REMEMBER VI COD. 955 01. Qual dos valores a seguir não equivale a 0,000 000 357? a) 3,75 . 10 -7 b) 3 ¾ . 10 -7 c) 375 . 10 -9 -7 – 6 d) 3 / 8 . 10 e) 3 / 8 . 10 02. O menor ângulo formado pelos ponteiros de um relógio quando são 12h e 25 min é: a) 132°30’ b) 137°30’ c) 150° d) 137°32’ e) 137° 03. Se cada número em um conjunto de dez números é aumentado de 20 unidades, então a média aritmética dos dez números originais: a) permanece permanece a mesma b) é aumentada em 20 unidades c) é aumentada em 200 unidades d) é aumentada em 10 unidades e) é aumentada em 2 unidades 04. A igualdade
1 x 1
1 x 2
é satisfeita:
5 x 1
12. A solu soluçã ção o de de a) { 2,1 2,1 }
b) { 2/3 2/3 }
13. A fração a) a
a) por nenhu nenhum m val valor or rea reall de de x c) apenas x 1
b) todas as pessoas lentas em aprender não freqüentam esta escola c) algumas pessoas lentas em aprender aprender freqüentam esta escola d) algumas pessoas lentas em aprender não freqüentam esta escola e) nenhuma pessoa lenta em aprender freqüenta esta escola
6
b
d) a 2 b 2
6
a4 b 4 a2 b 2
x 1
2 é:
c) { 2 } d) { 1 } e) { 0 }
é igual a:
b) a
2
b
2
c) a
b
2
2
d) a 2 b 2
b) por x1 ou x2
d) apena penass x 2 e) apena apenass x 0
05. y varia com o inverso do quadrado de x. Quando y = 16, x = 1. Quando x = 8, y é igual a: a) 2 b) 128 c) 64 d) 1 / 4 e) 1024 06. Um feirante compra certa quantidade de laranjas à base de 3 por 10 centavos, e igual quantidade quantidade à base de 5 por 20 centavos. Para não ter lucro nem prejuízo, ele deve vender à base de: a) 8 por por R$ 0,30 0,30 b) 3 por por R$ 0,1 0,11 c) 5 por por R$ 0,18 0,18 d) 11 por R$ 0,40 e) 13 por R$ 0,50 07. Se um trabalhador recebe um corte de 20% no seu salário, ele só vai readquirir o salário original se tiver um aumento de: a) 20% b) 25% c) 22,5% d) R$ 20,00 e) R$25,00
14. O comprimento de um retângulo R é 10% maior que o lado de um quadrado Q. A largura do retângulo é 10% menor que o lado do quadrado. A razão entre as áreas de R e Q é: a) 99 : 100 b) 101 : 100 c) 1 : 1 d) 199 : 200 e) 201 : 200 15. A razão entre as áreas de dois círculos concêntricos é de 1: 3. Se o raio do círculo círculo menor é r, então a diferença diferença entre os raios é aproximadamente: a) 0,41 r b) 0,73 c) 0,75 d) 0,73 r e) 0,75 r 16. O valor de 3 / (a + b) quando a = 4 e b = -4 é: a) 3 b) 3 / 8 c) 0 d) qualquer número finito e) não definida 17. Se log x – 5 log 3 = -2, então x é igual a: a) 1,25 b) 0,81 c) 2,43 d) 0,8 e) 0,8 ou 1,25
08. O gráfico de x² - 4y² = 0 é: a) é uma hipérbole que corta apenas o eixo dos x b) é uma hipérbole que corta apenas o eixo dos y c) é uma hipérbole que não corta nenhum dos eixos d) é um par de retas e) não existe
18. O discriminante da equação x² + 2x√3 + 3 = 0 é zero. Portanto, suas raízes são: a) reais e iguai uais b) raciona onais e iguai uais c) racionais e dist distin inttas d) irrac rracio iona nais is e dist distin inta tass e) imag imagiinári nárias as
09. Um círculo é inscrito em um ∆ de lados 8, 15 e 17. O raio do círculo é: a) 6 b) 2 c) 5 d) 3 e) 7
19. Dois números cuja soma é 6 cujo valor absoluto da diferença é 8 são as raízes da equação: a) x² - 6x + 7 = 0 b) x² - 6x - 7 = 0 c) x² + 6x – 8 = 0 d) x² - 6x + 8 = 0 e) x² + 6x – 7 = 0
10. Quantas horas demoram um trem que viaja a velocidade média de 40 km/h, para que percorra a quilômetros se durante o trajeto ele faz n paradas de m minutos cada uma? a) (3 a + 2mn) / 120 b) 3 a + 2mn c) (3 a + 2mn) / 12 d) (a + mn) / 40 e) (a + 40 mn) / 40
20. A expressão √25 – t² +5 se anula para: a) em nenhum valor real ou imaginário de t b) em nenhum valor real de t, mas para alguns valores imaginários c) em nenhum valor imaginário de t, mas para alguns valores reais d) t = 0 e) t =±5
11. A negação da afirmação “Nenhuma pessoa lenta em aprender freqüenta esta escola” é: a) todas as pessoas lentas em aprender freqüentam esta escola
21. Seja c a hipotenusa de um ∆ retângulo e A sua área. Então altura relativa à hipotenusa mede: a) A / c b) 2A / c c) A / 2c d) A² / c e) A / c² 22. Para pagamento de R$ 10.000,00 um cliente pode optar entre três descontos sucessivos de 20%, 20% e 10% ou
1
então então,, três três desc descont ontos os suce sucess ssivo ivoss de 40%, 40%, 5% e 5% Escolhendo a proposta mais vantajosa ele economiza: a) absolutamente nada b) R$ 400,00 c) R$ 330,00 d) R$ 345,00 e) R$ 360,00 23. Ao rever o cálculo de moedas do caixa, o atendente contou q moedas de 25 centavos, d de 10 centavos, n de 5 e c moedas de 1 centavo. Mais tarde Mais tarde ele descobre que a moedas de 5 centavos foram contadas como moedas de 25 centavos e que x moedas de 10 centavos, contadas como sendo de 1 centavo. Para corrigir o total o atendente deve: a) deixar o total total inalterado b) subtrair 11 centavos c) subtrair 11x centavos d) somar 11 x centavos e) somar x centavos 24. A função 4x² - 12x – 1 : a) sempre cresce à medida que x cresce b) sempre decresce à medida que x decresce c) não se pode anular d) tem um valor máximo quando x é negativo e) tem um valor mínimo em -10. 25. Um dos fatores de x4 + 2x² + 9 è : a) x² + 3 b) x + 1 c) x² - 3 d) x² -2x – 3 e)n.r.a. 26. Édio tem uma casa que vale R$ 10.000,00. Ele vende a casa para Camila com 10% de lucro. Camila vende a casa de volta para Édio com 10% de prejuízo. Então: a) Édio nem perde nem ganha b) Édio lucra R$ 100,00 c) Édio lucra R$ 1.000,00 d) Camila perde R$ 100,00 e) Édio lucra R$ 1.100,00 27. Se r e s são raízes da equação x² - px + q = 0 então r² + s² é igual a: a) p² + 2q b) p² - 2q c) p² + q² d) p² - q² e) p² 28. Em um mesmo sistema de eixos são traçados o gráfico de y = ax² + bx + c e o gráfico da função obtida substituindo x por –x na função dada. Se b 0 e c 0 entã entãoo esse essess gráficos interceptam-se: a) em dois pontos, um no eixo dos x e um no eixo dos y b) em um ponto localizado fora dos eixos c) somente somente na origem d) em um ponto no eixo dos x e) em um ponto no eixo dos y 29. Na figura, PA é tangente ao semicírculo SAR; PB é tange ngente ao semi semicí círc rcul uloo RTB; TB; SRT é um segmento de reta reta e os arco arcoss estão estão indi indica cados dos na figura. O ângulo APB mede: a) ½ (a – b) b) ½ (a + b) d) a – b e) a + b 30. Cada Cada uma das equações 3 x 2 2 25; 2 x 1 a) duas duas raíz raízes inte inteir iras as c ) ne nh nh um um a r aí aíz n ul ula
e) apenas b é negativo e a e c são positivos 33. Carine Carine inicia inicia uma viagem quando quando os ponteir ponteiros os do relógio estão sobrepostos (apontam para a mesma direção e sentido) entre 8h e 9h da manhã. Ela chega a seu destino entre 2h e 3h da tarde quando os ponteiros do relógio formam um ângulo de 180°. O tempo de duração da viagem é: a) 6h b) 6h 43 7/11 min c) 5h 16 4/11 min d) 6h 30 min e) nra 34. Uma estaca de 6 cm e outra de 18 cm de diâm diâmet etro ro dão dão coloc colocad adas as lado lado a lado lado como como mostra mostra a figura figura,, e amarra amarradas das com um arame. O menor nor compr comprim imen ento to de aram aramee que que contorna as duas estacas em cm é: a) 12√3 + 16 b) 12√3 + 7 d) 12 + 15 e) 24
c) 12√3 + 14
35.Três meninos concordam em dividir um saco de bolinhas de gude da seguinte maneira: o primeiro fica com a metade das bolinhas mais uma. O segundo fica com um terço das restantes. O terceiro descobre que desta forma ele fica com o dobro das bolas do segundo. O número de bolas é: a) 8 ou 38 b) não podem ser deduzidos por esses dados c) 20 ou 26 d) 14 ou 32 e) nra 36. Um tanque de óleo cilíndrico, em posição horizontal, tem um comprimento interno de 10m e um diâmetro interno de 6m. Se a superfície retangular do óleo dentro do tanque tem área de 40m², então a profundidade do óleo, em metros, é: a) √5 b) 2√5 c) 3 - √5 d) 3 + √5 e) 3 ± √5 37. Um número de três dígitos tem, da esquerda para a direita, os dígitos h, t e u, sendo h > u. Quando o número com os dígitos em posição reversa é subtraído do número original, o dígito da unidade da diferença é 4. Então os dois dígitos seguintes, da direita para a esquerda, são: a) 5 e 9 b) 9 e 5 c) impossível calcular d) 5 e 4 e) 4 e 5 38. São dados quatro números inteiros. Escolha três inteiros quaisquer dentre eles e calcule a média aritmética destes, depois some este resultado ao quarto inteiro. Desta forma se consegue os números 29, 23, 21 e 17. Um dos números originais é: a) 19 b) 21 c) 23 d) 20 e) 17 39. Se y = x² + px + q, então se o menor valor possível de y é zero, q deve então valer: a) 0 b) p² / 4 c) p / 2 d) – p / 2 e) p²/4 - q
c) (c - a) - (d – b) 2
x 1 2 e x 2 7
x 1 têm
d, então as frações ax + b cx + d a) a = c = 1 e x 0 b) a = b = 0 d) x = 0 e) ad = bc 40. Se b
e b são distintas se: d c) a = c = 0
b) nenh nenhuma uma raízmaio raízmaiorr que que 3 d ) a pe pe na na s u ma ma r aí aíz
e) uma raíznegativa e ooutra ooutra positiva positiva
31. Um ∆ eqüilátero de lado 2 é dividido em um triângulo e em um trapézio por uma linha paralela paralela a um de seus lados. Se a área do trapézio é igual à metade da área do triângulo original, o comprimento da mediana do trapézio é: a) √6 / 2 b) √2 c) 2 + √2 d) (2 + √2) / 2 e) (2√3 - √6) / 2 32. Se o discriminante de ax² + 2bx + c = 0 é zero, então outra afirmação verdadeira sobre a, b e c é: a) eles formam uma progressão aritmética b) eles formam uma progressão g eométrica c) eles são distintos d) eles são números negativos
41. Um trem partindo da cidade A até a cidade B encontra um acidente depois de 1 hora. Se ele parasse por meia hora e depois prosseguisse a 4 / 5 da sua velocidade usual, chegaria à cidade B com 2 horas de atraso. Se o trem tivesse percorrido 80 km mais antes do acidente, teria chegado atrasado atrasado uma hora apenas. A velocidade velocidade usual do trem, em km/h, é: a) 20 b) 30 c) 40 d) 40 e) 50 42. Se a, b e c são inteiros positivos, os radicais √(a + b/c) e a.√(b /c) são iguais se e somente se: a) a = b = c = 1 b) a = b e c = a = 1 c) c = [b(a²-1)] / a d) a = b e c qualquer valor e) a = b e c = a – 1.
2
43. Os pares de valores x e y que são soluções comuns das equações y = (x + 1)² e xy + y = 1 são: a) 3 pares reais b) 4 pares reais c) 4 pares imaginários d) 2 pares reais e 2 pares imaginários e) 1 par real e 2 pares imaginários. 44. Em um círculo círculo de centro O é traçado traçado uma corda AB de tal forma que BC é igual ao raio do círculo. CO é traçada e estendida até D. CO é traçada e estendida até D e AO é traçada. Qual das expressões abaixo expressa a relação entre x e y? a) x = 3 y b) x = 2 y c) x = 60° d) não não exis existe te nenhuma relação relação especial especial entre x e y e) x = 2y ou x = 3y, dependendo do comprimento de AB.
01.D
11.C
21.B
31.D
41.A
02.B
12.D
22.D
32.B
42.C
03.B
13.C
23.C
33.A
43.E
04.E
14.A
24.E
34.C
44.A
05.D
15.D
25.E
35.B
45.A
06.B
16.E
26.E
36.E
46.B
07.B
17.C
27.B
37.B
47.C
08.D
18.A
28.E
38.B
48.B
09.D
19.B
29.E
39.B
49.C
10.A
20.A
30.B
40.A
50.C
GABARITO
45.Dadas uma série geométrica com primeiro termo não nulos e razão não nula e uma série aritmética com primeiro termo nulo. É formada a 3ª seqüência 1, 1, 2, . . . pela soma dos termos correspondentes das duas séries. A soma dos dez primeiros termos da terceira seqüência é: a) 978 b) 557 c) 467 d) 1 068 e) n.r.a.
01(D) 01(D) Trata Trata-se -se de uma questão questão que envolve envolve números números decimais. Temos então que: 3/8 = 0,375 e que 3/8x10-6 = 0,000 000 375 ∴ (D) é a alternativa correta.
46. Os gráficos de 2x + 3y – 6 = 0; 4x – 3y – 6 = 0; x = 2 e y = 2 / 3 se interceptam em: a) 6 pontos b) 1 ponto c) 2 pontos d) nenhum ponto e) em um número não limitado de pontos
02(B) Em 25 minutos temos os deslocamentos: O ponteiro Grande (dos minutos) desloca-se: 5 x 30° = 150°. O pont pontei eiro ro peque pequeno no (das (das hora horas) s) deslo desloca ca-s -se: e: 1/12 1/12 do deslocamento do ponteiro dos minutos = 1/12 (150°) = 12,5° ∴
47. As expressões a + bc e (a + b) (a + c) são: a) sempre iguais b) nunca iguais c) iguais quando a + b +c=1 d) iguais a + b + c = 0 e) iguais somente somente quando a = b = c = 0. 48. Dado um ∆ ABC c om medianas AB, BF e CD; com FH paralela a AF e de igual comprimento. Traça-se BH e HE e estende-se FE até encontrar BH em G. Qual das afirmações a seguir não é necessariamente correta? a) AEHF é um paralelogramo b) HE = HG c) BH = DC d) FG = ¾ AB e) FG é a mediana do ∆BGF 49. Os gráficos de y = x² - 4 e y = 2x se interceptam em: x–2
a) um ponto cuja abscissa abscissa é 2 b) um ponto cuja abscissa é 0 c) nenhum ponto d) dois pontos distintos e) dois pontos distintos 5 0. Para poder ultrapassar ultrapassar B que que corr corree a 40 Km/h em uma uma estr estrad adaa de pista simples, A
que corre a 50 km/h deve adiantar-se a B 8m. Ao mesmo tempo C, que corre em direção a A com velocidade de 50 km/h. Se B e C mantêm suas velocidades, para poder ultrapassar com segurança A deverá aumentar sua velocidade de: a) 30 km/h b) 10 km/h c) 5 km/h d) 15 km/h e) 3 km /h.
ângulo = 150° - 12,5° = 137,5° = 137°30’.
03(B) Seja x1, x2, . . . , xn os n números cuja média aritmética é A. Então A = (x1 + x2 + . . . + xn) / n. Os n números aumentados de 20 unidades cada um terão uma média aritmética M tal que: M = [(x1 + 20) + (x2 + 20) + . . . + (xn + 20) ] / n = = (x1 + x2 + . . . + xn) / n + ( 20 + 20 + ... + 20 ) / n = = A + 20.n / n = A + 20. Portanto B é a alternativa certa. 04(E) Multiplicando os dois membros da equação por (x – 1)(x – 2), temos : 2x – 2 = x – 2 ∴ x = 0. 05(D) Temos: y / (1/x²) = k ∴ y = k / x². Para y = 16 e x = 1 → 16 = k / 1² → k = 16. Então para x = 8 temos: y = 16 / 8² = 1 / 4. 06(B) Considerando as duas compras temos dois preços: 1ª) Compra de n laranjas a 3 por R$ 0,10 →(10 / 3) e vender por x, temos: n.x = (10 / 3) n 2ª) Compra de n laranjas a 5 por R$ 0,20 →(20 / 5) e vender por x, temos: n.x = (20 / 5) n. Para o cálculo da venda: 1ª + 2ª → 2n. x = 10n /3 + 20n /5 ∴ x = 11 / 3, ou seja, 3 laranjas por R$ 0,11. 07(B) Considere Sn (novo salário) e S (salário original). Temos que: Sn = S – 20%S = S – 1/5 S = 4/5 S ∴ S = 5/4 Sn. O aumento necessário é Sn / 4, ou seja, 25% de Sn. 08(D) Fatorando o dado, temos: x² - 4y² = (x + 2y)(x 2y)(x – 2y) = 0 ∴ x + 2y = 0 e x – 2y = 0. Cada uma dessas equações representa uma reta. 09(D) O triângulo de lados 8, 15 e 17 é retângulo. Para ∆ retângulo pode-se mostrar (veja REMEMBER I qualquer ∆ – Problema 35) que: a – r + b – r = c ∴ 2r = a + b – c = 8 + 15 – 17 = 6 ∴ r = 3. (Considerar no ∆: c → hipotenusa; a e b → catetos e r = raio do círculo inscrito).
3
x² - 6x – 7 = 0. 10(A) Iniciando Iniciando com o cálculo cálculo do tempo ∆ ( t1) do trem em velocidade média de 40 km/h ( V = 40 km/h) no percurso de ∆x = a km) → V = ∆x / ∆t1 ∴ ∆t1 = ∆x / V = a / 40 a km ( ∆ horas. (∆t2): Cálculo do tempo das n paradas de m minutos ∆ ∆t2 = (n. m) min = (n. m) / 60 horas. Nº. de horas de demora = ∆t1 + ∆t2 = a / 40 + (n.m) / 60 = ( 3 a + 2mn)/120 . 11(C 11(C)) A nega negação ção consis consiste te em dize dizerr que que é fals falsoo que “ nenhuma pessoa lenta em aprender freqüenta esta escola”, o que é o mesmo mesmo de dizer: dizer: “algumas “algumas pessoas pessoas lentas lentas em aprender freqüentam esta escola”. 12(D) Trata-se de uma equação irracional. Não se pode esquecer no final de fazer à verificação para cada raiz. A princípio transfere-se √x - 1 para o segundo membro e quadra-se a equação, ou seja: 5 x 1 5x 1
x1
x² x²
2 x 1 quadran quadrando) do)
2 4 x 1 x1
3 x 2
x
0
2 V
4
2 F
4 x 1
x
2x 1
x1
1 e x" 2. 1 1
4
0
2
5. 2 1
2 1
9
1
23(C) A quantia contada em centavos = 25q + 10c + 5n + c. Valor correto = 25(q – x) + 10(c + x) + 5(n + x) + (c – x). A diferença = -25x + 10x + 5x – x = -11x ∴ 11x centavos devem ser subtraídos.
4
2 não é raiz.Logo a opção certa é a D .
13(C) Usando uma das propriedades dos produtos notáveis, a² - b² = (a + b)(a – b) , temos: a a
4 2
b b
4 2
22(D) Temos um problema de descontos. Vamos operar cada desconto único da forma D = 1 – (1 – i1)(1 – i2)(1 - i3) onde i1, i2 e i3 representam a taxa centesimal de cada desconto sucessivo. Vejamos Vejamos o desconto de cada prop osta: 1ª Proposta: Descontos sucessivos de 20%; 20% e 10%. D1 = 1 – (1 – 0,2)(1 – 0,2)(1 – 0,1) = = 1 – (0,8)(0,8)(0,9) = 1 – 0,576 = 0,424 = 42,4% 2ª Proposta: Descontos sucessivos de 40%; 5% e 5%. D2 = 1 – (1 – 0,4)(1 – 0,05)(1 – 0,05) = 1 – (0,6)(0,95)² = 1 – 0,5415 = 0,4585 = 45,85%. Verifica-se então que a 2ª proposta é mais vantajosa e temos como economia em relação a 1ª de: (D2 – D1). 10.000 = (3,45%). 10.000 = R$ 345,00. (Vej (Vejaa tamb também ém outra outra mane maneira ira de reso resolu luçã çãoo mode modelo lo REMEMBER I – problema 22).
1 é raiz.
Para x 2 x
x²
5. 1 1
Verificação: Para x 1 2
4x 4
x 1 quadrando-se
20(A) A equação √ 25 - t² nunca pode ser igual igual a zero um vez que é a soma de um número positivo com um número não negativo.(Para √ 25 – t² estamos querendo nos referir somente à raiz positiva). Logo (A) é a opção correta. 21(B)Como A = ½ h . c ∴ h = 2 a / c.
a
2
b
2
a
2
a b
2
b
2
2
2
a
b
2
.
14(A) As dimensões do retângulo R são: Comprimento = 1,1L e Largura = 0,9L ∴ Áret. = 1,1 . 0,9 = 0,99 L². A área do quadrado de lado L = Aq. = L². Daí então: Aret. / Aq = 0,99L² / L² = 0,99 = 99 / 100.
24(E) A função y = 4x² -12x -1 possui como gráfico uma parábola com concavidade voltada para cima, pois a = 4 > 0 cujo ponto vértice V (xv, yv) = (-b /2a; ∆ - / 4 a) ∴ xv = 3/2 = 1,5 e yv = - 10 (mínimo). (Veja (Veja REMEMBER I- Pr oblema 4) . 25(E 25(E)) Trat Trataa-se se de uma quest questão ão sobre sobre comp comple leme ment ntar ar quadrado perfeito e regra dos produtos notáveis. Fazendo: x4
2 x 2 9
Área Círc .menor .menor Área Área Círc. maior maior
r 2 R² R²
1 3
1 3
R r 3 .
Então a diferença entre os raios
R r r 3 r r
3
x 4
1
r 1, 73
1
0, 73
16(E) Quando a = 4 e b = -4 temos que: a + b = 0. Logo a expressão não tem sentido para esses valores, pois não se divide por zero.
3
2
x 243
log x log3 5 2 2 x 2, 43 (que satisfaz satisfaz 10
a condição condição do log x, qu que eéx
x 2 3
x 2
2
2 x
2 x
2
4 x 2
x 4 6 x 2 9 4 x 2
x 2 3 2 x x 2 3 2 x
3 x 2 2 x 3 .
15(D) Seja R o raio do círculo maior, temos:
logx 5log3 log x5 2
9
x4 2 x 2 9 4 x 2
0).
17(E) Na resolução do problema usaremos a propriedade do quociente entre logarítmos (log a – log b = log a / b); a propriedade propriedade do expoente (a log b = log b a) e a definição definição de b → logarítmos (logx a = b x = a) Lembrar que: a > 0; b > 0 e 0 < x 1, sendo todos todos reais. (∆ = 0) significa que as 18(A) O discriminante valendo zero ∆ raízes raízes são reais reais e iguais iguais desde que os coefic coeficien ientes tes da equação sejam números reais.
19(B) Denominando os números de a e b temos: a + b = 6 e !a – b ! = 8 onde a – b = 8 ou a – b = -8. Formamos então os sistemas: a+b=6 e a+b=6 a- b= 8 a - b = - 8 cujas soluções são: a= -1 e b = 7 . Então a equação do 2º grau que admite estas raízes em que Soma = 6 e produto das raízes P = -7 é:
x2 2.x2 . 3 3 6x2
26(E) Édio vende com lucro de 10% = = 10.000 + 10%.10.000= 10.000 + 1.000 = R$ 11.000,00 Camila vende com prejuízo de 10% sobre preço de compra= = 10.000 – 10%.11.000 = 11.000 – 1.100 = R$ 9.900,00. A opção correta é (E), pois na transação Édio ganhou: 11.000 – 9.900 = R$ 1.100,00. (Veja (Veja REMEMBER II - Problema 5) 27(B) Da equação x² - px + q = 0 temos como coeficientes: a = 1; b = - p e c = q; como soma das raízes (r e s) : r + s = -b / a = p e como produto: r . s = c / a = q. Para o cálculo de r² + s², vamos partir de que r + s = p, quadrar a igualdade, fazer uso de substituições e isolar o pedido do problema. Vejamos como é fácil: (r + s)² = p² ∴ r² +2rs + s² = p² ∴ r² + s² = p² - 2rs = p² - 2q. 28(E) Para x 0, temos: y = ax² + bx + c ax² - bx +c. Para x = 0, temos: y = ax² + bx + c = ax² - bx + c ∴ existe um ponto de interseção (0, c) ∴ (E) é a alternativa correta. 29(E 29(E)) Trat Trata-s a-see de uma uma quest questão ão que envol envolve ve ângul ângulos os replementares, ou seja, ]APB + ]BPA = 360° ∴]APB = 360° 360° - ]BPA BPA (veja (veja sempre sempre a figura figura para para acompa acompanhar nhar cálculos). Vamos Vamos ao problema:
4
Fazendo ]BPA = ]BPR + ]RPA RPA (que são dois ângulos ângulos excêntricos exteriores) temos: (i) (i) ii
RPA
AB AR 2
b b d
BPR BR 2 BM
Então:
BPA
2 c x 2
a c x c a 2 c x 2 2 x b x 2 d 2 2 x c d . 2 d 2
Como APB 360° BPA 360° c d APB 180° c 180° d a b. Nota:a)No semi-círcul semi-círculo o SAR: a c 180° a 180° c b)No semi-círculo RMT: x RMT: x b x d 180° b 180° d
30(B 30(B)) Reso Resolv lven endo do indi indivi vidu dual alme ment ntee cada cada encontram-se os seguintes conjuntos soluções:
Para : i 3x²
2
2x 1
iii) x ² 7
x
3
Si
2x– 1
34(C) O menor comprimento consiste nas duas tangentes externas T e nos dois arcos A1 e A2 ∴ m.C = 2T + A1 + A2. Na figura temos: 0102 = 12 cm; No ∆ABC (retângulo) temos: BC // 0102 ∴ BC = 12 cm; AB = (9 – 3)cm = 6 cm ∴ 12² = 6² + T² ∴ T = 6 √3. Logo 2 T = 12 √3 cm No ∆DCO2 ≈ ∆DAO1 → DC / O2C = DA / O1A ∴ DC / 3 = DC + 6√3 / 9 ∴ DC = 3√3 cm ∴ tg α = CO2 / DC = √3 / 3 → α = 30° ∴ Arco CE = A1 = 120° 120°// 360° 360°.. 2 .3 = 2 ∴ A1 = 2
equa equaçã çãoo
3
x 1 ²
x 1 onde: onde:
2x– 1 x – 1 e 2x– 1
25
(x – 1)²
ii) (2x – 1)²
dos minutos possui velocidades 12 vezes maior no mesmo intervalo de tempo, então: 12y = 240° + y ∴ y = 240°/11 = 43,6min. Daí então, a CHEGADA = 2 h 43,6 min. Logo o tempo da viagem = 2h 43,6min (14h 43,6min) – 8hs 43,6 min = 6 h.
x 0
- (x – 1)
x
x² - 7 x – 1
x 2 / 3
Sii {0, 2 / 3}
1 (quadrando (quadrando a equação, temos) temos)
x² - x – 6 0
x’ - 2 e x ” 3.
Como se trata de eq uação irracional irracional deve-se fazer a verifi verificação cação com as raízes raízes encontradas, encontradas, ou seja: Parax 2
2 ²
7
2
1
3
3²
7 3 1
3 , F poisnãoexi poisnãoexistereal
2 2, V
Siii { 3 }. Observando os três conjuntos soluções, temos que a opção correta é a (B)
31(D) Sejam Am; Ao e Atrap as áreas do triângulo menor; do ∆original e do trapézio. Pelo enunciado Atrap = ½ Ao. Veja pela figura figu ra que então: Am = Atrap = ½ Ao, pois Am + Atrap = Ao ∴ Am / Ao = 1 / 2. Usan Usando do o teore teorema ma das das área áreas, s, temos: Am / Ao = DE²/ 2² = 1 / 2 ∴ DE = √2. A mediana m de um trapézio é a média aritmética de seus lados paralelos (suas bases) ∴ m = ( DE + 2) / 2 = = (√2 + 2) / 2. 32(B) Se ∆= 0 temos: (2b)² - 4 a.c = 0 ∴ 4b² - 4 a.c = 0 (:4) ∴ b² - ac = 0 ∴ b² = a.c . Temos que b é média geométrica de a e c, logo (a,b,c) formam uma progressão geométrica. 33(A) Seja x o número de graus que o ponteiro das horas se move entre 8 horas e o começo da viagem e por sua vez é 240° 240° + x o desloca deslocamen mento to em graus do ponteiro dos minutos. Como o ponteiro dos minutos é 12 vezes mais rápido que o das horas, em qualquer intervalo de tempo, temos: 12x = 240°+ x ∴ x = 240° / 11 21,82° 43,6 minutos ∴ Horário da saída 8h 43,6minutos. Para a CHEGADA, entre 2 e 3 horas da tarde, vamos considerar que: (i) seja y = deslocamento do ponteiro das horas entre 2 e 3 horas e (ii) seja 240° + y o deslocamento do ponteiro dos minutos. Como o ponteiro
∴
A2 = 12
35(B) Considerando que o número total de bolas = b, temos que cada menino pega:
comraizquadrada comraizquadrada negativa. Então 2nãosatisfaz. Parax 3
e o arco AGB = A2 = 240°/ 240°/ 360 . 2 .9 = 12 ∴ m.C = 12√3 + 14 .
1ºmen.
b 2
3ºmen. 2 equação: b
b 2 ; 2ºmen 2ºmen.. 13 b22 b 62 2 b2 b 2 .Podemos então armar a 6 3 b 2 b2 b 2 0b 0. 2 6 3
1
e
Portanto o valor de b é indeterminado, podendo assumir qualquer valor inteiro da forma 2 6b para b 1, 2, ...
36(E)A área da superfície retangular é dada por: Área = comprimento x largura ∴ 40 = 10.2x ∴ x = 2. No ∆retângulo raio² = y² + x² ∴ 3² = y² + 2² ∴ y = √5 . A profundidade é : 3 - √5 ou 3 + √5 (veja as figuras).
37(B) O número original é 100c + 10 d + u. Quando o número é revestido temos 100u +10 d + c. Como c > u, para subtrairmos, é necessário acrescentar 10 a u (transformar 1 d = 10 ). O mesmo acontece co m as centenas e dezenas, ou seja, 10 a d (transformar 1c = 10 d) ∴ 100(c – 1) + 10(d + 9) + u + 10 100u + 10 d +c 100( c – 1 – u ) + 10( d + 9 – d) + ( u + 10 – c ) = = 100(c – 1 – u) + 10 .9 + u + 10 – c. Pelo enunciado do problema: u + 10 – c = 4 ∴ c – u = 6. Então: 100(6 – 1) + 9.10 + 4 = 5.100 + 9.10 + 4∴ as dezenas d = 9 e as centenas c = 5. 38(B) Considerando os quatro números inteiros e positivos como a, b, c e d e escolhendo sempre três para executar a média aritmética adicionada ao quarto número, formamos o sist sistem emaa de equa equaçõ ções es abai abaixo xo,, que que reso resolv lven endo do por por escalonamento temos:
5
1/3 a b c d 29 1/3 b c d a
i) O ∆OBC (é isóscele), pois OB = BC = r (raio) ∴ ] O = ] C = y. ii) O ∆OBC (é isóscele), pois AO = OB = r e ] OBA = ] OAB = 2y pois ] OBA é externo ao ∆OBC. iii) Então ] x = ] OAC + y ( ]x é externo ∆OAC ) ∴ ] x = 2y + y = 3y.
a b c 3d 87 3a b c d 69
23
1/3 c d a b
21
a 3b c d 63
1/3 d a b c
17
a b 3c d 51
a b c 3d 87 a b 3c d 51 a 3b c d 63 3a b c d 69
Escalonando o sistema, temos: a b c 3d 87
a b c 3d 87
2c 2d 36
c d 18
2b
2d
b
24
2b 2c 8d 192
d
b d 12
b c 4d 96
a b c 3d 87
b d 12
b d 12
d
d
18
b c 4d 96
L4, temos:
a b c 3d 87
c
12
L4 e finalmente L3 Fazendo L2
c
a b c 3d 87
c
18
c 5d 108
d
d 21
18
6d 126
c
3
b
9
a
Logo B é a opção
12
39(B)
ymin 4a
0
p² 4.1.q
0
0
q
p² 4
.
Veja REMEMBER I, problema 41)
adx bd
b a
ad bc
0
bcx bd
ad
b d
bc
a c
1 ad bc
x
a PA (0, -1, -2, . . . ) ∴Sn = n (a1 + a n) / 2 =n(a 1+(n –1)r)/2 ∴ S10 = 10( 0 + 9.(-1)) = -45 ∴ S10 “ = - 45. Assim: S10’ + S10” = 1 023 +(-45) = 978.
40(A) Se diferenciado as frações dadas, temos: b ax d cx
45(A) Sendo a PG (a, aq, aq², . . . ) e a PA ( 0, r, 2r, . . . ) onde PA + PG (1, 1, 2, . . . ), logo: lo go: a + 0 = 1 ∴ a = 1 (i); aq + r = 1 ∴ q + r = 1 (ii); (ii); aq² + 2r = 2 ∴ q² + 2r = 2 (iii). Em (ii), r = 1 – q que substituído em (iii), temos: q² + 2 – 2q = 2 ∴ q(q – 2) = 0 ∴ q = 0 (não satisfaz) e q = 2. e então r = 1 – 2 = 1. Logo PG ( 1, 2, 4, ... ) ∴ Sn = a1 (qn – 1) / (q – 1) S10 = 1.(210 – 1) / (2 – 1) ∴ S10 ‘= 1 023.
46(B) Temos que resolver o sistema abaixo, para determinar o ponto interseção das quatro retas.
1
b d ; a c e x 0. A fração terá seu valor alterado somando-se qualquer valor x não nulo ao seu numerador e ao denominador. Logo (A) é a opção.
41(A) Sendo x a distância do ponto do acidente ao final da viagem, e v a velocidade do trem antes do acidente. O tempo normal da viagem, em horas, é dado por: x/v + 1 = (x + v) / v . Considerando o tempo em cada v iagem temos: a) 1
2
b 1
80 v
x
4v 5
1 2
x
v
v
x 80 4v 5
v
2
v
x
4v x v v
x
v
v
320 2 v 5 x 400 4v
1
80 x 2v x 2v 80 (ii). (ii). Fazendo (i) (ii),temos: (ii),temos: 6v 2v 80
x
4v
6v i
4 x 4 4
42(C)
v 20km/h.
Devemos considerar nas operações abaixo a, b e c sempre números inteiros e positivos.
Temos: a ac b
a² b
b c
ac
a
b c
quad rand o
a²b b
c
a
b c
a² bc
b a²1
43(E) Armando um sistema com as duas equações, temos
2 x
3 y
6
4 x
3 y
6
x y
1 2
Pode-se verificar que x = 2 e y = ½ é solução do sistema. Logo (B) é a opção correta. 47(C) Para que a + bc = a² + ab + ac + bc → a = a²+ ab + ac a + b + c = 1.
∴
48(A) Analisado cada opção, verifica-se: (A) é verdadeira porque FH é paralela a AE. (C) é verdadeira porque, quando se estende estende HE, que é paralela a CA, esta encontra AB em D. DC e BH são lados correspondentes dos ∆s congruentes ACD e HDB. (D) é verdadeira FG = FE + EG = AD + ½ DB = ¾ AB. (E) é verdadeira porque G é o ponto médio de HB. (B) não pode ser provada a partir da informação dada. Um desafio: que informação é necessária para provar (B)? 49(C) Sendo Sendo y = (x²- 4) / (x – 2) = (x – 2)(x + 2) / (x – 2) = x + 2 ( para para x 2, ou então então y 4; que é a condi condição ção de domínio da função) , é uma reta excluindo no ponto (2, 4). A reta y = 2x cruza a reta anterior no ponto que não faz parte do gráfi gráfico. co. Logo Logo (C) (C) é a opçã opçãoo corre correta ta.. Para Para melho melhor r entendimento faça os gráficos das funções no mesmo plano. 50(C)
: 44(A) 44(A) Um modo modo de resol resoluç ução ão do proble problema ma usan usando do a propriedade do ângulo externo de um ∆.Na figura, temos:
6
