MATEMATICA FINANCEIRA I
1.
2.
E.2) Calcule o valor de log3 2 , sabendo que
DEFINIÇÃO Dados a, b
* ∈ R +
loga b = x
ax
↔
=
log10 2
e a ≠ 1 .
log3 2 =
log
a
=x
b
Exemplo E.1) log2 8 = x ⇒ 2x
=
8 ⇒ 2x
E.2) log2 2 2 = x ⇒ 2x
=
23 ⇒ x
2 2 ⇒ 2x
=
=
=
2 ⇒x
=
3 . 2
Dados x, b, a > 0 e a ≠ 1 . 0 loga 1 = 0 , pois a =1.
loga b
1
pois a =a. m
m , pois a =a .
b. loga x = loga b ⇒ x
Exemplo: E.2) Determine o co lo log2 16 = − log2 16 = −4 .
2.7. Equações Logarítmicas Para resolver as equações logarítmicas da mesma base, usamos o fato de a função logarítmica ser injetora, ou seja, quando suas imagens são iguais, então os elementos correspondentes do domínio são iguais (supondo satisfeitas as condições de existência dos logaritmos). Em símbolos, temos: logc x1 = logc x 2 ⇔ x1 = x 2 ( x1, x2 ∈ R , c ∈ R e c ≠ 1) . +
=
=
O logaritmo na base 10 é escrito sem a base, isto é, lo g10 b = log b .
E.1) Calcule o valor de x na equação log ( x − 3) = log ( 2x − 5 )
Resolução: Usando a propriedade na equação. log ( x − 3 ) = log ( 2x − 5 ) ⇒ x − 3 = 2x − 5 ⇒ x
O logaritmo na base e (número periano) é escrito como lnb = loge b
2.4. Propriedades Operatórias Satisfeitas as condições de existência, temos: P1) logb (ac) = logb a + logb c ; a
P2) logb = logb a c
−
a=
1 m
⋅
logb a .
2.5. Mudança de Base
LOGARITMOS DECIMAIS
log b= c + 0, m
O loga b pode ser escrito em qualquer base x (x
>
0ex
ja, loga b =
≠
Representa a mantissa (parte fracionária do logaritmo).
1) como a divisão de logx b e logx a , ou se-
logx b (com a > 0 e a ≠ 1 ). logx b
Exemplo: E.1) log3 5 =
log2 5 log2 3
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2,
Denomina-se de logaritmo decimal ou de Brigss a todo logaritmo de base 10. Esses logaritmos podem ser escritos como abaixo.
m
bm
=
como x = 2 não satisfaz à condição de existência, pois o logaritmando se torna negativo, então o con junto solução é vazio. 3.
logb c ;
P3) logba = m . logb a ; P4) log
+
Exemplo:
b
2.3. Representações Especiais
0,301 ,301 0,477 ,477
E.1) b = anti log2 3 ⇔ log2 b = 3 ⇒ b = 8 .
2.2. Conseqüências da Definição
m
=
Define-se como cologaritmo de b na base a como o oposto do logaritmo de b na base a, ou seja, co lo loga b = − loga b .
3.
3 2
log log 2 log log 3
Define-se como antilog de x na base a como o logaritmando do logaritmo de b na base a, ou seja, loga b = x ⇔ anti lo loga x = b .
O logaritmo representa o expoente da base para gerar o logaritmando.
a
0,477 ,477 .
2.6. Antilogaritmo e Cologaritmo
Logaritmo
base
=
=
Mudando o logaritmo para a base 10, temos:
logaritmando
m loga a
0,301 ,301 e log10 3
Resolução:
b
ELEMENTOS
loga a = 1 ,
=
Representa a cara Representa c aract cterística erística (parte inteira do logaritmo).
3.1. Cálculo da Característica Considere o logaritmo logb, em que b está escrito na forma decimal. e-mail:
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Se b > 1, então a característica de log b é encontrada subtraindo uma unidade do número de algarismos que b apresenta em sua parte inteira. Exemplo: E.1) log3478,701 4 −1 = 3
2
A soma
Resolução: log2 8 = x
log2 16 = x
2
=
8
2
= 16
2
=
2
2
=
x
x
⇒
x
{
4alg
E.2)
log2 8 + log2 16 .
=
x
x
3
x
log 2 , 347 ⇒ c = 1− 1 = 0 .
=
24
4
3+4=7
{
1 alg
Se b < 1, então a característica de log b é igual ao oposto do números de zeros que b apresenta antes do primeiro algarismo não nulo. Exemplo: E.1) log 0, 0 31 c = −2 .
⇒
{
2 zeros
E.2)
log0, 000 345 ⇒ c 1 2 3
= −4
3
Qual o valor da expressão
log5 25 + log3 81 ?
Resolução: log5 25 = x
log3 81 = x
5
x
5
x
x
=
25
3
=
81
=
2
3
=
34
=
x
5
x
2
x
=
4
2+4=6
4 zeros
3.2. Cálculo da Mantissa É obtida em tabela conhecida como tábua de logaritmos. Propriedade: se as representações decimais de dois números positivos diferem apenas na posição da vírgula, então os logaritmos possuem a mesma mantissa. Exemplo: E.1) log 271 = 2 + 0,43297 = 2,43297 E.2) log 2,71 = 0 + 0,43297 = 0,43297 E.3) log 0,0271 = −2 + 0,43297 = −1, 56703 EXERCÍCIOS RESOLVIDOS
1
Resolva:
log625 5
Resolução: log
625
5
=
x
(lê-se log de 5 na base 625)
Fatorar: 625
5
125
5
25
5
5
5
1
5
625
x
=
4
5 1
x
( 5/ 4 ) x
=
/2 → =5
4 x
=
1 2
1 8
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EXERCÍCIOS
1
8
2 2
9
(FESP) A expressão log 16 − log 32 é igual a: 2
(CESCEM) O valor da
expressão
(FUVEST) Se log b − log a = 5 , o quociente 2
10 (UFMT) Sendo log 25 = 4
log1 32 + log0,001 − log0,1 10 10
é:
7
x 3
, podemos afirmar que
x 3 2x b) 3 x2 c) 9
A solução da equação gual a: a) –4/3 b) 1/2 c) –2 d) 2 e) 4/3
log8 x + log8 ( 3x − 2 ) = 1
3
e)
3
é i-
x 3 x2 9
11 (FEI-SP) Se log2 = a e log3 = b , escrevendo log
Se log x = a , então log x é igual a: a) a/3. b) a/4 c) 2a. d) 3a. e) 4a. 2
d)
8
32 27
em função de a e b, obtemos:
a) 2a+b b) 2a-b c) 2ab d)
2a b
e) 5a-3b 12 (FATEC)
solução log 10 ⋅ log 7 ⋅ logx = 4 é: a) 625. b) 2401. c) 10000. 10 d) 7 . 7 e) 5 . 7
6
b a
a)
a) –13 b) 2 c) –13/2 d) 13/2 e) –19/2
5
2
log2 5 é igual a:
2
4
4
vale: a) 10. b) 25. c) 32. d) 64. e) 128.
4
a) ½ b) 3/2 c) 1 d) 2 e) 2/3 3
3
2
a) 2. b) 1/2. c) –1/2. d) –2. e) 3/2.
(PUC) Se log 512 = x , então x vale:
a) 6 b) 3/2 c) 9 d) 3 e) 2/3 2
(MACK) O valor de log ( log 2 ⋅ log 3 ) é:
O produto log 2 ⋅ log 5 ⋅ log 3 é igual a: a) 0. b) 1. c) 1/5. d) 1/3. e) 1/2. 9
2
5
O valor da expressão log 5 ⋅ log 27 é: 3
a) 2/3. b) 3/2. c) 2. d) 3. e) 1/3. Profº Esp. Raul Enrique Cuore
25
A
da
equação
5
13 A característica de log2 é: a) 2. b) 1. c) 0. d) 1 . e) 2 .
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14 (PUC) O logaritmo negativo log a = −3, 415 poderá ser escrito: a) 3.415. b) 4,415 .
GABARITO
10
c) 3,415 . d) 4,585 . e) Nenhuma. 15 (GAMA FILHO) Dado log 3 = 0, 47712 , calcule log81 + log2,43
a) 2,29408. b) 1.01476. c) 2,01002. d) 3,65432. e) 2,41784.
1
A
2
B
3
C
4
D
5
A
6
E
7
B
8
D
9
C
10 A 16 (CESCEM) As características, no sistema deci5 mal, de log7, log 0,032, log10 e log0,00010, são, respectivamente: a) 1, -1, 6, -3. b) 1, -1, 5, -3. c) 0, -1, 5, -4. d) 0, -2, 5, -4. e) 7, 0, 5, 0.
11 E 12 A 13 C 14 D 15 A 16 D 17 E
17 Supondo-se para log 2 o valor aproximado 0,301, acha-se para log 12,5 o valor: a) 0,602. b) 0,398. c) 0,903. d) 0,097. e) 1,097.
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