EXERCÍCIOS RESOLVIDOS DO LIVRO: A CONQUISTA DA MATEMÁTICA – FTD - Ed. Renovada Pág. 242 ( ex. 7 a 10) Encontre mais no endereço: www.estudesozinho.blog www.estudesozinho.blogspot.com spot.com 08. Preciso chamar sua atenção para um equívoco nessa questão. Uma falha de impressão deixou o problema sem sentido, quando o enunciado afirma que o quadrilátero BCMP é um losango. Na verdade o quadrilátero é BNPM. Observe que acrescentei o ponto N para que o problema possa ser resolvido. Feito o acerto precisamos lembrar que o losango é o quadrilátero que tem os lados opostos paralelos e com medidas iguais. Sendo assim, o lado PN do ΔPNC também mede x. Agora perceba os triângulos ABC e PNC são semelhantes, pois se os segmentos AB // PN ˆ . Logo, se dois triângulos têm dois ângulos ˆ são congruentes, bem como os ângulos Bˆ e N os ângulos  e P congruentes ele são semelhantes. Triângulos semelhantes têm os lados homólogos h omólogos ( correspondentes ) proporcionais. Montando as proporções: PN
Separando os tr triâ iânn ul ulos os
NC
=
AB
BC
Substituindo os valores: x
20
Resolvendo a proporção: x 5 − x ⇒ 5 x = 20 (5 – x) = 20 5 ⇒
5x + 20x = 100
⇒
⇒
25x = 100
x=
100 25
⇒
−
x
5
O problema pede para calcular o perímetro do losango. Perímetro = 4. x = 4 . 4 = 16 cm
5 x = 20 . 5 - 20 . x ⇒ 5x = 100 – 20x
⇒
5 =
x=4
RESPOSTA: b) 16 cm 08. Os triângulos ABC e EDC são semelhantes porque têm os três ângulos congruentes. Nos triângulos semelhantes, lembremos, os lados homólogos ( correspondentes correspondentes ) são proporcionais. Dessa forma, resta-nos identificar os lados homólogos e montar as proporções. Lembrete: os lados homólogos são lados de triângulos semelhantes que estão opostos a ângulos congruentes. Montando as proporções: AB ED
=
BC DC
=
AC EC
Substituindo os valores: 60 BC 36 = = x DC 300 Trabalhando com as proporções que têm valores: 60
36 =
x
36 x = 60 . 300
RESPOSTA : a) 500 m
x= 500 m
⇒
300
36 x = 18000
⇒
x=
18000 36
09. Esse problema apresenta o mesmo raciocínio dos exercícios 03 e 06: objetos projetando sombra. Esse tipo de problema está relacionado com semelhança de triângulos. Basta identificarmos os lados homólogos e montarmos as proporções.
H
1,60 m 2,50 m 10 m
Montando as proporções: AB
=
ED
BC EC
=
Substituindo os valores: H 10 = 1,60 2,50
AC CD
2,50 H = 10 . 1,60 H=
16 2,50
⇒
RESPOSTA: c) 6,4 m
H=
⇒
2,50 H = 16
1600 250
⇒
H = 6,4 m
Para operar com números decimais basta igualar as quantidades de casas decimais, e depois eliminar as vírgulas.
10. Os triângulos ABC e XYZ são semelhantes porque, na verdade, eles foram construídos por homotetia, ou seja, a ampliação de uma figura, a partir de um ponto referencial. Observe que se for dado continuidade às linhas AX, BY e CZ elas se encontrarão em um ponto mais adiante que seria o ponto referencial. Como a figura foi ampliada, suas características foram mantidas, mudando apenas as medias de seus lados, mantendo-os proporcionais. ˆ são Portanto, os ângulos Â, Bˆ e C congruentes aos ângulos X ˆ , Y ˆ e ˆ , respectivamente, quer dizer: Â Z ˆ ≡ Z ≡ X ˆ , Bˆ ≡ Y ˆ , C ˆ. AB
Agora resta montar as proporções com os lados homólogos (correspondentes).
XY
=
BC AC =
YZ
XZ
15 XY
=
18 YZ
=
27 XZ
Somente esses dados não nos permitem continuar a resolução, pois quando separarmos as razões, duas a duas, sempre aparecerão dois valores desconhecidos. Mas o enunciado fala que o perímetro do ΔXYC mede 20 cm. Em que essa informação pode nos ajudar? Ora, quando dois triângulos são semelhantes os lados são proporcionais e os seus perímetros também, portanto, podemos dizer que os lados de um Δ são proporcionais aos lados do outro, assim como o perímetro de um é proporcional ao perímetro do outro, e montamos a proporção assim: 27
Sabendo que o perímetro do ΔABC é 15 + 18 + 27 = 60, montamos a proporção assim: 27 XZ
=
60 20
⇒
60 .
XZ
= 20 . 27
60 .
XZ
= 540
XZ
=
540 60
XZ = 9 cm
XZ
=
perímetro ∆ ABC
perímetro ∆ XYZ
RESPOSTA: e) 9 cm
