Ingenieria Antisismica Yaneth

DEDICATORIA A mis padres que día a día me brinda su apoyo.

UNIVERSIDAD NACIONAL DE HUANCAVELICA Escuela Academica Profesional de Ingenieria Civil Sistemas con un grado de libertad

SISTEMAS CON UN GRADO DE LIBERTAD SIN – CON (AMORTIGUACIÓN) Un sistema de un grado de libertad (1 GDL) se DEFINICIÓN: Define como aquel que solo es posible un tipo de movimiento, es decir, la posición del sistema en cualquier instante puede ser definida por la de una sola coordenada.

RIGIDEZ Cuando se aplica una fuerza a una estructura, esta se desplazará en la dirección de la fuerza. La rigidez se define como el cociente entre la fuerza aplicada y el desplazamiento producido. Sistemas rígidos tienen deformaciones pequeñas (gran rigidez), y sistemas flexibles tienen deformaciones grandes (poca rigidez).

La rigidez es determinada con fórmulas de la Mecánica de Materiales:

Yaneth Huarcaya Huamán

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SISTEMAS CON UN GRADO DE LIBERTAD SIN – CON (AMORTIGUACIÓN) Un sistema de un grado de libertad (1 GDL) se DEFINICIÓN: Define como aquel que solo es posible un tipo de movimiento, es decir, la posición del sistema en cualquier instante puede ser definida por la de una sola coordenada.

RIGIDEZ Cuando se aplica una fuerza a una estructura, esta se desplazará en la dirección de la fuerza. La rigidez se define como el cociente entre la fuerza aplicada y el desplazamiento producido. Sistemas rígidos tienen deformaciones pequeñas (gran rigidez), y sistemas flexibles tienen deformaciones grandes (poca rigidez).

La rigidez es determinada con fórmulas de la Mecánica de Materiales:


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LA RIGIDEZ ELÁSTICA ES DETERMINADA CON FÓRMULAS DE LA MECÁNICA DE MATERIALES:


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SISTEMAS QUIVALENTES (SERIE)

SISTEMAS QUIVALENTES (PARALELO)

PROPIEDADES DINAMICAS:


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AMORTIGUAMIENTO: El amortiguamiento estructural no es viscoso. El amortiguamiento se debe a: 

Amortiguamiento en elementos estructurales y juntas.



Amortiguamiento histerético por las características de la fuerza restauradora elasto-plástica.



En elementos no estructurales.



Por disipación de energía en el terreno.

Los mecanismos no están bien entendidos. Dificultad para incluirlo exactamente en las ecuaciones de movimiento. Dificultad computacional en la solución. Sus efectos usualmente son aproximados mediante un a mortiguador viscoso.

2.1.1 TIPOS DE EXCITACIONES DINAMICAS a).- Excitaciones Periódicas: Son aquellas que se repiten por ciclos a lo largo del tiempo:

Figura 1.1 Función periódica con amplitud F0, repite todas sus características después de un tiempo determinado llamado periodo T.

b).- Excitaciones no-periódicas: Se identifican según su duración, como cortas, medianas y de larga duración.

Figura 1.2 Cargas de corta duración, se aplican en períodos de tiempo pequeños que se denominan impulsos.

Para saber si la duración es pequeña o no, se debe de comparar con el período de la estructura. Por ejemplo, las explosiones son cargas de impulso. Ya que su duración puede ser mucho menor que la del periodo de oscilación de la estructura:


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2.1.2 CARACTERÍSTICAS DE LOS PROBLEMAS DINÁMICOS A diferencia de los problemas estáticos, los parámetros en los problemas dinámicos están en función del tiempo, esto es, tanto las características de la carga o excitación, como las de las propiedades de la estructura, varían o dependen del tiempo.También se generan fuerzas de inercia al perturbar el equilibrio de las masas de la estructura, tales fuerzas de inercia son de sentido contrario al desplazamiento x, ya que la inercia es la propiedad de la masa de oponerse al cambio de movimiento. Las fuerzas de inercia son proporcionales a la aceleración y valen:

2.1.3 EQUILIBRIO DINÁMICO Imaginemos que podemos tomar una fotografía de una estructura en movimiento en un instante de tiempo, para que se pueda plantear la ecuación de equilibrio con todas las fuerzas que intervienen en ese instante, a este planteamiento se le co noce como equilibrio dinámico o Principio de D´Alembert. Con el procedimiento anterior se puede establecer la ecuación de movimiento de la estructura.

Figura 1.4 Fuerzas que intervienen en el equilibrio dinámico de una estructura: Fuerzas elásticas, Fuerzas de amortiguamiento, Fuerzas de inercia.

En ese instante de tiempo (t), se tienen que considerar las siguientes fuerzas que intervienen cuando a la estructura se le perturba con la aplicación de una fuerza dinámica: 1. Fuerzas restauradoras elásticas (o inelásticas) 2. Fuerzas de amortiguamiento 3. Fuerzas de inercia 4. Fuerzas excitadoras


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PROBLEMAS 1.1 Determine el período natural-del sistema representado en la figura P1-1. No considere la masa de la viga o de los resortes que soportan el peso W.

Solución: Diagrama de cuerpo libre: (D.C.L.)

……………. (1)

Dónde:

Demostrando “ ”:

; RA = 0

MA = wL

En corte (1-1): Yaneth Huarcaya Huamán

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Hallando con el método de la doble integración:

Dónde:

;

; El Signo (-) Indica hacia abajo.

EN EL GRAFICO (1): 

Hallando: “

”; se puede tener de la siguiente manera:

; en paralelo

Dónde:



Ahora hallando “m”.



Hallando W.


8




Finalmente; reemplazando.



Ahora, hallando lo pedido. (Periodo Natural)

Reemplazando:

Rpta.

1.2 Los siguientes valores numéricos se asignan al problema 1.1: L = 250 cm, (kp . cm),

W =

1400 kp, y

k =

2300 kp/cm. Si el peso

y una velocidad inicial

W tiene

un desplazamiento inicial

, determine el desplazamiento y la

velocidad al cabo de un segundo.

Solución: Datos:

L =

250 cm

W = k =

1400 kp

2300 kp/cm

W :


9




Ahora hallando “m”.



Hallando W.



Hallando C:



Hallando

Rpta.



Derivando

Rpta.


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1.3 Determine la frecuencia natural para el movimiento horizontal del pórtico de acero en la figura P1-3. Considere las vigas horizontales infinitamente rígidas y desprecie la masa de las columnas.

.

Solución: (D.C.L.)



Hallando “

”: (en paralelo).


11




Hallando “



Hallando W.

”: como es dato m = 25000kp.

Reemplazando:

Finalmente: Frecuencia Natural.

Rpta.

1.4 Calcule la frecuencia natural del movimiento horizontal del pórtico de acero de la figura P1-4 en los siguientes casos: (a) si el miembro horizontal es infinitamente rígido; (b) si el miembro horizontal es flexible y tiene un momento de inercia de


.

12


Solución: 



Hallando: “m”.

Hallando: “w”.



Hallando: “RA y RB”.



Definiendo los grados de libertad:


13




Hallando la rigidez equivalente:





;








14








Entonces nuestra matriz nos quedaría: (rigidez)

Ahora:

Dónde:

Remplazando:

Hallando:


15

UNIVERSIDAD NACIONAL DE HUANCAVELICA Escuela Academica Profesional de Ingenieria Civil Sistemas con un grado de libertad Como:

Finalmente, Frecuencia Natural:

Rpta.

1.5 Determine la frecuencia natural de la viga empotrada mostrada en la figura P1-5 que soporta un peso

W en

su centro. Desprecie la masa de la viga.

Solución: (D.C.L.) Para distancias; a y b, Luego hallaremos para L/2.


16




Hallando “”. En corte (1 -1).

Doble Integración:

Dónde:



, cuando

En el Problema:


;

17


Remplazando en “ ”:

Ahora:

De igual manera, como en el problema (1). ;



Hallando “m”:



Hallando “w”:



Hallando, finalmente Frecuencia Natural.

Rpta.


18


1.6 Se dan los siguientes valores numéricos al problema 1.5: L = 3 m, cm2), y

W =

(kp .

2300 kp. Si el desplazamiento inicial y la velocidad inicial del peso W son,

respectivamente,

y

, determine el desplazamiento, la

velocidad, y la aceleración de W en el instante t = 2 seg.

Solución: 

Hallando W.



Hallando C:



Hallando

Rpta.



Derivando

Rpta.


19




Derivando

Rpta.

1.7

Considere el péndulo simple de masa “m” que se muestra en la figura. (Un péndulo simple

es una partícula o masa concentrada que oscila en un arco vertical y que esta sostenida por una cuerda de masa insignificante.) Las únicas fuerzas que actúan en la masa “m” son: la fuerza de la gravedad y la tensión en la cuerda (despreciando las fuerzas de fricción). Si la longitud de la cuerda es L, determine el movimiento del péndulo para un ángulo de oscilación θ pequeño y para un desplazamiento y velocidad inicial

y

,

respectivamente.

Solución:

Rpta.


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1.8 Escriba la ecuación diferencial para el movimiento del péndulo invertido mostrado en la figura y determine su frecuencia natural. Considere pequeñas oscilaciones y desprecie la masa de la barra.

Solución:



Haciendo suma de fuerzas en el diagrama de cuerpo libre:



Reacomodando términos y sustituyendo el valor de “ k ”, se obtiene finalmente la

ecuación diferencial del movimiento.

Rpta.


21


1.9 Una barra vertical de longitud “L” y rigidez de la flexión “EI” sostiene una masa “m” en el extremo, como se muestra en la figura. Despreciando la masa de la barra, deduzca la ecuación diferencial para oscilaciones horizontales pequeñas y encuentre la frecuencia natural. Considere que el efecto de la gravedad es insignificante y que los efectos no lineales pueden ser despreciados.

Solución:



Haciendo suma de fuerzas en el diagrama de cuerpo libre:



Reacomodando términos y sustituyendo el valor de “k”, se obtiene finalmente la

ecuación diferencial del movimiento.

Rpta. Yaneth Huarcaya Huamán

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1.10

Determine una expresión de la frecuencia natural para cada uno de los casos mostrados en la figura. Las vigas son uniformes con un momento de inercia “I” y módulo de elasticidad “E”. Desprecie la masa de las vigas.

a)

Solución:

(para la viga)



Hallando la rigidez total



Hallando W frecuencia natural


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

Frecuencia natural en cps

Remplazando los valores obtenidos

Rpta.

b)

Solución:

(Para la viga)





24











c)

Solución:

(Para la viga) Yaneth Huarcaya Huamán

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











d)

Solución:

(Para la viga)


26












27


1.11

Una estructura ha sido modelada, como se muestra en la figura, por dos masas, , conectadas por un resorte de constante “k”. Determine para este modelo la

ecuación diferencial del movimiento en función del desplazamiento relativo entre las dos masas. Determine también la correspondiente frecuencia natural.

Solución:

2.1 Repita el problema 1.2. suponiendo que la amortiguación en el sistema es igual al 15% de la amortiguación critica.

Solución:


28



29


Calculando desplazamiento un segundo después.

Calculando velocidad un segundo después.

2.2 Repita el problema 1.6. suponiendo que la amortiguación en el sistema es el 1% de la amortiguación critica.

Solución:


30


2.3 Se ha observado que la amplitud de vibración del sistema en la figura, decrece un 5% en cada ciclo. Determine el coeficiente de amortiguación “c” del sistema. En este sistema

kp/cm y

Solución:


31


2.4 Se ha observado experimentalmente que la amplitud de vibración libre de cierta estructura, modelada como un sistema con un grado de libertad, decrece de 2.5 cm a 2.0 cm en 10 ciclos. ¿Cuál es el porcentaje de amortiguamiento en el sistema con respecto a la amortiguación crítica?.

Solución:

2.5 Demuestre que los desplazamientos en sistemas con amortiguación crítica y con amortiguación sobrecrítica, para un desplazamiento inicial

y una velocidad inicial

pueden ser descritos como: para para

Dónde:

Solución:


32


2.6 Una estructura se modela como un oscilador con amortiguación. La constante de su resorte es

y su frecuencia natural sin amortiguación

Experimentalmente se determinó que una fuerza de relativa de

.

producía una velocidad

en el elemento de amortiguación. Determine:

a) La razón de amortiguación . b) El periodo de amortiguación c)

.

El decremento logarítmico δ

d) La razón entre dos amplitudes consecutivas máximas.

Solución:


33


2.7 En la figura 2.4. se ha indicado que los puntos de tangencia a la curva del movimiento corresponden a la condición entre dos puntos de tangencia consecutivos es

. En consecuencia, la diferencia en . Demuestre que la diferencia en

entre dos amplitudes consecutivas máximas es también igual a

.

Demuestre que en sistema subamortiguado es vibración libre el decremento logarítmico puede escribirse como:

Donde

es el número de ciclos entre las amplitudes máximas

e

Solución:

2.8 Un sistema con un solo grado de libertad se compone de un peso de de rigidez

y un resorte

. Experimentalmente se ha determinado que una fuerza de

produce una velocidad relativa de

. Determine:

a) La razón de amortiguación . b) La frecuencia de vibración con amortiguación

.

c) El decremento logarítmico δ. d) La razón de dos amplitudes consecutivas máximas.

Solución:


34


2.9

Resuelva el problema 2.9. suponiendo que el coeficiente de amortiguación es .

Solución:

Amortiguación critica


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a). Coeficiente de amortiguación.

b). frecuencia de vibración con amortiguamiento.

c). decremento de amortiguación. 2 d). La razón de amplitudes consecutivas máximas.

2.10

Un sistema es modelado por dos masas vibratorias resorte

y

interconectadas por un

y por un elemento de amortiguación “ ” como se muestra en la figura.

Determine para este sistema la ecuación diferencial del movimiento en función del movimiento….

Solución:


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2.11

Determine el movimiento relativo

para el sistema mostrado en la figura

en función de la frecuencia natural “ ”, la frecuencia con amortiguación “

” y la

razón de amortiguación “ ”. Sugerencia: Defina la masa equivalente del sistema, .

Solución:


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Ingenieria Antisismica Yaneth

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