PROLOGMÁTICA 2009
Cuarto Año
Cuarto Año 1.
Sea A el circuito lógico más simple correspondiente a
3.
la proposición
A partir del cuadro adjunto, calcule la suma de la media, mediana y moda.
[( p ∧ q) ∨ ( p ∧ r )] )] ∧ [( p ∧ s) ∨ ( p ∧ ∼ s)] y B es el circuito lógico más simple equivalente a q
p
p
q
q
q
I i
x i
f i
[20; 30〉
10 45
Construya el circuito lógico simplificado correspon-
60
[ ; 70〉
diente a A → B.
15 85
p
[ ; 180〉
p
A)
60 105
B) q
r
r
q
p
B) 308,9
D) 324,9
C)
q
A) 304,5
C) 309,4 E) 354,9
r 4.
p
q
p
D)
q
que cada noche 4 de ellos cumplirán la guardia
E)
nocturna. Si el campamento terminó el día en que
r
r
Si 10 soldados se van de campamento campamento y recuerdan recuerdan
todos cumplieron una misma cantidad de noches de 2.
Se tiene la siguiente tabla de frecuencia sobre sobre la
guardia, ¿cuántos días duró el campamento y cuántas
distribución de notas de 50 alumnos en un examen de
noches efectuó cada soldado su guardia? Dé como
120 puntos como máximo.
respuesta la suma de ambos resultados.
Intervalos
x i
f i
x i f i
A) 420
300
B) 419
D) 294
C) 918 E) 315
400 350
5.
El juego de “Timba” consiste en lanzar dos dados, uno o dos veces; si en el primer lanzamiento el jugador
1100 Se sabe que
consigue que la suma de los puntajes sea 7 gana, pero pierde si la suma es 2 ó 12. Si consigue otras sumas todavía no gana ni pierde y efectúa en segundo
•
Las marcas de clase están en progresió progresión n aritmética.
•
f 1= f 5
•
x5=11 f 1
lanzamiento tal que consigue la suma 7 pierde y en caso contrario gana y termina el juego. Halle la
Halle la suma de las coordenadas del punto de
probabilidad de ganar en dicho juego.
intersección entre las ojivas menor que y mayor o igual que. A) 93 D) 101,5
B) 94,5
C) 95,5 E) 107,35
A)
17 18
D)
22 27
B)
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13 15
C)
545 648
E)
141 216
1
1. er Concurso Nacional de Matemática 6.
Calcule la suma a b c + + =4 ; b c a
a3
b3 c3 + + ; donde abc ≠ 0 y b3 c3 a3
PROLOGMÁTICA 2009
11.
En el gráfico, G y H son son baricentros de los triángulos y EFG, respectivamente. Si EF // AC , halle la razón ABC y
a
c b + + =5 c b a
de áreas de las regiones sombreadas. B
A) 1
B) 3
D) 7 7.
C) 5 E) 8 G
Sea el conjunto A={ z ∈C / | z+2 – 2 3 i| ≤ 2 }
A
C
H
Halle z ∈ A tal que se módulo sea máximo.
E
F
A) – 2 – 2 3 i
8.
B)
2 − 4 4 3 − 6 − + + i 2 2
A)
C)
2 + 4 6 + 4 3 − + + i 2 2
D) 11
D)
(
2 – 4)+(4 3 – 6 ) i
12.
B)
44 5
C)
46 5
E)
22 5
Se tiene el tetraedro ABCD, un plano pasa por los
E) 4 2 +6 3 i
puntos medios de AD y BC , y corta a AB y DC en
Si a y b =0; b son las raíces de la ecuación cx2+ dx+cd =0;
T y Q, respectivamente. Si AT = m y TB= n; además m ≠ n; calcule CQ .
además c y d son son las raíces de ax2+ bx+ab=0. Calcule
2
B) – 2
D) 2
A) 1 C) –1/2
D)
E) –1
Luego de resolver n
DQ
+ c ( a + b)2 a b + cd
a(c + d )
A) 1
9.
16 5
n
n
n
m
C)
n
m2
m n2
E)
n2
n
m2
En el gráfico, se muestra a una persona lanzando
a− x
+
= x+y
dardos a un blanco, que tiene la for ma de un triángulo
b − y n
+ n c − z n = y + z
equilátero ( ABC ). ). Si todos los dardos llegan a la parte
n n
n
a− x
+
n
b− y
13.
B)
n
c− z
interna, calcule la probabilidad de que los lados de un
= x+z
triángulo no acutángulo se formen en PA, PB y PC .
Indique el valor de xyz. A) n abc
B) 2 n abc
abc D) n 8 10.
C) n abc 4
B
E) 4 n abc A
P
Dados los conjuntos
C
A={( x; y) ∈ R×R / x+y=a} B={( x; y) ∈ R×R / x3+y3 < a}
determine la cantidad de valores enteros para a tales que A ∩ B=φ. A) 1 D) 8
2
A) 1 B) 3
C) 4 E) infinitos
B)
2π 3 9 − 1
D) 3
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1 4
C)
1 3
π 3 4 − 1
E) 2
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14.
Cuarto Año
En el gráfico, calcule θ.
L E B
a
a
S
1
2
O A
C
1
A) 18º
B) 36º
53º D) 2
15.
C) 30º A)
127º E) 4
B)
1 θ csc2 4 2
C) sen2
D) 2sen2θ
En el gráfico, AB=5; BC =3; =3; AC =7 =7 y HB=1. Calcule el área de la superficie generada al girar 360º el triángulo alrededor de ABC alrededor
1 θ sen2 4 2
19.
θ 2
E) 2sen2
θ 2
En el gráfico, AB=5 y CD=3, halle la longitud del lado del cuadrado PQRS.
L .
A
A) 4
A C
B) 3
H
A) 75π D) 70π 16.
B) 150π
20.
C) 140π E) 100π
D)
S
2
B) 9
D) 14
C) 4S E)
D
R
Se tiene el triángulo ABC , tal que AB=5; BC =8 =8 y AC =7; =7;
A) 8
B) 2S
S
C
PA+PB+PC. P A+PB+PC.
21.
A)
S
Q
se ubica P en la región interior. Halle el menor valor de
Se tiene el trapecio ABCD ( AD // BC ), se refleja A y D respecto de BC , luego se refleja B y C respecto respecto de AD , obteniéndose los puntos A', D', B' y C'. Si el área de ABCD es S, halle el área de A B'C'D' 'B'C'D'.
P
D) 2 5 15 E) 34
L 360º
B
C) 2,4
120º B
C)
126
E)
129
θ respecto a la
Subiendo por un camino inclinado
horizontal, se observa la parte superior de una torre
S
con ángulo de elevación 2 θ; luego de subir una
4
distancia a el nuevo ángulo de elevación es 3 θ. Halle la altura de la torre en función de a y θ.
17.
Se tienen las circunferencias C 1, C 2 y C 3 congruentes de radios R, tal que: C 1 ∩ C 2={ A, P}, C 1 ∩ C 3={ B, P} y C 2 ∩ C 3={ P, C }. }. Calcule el radio de la circunferencia circunscrita al triángulo ABC .
A) 2asenθ D) atan 22.
R A) 2
R B) 3
18.
θ
Y
5
B)
2 5
En el gráfico, E es es uno de los excentros del triángulo
C)
− 5
ABC ,
D)
−2 5
Halle
L
OS
. SE
E) asecθ
C) R 3 E) R
es la recta de Euler del triángulo BEC .
C) 2acosθ
Del gráfico; calcule sec w . A)
D) R 2
B) 2atanθ
2
O
X
(–4; –2)
E) 5
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3
1. er Concurso Nacional de Matemática 23. La ecuación de una recta es
x
+
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y
A
=1. Halle la – 20 15 ecuación de la circunferencia que es tangente a dicha B
recta y que su centro es el origen de coordenadas.
24.
A) x2+ y2=169 B) x2+ y2=50
C) x2+ y2=1
D) x2+ y2=144
E) x2+ y2=100
E F
C
D
Halle la longitud del lado recto de la parábola 2 P : y +2 x – 10 y+27=0
A) 125 A) 5
B) 1/2
E) 135
E) 2 29.
25.
C) 171
D) 142
C) 1/4
D) 3/4
B) 414
Se escriben los números del 1 al 9 sin repetir en cada cada
Halle S(24)
uno de los círculos de la figura mostrada de manera
si se cumple lo siguiente:
que la suma de los números escritos en los tres lados
S(1)=(4×2)+12 (– 2)
de cada triángulo ( T 1; T 2; T 3; T 4) sea siempre divisible
S(2)=12 (– 3)+(5×2)
por 3. Si algunos de los números ya han sido escritos
S(3)=(6×3)+6 (–1)
como en la figura
S(4)=10 2+(5×3)
3 T 1
A) 626
B) 550
C) 556
D) 600
E) 696 T 2
26.
T 3
1
T 4
Se definen las siguientes operaciones a+1 =
a –1
a+1 =
3 x– 2
+2
2
(I)
halle el número de formas de completar los círculos de la figura.
Calcule
(II)
A) 24
4
B) 40
C) 48
D) 60 A) – 8
B) – 6
D) –12 27.
C) – 9 E) N.A.
Al preguntarle por su edad a Elizabeth, ella ella contestó: Mi edad es la suma de todos todos aquellos números naturales naturales
30.
En cada casilla de la figura se coloca un dígito no nulo de modo que no hay dos dígitos iguales y, además, los productos de los dígitos escritos en cada una de las dos columnas y la fila señaladas sean iguales.
tales que el cuadrado, de su quíntuplo disminuido en
a
4, es mayor que 16, pero menor que 900 . ¿Cuál es la
c
edad de Elizabeth? A) 18 D) 25 28.
B) 19
E) 96
b d
e
f
g
columna
columna
1
2
fila 1
C) 20 E) 28
En el gráfico, cada letra representa una ciudad distinta
Determine el mayor valor posible que puede tomar
y cada arco un camino que une dos ciudades. Entonces
E=a · b+f · g
¿de cuántas formas distintas podemos viajar de A a F ? si no se puede pasar dos veces por una misma
A) 57
ciudad.
D) 33
4
B) 30
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C) 76 E) 51
