PREDMET : SPREGNUTE KONSTRUKCIJE
Vježbe - Akademska godina 2013/2014
Sadržaj:
1. Proraun spregnutog nosa nosaa elik-beton ………………………………………………….3 2. Proraun spregnutog stupa elik-beton…………………………………………………...19 3. Proraun spregnute plo ploe elik-beton……………………………………..……………...41
1. Proraun spregnutog nosa a elik-beton
Za stati statiki sustav i popre popreni presjek prikazan na slikama ispod potrebno je izvršiti prora proraun spregnutog nosaa. Raspon nosa nosa nosaa je L=12m, popre popreni raster b=3m. Osnovni nosa nosa je od elika. Betonska plo ploa je debljine 12cm.
Slika 1. Stati Statiki sustav spregnutog nosa nosaa
Slika 2. Popre Popreni presjek spregnutog nosa nosaa
Proraunom je potrebno obuhvatiti fazu izvedbe i fazu uporabe. Prora FAZA IZVEDBE:
• • • • • • •
Proraun reznih sila Prora Klasifikacija popre poprenog presjeka Otpornost popre poprenog presjeka u polju (savijanje) Otpornost popre poprenog presjeka nad ležajem (popre (poprena sila) Dokaz u svrhu osiguranja od pojave izbo izboavanja hrpta Kontrola bo bonog torzionog izvijanja eli elinog nosa nosaa Proraun progiba (faza I. –elasti Prora –elastini progib)
FAZA UPORABE (SPREGNUTO STANJE):
• • • • • • • • •
Proraun reznih sila Prora Odreivanje efektivne širine betonske plo Odre ploe Odreivanje momenta plasti Odre plastine otpornosti Otpornost popre poprenog presjeka na posmik Odreivanje stupnja posmi Odre posmine veze i prora proraun moždanika Uzdužni posmik u AB plo ploi Proraun progiba Prora Utjecaj skupljanja betona na zakrivljenost nosa nosa a Vibracije
Statiki sustav i popre Stati popreni presjek spregnutog nosa nosaa
• •
h = 400mm G = 66.40kg / m eli elini nosa nosa IPE400: 2 A cm 8 4 , 4 6 = W pl , y = 1307.2cm3 Beton C25/30: f ck = 25 MPa f cd = Ecm
•
f ck
γ c
=
r = 21mm = 8.60mm b = 1 8 0 mm t f = 13.50mm I y = 23128cm 4 Wel , y = 1156cm3 i y = 16.55cm I t = 50.41cm 4 tw
25 = 16.67 MPa 1,50
= 31000.0MPa
elik za armiranje B500:
f yk = 500MP MPa a f yd = E s
f yk
γ s
=
500 = 434.80 MPa 1.15
= 210000.0MPa
Analiza optere optereenja za fazu izvedbe i fazu uporabe
•
1. Faza izgradnje: - g n = 0.70kN / m (vlastita težina nosa nosaa) - g pl = 0.12 ⋅ 3 ⋅ 25 = 9kN / m (težina AB plo ploe – težina svježeg betona) - pb = 0, 5 0 ⋅ b = 0 .50 ⋅ 3 .0 = 1 .5 0kN / m (pokretno opt. od betoniraca)
•
2.Faza uporabe i eksploatacije – spregnuto stanje: - g n = 0 .70kN / m (vlastita težina nosa nosaa) - g pl = 0.12 ⋅ 3 ⋅ 25 = 9kN / m (težina AB plo ploe) - ∆ g = 1 .0kN / m 2 (dodatni stalni teret na plo ploi-slojevi poda) b ⋅ ∆g = 3 ⋅ 1. 1.0 = 3.0kN / m - ∆ p = 2, 50kN / m 2 (korisno optere optereenje-uredi) p = b ⋅ ∆p = 3 ⋅ 2.50 = 7.5kN / m
FAZA IZVEDBE
Proraun reznih sila (M,V) Prora KGS (krajnje grani granino stanje) Qd=1.35g+1.5p = 1.35 (0.7+9)+1.5 (1.5) = 15.35 kN/m’ -Poprena sila na osloncu nosa -Popre nosaa (x=0): q ⋅L = 92.1kN V Ed = d 2 -Moment savijanja u sredini raspona nosa nosaa (x=L/2): q ⋅ L2 = 276.30 kNm M Ed = d 8 Klasifikacija popre poprenog presjeka
•
Pojasnica eli elinog profila: - Uvj Uvjet et za valj valjani ani prof profil il klase klase 1. (poja (pojass izlože izloženn tlaku) tlaku):: 235 235 ε = = = 0.81 S 355 b − t w − 2r 180 − 8.6 − 2 ⋅ 21 c= = = 67.7 mm = 6.47cm 2 2 c t f
c t f
≤ 9 ⋅ ε
=
64.7 = 4.8 ≤ 9 ⋅ ε = 9 ⋅ 0, 81 = 7.29 13.50
pojasnica je klase 1
•
Hrbat elinog profila: - Uvijet za valjani profil klase 1. (hrbat izložen savijanju): d t w
≤ 72 ⋅ ε
400 − 2 ⋅13.5 − 2 ⋅ 21 331 = = 38.50 ≤ 72 ⋅ ε = 72 ⋅ 0.81 = 58.32 t w 8.60 8.60 hrbat je klase 1 d
=
Popreni presjek je klase 1 Otpornost poprenog presjeka u polju (savijanje):
•
Moment plastine otpornosti (isto elini presjek – klasa 1): f yd 35.50 = 1307.2 ⋅ = 46405.6kNcm M pl ,a ,rd = Wpl , y ⋅ 1.0 γ m 0 M pl ,a ,rd = 464.06kNm > M Ed = 276.3kNm
Otpornost poprenog presjeka na poprenu silu (na osloncu):
•
Raunska otpornost na poprenu silu: Av, z
= A − 2 ⋅ b ⋅ t f + t f ⋅ (tw + 2⋅ r ) =
= 84.46 − 2 ⋅ 18 ⋅ 1.35 + 1.35 ⋅ (0.86 + 2 ⋅ 2.21) = 42.69cm 2 f y 3 35.5 3 V pl , z ,rd = Av , z ⋅ = 42.69 ⋅ = 875kN γ m 0 1.0 V pl,z ,rd
= 875kN > VEd = 92.1kN - Uvijet: V Ed < 0.50 ⋅V pl, z ,rd V Ed
= 92.1kN < 0.50 ⋅ 875 = 437.5kN
NAPOMENA: Proraun zadovoljava te se uinak poprene sile na otpornost poprenog presjeka na savijanje može se zanemariti. Dokaz u svrhu osiguranja od pojave izboavanja hrpta (uslijed djelovanja poprene sile):
•
Uvjet za neukruene hrptove: hw t w
≤
72ε η
ε = 0.81 η = 1.2 hw
( h − 2t ) ( 40 − 2 ⋅1.35) 72 ⋅ 0.81 = = = 43.4 < = 48.6 f
0.86 1.2 Proraun zadovoljava te nije potrebna daljnja provjera ! tw
t w
NAPOMENA: U sluaju vrue valjanih profila standardnih dimenzija ovaj nain otkazivanja se u pravilu ne dogaa. Za detaljni proraun u sluaju potrebe usmjerava se na odredbe EN 1993-1-5, toka 5.2.) Kontrola bonog torzionog izvijanja elinog nosaa (faza izvedbe, nosa nije poduprt, niti konstrukcijskim mjerama ukruen radi osiguranja bone stabilnosti) Uvjet nosivosti (raunska otpornost na bono torzijsko izvijanje nosaa): M Ed ≤ M b,rd = χ LT ⋅W y ⋅
f y
γ m
gdje je: M Ed - maksimalni raunski moment savijanja - factor redukcije za bono torzijsko izvijanje W y = W pl, y - moment otpora za odgovarajuu klasu pop. Presjeka (za klasu 1,2 plastini moment otpora) LT
Prema EC3 date su etiri krivulje izvijanja (a,b,c,d) ovisno da li je presjek valjani ili zavareni. Elastini M cr
kritini
moment
E ⋅ I z ⋅ π 2 k 2 I w
= C1 ⋅
( k ⋅ l )
2
⋅
za
bono
G ⋅ I t ⋅ ( k ⋅ l ) 2
torzijsko
⋅ + + ( C2 ⋅ Z g ) 2 E ⋅ I z ⋅ π 2 kw I z
izvijanje 2
se
− C2 ⋅ Z g =
izraunava
prema
izrazu:
21000 ⋅1318 ⋅ π 2 12 492214.5 8077 ⋅50.41 ⋅(1 ⋅1200) 2 2 = 1.127 ⋅ ⋅ 2 ⋅ + + ( 0.454 ⋅ 20 ) − 0.454 ⋅ 20 2 2 1 1318 21000 ⋅ 1318 ⋅ π 1 ⋅ 1200 ( ) 2
+ ( 0.454 ⋅ 20 ) − 0.454 ⋅ 20 = 8960.26kNcm = 89.6kNm < M Ed = 276.3kNm
Za dvoosno simetri ne I profile konstanta krivljenja se ra una: I z ⋅ (h − t f ) 2 1318 ⋅ (40 − 1.35)2 I w = = = 492214.5cm6 4 4 E 21000 - modul klizanja = = 8077 kN / cm 2 G= 2 ⋅ (1 + υ ) 2 ⋅ (1 + 0.30) l = 1200cm - razmak toaka bonog pridržavanja (raspon nosa a) Koeficijenti C1,C2 ovise od svojstava materijala, uvjetima oslanjanja i obliku momentnog dijagrama. Za sluaj momentnog dijagrama proste grede i jednoliko raspodjeljenog optere enja koeficijenti se o itavaju tablino te iznose C1=1.127; C2=0.454. Koeficijenti k,k w su koeficijenti dužine izvijanja. Koeficijent k odnosi se na rotaciju popre nog presjeka na osloncu promatrano u ravnini savijanja (k=1.0). Koeficijent k w odnosi se na zakretanje presjeka na krajevima nosa a (k w=1.0).
Koeficijent zg predstavlja razmak izmeu toke djelovanja optereenja i centra posmika (težišta presjeka). Ovisno od položaja sile vrijednost zg je pozitivna (sila na gornjem pojasu nosaa) ili negativna (sila na donjem pojasu nosaa). Za ovaj primjer zg=h/2 = 40/2 = 20cm (pozitivna vrijednost pošto je sila na gornjem pojasu).
aljani profil:
400 = 2.22 > 2 b 180 h
=
χ LT =
krivulja izvijanja b (LT=0,34) (LT - faktor imperfekcije)
1 2
2
φ LT + φLT − λ LT
≤ 1.0
2 ) φ LT = 0.5 ⋅ (1 + α LT ⋅ (λLT − 0.20) + λLT
λ LT =
W pl , y ⋅ f y M cr
=
1307.2 ⋅ 35.5 = 2.276 8960.26
φ LT = 0.5 ⋅ (1 + 0.34 ⋅ (2.276 − 0.20) + 2.2762 ) = 3.443 χ LT = M b, rd
1
1 = 0.1659 ≤ 1.0 2 2 2 2 φ LT + φLT − λ LT 3.443 + 3.443 − 2.276 f 35.5 1 = χ LT ⋅W pl , y ⋅ y = 0.1659 ⋅1307.2 ⋅ ⋅ = 70kNm < M Ed = 276.3 kNm γ m 1.1 100 =
Raunska otpornost na bo no torzijsko izvijanje nosa a ne zadovoljava. Potrebno je: poveati popreni presjek (tlanu pojasnicu) podupirati u fazi montaže izvršiti ukru enja na osloncima ukrutiti konstruktivnim mjerama gornji pojas (sila štapa 2.5% najvee uzdužne sile u tla nom pojasu nosaa za posmatrani raspon)
Za ovaj primjer emo pretpostaviti da su poduzete odgovaraju e konstruktivne mjere za bo no pridržanje te je bona stabilnost u fazi montaže nosa a osigurana ! Proraun elastinog progiba (faza I - elini nosa oslonjen na dva kraja)
5 ⋅ g ⋅ L4 5 ⋅ 9.7 ⋅12004 ⋅10−2 = = 5.39cm ( ↓) 1. ∆ g = 384 ⋅ Ea ⋅ I y 384 ⋅ 21000 ⋅ 23130 2. ∆ p = p ⋅ ∆g = 1.5 ⋅ 5.39 = 0.83cm ( ↓ ) g 9.7
FAZA UPORABE (SPREGNUTI NOSA SUSTAVA PROSTE GREDE)
Proraun reznih sila (M,V) KGS (krajnje granino stanje) Qd=1.35g+1.5p = 1.35 (0.7+9+3)+1.5 (7.5) = 28.4 kN/m’ -Poprena sila na osloncu nosaa (x=0): q ⋅L = 170 kN V Ed = d 2 -Moment savijanja u sredini raspona nosaa (x=L/2): q d ⋅ L2 = 511kNm M Ed = 8 Odreivanje efektivne širine betonske ploe
1200 = 150cm 8 8 b 300 b1 = b2 = = = 150cm 2 2 beff = b0 + Σbei = 2 ⋅150 = 300cm bei
=
l e
=
b0 = 0 - pretpostavlja se da je razmak moždanika u popre nom presjeku nula pošto se planira staviti samo
jedan red moždanika
Odreivanje momenta plastine otpornosti (pod pretpostavkom za puno sprezanje =1) IPE 400 – presjek je klase 1
•
Pretpostavka da plastina neutralna osa leži u ploi: beff ⋅ hc ⋅ 0.85 ⋅ f cd ≥ Aa ⋅ f yd 300 ⋅ 12 ⋅ 0.85 ⋅ 1.667 ≥ 84.46 ⋅ 35.5 5202kN ≥ 2998kN
•
Odreivanje položaja plastine neutralne osi za maksimalni pozitivni moment savijanja: Aa ⋅ f yd 84.46 ⋅ 35.5 X pl = = = 6.9cm < hc = 12cm …neutralna os leži u ploi. beff ⋅ 0.85 ⋅ f cd 300 ⋅ 0.85 ⋅1.667
•
Raunski moment plastine otpornosti spregnutog poprenog presjeka: x pl 6.9 1 40 M pl ,rd = Aa ⋅ f yd ⋅ z + hc − = 84.46 ⋅ 35.5 ⋅ + 12 − ⋅ 100 2 2 2 M pl ,rd = 856kNm > M Ed = 511kNm Za sluaj potpune posmine veze (=1) uvjet nosivosti na savijanje je zadovoljen!
STVARNI MOMENT NOSIVOSTI OVISI KOLIKI STUPANJ POSMI NE VEZE EMO USVOJITI !
Otpornost poprenog presjeka na posmik
•
Uvjet nosivosti: V Ed
•
= 170kN < Vpl,rd = 875kN …. zadovoljava !
Dokaz u svrhu osiguranja od pojave izboavanja hrpta: Uvjet:
hw t w hw t w
≤
72 ⋅ ε η
= 43.4 < 48.6 …. zadovoljava !
e veze i prora un moždanika Odre ivanje stupnja posmi n OP ENITO Za sluaj klase presjeka 1 i 2 koji omoguava proraun plastine otpornosti sila uzdužnog posmika se odreuje ovisno od odabranog stupnja sprezanja. Kod klase presjeka 3 i 4 sila uzdužnog posmika se odreuje prema teoriji elastinosti . Openito za proraun po teoriji plastinosti imamo 2 sluaja:
VEZA ( =1) POTPUNA POSMI NA Sluaj A – neutralna osa leži u betonskoj ploi te se sila uzdužnog posmika odreuje prema izrazu = N cf = Aa ⋅ f yd usvaja se manja vrijednost ! F = N cf = beff ⋅ x pl ⋅ 0.85 ⋅ f cd F
Sluaj B – neutralna osa je u gornjem pojasu elinog nosaa ili u hrptu elinog nosaa te se sila uzdužnog posmika odreuje prema izrazu = N cf = Aa ⋅ f yd usvaja se manja vrijednost ! F = N cf = beff ⋅ hc ⋅ 0.85 ⋅ f cd F
gdje je Ncf – raunska vrijednost uzdužne tlane sile pojasnice betona za potpunu posminu vezu (=1) u (kN) Ukupni broj moždanika mora kod potpune posmine veze ili potpunog sprezanja preuzeti uzdužnu posminu silu F. Potrebni broj moždanika kod potpune posmine veze se odreuje prema izrazu: n
=
F P Rd
gdje je PRd – raunska otpornost moždanika (kN) Duktilni moždanici s glavom, izmeu dva kritina presjeka, mogu se razmjestiti na jednake razmake u sljedeim uvjetima:
Ako popreni presjeci u kritinim presjecima zadovoljavaju uvjete za klasu 1 i 2 Ako M pl,Rd spregnutog presjeka nije vei od 2.5 puta vrijednosti M pl,a,Rd elinog nosaa Ako stupanj posmine veze zadovoljava uvjete prorauna uinka djelovanja po teoriji plastinosti
POSMI NA VEZA (0.4 < 1) DJELOMI NO Kod nosaa klase 1,2 dopušta se djelomina posmina veza za pozitivne moment savijanja. Sila uzdužnog posmika odreuje prema izrazu
= Nc = P Rd gdje je: Nc –uzdužna tlana sila kod djelomine posmine veze (kN) PRd – raunska otpornost moždanika F
Pri tome moraju biti zadovoljeni geometrijski zahtjevi da bi se moždanik deklarirao kao duktilan. Minimalni stupanj posmine veze zavisi od ekvivalentnog raspona nosaa L (razmak nul toaka pozitivnog momenta savijanja) i poprenog presjeka elinog nosaa. Minimalni stupanj djelomine posmine veze iznosi =0.4. Za djelominu posminu vezu linearnom interpolacijom se odreuje reducirana plastina otpornost spregnutog presjeka prema izrazu: M Rd
= M pl ,a ,Rd + ( M pl ,Rd − M pl ,a ,Rd ) ⋅
N c
N cf
gdje je: M pl,a,Rd – raunski moment plastine otpornosti (pozitivni) samo za elini presjek (kNm) M pl,Rd – raunski moment plastine otpornosti (pozitivni) spregnutog presjeka s potpuno posminom vezom (kNm) Ncf – raunska tlana sila u betonskoj pojasnici s potpuno posminom vezom u (kN), tj. kad je dosegnut M pl,Rd Nc – raunska tlana sila u betonskoj pojasnici (kN) PRd – raunska otpornost moždanika
Za proraun po teroji elastinosti sila uzdužnog posmika se odreuje prema izrazu: V ⋅ S F =
I
Pri tome se u sluaju odabira valjkastih moždanika (Nelson) u proraun ulazi sa 60% PRd. Za naš primjer neutralna osa se nalazi u betonskoj ploi. Presjek je u klasi 1. Odabiru se moždanici promjera d=19mm, visine 100mm. Moždanici su duktilni.
Sluaj 1 – potpuna posmina veza (=1) Sila uzdužnog posmika iznosi:
• Neutralna osa leži u betonskoj ploi sila i uzdužnog posmika se odreuje prema izrazu = N cf = Aa ⋅ f yd = 84.46 ⋅ 35.5 = 2998 kN F = N cf = beff ⋅ x pl ⋅ 0.85 ⋅ f cd = 300 ⋅ 6.9 ⋅ 0.85 ⋅1.667 = 2991 kN F
Usvaja se Ncf = 2991kN
•
Raunska otpornost moždanika: -
Beton C25/30:
f ck = 25 MPa
f cd = Ecm
-
f ck
=
25 = 16.67MPa 1.50
γ c = 31000.0 MPa
100 = 5.26 > 4.0 → α = 1.0 d 19
h sc
=
•
Otkazivanje nosivosti moždanika: fu ⋅ π ⋅ d 2 45 ⋅ π ⋅1.92 = 0.80 ⋅ = 81.7kN Prd 1 = 0.80 ⋅ 4 ⋅ γ v 4 ⋅1.25
•
Drobljenje betona u okolini moždanika: 0.29 ⋅ α ⋅ d 2 ⋅ f ck ⋅ E cm 0.29 ⋅1.0 ⋅1.9 2 ⋅ 2.5 ⋅ 3100.0 Prd 2 = = = 73.7 kN γ v 1.25
Moždanici se mogu razmjestiti na jednake meusobne razmake (uvjeti su zadovoljeni). Napomena: Ukoliko se betonska ploa izvodi u trapeznom limu, bilo kao spregnuta ili nespregnuta ploa, otpornost moždanika se smanjuje odreenim koeficijentima redukcije (vidi normu EN 1994). Iz gornja dva izraza odabire se manja vrijednost:
Prd 1 Prd = min . Prd 2
= 81.7 kN = 73.7kN = 73.7kN
Potreban broj moždanika za polovicu nosaa L1 = L/2: F 2991 = = 40.6kom. …usvojeno 41 komad Ø19/100mm nc = P rd 73.7
Uzdužni osni razmak moždanika:
L
2 ⋅ nc
=
1200 = 14.63cm 2 ⋅ 41
= 6 ⋅ hc = 6 ⋅12 = 72cm ….. usvojeno s=15cm smax. = 80 cm smin. = 5 ⋅ d = 5 ⋅1.9 = 9.5cm smax.
•
Jedan od uvjeta da se moždanici mogu imati jednak razmak po cijeloj dužini nosaa je:
≤ 2.5⋅ M pl,a ,rd .. zadovoljava ! 856kNm ≤ 2.5 ⋅ 464.06 = 1160.2kNm M pl ,rd
•
Tlana sila u betonu za postojei broj moždanika: P ⋅ L 73.7 ⋅ 600 N c = rd 1 = = 2948kN s 15 Aa ⋅ f yd = 84.46 ⋅ 35.5 = 2998 kN N cf = min . = 2991kN b x f kN ⋅ ⋅ 0.85 ⋅ = 300 ⋅ 6.9 ⋅ 0.85 ⋅ 1.667 = 2991 cd eff pl
•
Stupanj posmine veze : η =
N c N cf
=
2948 = 0.9856 ≈ 1.0 2991
Sluaj 2 – djelomina posmina veza Odabire se stupanj sprezanja =0.5. N c N cf N c
= 0.5
= 0.5 N cf = 0.5 ⋅ 2991 =1495.5 kN
Potreban broj moždanika za polovicu nosaa L1 = L/2: F 1495.5 = = 20.29kom. …usvojeno 21 komad Ø19/100mm nc = P rd 73.7 L 1200 = = 28.57cm ….. usvojeno s=30cm Uzdužni osni razmak moždanika: 2 ⋅ nc 2 ⋅ 21 P ⋅ L 73.7 ⋅ 600 = 1474kN Tlana sila u betonu za postojei broj moždanika N c = rd 1 = s 30
Stupanj posmine veze η =
N c N cf
=
1474 = 0.493 > 0.4 2991
Za djelominu posminu vezu sa stvarnim =0.493 linearnom interpolacijom se odreuje reducirana plastina otpornost spregnutog presjeka prema izrazu: M Rd
= M pl ,a ,Rd + ( M pl ,Rd − M pl ,a ,Rd ) ⋅
N c
N cf
= 464.06 + (856 − 464.06 ) ⋅
1474 = 657.28 kNm 2991
M Ed
= 511kNm < 657.28kNm .. uvjet nosivosti je zadovoljen.
M pl ,a ,rd - raunski moment plastine otpornosti za elini popreni presjek
M pl ,rd - raunski moment plastine otpornosti spregnutog presjeka s potpunom posminom vezom N c
N cf
- raunska tlana sila u betonskoj pojasnici - raunska tlana sila u betonskoj pojasnici s potpunom posminom vezom kada je postignut moment M pl,Rd
Uzdužni posmik u AB ploi prema EC2 (za potpuno sprezanje)-kontrola posmine nosivosti Proraun je temeljen na štapnom modelu. L 1200 ∆ X = = = 600cm 2 2 26.5o ≤ θ ≤ 45o - kut nagiba tlanih dijagonala 25 f ν = 0.60 ⋅ 1 − ck = 0.60 ⋅ 1 − = 0.54 - koeficijent smanjenja vrstoe betona s pukotinama uslijed 250 250 posmika Da bi sprjeili drobljenje betona u pritisnutim štapovima potrebno je zadovoljiti izraz: ν Ed ≤ ν ⋅ f cd ⋅ sin θ f ⋅ cosθ f ; f = 45o Uzdužno posmino naprezanje na spoju jedne strane ploe i hrpta nosaa se rauna prema izrazu: 0.5 ⋅ nc ⋅ P Rd 0.5 ⋅ 80 ⋅ 73.7 2948 F 1 = = = = 0.41kN / cm2 > k ⋅ f ctd = 0.40 ⋅0.18 = 0.072kN / cm2 .. Ved = hc ⋅ ∆x hc ⋅ ∆x 12 ⋅ 600 12 ⋅ 600 potrebna je dodatna armatura u ploi za savijanje 0.41 kN cm 2 < 0.54 ⋅ 1.667 ⋅ 0.707 ⋅ 0.707 = 0.45kN cm 2 … zadovoljava!
Presjek a-a (dužina posmine veze ne ovisi o broju moždanika): V ⋅ h ⋅s Potrebna armature ploe A sf > ed f f ; sf =15cm f yd ⋅ ctg θ f A sf >
0.41⋅12 ⋅ 15 = 1.70cm2 o 43.48 ⋅ ctg 45
…. odabrana armatura ploe ±Q188 (Ø6/15cm), B500B
GRANINO STANJE UPORABIVOSTI (GSU)
Ogranienjem progiba se smatra i osigurano elastino ponašanje konstrukcije (ne treba dokazivati naprezanja). 7.3 Deformiranja u zgradama (prema EN 1994)
7.3.1 Progibi
(1) Progibe zbog optereenja koje djeluje samo na elini element treba proraunati u skladu s normom EN 1993-1-1. (2) Progibe zbog optereenja koje djeluje na spregnuti element treba proraunati po teoriji elastinosti, u skladu s 5. poglavljem. (3) Referentna razina za vertikalni progib prema dole, dmax, za nepoduprte grede jest gornja strana spregnute grede. Donju stranu grede treba odabrati za referentnu razinu samo kada progib može narušiti izgled zgrade. (4) Uinci nepotpunog meudjelovanja smiju se zanemariti ako: a) je proraun posminog spoja u skladu s tokom 6.6 b) je upotrijebljen broj posminih moždanika koji nije manji od polovice broja potrebnog za puni posmini spoj, ili ako sile koje su rezultat elastinog ponašanja i koje djeluju na posmine moždanike u graninom stanju uporabljivosti ne premašuju PRd c) u rebrastoj ploi s rebrima okomitim na gredu, visina rebra ne premašuje 80 mm.
Proraun progiba (moment tromosti zamjenskog poprenog presjeka) Moment tromosti zamjenskog poprenog presjeka (metoda zamjenskog poprenog presjeka za proraun napona po visini presjeka): E 3100 Ec = cm = = 1550kN / cm2 2 2 E 21000 n= a = = 13.50 E c 1550 Zamjenski spregnuti popreni presjek: Udaljenost težišne osi do gornjeg ruba betonske ploe: yi
=
Σ Ai ⋅ yi = Σ Ai
Aa ⋅ ( 0.50 ⋅ h + hc ) + Aa +
beff n
beff n
⋅ hc ⋅
hc
2 =
⋅ hc
300 12 ⋅12 ⋅ 13.5 2 = 12.3cm 300 ⋅12 84.46 + 13.5
84.46 ⋅ (0.50 ⋅ 40 + 12 ) +
Moment inercije zamjenski popreni presjek: 2
3
40 300 12 300 12 I n = I y + Aa ⋅ Z a + I c + ⋅ Z c = 23130 + 84.46 ⋅ +12 −12.3 + ⋅ + ⋅ 12.3 − n 2 2 13.5 12 13.5 I n = 69392cm4 2
Ac
2
2
Proraun progiba za fazu II. (spregnuti nosa): 3. 4.
5 ⋅ g ⋅ l 4 5 ⋅ 3 ⋅12004 ⋅10 −2 ∆ g = = = 0.555cm ( ↓) 384 ⋅ E ⋅ I n 384 ⋅ 21000 ⋅69392 p 7.5 ∆ p = ⋅ ∆g = ⋅ 0.555 = 1.388cm ( ↓ ) g 3
Ukupni progib (FAZA 1 + FAZA 2)
∆uk = ∆ g1 + ∆p2 + ∆g3 + ∆p4 = 5.39 + 0.83 + 0.555 + 1.388 = 8.163cm (↓ ) >
L
300
= 4 cm
Nosa je potrebno nadvisiti za 60mm. Nadvišenje od 60mm () je dijelom tehnološki problem, a vei problem je funkcionalnost ploe u ekploataciji. _________________________________________________________________________________ U sluaju djelominog sprezanja (<1) poveanje progiba zbog proklizavanja na spoju elinog profila i betona se uzima u obzir ovisno od naina izgradnje (poduprto ili nepoduprto). Ukupni progib se za potrebe inženjerskog prorauna prognozira preko izraza:
∆ = ∆uk 1 + k 1 −
∆a − 1 N cf ∆uk N c
⋅
gdje je: k=0.5 za poduprte nosa e k=0.3 za nepoduprte nosa e uk – progib spregnutog nosa a za sluaj potpunog sprezanja. a – progib elinog nosaa u sluaju da djeluje samostalno (za puno optere enje kao za uk ). Primjena gornjeg izraza je ograni ena za 0.4. EC4 dopušta zanemarivanje dodatnog progiba radi djelomi nog sprezanja za slu aj da je >0.5 i sile u moždanicima ne prelaze 0.7P Rk (PRk – karakteristina otpornost moždanika) te za plo u sa poprenim rebrima gdje rebra ne prelaze visinu 80mm. Za primjer iz vježbi:
5 ⋅ quk ⋅ l 4 5 ⋅ 20.2 ⋅12004 ⋅10−2 = = 11.23cm ( ↓) ; =0.493; k=0.3 ∆uk = 8.163cm ( ↓ ) ; ∆a = 384 ⋅ E ⋅ I n 384 ⋅ 21000 ⋅ 23128 N ∆ = ∆uk 1 + k 1 − c N cf
∆ = 8.63cm ( ↓ ) >
L
300
∆a 11.23 −1 = 8.163 ⋅ 1 + 0.3 (1 −0.493 ) ⋅ −1 =8.163 ⋅1.057 =8.63 cm ( ↓) ⋅ ∆ 8.163 uk
= 4cm
Utjecaj skupljanja betona na zakrivljenost nosaa l
Za l h
h
=
< 20 utjecaj od diferencijalnog skupljanja na zakrivljenost nosaa se prema EC4 može zanemariti.
1200 = 23 > 20 … utjecaj skupljanja se ne može zanemariti. 40 + 12
ε cs = 0.000325 koeficijent skupljanja betona (prema EC4) E 31000 1 N s = cm ⋅ b ⋅ h ⋅ ε cs = ⋅ 3000 ⋅ 120 ⋅ 0.000325⋅ = 1784kN
2
2
1000
12 = 6.3cm 2 2 N s ⋅ zs ⋅ L2 1784 ⋅ 6.3 ⋅1200 2 ∆ s = = = 1.4cm ( ↓ ) 8 ⋅ Ea ⋅ I y 8 ⋅ 21000 ⋅ 69392
z s
= hn −
hc
= 12.3 −
∆uk = 8.163 + 1.4 − 6 = 3.56cm ( ↓ ) < 4cm
L
… progib zadovoljava za sluaj =0.9856 300
Vibracije
18 18 = = 3.017 Hz 35.6 ∆uk f dop.=3Hz za veinu objekata osim onih gdje postoje strojevi f dop.=4Hz za garaže f dop.=5Hz za specijalne graevine kao npr. sportske dvorane (tribine) Proraun vibracija preko progiba f =
Zakljuak: Spregnuti nosa treba preprojektirati. Progibi nisu u granicama dopuštenih. Mogua smjernice su: -fazno podupiranje da se smanje progibi uslijed faze 1 -poveanje poprenog presjeka elinog nosaa -odabir optimalnog stupnja sprezanja
2. Proraun spregnutog stupa elik-beton
Primjer 1.
Potrebno je izvršiti proraun nosivosti spregnutog stupa izloženog djelovanju uzdužne i poprene sile te momenta savijanja oko jedne osi (u smjeru osi z). Dati su sljedei podaci : -visina stupa H=4m -elini profil HEB 260, S355 -armatura 8Ø14, B500B -beton C25/30, XC1
Na slici ispod prikazan je statiki sistem te popreni presjek stupa.
Stup – konzola
Popreni presjeka spregnutog stupa
Proraunom je potrebno obuhvatiti sljede e:
STATIKI SUSTAV I POPRE NI PRESJEK SPREGNUTOG STUPA
PODACI O ELI NOM PROFILU I UPORABLJENA GRADIVA
REZNE SILE U DNU STUPA (M,N,V) PO ELASTI NOJ TEORIJI
GEOMETRIJSKI UVJETI ZA SPREGNUTE STUPOVE SA POTPUNO UBETONIRANIM ELI NIM PROFILOM
UDIO KLASI NE ARMATURE U SPREGNUTOM POPRE NOM PRESJEKU
RAUNSKA OTPORNOST POPRE NOG PRESJEKA NA UZDUŽNU SILU
KOEFICIJENT OMJERA NOSIVOSTI
ELI NOG NOSAA U
NOSIVOSTI SPREGNUTOG STUPA
UVJET NOSIVOSTI NA UZDUŽNU SILU
PRORAUN
SPREGNUTOG
STUPA
–POJEDNOSTAVNJENA
METODA
ODREIVANJE RAUNSKE OTPORNOSTI ZA TLAK I DVOOSNO SAVIJANJE (DIJAGRAM INTERAKCIJE M-N)
OTPORNOST PRESJEKA NA POPRE NE SILE
POSMI NA OTPORNOST IZMEU ELIKA I BETONA I UVO ENJE OPTEREENJA U SPREGNUTI STUP
Globalnom (linearno elastinom) analizom, za mjerodavnu kombinaciju optereenja odreeni su sljedei utjecaji: Uzdužna sila od vlastite težine Ng=4.615*4=18.46kN Uzdužna sila od dodatnog stalnog optere enja Ng=500kN Uzdužna sila od korisnog optereenja N p=800kN Poprena sila od utjecaja vjetra u vrhu stupa Fw=50kN
PODACI O ELI NOM PROFILU I UPORABLJENA GRADIVA
•
elini nosa HEB 260, kvaliteta elika S335, f yd=35.5kN/cm2 Ea=210000MPa. h = 260mm G = 93kg / m 2 A = 118cm I a , z = 5130cm4
•
Beton C25/30:
= 10mm r = 24mm b = 260 mm t f = 17.50mm I a , y = 14920cm4 Wpl , y = 1283cm3 Wpl , z = 602cm3 It = 125.7 cm4 tw
fck = 25MPa
25 = 16.67MPa γ c 1,50 Ecm = 30500MPa f cd =
•
f ck
elik za armiranje B500:
=
f yk = 500 MPa
500 = 434.80MPa γ s 1.15 E s = 210000 MPa f yd =
f yk
=
Površina poprenog presjeka i moment inercije armature 8Ø14 As =8·1.54 = 12.32 cm 2 Isy = Isz = 6·1.54cm2·(16.5cm)2 =2515.59 cm4
Površina poprenog presjeka i moment inercije betona bc = hc =40 cm Ac =b·h- Aa - As =40·40 – 118 – 8.04 = 1474 cm 2
I = (sekantni modul elastinosti betona) Iyc = zc
REZNE SILE U DNU STUPA (M,N,V) PO ELASTI NOJ TEORIJI Ng = 14.86+500=514.86 kN N p = 800 kN Fw=50Kn (smjer z) Mw=50*4=200kNm (smjer z)
NEd=1.35Ng+1.5N p=1.35*514.86+1.5*800=1895.06kN VEd=1.5Fw=1.5*50=75kN (smjer z) MEd=1.5Mw=1.5*200=300kNm (smjer z)
GEOMETRIJSKI UVJETI ZA SPREGNUTE STUPOVE SA POTPUNO UBETONIRANIM ELI NIM PROFILOM
5.0
Zaštitni sloj betona cy = cz = 70 mm cy = 70 mm cz = 70 mm cz = 70 mm
UDIO KLASI NE ARMATURE U SPREGNUTOM POPRE NOM PRESJEKU
Usvojene šipke Ø14 > min.Ø=8mm Horizontalni razmak šipki c=165 mm < c dop.= 250mm Spone Ø6/20 cm (m=2) – minimalna popre na armatura
RAUNSKA OTPORNOST POPRE NOG PRESJEKA NA UZDUŽNU SILU
KOEFICIJENT OMJERA SPREGNUTOG STUPA
NOSIVOSTI
ELI NOG
NOSAA
U
NOSIVOSTI
Koeficijent omjera se nalazi unutar propisanih granica za spregnute stupove.
UVJET NOSIVOSTI NA UZDUŽNU SILU
zadovoljava!
PROVJERA MOŽE LI SE KORISTITI POJEDNOSTAVLJENA METODA PRORA UNA SPREGNUTIH STUPOVA PO TEORIJI 2. REDA -elini profil je valajni HEB profil. -presjek je jednolikog poprenog presjeka po cijeloj visini spregnutog stupa. -presjek je dvoosno simetrian (oko osi y i z). -elini profil je potpuno obložen i vrijede uvjeti vezani za zaštitne slojeve betona (max. cz=0.3h ; max. c y=0.3b). -uzdužna klasina armatura spregnutog stupa je manja od 6% površine betona. -omjer visine i debljine spregnutog presjeka je u granicama ( 0.2 <
= 1 <5.0 ).
-uvjet vitkosti za potpuno ubetonirane eline profile
– beton
– elik
( karakteristina plastina otpornost na uzdužnu tla nu silu )
-Eulerova kritina sila ( L-dužina izvijanja stupa )
Efektivna krutost (EI)ef =Ea·Ia + Es·Is + K e· Ecm·Ic gdje je: K e =0.6 popravni faktor Ia,Ic, Is - momenti inercije presjeka od elinog profila, neraspucalog dijela betona i armature za ravninu savijanja koja se promatra
Utjecaj dugotrajnih uinaka na proraunsku elastinu krutost na savijanje se uzima redukcijom modula elastinosti betona. Vrijednost E cm se smanjuje na Ec,eff .
gdje je:
t – koeficijent puzanja betona (za naš primjer se usvaja t 2.0) NG,Ed – uzdužna tlana sila od stalnog djelovanja NEd – uzdužna tlana sila od ukupnog djelovanja
Ned = 1895.06 kN
EFEKTIVNA KRUTOST NA SAVIJANJE OKO OSI Z (slabija os): (EI)ef,z = 21000 (5130 + 2515.94) + 0.6·1755.2·206015 = 377523256.8kN/cm 2
može se primijeniti pojednostavljena metoda prora una! potreban je proraun deformacija od puzanja betona.
EFEKTIVNA KRUTOST NA SAVIJANJE OKO OSI Y (ja a os): (EI)ef,y = 21000 (14920 + 2515.59 ) + 0.6·1755.2·196225 = 572795862 kN/cm 2
može se primijeniti pojednostavljena metoda prora una potreban je proraun deformacija od puzanja betona.
Napomena: Pojednostavnjena metoda prorauna spregnutih stupova je dobivena kalibracijom, tako da su vrijednosti dobivene tom metodom uspore ene s rezultatima dobivenim pokusom u laboratoriju.
LOKALNA VITKOST ELI NOG PROFILA (prema tablici) Prema EN 1994-1-1, dio 6.7.1.(9) Za potpuno obložene eline profile uinak lokalnog izboavanja se može zanemariti !
ODREIVANJE FAKTORA REDUKCIJE ZA OTPORNOST NA IZVIJANJE SAVIJANJEM
= min.( y, z)
os z (slabija os) os y (jaa os)
linija izvijanja c
linija izvijanja b
z = 0.454 y = 0.571
usvojena manja vrijednost = 0.454
OTPORNOST ELEMENTA NA IZVIJANJE uvjet nosivosti na uzdužnu silu:
Napomena: Stup je izložen i savijanju u smjeru osi z (oko jae osi y) te je potrebno odrediti raunsku otpornost na tlak i jednoosno savijanje.
DA LI JE POTREBNO UZETI U OBZIR TEORIJU 2. REDA ZA IZRA UN SILA NA KOJE TREBA DIMENZIONIRATI PRESJEK ? Ako su imperfekcije konstrukcijskih elemenata zanemarene u globalnoj analizi, potrebno ih je obuhvatiti u analizi stupa. EN 1994-1-1 (dio 5.2.1.) Utjecaji po teoriji 2. reda se mogu zanemariti ukoliko su pove ane sile dobivene po teoriji 2. reda manje od 10% od sila dobivenih po teoriji 1. reda. Taj se uvjet može smatrati ispunjenim ako je zadovoljen sljedei kriterij:
gdje je:
cr - faktor kojim bi bilo potrebno pove ati proraunsko optereenje da bi se prouzroila elastina nestabilnost pri emu je elastina kritina sila Ncr,eff odreena s krutošu na savijanje (EI)eff,II. (EI)eff,II = K o ( Ea·Ia + Es·Is + K e II·Ecm·Ic ) K o = 0.9 – popravni faktor K e II = 0.5 – kalibracijski faktor
LINEARNO ELASTI NA ANALIZA DRUGOG REDA ZA OS Y (slabija os – oko osi z)
(EI)eff,II,y =
(EI)eff,II,y = 492258153.6 kNcm 2;
LINEARNO ELASTI NA ANALIZA DRUGOG REDA ZA OS Z (ja a os – oko osi y) (EI)eff,II,z =
(EI)eff,II,z = 484525620 kNcm 2;
Potrebno je uzeti u obzir u inke teorije 2.reda !
PRAVAC U SMJERU OSI Y
SILE U DNU STUPA PO TEORIJI 1.REDA (oko osi y,u smjeru osi z)
SILE U DNU STUPA PO TEORIJI 2.REDA (oko osi y,u smjeru osi z)
Faktor
-faktor ekvivalentnog momenta prema tablici 6.4. iz EN 1994-1-1.
Iz tablice 6.5. iz EN 1994-1-1.
(nesavršenost elementa)
Raunska vrijednost momenta savijanja u dnu stupa u pravcu slabije osi popre nog presjeka spregnutog stupa uslijed teorije 2.reda iznosi:
PRAVAC U SMJERU OSI Z
SILE U DNU STUPA PO TEORIJI 1.REDA (oko osi y,u smjeru osi z)
SILE U DNU STUPA PO TEORIJI 2.REDA (oko osi y,u smjeru osi z)
Faktor
-faktor ekvivalentnog momenta prema tablici 6.4. iz EN 1994-1-1.
Iz tablice 6.5. iz EN 1994-1-1.
(nesavršenost elementa)
Raunska vrijednost momenta savijanja u dnu stupa u pravcu ja e osi poprenog presjeka spregnutog stupa uslijed teorije 2.reda iznosi:
SILE U DNU STUPA PO TEORIJI 2.REDA MJERODAVNE ZA DIMENZIONIRANJE SPREGNUTOG STUPA SMJER Z (OKO OSI Y-Y) JAA OS SMJER Y (OKO OSI Z-Z) SLABIJA OS
MEd (kNm)
NEd (kN)
VEd (kN)
452.78
1895.06
75
50.53
1895.06
0
ODREIVANJE RAUNSKE OTPORNOSTI ZA TLAK I DVOOSNO SAVIJANJE
Otpornost na savijanje poprenog presjeka spregnutog stupa prora unava se istom analogijom kao i za spregnuti nosa klase 1,2. Proraun se temelji na odreivanju dijagrama interakcije M-N na razini poprenog presjeka (interakcijska krivulja ACDB prema EN 1994-1-1, dio 6.7.3.2.(5)) prema slici ispod.
Interakcijska krivulja M-N M-N interakcija se provodi za dva odvojena smjera te se vrši me usobna interakcija.
Za naš primjer napraviti e se samo dijagram interakcije u smjeru osi Z (smjer jae osi).
ODREIVANJE DIJAGRAMA INTERAKCIJE M-N – naponski problem ! Toka A (0; N pl,Rd) – isti tlak
Toka B (M pl,Rd; 0) – isto savijanje
; NEd = 0
Uvjet ravnoteže
slijedi
Nc - tlane sile (c- compression)
(1)
Nt - vlane sile (t-tension) NEd - vanjske sile Nepoznanica je položaj plasti ne neutralne osi (PNO) hn=?
TLA NI NAPONSKI BLOK (Nc)
elini profil
Armatura Beton
VLA NI NAPONSKI BLOK
elini profil
Armatura
Uvrštavanjem jednadžbi u izraz (1) slijedi
Da bi izraunali plastinu otpornost spregnutog popre nog presjeka M pl,Rd potrebno je prethodno izraunati plastine momente otpora za elini profil, beton i armaturu.
Plastini moment otpora za elini profil Armatura Beton
Plastini momenti otpora u podru ju 2hn
elini profil Armatura Beton
Plastina otpornost spregnutog popre nog presjeka M pl,Rd iznosi:
(napomena: uzima se ½ statikog momenta površine popre nog presjeka betona)
Toka C (M pl,Rd; N pm,Rd)
Toka D (Mmax.,Rd; 0.5N pm,Rd)
Toka E (izmeu toaka A i C) – samo u sluaju ako je Za naš primjer
TOKA A (0; 6817.02kN) TOKA B (564.61kNm; 0) TOKA C (564.61kNm; 2088.17kN) TOKA D (634.36kNm; 1044.1kN)
Toka T1 (452.78kNm; 1895.06kN)
Dijagram interakcije M-N poprenog presjeka spregnutog stupa u smjeru osi Z
INTERAKCIJA TLAK I JEDNOOSNO SAVIJANJE Proraunska vrijednost plastinog momenta nosivosti, uzimajui u obzir uzdužnu tla nu silu NEd, odreena preko d,y M pl,Rd.
;
Važno je napomenuti da faktor µd ne smije premašiti vrijednost 1 osim u sluaju kada su moment savijanja i uzdužna tlana sila posljedica istog djelovanja te kada intenzitet uzdužne tlane sile proporcionalno raste s veliinom momenta savijanja. Za naš sluaj moment savijanja i uzdužna tlana sila nisu posljedica istog djelovanja (stalni teret i vjetar) te ovaj uvjet nije zadovoljen. Prema EN 1994-1-1 (dio 6.7.1. (7)) - Za spregnute tlane elemente izložene momentima savijanja i uzdužnim silama koje su posljedica nezavisnih djelovanja, parcijalni koeficijent F za unutarnje sile koje pove avaju otpornost treba smanjiti za 20%.
Pojednostavljeno se može odustati od gornjeg dokaza ukoliko se vrijednosti d>1 nee raunski iskoristiti.
Za d=1.023
(za elike S235, S275 i S355)
Vrijednost d nije raunski iskorištena.
Kako je ovaj uvjet ispunjen, a prethodno je dokazana i nosivost na uzdužni silu slijedi da je granina nosivost spregnutog stupa pri uzdužnoj sili i jednoosnom savijanju zadovoljena.
OTPORNOST PRESJEKA NA POPRE NE SILE Pri odreivanju krivulje meudjelovanja treba razmotriti utjecaj poprenih posminih sila na otpornost na savijanje i uzdužnu silu, ako popre na sila Va,Ed na elinom profilu premašuje 50 % proraunske posmine otpornosti V pl,a,Ed elinoga presjeka, vidjeti toku 6.2.2.2. koja navodi: Proraunsku posminu plastinu otpornost V pl,a,Rd profila od konstrukcijskog elika treba odrediti u skladu s normom EN 1993-1-1, to ka 6.2.6. Ako je Va,Ed > 0,5 V pl,a,Ed, utjecaj poprenog posmika na otpornost pri kombiniranom savijanju s tlanom silom treba uzeti u obzir smanjenjem proraunskog popuštanja elika (1-)f yd na posminoj ploštini Av, u skladu s to kom 6.2.2.4(2). Poprena sila Va,Ed ne treba premašiti posminu otpornost elinog presjeka odreenu u skladu s tokom 6.2.2. Posmi nu otpornost armiranobetonskog dijela Vc,Ed treba provjeriti u skladu s normom EN 1992-1-1, to ka 6.2. Ako se ne upotrebljava toniji proraun, sila VEd smije se podijeliti na silu Va,Ed koja djeluje na konstrukcijski elik i silu Vc,Ed koja djeluje na armiranobetonski presjek, na sljede i nain:
poprena sila koju treba preuzeti elini dio spregnutog stupa
poprena sila koju treba preuzeti betonski dio spregnutog stupa
gdje je:
M pl,a,Rd moment plastine otpornosti elinog presjeka M pl,Rd moment plastine otpornosti spregnutog presjeka. Za naš primjer zanemariemo doprinos betona i otpornost spregnutog presjeka provjeriti na nain da itavu poprenu silu preuzima samo elini dio spregnutog stupa.
valjani I i H profili
Ako je hrbat elinog nosaa obložen betonom, nema opasnosti od njegovog izbo avanja ako je granina vitkost b/t 124. U tom sluaju dokaz izboavanja uslijed poprene sile nije potreban. Za naš sluaj b/t = 260/17.5=14.85 124*0.8375 104.
POSMI NA OTPORNOST IZME U ELIKA I BETONA I UVO ENJE OPTEREENJA U SPREGNUTI STUP Prema EN 1994-1-1, dio 6.7.4.2. (1) Posmine sile treba odrediti iz promjene sila u presjeku elinog ili armiranobetonskog dijela presjeka na duljini unosa. Ako se optereenje unosi samo preko armiranobetonskog dijela presjeka, treba uzeti u obzir vrijednosti dobivene elastinim proraunom, ukljuujui puzanje i skupljanje. U suprotnom, sile na spojnoj površini treba odrediti pomo u teorije elastinosti ili teorije plastinosti, kako bi se odredilo što je strože. Uvoenje sile u vrh stupa
elini profil HEB 260
opseg O=149.9 cm
Uzdužna sila u vrhu stupa
NEd=1875 kN
Dužina uvoenja sile p= min{2d ; L/3} 2d= 2*40=80 cm L/3= 400/3= 133.33 cm
Rd = 0.3 N/mm2 (elini presjek potpuno obložen betonom) za kompletno obložene profile β c = 1 + 0.02 ⋅ c z ⋅ (1 − β c = 1 + 0.02 ⋅ 70 ⋅ (1−
c z ,min c z 40 70
) ≤ 2.5
) = 1.6 ≤ 2.5
c* Rd=1.6*0,3=0.48MPa Uvjet posmine nosivosti (kontakt beton - elik)
iz ega slijedi
POTREBNO JE UGRADITI MOŽDANIKE !
Moždanici se ugrauju na hrbat elinog profila. Posmina nosivost moždanika se uzima P Rd. Odabiru se moždanici promjera d=19mm, visine 100mm. Moždanici su duktilni. Potreban broj moždanika na dužini p=80cm iznosi: F 942.87 = = 12.79kom. …usvojeno 14 komada Ø19/100mm (po 7 sa svake strane). nc = P rd 73.7
Položaj moždanika u spregnutom popre nom presjeku na dužini p=80cm (vidi EN 1994-1-1, dio 6.7.4.2. (1))
Posmina naprezanja na spoju elika i betona izvan podru ja unosa sile Prema EN 1994-1-1, dio 6.7.4.3. (1) Izvan podru ja unosa optereenja, uzdužni posmik na spojnoj površini betona i elika treba provjeriti kad je on uzrokovan popre nim optereenjima i/ili momentima na krajevima. Treba postaviti posmine moždanike na temelju raspodjele proraunske vrijednosti uzdužnog posmika, u podru jima gdje posmik premašuje proraunsku posmi nu otpornost Rd. Prevedeno na betonski presjek: I yc = Ia,y ⋅ Ea Ecm + Is ,y ⋅ E s Ecm + Ic ,y
I y c = 14920 ⋅ 21000 3050 + 2515.59 ⋅ 21000 3050 + 196225 I y c = 316273.32cm 4
Statiki moment presjeka nad elinom pojasnicom. Sc,ex = Aex ⋅ zex = bc ⋅ cz ⋅ ez = 40 ⋅ 7 ⋅ 16.5 = 4620cm2
kontrola naprezanja:
dodatni moždanici nisu potrebni !
Zakljuak: Posmina naprezanja izmeu elika i betona izvan dužine uvo enja sile pri vrhu stupa su manja od dopuštenih te nije potrebno dodavati moždanike.
3. Proraun spregnute plo e elik-beton
•
•
= 30 MPa f 30 = 20.0 M Pa f cd = ck = γ c 1.50 Ecm = 32000.0 MPa ck
f yk = 500 MPa
f yd = E s
•
f yk
γ s
=
500 = 434.80 MPa 1.15
= 210000.0 MPa
f yp = 250 MPa •
W p,eff ,max = 20.90cm3
= 16.90cm3 W pl = 23.80cm3 I p ,eff = 50.70cm4 I p = 60.30cm4 t p = 0.80mm h p = 55.0 mm W p,eff ,min
•
b p
= 61.50 mm
= 12.20cm 2 A p,eff = 11.0cm2 A p
= 0.10 kN / m 2 qc = 2.81kN / m 2 qm1 = 1.50kN / m 2 qm 2 = 0.75kN / m 2 q = 5.0 kN / m 2
qlim a
q (KN/m2)
• = 7.07 kN m ' (+) ΣM sd ,min = 1.20kNm V sd
•
) ΣM ( −,max = 1.27kNm sd
f max
= 0.07cm <
125 = 0.69cm 180 180 L
=
L
180
f yp 25.0 ) = 20.90 ⋅ = 4.75kNm / m > M sd( +,max M c+, Rd = Wp, eff ,max ⋅ = 1.20kNm / m γ m1 1.10 f yp 25.0 = 16.90 ⋅ = 3.84kNm / m > M sd ,min = 1.27kNm / m M c−, Rd = Wp ,eff ,min ⋅ γ m1 1.10 λ w = 0.346 ⋅
S w t
⋅
f yp E
≅
λ w ≥ 1.40 → f bv = 0.48 ⋅
λ w < 1.40 → f bv = 0.67 ⋅
S w t
84.40 ⋅ ε f yp
λ w f yp
λ w2
Ø
beff
λ p ≤ 0.673 → ρ = 1.0
= ρ ⋅ bp b p
λ p =
(1 −
t
λ p > 0.673 → ρ =
28.40 ⋅ ε ⋅ K 5
λ w = 0.85 < 1.40 → f bv = 0.67 ⋅
f yp
= 0.67 ⋅
2
λ w
0.22 λ p
)
λ p
25.0 23.18 kN / cm 2 2 = 0.85
= 55.0 − 0.80 = 54.20mm h hw 54.20 sw = w = = = 55.82mm o sin φ sin 76.21 0.971 t p = 0.8mm hw
Vw, Rd
= min. (Vb, Rd ;V pl , Rd )
Vb ,rd =
hw S w ⋅ φ
V pl ,rd =
Vw, Rd
⋅
hw S w ⋅ φ
t ⋅ f bv
γ m1
⋅t ⋅
=
f yp
⋅
5.582 ⋅ 0.08 ⋅ 23.18 = 9.41kN / rebru 1.10
1
3 γ m 0
= 5.582 ⋅ 0.08 ⋅
25 1 ⋅ = 6.44kN / rebru 3 1.0
Vb , Rd = 9.41kN kN = n ⋅Vw, Rd = 10 ⋅ 6.44 = 64.4kN > Vsd = 7.07 V = kN 6.44 pl , Rd
= min.
• • 2 l a r φ α ⋅ t ⋅ f yp ⋅ E ⋅ 1 − 0.10 ⋅ ⋅ 0.50 + 0.02 ⋅ ⋅ 2.40 + t t 90 Rw,d = = 4,82 kN γ m1
= 7.50 cm − efektivna širina nalijeganja (oslonac ) α = 0.15 − keoficijent II . kategorije profila r = 4.0 mm − unutarnji radijus zakrivljenosti lim la
r ≤ 10 t hw = 200 ⋅ sin φ t
45o ≤ φ ≤ 90o Rw , d
= 4.82 kN > Vsd = 7.07kN /10 = 0.707kN
• - g = 2.91kN / m 2 ∆ g = 2.05kN / m 2 p = 5.0kN / m 2
• V sd = 17.70 kN • M sd = qL2 8 = 14.2 ⋅ 2.52 8 = 11.09 kNm • M pl , rd ≥ M sd
f yp
25.0 1.0 X pl = = = 1.80cm < 6.50cm f ck 3.0 100.0 ⋅ 0.85 ⋅ b ⋅ 0.85 ⋅ 1.50 γ c A p ⋅
γ cp
12.20 ⋅
M pl ,rd
M pl , rd
= N cf ⋅ ( d p − 0.50 ⋅ X ) = Ap ⋅
f yp
⋅ d p −
X pl
= 12.20 ⋅
2 = 25.50kNm > M sd = 11.09kNm γ p
25.0 1.80 ⋅ 9.25 − 1.0 2
N c
= N c1 + N c 2 + N c 3 ≤ N cf = N p
N c1 = τ u , Rd ⋅ b ⋅ Lx τ u , Rd = ?
N c 2 = µ ⋅ R = µ ⋅Vsd = 0.50 ⋅17.74 = 8.87kN µ = 0.5 P Rd
= Ap ⋅
f yp ,d
γ s
= ? γ s = 1.25 =0 P Rd A p
Ø f u = 450 MPa d = 19 mm P pb ,rd = k ρ ⋅ d d 0 ⋅ t ⋅ f yp,d vlana otpornost lima na prora unskoj širini k ρ = 1 +
a d d 0
≤ 6,0
= 1.1⋅ d = 1.1⋅1.9 = 2.09cm a ≥ 1.5 ⋅ ddo = 1.5 ⋅ 2.09 = 3.14cm =6) ddo
= 15cm 25.0 P pb ,rd = 6 ⋅ 2.09 ⋅ 0.08 ⋅ = 25.08kN 1.0 lm
N c 3
N c
=
P pb ,rd l m
=
25.08 = 167.20kN / m 0.15
= N c1 + N c 2 + N c 3 = 0 + 8.87 + 167.20 = 176.07 kN
e p = 120.0 − 18.0 = 102.0 mm = 10.20cm e = 27.50mm = 2.75cm z
= h − 0.50 ⋅ X pl − e p + (e p − e ) ⋅
N c f yp
A p ⋅
=
γ ap
= 12.0 − 0.50 ⋅1.80 − 10.20 + (10.20 − 2.75) ⋅
pl
=
176.07 = 5.20cm 25.0 12.20 ⋅ 1.0
176.07 + N as = = 1.04cm b ⋅ 0.85 ⋅ f cd 100 ⋅ 0.85 ⋅ 20 N c
M pr
N c = 1.25 ⋅ M pa ⋅ 1 − f yp A p ⋅ γ ap
≤ M pa
f y 25.0 = 23.80 ⋅ = 5.41kNm M pa = Wpl ⋅ γ m1 1.10
M pr
N c = 1.25 ⋅ M pa ⋅ 1 − f yp A p ⋅ γ ap
= 1.25 ⋅ 5.41⋅ 1 − 176.07 = 2.86kNm 12.20 ⋅ 25.0 1.0
M pl , rd = N c ⋅ z + N as ⋅ z 2 + M pr = 176.07 ⋅ 0.052 + 2.86 = 12.01kNm > 11.09 kNm
V Rd
= b0 ⋅ d p ⋅τ Rd ⋅ k ⋅ (1.20 + 40 ⋅ ρ )
b0
= 7 ⋅ 63.4 = 443.8mm = 44cm
d
= d p = ht −
h p
2
= 92.50 mm = 9.25cm
τ Rd = 0.25 ⋅ f ctk γ c f ctk
k = 1.60 − d = 1.60 − 0.0925 = 1.51 A + Ap 0+8 ρ = s = = 0.02 > ρ min = 0.020 b0 ⋅ d 44 ⋅ 9.25 + 40 ⋅ ρ ) = 44 ⋅9.25 ⋅0.034 ⋅1.51 ⋅(1.20 + 40 ⋅0.02) V Rd = b0 ⋅ d p ⋅τ rd ⋅ k ⋅ (1.20 V Rd = 41.8kN > Vsd = 17.70kN
fu ⋅ π ⋅ d 2 45.0 ⋅ 3.14 ⋅1.902 = 0.80 ⋅ = 81.61kN Prd = 0.80 ⋅ 4 ⋅ γ v 4 ⋅1.25 0.29 ⋅ α ⋅ d 2 ⋅ f ck ⋅ E cm 0.29 ⋅1.0 ⋅1.902 ⋅ 3.0 ⋅ 3200 = = 72.53kN Prd = γ v 1.25 =0.85. Prd
= kτ ⋅ Prd ,mj . = 0.85 ⋅ 72.53 = 61.66kN
P 61.66 ν sd = rd = = 411.07 kN / m l m 0.15 ν sd 411.07 = = 205.53kN / m 2 2
