Examen CI42G Dinámica de Estructuras Prof: Rubén Boroschek Krauskopf. Aux: Francisco Hernández Prado. Miércoles 22 de Noviembre de 2006
P1. Para la estructura que se muestra en la figura determine el giro máximo del centro de gravedad de la plancha de acero ante un sismo vertical del tipo sinusoidal. Considere solo régimen permanente.
β 1 = 5% β 3 = 3% K = 200
kgf
g = 9,8 m
m s
2
P2. Para el edificio de corte que se muestra en la figura determine el máximo corte basal que se produce por un impacto horizontal en el segundo piso. El segundo piso posee una masa bastante mayor al piso 1 y 3, por tanto condensar los lo s grados de libertad estáticos. Desprecie el amortiguamiento.
EI = 1000 kgf ⋅ m 2 po = 10 kgf m2 = 10 kgf ⋅ s / m 2
Examen CI42G Dinámica de Estructuras Prof: Rubén Boroschek Krauskopf. Aux: Francisco Hernández Prado. Miércoles 22 de Noviembre de 2006
P3. Para la estructura que se muestra en la figura determine los desplazamientos máximos de piso, los desplazamientos relativos máximos de entre piso, y el corte máximo basal, Considerando sismo horizontal representado por el espectro. Utilice combinación del tipo SRSS ó CQC.
Espectro sísmico.
⎡
1.5 T ⎞ ⎤ ⎛ 1 + 4.5⋅ ⎣ ⎝ 0.3 ⎠ ⎦ Sa( T) := 0.5⋅ ⎡ ⎛ T ⎞ 3⎤
1+
⎣
.
⎝ 0.3 ⎦
2
Sa( T1 )1
0
0
1
2 T1
W = 10 tonf k piso = 1000 g = 9,8 m
s
2
tonf m
3
Pauta Examen CI42G: (Primavera 2006)
ORIGIN
P1 :
≡
1
a := 0.2
b := 0.6
β 1 :=
β 3 :=
5%
3%
g := 9.8
k := 200
ugo := 0.3⋅ g
wsol := 17
γ :=
0.01 7850⋅ g
γ =
8.01
Matriz de Masa y Rigid ez:
⎛ γ ⋅ a⋅ b 0
⎜ M := ⎜
0
⎝
0
0
γ ⋅ a⋅ b
0
γ ⋅ a⋅ b ⋅
0
⎡ 1 ⎢ ⎢ K := ⎢ 0 ⎢ ⎢ b − 2a ⎣ 4
−
⎞
⎟ 2 2⎟ a + b
2 b 4
=
⎠
12
⎤ 4 ⎥ ⎥ b ⎥ ⋅ k 4 ⎥ 2 2 ( b − a) + a ⎥ 8 ⎦ b
0
M
⎛ 0.9612
0
0
0
0.9612
0
0
0
⎜ ⎝
⎞
0.032 ⎠
2a
⎛ 200 K =
0
⎜ ⎝ 10
0
10 ⎞
400 30 30
5 ⎠
Períodos, frecuencias angulares y formas mo dales:
(
w :=
−1
eigenvals M
Φ :=
(
⎛ 7.363 ⎞
⋅ K )
w=
⎛ −0.067
⋅ K )
−1
eigenvecs M
14.932
⎜ ⎝ 22.430 ⎠
Φ = −0.086 −0.131
⎜ ⎝ 0.994
Mm :=
Φ ⋅ M⋅ Φ
Mm
=
⎛ 0.043
0
0
0.348
0
0
⎜ ⎝
0.813
T
w
=
0.421
⎜ ⎝ 0.280 ⎠
−0.033 ⎞ −0.338 −0.941 ⎠
i := 1 .. 3
Masa Modal y rigidez Modal:
T
T :=
0.568
⎛ 0.853 ⎞
2 ⋅ π
0
⎞
0 0.139 ⎠
Km :=
T
Φ ⋅ K ⋅ Φ
Km =
⎛ 2.335
0
0
0
77.541
0
0
0
⎜ ⎝
⎞
69.919 ⎠
Rayleigth:
⎛ 1
⎞ w 1
w
⎟ ⋅ ⎛ β 1 ⎞ ⎟ ⎝ β 3 ⎠ w 3 ⎠
⎜ 1 ctesRayleigth := 2 ⎜ 1 ⎜w ⎝ 3 1
β 2 :=
2
⋅
⎛ ctesRayleigth1 w
⎝
−1
+
ctesRayleigth
ctesRayleigth ⋅ w 2
2
⎞
β2 =
2
⎠
=
⎛
⎞
0.663
−3
⎝ 1.358 × 10 ⎠
3.233 %
(Amortiguamiento Modo 2)
Factor de Participación Modal:
⎛ 0 ⎞ r :=
Lm :=
1
⎜ ⎝ 0 ⎠
⎛ −0.082 ⎞
T
Φ ⋅ M⋅ r
Lm
= −0.126 (Participan todos los modos, modos ⎜ ⎝ −0.325 ⎠ acoplados)
Calculo d e FAD (D) y de desfase angular ( , para cada modo:
δi :=
⎛ 2.309 ⎞
wsol
δ=
w
i
θ i :=
atan
1.139
D
⎜ ⎝ 0.758 ⎠
⎡ 2⋅ β i⋅ δ i ⎤ 2
⎣ 1 − ( δ i) ⎦
i
⎛ 0.231 ⎞
1
:= 1
− (δ i)
2
D=
2
+
( 2⋅ β i⋅ δ i)
2
3.276
⎜ ⎝ 2.337 ⎠
⎛ −0.053 ⎞ θ = −0.244
⎜ ⎝ 0.106 ⎠
(desfase angular por modos)
Los Amplitudes de giros o máximos giros por modos son:
θmi :=
⎛ 0.0238 ⎞
−ugo⋅ Lmi⋅ Di⋅ Φ 3 , i
θm =
Km
i, i
0.0127
⎜ ⎝ −0.0300 ⎠
(máximo giro por modo)
El maximo giro es:
⎡
2
⎤ ⎡ 3 ⎤ θmax := (θmk ⋅ sin( θ k ) ) + ( θmk ⋅ cos( θ k ) ) ⎣k = 1 ⎦ ⎣k = 1 ⎦ 3
∑
∑
2
θmax =
0.0098
P2 :
Paut a Ex am en CI42G: (Pr im av er a 2006) h1 := 2.5
h2 := 2.5
m := 10
h3 := 3.5
EI := 1000
td := 0.2 po := 10
Matriz de Rigidez:
⎛ 24⋅ EI + 24⋅EI − 24⋅EI 3 3 ⎜ h13 h2 h1 ⎜ 24⋅ EI ⎜ − 24⋅ EI K := 3 3 ⎜ h1 h1 ⎜ ⎜ −24⋅ EI 0 3 h2 ⎝
−24⋅ EI
⎞ 3 ⎟ h2 ⎟ ⎟ 0 ⎟ ⎟ 24⋅ EI 24⋅ EI ⎟ + 3 3 h2 h3 ⎠
⎛ 3072 −1536 −1536 ⎞ K =
−1536
1536
⎜ ⎝ −1536
0
0 2095.767 ⎠
Condensacion de Matriz de Rigidez:
Kaa := K
Kaa
1, 1
=
3072
i := 1 .. 2 Kap
:= 1, i
K
1 , i+ 1
Kap
T
= ( −1536 −1536 )
Kpa := Kap
Kpa
=
⎛ −1536 ⎞ ⎝ −1536 ⎠
j := 1 .. 2 Kpp
:= i, j
K
i+ 1 , j+ 1
Kcond := Kaa
w :=
Kpp
Kcond m
−
Kap⋅ Kpp
−1
⋅ Kpa
w = 6.405
=
⎛ 1536 ⎝ 0
⎞ 2095.767 ⎠ 0
Kcond
T :=
=
2 ⋅ π w
410.256
T
=
(matriz de rigidez condensada)
0.981
td T
=
(El maximo desplazamiento ocurre en Fase II), y es menor que 0,25 por lo que se puede utilizar Teoría de impacto corto.
0.204
Utilizando Teoria de impacto corto.
Luego el desplazamiento máximo es (dos formas): po⋅ td
vmax :=
vmax = 0.031
m⋅ w
vpisos :=
−Kpp
−1
⋅ vmax ⋅ Kpa
vpisos =
⎛ 0.031 ⎞ ⎝ 0.023 ⎠
El corte máximo será simplemente: Qmax := Kcond⋅ vmax
Qmax = 12.81
Qmax :=
24⋅ EI 3
h3
⋅ vpisos2
Qmax = 12.81
Luego utilizando el espectro de impacto, se puede obtener el maximo desplazamineto:
⎛ π ⋅ td ⎞ ⎝ T ⎠
D := 2⋅ sin
vmax :=
po
D = 1.195
⋅D
Kcond
Amplificacion dinámica.
vmax = 0.029
El corte máximo será simplemente: Qmax := Kcond⋅ vmax
Qmax = 11.952
Notar que el corte máximo es igual a la carga por el factor de amplificacion dinámico (D) Si se piensa en aceleraciones, la aceleracion maxima será w^2 x vmax (Fase II), con lo que se obtiene el mismo resultado. Ademas como participa escencialmente un modo (estructura de 1GDL), se obtiene los desplazamientos máximos de los otros pisos vpisos :=
−Kpp
−1
⋅ vmax ⋅ Kpa
vpisos =
⎛ 0.029 ⎞ ⎝ 0.021 ⎠
Luego el corte máximo será: Qmax :=
24⋅ EI 3
h3
⋅ vpisos2
Qmax = 11.952
P3 :
Pau ta Ex am en CI42G: (Pr im av er a 2006)
kpiso := 1000
⎛ T ⎞ 1 + 4.5⋅ ⎝ 0.3 ⎠ Sa( T) := 0.5⋅
W := 10
⎛ T ⎞ 1+ ⎝ 0.3 ⎠
g := 9.8
1.5
3
2
Sa( T1)1
0
0
1
Matriz de Masa y Rigid ez:
⎛ W M :=
0 ⎞
0
0
⋅
W 0
⎜ ⎝ 0
W ⎠
0
⎛ 0.5 −0.5 K :=
M
g
=
⎜ ⎝
0
0
0
1.02
0
0
0
⎞
1.02 ⎠
⎛ 500 −500
0 ⎞
−0.5
1.5
−1 ⋅ kpiso
0
−1
2.5 ⎠
⎜ ⎝
3
T1
⎛ 1.02
1
2
K =
0
⎞
−500
1500
−1000
0
−1000
2500 ⎠
⎜ ⎝
Períodos, frecuencias angulares y formas mo dales:
w :=
Φ :=
−1
⋅ K )
(
−1
eigenvecs M
Mm :=
⎛ 1.02 Mm
(
eigenvals M
=
⎜ ⎝
⋅ K )
⎛ 14.273 ⎞ w=
33.529
⎜ ⎝ 55.516 ⎠ ⎛ −0.843
Km :=
Φ ⋅ M⋅ Φ 0
0
1.02
0
0
0
⎞
1.02 ⎠
0.528
T
w
=
0.187
⎜ ⎝ 0.113 ⎠
0.102 ⎞
Φ = −0.493 −0.683 −0.539 ⎜ ⎝ −0.215 −0.505 0.836 ⎠
T
0
T :=
⎛ 0.44 ⎞
2 ⋅ π
⎛ 207.887 Km =
0
⎜ ⎝ −0
T
Φ ⋅ K ⋅ Φ −0 1147.14 0
−0 −0
⎞
3144.973 ⎠
i := 1 .. 3
Calculando el Corte basal Máximo
⎛ 1 ⎞ r :=
1
⎜ ⎝ 1 ⎠
⎛ −1.583 ⎞
T
Lm :=
Φ ⋅ M⋅ r
= −0.674
Lm
⎛ 1.082 ⎞ Saa
i
:=
( i)
Sa T
Saa
=
Meff
⎜ ⎝ 0.407 ⎠
i
3
Mm
⎛ 2.454 ⎞
2
Meff =
i, i
0.445
⎜ ⎝ 0.162 ⎠
3
∑
1.295
⎜ ⎝ 0.969 ⎠
:=
(Lmi )
Meff
k
=
3.061
k = 1
∑
M
k , k
=
3.061
k = 1
⎛ 2.655 ⎞ Qmodal := Meff ⋅ Saa i
i
Qmodal
i
3
Qmax :=
∑
(Qmodalk )
2
=
Qmax
0.576
⎜ ⎝ 0.157 ⎠ =
2.721
k = 1
Desplazamientos Máximos de Piso
Ymax
i
:=
Lm ⋅ Saa i i Mm
⋅ ( wi)
⎛ −0.0082 ⎞ 2
Ymax
= −0.0008
⎜ ⎝ 0.0001 ⎠
i, i
⎛ 0.0069 ⎞ vmax1
i
:= Φ i , 1 ⋅ Ymax 1
vmax1 =
⎛ −0.0004 ⎞
0.0041
⎜ ⎝ 0.0018 ⎠
vmax2
i
:= Φ i , 2 ⋅ Ymax 2
vmax2 =
0.0005
⎜ ⎝ 0.0004 ⎠
⎛ 0.0000 ⎞ vmax3
i
:= Φ i , 3 ⋅ Ymax 3
vmax3 =
2
2
∆maxi :=
−0.0001
⎜ ⎝ 0.0001 ⎠
(vmax1i) + (vmax2 i) + (vmax3i)
2
⎛ 0.007 ⎞ ∆max =
0.0041
⎜ ⎝ 0.0018 ⎠
Desplazamientos Máximos Relativos de Piso j := 1 .. 2
∆relmax j :=
2
2
+ ( vmax3 j − vmax3 j+1) (vmax1 j − vmax1 j+1) + (vmax2 j − vmax2 j+ 1)
∆relmax3 := ∆max3
⎛ 0.0030 ⎞ ∆relmax =
0.0023
⎜ ⎝ 0.0018 ⎠
2
