Exercícios Resolvidos de Matemática - pg. 252 (05 a 08)

EXERCÍCIOS RESOLVIDOS DO LIVRO: A CONQUISTA DA MATEMÁTICA – FTD - Ed. Renovada Pág. 251 (ex. 02 a 04) Encontre mais no endereço: www.estudesozinho.blog www.estudesozinho.blogspot.com spot.com

05. AQ1 = 900 ; AQ3 = 324 ; AQ2 = ? Observe que nós estamos considerando os lados do triângulo como

a, b e c . Assim, o Quadrado Q1 terá lado medindo a e área igual a a2. Pelo mesmo princípio, o quadrado Q2 tem lado b e área b2, e o quadrado Q3, lado c e área c2.

Q3

Q2

Se aplicarmos o Teorema de Pitágoras no triângulo interno da figura, teremos:

a2 = b2 + c2. Substituindo os valores fornecidos no enunciado

do problema para as áreas dos quadrados ( AQ1 = a2 = 900 ; AQ3 = c2 = 324 ; AQ2 = b2 = ?)

Q1 a2 = b2 + c2

900 = b2 + 324

⇒

⇒

900 – 324 = b 2

⇒

576 = b2

RESPOSTA: AQ2 = b2 = 576

06. O enunciado do problema não nos garantiu que o Δ BAD é retângulo, mas para resolver esse problema vamos ter que considerar isso como verdadeiro. Sendo o ΔBAD retângulo, podemos aplicar o Teorema de Pitágoras, ficando assim: a2 = 92 + 122

a2 = b2 + c2. Substituindo os valores fornecidos na figura,

⇒

a2 = 81 + 144

⇒

a2 = 225

⇒

a=±

225

⇒

a = ± 15

9

Como o ΔBCD é eqüilátero (todos os lados com medidas iguais) teremos que seu perímetro será: 2p = 3. 15

⇒

2p = 45

12 2p é o símbolo de perímetro.

a = 15

a = 15 O perímetro do quadrilátero ABCD será 2p = 9 + 12 + 15 + 15

⇒

2p = 51

a = 15 9

RESPOSTAS: a) 2p = 45 b) 2p = 51

12

07. Vamos ter que trabalhar por partes. Inicialmente, vamos aplicar o Teorema Teorema de Pitágoras no Δ ABC: ABC: a2 = 122 + 162

⇒

a2 = 144 + 256

⇒

a2 = 400

⇒

a=±

12 a

400

a = ± 20.

D O enunciado diz que os segmentos

≅

 AB

BD

B

congruentes), então BD = 20. Agora vamos aplicar o Teorema de Pitágoras no Δ ACD. Nesse Δ o segmento

 AD

C

16

(segmentos

⇓

= b é hipotenusa. hipotenusa.

b 20

b2 = 122 + 362 b2 = 144 + 1296 b2 = 1440 b=± b=±

D

b = ± 2 . 2 . 3 . b = ± 12 .

B

20

16

Decomposição em fatores primos do 1440

RESPOSTAS: a) AB = 20

 b) AD = 12

10

08. Igualmente à questão anterior, vamos trabalhar separadamente. Inicialmente, vamos aplicar o Teorema Teorema de Pitágoras no Δ PQR: Identificando os lados desse triângulo teremos: QR  = 3

10 3

41 (hipotenusa); PQ = 12 (cateto) e PR  = (10 + x) (cateto)

y ( 3 41 )2 = 122 + ( 10 + x )

2 ⇒

9 . 41 = 144 + 100 + 20 x + x x2 + 20 x – 125 = 0

⇒

( 32 .

2 ⇒

2

2 2 412 ) = 144 + ( 10 + 2 . 10 . x + x )

369 = 244 + 20 x + x2

⇒

x2 + 20 x + 244 – 369 = 0

12

equação do 2° grau.

Lembrar que isso é um produto notável: (a + b)2 = a2 + 2.a.b + b2

Para resolver a equação x2 + 20 x – 125 = 0 devemos recorrer à fórmula de Bhaskara

x=

−b ±

2

b − 4ac 

2a

⇒

. Nesse caso vamos identificar os coeficientes a, b e c, retirados da equação.

a = 1 ; b = 20 e c = – 125 . Agora vamos substituir na fórmula de Bhaskara: x=

− 20 ±

202 − 4 . 1. ( − 125 ) 2 .1

⇒

x=

− 20 ±

400 + 500 2

⇒

x=

− 20 ±

2

900

⇒

x=

− 20 ±

2

30

12

C

x1 = x=

−20 + 30

⇒

2

− 20 ± 30

x1 =

10

⇒

2

x1 = 5

Esse valor vai ser  descartado por ser  negativo.

2

Nesse ponto, vamos calcular as

x2 =

−20 − 30

⇒

2

raízes separadamente x1 e x2

x2 =

−50

⇒

2

x2 = – 25

Agora vamos trabalhar com o Δ PQS, para calcularmos o valor de y (hipotenusa).

y2 = 122 + 52 y=±

169

⇒ ⇒

y2 = 144 + 25

⇒

y2 = 169

10 3

y = ± 13

y RESPOSTAS: x=5 y = 13

5 12