NOSEĆE KONSTRUKCIJE 1 -materijal za vežbe-
pripremili: dr Tatjana Kočetov-Mišulić, dig MSc Vladimir Vukobratović, dig
Novi Sad, oktobar 2012. godine
Sadržaj 1. UVOD – MONOLITNO DRVO.............................................................................1 1.1 Opterećenja..................................................................................................1 1.2 Dopušteni naponi u monolitnom drvetu........................................................1 2. DIMENZIONISANJE ELEMENATA OPTEREĆENIH NA SAVIJANJE – proračun tavanice od monolitnog drveta..................................................................................4 3. DIMENZIONISANJE I NASTAVLJANJE AKSIJALNO ZATEGNUTIH ŠTAPOVA .................................................................................................................................11 3.1 Varijanta sa ekserima i drvenim podvezicama............................................11 3.2 Varijanta sa ekserima i čeličnim limom.......................................................15 4. DIMENZIONISANJE I NASTAVLJANJE AKSIJALNO PRITISNUTIH ŠTAPOVA .................................................................................................................................17 5. VEZE U ČVOROVIMA REŠETKASTIH NOSAČA............................................21 5.1 Slučaj pritisnute vertikale i zategnute dijagonale........................................21 5.2 Slučaj pritisnute i zategnute dijagonale – prost zasek................................25 6. DIMENZIONISANJE ROŽNJAČE.....................................................................29 7. POSTUPAK DIREKTNOG DIMENZIONISANJA AKSIJALNO PRITISNUTIH ŠTAPOVA................................................................................................................32 8. ANALIZA OPTEREĆENJA VETROM NA OBJEKTE MALIH KRUTIH ZGRADA .................................................................................................................................34 9. UVOD – LAMELIRANO LEPLJENO DRVO (LLD)...........................................38 9.1 Dopušteni naponi u LLD.............................................................................38 10. PRAVILA ZA DIMENZIONISANJE NOSAČA OD LLD .....................................40 10.1 Pravi gredni nosači sa I=const..................................................................40 10.2 Nosači sa nagnutim ivicama (sa promenljivom visinom H)......................41 11. DIMENZIONISANJE ROŽNJAČE ....................................................................44 12. DIMENZIONISANJE SIMETRIČNOG TRAPEZASTOG NOSAČA..................47 13. DIMENZIONISANJE NESIMETRIČNOG TRAPEZASTOG NOSAČA.............54 PRILOG 1 – Ispitni zadatak: klasičan krov..............................................................60 PRILOG 2 – VEZE NA ZASEK I VEZE PRITISNUTIH ŠTAPOVA POD UGLOM PRILOG 3 – VEZE KOD REŠETKASTIH NOSAČA
PRILOG 4 – VEZE IZNAD OSLONCA – LEŽIŠTA PRILOG 5 – MOGUĆI OBLICI REŠETKASTIH NOSAČA LITERATURA
NAPOMENA VEZANA ZA MONOLITNO DRVO: Neki od zadataka su preuzeti iz zbirke zadataka „Drvene konstrukcije“ čiji su autori Dr Milan Gojković, Dr Boško Stevanović, Dr Milorad Komnenović, Sreto Kuzmanović i Dr Dragoslav Stojić. NAPOMENA VEZANA ZA LLD: Zadaci 11 – 13 su preuzeti iz zbirke zadataka „Drvene konstrukcije“ čiji su autori Dr Milan Gojković, Dr Boško Stevanović, Dr Milorad Komnenović, Sreto Kuzmanović i Dr Dragoslav Stojić. NAPOMENA VEZANA ZA PRILOGE 2 – 5: Prilozi su preuzeti iz knjige „Drvene konstrukcije“ čiji je autor Dr Milan Gojković i iz zbirke zadataka „Drvene konstrukcije“ čiji su autori Dr Milan Gojković, Dr Boško Stevanović, Dr Milorad Komnenović, Sreto Kuzmanović i Dr Dragoslav Stojić.
1. UVOD – MONOLITNO DRVO 1.1 Opterećenja 1. grupa opterećenja – OSNOVNA • • •
stalno opterećenje „g“ korisno opterećenje „s“ (uključujući i sneg) opterećenje vetrom kao (samostalno) „w“
„g“ „g+s“ „g+w“
2. grupa opterećenja – DOPUNSKA • • • • • • • • •
vetar kada ne deluje kao samostalno opterećenje opterećenje od skela i oplata za beton opterećenje od privremenih konstrukcija trenja na ležištima sile kočenja temperaturna dejstva skupljanje i bubrenje pritisak na ogradu horizontalna dejstva koja nisu obuhvaćena 1. grupom
„g+s+w“
3. grupa opterećenja – NAROČITA • • • • •
seizmičko dejstvo razmicanje oslonaca pritisak leda požar do 30 minuta udari vozila
O opterećenjima se detaljnije može pročitati u prilogu na stranama 415-416.
1.2 Dopušteni naponi u monolitnom drvetu Razlikuju se prema: (1) botaničkoj vrsti drveta • četinari (bor, jela, smrča) • lišćari (hrast, bukva) (2) klasi kvaliteta – I, II i III klasa (3) vrsti naprezanja – pregled dat u tabeli ispod (4) procentu vlažnosti: >18% ili ≤18% u odnosu na suvu masu 1
pritisak paralelno vlaknima
σcII
pritisak upravo na vlakna
σc┴
zatezanje paralelno vlaknima
σtII
ivični napon pri savijanju
σm
smicanje paralelno vlaknima
τII
smicanje pri savijanju
τmII
pritisak pod uglom
σcα
presecanje vlakana
τ┴
Na strani 431 priloga se nalazi tabela osnovnih dopuštenih napona za opterećenja iz 1. grupe i za vlažnost drveta od 18%. Vrednosti su date u N/cm². U nastavku su data pravila za redukciju osnovnih dopuštenih napona. (a) u slučaju kombinacije opterećenja GRUPA 1+GRUPA 2 treba izvršiti povećanje osnovnih dopuštenih napona za 15% (b) u slučaju kombinacije opterećenja GRUPA 1+GRUPA 2+GRUPA 3 treba izvršiti povećanje osnovnih dopuštenih napona za 50% (c) u zavisnosti od dužine trajanja opterećenja merodavne dopuštene napone treba redukovati koeficijentom kd=0,9 ako su ispunjeni sledeći uslovi: • puno računsko opterećenje deluje bez prestanka • korisna opterećenja ili sneg deluju duže od 3 meseca (d) dopušteni naponi pritiska pri delovanju sile koso u odnosu na smer vlakana se računa kao: σcα,dop=σcII,dop-(σcII,dop-σc┴,dop)sinα; na strani 432 priloga pogledati dodatne uslove (e) ako je vlažnost drveta ≠18% osnovne dopuštene napone redukujemo pomoću koeficijenata iz tabele 3 sa strane 433 priloga (f) u zavisnosti od stepena održavanja tj. zaštite konstrukcije, osnovne dopuštene napone redukujemo koeficijentom kat prema sledećim pravilima: (f1) glavni noseći elementi (f1.1) potpuno otvoreni objekti, nezaštićeni i izloženi atmosferilijama ili izloženi visokoj trajnoj vlažnosti vazduha u zatvorenom prostoru • nenadzirani i neodržavani kat=0,85 • nadzirani i održavani kat=0,90 (f1.2) delimično otvoreni objekti sa najmanje jedne bočne strane, koji su nezaštićeni i delimično izloženi atmosferilijama • nenadzirani i neodržavani kat=0,90 • nadzirani i održavani kat=0,95 2
(f1) sekundarni noseći elementi (f2.1) potpuno otvoreni objekti, nezaštićeni i izloženi atmosferilijama ili izloženi visokoj trajnoj vlažnosti vazduha u zatvorenom prostoru • nenadzirani i neodržavani kat=0,90 • nadzirani i održavani kat=1,00 (f1.2) delimično otvoreni objekti, sa najmanje jedne bočne strane, koji su nezaštićeni i delimično izloženi atmosferilijama • nenadzirani i neodržavani kat=0,95 • nadzirani i održavani kat=1,00 Ako izvršimo zaštitu glavnih nosećih elemenata od atmosferilija koeficijent kat može biti povećan za 10% ali njegova vrednost ni u kom slučaju ne sme biti veća od 1,00. (g) za konstrukcije izložene delovanju hemijskih uticaja: • za pH koncentraciju u granicama od 3,5-8,5 nema smanjenja • za pH koncentraciju u granicama od 2-3,5 i 8,5-10 redukcija faktorom kk=0,65 (h) u području srednjih oslonaca kontinualnih nosača vrednosti osnovnih dopuštenih napona za savijanje se mogu povećati za 10%, što se ne odnosi na rogove krovne konstrukcije (i) u području srednjih oslonaca kontinualnih nosača vrednosti osnovnih dopuštenih smičućih napona se mogu povećati za 1/3 ako drvo nema pukotine, što se ne odnosi na rogove krovne konstrukcije (j) za oblu građu koja nije slabljena u ivičnoj zoni poprečnog preseka dopušteno je povećanje osnovnih dopuštenih napona na savijanje i pritisak paralelno vlaknima za 20% (k) u zavisnosti od širine oslonaca i položaja delovanja opterećenja – videti u tabeli 4 priloga na strani 435 (l) ako pri proračunu nastavaka zategnutih štapova upotrebljavamo eksere i koristimo bruto vrednosti površine poprečnog preseka, onda se osnovni dopušteni napon na zatezanje paralelno vlaknima mora redukovati za 20%, a ako računamo da je presek oslabljen i koristimo neto karakteristike tada se ova redukcija ne uzima u obzir Ukupni korekcioni koeficijent dobijamo množenjem svih koeficijenata.
3
2. DIMENZIONISANJE ELEMENATA OPTEREĆENIH NA SAVIJANJE – proračun tavanice od monolitnog drveta Na slici je prikazana konstrukcija međuspratne tavanice od monolitnog drveta, koja se sastoji iz glavnih greda (POS 3), sekundarnih greda (POS 2) i daski – planki poda (POS 1). Strelicama je prikazan pravac nošenja daski poda. Po osnovi tavanice deluje opterećenje intenziteta 2,0 kN/m², što uključuje i sopstvenu težinu drvenih elemenata. Dimenzionisati sve naznačene pozicije (uslovi napona i ugiba) prema merodavnim statičkim uticajima. Za građu koristiti četinare II klase (σmd=1000 N/cm²). Dopušteni ugib za sve elemente iznosi l/200.
Dimenzionisanje POS 1a i POS 1b Daske poda POS 1a i POS 1b su statičkog sistema proste grede raspona 2,0 m i 3,0 m, respektivno. U slučaju da se predviđa hodanje po daskama, minimalna debljina daske iznosi 3,8 cm. Minimalna i maksimalna širina, debljina i raspon dasaka koje možemo naći na tržištu zavise od proizvođača. Dimenzije dasaka za četinarsku građu su definisane standardima JUS D.C1.040 i JUS D.C1.041 (strane 411 i 412 priloga). Za konstrukcije tavanica uobičajeno je da se usvajaju daske širine 20 cm. Statički sistem i opterećenja dasaka POS 1a i POS 1b su dati na slici ispod.
4
Pretpostavljamo daske širine b=20 cm. Linijsko opterećenje jedne daske POS 1a i POS 1b računamo kao: qa = qb = 2, 0 ⋅ 0, 20 ⋅ 103 = 400 N / m ' S obzirom da su opterećenja ista a da je raspon dasaka POS 1b veći nego raspon dasaka POS 1a za 1,0 m, jasno je da je za dimenzionisanje merodavna POS 1b. Maksimalni moment savijanja koji se javlja u POS 1b je jednak: max M =
q ⋅ l 2 400 ⋅ 3, 02 = = 450 Nm 8 8
Potrebnu visinu dasaka određujemo iz uslova dozvoljenog napona i dozvoljenog ugiba (u ovom slučaju l/200) i usvajamo merodavnu – veću vrednost. Za određivanje potrebne visine dasaka iz navedenih uslova možemo izvesti sledeće izraze:
σ
m
=
max M ≤σ W
md
→ W≥
max M → σ md
5 q ⋅ l4 l 125 q ⋅ l 4 δ = ⋅ ≤ → I≥ ⋅ → 384 EP ⋅ I 200 48 EP ⋅ l
b ⋅ h 2 max M ≥ → h≥ 6 σ md
6 ⋅ max M b ⋅ σ md
b ⋅ h3 125 q ⋅ l 4 ≥ ⋅ → h≥ 12 48 EP ⋅ l
125 q ⋅ l 4 3 ⋅ 4 b ⋅ EP ⋅ l
Modul elastičnosti paralelno vlaknima za četinare i vlažnost drveta do 18% je jednak 1000 kN/cm²=106 N/cm² (tabela 19, strana 459 priloga). Prilikom korišćenja gore navedenih izraza voditi računa o jedinicama. Potrebna visina preseka se dobija u centimetrima ako poštujemo način unosa prikazan u nastavku. Sada računamo potrebnu visinu dasaka kao: •
iz uslova dopuštenog napona h≥
•
6 ⋅ 450 ⋅ 102 Ncm = 3, 67 cm 20, 0 cm ⋅ 1000 N / cm 2
iz uslova dopuštenog ugiba h≥
3
125 4, 0 N / cm '⋅ 300, 04 cm 4 ⋅ = 5,53 cm 4 20, 0 cm ⋅ 106 N / cm 2 ⋅ 300 cm
Merodavan je uslov dopuštenog ugiba. Usvajamo presek b/h=20/6 za POS 1a i POS 1b
5
Geometrijske karakteristike usvojenog poprečnog preseka: W=
20 ⋅ 62 20 ⋅ 63 = 120, 0 cm3 , I = = 360, 0 cm 4 6 12
Računamo stvarne vrednosti napona i ugiba za daske POS 1b:
σ
δ =
m
=
max M 450 ⋅ 102 = = 375 N / cm 2 < σ W 120, 0
md
= 1000 N / cm 2
5 q ⋅ l4 5 4, 0 N / cm '⋅ 300, 04 cm4 l ⋅ = ⋅ 6 = 1,17 cm < = 1,50 cm 2 4 384 EP ⋅ I 384 10 N / cm ⋅ 360, 0 cm 200
Dimenzionisanje POS 2a i POS 2b Sekundarne grede POS 2a i POS 2b su statičkog sistema proste grede raspona 2,0 m i 3,0 m, respektivno.
Statički sistem i opterećenja sekundarnih greda POS 2a i POS 2b su dati na slici ispod. Linijsko opterećenje koje deluje na gredu POS 2a računamo kao: qa = 2, 0 kN / m 2 ⋅
2, 0 m = 2, 0 kN / m ' = 2000 N / m ' 2
Vertikalne reakcije oslonaca POS 2a iznose: Ra =
qa ⋅ l 2, 0 ⋅ 2, 0 = = 2, 0 kN = 2000 N 2 2
Linijsko opterećenje koje deluje na gredu POS 2b računamo kao: 6
qb = 2, 0 kN / m 2 ⋅
3, 0 m = 3, 0 kN / m ' = 3000 N / m ' 2
Vertikalne reakcije oslonaca POS 2b iznose: Rb =
q ⋅ l 3, 0 ⋅ 3, 0 = = 4,50 kN = 4500 N 2 2
S obzirom da su opterećenje i raspon veći u slučaju POS 2b, jasno je da je ona merodavna za dimenzionisanje. Maksimalni moment savijanja koji se javlja u POS 2b iznosi: max M =
q ⋅ l 2 3000 ⋅ 3, 02 = = 3375 Nm 8 8
Pretpostavljamo presek širine b=12 cm. Potrebnu visinu dasaka određujemo iz uslova dozvoljenog napona i dozvoljenog ugiba (u ovom slučaju l/200) i usvajamo merodavnu – veću vrednost. Za određivanje potrebne visine dasaka koristimo gore navedene izraze. Računamo potrebnu visinu dasaka kao: •
iz uslova dopuštenog napona h≥
•
6 ⋅ 3375 ⋅ 102 Ncm = 12,99 cm 12, 0 cm ⋅ 1000 N / cm 2
iz uslova dopuštenog ugiba h≥
3
125 30, 0 N / cm '⋅ 300, 04 cm 4 ⋅ = 12,82 cm 4 12, 0 cm ⋅ 106 N / cm2 ⋅ 300 cm
Merodavan je uslov dopuštenog napona. Usvajamo presek b/h=12/14 za POS 2a i POS 2b Geometrijske karakteristike usvojenog poprečnog preseka: W=
12 ⋅ 142 12 ⋅ 143 = 392, 0 cm3 , I = = 2744, 0 cm 4 6 12
Kontrola napona:
σ
m
=
max M 3375 ⋅ 102 = = 861 N / cm 2 < σ W 392, 0 7
md
= 1000 N / cm 2
Kontrola ugiba: 5 q ⋅ l4 5 30, 0 N / cm '⋅ 300, 04 cm 4 l δ = ⋅ = ⋅ 6 = 1,15 cm < = 1,50 cm 2 4 384 EP ⋅ I 384 10 N / cm ⋅ 2744, 0 cm 200
Dimenzionisanje POS 3a i POS 3b Glavne greda POS 3a i POS 3b su statičkog sistema proste grede, raspona 5,0 m. Statički sistem i opterećenje glavnih greda POS 3a i POS 3b su dati na slici ispod.
Sa slike je jasno da je opterećenija greda POS 3b pa je ona istovremeno merodavna za dimenzionisanje. Na gredu deluju linijska opterećenja koja se prenose preko POS 1a i POS 1b, kao i vertikalne reakcije greda POS 2a i POS 2b (koncentrisane sile). Linijska opterećenja koja deluju na gredu računamo kao: 2, 0 m = 2, 0 kN / m ' = 2000 N / m ' 2 3, 0 m qb = 2, 0 kN / m 2 ⋅ = 3, 0 kN / m ' = 3000 N / m ' 2 qa = 2, 0 kN / m 2 ⋅
Tačkasto opterećenje koje deluje na gredu je jednako sumi vertikalnih reakcija greda POS 2a i POS 2b i iznosi:
R = R2 a + R2b = 2, 0 + 4,5 = 6,5 kN = 6500 N
8
Maksimalni moment savijanja se javlja na mestu delovanja koncentrisane sile i iznosi max M = 15, 0 kNm = 15000 Nm Pretpostavljamo presek dimenzija b/h=18/24 cm. Geometrijske karakteristike poprečnog preseka: 18 ⋅ 242 18 ⋅ 243 3 W= = 1728, 0 cm , I = = 20736, 0 cm 4 6 12 Kontrola napona:
σ
m
=
max M 15000 ⋅ 102 = = 868 N / cm 2 < σ W 1728, 0
md
= 1000 N / cm 2
Maksimalan ugib se javlja u sredini raspona. Za proračun ugiba koristimo izraze koji su dati u tabeli 79, na 650. strani priloga. Za slučaj kada koncentrisana sila deluje u proizvoljnom preseku nosača u pomenutoj tabeli postoji izraz za ugib. Kada je u pitanju kontinualno opterećenje koje deluje na delu nosača ne postoji izvedeni izraz. Iz tog razloga ćemo deo kontinualnog opterećenja takođe predstaviti kao koncentrisanu silu. Ukupan ugib određujemo superpozicijom ugiba izračunatih za sva opterećenja, i to za: • jednakopodeljeno opterećenje koje deluje duž celog nosača (intenzitet 2,0 kN/m) • za jednakopodeljeno opterećenje koje deluje na dužini od 2,0 m (intenzitet 1,0 kN/m) i koje predstavljamo kao koncentrisanu silu i • koncentrisanu silu R=6,5 kN=6500 N
δ ≈
rezultanta 64 74 8 1000 ⋅ 2, 0 m ⋅ 1, 0 ⋅ ( 3 ⋅ 5, 02 − 4 ⋅ 1, 02 )
5 20, 0 ⋅ 500, 0 ⋅ 6 384 10 ⋅ 20736,3 0 144 42444 4
jednakopodeljeno opterećenje 2,0 kN/m'
+ 0, 02083 ⋅ + 20736, 0 144444444244444444 3 jednakopodeljeno opterećenje 1,0 kN/m' koje deluje na dužini od 2,0 m
6500 ⋅ 2, 0 ⋅ ( 3 ⋅ 5, 0 − 4 ⋅ 2, 02 ) 2
0, 02083 ⋅
20736, 0 14444 4244444 3
= 1, 70 cm <
l = 2,50 cm 200
koncentrisana sila R=6500 N
Tačna vrednost ugiba u sredini raspona iznosi 1,68 cm tako da je jasno da prikazani postupak daje rezultat dovoljne tačnosti. Usvajamo presek b/h=18/24 za POS 3a i POS 3b
9
DODATAK – spojevi i veze Glavne i sekundarne grede se vezuju čeličnim limovima – papučama. Kao spojno sredstvo mogu biti korišćeni zavrtnji ili ekseri.
Dužina oslanjanja grede na noseći zid je po pravilu jednaka njenoj visini. Grede se oslanjaju na AB serklaž i učvršćuju anker zavrtnjima ili na drugi način. Na slici ispod je dato jedno od mogućih rešenja oslanjanja drvene grede na zid od opeke.
10
3. DIMENZIONISANJE I NASTAVLJANJE AKSIJALNO ZATEGNUTIH ŠTAPOVA Za sve predstojeće primere važe sledeći podaci: • građa: četinari II klase (σtIId=850 N/cm²) • osnovni slučaj opterećenja → nema redukcije dopuštenih napona • sila zatezanja Z=65 kN
3.1 Varijanta sa ekserima i drvenim podvezicama S obzirom da će poprečni presek biti oslabljen, dopušteni napon moramo redukovati za 20% ili u proračunu moramo izračunati neto karakteristike preseka. Potrebne dimenzije poprečnog preseka: Z 65 ⋅ 103 potrA = = = 95, 6 cm 2 0,8 ⋅ σ tIId 0,8 ⋅ 850 Moguće dimenzije greda za četinare su: • jela i smrča b=8-22 cm (za po 1 cm); h=8-30 cm (za po 1 cm) • bor b=10-22 cm (za po 2 cm); h=10-30 cm (za po 2 cm) → pretpostavlja se presek b/h=10/12 (A=120 cm²) SAVET: Visinu podvezica u slučaju nastavka sa ekserima usvojiti 2-4 cm veću od visine osnovnog preseka (sa obe strane). Na taj način dobijamo manju debljinu podvezice, a samim tim i tanje eksere. → usvaja se podvezica visine 18 cm → PRILOG, str. 566, član 9.4 NASTAVCI ZATEGNUTIH ŠTAPOVA: • u slučaju podvezica sa spoljnje strane, napone u podvezicama kontrolisati sa 50% povećanom stvarnom silom
potrAp = 1,5 ⋅
Z 0,8 ⋅ σ
= 1,5 ⋅ tIId
65 ⋅ 103 = 143, 4 cm 2 0,8 ⋅ 850
Potrebna širina jedne podvezice: a=
143, 4 ≅ 4, 0 cm 2 ⋅ 18, 0
→ usvajaju se podvezice a/hp=2x4/18 cm (Ap=144 cm²)
11
Usvojena debljina podvezice od 4 cm odgovara ekserima: E38, E42, E46, E55 (videti tabelu 54 na str. 545). → pretpostavljamo eksere E42/100 Vitkost eksera mora biti u granicama 6,0 < λ < 11,5: a 4, 0 λ = = = 9,52 (uslov zadovoljen) d 0, 42 Potrebna dubina zabijanja za jednosečne eksere iznosi s≥12·d (za punu nosivost). • •
potrebna dubina zabijanja s≥12·0,42=5,04 cm stvarna dubina zabijanja sstv=l-a=10,0-4,0=6,0 cm > 5,04cm (uslov ispunjen)
Eksere ćemo zabijati sa obe strane i u tom slučaju moramo poštovati uslove standarda (član 8.4.14, slika 51, str. 547): • •
as – debljina srednjeg drveta koja je u našem slučaju jednaka debljini grede koju nastavljamo (as=b=10,0 cm) uslov naspramnog zabijanja: as ≥ sstv+8·d → 10,0 ≥ 6,0+8·0,42=9,36 cm → uslov je ispunjen tako da se ekseri mogu zabijati jedni naspram drugih na rastojanju 12·d
Napomena: Rastojanje važi za eksere ≥E42 (bušene eksere), u suprotnom važi rastojanje 10·d. → usvajamo jednosečne eksere E42/100, nosivost jednog eksera N1=775 N Napomena: Računska nosivost bušenih eksera i eksera u kombinaciji sa tankim limom se računa sa 25% povećanom punom nosivošću (što je ovde već uzeto u obzir). Nosivost eksera se može naći u tabeli 54 na str. 545, ili se može izračunati (izraz u članu 8.4.9 na str. 546), što će biti pokazano u sledećoj varijanti. Ovde je vrednost očitana iz tabele. Potreban broj eksera sa jedne strane veze, za jednu podvezicu: Z Z 65 ⋅ 103 n= 2 = = = 41,9 komada N1 2 ⋅ N1 2 ⋅ 775 12
Na visini h grede, može da stane: h 12 R= − 1= − 1 = 4, 71 redova 5⋅ d 5 ⋅ 0, 42 Usvaja se R=4 reda, po vertikali. Broj eksera u horizontalanim redovima: n 41,9 S= = = 10,5 > 10 komada ⇒ R 4 član 8.4.9, str. 546: nosivost veze u kojoj ima više od 10 eksera u redu, mora se smanjiti za 10%, a u slučaju za više od 20 eksera u redu nosivost se mora smanjiti za 20%. Računamo novi potreban broj eksera, pri čemu redukujemo nosivost jednog eksera za 10%: Z Z 65 ⋅ 103 2 = n= = = 46, 6 komada 0,9 ⋅ N1 2 ⋅ 0,9 ⋅ N1 2 ⋅ 0,9 ⋅ 775 Broj eksera u horizontalnim redovima sada iznosi: n 46, 6 S= = = 11, 7 komada → Susv = 12 komada R 4 → usvaja se ukupan broj eksera sa jedne strane nastavka 2x4·12=96 E42/100 (detalj za izvršenje dat na sledećoj strani) Kontrola napona 1. Osnovni presek Aneto = b ⋅ h − 2 ⋅ R ⋅ d ⋅ b = 10 ⋅ 12 − 2 ⋅ 4 ⋅ 0, 42 ⋅ 10 = 86, 4 cm2 Napon u preseku:
σ
tII
Z 65 ⋅ 103 = = 752,3 N /cm 2 < σ Aneto 86, 4
=
tIId
= 850 N /cm 2
2. Podvezice Ap ,neto = 2 ⋅ a ⋅ hp − 2 ⋅ R ⋅ d ⋅ a = 2 ⋅ 4 ⋅ 18 − 2 ⋅ 4 ⋅ 0, 42 ⋅ 4 = 130, 6 cm2 Napon u podvezicama:
σ
tII
= 1,5 ⋅
Z Ap ,neto
= 1,5 ⋅
65 ⋅ 103 = 746, 6 N /cm 2 < σ 130, 6
13
tIId
= 850 N /cm 2
14
3.2 Varijanta sa ekserima i čeličnim limom Zadržavamo isti presek (b/h=10/12). Za limove debljine veće od 2 mm, ne treba vršiti poseban dokaz nosivosti. Usvajamo debljinu lima t=3,5 mm i visinu lima hlima=11 cm (za po 5 mm manje sa svake strane grede). Prema članu 8.4.4 (str. 544), za spojeve sa tankim limom debljine veće od 2 mm, važi uslov da je minimalna dubina zabijanja eksera 15·d. → pretpostavljamo eksere E42/90 Potrebna dužina eksera: lmin = t + 15 ⋅ d = 3,5 + 15 ⋅ 4, 2 = 66,5 mm < pretp. 90 mm Nosivost eksera: N1 = 1, 25 ⋅
5000 ⋅ d 2 5000 ⋅ 0, 422 = 1, 25 ⋅ = 775 N 1+ d 1 + 0, 42
Stvarna dubina zabijanja: sstv=l-a=90,0-3,5=86,5 mm=8,65 cm > 15·d=6,30 cm • •
uslov naspramnog zabijanja: as ≥ sstv+8·d → 10,0 ≥ 8,65+8·0,42=12,01 cm → uslov nije ispunjen tako da se ekseri ne mogu zabijati jedni naspram drugih uslov naizmeničnog zabijanja eksera: sstv < as < sstv+8·d → 8,65 cm < 10 cm < 12,01 cm → vertikalni redovi eksera su smaknuti jedni u odnosu na druge, prema slici 51 na str. 547. Minimalno rastojanje vertikalnih redova iznosi 6·d=6·0,42=2,52 cm (usvaja se 3,0 cm)
Potreban broj eksera sa jedne strane veze, za jednu podvezicu: Z Z 65 ⋅ 103 2 n= = = = 41,9 komada N1 2 ⋅ N1 2 ⋅ 775 Na visini h grede, može da stane: h 12 R= − 1= − 1 = 4, 71 redova 5⋅ d 5 ⋅ 0, 42 Usvaja se R=4 reda, po vertikali. Broj eksera u horizontalanim redovima: n 41,9 S= = = 10,5 > 10 komada ⇒ R 4 član 8.4.9, str. 546: Nosivost veze u kojoj ima više od 10 eksera u redu, mora se smanjiti za 10%, a u slučaju za više od 20 eksera u redu nosivost se mora smanjiti za 20%. Računamo novi potreban broj eksera, pri čemu redukujemo nosivost jednog eksera za 10%: 15
Z Z 65 ⋅ 103 2 = n= = = 46, 6 komada 0,9 ⋅ N1 2 ⋅ 0,9 ⋅ N1 2 ⋅ 0,9 ⋅ 775 Broj eksera u horizontalnim redovima sada iznosi: n 46, 6 S= = = 11, 7 komada → Susv = 12 komada R 4 → usvaja se ukupan broj eksera sa jedne strane nastavka 2x4·12=96 E42/90
Kontrola napona 1. Osnovni presek Aneto = b ⋅ h − R ⋅ d ⋅ b = 10 ⋅ 12 − 4 ⋅ 0, 42 ⋅ 10 = 103, 2 cm 2 Napon u preseku:
σ
tII
=
Z 65 ⋅ 103 = = 629,84 N /cm 2 < σ Aneto 103, 2
tIId
= 850 N /cm 2
2. Podvezice Koristi se 90% vrednosti dozvoljenog napona za čelik iz razloga mogućih nesigurnosti pri izvršenju. Pretpostavljamo čelik Č0361 koji ima dopušteni napon σd=16,0 kN/cm² (tabela 82, str.660). Ap ,neto = 2 ⋅ t ⋅ hlima − R ⋅ d ⋅ t = 2 ⋅ 0,35 ⋅ 11 − 4 ⋅ 0, 42 ⋅ 0,35 = 7,11 cm2 Napon u podvezivama: Z 65 ⋅ 103 σz= = = 9142,1 N /cm 2 < 0,9 ⋅ 16000 = 14400 N /cm 2 Ap , neto 7,11 3. Pritisak po omotaču rupe
σ =
Z 65 ⋅ 103 = = 4606 N /cm 2 < 0,9 ⋅ 24000 = 21600 N /cm 2 2 ⋅ n ⋅ d ⋅ t 2 ⋅ 48 ⋅ 0, 42 ⋅ 0,35 16
4. DIMENZIONISANJE I NASTAVLJANJE AKSIJALNO PRITISNUTIH ŠTAPOVA Nastaviti aksijalno pritisnut štap gornjeg pojasa rešetke opterećen silom F=90 kN. Dimenzije štapa b/h=12/20 cm. Za spojna sredstva koristiti zavrtnjeve, a za građu četinare II klase. Iz tabele 2 sa 431. strane priloga čitamo vrednost osnovnog dopuštenog napona → σcIId=850 N/cm². Nastavci pritisnutih štapova – član 9.6, strana 567 priloga. Nastavak treba postavljati neposredno uz čvor. Ukoliko je osiguran kontakni prenos sile pritiska podvezice su konstruktivne. → usvajamo podvezice 2x8/20
Pretpostavljamo zavrtnjeve u dva reda. Pri tome moramo uvažiti ograničenja koja su definisana na slici ispod.
2 ⋅ 3d + 5d = 20, 0 → d =
20 = 1,82 cm 11
→ usvajamo zavrtnjeve M18 17
Član 9.6, strana 567 priloga: ako je osiguran kontakt između nastavljenih elemenata, broj spojnih sredstava računamo za ½ sile. Iz tabele 53 čitamo vrednosti za σd i k (četinari II klase i dvosečna veza) i računamo nosivost u odnosu na srednje i bočno drvo: • srednje drvo: σd=850 N/cm² i k=3800 N/cm² N1 = σ d ⋅ a3 ⋅ d = 850 ⋅ 12 ⋅ 1,8 = 18360 N N 2 = k ⋅ d 2 = 3800 ⋅ 1,82 = 12312 N •
bočno drvo: σd=550 N/cm² i k=2600 N/cm² N 3 = 2 ⋅ σ d ⋅ a1 ⋅ d = 2 ⋅ 550 ⋅ 8 ⋅ 1,8 = 15840 N N 4 = 2 ⋅ k ⋅ d 2 = 2 ⋅ 2600 ⋅ 1,82 = 16848 N
Usvaja se Nmin=N2=12312 N.
n=
F / 2 45 ⋅ 103 = = 3, 65 komada N min 12312 → usvojeno 4M18
Prilikom kontrole napona imati u vidu član 7.2.1.2 sa strane 463 priloga koji kaže da sa neto površinom treba računati samo u slučaju kada nije obezbeđen besprekoran kontakt između spojnih sredstava i osnovnog materijala → bruto presek. Pre kontrole napona moramo proveriti vitkost štapa jer od nje zavisi koji ćemo izraz koristiti. Vitkost je definisana kao: L λ= i i gde je sa Li obeležena dužina izvijanja štapa, a sa i poluprečnik inercije: I i= A Moment inercije i površinu poprečnog preseka određujemo za bruto presek (kao što je već napomenuto). Članom 7.2.2.1.4 sa strane 465 priloga se zahteva da vitkost mora biti određena za najmanje dva ortogonalna pravca. U daljem proračunu je manja vitkost merodavna. Članom 7.2.2.1.3 sa strane 465 priloga ograničava vitkost na sledeće vrednosti: • •
λ≤150 u slučaju glavnih nosećih elemenata za koje se sa dovoljnom sigurnošću može odrediti dužina izvijanja λ≤120 u slučaju glavnih nosećih elemenata koji su deo konstrukcijskog 18
•
sistema koji ne omogućuje pouzdanu tačnost proračuna λ≤175 u slučaju sekundarnih elemenata čija stabilnost nije od posebnog značaja
U slučaju da je vitkost štapa ≤10 napon kontrolišemo prema sledećem izrazu:
σ
cII
=
F ≤σ A
cIId
Vitkost elemenata je gotovo uvek veća od 10 pa se uticaji izvijanja moraju uzeti u obzir. To radimo tako što osnovni dopušteni napon redukujemo koeficijentom izvijanja ω (član 7.2.2.1.1, strana 464 priloga).
σ
cII
=
F σ cIId ≤ → σ A ω
cII
=ω
F ≤σ A
cIId
Koeficijent izvijanja zavisi od vitkosti štapa i to na sledeći način: •
za λ≤75
ω =
•
1 λ 1 − 0,8 100
2
za λ>75
ω =
λ2 3100
Štapovi rešetke su u statičkom smislu prosti štapovi. Za dužinu izvijanja se usvaja dužina samog štapa. l 285 Li = = = 289, 40 cm cos α cos10o
12 ⋅ 203 = 8000 cm 4 → ix = 12
8000 = 5, 77 cm 12 ⋅ 20
20 ⋅ 123 = 2880 cm 4 → i y = 12 L 289, 40 λ = i = = 83, 64 < 150 iy 3, 46
2880 = 3, 46 cm 12 ⋅ 20
Ix = Iy =
Koeficijent izvijanja iznosi:
λ2 83, 64 2 ω = = = 2, 26 3100 3100
19
Kontrola napona u osnovnom preseku
σ
cII
=ω
F 90 ⋅ 103 = 2, 26 ⋅ = 847,5 N /cm 2 < σ A 12 ⋅ 20
Detalj za izvršenje je dat na slici ispod.
20
cIId
= 850 N /cm 2
5. VEZE U ČVOROVIMA REŠETKASTIH NOSAČA 5.1
Slučaj pritisnute vertikale i zategnute dijagonale
Za slučaj čvora rešetke prikazanog na slici ispod izvršiti dimenzionisanje štapova i oblikovanje čvora. Za spojna sredstva koristiti eksere, a za građu četinare II klase. Iz tabele 2 sa 431. strane priloga čitamo vrednost osnovnih dopuštenih napona → σcIId=σtIId=850 N/cm² i σc┴d=200 N/cm².
(1) Dimenzionisanje pritisnute vertikale (dužina štapa je 62,5 cm) •
prema sili pritiska i dužini izvijanja
S obzirom da je donji pojas širine 14 cm usvajamo vertikalu 10/14. Dužina izvijanja je jednaka dužini štapa, Li=62,5 cm. Minimalni momenat inercije i odgovarajući minimalni poluprečnik inercije računamo kao: g 14 ⋅ 103 I min I min = = 1166, 6 cm 4 → imin = = 2,89 cm 12 A Vitkost iznosi:
λ =
62,5 = 21, 63 < 75 2,89
Koeficijent izvijanja računamo kao: 1 1 ω = = = 1, 04 2 2 λ 21, 63 1 − 0,8 1 − 0,8 100 100 Napon pritiska paralelno vlaknima iznosi:
21
σ •
cII
=ω
V 10, 4 ⋅ 103 = 1, 04 ⋅ = 77, 26 N / cm 2 < σ A 10 ⋅ 14
cIId
= 850 N / cm 2
prema površini oslanjanja u čvoru, načinu vezivanja i sili u štapu
σ
c⊥
=
V 10, 4 ⋅ 103 = = 74, 29 N / cm 2 < σ Avert . 10 ⋅ 14
c⊥ d
= 200 N / cm 2
(2) Dimenzionisanje zategnute dijagonale Pretpostavljamo da se dijagonala sastoji iz dve daske.
potrA =
D 23, 2 ⋅ 103 = = 34,12 cm 2 0,8σ tIId 0,8 ⋅ 850
→ usvajamo 2x2,4/10 (A=48,0 cm²) Važeći propisi za drvene konstrukcije preporučuju da minimalna debljina drveta za zabijane eksere i četinarsku građu iznosi 2,4 cm, dok za daščane nosače minimalna širina iznosi 10 cm. Usvojeni presek dijagonale zadovoljava ove uslove. Odgovaraju nam ekseri: E22, E25, E28, E31 i E38. → usvajamo E28/65, N1=300 N • • •
potrebna dubina zabijanja za punu nosivost: s≥12·d=12·0,28=3,36 cm stvarna dubina zabijanja: sstv=l-a=6,5-2,4=4,1 cm > 12·d=3,36 cm uslov naspramnog zabijanja: as ≥ sstv+8·d → 14,0 ≥ 4,1+8·0,28=6,34 cm → uslov ispunjen pa se ekseri mogu zabijati jedni naspram drugih na rastojanju od 10d
Potrebna dužina eksera: lmin = a + 12d = 2, 4 + 12 ⋅ 0, 28 = 5, 76 cm < leksera = 6,5 cm Potreban broj eksera sa jedne strane veze:
n=
D 23, 2 ⋅ 103 = = 38, 7 komada 2 N1 2 ⋅ 300
Na slici ispod su data minimalna rastojanja na kojima treba rasporediti eksere za slučaj kada štapovi koje spajamo nisu vezani pod pravim uglom. Slika se nalazi na 547. strani priloga. Za broj redova eksera po visini možemo izvesti sledeći izraz: h 1 S= − 1, 2 +1 10d sin α 22
Gornji izraz važi za eksere prečnika manjeg od 42 mm. U suprotnom treba umesto 10d treba koristiti 12d, što je naznačeno i na slici. Moguć broj redova po visini iznosi:
1 18, 0 S= − 1, 2 + 1 = 12, 7 → usvojeno S = 12 > 10 o 10 ⋅ 0, 28 sin 26,56 Potreban broj redova po širini dijagonale iznosi: R=
n 38, 7 = = 3, 2 S 12
Iz slike vidimo da za usvojeni broj redova po širini mora biti usvojen uslov za širinu daske: b = 5d ( R + 1) = 5 ⋅ 0, 28 ⋅ ( 4 + 1) = 7, 0 cm < usvojenih 10 cm Po širini dijagonale može da stane sledeći broj redova: R=
b 10, 0 − 1= − 1 = 6,1 5d 5 ⋅ 0, 28
Konačno usvajamo: R= 5 → S=
38, 7 = 7, 7 → S = 8 5
Ukupan usvojen broj eksera je 40 komada, što je veće od potrebnih 38,7 komada. 23
Kontrola napona Aneto = 2 ⋅ 2, 4 ⋅ 10, 0 − 2 ⋅ 5 ⋅ 0, 28 ⋅ 2, 4 = 41, 28 cm2 Napon u preseku:
σ
tII
=
D 23, 2 ⋅ 103 = = 562 N / cm 2 < σ Aneto 41, 28
Detalj za izvršenje je dat na slici ispod.
24
tIId
= 850 N / cm 2
5.2
Slučaj pritisnute i zategnute dijagonale – prost zasek
Za slučaj čvora rešetke prikazanog na slici ispod izvršiti dimenzionisanje štapova i oblikovanje čvora. Za spojna sredstva koristiti eksere, a za građu četinare II klase. Iz tabele 2 sa 431. strane priloga čitamo vrednost osnovnih dopuštenih napona → σcIId=σtIId=850 N/cm² i σc┴d=200 N/cm².
(1) Dimenzionisanje dijagonale D2 (pritisnuta dijagonala, dužina štapa je 246 cm) Pretpostavljamo presek dijagonale 15/15 cm. Dužina izvijanja je jednaka dužini štapa, Li=246 cm. Minimalni momenat inercije i odgovarajući poluprečnik inercije računamo kao: 154 I= = 4218, 75 cm 4 → i = 12
I = 4,33 cm A
Vitkost iznosi:
λ =
246 = 56,81 < 75 4,33
Koeficijent izvijanja računamo kao:
ω =
1 λ 1 − 0,8 100
2
=
1 56,81 1 − 0,8 100
2
= 1,35
Napon pritiska paralelno vlaknima iznosi:
σ
cII
=ω
D2 43, 2 ⋅ 103 = 1,35 ⋅ = 259, 2 N / cm 2 < σ 2 A 15
cIId
= 850 N / cm 2
Pretpostavljamo da se veza između pritisnute dijagonale i donjeg pojasa ostvaruje preko zaseka u simetrali ugla (za detaljno objašnjenje pogledati PRILOG 2).
25
Dozvoljeni napon u čelu ravni zaseka:
σ
c( α 2 / 2) d
=σ
cIId
− (σ
cIId
−σ
c⊥ d
) sin
α2 52, 43 = 850 − ( 850 − 200 ) sin = 563 N / cm 2 2 2
Minimalna potrebna dubina zasecanja iznosi:
α2 52, 43 43, 2 ⋅ 103 cos 2 2 = 2 = 4,12 cm → usvojeno t = 4, 20 cm tv = v b ⋅ σ c ( α 2 / 2) d 15, 0 ⋅ 563 D2 cos 2
Maksimalne dubine zasecanja su zavisne od ugla između dva štapa, i to kao: h , ako je α ≤ 50o 4 h max tv ≤ , ako je α > 60o 6 max tv ≤
Međuvrednosti treba izračunati linearnom interpolacijom. Za naš slučaj maksimalna dubina zasecanja iznosi: h h h α − 50o max tv = + − 2o = 4,59 cm 4 6 4 60 − 50o Usvojena dubina zasecanja je manja od maksimalne dozvoljene. Kontrola napona na spoju dva štapa:
σ
c( α 2 / 2)
=
α2 52, 43 43, 2 ⋅ 103 cos 2 2 = 2 = 551,9 N / cm 2 < σ b ⋅ tv 15, 0 ⋅ 4, 20
D2 cos 2
c( α 2 / 2) d
= 563 N / cm 2
(2) Dimenzionisanje dijagonale D1 (zategnuta dijagonala) Pretpostavljamo da se dijagonala sastoji iz dve daske. D1 43, 0 ⋅ 103 potrA = = = 63, 24 cm 2 0,8σ tIId 0,8 ⋅ 850 → usvajamo 2x2,4/20 (A=96,0 cm²) Važeći propisi za drvene konstrukcije preporučuju da minimalna debljina drveta za zabijane eksere i četinarsku građu iznosi 2,4 cm, dok za daščane nosače minimalna širina iznosi 10 cm. Usvojeni presek dijagonale zadovoljava ove uslove. Odgovaraju nam ekseri: E22, E25, E28, E31 i E38.
26
→ usvajamo E31/65, N1=375 N • • •
potrebna dubina zabijanja za punu nosivost: s≥12·d=12·0,31=3,72 cm stvarna dubina zabijanja: sstv=l-a=6,5-2,4=4,1 cm > 12·d=3,72 cm uslov naspramnog zabijanja: as ≥ sstv+8·d → 15,0 ≥ 4,1+8·0,31=6,58 cm → uslov ispunjen pa se ekseri mogu zabijati jedni naspram drugih na rastojanju od 10d
Potrebna dužina eksera:
lmin = a + 12d = 2, 4 + 12 ⋅ 0, 31 = 6,12 cm < leksera = 6, 5 cm Potreban broj eksera sa jedne strane veze: D1 43, 0 ⋅ 103 n= = = 57,3 komada 2 N1 2 ⋅ 375 Za broj redova eksera po visini možemo izvesti sledeći izraz: h − tv 1 S= − 1, 2 +1 10d sin α 1 Razlika koja se javlja u odnosu na izraz iz primera 4.1 je u tome što moramo oduzeti dubinu zasecanja od ukupne visine donjeg pojasa. Gornji izraz važi za eksere prečnika manjeg od 42 mm. U suprotnom treba umesto 10d treba koristiti 12d, što je naznačeno i na slici. Moguć broj redova po visini iznosi:
1 20, 0 − 4, 20 S= − 1, 2 + 1 = 5, 79 → usvojeno S = 5 o 10 ⋅ 0,31 sin 54, 46 Potreban broj redova po širini dijagonale iznosi: R=
n 57,3 = = 11, 46 → usvojeno R = 12 S 5
Potrebna širina daske za R=12 redova iznosi: b = 5d ( R + 1) = 5 ⋅ 0,31⋅ ( 12 + 1) = 20,15 cm ≈ usvojenih 20 cm Zadržavamo usvojeni presek dijagonale 2x2,4/20.
27
Kontrola napona Aneto = 2 ⋅ 2, 4 ⋅ ( 20, 0 − 12 ⋅ 0,31) = 78,14 cm 2 Napon u preseku:
σ
tII
=
D1 43, 0 ⋅ 103 = = 550, 29 N / cm 2 < σ Aneto 78,14
Detalj za izvršenje je dat na slici ispod.
28
tIId
= 850 N / cm 2
6. DIMENZIONISANJE ROŽNJAČE Dimenzionisati rožnjaču koja je deo krovne konstrukcije prikazane na slici ispod. Za građu koristiti četinare II klase. Maksimalno opterećenje koje se predviđa na krovnom pokrivaču iznosi 2,0 kN/m². Za opterećenje snegom usvojiti 1,0 kN/m². Površinsko opterećenje vetrom je sišuće i iznosi 1,65 kN/m².
U odnosu na nagib krovne ravni i maksimalno predviđeno opterećenje, kao krovni pokrivač biramo trapezasti lim LTP45 („Lindab Coverline“) koji ide preko dva polja dužine L=2,70 m → Usvojeno LTP 180/43/0,7, prolaznost 4,5 m. Sopstvena težina pokrivača sa preklopom (po osnovi krova) iznosi 0,07 kN/m². Analiza opterećenja: (1) stalno opterećenje • krovni pokrivač.....................................2,27×0,07=0,1589 kN/m'=158,9 N/m' • sopstvena težina (pretp. 14/18 cm). b×h×γdrv.=14×18×5000×10-4=126,0 N/m' (zapreminska težina drveta se može očitati u tabeli 1.5 priloga na strani 410) -----------------------------------------g=284,9 N/m' (2) sneg..............................................................s=2,27×1,0=2,27 kN/m'=2270 N/m' (3) vetar.......................................w=-1,65×2,27/cosα=-3,8776 kN/m'=-3877,6 N/m' Imajući u vidu da je rožnjača opterećenja kosim savijanjem, komponente opterećenja moramo razložiti na dva ortogonalna pravca, što je prikazano na slici ispod. g x = g cos α = 284,9 ⋅ cos15o = 275, 2 N / m ' g y = g sin α = 284,9 ⋅ sin15o = 73, 7 N / m ' sx = s cos α = 2270 ⋅ cos15o = 2192, 7 N / m ' 29
s y = s sin α = 2270 ⋅ sin15o = 587,5 N / m ' wx = w = − 3877, 6 N / m '
1. kombinacija opterećenja: SOPSTVENA TEŽINA KONSTRUKCIJE + SNEG qx = g x + sx = 275, 2 + 2192, 7 = 2467,9 N / m ' q y = g y + s y = 73, 7 + 587,5 = 661, 2 N / m ' Maksimalni momenti savijanja oko obe ose: qx ⋅ l 2 2467,9 ⋅ 4, 02 = = 4935,8 Nm 8 8 q y ⋅ l 2 661, 2 ⋅ 4, 02 max M y = = = 1322, 4 Nm 8 8 max M x =
2. kombinacija opterećenja: SOPSTVENA TEŽINA KONSTRUKCIJE + VETAR qx = g x + wx = 275, 2 − 3877, 6 = − 3602, 4 N / m ' q y = g y = 73, 7 N / m ' Maksimalni momenti savijanja oko obe ose: qx ⋅ l 2 − 3602, 4 ⋅ 4, 02 = = − 7204,8 Nm 8 8 q ⋅ l 2 73, 7 ⋅ 4, 02 max M y = y = = 147, 4 Nm 8 8 max M x =
Odnos otpornih momenata oko obe ose možemo izraziti kao: Wx =
bh 2 hb 2 , Wy = → 6 6
Wx bh 2 h W = = = c → Wy = x 2 Wy hb b c
30
Ivični napon pri savijanju kontrolišemo kao:
σ
m
Mx My + ≤σ Wx Wy
=
md
Koristeći vezu između otpornih momenata dobijamo sledeći izraz:
σ
m
=
Mx + c⋅ My Wx
≤σ
md
Za pretpostavljeni presek 14/18 cm odnos visine i širine iznosi c=18/14=1,29. Merodavna je 2. kombinacija opterećenja i s obzirom na činjenicu da vetar deluje kao samostalno opterećenje, nema redukcije osnovnog dopuštenog napona. Za četinare II klase važi da je σmd=1000 N/cm². Potrebna vrednost otpornog momenta za x osu iznosi: potrWx ≥
Mx + c⋅ My
σ
md
=
7204,8 + 1, 29 ⋅ 147, 4 2 ⋅ 10 = 739,5 cm3 1000
Stvarni otporni momenat za x osu iznosi: stvWx =
14 ⋅ 182 = 756 cm3 6
Uslov da je stvarni otporni momenat veći od potrebnog je ispunjen. Kontrola napona
σ
m
=
7204,8 + 1, 29 ⋅ 147, 4 2 ⋅ 10 = 978, 2 N / cm2 ≤ σ 756
md
= 1000 N / cm2
Kontrola ugiba Dopušteni računski ugibi se nalaze u tabeli 18 na 455. strani priloga. Za naš slučaj važi: l δ ≤ 200 Momenti inercije preseka oko obe ose iznose: bh3 14 ⋅ 183 = = 6804 cm 4 = 6,804 ⋅ 10− 5 m 4 12 12 hb3 18 ⋅ 143 Iy = = = 4116 cm 4 = 4,116 ⋅ 10− 5 m 4 12 12 Ix =
31
Vrednost modula elastičnosti za četinare II klase čitamo iz tabele 19 sa 459. strane priloga: EII=1000 kN/cm²=106 N/cm²=1010 N/m², za vlažnost drveta od 18%. •
Računski ugib za 1. kombinaciju opterećenja
δx=
5 qx ⋅ l 4 5 2467,9 ⋅ 4, 04 ⋅ = ⋅ 10 = 0, 0121 m = 1, 21 cm 384 EII ⋅ I x 384 10 ⋅ 6,804 ⋅ 10− 5
4 5 qy ⋅ l 5 661, 2 ⋅ 4, 04 δy= ⋅ = ⋅ = 0, 0054 m = 0,54 cm 384 EII ⋅ I y 384 1010 ⋅ 4,116 ⋅ 10− 5
Ukupan ugib iznosi:
δ =
•
δ x2 + δ
2 y
=
1, 212 + 0,542 = 1,33 cm < δ dop =
400 = 2, 0 cm 200
Računski ugib za 2. kombinaciju opterećenja
δx=
5 qx ⋅ l 4 5 − 3602, 4 ⋅ 4, 04 ⋅ = ⋅ 10 = − 0, 0176 m = − 1, 76 cm 384 EII ⋅ I x 384 10 ⋅ 6,804 ⋅ 10− 5
4 5 qy ⋅ l 5 73, 7 ⋅ 4, 04 δy= ⋅ = ⋅ 10 = 0, 0006 m = 0, 06 cm 384 EII ⋅ I y 384 10 ⋅ 4,116 ⋅ 10− 5
Ukupan ugib iznosi:
δ =
δ x2 + δ
2 y
=
( − 1, 76 )
2
+ 0, 062 = 1, 76 cm < δ dop =
400 = 2, 0 cm 200
7. POSTUPAK DIREKTNOG DIMENZIONISANJA AKSIJALNO PRITISNUTIH ŠTAPOVA Postupak je pogodan za određivanje preliminarnih dimenzija elemenata. U tabeli 75 na 642. strani priloga su date skice i izrazi neophodni za primenu. U nastavku ćemo kao primere iskoristiti već dimenzionisane elemente. (a) Pritisnuta vertikala iz primera 5.1 Dužina izvijanja iznosi Li=62,5 cm. Za odnos visine i širine poprečnog preseka vertikale pretpostavljamo: h c = = 1, 4 b 32
Pretpostavljamo da je vitkost štapa ≤75. Potrebnu površinu poprečnog preseka računamo iz izraza datog u gore pomenutoj tabeli, i to kao:
potrA =
N
σ
+ 0, 001 ⋅ L2i ⋅ c =
cIId
10, 4 ⋅ 103 + 0, 001 ⋅ 62,52 ⋅ 1, 4 = 17, 70 cm 2 850
Širinu poprečnog preseka dobijamo kao: b=
A = c
17, 70 = 3,56 cm 1, 4
Takođe mora biti ispunjen uslov koji dokazuje da je pretpostavljena vrednost vitkosti prava: Li 62,5 b≥ = = 2,88 cm → uslov ispunjen 21, 7 21, 7 Bez obzira na izračunate vrednosti, u svakom trenutku moramo poštovati sledeće odredbe propisa koje se tiču minimalnih dimenzija elemenata (strana 457 priloga): •
•
minimalna površina poprečnog preseka dasaka, složenih preseka i konstrukcija spojenih ekserima i zavrtnjima iznosi 14 cm², a minimalna dimenzija poprečnog preseka iznosi 2,4 cm minimalna površina poprečnog preseka jednodelnih štapova iznosi 40 cm², a minimalna dimenzija poprečnog preseka iznosi 4,0 cm
(b) Pritisnuta dijagonala iz primera 5.2 Dužina izvijanja iznosi Li=246 cm. Za odnos visine i širine poprečnog preseka vertikale pretpostavljamo: h c = = 1, 4 b Pretpostavljamo da je vitkost štapa ≤75. Potrebnu površinu poprečnog preseka računamo iz izraza datog u gore pomenutoj tabeli, i to kao:
potrA =
N
σ
+ 0, 001 ⋅ L2i ⋅ c =
cIId
43, 2 ⋅ 103 + 0, 001 ⋅ 2462 ⋅ 1, 4 = 135, 6 cm 2 850
Širinu poprečnog preseka dobijamo kao: b=
A = c
135, 6 = 9,84 cm 1, 4 33
Takođe mora biti ispunjen uslov koji dokazuje da je pretpostavljena vrednost vitkosti prava: Li 246 b≥ = = 11,34 cm → uslov nije ispunjen 21, 7 21, 7 S obzirom da uslov nije ispunjen moramo pretpostaviti da je vitkost štapa >75. Potreban momenat inercije poprečnog preseka računamo iz izraza datog u gore pomenutoj tabeli, i to kao: potrI =
N
σ
cIId
⋅
L2i 43, 2 ⋅ 103 2462 = ⋅ = 992,14 cm 4 3100 850 3100
Širinu poprečnog preseka dobijamo kao: b = 1,86 ⋅
4
I 992,14 = 1,86 ⋅ 4 = 9, 60 cm c 1, 4
Takođe mora biti ispunjen uslov koji dokazuje da je pretpostavljena vrednost vitkosti prava: Li 246 b< = = 11,34 cm → uslov ispunjen 21, 7 21, 7
8. ANALIZA OPTEREĆENJA VETROM NA OBJEKTE MALIH KRUTIH ZGRADA - osnovna brzina vetra za Novi Sad (na terenu hrapavosti B, osrednjena, povratnog perioda T=50 god i na visini z=10 m): VmB,50,10 = 35, 0 m / s (JUS U.C7.110, tabela 8, str. 394) - faktor vremenskog osrednjavanja (t=3600s): kt=1,0 (JUS U.C7.110, str. 385) - faktor povratnog perioda: kT=1,0 za T=50 god (JUS U.C7.110, str. 386) - projektna osnovna brzina vetra (JUS U.C7.110, str. 392): Vm ,50,10 = kt ⋅ kT ⋅ VmB,50,10 = 1, 0 ⋅ 1, 0 ⋅ 35, 0 = 35, 0 m / s - osnovni pritisak vetra (JUS U.C7.110, str. 381): ρ=1,2250 kg/m³ (gustina vazduha) 34
qm ,T ,10 =
2 1 1 ⋅ ρ ⋅ ( Vm,50,10 ⋅ kt ⋅ kT ) ⋅ 10− 3 = ⋅ 1, 2250 ⋅ 35, 02 ⋅ 10− 3 = 0, 75 kN / m2 2 2
- osrednjeni aerodinamički pritisak vetra (JUS U.C7.110, str. 380): Sz=1,0 (faktor topografije terena za ravan teren) - faktor ekspozicije terena: Kz =
z b⋅ 10
α
za klasu hrapavosti terena B → b=1,0, α=0,14 (JUS U.C7.110, str. 384 tab. 5) z=10 m (visina posmatrane tačke iznad terena) Kz =
10, 0 1, 0 ⋅ 10
0,14
= 1, 0
qm ,T , z = qm ,T ,10 ⋅ S z2 ⋅ K z2 = 0, 75 ⋅ 1, 0 ⋅ 1, 0 = 0, 75 kN / m 2
→ pri proračunu se smatra da je zgrada mala i kruta (važi za zgrade visine manje od 15,0 m)
Slika 1 – Oznake izloženih zona spoljašnjeg pritiska vetra za proračun glavnog nosećeg sistema male krute zgrade
35
0,10 ⋅ B (minimalna horiznotalna dimenzija zgrade) z = min 0,40 ⋅ H (visina na kojoj počinje krovna konstrukcija) 0, 04 ⋅ minimalna horizontalna dimenzija zgrade z≥ 1 m 6 m y = max z
Slika 2 – Oznake izloženih zona spoljašnjeg pritiska vetra za proračun obloga i odgovarajuće sekundarne noseće konstrukcije male krute zgrade
Slika 3 – Kombinovani koeficijenti GCpe spoljašnjeg pritiska vetra na obloge i odgovarajuće noseće sekundarne konstrukcije male krute zgrade 36
Pritisak vetra na male krute zgrade izračunava se kao: •
pritisak za proračun glavnih nosećih konstrukcionih delova: krovnih vezača, stubova, ramova, spregova: qw, pe = qm ,T , z ⋅ Gz ⋅ C pe [kN / m 2 ]
•
pritisak vetra za proračun delova obloge: zidova, sendvič panela, prozora i vrata, odnosno proračun konstrukcionih delova koji ih nose (rožnjača, fasadnih greda i stubova): qw, p = qm ,T , z ⋅ Gz ⋅ C p [kN / m 2 ] C p = C pe − C pi Gz − dinamički koeficijent C pe , C pi − koeficijenti spoljašnjeg i unutrašnjeg pritiska
Dinamički koeficijent se u slučaju male krute zgrade izražava kao kombinovani koeficijent, u proizvodu sa odgovarajućim koeficijentom pritiska: G ⋅ C pe , G ⋅ C pi Pretpostavljamo da je zgrada sa manje od 1% površine svih zidova u otvorima; otvori neravnomerno raspoređeni (JUS U.C7.112, tabela 1, str. 421).
pravac vetra
izložena zona
kombinovani dinamički koeficijent GCp=GCpe- GCpi
qw [kN/m²]
r
GCpi= ±0,7 GCpe= zavisi od α i površine A -----------------------------------------GCp= prva vrednost GCp= druga vrednost
izračunati za obe vrednosti GCp
glavni nosač
2
GCpe= -1,3 (za ugao α=0º-5º) GCpe= -1,3 (za ugao α=20º)
naći vrednost za GCpe
glavni nosač
3
GCpe= -0,7 (za ugao α=0º-5º) GCpe= -0,9 (za ugao α=20º)
naći vrednost za GCpe
deo konstrukcije
krovna obloga i paralelno rožnjače na ili preovlađujućem delu upravno krova na sleme A=(0,5B-2z)·(L-2z)/cosα
upravno na sleme
Površina A je ona koja odgovara izloženoj zoni r sa slike 2.
37
9. UVOD – LAMELIRANO LEPLJENO DRVO (LLD) 9.1 Dopušteni naponi u LLD Razlikuju se prema: (1) botaničkoj vrsti drveta • četinari (bor, jela, smrča) • lišćari (hrast, bukva) (2) klasi kvaliteta – I i II klasa (3) vrsti naprezanja – pregled dat u tabeli ispod (4) procentu vlažnosti: >15% ili ≤15% u odnosu na suvu masu savijanje
σm
zatezanje
σtII
pritisak
σcII
pritisak upravno na vlakna
σc┴
smicanje
τII
smicanje od poprečne sile
τmII
Na strani 437 priloga se nalazi tabela osnovnih dopuštenih napona za opterećenja iz 1. grupe i za vlažnost drveta od 15%. Vrednosti su date u N/cm². U nastavku su data pravila za redukciju osnovnih dopuštenih napona. (a) u slučaju kombinacije opterećenja GRUPA 1+GRUPA 2 treba izvršiti povećanje osnovnih dopuštenih napona za 15% (b) u slučaju kombinacije opterećenja GRUPA 1+GRUPA 2+GRUPA 3 treba izvršiti povećanje osnovnih dopuštenih napona za 50% (c) u zavisnosti od dužine trajanja opterećenja merodavne dopuštene napone treba redukovati koeficijentom kd=0,9 ako su ispunjeni sledeći uslovi: • puno računsko opterećenje deluje bez prestanka • korisna opterećenja ili sneg deluju duže od 3 meseca (d) ako je vlažnost drveta ≠15% osnovni dopušteni napon redukujemo koeficijentima iz tabele 6 sa 438. strane priloga. Pod vlažnošću u odnosu na ambijent se smatra onaj procenat vlažnosti drveta koji je zavisan od relativne vlažnosti i temperature prostora u kojem se konstrukcija nalazi (slika 2, strana 433 priloga).
38
Primer: vlažnosti drveta od 12% odgovara temperatura vazduha od 20º i relativna vlažnost vazduha od 65%. (e) za nosače složenog poprečnog preseka (slika 6, strana 439 priloga) osnovne vrednosti dopuštenih napona redukujemo koeficijentom ks, opisanim na pomenutoj strani priloga. (f) za slobodno položene nosače na dva kraja raspona l, koji imaju pravougaoni poprečni presek i visinu veću od 30,0 cm, osnovni dopušteni napon se redukuje uz pomoć koeficijenta kh čije su vrednosti date u tabelama 7, 8, i 9 na stranama 440 – 445 priloga. (g) uticaj položaja površine lepljenja u odnosu na silu u nosaču i smer vlakana treba uzeti u obzir u skladu sa članovima 3.2.10 (439. strana priloga) i 3.2.11 (446. strana priloga). (h) kod zakrivljenih nosača sa radijusima zakrivljenosti dopuštene napone moramo redukovati na sledeći način: • ako je radijus zakrivljenosti manji od 150×debljina lamele, a veći od 130× debljina lamele, osnovne dopuštene napone redukujemo prema tabeli 11 (446. strana priloga) • radijusi manji od 130×debljina lamele nisu dopušteni (i) koeficijenti redukcije usled stepena održavanja kat su dati na stranama 433 i 434 priloga. Ukupni korekcioni koeficijent dobijamo množenjem svih koeficijenata. Efikasnost poprečnog preseka je onaj deo preseka koji se može uvesti u proračun, tj. onaj koji je sposoban da primi određena naprezanja. U slučaju nosača konstantne visine računski presek je jednak punom poprečnom preseku ako je nosač izveden u svemu prema važećim propisima (opširnije na 494. strani priloga).
39
10. PRAVILA ZA DIMENZIONISANJE NOSAČA OD LAMELIRANOG LEPLJENOG DRVETA (LLD) 10.1 Pravi gredni nosači sa I=const.
Izrazi koje koristimo pri kontroli napona:
σ σ σ
m
tP
cP
=
Mx My + ≤σ Wx Wy
=
σ N + Aneto σ
=ω ⋅
t Pd md
⋅
md
− složeno savijanje
M ≤σ Wneto
N σ cP d M + ⋅ ≤σ A σ md W
τ mP = 1,5 ⋅
− momenat i zatežuća sila
t Pd
cP d
− momenat i sila pritiska
Tmax ≤ τ mP d b⋅ h
Maksimalan ugib nosača statičkog sistema proste grede opterećenog kontinualnim jednakopodeljenim opterećenjem računamo kao: f max = f ( σ ) + f ( τ ) =
M 5 q ⋅ l4 ⋅ + 1, 20 max 384 EI G⋅ b⋅ h
i njegova vrednost mora biti manja od dopuštene vrednosti ugiba.
40
10.2 Nosači sa nagnutim ivicama (sa promenljivom visinom H)
NOSAČ SA DVOSTRANIM NAGIBOM
Mesto pojave najvećeg normalnog napona usled savijanja se ne poklapa sa mestom pojave maksimalnog momenta savijanja. Mesto i visinu poprečnog preseka na kome dolazi do pojave maksimalne vrednosti napona računamo kao:
x=
lm Hm l + 2 m −1 HA l
,
Hm l − 1+ m HA l H x = 2H A Hm l − 1+ 2 m HA l 41
U preseku sa maksimalnom visinom (Hm) – slemeni presek, normalne napone usled savijanja nalazimo iz sledećih izraza: Mm σ m = KPM ⋅ ≤ σ md Wm , neto
σ
σ
md
iσ
t⊥ d
t⊥
= K ⊥M ⋅
M ≤σ Wm ,neto
t⊥ d
− redukovani korektivnim faktorima prema zahtevima propisa
Koeficijente KIIM i K┴M nalazimo u tabelama 31 i 32 na stranama 496 – 499 priloga. U svim ostalim presecima za kontrolu normalnog napona usled savijanja koristimo sledeći izraz: M σm= ≤ k ⋅ σ md W gde je k koeficijent umanjenja kojim dodatno redukujemo dozvoljeni napon zbog zakošenosti ivica. Koeficijent k se računa iz sledećih izraza, u zavisnosti od toga koja je ivica u nagibu: •
pritisnuta ivica 1
kc =
2
σ
•
o md
2
2
2
2
1 tan 2 γ tan γ o + o + o σ md σ c ⊥ d 2τ mPd
zategnuta ivica 1
kt =
2
σ
o md
1 tan 2 γ tan γ o + o + o σ md σ t ⊥ d τ mPd
Veličinu ugiba dobijamo iz sledećeg opšteg izraza: f max = f ( σ ) + f ( τ
)
U slučaju proste grede pravougaonog poprečnog preseka, linearne promene visine i jednakopodeljenog opterećenja maksimalan ugib dobijamo iz sledećih izraza: f (σ
)
M max ⋅ l 2 = ⋅ Kσ , 9, 6 ⋅ EP ⋅ I A
Kσ =
HA Hm
3
0,15 + 0,85
HA Hm
,
b ⋅ H A3 IA = 12
Kσ i Kτ − korekcioni faktori koji obuhvataju promenljivost preseka duž raspona 42
f ( τ ) = 1, 20
M max ⋅ Kτ , G ⋅ HA ⋅ b
Kτ =
2 H 1+ m HA
2/3
gde je HA visina nosača iznad oslonca od kojeg merimo rastojanje x. Specijalni slučajevi nosača sa nagnutim ivicama su: •
SIMTRIČAN TRAPEZASTI NOSAČ
Mesto i visinu poprečnog preseka na kome dolazi do pojave maksimalne vrednosti napona računamo kao: l H H x = ⋅ A , Hx = HA ⋅ 2 − A 2 Hm Hm
•
NESIMETRIČAN TRAPEZASTI NOSAČ
x=
l Hm +1 HA
,
Hx =
2H m Hm +1 HA
Mesto i visinu poprečnog preseka na kome dolazi do pojave maksimalne vrednosti napona računamo iz izraza koji se nalazi pored slike iznad. 43
11. DIMENZIONISANJE ROŽNJAČE Dimenzionisati rožnjaču od LLD koja je deo krovne konstrukcije hale čiji se glavni nosači nalaze na međusobnom rastojanju od 6,0 m. Nagib krovne ravni iznos 4º. Rožnjače su statičkog sistema proste grede i nalaze se na međusobnom rastojanju (horizonatlnom) od 2,50 m. Čeličnom zategom koja se nalazi u sredini polja između dva glavna nosača i koja im je paralelna je smanjen raspon rožnjače za rad u krovnoj ravni (rade kao kontinualni nosači). Za građu koristiti četinare I klase vlažnosti 12%. Od opterećenja razmatrati (data po osnovi krova): • •
sopstvenu težinu krovne konstrukcije 0,45 kN/m² opterećenje snegom 0,75 kN/m²
Linijska opterećenja koja deluju na rožnjači: • •
sopstvena težina krovne konstrukcije g'=0,45×2,50=1,125 kN/m' opterećenje snegom s'=0,75×2,50=1,875 kN/m' --------------------------------------------------------------ukupno linijsko opterećenje q=3,0 kN/m'
Ukupno linijsko opterećenje predstavljamo preko dve komponente: – qx=q×cosα=3,0×cos 4º=2,99 kN/m' – qy=q×sinα=3,0×sin 4º=0,21 kN/m'
44
Reakcije oslonaca i momenat savijanja u polju za slučaj opterećenja qx iznose: qx ⋅ l 2,99 ⋅ 6, 0 = = 8,97 kN 2 2 qx ⋅ l 2 2,99 ⋅ 6, 02 Mx = = = 13, 46 kNm 8 8 RAx = RBx =
Reakcije oslonaca i momenat savijanja nad osloncem B za slučaj opterećenja qy iznose: RAy = RCy = 0,375 ⋅ q y ⋅ l = 0,375 ⋅ 0, 21⋅ 3, 0 = 0, 24 kN RBy = 1, 25 ⋅ q y ⋅ l = 1, 25 ⋅ 0, 21⋅ 3, 0 = 0, 79 kN M By = − 0,125 ⋅ q y ⋅ l 2 = − 0,125 ⋅ 0, 21 ⋅ 3, 02 = − 0, 24 kNm Osnovne dopuštene napone za slučaj četinara I klase čitamo iz tabele 5, sa strane 437 priloga. o σ md = 1400 N / cm 2 = 1, 40 kN / cm 2
σ
o t Pd
= 1050 N / cm 2 = 1, 05 kN / cm 2
σ
o cP d
= 1100 N / cm 2 = 1,10 kN / cm 2
σ
o c⊥ d
= 200 N / cm 2 = 0, 20 kN / cm 2
τ mo Pd = 120 N / cm 2 = 0,12 kN / cm 2 Modul elastičnosti paralelno vlaknima i modul smicanja čitamo iz tabele 23, sa strane 461 priloga i oni za slučaj četinara iznose EII=1100 kN/cm² i G=50 kN/cm². Dopušteni napon smicanja po površini lepka je za rezorcinski lepak ograničen na τIId=120 N/cm²=0,12 kN/cm². U nastavku vršimo redukciju osnovnih dopuštenih napona prema svim odredbama datim na početku ovog materijala: •
• • •
za vlažnost drveta od 12% iz tabele 6 na strani 438 priloga interpolacijom dobijamo sledeće koeficijenta redukcije osnovnih dopuštenih napona: ◦ za normalne napone kφσ=1,06 ◦ za smičuće napone kφτ=1,12 pretpostavlja se trajanje snega duže od 3 meseca → kd=0,9 pretpostavlja se normalna zaštita i održavanje → kat=1,0 pretpostavlja se presek visine manje od 30,0 cm → kh=1,0 (strana 438 priloga)
Ukupna redukcija osnovnih dopuštenih napona iznosi:
σ
md
= kϕσ ⋅ kd ⋅ kat ⋅ kh ⋅ σ
o md
= 1, 06 ⋅ 0,9 ⋅ 1, 0 ⋅ 1, 0 ⋅ 1, 40 = 1,34 kN / cm 2
τ mPd = kϕτ ⋅ kd ⋅ kat ⋅ τ mo Pd = 1,12 ⋅ 0,9 ⋅ 1, 0 ⋅ 0,12 = 0,12 kN / cm 2 Pretpostavićemo presek čiji odnos visine i širine iznosi c=h/b=2,0, a širina jedne 45
lamele 3,0 cm. Za koso savijanje iz uslova dopuštenog napona važi: potrWx =
Mx + c⋅ My
σ
=
md
13, 46 + 2, 0 ⋅ 0, 24 2 ⋅ 10 = 1040,30 cm3 1,34
Pretpostavimo širinu preseka b=12,0 cm. Iz izraza za otporni moment dobijamo potrebnu visinu poprečnog preseka: Wx =
6 ⋅ Wx = b
b ⋅ h2 → h= 6
6 ⋅ 1040,30 = 22,8 cm 12, 0
Treba proveriti kolika je visina poprečnog preseka potrebna iz uslova dopuštenog ugiba (fdop=L/200=3,0 cm). Pri ovome zanemarujemo ugib usled qy. potrI x =
Ix =
q ⋅ l4 5 5 2,99 ⋅ 10− 2 ⋅ 600 4 ⋅ x = ⋅ = 15290 cm 4 384 f dop ⋅ EP 384 3, 0 ⋅ 1100 b ⋅ h3 → h= 12
3
12 ⋅ I x = b
3
12 ⋅ 15290 = 24,8 cm 12, 0
usvajamo presek b/h=12/27 (debljina lamele 3,0 cm) Geometrijske karakteristike usvojenog poprečnog preseka: I x = 19683, 0 cm 4 , Wx = 1458, 0 cm3 , Wy = 648, 0 cm3 Kontrola napona:
σ
m
M x M y 13, 46 ⋅ 102 0, 24 ⋅ 102 = + = + = 0,96 kN / cm 2 < σ Wx Wy 1458, 0 648, 0
md
= 1,34 kN / cm 2
Kontrola ugiba: f max = f ( σ ) + f ( τ ) =
f max =
M max 5 qx ⋅ l 4 ⋅ + 1, 20 ⋅ 384 EP I x G⋅ b⋅ h
5 2,99 ⋅ 10− 2 ⋅ 6004 13, 46 ⋅ 102 ⋅ + 1, 20 ⋅ = 2,33 + 0,10 = 2, 43 cm < f dop = 3, 0 cm 384 1100 ⋅ 19683, 0 50 ⋅ 12, 0 ⋅ 27, 0
46
12. DIMENZIONISANJE SIMETRIČNOG TRAPEZASTOG NOSAČA Izvršiti dimenzionisanje simetričnog trapezastog nosača od LLD statičkog sistema proste grede raspona 20,0 m. Nagib krovne ravni iznosi 4º. Linijsko opterećenje usled sopstvene težine i snega koje deluje na nosač iznosi q=8,40 kN/m'. Za građu koristiti četinare I klase vlažnosti 12%.
Reakcije oslonaca i maksimalni moment savijanja u sredini raspona iznose: q ⋅ l 8, 40 ⋅ 20, 0 = = 84, 0 kN 2 2 q ⋅ l 2 8, 40 ⋅ 20, 02 max M = = = 420, 0 kNm 8 8
Q=
Osnovne dopuštene napone za slučaj četinara I klase čitamo iz tabele 5, sa strane 437 priloga. o σ md = 1400 N / cm 2 = 1, 40 kN / cm 2
τ mo Pd = 120 N / cm 2 = 0,12 kN / cm 2 σ
o c⊥ d
= 200 N / cm 2 = 0, 20 kN / cm 2
Dodatno, pored ovih napona trebaće nam i osnovna vrednost dopuštenog napona na poprečno zatezanje (član 3.2.5, strana 438 priloga):
σ
o t⊥ d
= 25 N / cm 2
U nastavku vršimo redukciju osnovnih dopuštenih napona prema svim odredbama datim na početku ovog materijala: •
za vlažnost drveta od 12% iz tabele 6 na strani 438 priloga interpolacijom dobijamo sledeće koeficijenta redukcije osnovnih dopuštenih napona: 47
◦ za normalne napone kφσ=1,06 ◦ za smičuće napone kφτ=1,12 pretpostavlja se trajanje snega duže od 3 meseca → kd=0,9 pretpostavlja se normalna zaštita i održavanje → kat=1,0 koeficijent redukcije osnovog dopuštenog napona zbog visine poprečnog preseka će biti računat za svaki razmatrani presek posebno, jer nosač ima pad od 4º → kh=?
• • •
Za redukciju normalnih napona koristimo sledeće izraze: u slemenom preseku:
•
σ
md
σ
t⊥ d
= kϕσ ⋅ kd ⋅ kat ⋅ kh ⋅ σ = kϕσ ⋅ kd ⋅ kat ⋅ σ
o md
o t⊥ d
u svim ostalim presecima:
•
σ
md
= kϕσ ⋅ kd ⋅ kat ⋅ kh ⋅ kc ⋅ σ
o md
Koeficijent umanjenja kojim dodatno redukujemo dozvoljeni napon zbog zakošenosti ivica u svim presecima osim u slemenom u ovom slučaju odgovara koeficijentu kc – pritisnuta ivica u nagibu: 1
kc =
2
σ
o md
2
1 tan γ tan γ o + o + o σ md σ c ⊥ d 2τ mPd 2
2
=
1 2
o
2
o
1 tan 4 tan 4 1, 40 ⋅ + + 1, 40 0, 20 2 ⋅ 0,12 2
2
= 0,925
Za redukciju smičućih napona koristimo sledeći izraz:
τ mPd = kϕτ ⋅ kd ⋅ kat ⋅ τ mo Pd S obzirom da redukcija smičućeg napona ne zavisi od visine poprečnog preseka odmah računamo vrednost redukovanog smičućeg napona sa kojom nastavljamo proračun: τ mPd = 1,12 ⋅ 0,9 ⋅ 1, 0 ⋅ 0,12 = 0,12 kN / cm 2 Prilikom proračuna grednih nosača od LLD se na početku uvek pretpostavi širina poprečnog preseka. Treba imati u vidu da maksimalna širina na koju se moramo ograničiti ako nećemo da vršimo bočno lepljenje lamela iznosi 20,0 cm.
48
Širina nosača zavisi pre svega od njegovog raspona. Ako bismo usvojili malu širinu nosača u slučaju velikog raspona to može da rezultira njegovom velikom visinom (pogotovo u slemenu), i obrnuto. Preporuka je da širina poprečnog preseka iznosi b≈L/100. usvajamo pravougaoni presek širine b=20,0 cm U nastavku određujemo potrebnu visinu poprečnog preseka nosača iz merodavnih naponskih uslova uz pretpostavku da je debljina lamele jednaka 3,0 cm. (1) Određivanje potrebne visine nosača u oslonačkom preseku hA, potr = 1,5 ⋅
Q 84, 0 = 1,5 ⋅ = 52,5 cm → usvaja se hA = 54, 0 cm b ⋅ τ mP d 20 ⋅ 0,12
Iz usvojene visine nosača u oslonačkom preseku i uslova nagiba gornje ivice nosača (geometrijski uslov) možemo izračunati visinu nosača u slemenu kao: hm − hA = tan 4o → usvaja se hm = 124, 0 cm l/2 (2) Određivanje potrebne visine nosača u slemenu Koeficijent redukcije osnovog dopuštenog napona zbog visine poprečnog preseka za visinu nosača hm=124,0 cm i odnos L/hm≈16 čitamo iz tabele 7 na strani 441 (linearna interpolacija). kh = 0,868 Redukovana vrednost osnovnog dopuštenog napona iznosi (ne koristimo koeficijent umanjenja usled zakošenosti ivice kc):
σ
md
= 1, 06 ⋅ 0,9 ⋅ 1, 0 ⋅ 0,868 ⋅ 1, 40 = 1,16 kN / cm 2
S obzirom da se radi o slemenom preseku, ne koristimo koeficijent umanjenja usled zakošenosti ivice kc, ali koristimo koeficijent definisan od strane Mohlera i Blumera KIIM, koji čitamo iz tabele 31 sa strane 496 priloga (za slučaj kada je hm/Rm=0 i α=4º). KPM = 1,124 Sada možemo odrediti potreban otporni moment iz izraza datog u teorijskom delu ovog materijala, a iz njega potrebnu visinu poprečnog preseka u sredini raspona: Wm , potr = KPM ⋅ → hm , potr =
max M 420, 0 ⋅ 102 = 1,124 ⋅ = 40696, 6 cm3 σ md 1,16
6 ⋅ 40696, 6 = 110,5 cm < pretp. hm = 124, 0 cm 20, 0 49
(3) Određivanje potrebne visine nosača na mestu pojave maksimalnog normalnog napona (presek x) Položaj preseka x u kome dolazi do pojave maksimalne vrednosti normalnog napona računamo kao (izraz dat u teorijskom delu): x=
l hA 20, 0 54, 0 ⋅ = ⋅ = 4,35 m 2 hm 2 124, 0
Moment savijanja u preseku x računamo kao: Mx = Q⋅ x −
q ⋅ x2 8, 40 ⋅ 4,352 = 84, 0 ⋅ 4,35 − = 285,93 kNm 2 2
Visinu u preseku x računamo iz geometrije kao (izraz dat u teorijskom delu): h 54, 0 hx = hA ⋅ 2 − A = 54, 0 ⋅ 2 − = 84,5 cm hm 124, 0 Koeficijent redukcije osnovog dopuštenog napona zbog visine poprečnog preseka za visinu nosača hx=84,5 cm i odnos L/hx≈24,0 čitamo iz tabele 7 na strani 440 (linearna interpolacija): kh = 0,886 Redukovana vrednost osnovnog dopuštenog napona iznosi (koristimo koeficijent umanjenja usled zakošenosti ivice kc):
σ
md
2 = 1, 06 ⋅ 0,9 ⋅ 1, 0 ⋅ 0,886 ⋅ 0,925 { ⋅ 1, 40 = 1, 09 kN / cm kc
Sada možemo odrediti potreban otporni moment iz izraza datog u teorijskom delu ovog materijala, a iz njega potrebnu visinu poprečnog preseka u preseku x: Wx , potr =
M x 285,93 ⋅ 102 = = 26232,1 cm3 σ md 1, 09
→ hx , potr =
6 ⋅ 26232,1 = 88, 7 cm > pretp. hx = 84,5 cm 20, 0
Iz uslova potrebne visine poprečnog u preseku x iz geometrije određujemo potrebnu visinu nosača u sredini raspona kao: l 2000 hm = hx , potr + − x ⋅ tan γ = 88, 7 + − 435 ⋅ tan 4o = 128, 2 cm > pretp. hm = 124, 0 cm 2 2 Zaključujemo da se visina nosača mora povećati kako u oslonačkom preseku, tako i u slemenu. 50
SAVET: Veoma često se u slučajevima ovakvih nosača na kraju proračuna pokaže da je za određivanje visine preseka merodavan uslov dopuštenog ugiba. Iz tog razloga, iako do sada izračunate visine zadovoljavaju uslove dopuštenih napona može da se desi da iste ne zadovolje uslov dopuštenog ugiba. Zbog toga konačne visine poprečnih preseka nosača treba usvojiti nešto veće od do sada dobijenih proračunom. Konačno usvajamo: debljina lamele 3,0 cm visina nosača u slemenu 44×3,0=132,0 cm visina nosača nad osloncem
• • •
hA = hm −
l 2000 ⋅ tan γ = 132, 0 − ⋅ tan 4o ≅ 62, 0 cm 2 2 Kontrola napona
(1) smičući napon u oslonačkom preseku
τ mP = 1,5 ⋅
Q 84, 0 = 1,5 ⋅ = 0,10 kN / cm 2 < τ mPd = 0,12 kN / cm 2 b ⋅ hA 20, 0 ⋅ 62, 0
(2) normalni naponi u slemenu Koeficijent redukcije osnovog dopuštenog napona zbog visine poprečnog preseka za visinu nosača hm=132,0 cm i odnos L/hm≈15 čitamo iz tabele 7 na strani 441 (linearna interpolacija). kh = 0,865 Redukovana vrednost osnovnog dopuštenog napona usled savijanja iznosi (ne koristimo koeficijent umanjenja usled zakošenosti ivice kc):
σ
md
= 1, 06 ⋅ 0,9 ⋅ 1, 0 ⋅ 0,865 ⋅ 1, 40 = 1,16 kN / cm 2
Redukovana vrednost osnovnog dopuštenog napona zatezanja upravno na vlakna iznosi: σ t ⊥ d = 1, 06 ⋅ 0,9 ⋅ 1, 0 ⋅ 25, 0 = 23,9 N / cm2 S obzirom da se radi o slemenom preseku, ne koristimo koeficijent umanjenja usled zakošenosti ivice kc, ali koristimo koeficijente definisane od strane Mohlera i Blumera KIIM i K┴M), koje čitamo iz tabela 31 i 32 sa strane 496 i 498 priloga (za slučaj kada je hm/Rm=0 i α=4º). KPM = 1,124, K ⊥M = 0, 014 Normalni napon usled savijanja računamo kao: 51
σ
m
= KPM ⋅
= 1,124 ⋅
max M 6 ⋅ max M = 1,124 ⋅ = Wm b ⋅ hm2
6 ⋅ 420, 0 ⋅ 102 = 0,81 kN / cm 2 < σ 2 20, 0 ⋅ 132, 0
md
= 1,16 kN / cm 2
Normalni napon zatezanja upravno na vlakna računamo kao:
σ
t⊥
= K ⊥M ⋅
= 0, 014 ⋅
max M 6 ⋅ max M = 0, 014 ⋅ = Wm b ⋅ hm2
6 ⋅ 420, 0 ⋅ 105 = 10,1 N / cm 2 < σ 20, 0 ⋅ 132, 02
t⊥ d
= 23,9 N / cm 2
(3) normalni napon u preseku x (mesto maksimalnog normalnog napona) Položaj preseka x u kome dolazi do pojave maksimalne vrednosti normalnog napona računamo kao (izraz dat u teorijskom delu): x=
l hA 20, 0 62, 0 ⋅ = ⋅ = 4, 70 m 2 hm 2 132, 0
Moment savijanja u preseku x računamo kao: Mx = Q⋅ x −
q ⋅ x2 8, 40 ⋅ 4, 702 = 84, 0 ⋅ 4, 70 − = 302, 02 kNm 2 2
Visinu u preseku x računamo iz geometrije kao (izraz dat u teorijskom delu): h 62, 0 hx = hA ⋅ 2 − A = 62, 0 ⋅ 2 − = 94,9 cm hm 132, 0 Koeficijent redukcije osnovog dopuštenog napona zbog visine poprečnog preseka za visinu nosača hx=94,9 cm i odnos L/hx≈21,0 čitamo iz tabele 7 na strani 440 (linearna interpolacija): kh = 0,881 Redukovana vrednost osnovnog dopuštenog napona iznosi (koristimo koeficijent umanjenja usled zakošenosti ivice kc):
σ
md
2 = 1, 06 ⋅ 0,9 ⋅ 1, 0 ⋅ 0,881 ⋅ 0,925 { ⋅ 1, 40 = 1, 09 kN / cm kc
Normalni napon računamo kao: M x 6 ⋅ M x 6 ⋅ 302, 02 ⋅ 10 2 σm= = = = 1, 01 kN / cm 2 < σ 2 2 Wx b ⋅ hx 20, 0 ⋅ 94,9 52
md
= 1, 09 kN / cm 2
Kontrola ugiba Predviđa se nadvišenje nosača → dopušteni ugib L/250=8,0 cm. •
ugib usled normalnih napona f (σ
IA =
)
=
M max ⋅ l 2 ⋅ Kσ 9, 6 ⋅ EP ⋅ I A hA hm
3
b ⋅ hA3 20, 0 ⋅ 62, 03 = = 397213,3 cm 4 , Kσ = = 0,189 hA 12 12 0,15 + 0,85 hm
Moduli elastičnosti i klizanja iznose EII=1100 kN/cm² i G=50 kN/cm². Ugib usled normalnih napona iznosi: f (σ
•
)
=
420, 0 ⋅ 102 ⋅ 20002 ⋅ 0,189 = 7,57 cm 9, 6 ⋅ 1100 ⋅ 397213,3
ugib usled smičućih napona f ( τ ) = 1, 20
M max ⋅ Kτ , G ⋅ hA ⋅ b
f ( τ ) = 1, 20 ⋅
•
Kτ =
2 h 1+ m hA
2/3
= 0, 753
420, 0 ⋅ 102 ⋅ 0, 753 = 0, 61 cm 50 ⋅ 62, 0 ⋅ 20, 0
ukupan ugib f max = f ( σ ) + f ( τ ) = 7,57 + 0, 61 = 8,18 cm ≈ f dop = 8, 0 cm
Greška je manja od 3% pa se ne sprovodi korekcija usvojenih dimenzija.
53
13. DIMENZIONISANJE NESIMETRIČNOG TRAPEZASTOG NOSAČA Izvršiti dimenzionisanje nesimetričnog trapezastog nosača od LLD statičkog sistema proste grede raspona 20,0 m. Nagib krovne ravni iznosi 2º. Linijsko opterećenje usled sopstvene težine i snega koje deluje na nosač iznosi q=8,19 kN/m'. Za građu koristiti četinare I klase vlažnosti 12%.
Reakcije oslonaca i maksimalni moment savijanja u sredini raspona iznose: q ⋅ l 8,19 ⋅ 20, 0 = = 81,90 kN 2 2 q ⋅ l 2 8,19 ⋅ 20, 02 max M = = = 409,50 kNm 8 8
Q=
Osnovne dopuštene napone za slučaj četinara I klase čitamo iz tabele 5, sa strane 437 priloga. o σ md = 1400 N / cm 2 = 1, 40 kN / cm 2
τ mo Pd = 120 N / cm 2 = 0,12 kN / cm 2 σ
o c⊥ d
= 200 N / cm 2 = 0, 20 kN / cm 2
U nastavku vršimo redukciju osnovnih dopuštenih napona prema svim odredbama datim na početku ovog materijala: •
• •
za vlažnost drveta od 12% iz tabele 6 na strani 438 priloga interpolacijom dobijamo sledeće koeficijenta redukcije osnovnih dopuštenih napona: ◦ za normalne napone kφσ=1,06 ◦ za smičuće napone kφτ=1,12 pretpostavlja se trajanje snega duže od 3 meseca → kd=0,9 pretpostavlja se normalna zaštita i održavanje → kat=1,0 54
koeficijent redukcije osnovog dopuštenog napona zbog visine poprečnog preseka će biti računat za svaki razmatrani presek posebno, jer nosač ima pad od 2º → kh=?
•
Za redukciju normalnih i smičućih napona koristimo sledeće izraze:
σ
md
= kϕσ ⋅ kd ⋅ kat ⋅ kh ⋅ kc ⋅ σ
o md
τ mPd = kϕτ ⋅ kd ⋅ kat ⋅ τ mo Pd Koeficijent umanjenja kojim dodatno redukujemo dozvoljeni napon zbog zakošenosti ivica u svim presecima u ovom slučaju odgovara koeficijentu kc – pritisnuta ivica u nagibu: 1
kc =
2
σ
o md
2
1 tan α tan α o + o + o σ md σ c ⊥ d 2τ mPd 2
2
=
1 2
2
1 tan 2 2o tan 2o 1, 40 ⋅ + + 1, 40 0, 20 2 ⋅ 0,12
2
= 0,980
S obzirom da redukcija smičućeg napona ne zavisi od visine poprečnog preseka odmah računamo vrednost redukovanog smičućeg napona sa kojom nastavljamo proračun: τ mPd = 1,12 ⋅ 0,9 ⋅ 1, 0 ⋅ 0,12 = 0,12 kN / cm 2 Prilikom proračuna grednih nosača od LLD se na početku uvek pretpostavi širina poprečnog preseka. Treba imati u vidu da maksimalna širina na koju se moramo ograničiti ako nećemo da vršimo bočno lepljenje lamela iznosi 20,0 cm. Širina nosača zavisi pre svega od njegovog raspona. Ako bismo usvojili malu širinu nosača u slučaju velikog raspona to može da rezultira njegovom velikom visinom (pogotovo u slemenu), i obrnuto. Preporuka je da širina poprečnog preseka iznosi b≈L/100. usvajamo pravougaoni presek širine b=20,0 cm U nastavku određujemo potrebnu visinu poprečnog preseka nosača iz merodavnih naponskih uslova uz pretpostavku da je debljina lamele jednaka 3,0 cm. (1) Određivanje potrebne visine nosača u preseku iznad levog oslonca hA, potr = 1,5 ⋅
Q 81,90 = 1,5 ⋅ = 51, 2 cm → pretpostavlja se hA = 54, 0 cm b ⋅ τ mP d 20 ⋅ 0,12
Iz usvojene visine nosača u oslonačkom preseku i uslova nagiba gornje ivice nosača (geometrijski uslov) možemo izračunati visinu nosača u sredini raspona kao: hsr − hA = tan 2o → hsr = 88,9 cm l/2 55
(2) Određivanje potrebne visine nosača u sredini raspona 2.1)
prema dopuštenom naponu
Koeficijent redukcije osnovog dopuštenog napona zbog visine poprečnog preseka za visinu nosača hsr≈89 cm i odnos L/hsr≈22,5 čitamo iz tabele 7 na strani 440 (linearna interpolacija). kh = 0,883 Redukovana vrednost osnovnog dopuštenog napona iznosi:
σ
md
= 1, 06 ⋅ 0,9 ⋅ 1, 0 ⋅ 0,883 ⋅ 0,980 ⋅ 1, 40 = 1,16 kN / cm 2
Sada možemo odrediti potreban otporni moment iz izraza datog u teorijskom delu ovog materijala, a iz njega potrebnu visinu poprečnog preseka u sredini raspona: Wsr , potr =
max M 409,50 ⋅ 102 = = 35301, 7 cm3 σ md 1,16
→ hsr , potr =
2.2)
6 ⋅ 35301, 7 = 102,9 cm 20, 0
prema dopuštenom ugibu
Dopušteni ugib iznosi L/300=6,67 cm. f =
5 q ⋅ l4 l ⋅ ≤ → 384 EP ⋅ I potr 300
I potr = 31, 25 ⋅
max M ⋅ l EP
Moduli elastičnosti i klizanja iznose EII=1100 kN/cm² i G=50 kN/cm². I potr = 31, 25 ⋅
max M ⋅ l 409,50 ⋅ 102 ⋅ 2000 = 31, 25 ⋅ = 2326704,5 cm 4 EP 1100
→ hsr , potr =
3
12 ⋅ I potr b
=
3
12 ⋅ 2326704,5 = 111,8 cm 20, 0
Sada iz potrebne visine nosača u sredini raspona i uslova nagiba gornje ivice nosača (geometrijski uslov) možemo izračunati potrebnu visinu nosača u preseku iznad levog oslonca: l hA, potr = hsr , potr − ⋅ tan 2o = 111,8 − 1000 ⋅ tan 2o = 76,9 cm > pretp. hA = 54, 0 cm 2 Izračunatu potrebnu visinu iznad levog oslonca treba povećati za približno 10% kako bismo obezbedili da bude zadovoljen uslov dopuštenog napona u preseku x (presek sa maksimalnim normalnim naponom), kao i uslov dopuštenog ugiba. 56
Konačno usvajamo: • • •
debljina lamele 3,0 cm visina nosača iznad levog oslonca hA=87,0 cm visina nosača iznad desnog oslonca (iz geometrije)
hB = hA + l ⋅ tan α = 87, 0 + 2000 ⋅ tan 2o = 156,8 cm → usvaja se hB = 157 cm •
visina nosača u sredini raspona (iz geometrije)
hsr = hA +
l 2000 ⋅ tan α = 87, 0 + ⋅ tan 2o ≈ 122, 0 cm 2 2 Kontrola napona
(1) smičući napon u preseku iznad levog oslonca
τ mP = 1,5 ⋅
Q 81,90 = 1,5 ⋅ = 0, 07 kN / cm 2 < τ mPd = 0,12 kN / cm 2 b ⋅ hA 20, 0 ⋅ 87, 0
(2) normalni naponi u preseku u sredini raspona Koeficijent redukcije osnovog dopuštenog napona zbog visine poprečnog preseka za visinu nosača hsr=122 cm i odnos L/hsr≈16,4 čitamo iz tabele 7 na strani 441 (linearna interpolacija). kh = 0,869 Redukovana vrednost osnovnog dopuštenog napona iznosi:
σ
md
= 1, 06 ⋅ 0,9 ⋅ 1, 0 ⋅ 0,869 ⋅ 0,980 ⋅ 1, 40 = 1,14 kN / cm 2
Normalni napon usled savijanja računamo kao:
σ
m
=
max M 6 ⋅ max M 6 ⋅ 409,50 ⋅ 102 = = = 0,83 kN / cm 2 < σ 2 2 Wsr b ⋅ hsr 20, 0 ⋅ 122, 0
md
= 1,14 kN / cm 2
(3) normalni napon u preseku x (mesto maksimalnog normalnog napona) Položaj preseka x u kome dolazi do pojave maksimalne vrednosti normalnog napona računamo kao (izraz dat u teorijskom delu): x=
l hB +1 hA
=
2000 = 713 cm = 7,13 m 157 +1 87 57
Moment savijanja u preseku x računamo kao: Mx = Q⋅ x −
q ⋅ x2 8,19 ⋅ 7,132 = 81,90 ⋅ 7,13 − = 375,80 kNm 2 2
Visinu u preseku x računamo iz geometrije kao (izraz dat u teorijskom delu): hx =
2 ⋅ hB 2 ⋅ 157, 0 = = 112 cm hB 157, 0 +1 +1 hA 87, 0
Koeficijent redukcije osnovog dopuštenog napona zbog visine poprečnog preseka za visinu nosača hx=112 cm i odnos L/hx≈18,0 čitamo iz tabele 7 na strani 440 (linearna interpolacija): kh = 0,872 Redukovana vrednost osnovnog dopuštenog napona iznosi:
σ
md
= 1, 06 ⋅ 0,9 ⋅ 1, 0 ⋅ 0,872 ⋅ 0,980 ⋅ 1, 40 = 1,14 kN / cm 2
Normalni napon računamo kao:
σ
m
=
M x 6 ⋅ M x 6 ⋅ 375,80 ⋅ 102 = = = 0,90 kN / cm 2 < σ Wx b ⋅ hx2 20, 0 ⋅ 112, 02
md
= 1,14 kN / cm 2
Kontrola ugiba •
ugib usled normalnih napona f (σ
IA =
M max ⋅ l 2 ⋅ Kσ 9, 6 ⋅ EP ⋅ I A hA hB
3
b ⋅ hA3 20, 0 ⋅ 87, 03 = = 1097505 cm 4 , Kσ = = 0, 274 hA 12 12 0,15 + 0,85 hB
f (σ
•
)
=
)=
409,50 ⋅ 102 ⋅ 20002 ⋅ 0, 274 = 3,87 cm 9, 6 ⋅ 1100 ⋅ 1097505
ugib usled smičućih napona 58
f ( τ ) = 1, 20
M max ⋅ Kτ , G ⋅ hA ⋅ b
f ( τ ) = 1, 20 ⋅ •
Kτ =
2 h 1+ B hA
2/3
= 0,806
409,50 ⋅ 102 ⋅ 0,806 = 0, 46 cm 50 ⋅ 87, 0 ⋅ 20, 0
ukupan ugib f max = f ( σ ) + f ( τ ) = 3,87 + 0, 46 = 4,33 cm < f dop = 6, 67 cm
59
PRILOG 1 - Ispitni zadatak: klasičan krov Na slici je prikazana krovna konstrukcija koja se sastoji od: krovnih gredica (POS KG), rogova (POS R), slemenjače (POS S), talpi poda (POS TP) i tavanjača (POS T). Opterećenje krova se sastoji od: sopstvene težine krovnog pokrivača (što obuhvata i težinu letvi) u iznosu od g=0,20 kN/m² kose krovne površine, snega u iznosu od s=0,80 kN/m² osnove krova i korisnog opterećenja tavana u iznosu od p=2,0 kN/m². Stubovi krovne konstrukcije su na rastojanju od 2,40 m. Odrediti potrebne dimenzije svih navedenih elemenata. Dužinu prepusta odrediti iz uslova da su razmaci krovnih gredica jednaki. Za građu koristiti monolitno drvo, četinare II klase (σmd=1000 N/cm² i σcIId=850 N/cm²).
Rastojanje krovnih gredica iznosi:
λ KG
5, 64 / cos 20o = = 1, 0 m 6
Iz toga sledi da dužina prepusta iznosi: Lp = 2 ⋅ 1, 0 = 2, 0 m (1) Dimenzionisanje krovne gredice POS KG linijsko opterećenje od sopstvene težine...................g×λKG=0,20×1,0=0,20 kN/m' linijsko opterećenje od snega..........s×λKG×cos20º=0,80×1,0×cos20º=0,75 kN/m' ---------------------------------------------ukupno opterećenje po osi gredice q=0,95 kN/m' Imajući u vidu da su krovne gredice izložene složenom savijanju, u nastavku ukupno opterećenje predstavljamo preko komponenti u izabranom koordinatnom sistemu, što je prikazano na slici ispod. 60
Usvajamo da se rogovi nalaze na rastojanju od 0,80 m, što odgovara rastojanju stubova od 2,40 m. Krovne gredice su statičkog sistema proste grede raspona lKG=0,80 m. Komponente ukupnog opterećenja glase: qx = q ⋅ cos α = 0,95 ⋅ cos 20o ⋅ 103 = 892, 7 N / m ' q y = q ⋅ sin α = 0,95 ⋅ sin 20o ⋅ 103 = 324,9 N / m ' Momenti savijanja oko glavnih osa glase: q ⋅ l2 892, 7 ⋅ 0,802 M x = x KG = = 71, 42 Nm 8 8 q ⋅ l2 324,9 ⋅ 0,802 M y = y KG = = 25,99 Nm 8 8 Ako odnos visine i širine poprečnog preseka gredice označimo sa c i pretpostavimo poprečni presek gredice b/h=3,8/4,8 za koji je c=1,263 i Wx=14,59 cm³ tada važi: Wx , potr =
Mx + c⋅ My
σ
md
=
71, 42 + 1, 263 ⋅ 25,99 2 ⋅ 10 = 10, 42 cm3 < Wx , pretp . = 14,59 cm3 1000
usvajamo krovne gredice b/h=3,8/4,8 Kontrola ugiba: Dopušteni ugib iznosi δdop=lKG/200, modul elastičnosti EII=106 N/cm², a momenti inercije za obe ose iznose: 3,8 ⋅ 4,83 4,8 ⋅ 3,83 Ix = = 35, 02 cm 4 i I y = = 21,95 cm 4 12 12 4 5 qx ⋅ lKG 5 8,927 ⋅ 804 ⋅ = ⋅ 6 = 0,14 cm δ = 384 EP ⋅ I x 384 10 ⋅ 35, 02 → 4 5 q y ⋅ lKG 5 3, 249 ⋅ 804 δy= ⋅ = ⋅ = 0, 08 cm 384 EP ⋅ I y 384 106 ⋅ 21,95
δx=
61
δ x2 + δ
2 y
=
< δ dop =
0,142 + 0, 082 = 0,16 cm < 80, 0 = 0, 40 cm 200
(2) Dimenzionisanje roga POS R Statički sistem i opterećenja rogova su prikazani na slici ispod.
Opterećenja koja deluju na rogove po njihovoj osi: linijsko opterećenje od težine pokrivača................g×lKG=0,20×0,80×10³=160,0 N/m' linijsko opterećenje od sopstvene težine roga (pretpostavljamo presek b/h=12/16) .............................................b×h×γDR/cos20º=12×16×5000×10-4/cos20º=102,2 N/m' linijsko opterećenje od snega......s×lKG×cos20º=0,80×0,80×cos20º×10³=601,4 N/m' ---------------------------------------------ukupno opterećenje po osi roga q=863,6 N/m' Normalna i tangencijalna komponenta ukupnog opterećenja glase: qn = q ⋅ cos α = 863, 6 ⋅ cos 20o = 811,5 N / m ' qt = q ⋅ sin α = 863, 6 ⋅ sin 20o = 295, 4 N / m ' Iz tabele 79 na 653. strani priloga možemo odrediti statičke uticaje.
Q = q ⋅ ( l + c ) = 811,5 ⋅ ( 6, 0 + 2, 0 ) = 6492 N l+ c 6, 0 + 2, 0 = 6492 ⋅ = 4328 N 2⋅ l 2 ⋅ 6, 0 l− c 6, 0 − 2, 0 B = Q⋅ = 6492 ⋅ = 2164 N 2⋅ l 2 ⋅ 6, 0 A = Q⋅
62
q ⋅ c2 811,5 ⋅ 2, 02 = − = − 1623 Nm 2 2 B2 21642 max M = = = 2885,3 Nm 2 ⋅ q 2 ⋅ 811,5 min M = −
Položaj preseka u kome se javlja maksimalni moment savijanja računamo kao: B − qn ⋅ x = 0 → x =
B 2164 = = 2, 67 m qn 811,5
Pretpostavljeni presek b/h=12/16 ima sledeće geometrijske karakteristike: I = 4096 cm 4 , W = 512 cm3 , A = 192 cm 2 , i = 4, 62 cm, λ = 129,9, ω = 5, 44 Pri kontroli napona moramo u obzir uzeti i aksijalnu silu.
σ
cP
=ω ⋅
N σ cPd M + ⋅ ≤σ A σ md W
cP d
Vršimo kontrolu napona u preseku sa maksimalnim momentom (presek x):
σ
cP
= 5, 44 ⋅
788, 7 850 2885,3 ⋅ 102 + ⋅ = 501, 4 N / cm 2 < σ 192 1000 512
cP d
= 850 N / cm 2
S obzirom da je napon u merodavnom preseku daleko ispod dopuštenog napona, nakon kontrole ugiba ćemo znati da li možemo usvojiti slabiji presek. Uticaj normalne sile pritiska na ugib se zanemaruje. Ugib u sredini raspona računamo prema izrazu datom u tabeli 79 na 653. strani priloga, ali moramo ga podeliti sa kosinusom ugla koji rogovi zaklapaju sa horizontalom da bismo dobili realan ugib: q ⋅ l2 1 811,5 ⋅ 6, 02 1 2 2 f 2 = 0, 00260 ⋅ ⋅ ( 5 ⋅ l − 12 ⋅ c ) ⋅ = 0, 00260 ⋅ ⋅ ( 5 ⋅ 6, 02 − 12 ⋅ 2, 02 ) ⋅ o I cos 20 4096 cos 20o f 2 = 2, 60 cm < f dop =
l = 3, 0 cm 200
usvajamo rogove b/h=12/16
63
(3) Dimenzionisanje slemenjače POS S Slemenjača je statičkog sistema proste grede, raspona jednakom rastojanju stubova – l=2,40 m (zanemaruje se uticaj kosnika na raspon). Opterećenja koja deluju na slemenjaču: linijsko opterećenje od težine pokrivača.........g×3×λKG=0,20×3×1,0×10³=600,0 N/m' linijsko opterećenje od sopstvene težine slemenjače (pretpostavljamo poprečni presek b/h=14/16) ......................................b×h×γDR=14×16×5000×10-4=112,0 N/m' linijsko opterećenje od snega........................s×5,64/2=0,80×2,82×10³=2256,0 N/m' reakcije od sopstvene težine rogova (koncentrisane sile) zanemarujemo ---------------------------------------------ukupno opterećenje po osi slemenjače q=2968,0 N/m' Moment savijanja u sredini raspona iznosi: q ⋅ l 2 2968, 0 ⋅ 2, 402 max M = = = 2137, 0 Nm 8 8 Pretpostavljeni presek b/h=14/16 ima sledeće geometrijske karakteristike: I = 4778, 7 cm 4 , W = 597,3 cm3 , A = 224 cm 2 Normalni napon usled savijanja iznosi:
σ
m
=
max M 2137, 0 ⋅ 102 = = 357,8 N / cm 2 < σ W 597,3
md
= 1000 N / cm 2
Ugib iznosi:
δ =
5 q ⋅ l4 5 29, 68 ⋅ 2404 240, 0 ⋅ = ⋅ 6 = 0, 27 cm < δ dop = = 1, 20 cm 384 EP ⋅ I 384 10 ⋅ 4778, 7 200
Iako su vrednosti i napona i ugiba daleko od dopuštenih vrednosti definisanih propisom, zadržaćemo pretpostavljeni poprečni presek slemenjače. Razlog za to je činjenica da je poprečni presek rogova veliki, što je posledica njihovog velikog raspona. S obzirom da se rogovi oslanjaju na slemenjaču, prirodno je da njen poprečni presek bude veći nego poprečni presek rogova . usvajamo slemenjaču b/h=14/16
64
(4) Dimenzionisanje talpi poda POS TP U slučaju da se predviđa hodanje po daskama, minimalna debljina daske iznosi 3,8 cm. Minimalna i maksimalna širina, debljina i raspon dasaka koje možemo naći na tržištu najčešće zavise od proizvođača. Dimenzije dasaka za četinarsku građu su definisane u standardima JUS D.C1.040 i JUS D.C1.041 (strane 411 i 412 priloga). Za konstrukcije tavanica uobičajeno je da se usvajaju daske širine 20 cm. Pretpostavljamo daske dimenzija b/h=20/3,8. Opterećenja koja deluju na jednu dasku: linijsko opterećenje od težine daske..........b×h×γDR=20,0×3,8×5000×10-4=38,0 N/m' linijsko opterećenje od korisnog tereta......................p×b=2,0×0,20×10³=400,0 N/m' ---------------------------------------------ukupno opterećenje po osi daske q=438,0 N/m' Daske se pružaju preko tavanjača koje se nalaze na rastojanju na kojem se nalaze i rogovi - lKG=0,80 m. Dakle, daske su sistema proste grede raspona l=0,80 m. Moment savijanja u sredini raspona iznosi: max M =
q ⋅ l 2 438, 0 ⋅ 0,802 = = 35, 0 Nm 8 8
Pretpostavljeni presek b/h=20/3,8 ima sledeće geometrijske karakteristike: I = 91,5 cm 4 , W = 48,1 cm3 , A = 76, 0 cm 2 Normalni napon usled savijanja iznosi:
σ
m
=
max M 35, 0 ⋅ 102 = = 72,8 N / cm 2 < σ W 48,1
md
= 1000 N / cm 2
Ugib iznosi:
δ =
5 q ⋅ l4 5 4,38 ⋅ 804 80, 0 ⋅ = ⋅ 6 = 0, 03 cm < δ dop = = 0, 40 cm 384 EP ⋅ I 384 10 ⋅ 91,5 200 usvajamo daske b/h=20/3,8
65
(5) Dimenzionisanje tavanjače POS T Tavanjače se nalaze na međurastojanjima od 0,80 m jer prate međurastojanja rogova, kao što je i ranije rečeno. Statičkog su sistema proste grede raspona 5,64 m. Opterećenja koja deluju po osi tavanjače: linijsko opterećenje od sopstvene težine tavanjače (pretpostavljamo presek b/ h=16/20) ......................................................b×h×γDR=16×20×5000×10-4=160,0 N/m' linijsko opterećenje od težine talpi....γDR×htalpe×lKG=5000×3,8×10-2×0,80=152,0 N/m' linijsko opterećenje od korisnog tereta..................p×lKG=2,0×0,80×10³=1600,0 N/m' ---------------------------------------------ukupno opterećenje po osi tavanjače q=1912,0 N/m' Moment savijanja u sredini raspona iznosi: max M =
q ⋅ l 2 1912, 0 ⋅ 5, 642 = = 7602,5 Nm 8 8
Pretpostavljeni presek b/h=16/20 ima sledeće geometrijske karakteristike: I = 10666, 7 cm 4 , W = 1066, 7 cm3 , A = 320, 0 cm 2 Normalni napon usled savijanja iznosi:
σ
m
max M 7602,5 ⋅ 102 = = = 712, 7 N / cm 2 < σ W 1066, 7
md
= 1000 N / cm 2
Ugib iznosi: 5 q ⋅ l4 5 19,12 ⋅ 5644 564, 0 δ = ⋅ = ⋅ 6 = 2,36 cm < δ dop = = 2,82 cm 384 EP ⋅ I 384 10 ⋅ 10666, 7 200 usvajamo tavanjače b/h=16/20
66
67
LITERATURA Đorđević, R. (2003). Noseće konstrukcije I, Fakultet tehničkih nauka u Novom Sadu, Novi Sad. Gojković, M. (1985). Drvene konstrukcije, Građevinski fakultet u Beogradu i Naučna knjiga, Beograd. Gojković, M. i saradnici (2007). Drvene konstrukcije – rešeni primeri iz teorije i prakse, Građevinski fakultet u Beogradu, Beograd. Gojković, M. i Stojić, S. (1996). Drvene konstrukcije, Građevinski fakultet u Beogradu i Grosknjiga, Beograd. Ilić, S. (1989). Klasični drveni krovovi, Građevinska knjiga, Beograd. Kočetov-Mišulić, T. (2008). Predavanja, ppt prezentacija na CD-u, Novi Sad. Kujundžić, V. (1989). Savremene drvene konstrukcije, Građevinska knjiga, Beograd.
