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Descripción: Examen Calculo III
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Calculo Integral
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Descripción: Prueba Calculo I
Descripción: Parcial 1 Calculo 3
solucion
Descripción: Examen Parcial - Semana 4 - Calculo I
Hallar la segunda derivada de las siguientes funciones: 2
y = x lnx y =
senx x
2
2
x
y = e
2
y = x lnx
[ ] [
d ( lnx ) dx
]
d ( lnx ) dx + ( lnx ) dx dx
]
d ( x y ´ =lnx dx
2
)
+ x
y ´ =lnx ( 2 x ) + x
2
2
() 1
x
( ) 2
y ´ =( 2 xlnx ) +
x x
y ´ =2 xlnx + x
y ´ = 2 xlnx + x
[
y ´ ´ =2 ( x )
[ ( )+ (
lnx ) ( 1 )
[
1
y ´ ´ =2 ( x )
y ´ ´ =2
1
x
x +lnx x
]+
y ´ ´ =2 [ 1+lnx ] + 1
]
+1
+
dx dx
y ´ ´ =2 + 2 lnx +1 y ´ ´ =3 + 2 lnx
senx y = x
y ´ =
2
[
d ( senx x dx
2
]
)
− sen x
x
2
[ ] dx dx
2
cosx d ( x ) x [( ¿¿ 2) ∙ ]− sen x 2 dx x 2 y ´ =¿ 2
y ´ =
x ( cos x
2
) ( 2 x ) −sen x x
2
y ´ =
2 x cos x
x 2
y ´ =
2
2 x cos x
x
2
2
−sen x
2
2
2
2
−
2
sen x x
senx y ´ =2 cos x − 2 x
2
sen x
2
2
2
y ´ =2cos x
y ´ ´ =2
[
[
2
−
dcos x dx
x
2
2
[ ]
( x ) d ( sen x ) −( sen x ) d ( x ) 2
2
2
2
dx
−
dx
]
2 2
( x ) ) [ ]
d ( x y ´ ´ =2 (−sen x ) − 2
2
dx
( x ) ( cos x ) d ( x dx
2
2
2
)
−−( sen x ) ( 2 x )
2 2
( x )
2
]
[ (−sen x
y ´ ´ =2
2
[
( )( ) ( ) ) ( 2 x ) ]− x cos x ( 2 x )− sen x ( 2 x ) ( x )
y ´ ´ =2 (−2 xsen x
2
)−
2
y ´ ´ =−4 xsen x
y ´ ´ =−4 xsen x
2
−
−
3
2 x cos x
2 x cos x
x
2
4
2 cos x
2
+
x
+
¿
2
( 2 x ) ] 2
y ´ =2 x e
x
y ´ =2 x e
x
2
y ´ ´ =2
[
d ( e ( x ) dx
y ´ ´ =2
[
d ( x ( x ) (2 x e ) dx
x
2
)
][
+ ( e x ) 2
2
x
x
2
2
)
]
d ( x ) dx
]
+ e x
x
y ´ ´ =2 ( x )( 2 x e ) ( 2 x ) + e
2
x
x
y ´ =¿ x
2 xsen x
2 sen x
e 2 d ( x ) 2 (¿ ¿ x ) dx
[
+ 2 xsen x 2 2
2
y ´ = e
2
( x )
x
y = e
2
2 2
3
2
2
2
3
4
2
2
2
]
y ´ ´ = 4 x
2
x
2 x e
2
+ e x
2
Velocidad lineal y velocidad angular: La patrulla de la figura esta estacionada a 50 pies de un largo almacén. La luz de su torreta gira a 30 revoluciones por minuto. ¿A qué velocidad se está moviendo la luz a lo largo del muro cuando el haz forma ángulos de: a ! " 30# $ ! " %0# c ! " &0#
w=
30 rev
min
1 rev
= 2 πrad
=
w =30
(
2 πrad 60 seg
)
=
60 πrad 60 seg
=
πrad seg
Por otro lado, el triángulo de la figura lo vamos a relacionar, el ángulo “θ” y el largo del muro “x”. Para eso escribimos: tanθ =
x → x =( 50 pies ) tanθ 50 pies
Y derivamos con resecto al tiemo: dx d = ( 50 pies ) tanθ dt dt dx d = (50 pies ) tanθ dt dt
!ecordando "ue
d 2 du tanu =se c u dx dx
#ntonces: dx dθ = (50 pies ) se c 2 θ dt dt
Por otro lado, recordamos "ue la velocidad $lineal% instantánea se define como: dx =Vl dt
Y la velocidad angular instantánea como:
W =
dθ dt
&on todo esto tenemos "ue:
dx dθ = (50 pies ) se c 2 θ → Vl =( 50 pies ) se c 2 θ W dt dt
