´ UNIVERSIDAD UNIVERSIDAD NACIONAL NACIONAL AUT ONO ONOMA MA DE HONDURAS HONDURAS ´ ´ ESCUELA DE MATEM MATEM ATICA ATIC A Y CIENCIAS CIENCIAS DE LA COMPUT COMPUTAC ACI I ON ´ EXAMEN EXAMEN DE REPOSIC REPOSICI I ON DEL SEGUNDO SEGUNDO PAR ARCIAL CIAL
´ MM-201/MMA-201 CALCULO ALC ULO I
II Per Per´ıodo 2016 2016
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Puntos tos)) (3% C/U) Parte I : Verdadero o Falso. (15 Pun
Instrucciones: Escriba en el espacio provisto la letra V si la proposici´on on es verdadera o la letra F si la proposici´on on es falsa, en caso de ser falsa justifique dicha respuesta. (15Pts ) 1. ( a) Si f (x) no es diferenciable en x = 0 entonces f (x) no necesariamente es discontinua en x = 0 .
(b)
( c)
15Pts
Si f (x) y g(x) son funciones diferenciables en x = 1 ento entonc nces es la func funci´ i´ on on f (x) h(x) = es necesariamente diferenciable en x = 1. g(x) la funci´on on f (x) = 1
− |x| satisface el teorema de Rolle en el intervalo [ −1, 1]
(d)
Si f (x0 ) = tangente en x = x 0 .
( e)
Si f (x) es continua en [0 , 4] y x = 2 es un n´ umero umero cr´tico, tico, y adem´as as la gr´afica afica de f (x) es c´oncava oncava hacia arriba en el intervalo [0,4], entonces necesariamente f (x) alcanza un m´ınmo relativo en x = 2.
−
−∞
y f + (x0 ) = +
∞ entonces la gr´afica afica de f (x) no tiene recta
Puntos) tos) Parte II : Tipo Pr´ actico. (65 Pun actico.
Instrucciones: Resuelva de forma clara y ordenada los siguientes ejercicios, simplifique y subraye las respuestas, respuestas sin procedimiento no tiene validez.
(9Pts )
on f (x) = cos (2x 1. Derive y simplifique la funci´on
2
+1
)
1
−
− sen
(ln(3x)). 9Pts
MM-201/Repo, II Parcial 11/nov/2016 – P´ a gina 2 de 4 – Nombre: (9Pts )
2. Derive y simplifique la funci´on y = x tan
−1 (x)
√
+ cot( x2 + 1) + e. 9Pts
(8Pts )
3. Determine el l´ımite lim+ x→0
1
− ln(x) . e1/x
8Pts
(8Pts )
4. Determine la ecuaci´on de la recta tangente a la curva y2 + xy + x2 = 3 que es paralela al eje y .
8Pts
MM-201/Repo, II Parcial 11/nov/2016 – P´ a gina 3 de 4 – Nombre: (8Pts )
(8Pts )
5. Verifique si la funci´on f (x) = 2ln(x) + 1 satisface las hip´otesis del teorema del valor medio en el intervalo [1 , e]. Si f (x) satisface dichas hip´otesis encuentre el o los valores “c”de la tesis.
6. Determine el valor de las constantes “ a” y “b” de tal forma que la funci´on f (x) sea diferenciable en R. f (x) =
(15Pts )
8Pts
8Pts
ex x 1 2 x + ax + b x > 1
≤
1 − . x 3x 1−x cuyas derivadas son: f (x) =
7. Analice la funci´on f (x) =
1
3
2
x4
y f (x) =
2(x2
− 2)
x5
Complete la siguiente informaci´on dejando evidencia de los resultados (1% c/u): (a) El dominio y rango de f (x) es: (b) Interceptos con los ejes coordenados: (c) As´ıntotas de la gr´afica: (d) Los n´ umeros cr´ıticos de f (x) son: (e) f (x) crece en: (f) f (x) decrece en: (g) La gr´afica de f (x) es c´oncava hacia arriba en: (h) La gr´afica de f (x) es c´oncava hacia abajo en: (i ) La gr´afica de f (x) tiene puntos de inflexi´on en: (j) f (x) tiene m´ınimos relativos o locales en: (k) f (x) tiene m´aximos relativos o locales en:
15Pts
MM-201/Repo, II Parcial 11/nov/2016 – P´ a gina 4 de 4 – Nombre: (l) Haga un bosquejo de la gr´afica de f (x) (4%):
Bono (10 Puntos) (10Pts ) 1. Determine el l´ımite lim+ tan 1 (x) x→0
