^k En ocasiones, cuando se utiliza un diseño aleatorizado por bloques completos, alguna de las observaciones en uno de los bloques puede faltar. Esto sucede debido algún descuido o error, o por razones fuera del control del experimentador, como sería el caso de la pérdida de alguna unidad experimental. Una observación faltante introduce un nuevo problema en el análisis, ya que los tratamientos dejan de ser ortogonales a los bloques. En otras palabras, cada tratamiento no ocurre en cada bloque. Existen dos formas generales de resolver el problema de los valores faltantes. La primera es un análisis aproximado en el que se estima la observación faltante. A continuación se efectúa el análisis de varianza usual como si la observación estimada fuera un dato real, disminuyendo los grados de libertad del error en uno. La segunda es un análisis exacto usando la prueba de significancia de regresión general. Suponga que falta la observación correspondiente al tratamiento i y al bloque j. Esta observación se representa mediante x el gran total con una observación faltante se representará mediante y los totales del tratamiento y del bloque con un dato faltante como y, respectivamente. Supongamos, además, que para estimar la observación faltante se elige x, de manera que tenga una contribución mínima a la suma de cuadrados del error. Como la suma de cuadrados del error está dada en donde R incluye todos los términos que no contienen a x. Al derivar la SCE con respecto a x e igualar a cero se obtiene Como un estimador para la observación faltante. El efecto de un factor se define como el cambio en la respuesta producida por un cambio en el nivel del factor. Con frecuencia, éste se conoce como efecto principalporque se refiere a los factores de interés primordial del experimento. Por ejemplo, consideremos los datos de la tabla 1. El efecto principal del factor A podría interpretarse como la diferencia entre la respuesta promedio en el primer y segundo nivel de ese factor. Numéricamente A
40 52
Tabla 1 Un experimento factorial
2
20 30 2
21
En otras palabras incrementar el factor A del nivel 1 al 2 produce un cambio en la respuesta promedio de 21 unidades. Similarmente, el efecto principal de B es: B
30 52
20 40
2
11
2
Si los factores tienen más de dos niveles, el procedimiento anterior debe ser modificado ya que las diferencias entre las respuestas promedio pueden expresarse de muchas formas. En algunos experimentos puede encontrarse que la diferencia en la respuesta entre los niveles de un factor no es la misma en todos los niveles de los otros factores. Cuando esto ocurre existe una interacción entre los factores. Por ejemplo, considérense los datos de la Tabla 2.
Factor B B1
B2
A1
20
40
A2
50
12
Factor A
Tabla 2. Un experimento factorial con interacción En el primer nivel del factor B, el efecto de A es: A = 50 - 20 = 30 Mientras que en el segundo nivel de B, el efecto de A es: A = 12 - 40 = 28 Puede observarse que existe una interacción entre los factores A y B porque el efecto de A depende del nivel elegido de B.
Estas ideas pueden ilustrarse gráficamente. En la Fig. 1 se muestra una gráfica de la respuesta de los datos de la Tabla 1 contra los niveles del factor A para ambos niveles del factor B. Se observa que las rectas B1 y B2 son, aproximadamente, paralelas. Esto indica que no hay interacción entre los factores. De manera similar, en la Fig. 2 se presenta una gráfica de la respuesta de los datos de la Tabla 2.
60
B2
Respuesta
50
B1
40 30 20 10
B2 B1 A1
Factor A
A2
Figura 1 Un experimento factorial sin interacciones En este caso se ve que las rectas B1 y B2 no son paralelas. Esto muestra que existe una interacción entre A y B. Sin embargo, no debe ser la única técnica para analizar los datos, porque su interpretación es subjetiva y su apariencia, a menudo, es engañosa. 60
Respuesta
50 40
B1 B2
30 20 10
B1
B2
A1
Factor A
A2
Figura 2 Un experimento factorial con interacciones Hay que notar que cuando una interacción es grande los correspondientes efectos principales tienen poco significado práctico. Una estimación del efecto principal de A de los datos de la Tabla 2 es: A
50 12 2
20 40 2
1
El cual resulta ser muy pequeño corriéndose el riesgo de concluir que no existe un efecto debido a A. Sin embargo, cuando se examinó el efecto de A en niveles diferentes de B se concluyó que éste no era el caso. El factor A tiene un efecto, pero depende del nivel del factor B. En otras palabras, es más útil conocer la interacción AB que el efecto principal. Una interacción significativa oculta a menudo el significado de los efectos principales. Ventajas de los diseños factoriales Las ventajas de los diseños factoriales pueden ilustrarse fácilmente. Supongamos que se tienen dos factores, A y B, cada uno con dos niveles. Estos niveles se representan mediante A1, A2, B1 y B1. La información acerca de ambos factores puede obtenerse variando un factor a la vez como aparece en la tabla 3. El efecto de variar el factor A está dada por A2B1 -A1B2. A causa de que existe error experimental, es conveniente realizar, por ejemplo, dos observaciones de cada combinación de tratamientos y hacer una estimación de los efectos de los factores usando las respuestas promedio. Por lo tanto, se requiere un total de seis observaciones. Factor B B1
B2
A1
A1B1
A1B2
A2
A2B1
12
Factor A
Tabla 3 El método de un factor a la vez Los diseños factoriales poseen algunas ventajas.
Son más eficientes que los experimentos de un factor a la vez.
Los diseños factoriales son necesarios cuando alguna interacción puede estar presente, para evitar hacer conclusiones engañosas.
Los diseños factoriales permiten estimar los efectos de un factor en diversos niveles de los otros factores, produciendo conclusiones que son válidas sobre toda la extensión de las condiciones experimentales.
2. Diseño factorial de dos factores 2 El primer diseño de la serie 2 es aquel en el que solo dos factores, A y B, cada
uno con dos niveles. Este diseño se conoce como diseño factorial 22. Arbitrariamente, los niveles del factor pueden llamarse “bajo” y “alto”. Ejemplo 1 Considérese una investigación llevada a cabo para estudiar el efecto que tiene la concentración de un reactivo y la presencia de un catalizador sobre el tiempo de reacción de un proceso químico. Sea la concentración del reactivo el factor A con dos niveles de interés, 15% y 20%. El catalizador constituye el factor B; el nivel alto o superior denota el uso de dos sacos de catalizador y el nivel bajo o inferior denota el uso de un solo saco. El experimento se realiza (“replica o repite”) tres veces, y los datos son como sigue:
En la figura 4 siguiente se presentan gráficamente las combinaciones de tratamiento para este diseño, el efecto de un factor se denota por la letra latina minúscula. De este modo, “A” se refiere al efecto del factor “A”, y “B” se refiere al efecto del factor “B”, y “AB” se refiere a la interacción entre AB. En el diseño 2 2 los niveles bajo y alto de A y B se denotan por “-“ y “+” respectivamente, en los ejes A y B. Así – en el eje B representa el nivel bajo de catalizador mientras que + denota el nivel alto.
Combinación de
Replica
tratamientos
I
II
III
Total
A baja, B baja
28
25
27
80
A alta, B baja
36
32
32
100
A baja, B alta
18
19
23
60
A alta, B alta
31
30
29
90
Las cuatro combinaciones de tratamientos en el diseño pueden representarse por letras minúsculas, cono se muestra en la figura 3. En esta figura se aprecia que el nivel superior de cualquier factor de una combinación de tratamientos esta representado por la presencia de la letra minúscula correspondiente, mientras que la ausencia de esta ultima representa el nivel inferior del factor. Así
“a” representa la combinación de tratamientos, en la que A se encuentra en el nivel superior y B en el nivel inferior;
“b” representa aquella en la que A se halla en el nivel inferior y B en el superior, y
“ab” representa a ambos factores en el nivel superior.
Por convención (1) se usa para representar a ambos factores en el nivel inferior.
El efecto promedio de un factor se define como el cambio en la respuesta producida por un cambio en el nivel de ese factor, promediado sobre los niveles del otro factor.
Como se ilustra en la figura 3, las letras minúsculas (1), a, b y ab también se usan para representar los totales de las n replicas de las combinaciones de tratamientos correspondientes. Ahora bien, el efecto de A en el nivel B es {a-(1)}/n. Mientras que el nivel superior B es {ab-b}/n. Tomando el promedio de estas dos cantidades se obtiene: A
1 2n
ab b a (1)
1 2n
ab a b (1)
Cantidad de catalizador B
Alto (2 sacos) +
bajo (1 saco) -
b = 60(18+19+23)
ab = 90(31+30+19)
(1) = 80(28+25+27)
a = 100(36+32+32)
bajo (15%)
+ alto (20%)
Concentracion de reactivo A Figura 1: Combinaciones de tratamiento en el diseño factoriall
El efecto promedio de B se determina a partir de su efecto en el nivel inferior de A (esto es, {b-(1)}/n, y de su efecto en el nivel superior de A (que es igual a [ab-a]/n obteniéndose: B
1
ab a b (1)
2n
ab b - a (1)
1 2n
El efecto de la interacción AB se define como la diferencia promedio entre el efecto de A en el nivel superior de B y su efecto en el nivel inferior de B, así: AB
1
ab b a (1)
2n
ab (1) a (b)
1 2n
Por otro lado se puede definir AB como la diferencia promedio entre el efecto de B en el nivel superior de A y el efecto de B en el nivel inferior de A. Las formulas para los efectos de A, B y AB pueden deducirse por otro método. El efecto de A puede hallarse como la diferencia en la respuesta promedio de las dos combinaciones de tratamiento en la mitad derecha (que llamaremos Y A+, puesto que es la respuesta promedio para las combinaciones de tratamientos a las que A que se encuentra en el nivel alto) y las dos combinaciones de tratamientos en la mitad izquierda (o Y A). Esto es, A YA YA
ab a 2n
b (1) 2n
ab
1
a b (1)
2n
Este es exactamente el mismo resultado, el efecto de B se encuentra como la diferencia entre el promedio de las dos combinaciones de tratamientos en la parte superior del cuadrado ( Y B+) y el promedio de las dos combinaciones de tratamientos en la parte inferior ( Y B-), o B YB YB
ab b
a (1)
2n
1
2n
ab b a (1)
2n
Finalmente el efecto de interacción AB es el promedio de las combinaciones de tratamientos en la diagonal de derecha a izquierda del cuadrado ab y (1) menos el promedio de las combinaciones de tratamientos en la diagonal de izquierda a derecha (a y b), o AB
ab (1) 2n
1
a b 2n
ab (1) a b
2n
Con los datos que aparecen
en la figura 1, las estimaciones de los efectos
promedio son: A
1
90 100 60 80 8.33
2(3)
B
1 2(3)
90 60 100 80
5.00
AB
1
90 80 100 60 1.67
2(3)
El efecto de A (concentración de reactivo) es positivo; esto sugiere que al elevar A del nivel bajo (15%) al nivel alto (25%) incrementará el rendimiento. El efecto de B (catalizador) es negativo; esto sugiere que elevar la cantidad del catalizador agregada
al proceso reducirá el rendimiento. Al parecer, el efecto de
interacciones es pequeño comparado con los dos efectos principales. En muchos experimentos que implican diseños 2K se examina la magnitud y la dirección de los efectos de los factores para determinar cuales variables es probable que sean importantes. Por lo general puede emplearse el análisis de varianza para confirmar esta interpretación. En el diseño 2k existen algunos métodos rápidos especiales para realizar los cálculos del análisis de varianza. Consideremos la suma de cuadrados para A, B y AB.
Obsérvese la primera
ecuación que se utiliza un contraste para estimar A; esto es,
ContrasteA ab a b (1) Este contraste suele llamarse efecto total de A. A partir de la segunda y tercera ecuación, puede apreciarse que también se utilizan contraste para estimar B y AB. Además, estos tres contrastes son ortogonales. La suma de cuadrados de cualquiera de ellos puede calcularse usando la siguiente ecuación: SSc
aci yi .2 1
2 na a ci
.
Esta ecuación establece que la suma de cuadrados de contraste es igual al contraste elevado al cuadrado entre el producto del número de las observaciones de cada total del contraste por la suma de cuadrados de los coeficientes del mismo. En consecuencia, se obtiene que las sumas de cuadrados de A, B y AB sean:
SSA
ab a b (1)2 n * 4
SSB
ab b a (1)2 n * 4
SSAB
ab (1) a b 2 n * 4
Con los datos de la figura 1, las sumas de cuadrados se pueden calcular aplicando las ecuaciones anteriores, obteniéndose:
SSA
50
2 208.33
4(3) SSB
30
2 75.00
4(3) SSAB
10
2 8.33
4(3)
La suma total de cuadrados se determina de la manera usual mediante: 2 Y ... 2 2 n SST i2 ijk 1 j1 k 1 Y 4n
En general SST tiene 4n –1 grados de libertad. La suma de cuadrados del error, con 4(n-1) G.L. se puede calcular en la forma usual, por diferencia, mediante. 2 2 2 3 Y 2 SS E Yi jk 9398.00 9075.00 323.00 i 1j 1k 1 4(3)
SS E SS T SS A SS B SS AB
323.00 208.33 75.00 8.33 31.34
El análisis de varianza completo se presenta en la tabla siguiente. Ambos efectos principales son significativos al 1%. A menudo se es conveniente escribir las combinaciones de tratamientos en el orden (1), a, b, y ab. Este orden se conoce como orden estándar. Cuando se utiliza es posible apreciar que los coeficientes de los contrastes usados para estimar los efectos son
Efectos (1) a
b
Ab
A:
-1 +1 -1 +1
B:
-1 -1 +1 +1
AB:
+1 -1 -1 +1
Tabla ANOVA para los datos del ejemplo 3.1 es la siguiente:
Fuente de
a
significativo al 1%
variación
SS
G.L. MS
Fo
A
208.33 1
208.33 53.15a
B
75.00
1
75.00
19.13a
AB
8.33
1
8.33
2.13
Error
31.34
8
3.92
Total
323.00 11
Signos algebraicos para calcular los efectos en un diseño 22 Combinación
Efecto Factorial
De Tratamientos I A B AB (1)
+ - - +
a
+ + - -
b
+ - + -
ab
+ + + +
Observe que los coeficientes de los contrastes usados para estimar la interacción son iguales al producto de los coeficientes correspondientes a los dos efectos principales. Los coeficientes de los contrastes siempre son +1 o –1 y se puede usar una tabla de signos positivos y negativos como la mostrada en la de signos algebraicos para determinar el signo apropiado de cada combinación de tratamientos. En el encabezado de las columnas de tabla y se encuentran los efectos principales (A y B), la interacción AB, e I, que representa el total el total o el promedio de todo el experimento. Se observa que la columna encabezada por I se compone de solo de signos positivos. Los renglones corresponden a las combinaciones de tratamientos. Para encontrar un contraste con el fin de estimar cualquier efecto, simplemente se multiplican los signos de la columna apropiada de la tabla por la correspondiente combinación de tratamientos, y se suma. Por ejemplo, el contraste para estimar A es –(1) + a – b + ab, lo cual concuerda con la ecuación. A
1 2n
ab b a
(1)
1 2n
ab a
b (1)
Los tipos más sencillos de diseños factoriales implican sólo dos factores o conjuntos de tratamientos. Haya “a” niveles del factor A y “b” niveles del factor B,dispuestos en un diseño factorial; esto es, cada A repetición o réplica del experimento contiene todas las combinaciones de tratamiento ab. En general, hay nrepeticiones. 5.4 DISEÑO DE CUADROS LATINOS. Un diseño cuadrado latino para p factores, o un cuadrado latino p x p, es un cuadrado que contiene p renglones y p columnas. Cada una de las p2 celdas contiene una de las p letras que corresponde a un tratamiento, y cada letra aparece una sola vez en cada renglón y columna. El diseño cuadrado latino se usa para eliminar dos fuentes de variabilidad problemáticas; en otras palabras, permite analizar sistemáticamente por bloques en dos direcciones. A continuación se presentan algunos ejemplos de cuadrados latinos. En donde: Kjiy= observación correspondiente al i-ésimo renglón, la k-ésima columna y el jésimo tratamiento Μ= la media general Iα= es el i-ésimo efecto de renglón Jτ= es el j-ésimo efecto de tratamiento Kβ= es el k-ésimo efecto de la columna Kjiε= es el error aleatorio El modelo es completamente aditivo, en otras palabras, no existe interacción entre los renglones, las columnas y los tratamientos. Sólo dos de los subíndices i, j y k se requieren para especificar una observación en particular porque únicamente hay una observación en cada celda. El análisis de varianza consiste en descomponer la suma total de cuadrados de las observaciones en sus componentes de renglón, columna, tratamiento y error Cuyos grados de libertad. Bajo la suposición de que el error aleatorio se distribuye en forma normal e independiente, cada una de las sumas de cuadrados es al dividir entre, variables aleatorias independientes con distribución ji-cuadrada. Los diseños en cuadrados latinos son apropiados cuando es necesario controlar dos fuentes de variabilidad. En dichos diseños el número de niveles del factor
principal tiene que coincidir con el número de niveles de las dos variables de bloque o factores secundarios y además hay que suponer que no existe interacción entre ninguna pareja de factores. Supongamos que el número de niveles de cada uno de los factores es K. El diseño en cuadrado latino utiliza K2bloques, cada uno de estos bloques corresponde a una de las posibles combinaciones de niveles de los dos factores de control. En cada bloque se aplica un solo tratamiento de manera que cada tratamiento debe aparecer con cada uno de los niveles de los dos factores de control. Si consideramos una tabla de doble entrada donde las filas y las columnas representan cada uno de los dos factores de bloque y las celdillas los niveles del factor principal o tratamientos, el requerimiento anterior supone que cada tratamiento debe aparecer una vez y sólo una en cada fila y en cada columna. Recibe el nombre de cuadrado latino de orden K a una disposición en filas y columnas de K letras latinas, de tal forma que cada letra aparece una sola vez en cada Fila y en cada columna. A continuación vamos a dar una forma simple de construcción de cuadrados latinos. Se parte de una primera Fila con las letras latinas ordenadas alfabéticamente
Fila 1
Columna1
Columna 2
A
B
Columna 3 C
···
Columna k
···
K
Laposición (construcción por permutación cíclica), el cuadrado así obtenido es un cuadrado latino estándar. Un cuadrado latino se denomina estándar cuando las letras de la primera Fila y la primera columna están ordenadas alfabéticamente. A parte de los cuadrados latinos así obtenidos existen otros cuadrados latinos diferentes, estándares y no estándares. En el Apéndice B se muestran algunos cuadrados latinos estándares para los órdenes 3, 4, 5, 6, 7, 8 y 9. El procedimiento para construir un diseño en cuadrado latino es el siguiente: 1) Se elige aleatoriamente un cuadrado latino de los disponibles. 2) Se asigna aleatoriamente el orden de las filas y columnas.
3) Se asignan aleatoriamente los tres factores a las filas, columnas y letras, respectivamente. Ilustremos este procedimiento con el ejemplo del rendimiento de la semilla de trigo. Al plantear este experimento se pensó que podría conseguirse mayor precisión si se controlaba la variabilidad introducida por los tipos de abono e insecticida. El instituto de experimentación agrícola está interesado en estudiar 4 tipos de semilla de trigo, (s1, s2, s3, s4) y decide realizar el experimento utilizando un diseño en cuadrado latino. Para ello selecciona 4 niveles para cada una de las variables de bloque: abono, (a1, a2, a3, a4), e insecticida, (i1, i2, i3, i4). La selección de uno de los cuadrados se hace al azar. Supongamos que el cuadrado latino elegido es el siguiente ABCD BADC CDAB DCBA A continuación, se asigna también al azar, el orden de las filas y las columnas. Supongamos que el orden seleccionado para las filas sea (2, 3, 1, 4), entonces el cuadrado latino anterior se convierte en BADC CDAB ABCD DCBA Se vuelven a generar otros 4 números aleatorios que se idéntica con el orden de las columnas de este último cuadrado. Supongamos que los números obtenidos son (4, 3, 1, 2), obteniéndose el siguiente cuadrado latino CDBA BACD DCAB ABDC
Por último, se asignan al azar las filas, las columnas y las letras latinas a los tres factores. Por ejemplo, supongamos que las filas, las columnas y las letras se asignan, respectivamente, a los tipos de insecticidas, semillas y abonos, de tal forma que el diseño resultante es Table 5-1. Semillas Insecticidess1 s2 s3 s4 i1 a3 a4 a2 a1 i2 a2 a1 a3 a4 i3 a4 a3 a1 a2 i4 a1 a2 a4 a3
Por convenio, se suele situar el factor principal, en este caso el tipo de semilla, en las Celdillas. Reordenando el diseño anterior se obtiene la siguiente tabla:7.2 Diseños en cuadrados latinos 5 Tabla 5-2. Abonos Insecticidas
a1 a2 a3 a4
i1
s4 s3 s1 s2
i2
s2 s1 s3 s4
i3
s3 s4 s2 s1
i4
s1 s2 s4 s3
En resumen, podemos decir que un diseño en cuadrado latino tiene las siguientes características: 1o) Se controlan tres fuentes de variabilidad, un factor principal y dos factores de bloque. 2o) Cada uno de los factores tiene el mismo número de niveles, K.
3o) Cada nivel del factor principal aparece una vez en cada fila y una vez en cada columna. 4o) No hay interacción entre los factores.
5.5 DISEÑO DE CUADROS GRECOLATINOS. Consideremos un cuadrado latino p × p al que se le sobrepone un segundo cuadrado latino cuyos tratamientos se designan por letras griegas. Se dice que los dos son ortogonales si al sobreponerse poseen la propiedad de que cada letra griega aparece solamente una vez con cada letra latina. El diseño cuadrado greco-latino puede utilizarse para controlar sistemáticamente tres fuentes extrañas devariabilidad. En otras palabras, se usa para hacer un análisis por bloques en tres direcciones. El diseño permite analizar cuatro factores (renglón columna, letra griega y letra latina), cada uno con p niveles, usando solamente p2 ensayos. Los cuadrados grecolatinos existen para toda excepto para p = 6. En donde: lkjiy la observación que corresponde al renglón i, la columna k, la letra latina j y la letra griega k. μ= La media general iθ= Es el efecto del i-ésimo renglón jτ= Es el j-ésimo efecto de tratamiento de las letras latinas kω= Es el k-ésimo efecto de tratamiento de las letras griegas lψ= Es el efecto de la columna l lkjiε= Es la componente del error aleatorio Sólo dos de los cuatro subíndices son necesarios para identificar completamente cualquier observación. El análisis de varianza es muy similar al de un cuadrado latino. El factor representado por las letras griegas es ortogonal a los renglones, las columnas y los tratamientos de la letra latina porque cada letra griega ocurre una sola vez en cada renglón, en cada columna y para cada letra latina. Por lo tanto la suma de cuadrados debida al factor letra griega puede calcularse usando los totales de la
letra griega. El error experimental se reduce en esta cantidad. Las hipótesis nulas de igualdad entre los renglones, entre las columnas, entre los tratamientos de la letra latina y entre los tratamientos de la letra griega pueden probarse dividiendo la media de cuadrados correspondiente entre la media de cuadrados del error Los cuadrados greco-latinos se obtienen por superposición de dos cuadrados latinos del mismo orden y ortogonales entre sí, uno de los cuadrados con letras latinas el otro con letras griegas. Dos cuadrados reciben el nombre de ortogonales si, al superponerlos, cada letra latina y griega aparecen juntas una sola vez en el cuadrado resultante. En el Apéndice C se muestra una tabla de cuadrados latinos que dan lugar, por superposición de dos de ellos, a cuadrados greco-latinos. Notamos que no es posible formar cuadrados greco-latinos de orden 6. La Tabla 5-8 ilustra un cuadrado greco-latino para K = 4 Tabla 5-8. Cuadrado greco-latino AαBβCγDδ DγCδBαAβ BδAγDβCα CβDαAδBγ Planteamiento del modelo En un diseño en cuadrado greco-latino la variable respuesta yij(hp) viene descrita por la siguiente ecuación yij(hp) = µ + τi + βj + γh + δp + ǫij(hp) i = 1, 2 . . . , K j = 1, 2 . . . , K h = 1, 2 . . . , K p = 1, 2 . . . , K Donde
,
(8.1)
µ es un efecto constante, común a todas las unidades. τi es el efecto producido por el i-ésimo nivel del factor fila. Dichos efectos están sujetos a la restricción iτi = 0. Βj es el efecto producido por el j-ésimo nivel del factor columna. Dichos efectos están sujetos a la restricción jβj = 0. Γh es el efecto producido por el h-ésimo nivel del factor letra latina. Dichos efectos están sujetos a la restricción hγh = 0. δp es el efecto producido por el p-ésimo nivel del factor letra griega. Dichos efectos están sujetos a la restricción p δp = 0. Ǫ ij(hp) son variables aleatorias independientes con distribución N(0, σ). La notación yij(hp) indica que los niveles i y j determinan los niveles h y p para un cuadrado greco-latino especificado. Es decir, los subíndices h y p toman valores que dependen de la celdilla (i, j). Se utiliza la siguiente notación: N = K2 es el número total de observaciones. El total y el promedio de todas las observaciones.
