UNIVERZITET U BANJOJ LUCI
ELEKTROTEHNIČKI FAKULTET
LINEARNA ALGEBRA
vježbe
VJEŽBE
LINEARNA ALGEBRA
_____________________________________________________ _________________________ _____________________________________________________ _________________________ UMJESTO UVODA
Ova skripta nastala je iz zabilješki sa računskih vježbi, kursa „Linearna algebra“, održanih u prvom semestru akademske 2012/2013. godine. U toku prvog semestra održano je ukupno petnaest računskih vježbi, te je skripta podijeljena u odgovarajućih odgov arajućih petnaest segmenata. Neki od segmenata su započeli ili završili u sredini neke tematske cjeline, što donekle daje nezgrapan oblik tekstu. Ipak, želja mi je bila da razdvojim gradivo koje je obrađivano na pojedinim vježbama, kako bi se čitaoci, koji će proučavati izloženu materiju, a koji su eventualno preskočili neke od vježbi obrađenih u ovom kursu, mogli relativno lako da se snađu i pažnju usmjere na taj dio gradiva.
Duži niz godina primjećuje se tendencija da se ispit iz LA jako teško polaže. Gradivo zaista jeste prilično kompleksno i apstraktno ali, iako isti zadatak z adatak stoji i ispred mene, imam utisak da je ovo materija koja nije do te mjere zahtjevna, da se ne bi mogla usvojiti u nekom razumnom vremenu. Lično mislim da je problem u neredovnom pohađanju časova i relativno nedosljednim
bilješkama sa predavanja i vježbi. Kako sam i sam propustio nekoliko časova, morao sam da se snalazim i pozajmljujem bilješke od kolega. Prepisujući bilješke primjetio sam da moje kolege dosta šturo vode bilješke, čak do te mjere da su postavke zadataka skraćene i izostavljene. Takva situacija rezultuje neminovnim nejasnoćama u kasnijem spremanju ispitnog gradiva. Stoga sam napisao ovu skriptu kao pokušaj da sistematizujem gradivo izloženo u ovom kursu, ali i da na neki način pomognem kolegama koji imaju problema sa polaganjem LA. Bilo bi mi drago kada bi kolege koje su uspješno savladale gradivo, dale svoj prilog i objavile rješenja ponekog ispitnog roka, kako bi ostale kolege imale bolju orjentaciju u spremanju ovog, krajnje zahtjevnog ispita. Čitaocima želim da što prije spreme i polože LA, kako bi što prije mogli da se uhvate u
koštac sa stručnim predmetima. PRadojčić
2__________________________________________________________________________________
VJEŽBE
LINEARNA ALGEBRA
__________________________ _______________________________________ __________________________ __________________________ ________________________ ____________________ _________
SADRŽAJ (Vježbe br. 1. )................................................................................................................................................ 5
A1. Osnovni pojmovi matematičke logike ............................................................................................
5
A2. Elementi teorije skupova ................................................................................................................. 6
(Vježbe br. 2. ).............................................................................................................................................. 11 A3. Binarne relacije .............................................................................................................................. 12 A4. Relacija ekvivalencije .................................................................................................................... 19
(Vježbe br. 3).............................................................................................................................................. 22
A.5. Relacija parcijalnog uređenja ......................................................................................................
32
(Vježbe br.4)............................................................................................................................................... 36 A.6. Preslikavanja ................................................................................................................................. 36 A7. Invertibilnost preslikavanja .......................................................................................................... 43
(Vježbe br.5)............................................................................................................................................... 49 A8. Binarne operacije ........................................................................................................................... 49 A9. Algebarske strukture ..................................................................................................................... 50
(Vježbe br.6 )............................................................................................................................................... 58 A 10. Algebarske strukture sa dvije operacije ................................................................................... 58 B 1. Skup realnih brojeva..................................................................................................................... 63 B 2. Princip matematičke indukcije .................................................................................................... 67
(Vježbe br.7.) ............................................................................................................................................. 70 B 3. Skup kompleksnih brojeva.......................................................................................................... 70 C. Kombinatorika ................................................................................................................................. 79
(Vježbe br.8.).............................................................................................................................................. 83 C.5. Binomna formula (Njutnova binomna formula) ........................................................................ 83 __________________ ___________________________ ___________________ _________________ _________________ ___________________ ______________________ _________________3 ____3
LINEARNA ALGEBRA
VJEŽBE
______________________________________________________________________________
C.7. Princip uključenja- isključenja....................................................................................................
85
D. Polinomi ............................................................................................................................................ 89 Dijeljenje polinoma ............................................................................................................................... 91
(Vježbe br.9.).............................................................................................................................................. 97 Vektoriski prostori i linearni operatori .............................................................................................. 97 Vektorski potprostori ......................................................................................................................... 107
(Vježbe br. 10.).........................................................................................................................................
110
Linearna zavisnost i nezavisnost vektora.......................................................................................... 113
(Vježbe br.11.).......................................................................................................................................... 119 Baza i demenzija vektorskog prostora .............................................................................................. 119
(Vježbe br. 12).......................................................................................................................................... 127 Matrice ................................................................................................................................................. 127
(Vježbe br. 13. )......................................................................................................................................... 135 Linearni operatori............................................................................................................................... 135 Gausov metod eliminacije .................................................................................................................. 138 Kramerovo pravilo.............................................................................................................................. 140 Determinante ....................................................................................................................................... 141
(Vježbe br. 14. ).......................................................................................................................................... 147
Matrični prikaz linearnog operatora ................................................................................................
149
Rang matrice ....................................................................................................................................... 151 Redukovana stepenasta forma ........................................................................................................... 152 Analiza saglasnosti linearnih sistema ................................................................................................ 154
(Vježbe br.15.).......................................................................................................................................... 157 Sopstvene vrijednosti i sopstveni vektori matrice ............................................................................ 157 4__________________________________________________________________________________
VJEŽBE
LINEARNA ALGEBRA
_____________________________________________________________________________________
(Vježbe br. 1.)
A1. Osnovni pojmovi matematičke logike
DEFINICIJA:
Svaka rečenica koja je smislena(tačna ili netačna) naziva se sud ili iskaz.
Primjer br. 1.
A=Danas je prvi čas linearne algebre.
Neka su A i B dati sudovi. Tada je: konjunkcija sudova A i B; disjunkcija sudova A i B; implikacija; ekvivalencija; negacija iskaza od A.
-Kvantifikatori-
- univerzalni kvantifikator (za svaki) - egzistencijalni kvantifikator (postoji) - postoji tačno jedan Primjer br. 2.
________________________________________________________________________________5
VJEŽBE
LINEARNA ALGEBRA
______________________________________________________________________________ jer u skupu realnih brojeva imamo 0, a dijeljenje nulom nije definisano!
A2. Elementi teorije skupova
Skup je osnovni matematički pojam koji se ne definiše. Skup je potpuno određen svojim elementima.
Primjer br. 1. A={-1,0,1} B={a,b,c,d} Pri tome je redoslijed elemenata nebitan: A={-1,0,1}={1,0,-1}={0,1,-1} U skupu se svaki element zapisuje samo jednom. A={-1,0,1}={-1,0,0,0,1}
Primjer br. 2.
Skup možemo zadavati i navodeći svojstva njegovih elemenata:
6__________________________________________________________________________________
VJEŽBE
LINEARNA ALGEBRA
_____________________________________________________________________________________
- skup prirodnih brojeva - skup cijelih brojeva - skup racionalnih brojeva - skup realnih brojeva - skup kompleksnih brojeva
Primjer br. 3. Napisati prosti izraz za date skupove pretpostaviti da je univerzalni skup, skup realnih brojeva: a)
b) c) d)
TEOREMA 1.
(kvadrat zbira) (kvadrat razlike)
TEOREMA 2.
(kub zbira) (kub razlike)
________________________________________________________________________________7
VJEŽBE
LINEARNA ALGEBRA
______________________________________________________________________________ TEOREMA 3. TEOREMA 4.
(razlika kvadrata) (zbir kubova) (razlika kubova)
TEOREMA 5.
(Njutnova binomna formula)
e) f) g)
Ako su svi elementi skupa B ujedno i elementi skupa A tada kažemo da je B podskup skupa A i pišemo DEFINICIJA:
Ako je pri tome
kažemo da je B pravi podskup skupa A.
DEFINICIJA: Dva skupa su jednaka akko su jedan podskup drugog i obrnuto.
8__________________________________________________________________________________
VJEŽBE
LINEARNA ALGEBRA
_____________________________________________________________________________________
DEFINICIJA: Skup svih podskupova skupa A zove se partitivni skup skupa A u oznaci A
ili 2 .
Zadatak br. 1. Ako je dat skup A={a,b,c} odrediti partitivni skup skupa A.
TVRĐENJE: Ako je skup A konačan tada važi:
________________________________________________________________________________9
VJEŽBE
LINEARNA ALGEBRA
______________________________________________________________________________
Skup
i nema dva ista broja iz definicije!
DEFINICIJA: Neka su
Tada je
komplement ili dopuna
do skupa S.
unija skupova A i B presjek skupova A i B razlika skupova A i B
simetrična razlika skupova A i B Pokazuje se da važe i sledeće jednakosti:
1. 2.
komutativnost unije
3.
komutativnost presjeka
4.
asocijativnost unije asocijativnost presjeka
5.
distributivnost unije
10__________________________________________________________________________________
VJEŽBE
LINEARNA ALGEBRA
_____________________________________________________________________________________
distributivnost presjeka 6. 7. 8. 9.
De Morganova pravila
10.
Zadatak br. 2.
(Vježbe br. 2.) DEFINICIJA: Dekartov proizivod dva skupa X i Y u oznaci
je skup uređenih parova
Zadatak br. 3. Dati su skupovi
Grafički predstaviti skup
.
________________________________________________________________________________11
VJEŽBE
LINEARNA ALGEBRA
______________________________________________________________________________
Zadatak za vježbu: Dati su skupovi
Odrediti skup
, grafički ga predstaviti i analitički zapisati.
A3. Binarne relacije
Uređena trojka (X,Y,R) gdje su X i Y neprazni skupovi i R neprazan proizvoljan podskup Dekartovog proizvoda skupova X i Y naziva se binarna relacija između skupova X i Y. DEFINICIJA:
Napomena: Ako je Y=X onda je
binarna relacija u skupu X. 12__________________________________________________________________________________
VJEŽBE
LINEARNA ALGEBRA
_____________________________________________________________________________________
Ako
kažemo da je element
u relaciji R sa elementom
.
Primjer br.1. Neka je X={1,2,3} i Y={2,4,6}. Tada je Dekartov proizvod ova dva skupa
TVRĐENJE: Ako su X i Y konačni skupovi, tada je i skup
konačan i važi
R 1,R 2 su binarne relacije.
________________________________________________________________________________13
VJEŽBE
LINEARNA ALGEBRA
______________________________________________________________________________ Primjer br. 2. Neka je X={1,2,3,4}. Tada je
i neka je ={(1,2),(1,3),(1,4),(2,3),(2,4),(3,4)} je binarna relacija u skupu X. Zadatak br. 1.
Napisati sve binarne relacije na skupu S={a,b} izuzev onih čija je kardinalnost veća od 2.
Zadatak br. 2. Neka su dati skupovi A={1,2,3,4} i B={1,2,3,4,5,6} i relacija Predstaviti zadatu relaciju:
a) pomoću Dekartovog dijagrama, b) nabrajanjem parova, 14__________________________________________________________________________________
.
VJEŽBE
LINEARNA ALGEBRA
_____________________________________________________________________________________
c) pomoću dijagrama sa strelicama.
a)
b)
c)
________________________________________________________________________________15
LINEARNA ALGEBRA
VJEŽBE
______________________________________________________________________________
Zadatak br. 3. Dati su skupovi E={2,3,4,5,6} i F={7,8,9,10,11,12}. Odrediti relaciju definisanu sa: a) b)
16__________________________________________________________________________________
VJEŽBE
LINEARNA ALGEBRA
_____________________________________________________________________________________
a)
b)
________________________________________________________________________________17
VJEŽBE
LINEARNA ALGEBRA
______________________________________________________________________________ Zadatak br. 4. Ako je R={(a,1),(b,1),(b,2),(b,3),(c,2),(c,3),(c,4),(d,3)} binarna relacija između elemenata skupova E={a,b,c,d} i F={1,2,3,4}, odrediti: C
a) R =?
DEFINICIJA:
b) Za dati element
Ako je
onda je
takav da
.
.
c)
d)
18__________________________________________________________________________________
VJEŽBE
LINEARNA ALGEBRA
__________________________ _______________________________________ __________________________ __________________________ ________________________ ____________________ _________
Z a vježbu:
A4. Relacija ekvivalencije
DEFINICIJA:
Za binarnu relaciju u skupu X kažemo da je
-
refleksivna ako (
-
simerična ako antisimetrična ako
-
tranzitivna ako
važi xRx. ako važi
,
ako je
,
Svaka binarna relacija u skupu X koja je istovremeno refleksivna, simetrična i tranzitivna je relacija ekvivalencije i označava se sa ~ .
DEFINICIJA:
DEFINICIJA: Skup svih elemenata iz X koji su u relaciji sa fiksiranim elementom
naziva se klasa ekvivalencije elementa
i označava sa C x.
Skup svih klasa ekvivalencije naziva se količnički skup i označava DEFINICIJA: Za familiju nepraznih podskupova
(razbijanje)
kažemo da je particija
, ako važi:
1. 2. Primjer br. 1.
___________________ _____________________________ ___________________ ___________________ ___________________ _________________ ______________________ _______________19 _19
VJEŽBE
LINEARNA ALGEBRA
_____________________________________________________ _________________________ _____________________________________________________ _________________________ TEOREMA 1. Ako je ~ relacija ekvivalencije na skupu X tada važi
1. 2. 3. TEOREMA 2. Neka je familija nepraznih skupova
binarna relacija u skupu X definisana sa
particija skupa X. Ako je ρ tada je ρ relacija
ekvivalencije.
Zadatak br. 1(ispitni): Neka je X={x1,x2,...xn}. Koliko ima binarnih relacija definisanih u skupu x?
Kako je broj elemenata partitivnog skupa jednak broju varijacija sa ponavljanjem, to će
. Pošto partitivni skup, osim nepraznih podskupova sadrži i prazan skup, to će broj binarnih relacija biti umanjen za prazan skup, odnosno biće jedenak
broj elemenata ovog skupa sku pa iznositi .
20__________________________________________________________________________________
VJEŽBE
LINEARNA ALGEBRA
__________________________ _______________________________________ __________________________ __________________________ ________________________ ____________________ _________
Zadatak br. 2(ispitni): Na skupu E={-6,-5,-4,-3,0,3,4,5,6} definisana je binarna relacija
a) Dokazati da je R relacija ekvivalencije. b) Odrediti klase ekvivalencije.
Refleksivnost:Posmatrajmo bikvadratnu jednačinu
Zaključak: Dokazali smo da je relacija R refleksivna , što je i više nego što je potrebno. Naime, binarna relacija R je refleksivna na čitavom skupu realnih brojeva, pa je samim tim refleksivna i na njegovom podskupu E.
Simetričnost: Neka je
Treba dokazati da je
odnosno
.
Ovim je dokazana simetričnost binarne relacije R. ___________________ _____________________________ ___________________ ___________________ ___________________ _________________ ______________________ _______________21 _21
VJEŽBE
LINEARNA ALGEBRA
______________________________________________________________________________ Tranzitivnost : Neka je
i
(2)
Tada je iz jednačine (1) (**)
a iz jednačine (2) (***)
Iz izraza (**) i (***) očigledno je da je
odnosno
čime je dokazana osobina tranzitivnosti. Kako je relacija R refleksivna, simetrična i tranzitivna, zaključujemo da je ista relacija ekvivalencije. (Vježbe br. 3)
b) Klase ekvivalencije:
Ako je x=5 fiksirani element, odredimo klasu ekvivalencije tog elementa, C 5:
22__________________________________________________________________________________
VJEŽBE
LINEARNA ALGEBRA
_____________________________________________________________________________________
x=6
Drugo rješenje bikvadratne jednačine je negativno, što znači da će n jegovi korijeni biti u kompleksnoj ravni. O ovom slučaju, skup E je podskup skupa realnih brojeva, tako da ovi korijeni sigurno izlaze iz skupa E, odnosno rješenja nisu korektna. Razmatraju se dakle, samo korijeni rješenja 36:
x=3
Ova bikvadratna jednačina već je ranije rješavana, pa imamo:
________________________________________________________________________________23
VJEŽBE
LINEARNA ALGEBRA
______________________________________________________________________________
Zadatak br.3.(trivijalni): U skupu
. Ispitati da li je ρ relacija
definisana je relacija
ekvivalencije i ako jeste, odrediti količnički skup.
Primjetimo da je
odnosno, kaže se da skup realnih brojeva ima moć kontinuuma. Refleksivnost: (Treba dokazati Neka je
)
proizvoljan. Tada važi
što je poznata osobina u skupu realnih brojeva. Ono što važi za proizvoljan element, važi i za svaki, pa je
24__________________________________________________________________________________
VJEŽBE
LINEARNA ALGEBRA
_____________________________________________________________________________________
Simetričnost: (Treba dokazati da
)
Neka su x i y realni brojevi, proizvoljni, takvi da važi
Ono što važi za proizvoljan, važi za svaki, tj.
Tranzitivnost: (Treba dokazati Neka su
)
takvi da je
Ono što važi za proizvoljne, bez ograničenja opštosti, važi za sve.
Kako je ρ refleksivna, simetrična i tranzitivna, zaključujemo da je relacija ρ relacija ekvivalencije. Odredimo sada klase ekvivalencije. Neka je
je ρ refleksivna binarna relacija, ekvivalencije C x, tada važi
proizvoljan element. Tada, zato što
. Da li postoji
Ako y pripada klasi
Zaključak: Prema tome, može se zaključiti da je klasa jednočlana, odnosno
a količnički skup će biti jednak
Zadatak br.4(ispitni): ________________________________________________________________________________25
LINEARNA ALGEBRA
VJEŽBE
______________________________________________________________________________ U skupu
definisana je relacija
.
Provjeriti da li je ρ relacija ekvivalencije i ako jeste, opisati količnički skup i klasu ekvivalencije kojoj pripada tačka (0,0,0). Dati geometrijsku interpretaciju.
Refleksivnost:
Neka je
proizvoljan element. Tada je
Ono što važi za proizvoljan element, bez ograničenja opštosti, važi i za svaki, odnosno time je dokazano da je relacija ρ refleksivna. Simetričnost: Neka su
Ono što važi za proizvoljan element, bez ograničenja opštosti, važi i za svaki, odnosno relacija ρ je simetrična. Tranzitivnost: Neka su uzete proizvoljne uređene trojke
Ono što važi za proizvoljan element, bez ograničenja opštosti, važi i za svaki, odnosno relacija ρ je tranzitivna. 26__________________________________________________________________________________
VJEŽBE
LINEARNA ALGEBRA
_____________________________________________________________________________________
Kako je relacija ρ refleksivna, simetrična i tranzitivna, dokazano je da je ona relacija ekvivalencije. Klase ekvivalencije:
Ako posmatramo relaciju ρ, vidjećemo da je ona definisana sa tri uslova i to u trodimenzionalnom prostoru . Dakle, skup možemo geometrijski posmatrati kao trodimezionalni prostor, određen trodimezionalnim pravouglim koordinatnim sistemom. Ukoliko bi relacija ρ bila sastavljena samo od prvog uslova uslova( ), to bi praktično značilo da jednoj klasi ekvivalencije pripadaju sve tačke trodimezionalnog prostora, čija je prva koordinata ista, a to geometrijski predstavlja ravan koja je paralelna sa ravni „ y-z “ i udaljena je od nje za „a“ u pozitivnom smjeru x ose. Uvede li se drugi uslov (
), klasa ekvivalencije se sužava. Imajući u
vidu da znak druge koordinate mora biti jednak, to praktično znači da ovaj uslov svodi klasu ekvivalencije na poluravan, omeđenu pravom „ p“, koja istovremeno pripada klasi ekvivalencije. Konačno, treći uslov ( .) dodatno sužava klasu ekvivalencije. Ovaj uslov kazuje da cjelobrojni dio treće koordinate kod dvije tačke koje pripadaju istoj klasi ekvivalencije, mora biti jednak. Ovaj će uslov podijeliti prijašnju poluravan na „trakice“, koje su širine poluotvorenog intervala [c,c+1). Da bi se ovo objasnilo, možemo iz prostora za trenutak pobjeći u jednodimenzioni prostor . Na slici će biti predstavljena prava, koja predstavlja skup realnih brojeva. Ako se na ovoj pravoj predstavi skup cijelih brojeva , dobiće se cijeli podioci vrijednosti {...0,1,2,3,...}. Jasno je da u ovom skupu cjelobrojni dijelovi elemenata ne mogu biti jednaki. To je međutim moguće u skupu realnih brojeva. Naime, svi brojevi od nule do jedinice, uključujući nulu i isključujući jedinicu, imaće isti cjelobrojni dio(npr. 0,342 i 0,8554 imaju isti cjelobrojni dio-nulu). Isto važi za bilo koji drugi interval. Dakle vidi se da su ovo poluotvoreni
intervali, čiji je predstavnik cijeli broj kojim započinje interval.
________________________________________________________________________________27
VJEŽBE
LINEARNA ALGEBRA
______________________________________________________________________________
Dakle, klase ekvivalencije u trodimenzionalnom prostoru izgledaće kao na sledećoj slici:
p
Što se tiče klase ekvivalencije za tačku (0,0,0), ona se donekle razlikuje. Na pišimo definiciju znaka od x:
28__________________________________________________________________________________
VJEŽBE
LINEARNA ALGEBRA
_____________________________________________________________________________________
Klasa ekvivalencije za koordinatni početak dakle, neće biti „trakica“, jer je znak druge koordinate koordinatnog početka 0, a to znači da se klasa ekvivalencije svodi samo na z osu. Treći uslov ovu osu dijeli na opisane poluotvorene intervale, tako da će konačno, klasa ekvivalencije koordinatnog početka biti:
Zadatak br.5: U skupu
definisana je relacija Φ sa
Provjeriti da li je Φ klasa ekvivalencije, ako jeste, dati količnički skup. Dati grafičku interpretaciju.
Refleksivnost:
Neka je
proizvoljna tačka. Tada važi:
Ovim je dokazano da je relacija Φ refleksivna. Simetričnosti: Neka su
.
Ono što važi za proizvoljne elemente, bez ograničenja opštosti, važi i za opšti slučaj, odnosno relacija Φ je simetrična.
Tranzitivnost: Neka su
Tada važi
________________________________________________________________________________29
VJEŽBE
LINEARNA ALGEBRA
______________________________________________________________________________
Ono što važi za proizvoljne elemente, bez ograničenja opštosti, važi i za svaki, odnosno ovim je dokazano da je relacija Φ tranzitivna. Kako je relacija Φ refleksivna, simetrična i tranzitivna, zaključujemo da je ista relacija ekvivialencije.
Klase ekvivalencije i grafička interpretacija:
Primjetimo da relacija Φ ne zavisi od treće koordinate. To znači da će svake dvije tačke čije prve dvije koordinate budu zadovoljavale uslov za ispunjenje relacije, biti u relaciji Φ, bez obzira na njihov položaj po „visini“. Drugim riječima, bilo koje tačke koje se nalaze na dvije prave, paralelne sa osom „ z " biće u relaciji. To se najbolje vidi na sledećoj slici:
Na slici se jasno vidi da i tačke (a,b,c+1),(a,b,c-1),(d,e,f+1),(d,e,f-1) pripadaju istoj klasi ekvivalencije. Pošto klase ekvivalencije ne zavise od treće koordinate, jasno je da i tačke (a,b,0),(c,d,0) takođe pripadaju istoj klasi. To je dosta korisno, jer se sada razmatranje iz
prostora može prebaciti u jednostavniji
prostor.
30__________________________________________________________________________________
VJEŽBE
LINEARNA ALGEBRA
_____________________________________________________________________________________
Posmatrajmo sada izraz koji definiše relaciju Φ:
Izraz se na jednostavan način može transformisati u izrazž
Grupišući koordinate tačaka, uočavamo da se radi o kvadratu rastojanja od koordinatnog početka. To znači da sve tačke, koje pripadaju istoj klasi ekvivalencije imaju jednaku udaljenost od koordinatnog početka. Pošto nije dat nijedan dodatni uslov, zaključujemo da te tačke tvore kružnicu, što se jasno vidi na sledećoj slici, na kojoj je prikazana i treća, proizvoljna tačka sa koordinatama (g,h,0):
Obzirom da treća koordinata tačaka u prostoru nije bitna za njihovu pripadnost istoj klasi ekvivalencije, to će kroz svaku tačku ove kružnice prolaziti paralelne prave, koje će sadržati tačke iste klase ekvivalencije. Skup ovih pravih sačinjava cilindar beskonačne dužine, kako se to vidi na sledećoj slici: ________________________________________________________________________________31
VJEŽBE
LINEARNA ALGEBRA
______________________________________________________________________________
A.5. Relacija parcija lnog
uređenja
DEFINICIJA: Svaka binarna relacija koja je istovremeno
-refleksivna
,
- antisimetrična
i
- tranzitivna
naziva se relacija parcijalnog uređenja i označava sa . Skup X u kome je uvedena relacija parcijalnog uređenja, naziva se parcijalno uređen skup i označava sa . Zadatak br.1: Ako je
i
dokazati da je
relacija parcijalnog uređenja.
32__________________________________________________________________________________
VJEŽBE
LINEARNA ALGEBRA
_____________________________________________________________________________________
Refleksivnost:
, važi
Treba dokazati
, što je očigledno tačno. Dakle, je refleksivna.
Antisimetričnost:
Po definiciji jednakosti skupova važi
pa je time dokaz završen, odnosno relacija
je antisimetrična.
Tranzitivnost:
očigledno tačno, odnosno relacija je tranzitivna. Pošto je uređenja.
refleksivna, antisimetrična i tranzitivna, to znači da je relacija parcijalnog
Napomena: Relacija „<“ u
i „ “u
nisu relacije parcijalnog uređenja.
te prema tome ova relacija nije refleksivna, a samim tim nije ni relacija parcijalnog uređenja.
DEFINICIJA:
Ako je data relacija parcijalnog uređenja u skupu x i ako
onda kažemo da je
relacija totalnog uređenja u skupu X.
Primjer br. 1:
nije relacija totalnog uređenja u skupu S. ________________________________________________________________________________33
VJEŽBE
LINEARNA ALGEBRA
______________________________________________________________________________
Primjer br. 2:
relacija totalnog uređenja u skupu X.
Ako je X={{1},{1,2},{1,2,3}} tada je
Refleksivnost: (
Antisimetričnost:
Tranzitivnost:
je relacija parcijalnog uređenja.
je relacija totalnog uređenja. 34__________________________________________________________________________________
VJEŽBE
LINEARNA ALGEBRA
_____________________________________________________________________________________
parcijalno uređen skup, odnosno totalno uređen skup. Za
DEFINICIJA: Neka je
kažemo da je -
odozgo ograničen ako .
Svaki element
-
(1)
za koji važi (1) naziva se majoranta ili gornja granica skupa Y.
odozdo ograničen ako (2)
Svaki element
za koji važi (2) naziva se minoranta ili d onja granica skupa Y.
Ako je M gornja granica skupa Y i ako
tada se M naziva maksimum ili najveći
element skupa Y. Ako je m donja granica skupa Y i ako je
tada se m naziva minimum ili najmanji
element skupa Y. Najmanja gornja granica skupa Y naziva se supremum skupa Y i označava
najveća donja granica skupa Y naziva se infimum skupa Y i označava Primjer br.3: Posmatrajmo skup
i njegov podskup
.
________________________________________________________________________________35
VJEŽBE
LINEARNA ALGEBRA
______________________________________________________________________________
važi
je gornja granica jer
Provjerimo šta se dešava ako uzmemo X=[0,1):
Na kraju, otvoreni interval X=(0,1) nema ni minimum ni maksimum, već samo supremum i infimum. Zadatak br. 2:
Naći inf(E) za skup E koji čine elementi
Dokažimo da 0 pripada skupu E:
Nije traženo, alil se vidi da je min(E)=0.
(Vježbe br.4) A.6. Preslikavanja
DEFINICIJA: Svaka binarna relacija (X,Y,f) koja ima svojstvo da
36__________________________________________________________________________________
VJEŽBE
LINEARNA ALGEBRA
_____________________________________________________________________________________
naziva se preslilkavanje iz X u Y. Ako je
gdje je f-funkcija y=f(x). Primjer br.1. Neka je X={1,2,3,4,5} i Y={a,b,c} i neka je relacija, ali nije preslikavanje
f 1={(1,a),(2,b),(3,c),(4,c)}. Ovo jeste binarna
f 2={(1,a),(1,c),(2,b),(3,c),(4,b),(5,a)} ovo jeste binarna relacija, jer je podskup Dekartovog proizvoda i neprazan je, ali nije preslikavanje jer
f 3={(1,c),(2,a),(3,b),(4,a),(5,b)} je takođe binarna relacija, koja se drugačije može zapisati kao
Ovo jeste preslikavanje.
Ovo je takođe preslikavanje. za vježbu ): Zadatak br. 1( Neka je
i neka je
Dokazati da je relacija R, definisana na skupu A sa
relacija ekvivalencije i odrediti količnički skup. Refleksivnost: Treba dokazati da
________________________________________________________________________________37
VJEŽBE
LINEARNA ALGEBRA
______________________________________________________________________________ f(1)=f(1)=a f(2)=f(2)=a f(3)=f(3)=b f(4)=f(4)=c f(5)=f(5)=b Ovim je dokazana refleksivnost.
Simetričnosti: Treba dokazati da
Ovim je dokazana simetričnost. Tranzitivnost: Treba dokazati da
...(mora se ispitati svaka kombinacija) Ovim je dokazana tranzitivnost.
Kako je relacija R refleksivna, simetrična i tranzitivna, ona je i relacija ekvivalencije. Klase ekvivalencije i količnički skup: Za fiksirani element x=1:
Za fiksirani element x=3:
38__________________________________________________________________________________
VJEŽBE
LINEARNA ALGEBRA
_____________________________________________________________________________________
Za fiksiran element x=4:
te je količnički skup
Zadatak br. 2. Date su funkcije
definisane sa
Da li su funkcije f i g jednake?
DEFINICIJA: Ako su
funkcija u oznaci
dvije funkcije, tada je kompozicija tih
takođe funkcija.
________________________________________________________________________________39
VJEŽBE
LINEARNA ALGEBRA
______________________________________________________________________________ Za preslikavanje
kažemo da je injektivno ili 1-1 preslikavanje ako
[Paziti dobro kada koristimo zakon kontrapozicije: pravilno je
a ne
!!!] DEFINICIJA: Za preslikavanje
DEFINICIJA: Za preslikavanje
kažemo da je surjektivno (NA preslikavanje) ako
kažemo da je bijektivno ili bijekcija ili obostrano
jednoznačno preslikavanje, ako je istovremeno 1-1 i NA preslikavanje.
Zadatak br.3: Ispitati da li je
injekcija, tj. surjekcija.
40__________________________________________________________________________________
VJEŽBE
LINEARNA ALGEBRA
_____________________________________________________________________________________
funkcija f nije injekcija. funkcija f nije surjekcija.
Zadatak br.4. Date su funkcije
i
Odrediti
________________________________________________________________________________41
LINEARNA ALGEBRA
VJEŽBE
______________________________________________________________________________
42__________________________________________________________________________________
VJEŽBE
LINEARNA ALGEBRA
_____________________________________________________________________________________
A7. Invertibilnost preslikavanja
TEOREMA: neka je
bijekcija. Tada postoji jedna i samo jedna bijekcija
takva da je
Ta jedinstvena bijekcija označava se sa f -1i zove inverzna funkcija funkcije f . DEFINICIJA: Skup
naziva se grafik preslikavanja
.
Zadatak br.5. Data je funkcija
-1
. Dokazati da je f bijekcija i naći f .
Surjektivnost:
Neka je
proizvoljno. Tada vrijedi
________________________________________________________________________________43
VJEŽBE
LINEARNA ALGEBRA
______________________________________________________________________________
Ono što vrijedi za proizvoljan, bez ograničenja opštosti, vrijedi za svaki:
f je surjektivna. Injektivnost:
Treba da važi
Neka su
proizvoljni, tako da važi
Ono što važi za proizvoljne, važi za sve. Zaključak: Funkcija f je bijekcija, jer je istovremeno injekcija i surjekcija.
Zadatak br.6.
kažemo da je fiksna tačka funkcije Neka je S skup svih fiksnih tačaka funkcije f . Ako je g funkcija Za element
ako i samo ako je takva da je
44__________________________________________________________________________________
.
VJEŽBE
LINEARNA ALGEBRA
_____________________________________________________________________________________
dokazati da je
Neka je
.
proizvoljan
Ono što važi za proizvoljan, bez ograničenja opštosti, važi i za svaki. Zadatak br.7.
Za svako od sledećih preslikavanja ustanoviti da li je injektivno i surjektivno i ako postoji, odrediti inverzno preslikavanje. a)
Očigledno tačno
je injektivno (1).
Za Za Za je surjektivno (2). Iz (1) i (2)
je bijektivno.
________________________________________________________________________________45
VJEŽBE
LINEARNA ALGEBRA
______________________________________________________________________________
b)
f 2 je injektivno, ali nije surjektivno.
f 2 nije bijektivno i samim tim nema svoj inverz, ali ima lijevi inverz. TEOREMA: Ako je
1-1 preslikavanje tada f ima lijevi inverz
ako važi
Dakle, f 2 ima lijevi inverz i to ne samo jedan lijevi inverz, već više njih:
46__________________________________________________________________________________
VJEŽBE
LINEARNA ALGEBRA
_____________________________________________________________________________________
c)
nije injektivno ali jeste surjektivno:
nije bijektivno i nije invertibilno, ali ima desni inverz. TEOREMA: Ako je
surjektivno preslikavanje tada f ima desni inverz
, ako
važi
je desni inverz.
je takođe desni inverz.
d) ________________________________________________________________________________47
VJEŽBE
LINEARNA ALGEBRA
______________________________________________________________________________
preslikavanje nije injektivno.
Zaključak: Kada je dimenzija domena veća od dimenzije kodomena preslikavanje nije injektivno.
Neka je
proizvoljan tako da
je surjektivno i ima desni inverz:
e)
Neka su
proizvoljni, tako da
48__________________________________________________________________________________
VJEŽBE
LINEARNA ALGEBRA
__________________________ _______________________________________ __________________________ __________________________ ________________________ ____________________ _________
Ono što vrijedi za proizvoljan, vrijedi za sve, odnosno f 5 je injektivno preslikavanje. Neka je
proizvoljan
f 5 je surjektivno.
(Vježbe br.5) A8. Binarne operacije DEFINICIJA: Preslikavanje
naziva se binarna operacija u skupu S.
INTUITIVNA DEFINICIJA:
Zadatak br.1.
. Definišimo operacije
Neka je -
ostatak pri dijeljenju
-
sa n (sabiranje po modulu n)
sa n(množenje po modulu n).
ostatak pri dijeljenju
Prikazaćemo Kejlijevim tablicama ove operacije za slučaj
0 1 2
0 0 1 2
1 1 2 0
2 2 0 1
: 0 1 2
0 1 2
0 0 0
0 1 2
0 2 1
___________________ _____________________________ ___________________ ___________________ ___________________ _________________ ______________________ _______________49 _49
VJEŽBE
LINEARNA ALGEBRA
_____________________________________________________ _________________________ _____________________________________________________ _________________________ DEFINICIJA: Neka je * binarna operacija u S. Ako je: operacija je komutativna;
-
operacija je asocijativna;
kažemo da je lijevi neutralni n eutralni (jedinični) element u odnosu na operaciju * ako je
Za
. -
kažemo da je desni neutralni (jedinični) element u odnosu na operaciju * ako je
Za
. -
kažemo da je neutralni element u odnosu na operaciju x ako je
Za
. -
Ako postoji neutralni element inverzni element elementa
, tada za
i
kažemo da su slijevi i desni
ako je (lijevi inverzni element) (desni inverzni element)
i lijevi i desni inverzni element elementa
tj ako važi
-
Ako je
-
kažemo da je y inverzni element elementa x i označavamo ga sa x-1. Za element kažemo da je nula ako je . A9. Algebarske strukture
DEFINICIJA: Skup koji je snabdjeven određenim brojem operacija naziva se algebarska struktura. DEFINICIJA: Ako je * binarna o peracija u skupu S onda se uređeni par (S,*) naziva grupoid.
Zadatak br.1.
Koje od sledećih struktura su grupoidi: a)
Jeste, jer je skup prirodnih brojeva zatvoren u odnosu na sabiranje.
b)
Nije, jer
c)
Jeste, jer je skup realnih brojeva zatvoren u odnosu na operaciju oduzimanja.
d)
Jeste, jer je skup cijelih brojeva zatvoren u odnosu na operaciju množenja.
e)
Nije, jer operacija dijeljenja u skupu
.
nije definisana za dijeljenje sa 0, pa nije ni
preslikavanje, a samim tim nije ni binarna operacija. f) Nije, važi isto kao i u prethodnoj stavci. 50__________________________________________________________________________________
VJEŽBE
LINEARNA ALGEBRA
__________________________ _______________________________________ __________________________ __________________________ ________________________ ____________________ _________
DEFINICIJA: Neka je (G,*) grupoid. Ako je operacija * asocijativna, tada je data algebarska struktura polugrupa. DEFINICIJA: Neka je (G,*) polugrupa. Ako postoji neutralni element u odnosu na operaciju *, tada je data algebarska struktura monoid. DEFINICIJA: Neka je (G,*) monoid. Ako
tada je data algebarska struktura grupa. DEFINICIJA: Ako je (G,*) grupa i ako je operacija * komutativna, tada je data algebarska struktura Abelova ili komutativna grupa. Zadatak br. 2.
Okarakterisati sledeće strukture: a)
Dakle, ovo jeste polugrupa, ali
nije monoid. b)
Dakle, ova struktura je grupa, a pošto je operacija sabiranja komutativna, ovo je Abelova grupa. c) Ovo je grupoid, jer operacija oduzimanja nije asocijativna. Dokažimo tu tvrdnju:
Zadatak br.3(ispitni).
Neka je G skup svih simetrija i rotacija jednakostraničnog trougla na samog sebe. Ispitati algebarsku strukuturu
gdje je
kompozicija preslikavanja.
___________________ _____________________________ ___________________ ___________________ ___________________ _________________ ______________________ _______________51 _51
LINEARNA ALGEBRA
VJEŽBE
______________________________________________________________________________
Rotacija:
52__________________________________________________________________________________
VJEŽBE
LINEARNA ALGEBRA
_____________________________________________________________________________________
1
ΔABC
ΔBCA
2
2
ΔCAB
Simetrija:
________________________________________________________________________________53
VJEŽBE
LINEARNA ALGEBRA
______________________________________________________________________________ s1
1
ΔABC
ΔACB
ΔACB
ΔCBA
s1 2
2
1
s3 s2
s2
2
s1
s3 1
ΔCBA
ΔBAC
ΔBAC 1 1
ΔCBA
ΔBAC
ΔBAC
ΔACB
2 2
2 2
1
1
2
2
1 1
ΔCBA
ΔACB
1) Iz Kejlijeve tablice se vidi da je skup G zatvoren u odnosu na operaciju
.
54__________________________________________________________________________________
VJEŽBE
LINEARNA ALGEBRA
_____________________________________________________________________________________
2) Teorema A3 sa strane 309. udžbenika kaže:
„Neka su data preslikavanja
Tada je
“
odnosno, operacija kompozicije je asocijativna.
što znači da postoji neutral.
3)
. Pošto se radi o konačnom skupu,
4) provjerimo za svaki element postojanje inverza:
5) Kejlijeva tablica nije simetrična u odnosu na glavnu dijagonalu, pa tako operacija
nije
komutativna.
Zaključak: (G, ) je grupa. Zadatak br.4. Ispitati algebarsku strukturu
gdje je
a je operacija običnog množenja.
Prije svega treba uočiti činjenicu da je skup
, što će povlačiti brojne osobine bitne za
ispitivanje ove algebarske strukture. 1) Zatvorenost: Neka su
proizvoljni. Tada važi
________________________________________________________________________________55
VJEŽBE
LINEARNA ALGEBRA
______________________________________________________________________________
Dakle, proizvod dva proizvoljna elementa skupa A moguće je dovesti na pogodan oblik, kakv je dat u pravilu skupa iz postavke zadatka. Treba još dokazati da
Kako dokazati ova dva tvrđenja? Jednostavno. Posmatrajmo oblik ova dva izraza. U njima se koriste operacije sabiranja i množenja i to u skupu cijelih brojeva. Kako je od ranije poznato da su
i
grupoidi, odnosno skup cijelih brojeva je zatvoren u odnosu na ove dvije
operacije, to zaključujemo da će i gornji izrazi biti takođe pripadnici skupa cijelih brojeva, čime je takođe dokazano da pripada skupu A Ono što važi za proizvoljne, bez ograničenja opštosti, važi i za svaki, odnosno skup A je zatvoren u odnosu na operaciju običnog množenja, te je struktura grupoid. 2) Asocijativnost:
Pošto je množenje asocijativno u skupu , a kako je skupu A, odnosno algebarska struktura
, slijedi da je množenje asocijativno u
je polugrupa.
3) Neutralni element:
Dakle, algebarska struktura
je monoid.
4) Inverzni element:
Očigledno
pa tako slijedi sledeće:
Neka je
Ono što važi za proizvoljan, bez ograničenja opštosti, važi za svaki, odnosno svaki element u skupu A ima svoj neutralni element, a to dalje znači da je algebarska struktura grupa. 56__________________________________________________________________________________
VJEŽBE
LINEARNA ALGEBRA
_____________________________________________________________________________________
Pošto je operacija običnog množenja komutativna u skupu racionalnih brojeva, samim tim je komutativna u skupu A, koji je podskup skupa racionalnih brojeva, pa je
Abelova grupa.
Zadatak br.5. Neka je G grupa. elementu
prodružimo funkciju:
Ispitati algebarsku strukturu
gdje je
1) Zatvorenost: Neka su
proizvoljne funkcije
proizvoljne
kompozicija funkcija.
Neka su
.
Ono što vrijedi za proizvoljne, vrijedi za sve, odnosno skup je zatvoren u odnosu na struktura
tj.
je grupoid.
2) Asocijativnost :
Moguće je dokazati asocijativnost množenja pozivajući se na teoremu A3 sa strane 309. kao i u jednom od prethodnih zadataka, a moguće je i ručno dokazati asocijativnost, što slijedi. Neka su
proizvoljne. Tada je
Ono što važi za proizvoljne, važi za sve, odnosno struktura
je polugrupa.
3) Neutralni element: ________________________________________________________________________________57
VJEŽBE
LINEARNA ALGEBRA
______________________________________________________________________________ S obzirom da
što znači da je algebarska struktura
monoid.
4) Inverzni element: Neka je
proizvoljna. Tada
Dakle, algebarska struktura
je grupa.
(Vježbe br.6 ) A 10. Algebarske strukture sa dvije operacije
DEFINICIJA: Algebarska struktura
gdje je
a
binarne operacije naziva se
prsten ako je: 1)
Abelova grupa
2)
je polugrupa
3) operacija
je distributivna u odnosu na operaciju , odnosno (
DEFINICIJA: Ako je
komutativna operacija, tada se algebarska struktura
naziva
komutativnni prsten. DEFINICIJA: Ako postoji neutralni element u odnosu na
tada se algebarska struktura
naziva prsten sa jedinicom. DEFINICIJA: Algebarska struktura
je grupa i operacija
naziva se tijelo, ako je
Abelova grupa, a
je distributivna u odnosu na , odnosno
58__________________________________________________________________________________
VJEŽBE
LINEARNA ALGEBRA
_____________________________________________________________________________________
DEFINICIJA:
Ako je još
Abelova grupa, onda je algebarska struktura polje.
Zadatak br.1(ispitni): Dat je skup Dokazati da je
polje.
Prvi dio zadatka: Potrebno je dokazati da je algebarska struktura 1) Zatvorenost: Neka su
Kako je skup
grupa, odnosno Abelova grupa.
proizvoljni.
zatvoren u odnosu na sabiranje
Ono što važi za proizvoljne, bez ograničenja opštosti, važi za sve. 2) Asocijativnost: Kako je skup
sabiranje je asocijativno u skupu
. Osim naslijeđivanja, ova osobina se
može i dokazati, što slijedi. Neka su su
proizvoljni.
Ono što važi za proizvoljne, bez ograničenja opštosti, važi za sve. 3) Neutral:
je monoid. ________________________________________________________________________________59
VJEŽBE
LINEARNA ALGEBRA
______________________________________________________________________________ 4) Inverz: Treba dokazati
Neka je
proizvoljan
.
Ono što važi za proizvoljan, bez ograničenja opštosti, važi za svaki, odnosno, struktura grupa. 5) Komutativnost:
komutativnost se naslijeđuje.
Kako je skup
je Abelova grupa. Drugi dio zadatka: Potrebno je ispitati algebarsku strukturu
.
1) Zatvorenost: Neka su
Pošto je skup
proizvoljni.
zatvoren u odnosu na
Ono što važi za proizvoljne, važi za sve, odnosno
. je grupoid.
60__________________________________________________________________________________
je
VJEŽBE
LINEARNA ALGEBRA
__________________________ _______________________________________ __________________________ __________________________ ________________________ ____________________ _________
2) Asocijativnost: 2) Asocijativnost:
Pošto je množenje asocijativno u skupu .
i pošto je
množenje je asocijativno u skupu
je polugrupa.
3) Neutral 3) Neutral u odnosu na
:
Treba dokazati da
Neka je
proizvoljan.
Ono što vrijedi za proizvoljan, bez ograničenja opštosti, vrijedi za svaki. 4) Inverz 4) Inverz u odnosu na
:
Treba dokazati
Neka je
proizvoljan.
Ono što važi za proizvoljan, bez ograničenja opštosti, važi za svaki.
___________________ _____________________________ ___________________ ___________________ ___________________ _________________ ______________________ _______________61 _61
VJEŽBE
LINEARNA ALGEBRA
_____________________________________________________ _________________________ _____________________________________________________ _________________________ Odnosno
je grupa.
5) Komutativnost: 5) Komutativnost: je Abelova grupa, jer je skup
, pa se ova osobina naslijeđuje.
Treći dio zadatka:
Potrebno je dokazati da je množenje distributivno u odnosu na sabiranje. Neka su
proizvoljni.
Ono što važi za proizvoljne, bez ograničenja opštosti, važi za sve, odnosno množenje je distributivno u odnosu na sabiranje (ova osobina se svakako mogla naslijediti iz skupa realnih brojeva). Kako je dokazano da je: 1) 2)
Abelova grupa, Abelova grupa,
3) množenje je distributivno u odnosu na sabiranje, Zaključujemo da je algebarska struktura
polje.
Zadatak br.2(za vježbu): Neka su
binarne operacije definisane sa
Dokazati da je (
) polje.
62__________________________________________________________________________________
VJEŽBE
LINEARNA ALGEBRA
__________________________ _______________________________________ __________________________ __________________________ ________________________ ____________________ _________
B 1. Skup realnih brojeva
DOKAZ: Reductio ad apsurdum-svođenje na apsurd-
Pretpostavimo suprotno.
___________________ _____________________________ ___________________ ___________________ ___________________ _________________ ______________________ _______________63 _63
VJEŽBE
LINEARNA ALGEBRA
______________________________________________________________________________
-skup racionalnih brojeva.
:
OSOBINE SKUPA
[1] (1)
je Abelova grupa
(2) (
je Abelova grupa
(3) Množenje je distributivno u odnosu na sabiranje. je polje. [2]
je otalno uređen skup (svaka dva elementa su uporediva).
[3] Aksioma potpunosti (neprekidnosti)
Apsolutna vrijednost u
se definiše kao
64__________________________________________________________________________________
VJEŽBE
LINEARNA ALGEBRA
_____________________________________________________________________________________
Zadatak br.1: Pokazati da
‚vrijedi jednakost
1) Ako je
2) Ako je
.
Zadatak br.2: Zapisati bez upotrebe znaka apsolutne vrijednosti funkciju f(x), ako je a) b) c)
a)
b)
c)
________________________________________________________________________________65
LINEARNA ALGEBRA
VJEŽBE
______________________________________________________________________________
Zadatak br.3:
Napisati bez znaka korijena i bez apsolutne vrijednosti sledeću funkciju:
66__________________________________________________________________________________
VJEŽBE
LINEARNA ALGEBRA
_____________________________________________________________________________________
Zadatak br.4(za vježbu): Dokazati da vrijedi: a) b)
B 2. Princip matematičke indukcije
TEOREMA:
a) Inicijalni korak
b) Indukcioni korak
Zadatak br.1:
Dokazati da važi
a)
b) Pretpostavimo da je tačno tvrđenje T(k). To znači da je
________________________________________________________________________________67
VJEŽBE
LINEARNA ALGEBRA
______________________________________________________________________________
Dokažimo da tvrđenje važi za T(k+1):
Prema principu matematičke indukcije tvrđenje je tačno
.
Zadatak br.2: Dokazati da je a)
b)
c)
d)
... c)
68__________________________________________________________________________________
VJEŽBE
LINEARNA ALGEBRA
_____________________________________________________________________________________
Pretpostavimo
Zadatak br.3: Dokazati da je broj
djeljiv sa 64. a) n=1
b) Pretpostavimo da je
tj. djeljivo sa 64
________________________________________________________________________________69
VJEŽBE
LINEARNA ALGEBRA
______________________________________________________________________________ (Vježbe br.7.) B 2. Skup kompleksnih brojeva
Jednačina
nema rješenja u . Njena rješenja su
- skup kompleksnih brojeva
– standardni (algebarski) oblik kompleksnog broja
70__________________________________________________________________________________
VJEŽBE
LINEARNA ALGEBRA
_____________________________________________________________________________________
________________________________________________________________________________71
LINEARNA ALGEBRA
VJEŽBE
______________________________________________________________________________
72__________________________________________________________________________________
VJEŽBE
LINEARNA ALGEBRA
_____________________________________________________________________________________
Zadatak br.1. Za brojeve
odrediti: a) b)
c)
a)
b)
c)
________________________________________________________________________________73
LINEARNA ALGEBRA
VJEŽBE
______________________________________________________________________________
Konačno rješenje sistema
Konačno rješenje zadatka
II način: uopšteno
Zadatak br.2: a)
74__________________________________________________________________________________
VJEŽBE
LINEARNA ALGEBRA
_____________________________________________________________________________________
b)
a)
b)
Zadatak br.3(ispitni):
Odrediti kompleksne brojeve za koje važi:
i grafički predstaviti dobijeni skup.
________________________________________________________________________________75
LINEARNA ALGEBRA
VJEŽBE
______________________________________________________________________________
Zadatak br.4:
Riješiti jednačinu a)
b)
a)
76__________________________________________________________________________________
VJEŽBE
LINEARNA ALGEBRA
_____________________________________________________________________________________
Zadatak br.5: Odrediti
Transformišimo
u trigonometrijski oblik:
________________________________________________________________________________77
VJEŽBE
LINEARNA ALGEBRA
______________________________________________________________________________
Transformišimo sada
u trigonometrijski oblik:
b)
78__________________________________________________________________________________
VJEŽBE
LINEARNA ALGEBRA
_____________________________________________________________________________________
C. Kombinatorika
DEFINICIJA: Neka
je X konačan skup. Svako bi jektivno preslikavanje
naziva se
permutacija skupa X. Kako je
bijektivno akko je injektivno, to je permutacija skupa X
svako injektivno preslikavanje
.
Važi
DEFINICIJA: Neka je
.Svako injektivno preslikavanje
naziva se
varijacija k-te klase skpa X od n elemenata. Varijacija se može definisati i kao uređena k -torka
različitih elemenata skupa X. Važi
________________________________________________________________________________79
VJEŽBE
LINEARNA ALGEBRA
______________________________________________________________________________ DEFINICIJA: Neka je
. Svaki njegov k-točlani podskup
naziva se
kombinacija k-te klase skupa X od n elemenata.
Važi
DEFINICIJA: Svako preslilkavanje
naziva se varijacija sa
ponavljanjem k-te klase skupa X od n elemenata.
Važi
Zadatak br.1:
Na šahovskom tgurniru svaki igrač je odigrao po jednu partiju sa svakim igračem. Odigrano je ukupno 55 partija. Koliko je šahista učestvovalo na turniru?
Neka je
broj šahista. Partiju određuje skup od 2 igrača:
Drugo rješenje otpada, jer je logično da broj igrača ne može biti negativan(tačnije, odnosno na turniru je igralo 11 igrača.
),
Zadatak se mogao riješiti na drugi način. broj šahista. Posmatrajmo jednog fiksnog šahistu. On će odigrati partija sa ostalim igračima (kada se ima u vidu uslov zadatka da su igrači igrali po jednu partiju međusobno). Sledeći igračće odigrati isti broj partija, ali ne računajući partiju odigranu sa prethodnim šahistom, on će odigrati partija. Istom logikom, svaki naredni igrač će odigrati po jednu partiju manje, sve do pretposlednjeg igrača, koji će odigrati jednu partiju sa poslednjim igračem. To znači da će ukupan broj odigranih partija biti Neka je
80__________________________________________________________________________________
VJEŽBE
LINEARNA ALGEBRA
_____________________________________________________________________________________
Zadatak br.2:
Od 30 studenata sa prve godine, 25 sa druge, 20 sa treće i 15 sa četvrte godine studija trebaformirati delegaciju u kojoj će biti 5 studenata sa prve, 4 sa druge, 3 sa treće i 2 sa četvrte godine studija. Na koliko se načna može formirati delegacija? Broj kombinacija na koji se može izabrati 5 studenata prve godine od njih 30 je:
Analogno tome, broj kombinacija na koji se može izabrati 4 studenta druge godine od njih 25 je:
Broj kombinacija na koji se može izabrati 3 studenata treće godine od njih 20 je:
Broj kombinacija na koji se može izabrati 2 studenata četvrte godine od njih 15 je:
Kako su izbori studenata po godinama nezavisni (tj. izbor studenata jedne godine ne utiče na
izbor studenata druge godine), važi pravilo proizvoda, te će ukupan broj načina na koji se mogu izabrati kombinacije:
Zadatak br.3:
Na koliko se načina može razmjestiti 8 topova na šahovsku tablu tako da ne postoji par topova koji se međusobno napadaju? ________________________________________________________________________________81
LINEARNA ALGEBRA
VJEŽBE
______________________________________________________________________________
Zadatak br.4:
Na koliko se načina 10 teniskih loptica može podijeliti između 4dječaka? Ideja:
Loptice ćemo simbolički označiti sa *, a svaku podjelu loptica među dječacima možemo jednoznačno predstaviti nizom u koji ulaze 3 crte i 10 zvjezdica:
82__________________________________________________________________________________
VJEŽBE
LINEARNA ALGEBRA
_____________________________________________________________________________________
itd. Dakle, vidimo da imamo trinaest elemenata (deset zvjezdica i tri uspravne crte). Treba primjetiti da se ovdje radi o bijektivnom preslikavanju, odnosno kombinaciji 10 klase od 13 elementa.
Zadatak br.5:
Koliko ima 5cifrenih brojeva u čijem zapisu ne učestvuje nula i nijedna cifra se ne ponavlja?
(Vježbe br.8.) C.5. Binomna formula (Njutnova binomna formula)
DEFINICIJA: Binomnim koeficijentom, u oznaci
nazivamo broj
TEOREMA: Za binomni koficijent važi:
a) Svojstvo simetričnosti
b) Pravilo sabiranja binomnih koeficijenata
Primjer br.1: ________________________________________________________________________________83
LINEARNA ALGEBRA
VJEŽBE
______________________________________________________________________________
TEOREMA: (Njutnov binomni obrazac)
Zadatak br. 1(ispitni): Dato je
tako da je zbir binomnih koeficijenata poslednja tri člana jednak 22. Odrediti onu vrijednosti x za koju je zbir trećeg i petog člana jednak 135. Odrediti
84__________________________________________________________________________________
VJEŽBE
LINEARNA ALGEBRA
_____________________________________________________________________________________
C.7. Princip uključenja- isključenja
To je zapravo princip prebrojav anja konačnih skupova. Predstavlja uopštenje principa zbira. Ako su
konačni i disjunktni, odnosno
tada je . Ako su
konačni i
tada je
TEOREMA: Ako su
konačni podskupovi skupa S tada
________________________________________________________________________________85
LINEARNA ALGEBRA
VJEŽBE
______________________________________________________________________________
POSLJEDICA: Prebrojavamo
Zadatak br.1(ispitni): Koliko ima prirodnih brojeva koji dijele bar jedan od brojeva Ideja: Kakvog oblika moraju biti svi djelioci brojeva
Istovremeno važi i
Sada primjenjujemo teoremu- princip uključenja/isključenja: 86__________________________________________________________________________________
VJEŽBE
LINEARNA ALGEBRA
_____________________________________________________________________________________
Zadatak br. 2 (ispitni): Neka je S skup takav da je
. Nađite broj uređenih parova ( X;Y ) gdje su
takvi da vrijedi
Sigurno važi
Ova dva slučaja su jednaka za razmatranje, pa razmatramo jedan od njih, npr. prvi. Konačan broj mogućnosti biće duplo veći. Razmatramo, dakle prvi slučaj:
Na koliko načina možemo napr aviti skup Y
________________________________________________________________________________87
LINEARNA ALGEBRA
VJEŽBE
______________________________________________________________________________
Dakle radi se o k-točlanom podskupu skupa S od n elemenata, te je broj mogućnosti da napravimo skup Y
Ostalo je n-k elemenata. Biramo jedan član n-k –članog podskupa, što se može izabrati na
Konačan broj rješenja je:
Konačno rješenje je
Zadatak br.3(za vježbu):
Na koliko načina možemo rasporediti n jednakih kuglica u m različitih kutija tako da tačno dvije ostanu prazne?
88__________________________________________________________________________________
VJEŽBE
LINEARNA ALGEBRA
_____________________________________________________________________________________
Ideja: Dvije prazne kutije mogu da se odaberu na
načina.Kada se odaberu dvije prazne kutije, na raspolaganju ostaju još m-2 kutije, koje je potrebno popuniti. Prvo se stave u kutije m-2 loptice po jedna u svaku kutiju, a ostatak se
popunjava kao u primjeru sa dječacima i lopticama.
D. Polinomi
Polinom je kraći naziv za polinomsko preslik avanje. DEFINICIJA: Preslikavanje
definisano sa
naziva se polinomska funkcija nad poljem . Zadatak br. 1. Napisati polinom
po stepenima od (x-1), koristeći princip identiteta.
________________________________________________________________________________89
LINEARNA ALGEBRA
VJEŽBE
______________________________________________________________________________
Zadatak br.2.(za vježbu) Napisati polinom
po stepenima (x+1) po principu identiteta.
Zadatak br.3. Pokazati da je polinom
pozitivan
.
Ukoliko grupišemo polinom drugačije (na to imamo pravo jer je množenje komutativno u polju realnih brojeva) na sledeći način:
možemo posmatrati odgovarajuće kvadratne jednačine:
Znajući Vietove formule:
vidimo da je
pa su odgovarajuće nefaktorisane kvadratne jednačine:
Uvrstimo li dobijene izraze u gornji polinom, dobijamo:
90__________________________________________________________________________________
VJEŽBE
LINEARNA ALGEBRA
_____________________________________________________________________________________
Pošto je
Dijeljenje polinoma
Zadatak br.1. Neka je
Pokazati da je P(x) djeljiv sa Q(x) i odrediti količnik.
Ako je P(x) djeljiv sa Q(x) onda je
Pošto je
________________________________________________________________________________91
VJEŽBE
LINEARNA ALGEBRA
______________________________________________________________________________ TEOREMA (Bezuov stav): Neka je
Tada je
Ako je
djeljiv sa
onda je
tj.
Ako je x=c nula polinoma, tada je
Polinom P(x) je djeljiv sa x-c akko je c nula polinoma. U opštem slučaju za x=c dobijamo P(c)=r . TEOREMA: Ostatak pri dijeljenju polinoma P(x) sa x-c jednak je vrijednosti polinoma P(x) u tački x=c, tj. P(c)=r .
Zadatak br.2. Odrediti ostatak koji se dobije dijeljenjem
sa
Provjeriti ručno dijeljenjem polinoma.
Zadatak br.3. 92__________________________________________________________________________________
VJEŽBE
LINEARNA ALGEBRA
_____________________________________________________________________________________
Odrediti količnik i ostatak koji se dobije dijeljenjem polinoma
i binoma x-5, a zatim odrediti P(5).
Rješenje Hornerovim postupkom 5
2
-6
-17
0
1
-4
2
4
3
15
76
376
Zadatak br.4. Dokazati da je polinom
djeljiv sa
a da pri tom ne vršimo nikakvo dijeljenje.
TEOREMA (teorema višestrukih nula): Broj stepena n pri čemu je n>0 akko
je nula reda
polinoma
=0 ________________________________________________________________________________93
VJEŽBE
LINEARNA ALGEBRA
______________________________________________________________________________
Zadatak br.5. Odredite cijele nule polinoma
TEOREMA (cjelobrojne nule): Ako polinom
ima cjelobrojnih nula, onda su one faktori slobodnog člana
.
1 je nula polinoma ako je f(1)=0
1 nije nula polinoma f(x). -1 je nula polinoma ako je f(-1)=0
-1 nije nula polinoma f(x). Za 2 2
1
2
-4
-5
-6
1
4
4
3
0
2 jeste nula polinoma f(x).
-6 i 6 nisu kandidati za cjelobrojne nule. 94__________________________________________________________________________________
VJEŽBE
LINEARNA ALGEBRA
_____________________________________________________________________________________
Za -2 -2
1
4
4
3
1
2
0
3
1
4
4
3
1
7
25
78
1
4
4
3
1
1
1
0
-2 nije nula polinoma f(x). Za 3 3
3 nije nula polinoma f(x). Za -3 -3
- 3 jeste nula polinoma f(x).
Zadatak br.6.( Euklidov algoritam) Odrediti polinom f(x) takav da dijeli polinome
koristeći Euklidov algoritam. Sjetimo se algoritma za pronalaženje najvećeg zajedničkog djelioca:
________________________________________________________________________________95
VJEŽBE
LINEARNA ALGEBRA
______________________________________________________________________________
(
je najveći zajednički djelilac za P(x) i Q(x). Zadatak br.7.
Zbir dva dješenja jednačine
jednak je 1. Dokazati da je tada
96__________________________________________________________________________________
VJEŽBE
LINEARNA ALGEBRA
_____________________________________________________________________________________
Iz (1) slijedi:
(Vježbe br.9.) Vektoriski prostori i linearni operatori
DEFINICIJA: Neka je V neprazan skup i neka je u V definisana operacija sabiranja
takva da je (V,+) Abelova grupa. Tada važi: S1) + je unutrašnja operacija u skupu V, tj.
S2) Sabiranje je asocijativno, tj.
S3) Neutralni element
S4) Svaki element ima inverz u odnosu na sabiranje
S5) Sabiranje je komutativno ________________________________________________________________________________97
VJEŽBE
LINEARNA ALGEBRA
______________________________________________________________________________
Elementi ovakvog skupa nazivaju se vektori. Neka je
neko polje
. elemente polja nazivamo skalari.
Definišimo operaciju „množenje vektora skalarom“:
Za skup
kažemo da je vektorski prostor ili linearan prostor nad poljem
ako
definisane operacije (1) i (2) zadovoljavaju svojstva S1) do S5) , kao i svojstva:
M6)
M7)
M8)
M9)
M10)
kažemo da je realan vektorski prostor, a za vektorski pr ostor kažemo da je kompleksni vektorski prostor.
Za vektorski prostor nad poljem nad poljem Primjer br. 1.
98__________________________________________________________________________________
VJEŽBE
LINEARNA ALGEBRA
_____________________________________________________________________________________
Primjer br. 2.
Primjer br. 3.(VAŽAN !!!) Neka je
skup svih preslikavanja nepraznog skupa S u dato polje
.
je vektorski prostor.
S1) Zatvorenost Neka su
proizvoljni.
________________________________________________________________________________99
VJEŽBE
LINEARNA ALGEBRA
______________________________________________________________________________
Ono što vrijedi za proizvoljne, bez ograničenja opštosti, vrijedi za sve. S2) Asocijativnost Neka su
proizvoljni.
Ono što vrijedi za proizvoljne, važi za sve.
S3) Neutral
Ono što vrijedi za proizvoljan, bez ograničenja opštosti, vrijedi za svaki.
S4) Inverz Neka je
proizvoljan.
100__________________________________________________________________________________
VJEŽBE
LINEARNA ALGEBRA
_____________________________________________________________________________________
Ono što vrijedi za proizvoljan, bez ograničenja opštosti, vrijedi za svaki.
Slično se dokazuje i
S5) Komutativnost Neka su
proizvoljni.
Ono što važi za proizvoljan, bez ograničenja opštosti, važi za svaki.
je Abelova grupa. M6) Neka su
i
proizvoljni.
Ono što vrijedi za proizvoljan, bez ograničenja opštosti, vrijedi za sve.
M7) Neka su
i
proizvoljni.
________________________________________________________________________________101
VJEŽBE
LINEARNA ALGEBRA
______________________________________________________________________________
Ono što vrijedi za proizvoljan, bez ograničenja opštosti, vrijedi za sve.
M8) Neka su
i
proizvoljni. Treba dokazati
Ono što vrijedi za proizvoljne, bez ograničenja opštosti, vrijedi za sve.
M9) Neka su
i
proizvoljni. Treba dokazati
Ono što vrijedi za proizvoljne, bez ograničenja opštosti, vrijedi za sve.
M10)
102__________________________________________________________________________________
VJEŽBE
LINEARNA ALGEBRA
_____________________________________________________________________________________
Neka su
i
.
Ono što vrijedi za proizvoljan, bez ograničenja opštosti, vrijedi za sve.
ZAKLJUČAK: Algebarska struktura
je vektorski prostor.
Zadatak br.1. U vektorskom prostoru V postoji samo jedan nula vektor. Dokazati. Reductio ad apsurdum: Pretpostavimo suprotno.
Tvrđenje pretpostavke nije dobro.
________________________________________________________________________________103
VJEŽBE
LINEARNA ALGEBRA
______________________________________________________________________________
Zadatak br. 2:(za vježbu) Svaki vektor
ima jedinstven suprotan vektor
u odnosu na operaciju sabiranja.
Zadatak br. 3. Neka je V skup svih tablica brojeva iz polja
Dokazati da je
sa tri vrste i jednom kolonom:
vektorski prostor.
S1) Zatvorenost
Neka su
104__________________________________________________________________________________
VJEŽBE
LINEARNA ALGEBRA
_____________________________________________________________________________________
proizvoljni. Tada je
Ono što važi za proizvoljne, bez ograničenja opštosti, važi za sve. S2) Asocijativnost Neka su
proizvoljni.
Ono što važi za proizvoljne, bez ograničenja opštosti, važi za sve. S3) Neutral
Neka je
proizvoljan. Tada važi
________________________________________________________________________________105
LINEARNA ALGEBRA
VJEŽBE
______________________________________________________________________________
Slično se dokazuje i za lijevi neutral. Ono što važi za proizvoljan, bez ograničenja opštosti, važi za svaki, tj.
S4) Inverz Neka je
proizvoljan.
Ono što vrijedi za proizvoljan, bez ograničenja opštosti, vrijedi za svaki, odnosno:
S5) Komutativnost Neka su
proizvoljni.
106__________________________________________________________________________________
VJEŽBE
LINEARNA ALGEBRA
_____________________________________________________________________________________
Ono što vrijedi za proizvoljne, bez ograničenja opštosti, vrijedi za sve, odnosno:
Svojstva M6) do M10) dokazati samostalno.
Vektorski potprostori
DEFINICIJA: Neka je
prostor nad poljem
vektorski prostor i neka je
. Ako je U vektorski
u odnosu na operaci je naslijeđene iz prostora V, tada kažemo da je U
vektorski potprostor prostora V.
TEOREMA: Ako je
gdje je V vektorski prostor, tada je U potprostor od v akko:
1)
tj. U je zatvoren u odnosu na sabiranje.
2) U je zatvoren u odnosu na množenje skalarom ________________________________________________________________________________107
VJEŽBE
LINEARNA ALGEBRA
______________________________________________________________________________
1) i 2)
3)
3)
NAPOMENA: Svaki potprostor mora ispunjavati S3) tj. svaki potprostor mora sadržati nula vektor. Zadatak br. 1. Da li a) skup
b)
čini potprostor od Očigledno 1) Neka su
2) Neka je
. i proizvoljni.
proizvoljan i
proizvoljan.
108__________________________________________________________________________________
VJEŽBE
LINEARNA ALGEBRA
_____________________________________________________________________________________
U je potprostor od
.
Zadatak br. 2. da li je L1
potprostor od
nije potprostor prostora
.
Zadatak br. 3(ispitini).
Neka je skup U skup svih rješenja jednačine
Ispitati da li je skup U vektorski prostor.
I)
II)
________________________________________________________________________________109
VJEŽBE
LINEARNA ALGEBRA
______________________________________________________________________________
...
ježbe br. 10.) (V Zadatak br. 4. Neka su V1 i V 2 potprostori vektorskog prostora v. Njihov presjek je takođe potprostor prostora V. Dokazati.
Neka su
proizvoljni.
su potprostori
Po teoremi 1.2.
je potprostor.
TEOREMA: Presjek proizvoljnog broja potprostora je takođe potprostor od V.
Zadatak br.5. Neka su
potprostori vektorskog prostora V. Njihova unija u opštem slučaju nije
potprostor. Kontraprimjer:
110__________________________________________________________________________________
VJEŽBE
LINEARNA ALGEBRA
_____________________________________________________________________________________
nije potprostor.
Ne važi zatvorenost. nije potprostor. DEFINICIJA:
Linearni omotač (lineal) vektora
Dakle, skup svih linearnih kombinacija od vektora
je skup svih vektora
sa skalarima
oblika
.
Lineal se najčešće označava sledećim oznakama
TEOREMA: Ako su
proizvoljni vektori iz vektorskog prostora V, tada je
vektorski potprostor od V. Primjer br. 1. Ako je S={(1,1),(2,2)}
Ovo je prava koja prolazi kroz koordinatni početak i u odnosu na pozitivni dio x -ose nagnta je pod uglom od +450.
________________________________________________________________________________111
LINEARNA ALGEBRA
VJEŽBE
______________________________________________________________________________
Primjer br. 2. Ukoliko posmatramo
Dokaz: (I)
(II)
Primjer br. 3.
112__________________________________________________________________________________
VJEŽBE
LINEARNA ALGEBRA
_____________________________________________________________________________________ Primjer br. 4.
Linearna zavisnost i nezavisnost vektora
DEFINICIJA:
Kažemo da su vektori
linearno zavisni ako postoje skalari
takvi da je
Kažemo da su vektori
i linearno nezavisni ako su
.
i važi
Zadatak br. 1. Ispitati da li su vektori (1,2,0), (0,1,1) i (2,0,1) u
linearno nezavisni.
Vektori su linearno zavisni.
za vježbu ) Zadatak br.2.( Ispitati da li su matrice ________________________________________________________________________________113
VJEŽBE
LINEARNA ALGEBRA
______________________________________________________________________________
linearno nezavisne. Zadatak br. 3. Da li su u vektorskom prostoru
linearno nezavisni vektori:
a)
b)
c)
114__________________________________________________________________________________
VJEŽBE
LINEARNA ALGEBRA
_____________________________________________________________________________________
Za
Za
ZAKLJUČAK: vektori su linearno nezavisni. Zadatak br. 4. Odrediti vrijednost parametra
tako da vektori:
a)
b)
budu linearno nezavisni.
a) Prvo što se može primjetiti jeste drugi vektor
. Naime, ako je
, tada su ovi vektori
linearno zavisni. Posmatrajmo dakle,
________________________________________________________________________________115
VJEŽBE
LINEARNA ALGEBRA
______________________________________________________________________________
tj. vektori su linearno nezavisni za
, a za
su linearno zavisni.
Zadatak br. 5.(VAŽAN!!!) Pokazati da su vektori su linearno nezavisni nad poljem
nad
linearno zavisni nad poljem
, ali
.
su linearno nezavisni..
Nad poljem
0
(1 )
116__________________________________________________________________________________
VJEŽBE
LINEARNA ALGEBRA
_____________________________________________________________________________________
Neka je
proizvoljno.
Ono što važi za proizvoljan, važi za svaki. Dakle, to znači da su v i w nad poljem
linearno zavisni.
Zadatak br. 6. U vektorskom prostoru
odrediti jedan maksimalan linearno nezavisan podniz niza vektora:
5 i 0 ne može; 4 može (baza); 1 ne može- morao bi postojati koeficijent
tako da su ostali vektori
proporcionalni jednom vektoru.
2,3,4 su moguće situacije.
________________________________________________________________________________117
VJEŽBE
LINEARNA ALGEBRA
______________________________________________________________________________
ZAKLJUČAK:
je nezavisno promjenljiva a
su zavisno promjenljive.
Vektori uz koje stoje zavisno promjenljive ovog sistema (to su b,c,d,e) čine jedan maksimalni linearno nezavisan podniz datog niza. (I) Treba provjeriti da su vektori (b,c,d,e) linearno nezavisni. (samosatalno) (II) Pokazati da je niz (a,b,c,d,e) linearno zavisan.
118__________________________________________________________________________________
VJEŽBE
LINEARNA ALGEBRA
_____________________________________________________________________________________
(Vježbe br.11.) Baza i demenzija vektorskog prostora
DEFINICIJA:
Kažemo da skup S generiše vektorski prostor V ako je
Za uređen skup koji je linearno nezavisan i koji generiše prostor V kažemo da je baza vektorskog prostora V . DEFINICIJA:
Zadatak br. 1.
za vektorski prostor
Neka su
.
proizvoljni.
________________________________________________________________________________119
VJEŽBE
LINEARNA ALGEBRA
______________________________________________________________________________
Vektori su linearno nezavisni. Kako imamo tri vektora koji su linearno nezavisni u prostoru
Zadatak br.2. Dati su vektori
Kanonska baza od
Dopuniti ih do baze
je
.
gdje su
120__________________________________________________________________________________
VJEŽBE
LINEARNA ALGEBRA
_____________________________________________________________________________________
Odredimo iz niza od šest vektora
sadrži vektore
.
Neka su
Dakle
maksimalni linearno nezavisni podniz koji
proizvoljni.
su nezavisne promjenljive, a
su zavisno promjenljive.
Vektori uz koje stoji zavisno promjenljiva čine jedan maksimalni linearno nezavisni podniz datog niza.
Iz ovoga se izvodi zaključak da je
jedna baza vektorskog prostora
.
Zadatak br.3. U vektorskom prostoru
dat je potprostor S čija je prva koordinata 0 i potprostor T razapet na
vektorima
. Odrediti potprostor
.
je potprostor
________________________________________________________________________________121
VJEŽBE
LINEARNA ALGEBRA
______________________________________________________________________________
Ono što važi za proizvoljan, važi za svaki.
Zadatak br.4. Neka su U i V potprostori, koji zajedno čine vektorski prostor
.
Odrediti baze i dimenzije potprostora
0
(1 ) Baza i dimenzija potprostora U.
Ono što važi za proizvoljan, bez ograničenja opštosti, važi za svaki.
Dokazati da su vektori
linearno nezavisni.
122__________________________________________________________________________________
VJEŽBE
LINEARNA ALGEBRA
_____________________________________________________________________________________
0
(2 ) Baza i dimenzija potprostora V.
V je potprostor
0
(3 ) Baza i dimenzija
(sigurno je potprostor, zbog teoreme sa prošlih vježbi)
je potprostor
TEOREMA: Za potprostore U i V važi
________________________________________________________________________________123
VJEŽBE
LINEARNA ALGEBRA
______________________________________________________________________________
0
(4 ) Baza i dimenzija potprostora
.
Zadatak br.5. Neka su S i T potprostori vektorskog prostora
Odrediti bazu potprostora
generisani vektorima
.
0
(1 ) Baza potprostora
je generisan vektorima a,b,c,d,e i njegova baza je najveći linearno nezavisan podnih datog niza.
124__________________________________________________________________________________
VJEŽBE
LINEARNA ALGEBRA
_____________________________________________________________________________________
je nezavisna promjenljiva
.
su zavisno promjenljive
je maksimalan linearno nezavisan podniz. tj. baza vektorskog potprostora
.
0
(2 ) Baza potprostora
________________________________________________________________________________125
LINEARNA ALGEBRA
VJEŽBE
______________________________________________________________________________
1)
2)
126__________________________________________________________________________________
VJEŽBE
LINEARNA ALGEBRA
_____________________________________________________________________________________
3)
(Vježbe br. 12) Matrice
DEFINICIJA: Pravougaona tablica iz polja
ta kolona naziva se matrica nad poljem . ________________________________________________________________________________127
VJEŽBE
LINEARNA ALGEBRA
______________________________________________________________________________ Element
koji se nalazi u presjeku i- te vrste i j-te kolone kažemo da se nalazi na poziciji (i,j).
Zadatak br.1. Neka je
Ispitati da li postoji matrica X takva da važi
gdje je E jedinična matrica reda 2 (E2). Da li je tada ? Postoji li Y takva da je ? DEFINICIJA:
Množenje matrica: Ako je a
Proizvod dvije matrice je definisan ako je broj kolona prve jednak broju vrsta druge matrice. Tada je
128__________________________________________________________________________________
VJEŽBE
LINEARNA ALGEBRA
_____________________________________________________________________________________
Provjera za npr (a=1, b=1)
Zadatak br.2.(VRLO VAŽAN!!!) Neka je
skup svih matrica oblika
Ispitati algebarsku struturu
.
________________________________________________________________________________129
VJEŽBE
LINEARNA ALGEBRA
______________________________________________________________________________
0
1 ) Zatvorenost Neka su
proizvoljne.
Ono što važi za proizvoljne, bez ograničenja opštosti, važi za sve.
0
2 ) Asocijativnost Neka su
proizvoljne matrice.
Ono što važi za proizvoljne, bez ograničenja opštosti, važi za sve.
0
3 ) Neutral je neutral u odnosu na sabiranje u skupu Neka je
.
proizvoljan.
130__________________________________________________________________________________
VJEŽBE
LINEARNA ALGEBRA
_____________________________________________________________________________________
Ono što važi za proizvoljan, bez ograničenja opštosti, važi za sve.
0
4 ) Inverz Neka je
proizvoljan.
Ono što vrijedi za proizvoljan, bez ograničenja opštosti, vrijedi za sve.
0
5 ) Komutativnost Neka su
proizvoljni.
Ono što važi za proizvoljne, bez ograničenja opštosti, važi za sve.
je Abelova grupa.
Zadatak br. 3.
Ako za kvadratnu matricu A važi
gdje su
skalari, tada je matrica A invertibilna i važi
________________________________________________________________________________131
LINEARNA ALGEBRA
VJEŽBE
______________________________________________________________________________ Dokazati.
Zadatak br.4. Neka su dati skupovi matrica
i neka su data preslikavanja
Dokazati da su f i g bijekcije i ispitati da li važi
DEFINICIJA: Funkcija je „1-1“ ako 132__________________________________________________________________________________
VJEŽBE
LINEARNA ALGEBRA
_____________________________________________________________________________________
Neka su
Ono što važi za proizvoljne, bez ograničenja opštosti, važi za sve.
DEFINICIJA:
Neka je
proizvoljan
Ono što važi za proizvoljan, bez ograničenja opštosti, važi za sve.
Ostatak za vježbu... ________________________________________________________________________________133
VJEŽBE
LINEARNA ALGEBRA
______________________________________________________________________________ Zadatak br.5. Ako su
zadate, odrediti n-ti stepen
gdje je E jedinična matrica.
dokazati matematičkom indukcijom
134__________________________________________________________________________________
VJEŽBE
LINEARNA ALGEBRA
_____________________________________________________________________________________
Zadatak br. 6.
Ako za kvadratnu matricu A važi
pri čemu su
zadani skalari, tada važi
Dokazati.
(Vježbe br. 13.) Linearni operatori
DEFINICIJA: Neka su U i V vektorski prostori nad poljem . Preslikavanje
naziva se linearni operator ili linearno preslikavanje ili linearna transformacija ako su ispunjeni uslovi 1) aditivnost
2) homogenost
DEFINICIJA: Preslikavanje
je linearan operator akko je slika jednaka
________________________________________________________________________________135
VJEŽBE
LINEARNA ALGEBRA
______________________________________________________________________________ Zadatak br.1. Da li je
definisan sa
linearan operator?
Neka su
i
proizvoljni.
Ono što važi za proizvoljne, bez ograničenja opštosti, važi za sve.
Zadatak br.2. Neka je
baza prostora X i neka su dati vektori
Odrediti linearni operator
tako da
je baza vektorskog prostora X
136__________________________________________________________________________________
VJEŽBE
LINEARNA ALGEBRA
_____________________________________________________________________________________
Traženi linearni operator je
Zadatak br. 3. Neka je dat linearni operator
Odrediti dimenziju jezgra linearnog operatora i slike linearnog operatora.
________________________________________________________________________________137
VJEŽBE
LINEARNA ALGEBRA
______________________________________________________________________________ LEMA 1.1: Ako je
linearni operator i ako vektori
generišu prostor U tada njihove slike
generišu
i
čine bazu.
Gausov metod eliminacije
Zadatak br. 1.
Riješiti sistem jednačina
Ovim je završen direktan hod Gausove metode eliminacije. Počinjemo obrnuti hod Gausove metode eliminacije:
138__________________________________________________________________________________
VJEŽBE
LINEARNA ALGEBRA
_____________________________________________________________________________________
Konačno rješenje
Zadatak br. 2.
Riješiti sistem jednačina
Neka je
proizvoljno.
Zadatak br. 3.
Riješiti sistem Gausovim metodom eliminacije:
________________________________________________________________________________139
VJEŽBE
LINEARNA ALGEBRA
______________________________________________________________________________
Kako treća jednačina sistema nema rješenja, to sistem nije saglasan.
Kramerovo pravilo
Zadatak br. 1.
Riješiti sistem Kramerovim pravilom
140__________________________________________________________________________________
VJEŽBE
LINEARNA ALGEBRA
_____________________________________________________________________________________
Konačno rješenje sistema je
Determinante
Zadatak br.1.
Izračunati vrijednost determinante a)
b)
a)
b)
Zadatak br.2.
Riješiti jednačinu
________________________________________________________________________________141
LINEARNA ALGEBRA
VJEŽBE
______________________________________________________________________________
Problem smo sveli na rješavanje kvadratne jednačine, čija su rješenja:
Zadatak br. 2. (za vježbu)
Riješiti jednačinu
142__________________________________________________________________________________
VJEŽBE
LINEARNA ALGEBRA
_____________________________________________________________________________________
Zadatak br. 3.
Izračunati vrijednost determinante:
________________________________________________________________________________143
LINEARNA ALGEBRA
VJEŽBE
______________________________________________________________________________
Zadatak br.4.
Izračunati determinantu
144__________________________________________________________________________________
VJEŽBE
LINEARNA ALGEBRA
_____________________________________________________________________________________
Zadatak br.5.(tipski)
Izračunati determinantu
Ovdje se može primjetiti pravilnost koja ukazuje na Fibonačijeve brojeve, odnosno rekurzivne (rekurentne) formule:
________________________________________________________________________________145
LINEARNA ALGEBRA
VJEŽBE
______________________________________________________________________________ Dobili smo, dakle, rekurzivnu formulu:
Rekurzivne brojeve moguće je pronaći rješavanjem odgovarajuće kvadratne jednačine:
Tada je
n=1
n=2
Iz (1) i (2)
Zadatak br.6.
Izračunati determinantu
146__________________________________________________________________________________
VJEŽBE
LINEARNA ALGEBRA
_____________________________________________________________________________________
Potrebno je prepoznati da je determinanta reda n, a zatim pomnožiti zadnju vrstu sa (-1) i pribrojiti ostalim vrstama. Nakon toga se vrlo jednostavno dobija rezultat. Rezultat:
(Vježbe br. 14.) Zadatak br 7. Ako su date matrice
odrediti
Odredimo prvo
Matematičkom indukcijom može se dokazati da je
Prvo treba odrediti
.
________________________________________________________________________________147
LINEARNA ALGEBRA
VJEŽBE
______________________________________________________________________________
Provjera
Zadatak br.8.
Riješiti
ako su
148__________________________________________________________________________________
VJEŽBE
LINEARNA ALGEBRA
_____________________________________________________________________________________
Matrični prikaz linearnog operatora
DEFINICIJA:
Ako
je
linearni
operator
i
ako
su
baze prostora U i V tada operator A u odnosu na baze odgovara matrici reda
Koeficijenti (koordinate) u razvoju ??? A(u j ) odnosu na bazu
.
Zadatak br. 1. Neka je
prostor polinoma nad
deriviranja. Odrediti matricu D u bazi
stepena ne većeg od 3 i neka je
operator
.
________________________________________________________________________________149
VJEŽBE
LINEARNA ALGEBRA
______________________________________________________________________________
Zadatak br. 2. Neka je operatora
linearni operator zadat sa
. Odrediti matricu
.
0
(1 )
0
(2 )
150__________________________________________________________________________________
VJEŽBE
LINEARNA ALGEBRA
_____________________________________________________________________________________
Zadatak br. 3. Neka su s i t linearni operatori koji slikaju
i neka je
na način
. Odrediti
Rang matrice
DEFINICIJA:
Rang matrice A je najveći red nesingularnih (regularnih;
podmatrica matrice DEFINICIJA:
) kvadratnih
.
Rang matrice A je najveći red minora matrice A koji su različiti od nule.
Zadatak br. 1. Odrediti rang matrice A pomoću metoda Gausove eliminacije.
________________________________________________________________________________151
VJEŽBE
LINEARNA ALGEBRA
______________________________________________________________________________ Dobijena stepenasta forma ima tri pivota 2,-6,2 koji se nalaze na pozicijama 11,23,34
KARAKTERIZACIJA: Rang matrice
je broj njenih linearno nezavisnih vrsta
(kolona). Zadatak br. 2. Odrediti rang i bazne kolone i ostale kolone izraziti preko baznih.
Bazne kolone
Redukovana stepenasta forma
Zadatak br. 1.
Koristeći modifikovani Gaus Žordanov metod odrediti redukovanu stepenastu formu matrice A.
152__________________________________________________________________________________
VJEŽBE
LINEARNA ALGEBRA
_____________________________________________________________________________________
pa na osnovu redukovane stepenaste forme odrediti koje su kolone bazne i zaključiti koliki je rang matrice.
Bazne kolone
________________________________________________________________________________153
VJEŽBE
LINEARNA ALGEBRA
______________________________________________________________________________
Zadatak br. 2.(za vježbu)
Otkriti veze koje postoje između kolona matrice
Analiza saglasnosti linearnih sistema
) Sistem TEOREMA: 3.7.(Kr oneker -Kapeli jeva teorema
je saglasan akko je
0
1 Ako je r=n tada je dati sistem određen, 0
2 Ako je r
154__________________________________________________________________________________
VJEŽBE
LINEARNA ALGEBRA
_____________________________________________________________________________________
k ne smije da bude pivot Za k=2 imamo beskonačno mnogo rješenja.
Odavde je očito za k=2 sistem je neodređen
Za k=2
Za k=-5 sistem nema rješenja. ________________________________________________________________________________155
VJEŽBE
LINEARNA ALGEBRA
______________________________________________________________________________
sistem nema rješenja
II način:
Rješavati posebno slučajeve k=2 i k=-5
156__________________________________________________________________________________
VJEŽBE
LINEARNA ALGEBRA
_____________________________________________________________________________________
(Vježbe br.15.) Sopstvene vrijednosti i sopstveni vektori matrice
DEFINICIJA: Svaki broj
ima rješenje
za koni jednačina
naziva se sopstvena vrijednost matrice A, a samo rješenje X naziva se
sopstveni vektor matrice A, koji odgovara sopstvenoj vrijednosti . se naziva sopstveni par.
homogeni sistem
Homogeni sistem ima netrivijalno rješenje akko
– polinom stepena n, naziva se karakteristični polinom, tj. jednačina karakteristična jednačina.
naziva se
Zadatak br. 1.
Odrediti sopstvene vrijednosti i odgovarajuće sopstvene vrijednosti matrica a)
b)
________________________________________________________________________________157
LINEARNA ALGEBRA
VJEŽBE
______________________________________________________________________________
[I] Formirajno k arakteristični polinom
pa su ovo i sopstvene vrijednosti matrice M .
Sopstveni potprostor
158__________________________________________________________________________________
VJEŽBE
LINEARNA ALGEBRA
_____________________________________________________________________________________
Za
imamo
i to je sopstveni vektor matrice M za
.
je sopstveni vektor matrice M koji odgovara sopstvenoj vrijednosti
.
Zadatak br. 2. Ako znamo da matrica
ima sopstvene vrijednosti
algebarskih višestrukosti 2 i 1, respektivno, odrediti
karakteristične vrijednosti matrica A2 i A-1. TEOREMA: (4.2. u knjizi) Neka je
matrica. Ako je
proizvoljan polinom i
sopstveni par matrice A, tada je
TEOREMA: (4.5. u knjizi) Ako je
proizvoljna
sopstveni par matrice
.
sopstveni par matrice A (invertibilne!) tada je
-1
sopstveni par matrice A .
________________________________________________________________________________159
VJEŽBE
LINEARNA ALGEBRA
______________________________________________________________________________
Zadatak br. 3. Neka je
matrica linearnog operatora
u bazi .
Odrediti bazu u kojoj će matrica preslikavanja f biti dijagonalna. [I]
Formirajmo karakterisični polinom
Posmatrajmo odgovarajuću kvadratnu jednačinu
Sopstvene vrijednosti su
160__________________________________________________________________________________
VJEŽBE
LINEARNA ALGEBRA
__________________________ _______________________________________ __________________________ __________________________ ________________________ ____________________ _________
Za
Za
Uvrstimo u II: u II:
__________________ ___________________________ __________________ _________________ __________________ ___________________ ______________________ _________________161 ____161
LINEARNA ALGEBRA
VJEŽBE
_____________________________________________________ _________________________ _____________________________________________________ _________________________
Za
Potrebno je takođe provjeriti da su vektori
162__________________________________________________________________________________
VJEŽBE
LINEARNA ALGEBRA
__________________________ _______________________________________ __________________________ __________________________ ________________________ ____________________ _________
linearno nezavisni.
Baza koja ima dijagonalnu matricu sastoji se od sopstvenih vektora!
__________________ ___________________________ __________________ _________________ __________________ ___________________ ______________________ _________________163 ____163
LINEARNA ALGEBRA
VJEŽBE
______________________________________________________________________________
Zadatak br. 4. n
Odrediti A ako je
Formirajmo karakterisični polinom 164__________________________________________________________________________________
VJEŽBE
LINEARNA ALGEBRA
_____________________________________________________________________________________
Posmatrajmo karakterisičnu kvadratnu jednačinu
Sopstvene vrijednosti su
________________________________________________________________________________165
VJEŽBE
LINEARNA ALGEBRA
______________________________________________________________________________
Zadatak br. 5. Ako je
koristeći Kejli-Hamiltonovu teoremu odrediti
tako da važi
TEOREMA:( Kejli- Hamiltonova teorema,4.12. u knjizi) Ako je
matrice
tada je
karakteristični polinom
nula matrica.
166__________________________________________________________________________________
VJEŽBE
LINEARNA ALGEBRA
_____________________________________________________________________________________
( Alternativno) Svaka matrica
zadovoljava svoju karakterisičnu jednačinu.
[I] način:
Odredimo karakterisični polinom matrice
K.H.T.
[II] način:
________________________________________________________________________________167
