Exercícios Resolvidos de PA e PG

Exercí cio cio 1: (FUVEST/01) Uma progressão aritmética e uma progress ão geométrica têm, ambas, o

primeiro termo igual a 4, sendo que os seus terceiros termos s ão estritamente positivos e coincidem. Sabe-se ainda que o segundo termo da progress ão aritmética excede o segundo termo da progress ão geométrica em 2. Ent ão, o terceiro termo das progress ões é: a) 10 b) 12 c) 14 d) 16

e) 18 Solução:

Sejam (a1, a2, a 3, …) a PA de raz ão r e (g ( g1, g2, g 3, …) a PG de raz ão q. Temos como condi ções iniciais: (1) a1 = g 1 = 4 (2) a3 > 0, g 3 > 0 e a 3 = g 3 (3) a2 = g 2 + 2 Reescrevendo (2) e (3) utilizando as f órmulas gerais dos termos de uma PA e de uma PG e (1) obtemos o seguinte sistema de equa ções: (4) a3 = a 1 + 2r e g3 = g 1.q2 => 4 + 2r = 4q 2 (5) a2 = a 1 + r e g2 = g 1.q => 4 + r = 4q + 2 Expressando, a partir da equa ção (5), o valor de r em função de q e substituindo r em (4) vem: (5) => r = 4q + 2 - 4 => r = 4q - 2 2

2

2

(4) => 4 + 2(4q - 2) = 4q => 4 + 8q - 4 = 4q => 4q - 8q = 0 => q(4q - 8) = 0 => q = 0 ou 4q - 8 = 0 => q = 2 Como g3 > 0, q não pode ser zero e ent ão q = 2. Para obter r basta substituir q na equação (5): r = 4q - 2 => r = 8 - 2 = 6 Para concluir calculamos a 3 e g3: a3 = a 1 + 2r => a 3 = 4 + 12 = 16 2

g3 = g 1.q => g 3 = 4.4 = 16 Exercí cio cio 2: (ITA/2000) O valor de n que torna a seq üência (2 + 3n; –5n; 1 – 4n) uma progress ão

aritmética pertence ao intervalo: a) [– 2, –1] b) [– 1, 0]

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c) [0, 1] d) [1, 2] e) [2, 3] Solução:

Para que a sequ ência se torne uma PA de raz ão r é necess ário que seus tr ês termos satisfaçam as igualdades (aplicação da defini ção de PA): (1) -5n = 2 + 3n + r (2) 1 - 4n = -5n + r Determinando o valor de r em (1) e substituindo em (2): (1) => r = -5n - 2 - 3n = -8n - 2 (2) => 1 - 4n = -5n - 8n - 2 => 1 - 4n = -13n - 2 => 13n - 4n = -2 - 1 => 9n = -3 => n = -3/9 = -1/3 Ou seja, -1 < n < 0 e, portanto, a resposta correta é a b). Exercí cio cio 3: (PUC-SP/2003) Os termos da seq üência (10; 8; 11; 9; 12; 10; 13; …) obedecem a uma

lei de formação. Se an, em que n pertence a N*, é o termo de ordem n dessa seq üência, então a 30 + a55 é igual a: a) 58 b) 59

c) 60 d) 61 e) 62 Solução:

Primeiro, observe que os termos í mpares mpares da sequ ência é uma PA de raz ão 1 e primeiro termo 10 (10; 11; 12; 13; …). Da mesma forma os termos pares é uma PA de raz ão 1 e primeiro termo igual a 8 - (8; 9; 10; 11; …) . Assim, as duas PA t êm como termo geral o seguinte formato: (1) ai = a 1 + (i - 1).1 = a 1 + i - 1 Para determinar a30 + a 55 precisamos estabelecer a regra geral de forma ção da sequ ência, que est á intrinsicamente relacionada às duas progress ões da seguinte forma: •

Se n (í ndice ndice da sucess ão) é impar temos que n = 2i - 1, ou seja, i = (n + 1)/2;

•

se n é par temos n = 2i ou i = n/2.

Daqui e de (1) obtemos que:



a30 = 8 + (30/2) - 1 = 8 + 15 - 1 = 22 e a55 = 10 + [(55 + 1)/2] - 1 = 37 E portanto: a30 + a 55 = 22 + 37 = 59 Exercí cio cio 4: (UFSCAR/2000) A condi ção para que tr ês n úmeros a, b e c estejam, simultaneamente,

em progressão aritmética e em progress ão geométrica é que: a) ac = b 2 b) a + c = 2 c) a + c = b 2 d) a = b = c

e) ac = 2b Solução:

A condição para que a, b e c sejam ao mesmo tempo uma PA de raz ão r e uma PG de raz ão q é: (1) b = a + r = aq => r = a(q - 1) (2) c = b + r = bq => r = b(q - 1) De (1) e (2) vem: a(q - 1) = b(q - 1) => (a - b)(q - 1) = 0 Para que o produto seja igual a zero: ou a - b = 0 ou q - 1 = 0 ou ambas => ou a = b ou q = 1 ou ambas Como se trata de uma PG se a é igual a b, necessariamente q = 1. A rec í proca proca também é verdadeira, isto é, se q = 1 ent ão a = b. Logo a = b e q = 1. Daqui, de (1) e de (2) segue que r = 0 e b = c = a. Exercí cio cio 5: (UFLA/99) A soma dos elementos da sequ ência numérica infinita (3; 0,9; 0,09; 0,009;

…) é: a) 3,1 b) 3,9 c) 3,99 d) 3,999 e) 4 Solução:



Como -1 < q < 1 podemos aplicar a f órmula da soma de uma PG infinita para obter S 1: S1 = 0,9/(1 - 0,1) = 0,9/0,9 = 1 => S = 3 + 1 = 4 Exercí cio cio 6: (STA. CASA) A soma dos vinte primeiros termos de uma progress ão aritmética é -15.

A soma do sexto termo dessa P.A., com o d écimo quinto termo, vale: a) 3,0 b) 1,0 c) 1,5 d) -1,5

e) -3,0 Solução:

Aplicando a f órmula da soma dos 20 primeiros termos da PA: S20 = 20( a1 + a 20)/2 = -15 Na PA finita de 20 termos, o sexto e o d écimo quinto são equidistantes dos extremos, uma vez que: 15 + 6 = 20 + 1 = 21 E, portanto: a +a 6

15

= a +a 1

20

Substituindo este valor na primeira igualdade vem: 20(a6 + a 15)/2 = -15 => 10(a6 + a 15) = -15 => a 6 + a 15 = -15/10 = -1,5 Exercí cio cio 7: (MACK) O sexto termo de uma PG, na qual dois meios geom étricos estão inseridos

entre 3 e -24, tomados nessa ordem, é: a) -48 b) -96

c) 48 d) 96 e) 192 Solução:

Para determinar os dois meios geom étricos da PG cujos extremos s ão 3 e -24 precisamos calcular, primeiro, sua razão q, com n = 4. Pela f órmula do termo geral temos que: 4-1

a4 = a 1.q

3

3

=> -24 = 3q => q = -24/3 = -8 => q = -2



Os exercí cios cios 8 e 9 a seguir foram propostos pelo leitor Watson Meyer, no coment ário 17 do artigo sobre Potenciação. Exercí cio cio 8: Sendo S a soma dos termos de uma PA de raz ão 4, em que a = 6, determine n tal que n

1

Sn é igual a 1456. Solução:

Sabemos que: (1) Sn = (a 1 + a n)n/2 = (6 + a n)n/2 = 1456 => (6 + a n)n = 2912 Para determinar n basta expressarmos a n em função de n, o que é feito através da f órmula do termo geral de uma PA: (2) an = 6 + (n - 1).4 = 6 + 4n - 4 = 4n + 2 Substituindo (2) em (1): (6 + 4n + 2)n = 2912 => 4n 2 + 8n - 2912 = 0 Resolvendo a equa ção do segundo grau obtemos: n1 = 26 e n 2 = -28 Como n > 0, a resposta é 26. 2

3

Exercí cio cio 9: A soma dos infinitos termos da P.G (x/2; x /4; x /8; …) é igual a 1/10. Qual o valor de x? Solução:

Note que, pela lei de forma ção da PG, a raz ão é q = x/2. Como uma PG infinita converge somente se -1 < q < 1, o valor de x deve ser tal que esta condi ção seja satisfeita. Aplicando, ent ão, a f órmula da soma vem que:

Para que a solu ção esteja completa falta verificar se q satisfaz a condi ção de converg ência:

Como -1 < q < 1 a solu ção está concluí da da e x = 2/11. Para finalizar a mat éria, vamos resolver o último exercí cio cio extraí do do do livro Matem ática para o Ensino Médio de Manoel Jairo Bezerra. Exercí cio cio 10: As medidas dos lados de um tri ângulo retângulo estão em PA de raz ão 3. Calcule



Como eles est ão em PA, (b; c; a) nesta ordem, de raz ão 3 vem que: b=a-6ec=a-3 Por outro lado, do Teorema de Pit ágoras para um triângulo retângulo, temos que: 2

2

2

2

2

a = b + c => a = (a - 6) + (a - 3)

2

Resolvendo os produtos not áveis: 2

2

2

2

a = a - 12a + 36 + a - 6a + 9 = 2a - 18a + 45 => a 2 - 18a + 45 = 0 => a = 15 e a = 3 Mas a não pode ser igual 3, uma vez que ter í amos amos c = 0 e b = -3, o que contradiz claramente o fato de serem medidas dos lados de um tri ângulo retângulo. Logo: a = 15 => b = 15 - 6 = 9 e c = 15 - 3 = 12 E a PA é: (9; 12; 15).

Exercícios Resolvidos de PA e PG

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