Electromagnetismo II Semestre: 2015-1 Reposición de primer parcial: Solución Dr. A. Reyes-Coronado Por: Jesús Castrejón Figueroa
Problema 1 (25pts) ~ (magnitud y dirección) a una distancia z0 sobre el centro de un cuadrado forCalcula el campo el eléctrico E mado por cuatro alambres de lado 2L, con densidad lineal de carga λ uniforme. Solución: Primero consideremos una barra unidimensional de longitud 2L con una carga Q uniformemente distribuida, como se muestra en la Fig. 1.a. Calcularemos el campo eléctrico en un punto situado a distancia d con respecto al centro de la barra, para ello habrá que sumar elemento infinitesimales de carga, ya que la ley de Coulomb solo nos da información acerca del campo eléctrico de cargas puntuales.
Figura 1: a) Una barra unidimensional uniformemente cargada. El campo eléctrico total en punto p a distancia d del centro de la barra tiene componente puramente a lo largo del eje Z. b) El campo producido por una espira cuadrada se puede visualizar como la suma de los campos de cuatro barras cargadas.
Si consideramos que la barra tiene una densidad lineal de carga λ = Q/2L, y consideramos un elemento infinitesimal de longitud dx, entonces el elemento infinitesimal de carga es dq = λdx
(1)
situado a una distancia x del origen en dirección del eje X positivo, entonces la magnitud del campo eléctrico producido por este elemento infinitesimal de carga sobre el punto p es ~ 1| = |dE
1 dq 1 λdx = 2 2 2 4πε0 x + d 4πε0 x + d2 1
(2)
por la ley de Coulomb. Ahora consideremos un elemento de carga situado a una distancia x del origen en dirección del eje X negativo (ver Fig. 1.a), la magnitud del campo electrico de estos dos elementos es la misma ~ 1 | = |dE ~ 2| |dE
(3)
Ahora sumemos estos elementos de forma vectorial, de la Fig 1.a podemos apreciar que la suma carece de componente a lo largo del eje X, es decir " # 1 λdx ~ 1 + dE ~ 2 = 2 cos φ dE eˆz (4) 4πε0 x2 + d2 ~ = dE ~ 1 + dE ~ 2 , entonces para calcular el a esta suma le llamaremos la diferencial del campo eléctrico total dE campo eléctrico total tenemos que sumar el campo producido por todos los pares de elementos de carga desde el origen hasta uno de los extremos de la barra, es decir el campo total es # " Z L λdx 1 ~ = eˆz (5) E 2 cos φ 4πε0 x2 + d2 0 La razón por la cual sumamos pares de elementos de carga en vez de elementos individuales es porque de esta manera logramos reducir lo que en general es una suma (integral) vectorial a una suma escalar, es decir, podemos sacar a eˆz de la integral. Además el ángulo φ depende de la coordenada x cos φ = √
d + d2
x2
Finalmente el campo eléctrico en el punto p viene dado por "Z # L 1 d ~ = E 2λ 2 dx eˆz 4πε0 0 (x + d2 )3/2 =
(6)
(7)
1 2λL √ eˆz 4πε0 d L2 + d2
El campo eléctrico de la espira cuadrada (E~sq ) de 2L por lado puede considerarse como p la suma (vectorial) de los campos eléctricos de 4 barras cargadas, usando la ecuación (46) y remplazando d → z02 + L2 , tenemos que 1 2λL √ E~sq = 4cos φ eˆz 4πε0 d L2 + d2 z0 1 2λL p p = 4p 2 eˆz 2 2 2 4πε 0 z0 + L z0 + L L2 + z02 + L2
(8)
(9) Si la espira tiene una carga total Q, entonces tenemos que λ=
Q 8L
(10)
y el campo de la espira es E~sq =
Q z p0 eˆz 2 4πε0 (z0 + L2 ) z02 + (2L)2 2
(11)
Problema 2 (25pts) Tres cargas están situadas en las esquinas de un cuadrado de lado a, como se muestra en la figura. (a) Calcula la cantidad de trabajo necesario para traer otra carga +q desde lejos hasta la cuarta esquina, que está vacía. (b) Calcula el trabajo necesario para construir el sistema completo de cuatro cargas.
Solución: Dado que el trabajo está dado como: W (~r ) = q φ(~r ),
(12)
sólo requerimos calcular el potencial escalar para el sistema mostrado en la figura: φ=
1 X qi , 4π0 i ri
(13)
siendo ri la distancia entre la carga qi y la esquina donde queremos colocar la carga +q (en este caso la esquina que no tiene carga). Entonces: 1 q q 1 −q −q φ= + +√ = −2+ √ , (14) 4π0 a a 4π0 a 2a 2 con lo cual el trabajo será: W = qφ =
q2 4π0 a
1 −2+ √ , 2
(15)
que es una cantidad negativa, por lo que el sistema hace el trabajo para traer una carga positiva hasta la esquina vacía del cuadrado!
Problema 3 (25pts) Un cascarón esférico posee una densidad de carga ρ(r) =
3
k r2
en la región a ≤ r ≤ b (ver figura), donde k es una constante. Calcula el campo eléctrico en las tres regiones: i) r < a, ii) a < r < b y iii) r > b. Grafica la magnitud del campo eléctrico como función de r. Solución: i) Debido a la simetría del problema es posible usar la ley de Gauss. Tomemos una esfera de radio r para la región 0 < r < a el campo eléctrico esta dado por: Z ~ · d~a = Qenc , 0 < r < a, E (16) 0 pero debido a que esta región la densidad de carga es cero la carga encerrada por la superficies gaussiana es cero, por lo tanto: ~ = 0, 0 < r < a. E (17) ii) Ahora consideremos una esfera de radio r con a < r < b, la carga encerrada por una superficie esférica de radio r es: Z r Z π Z 2π Z r k 2 2 Qenc = ρ(r)r sen (θ)drdθdφ = 4π r dr = 4πk(r − a). (18) 2 r a 0 0 a Por lo tanto la ley de Gauss nos da: Z Z ~ · d~a = E da = 4πr2 E = Qenc = 4πk(r − a)/0 ⇒ E = k r − a , E 0 0 r 2 o en forma vectorial,
~ = k r − a rˆ. E 0 r 2
(19)
(20)
iii) Para esta región usemos de nuevo una superficie esférica de radio r con r > b la carga encerrada por esta superficie es: Qenc = 4πk(b − a). (21) Por lo tanto el campo eléctrico está dado por: E(4πr2 ) = 4πk
b−a ~ = kb − a. ⇒ E 0 0 r 2
(22)
iv) Gráfica del campo como función de r En la siguiente imagen se presente la gráfica del campo como función de r. 4
Problema 4 (25pts) Calcula el potencial dentro y fuera de una esfera sólida cargada uniformemente de radio R, con carga total Q. Usa el origen en infinito para tu integración. Calcula el gradiente del potencial en cada región y corrobora que el resultado es correcto. Solución: Para calcular el potencial eléctrico hagamos uso de la siguiente definición Z r ~ · d~l. E ϕ(r) = −
(23)
∞
El campo eléctrico para una esfera uniformemente cargada está dado por QT 4π0 R3 r rˆ si 0 < r < R ~ = E QT rˆ si r>R 4π0 r 2
(24)
Por lo tanto el potencial eléctrico dentro de la esfera (0 < r < R) es r
Z R Z r ~ · d~l = − ~ · d~l − ~ · d~l = E E E ∞ ∞ R Z r Z R QT QT 1 dr − r dr = =− 4π0 r2 4π0 R3 R ∞ ( r ) R QT 1 1 r2 − = = 4π0 r ∞ R3 2 R QT 1 2 2 = 1+ (R − r ) = 4π0 R 2R2 QT r2 = 3− 2 si 0 < r < R. 8π0 R R Z
ϕ(r) = −
5
(25)
En la región (r > R) el potencial eléctrico es el mismo que el de una carga puntual con carga QT , tenemos Z r Z r QT rˆ ~ · d~l = − E dr = ϕ(r) = − 4π0 r2 ∞ ∞ (26) QT 1 = si r > R. 4π0 r Finalmente comprobemos que el resultado sea el correcto tomando el gradiente del potencial, para le región (0 < r < R), tenemos QT r2 ~ = −∇ϕ = −∇ QT = r rˆ, (27) 3− 2 E 8π0 R R 4π0 R3 para (r > R) tenemos ~ = −∇ϕ = −∇ E
QT 1 QT rˆ . = 4π0 r 4π0 r2
6
(28)
