apuntes sobre matematica basica para estudiantes de ingenieria
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Univers Universid idad ad de San Carlos Carlos de Guatema Guatemala la
Facult acultad de Ingenier´ ıa ´ tica Depar Depart tamento de Matem Matematica a
Clave Segundo Parcial
Persona que Realiza la clave: Hugo Allan Alla n Garc G arc´ ´ıa Monterrosa Monter rosa Curso: Matem´ atica atica B´ asica asica 2
Revisor: Licenciado Sergio Solorzano C´ odigo de Curso: 107 Semestre: Segundo
A˜ no de realizaci´ on: 2012
29 de octubre de 2012
Universidad de San Carlos de Guatemala Facultad de Ingenier´ıa
Matem´ atica B´asica 2 Secciones N y P
Departamento de Matem´ atica Segundo Semestre 2012
Clave Segundo Parcial Tema 1 (30 puntos). Calcule lo pedido usando derivaci´ on impl´ıcita, logar´ıtmica y regla de la cadena seg´ un sea el caso.
1. x2 cos y + sin(2y ) = xy calcule y’. 2. l´ım (ex + x) x
→0
√
x2
3. y = ( x)
1 x
Usando leyes de los l´ımites y regla de L’Hopital.
Calcule y’.
Tema 2 (25 puntos). El volumen de una esfera se incrementa a raz´ on de 10cm3 por minuto. ¿Qu´ e tan r´ apido se incrementa la superficie de la esfera cuando el radio es de 25 cm? Tema 3 (25 puntos). Calcule las dimensiones del rect´ angulo de mayor ´ area posible que puede incribirse en un tri´ angulo equil´ atero de 1m de lado. La base del rect´ angulo est´ a sobre la base del tri´ angulo.
on f (x) = Tema 4 (20 puntos). Dada la funci´
5
−x
+ x3 obtenga:
1. Los intervalos donde f es creciente y decreciente. 2. Los m´ aximos y m´ınimos locales. 3. Los puntos de inflexi´ on. 4. Los intervalos donde la funci´ on es c´ oncava hacia arriba y hacia abajo.
1
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Matem´ atica B´asica 2 Secciones N y P
Departamento de Matem´ atica Segundo Semestre 2012
Tema 1.
1. N´otese que en este caso es necesario calcular la derivada utilizando derivaci´on impl´ıcita, ya que el tratar de despejar la variable y en funci´on de x es un poco complicado debido a que la igualdad dada involucra funciones trigonom´etricas. Derivando impl´ıcitamente se tiene:
2x cos y + x2 ( x2 (
−
x2 cos y + sin(2y ) = xy d d x2 cos y + sin(2y ) = xy dx dx sin y )(y ) + cos(2y)(2y ) = y + xy
− sin y)(y ) + cos(2y)(2y ) − xy y (−x sin y + 2 cos(2y ) − x)
= y
2
=
− 2x cos y y(1 − 2x cos y )
De la igualdad anterior finalmente se obtiene: y =
−
y (1 2x cos y ) x2 sin y + 2 cos(2y )
−
−x
2. Se prueba evaluar el l´ımite para obtener un resultado: 1
1
x
0
l´ım (ex + x) =(e0 + 0)
x
→0
=1∞
Con lo que se obtuvo un valor de la forma 1 ∞ , con lo cual es razonable tratar de utilizar un transformaci´ on logar´ıtmica y luego aplicar L’Hopital. 1
= (ex + x) 1 ln y = ln( ex + x) y
x
x
(1) (2)
Aplicando el l´ımite cuando x tiende a cero en 2 se tiene: l´ım ln y = ln l´ım y
x
x
→0
→0
(3)
La validez de la ecuaci´on 3 se debe al hecho que la fuci´on logaritmo natural es continua. Tratando de evaluar nuevamente el l´ımite resulta: ln(e0 + 0) l´ım ln y = x→0 0
(4)
El l´ımite de la ecuaci´on 4 es de la forma 00 y por lo tanto es posible utilizar el teorema de L’Hopital:
2
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l´ım ln y = ln l´ım
x
d dx
ln((ex + x)) d dx
x
→0
→0
= ln l´ım
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(x)
ex +1 ex +x
→0 1
x
= ln
e0 + 1 e0 + 0
=ln2
de la u ´ ltima ecuaci´on y de aplicando la exponencial a la ecuaci´on 3 se obtiene el resultado: l´ım y = e 2
x
→0
3. La funci´on dada no es tratable mediante las reglas de derivaci´on conocidas, debido a que el exponente es funci´on de x, as´ı que se aplicar´a la transformaci´ on logar´ıtmica con el u ´ nico objetivo de eliminar el 2 x como exponente y poner utilizar las reglas de derivaci´on conocidas:
√
ln y = x 2 (ln( x))
(5)
Derivando impl´ıcitamente en 5 se obtiene: y y
√
= 2x(ln( x)) + x2
y = y
=
1 √ 2 x
√ 1 2x(ln( x)) + x √ 2 x √ 1 2x(ln( x)) + x √ 2
2
2 x
√ y
2
( x)x
Tema 2. El estudiante debe recordar que el ´area superficial de una esfera viene dada por la ecuaci´on As = 4πr 2
(6)
Derivando la ecuaci´on 6 respecto a al tiempo t se obtiene: dAs dr = 8πr dt dt
(7)
Similarmente se sabe que el volumen de una esfera est´a dado por: V =
4 3 πr 3
(8)
Calculando la derivada de 8 respecto al tiempo t: dV dr = 4πr 2 dt dt
3
(9)
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Por otra lado se sabe que
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dV dt
= 10, combinando ese dato con la ecuaci´on 9 se logra: 10 = 4πr 2
dr dt
(10)
(11)
Despejando para la raz´on de cambio del radio respecto al tiempo: dr 5 = 2πr 2 dt
Combinando las ecuaciones 11 y 7 se obtiene: dAs dt dAs dt
5 = 8π (25) 2π (25)2 4 = 5
on de variables del siguiente diagrama: Tema 3. Obs´ervese la identificaci´ 1.4
1.2
1 B
0.8
0.6 G
H
0.4
y
0.2 A
−1
−0.8
−0.6
−0.4
−0.2 −0.2
0
E
0.2
D
x
0.4
F
0.6
x
0. 8
C
1
1.2
1.4
−0.4 −0.6 −0.8
Se puede observar que
AGE ABE por lo tanto se tienen las relaciones:
4
1. 6
1.8
2
2.2
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y
1 2
−x √ 3 √ − 3x 2
=
√
3 2
(12)
1 2
=
y
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(13)
El ´area del rect´angulo es: A = 2xy A = 2x
(14)
√
3 2
− 3x √ √ √ 33x − 2√ 3x − 2 3x 2
(15)
2
A = A
√
=
(16)
Hallando los ceros de la ecuaci´on 17 se tiene x = 14 y por lo tanto y =
(17)
√
3 4
Tema 4. Se procede por incisos:
1. Para saber en que intervalos la funci´on es creciente y decreciente basta con calcular los ceros de la derivada: f (x) = 5x4 + 3x2 (18)
√ √ 3 √ De la tabla 1 se observa que la funci´on es decreciente en el intervalo [ −∞, − 5 ] y en [ √ 35 , ∞] y creciente √ √ 3 √ en [− , 0] y [0, √ 3 ] 5
5
2. Sabemos que la funci´on es decreciente de [
√
3
√
5
5
3
√
3
−∞, − √ ] y creciente en [ − √ , 0] y adem´as − √ es punto √
5 √ 3 cr´ıtico por lo tanto − √ 5 es un m´ınimo local. Por un argumento similar, se puede asegurar que √ 35 es
un m´aximo local.
5
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3. Se procede a calcular la segunda derivada: f (x) =
3
−20x
+ 6x
(22)
Calculando las ra´ıces de 22 se obtiene: x( 20x2 + 6) = 0
(23)
−
y de la ecuaci´on 23 se tienen los puntos cr´ıticos x = 0 y x =
√
3
± √
10
4. Resumiendo, la funci´ o n es c´oncava hacia arriba en los intervalos [
