Secundaria 2da Olimpiada

2ª OLIMPIADA ESTATAL “JUGANDO CON LAS MATEMÁTICAS” (Para Secundaria) PRESENTACIÓN El presente cuadernillo es de entrenamiento para la participación en la 2ª olimpiada “Jugando con las Matemáticas” en nuestro Estado, la cual tiene el propósito de fortalecer el desarrollo de competencias matemáticas en los alumnos de educación secundaria, a través de un concurso que implica el razonamiento y la creatividad en la resolución de desafíos. Este material se diseñó como un complemento de tus clases y de tu libro de matemáticas para brindarte la oportunidad de repasar y practicar las técnicas que vas aprendiendo; resolver nuevos desafío, enfrentarte a más problemas y conocer datos interesantes acerca de las matemáticas. En suma, para que puedas aprender más. Algunos desafíos tal vez te parezcan fáciles mientras que en otros deberás pensar un poco más para llegar a la respuesta correcta. Si no logras resolver un desafío, te recomendamos que continúes con los demás y en su oportunidad comenta con tu maestro él te puede orientar.

¡Adelante, tú puedes!

Cuadernillo de Entrenamiento

Secundarias

PROBLEMARIO Este problemario está enfocado 100 % al entrenamiento de los alumnos que participarán en la 2ª Olimpiada Estatal “Jugando con las Matemáticas” en Educación Secundaria.

I.

Lea atentamente los desafíos matemáticos siguientes, y conteste las preguntas que se plantean. (PRIMERA PARTE) 1- Un comerciante compró 160 kg de café de cierta calidad a $ 65.00 el kilogramo y 28 kg de café de diferente calidad a $ 50.00 el kilogramo. Para vender el café, lo mezcló y molió. Si el comerciante quiere ganar 1/3 del costo total, ¿a cómo tendrá que vender 100 g de café? a) Describe ¿Cómo lo resolverías tú? b) ¿Qué dificultades cree usted que puede tener una persona con educación primaria al calcular cuántos gramos se tendrán que dar por $ 10.00, $ 15.00, $ 16.00 y $ 100.00? ¿Por qué? 2- Una fábrica tiene que diseñar y producir envases para refrescos con una capacidad de 0.336 litros. Si se quiere que la base tenga un perímetro de 20.6 cm y la forma se tiene que elegir entre un prisma cuadrangular, un prisma hexagonal o un cilindro, ¿qué cantidad de material se utilizaría en cada envase para cada caso y en cuál de ellos se emplearía la menor cantidad? a. b. c. d.

¿Cuáles son los datos del desafío? ¿Cuáles son las condiciones del desafío? ¿Qué conocimientos matemático necesita para resolver el desafío? ¿Recuerdas las fórmulas para calcular el volumen de estos prismas y del cilindro? Si es así, ¿cómo resolverá el desafío?; y si no, ¿cómo lo haría? e. Resuelva el desafío y describa los pasos que realizó para resolverlo. f. Además de las fórmulas ya mencionadas, ¿qué otro conocimiento matemático memorizado anteriormente utilizó para resolver este desafío? g. ¿Qué algoritmos empleó? h. ¿Sabe usted el significado el significado de los conocimientos matemáticos memorizados que aplicó? i. ¿Saber de memoria de memoria las fórmulas para calcular área y volumen le garantiza la resolución de este desafío? ¿por qué? j. ¿Qué otras habilidades son necesarias para resolverlo? 3- Un ganadero tenía alimento suficiente para 57 vacas durante 30 días y al cabo de 7 días compra 12 vacas más. ¿En cuántos días se han reducido sus provisiones? a) b) c) d) e)

Explique en qué consiste el desafío Describa cómo resolvería el desafío. Resuelva el desafío. Verifique su resultado y diga qué tipo de respuesta es. ¿Qué conocimientos matemáticos utilizó para resolver este desafío?

1


Secundarias

4- Un señor tiene cierto número de pasteles. Le vende a una señora la mitad de sus pasteles y medio más. A una segunda señora le vende la mitad de lo que le queda de pasteles y medio más. Después a otra la mitad de los pasteles que le quedan y medio más, con lo que finalmente al señor le quedan sólo un pastel. ¿Cuántos pasteles tenía en total el señor? 5- Una empresa maquiladora recibió el lunes 25 rollos de tela, cada uno con igual número de metros; el martes 12 rollos de 17 m cada uno; y el jueves tuvo que regresar, por defecto, 37 trozos de 12 m cada uno. Si la empresa tiene que pagar 350 m de tela, ¿cuántos metros tenía cada uno de los 25 rollos? 6- Un edificio en forma de prisma triangular tiene una altura de 15 m y un lado de su base mide 10 m. si el volumen del edificio es de 600 m3, ¿cuánto mide la altura del triángulo que forma su base? a. ¿Qué operaciones aritméticas tuvo que realizar? b. ¿Cuáles son los conocimientos que están involucrados? 7- Un cubo de madera de dimensiones 10 u x 10 u x 10 u, fue pintado de rojo y cortado en cubos pequeños de 1 u x 1 u x 1 u, como se muestra a continuación: ¿Cuántos cubos pequeños se formaron? ¿Cuántos cubos pequeños tienen tres caras pintadas? ¿Cuántos cubos pequeños tienen dos caras pintadas? ¿Cuántos cubos pequeños no tienen ninguna cara pintada?

a) ¿Cuál de las cuatro preguntas contestó más rápido? b) ¿Cómo encontró el número total de cubos pequeños que se forman? ¿Recurrió inmediatamente a una operación aritmética o primero formó una imagen del cubo y sus cortes? c) Describa las imágenes mentales que formó. d) ¿Cuál de ellas le facilitó el razonamiento? e) ¿Qué operación aritmética tuvo que realizar? f) ¿Usted cree que sería más fácil resolver el desafío si primero se realiza con un cubo de 3 u x 3 u x 3 u y luego con un cubo de 4u x 4u x 4u, y así sucesivamente? ¿por qué?

2


Secundarias

8- Dibuje la figura faltante en la siguiente sucesión.

a) b) c) d)

¿Cuántos cuadrados tendrá la décima figura? Represente aritméticamente la sucesión anterior. Escribe una expresión algebraica que represente a la sucesión anterior. ¿Cuántos cuadrados tendrá la figura número 50 de la sucesión?

9- La compañía Tláloc, fabricante de acumuladores, realizó un estudio sobre el tiempo de vida de sus productos, cuya duración garantizada es de dos años. Los datos obtenidos del estudio se muestran a continuación. Cada uno de los datos indica los años y meses de duración. Por ejemplo, 2;06 significa que la batería duró 2 años y 6 meses. 2;09 2;05 1;11

1;07 2;10 2;00

2;01 1;04 2;07

1;06 1;09 2;02

3;00 2;04 2;08

2;06 2;01 2;03

1;10 1;08 2;04

1;11 2;02 2;01

a) ¿Qué conocimientos matemáticos se pueden aplicar e integrar en esta situación? b) Construya una gráfica que represente los resultados obtenidos del estudio. 10- En una colonia de 200 casas, 45 no tienen teléfono ni gas estacionario, 120 tienen teléfono y 85 tienen gas estacionario. ¿Cuántas casas tienen tanto teléfono como gas estacionario?

3


Secundarias

MÁS DESAFÍOS (SEGUNDA PARTE) 1. Colorea la mitad de los círculos del dibujo de manera que siempre haya dos círculos coloreados en cada recta y en cada uno de los círculos grandes.

2. Los cinco círculos son congruentes (iguales) entre sí. Dibuja una recta que divida la figura en dos partes tales que las áreas de las regiones cubiertas por los círculos sean iguales.

3. Si AB = 10 cm y BC = 8 cm, ¿cuánto mide el diámetro de la circunferencia? (AC y BC son perpendiculares a los ejes)

A

B

C

4. María estaba calculando el área de un círculo y por error usó el valor del diámetro en lugar del radio: ¿Qué operación puede hacer con su resultado para obtener el área correcta? 5. El cuerpo está formado por cubos iguales. Si cada cubito pesa 2.5 gr., ¿cuánto pesa el cuerpo?

4 6 2


Secundarias

6. Usando el plano cartesiano, di cuánto vale el área en unidades cuadradas, de un triángulo con vértices de (0, 0), (1.5) y 7,3). 7. Se diseña una loseta recortando cuadrantes de círculo de cada vértice de un cuadrado de lado 12 cm. Si se colocan tres de estas losetas en fila, ¿cuál es el perímetro de la figura que se forma?

12 cm

4 cm

8. ¿Cuál es el perímetro de la figura sombreada si el lado del cuadrado mide 8 cm?

9. Tu computadora tiene un virus. Cada número x entre 2 y 9 se ha sustituido por la suma de todos los anteriores incluyéndolo a él. Por ejemplo, 5 ha sido sustituido por 15 = 1 + 2 + 3 + 4 + 5, si tecleas 1 + 3 + 9, ¿qué resultado te dará la computadora?

10. ¿Cuál es el mínimo número de cuadritos que tienes que rellenar para que tanto m como m’ sean rectas de simetría del cuadrado?

m’

m

5 6 2


Secundarias

11. El área AB es un cuarto de una circunferencia de centro O y radio 10 cm. Los arcos OA y OB son semicircunferencias. ¿Cuál es el área de las regiones sombreadas?

12. Daniel quiere repartir entre sus tres hijos un terreno cuadrado, de la forma que se muestra en el dibujo, porque en el vértice B hay una noria que han de compartir. Teniendo en cuenta que el lado del terreno es de 60 metros y que quiere dar a los tres hijos partes tales que tengan la misma área, ¿a qué distancia han de estar los puntos M y N del vértice D?.

13. En el siguiente trapecio a = b = c. traza segmentos de recta para dividir la figura en 4 trapecios idénticos entre si y semejantes al original.

14. Si el ángulo B es recto, BC mide 8 cm y el área del triángulo es 24 cm2 , ¿cuánto mide el perímetro del triángulo ABC?

6


Secundarias

15. Si al dividir el número 3456a7 entre 8 el residuo es 5, ¿cuáles son los posibles valores de a?

16. La edad promedio de los miembros de la familia Cifuentes es de 18 años. Si sabemos que el papá tiene 38 años y que el promedio de las edades de los miembros de la familia sin contarlo a él es de 14 años. ¿Cuántos miembros tiene la familia Cisneros?

17. ¿Cuántos son los números enteros entre 100 y 400 que tienen alguna de sus cifras igual a 2?

18. Un piso cuadriculado está cubierto por azulejos cuadrados del mismo tamaño de forma que quedan alineados. Los azulejos de las dos diagonales del piso son negros. Los azulejos restantes son blancos. Si hay 101 azulejos negros, ¿Cuál es el número de azulejos blancos?

19. En una bolsa de 200 caramelos hay 110 de fruta y el resto de leche. ¿Cuántos caramelos de fruta hay que agregar para que los caramelos de fruta sean el 70 % del total de la bolsa?

20. En una mesa hay 5 cartas. Cada carta tiene de un lado un número natural y del otro una letra. Juan afirma: Cualquier carta que tenga de un lado una vocal tiene un número par del otro lado. Pedro demostró que Juan mentía dando vuelta sólo a una carta. ¿De cuál de las cinco cartas se trata?

7


Secundarias

SOLUCIONES A LOS PROBLEMAS PROPUESTOS 2ª OLIMPIADA “JUGANDO CON LA MATEMÁTICAS.(para secundaria) SUGERENCIAS PARA LA PRIMERA PARTE: Algunos problemas se pueden resolver utilizando un conocimiento intuitivo y otros con una combinación de conocimientos intuitivos y conocimientos aprendidos en la escuela primaria, o en la secundaria; sin embargo, existen problemas que requieren de una mayor formación matemática. Dicha formación no excluye la intuición ni los saberes previos, sino que los integra en un conocimiento más elaborado, complejo y coherente. Para resolver un problema tienes que leerlo, interpretarlo, ubicar los datos, pensar en el tipo de respuesta que se pide, es necesario recordar ciertos conocimientos matemáticos que se pudiera utilizar, decidirse por algunas estrategias de solución y aplicarlas, y finalmente verificar los resultados. En el problema No. 3 está presente el razonamiento sobre la aplicación de la proporcionalidad inversa, como sigue: A 57 se le debe sumar 12, a 30 se debe restar 7, y entonces se puede establecer la siguiente igualdad:

57 X=

.

57 . 23 69

23 = 69 =

1311 69

.

x

= 19

¿Es correcto decir que las provisiones se han reducido 19 días? ¡Claro que no! Aún falta restar 19 a 23. Por lo que las provisiones se redujeron 4 días. El desafío de los pasteles: Al señor para que le quedará un pastel al final, él tendría que traer 1 + ½ x 2 = 3, para que al dividir entre dos sea 1 ½ + ½ = 2; para que le quedarán 3 el tendría que tener 3 + 1/2 x 2 = 7, que al dar la mitad + medio pastel le quedaran 3; por lo tanto el señor salió a vender 15 pasteles. Comprobando: 1er señora le compró la mida y medio más o sea 7 ½ + ½ = 8, 15 – 8 = 7. 2ª señora le compró la mitas o sea 3 ½ + ½ = 4, por lo que le quedaron 7 – 4 = 3 y a la 3er señora le vendió la mitad de tres o sea 3/ 2 = 1 ½ + ½ = 2 y 3- 2 = 1 que con lo que se quedó el señor al final. LOS DEMÁS PROBLEMAS RESÚELVELOS CON MUCHO CUIDADO Y EN CADA CASO COMENTA TUS RAZONAMIENTOS CON OTRO COMPAÑERO O CON TU MAESTRO.

Nota: Si tienes alguna dificultad comunícate a través de internet al correo electrónico del programa: [email protected]

8


Secundarias

SEGUNDA PARTE 1. Una solución es:

Criterios de evaluación: 1 punto, por comprender que son dos círculos tanto en las filas y columnas, 2 puntos, por realizar la iluminación de 8 círculos, 2 puntos por presentar una respuesta conforme a la muestra. 2. Si trazamos la siguiente línea, uniendo el centro del círculo de abajo con el punto de tangencia de los dos círculos de arriba, de cada lado tenemos dos y medio círculos. Por lo tanto, el área de las regiones cubiertas por los círculos es la misma.

Criterios de evaluación: 1 punto, por ubicar los puntos como centros de cada círculo, 2 puntos por señalar los puntos de tangencia y 2 puntos, por trazar la línea que divide a la figura. 3. Llamemos O al centro del círculo. Observemos que la diagonal del rectángulo OBCA es el radio del círculo. Entonces AB = OC = 10 cm.

O

A

B

C

Por lo tanto, el diámetro mide 20 cm. Criterios de evaluación: 1 punto, por ubicar el radio del círculo, 2 puntos por señalar que AB = OC y 2 puntos, por indicar la medida del diámetro correctamente.

9


Secundarias

4. El área del círculo está dada por la fórmula πr2 donde r denota la medida del radio. Como María confundió el radio (r) con el diámetro (d) y sabemos que d = 2r, entonces María obtuvo, π(2r)2 = 4πr2. Por lo tanto, si divide entre 4 su resultado, obtendrá el área correcta. Criterios de evaluación: 1 punto, por ubicar el razonamiento del área del círculo, 2 puntos por señalar la confusión de María y 2 puntos, por decir que se divide entre 4 y que se obtendrá el área correcta. 5. La figura completa, sin hueco, tendría 6 X 3 X 5 + 4 X 3 = 102 cubitos. Observemos que los 12 = 2 X 2 X 3 cubitos que forman el hueco, son equivalentes a los 12 = 4 X 3 cubitos que están en la parte superior. Luego el cuerpo tiene 102 – 12 = 90 cubitos y como cada uno pesa 2.5 gr, el peso total del cubo es de 90 X 2.5 = 225 gr. Criterios de evaluación: 1 punto, por ubicase en el razonamiento en el sentido de toda la figura, 2 puntos por señalar la cantidad de cubitos en el hueco y 2 puntos, por decir el peso total de los 90 cubitos. 6. El área del rectángulo que se muestra en la figura es de 7 X = 35 unidades cuadradas. Si a esta área le quitamos el área de los tres triángulos rectángulos, obtenemos el área del triángulo que buscamos.

(1, 5)

(0, 5)

(7, 3)

(7, 0)

(0, 0)

Luego el área es 35 – (

7X3 2

+

6X2 2

+

1X5 2

) = 16 unidades cuadradas.

Criterios de evaluación: 1 punto, por hacer uso del cuadrante, 2 puntos por señalar las áreas que se eliminan y 2 puntos, por indicar las unidades correctas. 7. Observemos que al poner tres losetas en fila tendremos 12 arcos de un cuarto de círculo, es decir, 3 círculos completos de radio 4 cm. Asimismo, habrá 8 bordes rectos de 4 cm de largo. Luego, el perímetro de la figura es, (8 X 4) + (3 X 8π) = (24 π + 32) cm. Criterios de evaluación: 1 punto, por razonar en el sentido de los arcos, 2 puntos por indicar el procedimiento sobre los bordes y 2 puntos, por obtener el resultado ya sea manejando π o el valor de π y decir que se trata de cm.

10


Secundarias

8. Observemos que el perímetro de la figura sombreada contiene dos arcos que corresponden a un cuarto del perímetro de un círculo, es decir, el perímetro de la figura sombreada contiene un medio círculo de radio 4. Luego, el perímetro de los dos arcos es 4π. Así el perímetro de la figura sombreada es: 4 + 4 +4 + 4 + 4π = 16 + 4π. Criterios de evaluación: 1 punto, por razonar en el sentido de los arcos, 2 puntos por indicar el procedimiento del perímetro del círculo y 2 puntos, por obtener el resultado ya sea manejando π o el valor de π y decir el resultado correcto. 9. Observemos que al teclear 1, la memoria de la computadora sólo registra al 1. Si tecleamos 3, la computadora registra 1+2+3=6 y al teclear 9, la computadora registra 1+2+3+4+5+6+7+8+9=45. Por lo tanto, el resultado de la computadora será 1+6+45=52.

Criterios de evaluación: 1 punto, por razonar en el sentido de los arcos, 2 puntos por indicar el procedimiento sobre los bordes y 2 puntos, por obtener el resultado ya sea manejando π o el valor de π y decir que se trata de cm 10. Rellenamos de otro color para verlo más claramente.

Por lo tanto, el mínimo número de cuadraditos que tenemos que rellenar es 9. Criterios de evaluación: 1 punto, por indicar la estrategia, 2 puntos por indicar el procedimiento y 2 puntos, por obtener el dibujo correcto o la representación correcta. 11. Trazamos el segmento OC y obtenemos dos segmentos circulares, cada uno de ellos de radio 5 y con un arco de 90⁰ (medimos el arco en grados)

11


Secundarias

Trasladamos esos segmentos circulares hasta formar la siguiente figura:

Tenemos ahora que el área del segmento circular de centro O, radio 10 y arco de 90⁰, es equivalente al área sombreada. Para calcularla, basta con restarle el área del triángulo OAB al área del sector circular OAB. Entonces, el área buscada es 1 1 π (10)2 - 10 . 10 = 25 π - 50 que es la respuesta. 4

2

Criterios de evaluación: 1 punto, por indicar la estrategia, 2 puntos por indicar el procedimiento y 2 puntos por obtener los dibujos correctos y la respuesta. 12. Solución No. 1 Como el terreno tiene 60 m de lado y es cuadrado, su área es 60 m x 60 m = 3600 m2. Además los tres terrenos deben tener la misma área, así que cada uno tiene 3600 m 2 / 3 = 1200 m2 de área. En la figura, el triángulo BAM es congruente al triángulo BCN por simetría y tiene como área AM x AB / 2 = 120 m2. Pero AB es lado del cuadrado, mide 60 m y sustituyendo en la expresión anterior queda: AM x 60 m / 2 = 1200 m2, así que AM = CN = 1200 m2 x 2 / 60 m = 40 m Finalmente la distancia MD = ND = AD – 40 m = 60 m – 40 m = 20 m Criterio de evaluación: 1 punto por calcular el área del cuadrado ABCD y dividir el área total entre tres, 1 punto por decir que los triángulos BAM y BCN son congruentes, 1 punto por sustituir valores en la fórmula del área del triángulo; 1 punto por despejar AM o CN; 1 punto por el resultado final. Solución No. 2: El área de todo el terreno es 60 m x 60 m = 3600 m2 y el área de cada uno de los tres terrenos de los hijos es de 3660 m2 /3 = 1200 m2. El terreno representado en la figura por el triángulo BND es congruente con el triángulo BMD por simetría y tiene un área de 1200 m2 / 2 = 600 m2. Pero su área puede ser calculada multiplicando su base ND por su altura, que es de 60 m y dividida entre 2. Esto se puede expresar como: DN x 60 m / 2 = 600 m2. Así que ND = MD = 600 m2 x 2 / 60 m = 20 m Así que los puntos M y N han de estar a una distancia de 20 m del vértice D.

12


Secundarias

Criterios de evaluación: 1 punto por calcular el área del cuadrado ABCD y dividir el área total entre tres, 1 punto por decir que los triángulos BAM y BCN son congruentes, 1 punto por calcular el área del triángulo BAM o BCN y sustituir valores en la fórmula del área del triángulo; 1 punto por despejar AM o CN; 1 punto por el resultado final. 13. Se divide la figura de la siguiente manera:

En donde e = f = g = h = i = j = k Criterio de evaluación: 2 puntos por dividir adecuadamente la figura en 4 trapecios semejantes; 1 punto por señalar las medidas de las divisiones en la figura y 2 puntos por establecer que los nuevos segmentos miden lo mismo. 14. Tenemos la medida del triángulo = 24 cm2 y de la base BC = 8 cm. Calculamos entonces la medida de la altura AB: 24 cm2 = AB ( 8 cm) / 2 AB = (24 cm2) (2) / (8 cm) = 6 cm Con el teorema de Pitágoras, calculamos el valor de la hipotenusa AC: AC2 = 62 + 82= 36 + 64 = 100 AC = 10 El perímetro del triángulo ABC es P = AB + BC + AC = 10 + 8 + 6 = 24 cm Criterio de evaluación: 2 puntos por calcular el valor de la altura; 2 puntos por calcular el valor de la hipotenusa AC y 1 punto por calcular el valor del perímetro. 15. El dígito a puede tomar valores desde 0 hasta 9. Solución No. 1 Probar todas las divisiones posibles, una a una, para comprobar cuáles dan residuo 5. Nos daremos entonces cuenta que esto sucede sólo con 345637 y con 345677. Por tanto, los posibles valores son a = 3 y a = 7 Solución No. 2 Nos damos cuenta que la primera parte de la división no cambia. Con a de 0 a 7 y hasta el 3456a entre 8, da de cociente 4320 con residuo a. con a igual a 8 o 9 da cociente 4321 con residuo cero y uno. Se prueban entonces sólo los dos últimos dígitos; es decir a7 entre 8. Vemos que con 37 entre 8 da cociente 4ncon residuo 5 y con 7 7 entre 8 da cociente 9con residuo 5. Por lo tanto, los posibles valores son a = 3 y a = 7 Solución No. 3: Nos damos cuenta que si restamos el residuo 5 al dividendo, éste terminará en 2 y el número obtenido será un múltiplo de 8. Tomando las últimas dos cifras a7, que es lo que varía, los últimos múltiplos de 8 que terminan en 2 son 32 y 72. Entonces, a puede ser 3 o 7. Por lo tanto, los posibles valores son a = 3 y a = 7. Criterio de evaluación: 2 puntos por probar mínimo 2 casos particulares, sustituyendo el valor de a en la división o un proceso equivalente; 2 puntos por los valores (uno por cada valor) encontrados y 1 punto por asegurarse y decir que no hay más que dos valores correctos. 13


Secundarias

16. Solución No. 1: Tomando a x como el número de miembros de la familia, a y como el total de años entre todos, establecemos ecuaciones: Considerando a todos los miembros de la familia , tenemos: y = 18x Sin contar al papá, tenemos entonces: 14(x – 1) = y – 38 Sustituyendo el valor de y, obtenemos : 14x – 14 = 18x – 38 Despejamos x, llegamos a: 18x – 14x = 38 – 14, 4x = 24, x = 6 Por lo tanto, la familia consta de 6 miembros. Se comprueba: (6) (8) = 108 años entre todos y sin el papá: (5) (14) = 70 años, más los 38 del papá da el total de 108 años. Solución No. 2: Hacer una tabla con números progresivos de miembros de la familia, hasta encontrar entre la fila del total y la de sin el papá, una diferencia de la edad del papá, o sea, 38 años. Miembros (n) 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 Total de años (18n) 18 36 54 72 90 108 126 144 162 180 Sin el papá(14(n-1)) 0 14 28 42 56 70 84 98 112 126 Diferencia en años 18 22 26 30 34 38 42 46 50 54 Se observa que la diferencia igual a los 38 años del papá está en 6 miembros, que antes la diferencia es menor y que después la diferencia crece. Por tanto, es la única solución posible.

Criterio de evaluación: 1 punto por la primera ecuación, 1 punto por la segunda ecuación; 2 puntos por resolver el sistema de ecuaciones simultáneas y llegar a la solución y 1 punto por comprobar el resultado final. Si hace la tabla: 1 punto por la fila del total de años; 1 punto por la fila sin contar al papá; 1 punto por la fila de la diferencia; 1 punto por llegar al resultado y 1 punto por comprobar que la solución es única. 17. Contemos la cantidad de números entre 100 y 400 que no tienen ninguna cifra igual a 2. Hay dos posibilidades para la primera, 1 ó 3; nueve posibilidades para la segunda, todos menos el 2; y nueve para la tercera. En total son 2 . 9 . 9 = 162. Entre 100 y 400 hay 300 números incluyendo al 100 y excluyendo al 400. Los que tienen alguna de sus cifras iguales a 2 son : 300 – 162 = 138. 18. Si n es el número de azulejos en un lado del piso, el total de azulejos es n2 , y el número de azulejos en las diagonales es 2n – 1. Como 2n – 1 = 101 resolvemos la ecuación y obtenemos n = 51 y ya podemos calcular el número de azulejos blancos que es n2 – (2n -1) = n2- 2n + 1 = (n – 1 )2 = 502 = 2500 19. Llamemos x a la cantidad de caramelos de fruta que hay que agregar. En la bolsa habrá : 200 + x caramelos de los cuales 110 + x serán de fruta. Para que 110 + x sea el 70 % debemos tener que 110 + x =

70 (200 100

+ x).

Despejando x obtenemos x = 100. 20. Para poder demostrar que Juan mintió. Pedro debe encontrar una carta que de un lado tenga una vocal y del otro un número impar: por lo tanto, la única posibilidad es que Juan dé vuelta la carta con el 3 y en el reverso tenga una vocal.

14

Secundaria 2da Olimpiada

Recommend Documents