Antisismica Ing Santa Ana-1

Principios Básicos y Aplicaciones

Ing. Ronald Santana Tapia

INGENIERÍA ANTISÍSMICA

PRINCIPIOS BÁSICOS Y APLICACIONES

Es propiedad del autor, ninguna parte de este libro puede ser reproducida o trasmitida, mediante algún sistema o método electrónico o mecánico (Incluyendo el fotocopiado, la grabación o cualquier sistema de recuperación y almacenamiento de información), sin consentimiento por escrito del autor.

© Autor-Editor:

Ing. Ronald Santana Tapia

Av. Argentina S/N Pilcomayo Telef.: 986399195 Huancayo –Perú Ilustración: Heli Loardo Justo Primera edición, 2013. Tiraje: 500 ejemplares

Hecho el Depósito Legal en la Biblioteca Nacional del Perú Nº 2013-11381

ISBN: 978-612-00-1322-9 Impreso en:

International Star Student ISS-PERÚ.

Av. Argentina S/N Pilcomayo. Huancayo, agosto, 2013

DEDICATORIA:

Este texto fruto de muchos años de trabajo e investigación en el campo de la ingeniería sismorresistente, está dedicado con mucho

Her linda Marlene Marlene cariño y afecto a mi hermana Herlinda quién en estos tiempos es la imagen y ejemplo de quien en vida fue mi adorada y entrañable madre Herlinda C erafina.

i

A G R A DE C IMI E NTO: NT O:

Deseo expresar mi gratitud y reconocimiento a mis alumnos del ciclo de verano 2012-III de la FIC-UNCP; a Roy Marmolejo, a Katherine Bastidas, a Konrad Claros, a Julio Cruz, a Davi Huamán, a Diego Conde, a Ángel Santos, a Cristian Aliaga, a Andeer Álvarez, a Wilmer Quispe, a Joseph Alarcón, a Yony Escobar, a Hugo Gonzales, a Roly Leiva, a Joel Mattos, a Mario Rodrigo, a Fiorella Condor, a Vladimir Gaspar, a Emilio Orellana, a Niik Gamarra, a Jhon Camargo, a Jan Olivares, a Charly Rodríguez y a todas las personas que contribuyeron directa e indirectamente a la cristalización de este libro. Por el apoyo y sugerencias en el digitado de los capítulos del presente texto, mil gracias y les deseo de todo corazón éxitos en su vida profesional y personal.

ii

PROLOGO Con mucha satisfacción me permito presentar este libro desarrollado por un gran Ingeniero Civil dedicado a la investigación científica para el desarrollo del país. Puedo decir que esta publicación es de gran importancia para los estudiantes y profesionales dedicados al área de ingeniería estructural ya que encontrarán en este libro soluciones a los problemas con una metodología didáctica para entender el comportamiento de las estructuras bajo acciones de las fuerzas sísmicas. Como se sabe, hoy existe un mapa mundial de sismología, donde están clasificados todos los sismos ocurridos y las zonas más proclives a recibirlos debido al plegamiento de las placas tectónicas de la Tierra. Sin embargo, no existe ningún método capaz de detectar dónde y cuándo se producirá un sismo debido al comportamiento no lineal y bastante caótico que tienen los movimientos sísmicos y no es posible determinar y detectar de qué manera se deforman las placas tectónicas y se producen los movimientos rocosos terrestres que podrían anunciar un movimiento telúrico de gran magnitud como el ocurrido en Haití. Por el momento, la única manera de reducir los daños y el número de víctimas en las zonas susceptibles de sufrir un terremoto es entender los principios básicos de ingeniería sismo resistente para poder realizar un diseño estructural con criterios adecuados siendo el objetivo principal de esta publicación.

Ph. D. Ing. Mohamed Mehdi Hadi Mohamed

iii

P R E FA C I O

El deseo más grande que alimente en mi ser y que hoy se hace realidad, es precisamente el de escribir este texto de ingeniería antisísmica, curso del cual vengo enseñando por muchos años en universidades de Lima y ahora en la FIC-UNCP de Huancayo mi tierra natal. Al escribir este texto no pretendo ser riguroso en su contenido, más bien trato de desarrollar los temas en forma didáctica y simple en cumplimiento al silabo propuesto por la FIC-UNCP y que tiene como referencia los propuestos por universidades prestigiosas como UNI y la PUCP de Lima; a las aplicaciones prácticas de casos reales se adjunta un compilado de información importante que existe dispersa en la literatura del medio físico y virtual y que fueron desarrollados por investigadores nacionales y extranjeros del campo de la ingeniería estructural y del diseño sismorresistente. Sin duda alguna y si Dios me permite, buscare mejorar en una próxima edición. El campo de la ingeniería antisísmica es amplio y fascinante, existe mucho por explorar e investigar, es así que en la actualidad se van creando nuevas técnicas y metodologías de análisis y diseño sismorresistente buscando que nuestras estructuras presenten una mejor performance o desempeño estructural ante las acciones impuestas por el sismo. Si bien este texto está limitado al estudio del análisis sísmico de estructuras en el rango lineal y elástico por los métodos estático y dinámico, busca que nuestras estructuras tengan un comportamiento sísmico satisfactorio acorde con la filosofía y principios que exige la norma peruana E-030. En efecto, busca que para sismos severos la estructura no debería colapsar ni causar daños graves a las personas, y para sismos moderados la estructura debería soportar experimentando posibles posibles daños dentro de límites aceptables. aceptables. El diseño por capacidad, práctica común en países desarrollados como EE.UU., Japón y Nueva Zelanda, debe ser incorporada en la norma peruana E-060, como un método alternativo al del diseño por resistencia que exige nuestra norma; asimismo el diseño sismorresistente de la norma E-030 que considera un solo nivel de demanda sísmica catalogado como Sismo de Diseño (10% de probabilidad de excedencia en 50 años de iv

vida útil de la estructura), debe ser complementada con evaluaciones para otros niveles de demanda sísmica como lo propuesto por el ATC-40 (Sismo de Servicio, Sismo de Diseño y Sismo Máximo) o como el que propone el Comité Visión 2000 del SEAOC de los EE.UU. (Sismo Frecuente, Sismo Ocasional, Sismo Raro y Sismo Muy Raro), a fin de prever el colapso parcial o total de la edificación. En efecto, la propuesta de la norma E-030 de diseño sismorresistente solo considera un nivel de movimiento del terreno para el cual la edificación no debería colapsar, no reconociendo que pueden ocurrir daños sustanciales y grandes pérdidas asociadas a sismos de naturaleza más frecuente o de periodos de retorno menores. Es importante reconocer que la seguridad ante el colapso debido a grandes sismos no implica necesariamente un comportamiento aceptable de la edificación durante sismos de pequeña o moderada intensidad, por lo que es necesario el diseño por múltiples niveles de comportamiento estructural ante la contingencia de movimientos sísmicos del terreno. Finalmente, lo que buscamos es que las estructuras presenten un mejor comportamiento ante distintos niveles de intensidad del sismo, y que para ello es imprescindible incursionar en los análisis no lineales para estudiar el real comportamiento de las estructuras a distintos niveles del sismo, aprovechando de las mismas su capacidad de ductilidad, de sobre resistencia, de aumento del amortiguamiento en niveles de respuesta alto y último por endurecimiento y resiliencia de disipar energía más allá del límite elástico, que nos permite obtener estructuras técnica y económicamente óptimas. Si el lector desea ahondar en el tema del diseño sismorresistente por comportamiento o performance estructural puede recurrir al texto que publiqué en el 2011, titulado “DISEÑO SÍSMICO POR DESEMPEÑO ”. Antes de finalizar esta presentación debo dar gracias infinitas a mis alumnos del ciclo de verano 2012-III, de la Facultad de Ingeniería Civil, de la Universidad Nacional del Centro del Perú FIC-UNCP, por su valioso e incondicional apoyo en la digitación y revisión de los temas contenidos en el presente libro, permitiéndome cristalizar uno de mis más anhelados deseos. Con un abrazo fraternal a todos y cada uno de ustedes, expreso mi gratitud y reconocimiento al mismo tiempo que les brindo mi amistad sincera e incondicional que espero perdure por siempre. Huancayo, agosto de 2013. ING. RONALD SANTANA TAPIA

Docent Docente As ociado ociado UNC UNC P-FIC Á rea de E s tructur tru ctur as v

INTRODUCCIÓN El Perú es un país localizado en una zona de alta amenaza sísmica por pertenecer al cinturón sísmico circumpacífico región en la que se producen más del 80% de los sismo de origen tectónico en el mundo, comprende las costas del Océano Pacifico de las tres Américas, las Islas Aleutianas, las Islas Curiles, Japón, Filipinas Filipinas y Nueva Zelandia. En esta zona se da la convergencia de subducción de la Placa Oceánica de Nazca que se introduce por debajo de la Placa Continental Sudamericana generando terremotos de magnitud elevada. Otra causa no menos importante para el Perú son los sismos (movimientos del terreno) de origen geológico cuya actividad sísmica representa un 10% del total de sismos ocurridos en nuestro territorio nacional y que es originado por fallas geológicas activas distribuidas en la cordillera de los Andes con terremotos menos frecuentes y de menor magnitud; las principales fallas activas del Perú son: Tambomachay (Cusco), Cordillera Blanca (Ancash), Huaytapallana (Junín), Quiches (Ancash), Rioja-Moyobamba Rioja-Moyobamba (San Martín). Los terremotos causan daño en las construcciones y muertes, estas se incrementan por un deficiente comportamiento sísmico de las estructuras. Dicho comportamiento deficiente puede dar lugar a colapsos parciales e incluso totales de las estructuras, así como la aparición de otros peligros colaterales, tales como incendios o explosiones, que en ocasiones incrementan las perdidas. A pesar de que las normativas existentes de diseño sismorresistente mejoran día a día, enriquecidas con la información obtenida a partir de nuevas investigaciones y experiencias dejadas por los propios sismos, todavía continúan ocurriendo catastróficas perdidas, incluso en aquellos países en los que los estudios en el campo de la ingeniería sísmica y dinámica estructural constituyen actividades prioritarias. Este texto Ingeniería Antisísmica - Principios Básicos y Aplicaciones proporciona las bases fundamentales para que el lector pueda capacitarse en el desarrollo del análisis sismorresistente de estructuras convencionales y especiales y que incluyen el estudio del fenómeno sismo, del efecto de este sobre las estructuras y el estudio de la dinámica estructural buscando predecir el comportamiento de las edificaciones acorde a la filosofía y principios del diseño sismorresistente de la norma E-030.

vi

Los temas tratados en el presente libro son: Conceptos Básicos de Sismología e Ingeniería Sísmica, Peligro Sísmico, Estructuración Estructuración y Predimensionamiento Predimensionamiento de Sistemas Estructurales, Estudio de la Rigidez Lateral (factores de los cuales depende la rigidez latera), Análisis de la Dinámica Estructural e Importancia de la Ductilidad de las Estructuras, Registros Sísmicos y Espectro de Respuesta (método determinístico y método probabilístico), Análisis Sísmico de Edificaciones (método estático y método dinámico), Estudio y Análisis de la Norma Peruana de Diseño Sismorresistente NTE E030 vigente y Estudio de la Vulnerabilidad Estructural por Amenaza Sísmica. Finalmente debo mencionar que las lecciones que nos dejaron los sismos pasados nos obligan a mejorar nuestro código de diseño sismorresistente determinístico y entrar en el campo probabilístico de análisis no lineales que nos permitan estudiar el comportamiento esperado de las estructuras ante diferentes niveles de intensidad de demanda sísmica. Considerando aún que la ocurrencia de los fenómenos sísmicos está fuera de control de la ciencia, la conclusión inmediata es la necesidad de aplicar métodos más rigurosos que minoren en lo posible el daño esperado en las estructuras tanto nuevas como existentes. De esta necesidad nacen los estudios de la Ingeniería Basada en Desempeño Sísmico tema del que escribí en el año 2011 el texto al que titule “ Diseño Sísmico por Desempeño” y que está a disposición de los interesados que quieran profundizar en este campo amplio y fascinante en la que hay mucho por investigar. Quiero terminar esta introducción no sin antes dar las gracias a Dios por darme salud y pueda de esa manera culminar con éxito la presente publicación cumpliéndose de esa manera uno de mis deseos anhelados. Agradecer asimismo a todas las personas que contribuyeron directa e indirectamente para la culminación de este importante trabajo que espero sea de utilidad tanto para los estudiantes de la carrera de ingeniería civil como para los profesionales dedicados al dictado de cátedra, a la construcción, al diseño y a la investigación en el campo de la ingeniería sísmica sísmica y dinámica estructural.

Ing. Ronald Santana Tapia Docente Asociado UNCP - FIC

vii

CONTENIDO DEDICATORIA…………………………………………………………….………………………………… i AGRADECIMIENTO……………………………………………………………….……………………… AGRADECIMIENTO……………… ……………………………………………….……………………….. .. ii PROLOGO………………………………………………………………………………….……………….. PROLOGO………………………………………………………………………………….……………….. iii PREFACIO…………………………………………………………………………………………………… PREFACIO…………………………………………………………………………………………………… iv INTRODUCCIÓN…………………………………………………………………………………….…… INTRODUCCIÓN…………………………………………………………………………………….……... ... vi

CAPÍTULO I SISMOLOGÍA BÁSICA

Página

1.1 INTRODUCCIÓN……………………..………………………………………………… INTRODUCCIÓN……………………..………………………………………………… .……. I-1 ……. I-1 1.2 ESTRUCTURA DE LA TIERRA…..………………………….................................... TIERRA…..…………………………....................................

I-2

1.3 CONCEPTOS BÁSICOS DE SISMOLOGÍA…………………………………. SISMOLOGÍA………………………………….................. ................. I-3 1.3.1 SISMO………………………………………………………….…………………… .....

I-3

1.3.2 CLASIFICACIÓN DE LOS SISMOS…………………………….…………………… SISMOS…………………………….…………………… I-4 1.3.3 CAUSA DE LOS SISMOS Y LA TECTÓNICA DE PLACAS……………………….. PLACAS ……………………….. I-5 1.4 EFECTOS DE LOS SISMOS………………………………………………………………… SISMOS………………………………………………………………… I-8 I-8 1.5 FALLAS GEOLÓGICAS……………………………………………………………………… GEOLÓGICAS……………………………………………………………………… I-9 1.6 INSTRUMENTOS INSTRUMENTOS DE MEDICIÓN Y REGISTROS DE UN SISMO…………………… SISMO…………………… I-11 1.6.1 INSTRUMENTOS DE MEDICIÓN…………………………………………………… I-11 1.6.2 REGISTROS DE UN SISMO………………………………………….…………….. SISMO………………………………………….……………..

I-12

1.7 DEFINICIONES RELACIONADAS AL SISMO.………………………………………….. SISMO. ………………………………………….. I-18 1.7.1 FOCO O HIPOCENTRO……………………………………………………………… HIPOCENTRO……………………………………………………………… I-18 1.7.2 EPICENTRO…………………………………………………………….……………..

I-19

1.7.3 ONDAS SÍSMICAS……………….…………………………………………………… SÍSMICAS……………….…………………………………………………… I-20 1.8 AMPLIFICACIÓN 1.8 AMPLIFICACIÓN DE LAS ONDAS SÍSMICAS………………………… SÍSMICAS…………………………………………. ……………….

I-23

1.9 LA LICUACIÓN O LICUEFACCIÓN DE SUELOS…………………………………………. I-24 SUELOS…………………………………………. I-24 1.10 PELIGRO SÍSMICO…………………………………………………………………………. SÍSMICO…………………………………………………………………………. I-26 1.10.1 PARÁMETROS QUE INFLUYEN EN EL PELIGRO SÍSMICO…………………… SÍSMICO…………………… I-27 1.10.2 PARÁMETROS QUE Q UE INFLUYEN EN E N LA EVALUACIÓN EVALUACIÓ N DEL PELIGRO SÍSMICO ……………………. ……………………………………………………….. I-27 1.10.3 DETERMINACIÓN DE LAS FUENTES SISMOGÉNICAS………………………… SISMOGÉNICAS ………………………… I-27 I-27 1.10.4 DETERMINACIÓN DE LOS PARÁMETROS SISMOLÓGICOS………………… SISMOLÓGICOS ………………… I-29 1.10.5 EVALUACIÓN DEL PELIGRO SÍSMICO…………………………….…………….. SÍSMICO…………………………….…………….. I-33 1.11 PELIGRO SÍSMICO Y LA NORMA E-030 E- 030 “DISEÑO SISMORRESISTENTE”………. SISMORRESISTENTE”………. I-38 1.12 PROBLEMAS DE APLICACIÓN………… DE APLICACIÓN………………………………… ………………………………………….…… ………………….…….. I-40 1.13 PROBLEMAS PROPUESTOS……………………………………………………………. PROPUESTOS……………………………………………………………. I-50

CAPÍTULO II “ DISEÑO SISMORRESISTENTE” ANÁLISIS DE LA NORMA E-030 “DISEÑO 2.1 INTRODUCCIÓN……………….……………………………………………………….…… INTRODUCCIÓN……………….……………………………………………………….…… II-1 2.2 ANTECEDENTES DE LA NORMA E-030………………………………………………… E- 030………………………………………………… II-1 2.3 ALCANCES, FILOSOFÍA Y PRINCIPIOS DE LA NORMA E-030..…………..……….…. E-030..…………..……….…. II-2 II-2 2.3.1 ALCANCES………………………………………………..……………………………. ALCANCES………………………………………………..……………………………. II-2 2.3.2 FILOSOFIA Y PRINCIPIOS DEL DISEÑO SISMORRESISTENTE………………… SISMORRESISTENTE………………… II-2 2.4 PRESENTACIÓN DEL PROYECTO………………………………………………………… PROYECTO………………………………………………………… II-3 2.5 PARÁMETROS DE SITIO……………………………………………………………………. II-3 SITIO……………………………………………………………………. II-3 2.5.1 ZONIFICACIÓN………………………………………….………………………………. II-3 ZONIFICACIÓN………………………………………….………………………………. II-3 2.5.2 CONDICIONES LOCALES……………………………..……………………………… LOCALES……………………………..……………………………… II-5 2.6 FACTOR DE AMPLIFICACIÓN SÍSMICA…………………………………………………. SÍSMICA…………………………………………………. II-8 2.7 CONSIDERACIONES GENERALES PARA EL DISEÑO SÍSMICO……………………. SÍSMICO……………………. II-9 2.8 CATEGORÍA DE LAS EDIFICACIONES……………………………………………………. II-10 EDIFICACIONES……………………………………………………. II-10 2.9 CONFIGURACIÓN ESTRUCTURAL DE LAS EDIFICACIONES………………………. EDIFICACIONES………………………. II-11 2.9.1 IRREGULARIDAD ESTRUCTURAL EN ALTURA….…… EN ALTURA….…………………………… …………………………. …. II-12 2.9.2 IRREGULARIDAD ESTRUCTURAL EN PLANTA…..……………………………… PLANTA…..……………………………… II-14 2.10 SISTEMAS ESTRUCTURALES……………………………………………………………. II-16 ESTRUCTURALES……………………………………………………………. II-16 2.11 FACTOR DE REDUCCIÓN “R”………………………………….…………………………. II-18 “R”………………………………….…………………………. II-18 2.12 CATEGORÍA, SISTEMA ESTRUCTURAL Y REGULARIDAD DE LAS EDIFICACIONES……………………………………………………………………………. II-18 2.13 DESPLAZAMIENTOS LATERALES……………………………….………………………. II-19 LATERALES……………………………….………………………. II-19 2.14 ANÁLISIS SÍSMICO DE EDIFICIOS……………………………………………………… EDIFICIOS……………………………………………………….. II-20 2.14.1 ANÁLISIS SÍSMICO ESTÁTICO……………………..……………… ESTÁTICO……………………..………………………………. ………………. II-21 2.14.2 ANÁLISIS SÍSMICO DINÁMICO………………….…..………… DINÁMICO………………….…..……………………………… …………………… II-25 2.15 CIMENTACIONES……………………..……………………………………………………. CIMENTACIONES……………………..……………………………………………………. II-28 2.15.1 CAPACIDAD PORTANTE……….…………………..……… PORTANTE……….…………………..………………………………. ………………………. II-28 2.15.2 MOMENTO DE VOLTEO……..………………….…..…………… VOLTEO……..………………….…..……………………………… ………………… II-29 2.15.3 ZAPATAS AISLADAS Y CAJONES………………..………………………………. CAJONES………………..………………………………. II-29 2.16 ELEMENTOS NO ESTRUCTURALES, APÉNDICES Y EQUIPO…………..………… EQUIPO…………..………… II-29 2.17 EVALUACIÓN Y REPARACIÓN DE ESTRUCTURAS DAÑADAS POR SISMOS…. SISMOS…. II-30 2.18 PROBLEMAS DE APLICACIÓN………………………………………………………..…. APLICACIÓN………………………………………………………..…. II-31 2.19 CUESTIONARIO DE PREGUNTAS……………………………………………………..…. PREGUNTAS……………………………………………………..…. II-41

CAPÍTULO III RIGIDEZ LATERAL DE SISTEMAS ESTRUCTURALES 3.1 RIGIDEZ LATERAL DE ELEMENTOS VERTICALES……………………………….…… VERTICALES……………………………….…… III-1 3.2 CÁLCULO DE LA RIGIDEZ EQUIVALENTE….…………………………………………… EQUIVALENTE….…………………………………………… III-6 3.2.1 ELEMENTOS EN PARALELO……………………………..………………………….. PARALELO……………………………..………………………….. III-6 3.2.2 ELEMENTOS EN SERIE……..……………………………………… SERIE……..……………………………………….……………….. .……………….. III-9 3.2.3 PROBLEMAS DE APICACIÓN……………………………………….……………….. APICACIÓN……………………………………….……………….. III-11 3.3 SISTEMAS CON ELEMENTOS RÍGIDOS…………………………………………………. RÍGIDOS…………………………………………………. III-15 3.3.1 CONSIDERACIONES CONSIDERACIONES BÁSICAS………………………..……………… BÁSICAS………………………..…………………………….. …………….. III-15 3.3.2 MÉTODOS DE ANÁLISIS………………………………… ANÁLISIS………………………………………..…………………… ……..…………………….. .. III-16 3.3.3 EJEMPLO ILUSTRATIVO………………………………………..…………………….. ILUSTRATIVO………………………………………..…………………….. III-23 3.4 SISTEMAS CON ELEMENTOS FLEXIBLES………………………………………………. FLEXIBLES………………………………………………. III-28 III-28 3.4.1 MÉTODO DE MUTO……………..………………………..…………………………….. III-28 3.4.2 MÉTODO DE WILBUR-BIGGS…………………………………..…………………….. WILBUR-BIGGS…………………………………..…………………….. III-31 3.4.3 3.4.3 PROBLEMAS DE APLICACIÓN………………………………..…………………….. APLICACIÓN………………………………..…………………….. III-32 3.4.4 PROBLEMAS DE CÁLCULO DE LA RIGIDEZ LATERAL CONSIDERANDO EL APORTE DEL ACERO ACERO DE REFUERZO……… REFUERZO……….. ..……………………….…………. ……………………….…………... III-50 3.5 PROBLEMAS PROPUESTOS………………..……………………………………………. PROPUESTOS………………..……………………………………………. III-65

CAPÍTULO IV DINÁMICA ESTRUCTURAL 4.1 ESTUDIO DE LAS ESTRUCTURAS MODELADAS COMO SISTEMAS DE UN GRADO DE LIBERTAD – LIBERTAD – 1GDL 1GDL………………………………………………….………….. ………………………………………………….………….. IV-1 4.2 ESTUDIO DE LOS TIPOS DE MOVIMIENTO VIBRATORIO DE SISTEMAS DE 1GDL…………………………………………………….………………………………… 1GDL…………………………………………………….………………………………… IV-3 4.2.1 MOVIMIENTO LIBRE (NO FORZADO NO AMORTIGUADO)…………………….. AMORTIGUADO)…………………….. IV-3 4.2.1.1 PROBLEMAS DE APLICACIÓN…………..…………..………………… APLICACIÓN…………..…………..…………………….. ….. IV-7 4.2.1.2 PROBLEMAS PROBLEMAS PROPUESTOS………….. PROPUESTOS…………..…………..……………… …………..…………………….. ……..

IV-20

4.2.2 MOVIMIENTO NO FORZADO AMORTIGUADO AMORTIGUADO……………..…………………….. ……………..…………………….. IV-22 4.2.2.1 PROBLEMAS PROBLEMAS DE APLICACIÓN…………..…………..……………… APLICACIÓN…………..…………..…………………….. …….. IV-31 4.2.2.2 PROBLEMAS PROBLEMAS PROPUESTOS…..……… PROPUESTOS…..………..…………..……………… ..…………..…………………….. …….. IV-39 4.2.3 MOVIMIENTO FORZADO NO AMORTIGUADO……..…………………………….. AMORTIGUADO……..…………………………….. IV-41 4.2.3.1 PROBLEMAS PROBLEMAS DE APLICACIÓN…………..…………..……………… APLICACIÓN…………..…………..…………………….. …….. IV-44

4.2.3.2 PROBLEMAS PROBLEMAS PROPUESTOS..…………..…… PROPUESTOS..…………..…………..………………… ……..…………………….. ….. IV-50 4.2.4 MOVIMIENTO MOVIMIENTO FORZADO AMORTIGUADO……..…………..…………………….. AMORTIGUADO……..…………..…………………….. IV-51 4.2.4.1 PROBLEMAS PROBLEMAS DE APLICACIÓN…………..…………..……………… APLICACIÓN…………..…………..…………………….. …….. IV-54 4.2.4.2 PROBLEMAS PROPUESTOS..…………..…………..…………………….. PROPUEST OS..…………..…………..…………………….. IV-63 4.3 RESPUESTA DE LOS SISTEMAS DE 1 GDL A EXCITACIONES DINÁMICAS GENERALES………………………………………………………………………………... . IV-65 4.3.1 EXCITACIÓN POR IMPULSO DE LA MASA……………………………………….. MASA……………………………………….. IV-65 4.3.2 EXCITACIÓN POR MOVIMIENTO DE LA BASE DE APOYO…………………….. APOYO…………………….. IV-73 4.3.3 PROBLEMAS DE APLICACIÓN……………………………………………………….. APLICACIÓN……………………………………………………….. IV-76 4.3.4 PROBLEMAS PROPUESTOS…..…………………………………………………….. PROPUESTOS…..…………………………………………………….. IV-98

CAPÍTULO V ANÁLISIS SÍSMICO DINÁMICO DE SISTEMAS DE 1 GDL 5.1 ECUACIONES BÁSICAS DE MÉTODO TIEMPO-HISTORIA……………………….…… TIEMPO-HISTORIA……………………….…… V-2 V-2 5.2 ECUACIONES BÁSICAS DEL MÉTODO ESPECTRAL……………………………..…… V-4 ESPECTRAL……………………………..…… V-4 5.3 ESPECTROS DE RESPUESTA RESPUESTA SÍSMICA………..……….… SÍSMICA………..……….………………………… ………………………….…. ….…. V-4 V-4 5.4 CONSTRUCCIÓN DE UN ESPECTRO DE RESPUESTA………………………………. RESPUESTA………………………………. V-5 5.4.1 ESPECTRO DE RESPUESTA RESPUESTA DE DESPLAZAMIENTOS…………..…………….. DESPLAZAMIENTOS…………..…………….. V-6 5.4.2 ESPECTRO DE RESPUESTA DE VELOCIDADES……….………………………. VELOCIDADES……….………………………. V-8 5.4.3 ESPECTRO DE RESPUESTA DE ACELERACIONES…….…………………… ACELERACIONES…….………………………. …. V-10 5.5 CONSIDERACIONES BÁSICAS…….………………………………………………………. V-11 BÁSICAS…….………………………………………………………. V-11 5.6 PROBLEMAS DE APLICACIÓN…….………………………………………………………. APLICACIÓN…….………………………………………………………. V-13 5.7 PROBLEMAS PROPUESTOS……….………………………………………………………. V-40 PROPUESTOS……….………………………………………………………. V-40

CAPÍTULO VI SISTEMAS DE MULTIPLES GRADOS DE LIBERTAD 6.1 ESTUDIOS DE LAS ESTRUCTURAS ESTRUCTURAS MODELADAS COMO SISTEMAS DE MULTIPLES GRADOS DE LIBERTAD… LIBERTAD…..…………………………………………….…… ..…………………………………………….…… VI-1 VI-1 6.2 SISTEMAS EN VIBRACIÓN LIBRE…………………….…………………………………… VI-3 LIBRE…………………….…………………………………… VI-3 6.2.1 NORMALIZACIÓN DE MODOS……………………………………………………….. MODOS……………………………………………………….. VI-6 6.2.2 PROPIEDADES DE ORTOGONALIDAD DE LOS MODOS NORMALES………. NORMALES ………. VI-7 6.2.3 MÉTODOS DE CÁLCULO DE LOS PERIODOS Y FORMAS DE MODO

DE VIBRACIÓN…………………………………………………………………………. VIBRACIÓN…………………………………………………………………………. VI-11 6.2.4 PROBLEMAS DE APLICACIÓN………………………………………………….……. VI-12 APLICACIÓN………………………………………………….……. VI-12 6.2.5 PROBLEMAS PROPUESTOS………………………………………………….……. PROPUESTOS………………………………………………….……. VI-25 6.3 SISTEMAS CON MOVIMIENTO FORZADO AMORTIGUADO……………………….…. AMORTIGUADO……………………….…. VI-25 VI-25 6.3.1 MÉTODO MODAL TIEMPO-HISTORIA………………………………………………. TIEMPO-HISTORIA………………………………………………. VI-25 6.3.1.1 PROBLEMAS DE APLICACIÓN……………………………………………. APLICACIÓN……………………………………………. VI-32 6.3.1.2 PROBLEMAS PROPUESTOS……………………………………………. PROPUESTOS……………………………………………. VI-47 6.3.2 MÉTODO MODAL ESPECTRAL………………………………..……………………… ESPECTRAL………………………………..……………………… VI-48 6.3.2.1 PROBLEMAS DE APLICACIÓN.……………………………………………. APLICACIÓN.……………………………………………. VI-58 6.3.2.2 PROBLEMAS PROPUESTOS……………………………………………. PROPUESTOS……………………………………………. VI-89

CAPÍTULO VII TORSIÓN EN PLANTA 7.1 CONCEPTOS GENERALES………………………………………………………….…… GENERALES………………………………………………………….…… VII-1 7.1.1 CENTRO DE MASA…………………..………………………………………………. MASA …………………..………………………………………………. VII-1 7.1.2 CENTRO DE RIGIDEZ………….……… RIGIDEZ………….…………………………… ……………………..……………………… ..……………………… VII-2 7.1.3 CENTRO DE CORTANTE..….………………………………..……………………… CORTANTE..….………………………………..……………………… VII-2 7.2 FUERZA CORTANTE PARA UN ENTREPISO……………………………………………. ENTREPISO ……………………………………………. VII-3 VII-3 7.3 CORTANTE DIRECTO……………….………………………………………………………. VII-3 DIRECTO……………….………………………………………………………. VII-3 7.4 CORTANTE POR TORSIÓN EN PLANTA…………………………………………………. VII-4 PLANTA…………………………………………………. VII-4 7.4.1 CORTANTE POR TORSIÓN TEÓRICA.……………………………………… TEÓRICA.………………………………………………. ………. VII-4 7.4.2 CORTANTE POR TORSIÓN TO RSIÓN ACCIDENTAL…………………..……………………… ACCIDENTAL…………………..……………………… VII-9 VII-9 7.5 CORTANTE DE DISEÑO…………….………………………………………………………. VII-10 DISEÑO…………….………………………………………………………. VII-10 7.6 PROBLEMAS DE APLICACIÓN…….………………………………………………………. APLICACIÓN…….………………………………………………………. VII-11 7.7 PROBLEMAS PROPUESTOS…….………………………………………………………. PROPUESTOS…….………………………………………………………. VII-45

CAPÍTULO VIII ANÁLISIS SÍSMICO SEUDOTRIDIMENSIONAL SEUDOTRIDIMENSIONAL 8.1 HIPÓTESIS PARA EL ANÁLISIS SEUDOTRIDIMENSIONAL……………………….…… SEUDOTRIDIMENSIONAL……………………….……VIII-1 VIII-1 8.2 SISTEMAS ESTRUCTURALES Y MÉTODOS DE ANÁLISIS SÍSMICO……………… SÍSMICO……………… VIII-2 8.2.1 SISTEMAS ESTRUCTURALES (NTE E-030)…………..……………………………. E-030)…………..……………………………. VIII-2 8.2.2 MÉTODOS DE ANÁLISIS SÍSMICO………………………………………… SÍSMICO…………………………………………………… ………… VIII-2 8.3 PLANTEAMIENTO DEL MODELO ESTRUCTURAL……………... ESTRUCTURAL……………. ..…………..……….…. …………..……….…. VIII-3 VIII-3

8.4 FORMULACIÓN MATRICIAL PARA EL AN ÁLISIS SÍSMICO………………………… SÍSMICO…………………………… … VIII-4 8.4.1 MATRIZ DE MASAS DE LA ESTRUCTURA….………..……………………………. ESTRUCTURA….………..……………………………. VIII-4 8.4.2 MATRIZ DE RIGIDEZ DE LA ESTRUCTURA……………………..………………… VIII-8 8.5 ANÁLISIS 8.5 ANÁLISIS SÍSMICO……..…………………… SÍSMICO……..……………………………………………… ……………………………………………… …………………….. VIII-12 8.5.1 ANÁLISIS SÍSMICO DINÁMICO (NTE E-030)……….………………………………. E-030) ……….………………………………. VIII-12 VIII-12 8.5.2 ANÁLISIS SÍSMICO ESTÁTICO (NTE E-030) E -030)………..……………………………… ………..……………………………… VIII-26 VIII-26 8.6 PROBLEMAS DE APLICACIÓN………….…………………………………………………. APLICACIÓN………….…………………………………………………. VIII-33 8.7 PROBLEMAS PROPUESTOS…….…………………………………..……………………. PROPUESTOS…….…………………………………..……………………. VIII-52

CAPÍTULO IX VULNERABILIDAD ESTRUCTURAL 9.1 CONCEPTO DE VULNERABILIDAD………………………………………………….…… VULNERABILIDAD ………………………………………………….…… IX-1 9.2 FACTORES QUE INFLUYEN EN LA VULNERABILIDAD……………………………… VULNERABILIDAD……………………………… IX-2 9.3 CARACTERÍSTICAS QUE CONDUCEN A LAS FALLAS DE ESTRUCTURAS…….…. ESTRUCTURAS …….…. IX-3 IX-3 9.3.1 IRREGULARIDADES VERTICALES……………………..……………………………. VERTICALES ……………………..……………………………. IX-3 IX-3 9.3.2 IRREGULARIDADES IRREGULARIDADES HORIZONTALES…………………………… HORIZONTALES……………………………..……………… ..……………… IX-7 9.3.3 OTRAS CAUSAS QUE CONDUCEN A LA FALLA EN ESTRUCTURAS………… ESTRUCTURAS………… IX-12 9.4 MÉTODOS PARA EVALUAR LA VULNERABILIDAD SÍSMICA………………………… SÍSMICA ………………………… IX-21 9.4.1 CLASIFICACIÓN DE LAS METODOLOGÍAS…………..……………………………. METODOLOGÍAS…………..……………………………. IX-21 IX-21 9.4.2 TÉCNICAS ABSOLUTAS PARA LA CUANTIFICACIÓN DE LA VULNERABILIDAD SÍSMICA…………………………………………..……………… SÍSMICA…………………………………………..……………… IX-23 9.4.3 NECESIDAD DE EVALUACIÓN…………………………………………….………… EVALUACIÓN…………………………………………….………… IX-26 9.5 DETERMINACIÓN VISUAL RAPIDA DE EDIFICACIONES A POTENCIALES RIESGOS SÍSMICOS ATC-21 (FEMA 154, 2002)………………………………………… 2002)………………………………………… IX-27 IX-27 9.6 CUESTIONARIO DE PREGUNTAS………………………………………………………… PREGUNTAS………………………………………………………… IX-28

SISMOLOGÍA BÁSICA

CAPÍTULO I SISMOLOGÍA BÁSICA 1.1

INTRODUCCIÓN

Los eventos sísmicos se han convertido en los últimos años en uno de los fenómenos naturales más frecuentes en nuestro medio. Caracterizados por la rapidez con que se generan, el ruido que generalmente lo acompaña, los efectos sobre el terreno, etc. Es por esto que han sido calificados por la población como uno de los fenómenos naturales más terribles, debido principalmente a que ocurren en una forma repentina e inesperada y por su capacidad de destrucción. Durante las sacudidas sísmicas producidas por grandes terremotos, se libera la energía de deformación acumulada en las zonas de contacto entre placas tectónicas de forma brusca y relativamente rápida. Esto se traduce en daños sobre el medio natural, las personas, los objetos y las estructuras. La energía liberada se transforma en ondas sísmicas que se propagan, se reflejan, refractan y atenúan por el interior de la Tierra hasta llegar al sustrato rocoso que está situado bajo el terreno de cimentación de la estructura. Por encima de éste, las capas de suelo actúan como filtros de frecuencias, de manera que modifican la energía que transmiten a la estructura. Los terrenos blandos amplifican las señales cuyas frecuencias predominantes son bajas (períodos altos). Otros aspectos como el aumento de las presiones intersticiales del terreno durante los terremotos pueden alterar incluso el estado físico de los suelos, ya que se producen fenómenos de licuefacción. Asimismo pueden producirse otros efectos como roturas del terreno, deslizamientos deslizamientos y caídas de rocas. Para comprender este fenómeno es necesario estudiar su origen, componentes y variables de medición así como los efectos que causan en las poblaciones y el papel de la sismología en el mundo.

I-1

ING. RONALD SANTANA TAPIA

1.2

ESTRUCTURA DE LA TIERRA

La corteza de la Tierra está conformada por doce placas de 70 km de grosor aproximadamente, cada una con diferentes características físicas y químicas. Las placas tectónicas están en un proceso de acomodo que se inició desde los orígenes de la formación del planeta y que se sigue dando; producto de este proceso se formaron los continentes y relieves. Habitualmente estos movimientos son lentos e imperceptibles, pero en algunos casos estas placas chocan entre sí, impidiendo su desplazamiento. Entonces una placa comienza a desplazarse sobre o bajo la otra originando lentos cambios en la topografía. Pero si el desplazamiento es dificultado, comienza a acumularse una energía de tensión que en algún momento se liberará y una de las placas se moverá bruscamente contra la otra rompiéndola y liberándose entonces una cantidad variable de energía que origina el Terremoto. La litósfera comprende dos capas (la corteza y el manto superior) que se dividen en unas doce placas tectónicas rígidas. La corteza misma se divide en dos partes. La corteza siálica o superior, de la que forman parte los continentes, está constituida por rocas cuya composición química media es similar a la del granito y cuya densidad relativa es de 2,7. La corteza simática o inferior, que forma la base de las cuencas oceánicas, está compuesta por rocas ígneas más oscuras y más pesadas como el gabro y el basalto, con una densidad relativa media aproximada de 3.

Fig.1.1 Corte esquemático del interior de la Tierra (Kuroiwa, 2001)

CAPAS: Las capas concéntricas concéntricas de la Tierra, agrupadas agrupadas de acuerdo a sus composiciones composiciones químicas se dividen dividen en tres: corteza, manto manto y núcleo.

I-2

SISMOLOGÍA BÁSICA

Corteza 5- 70 Manto superior

Fig.1.2 Capas de la Corteza Terrestre – (Escobar, 2005)

a. Corteza Es la capa exterior de la Tierra que se caracteriza por tener un grosor muy delgado con relación al radio terrestre (6370 km). Sus medidas son de 7 km promedio debajo de los océanos y de 35 km promedio debajo de los los continentes. La corteza es rígida y está constituida por rocas de gran dureza y resistencia.

b. Manto Es una capa rocosa y sólida, constituye más del 82% del volumen de la Tierra con un grosor aproximado de 2900 km. Está compuesta por dos partes: manto superior y manto inferior.

c. Núcleo Es la capa que está en el interior de la Tierra, compuesta fundamentalmente de hierro, hierro, con cantidades menores de níquel y otros elementos. Es sólido en su interior y líquido en su exterior.

1.3

CONCEPTOS BÁSICOS DE SISMOLOGÍA SISMOLOGÍ A

1.3.1 SISMOS Los sismos son movimientos vibratorios que se producen repentinamente en una zona de la superficie terrestre por efecto de fracturas bruscas en el lecho rocoso. Estos movimientos son de traslación y rotación en todas las direcciones, pero se acostumbra representarlos en dos direcciones horizontales (perpendiculares entre sí) y una dirección vertical. Se le denomina temblor cuando no causa daño y terremoto cuando la sacudida es violenta, destructiva y causa daños. I-3


1.3.2 CLASIFICACIÓN DE LOS SISMOS A. Los sismos por por su origen se clasifican clasifican en: -

Tectónicos

Son causados por la rotura brusca de las capas rocosas a lo largo de las superficies de fallas producida por los movimientos de la corteza terrestre. Son más frecuentes y más destructivos. -

Volcánicos

Son causados por la explosión de gases durante las erupciones volcánicas, son poco intensos y poco frecuente. f recuente. -

Colapso

Son originados por el colapso de las cavidades subterráneas, son de baja intensidad. B. Según la profundidad de su foco pueden pueden ser: -

Superficiales: si el foco se ubica entre 0 y 60 Km.

-

Intermedios: entre 60 y 300 de profundidad.

-

Profundos: de 300 a 700 Km, que es la máxima profundidad focal registrada.

C. Según la zona donde se generan en las placas de la litósfera -

Sismo Interplaca

Es el que se genera en los bordes o límites entre las placas. Ejemplo de este tipo de sismo son todos aquellos que ocurren en la costa del Perú. -

Sismo Intraplaca

Es el que se genera en las zonas interiores de las placas. Ejemplos de estos sismos son los generados por las fallas de Moyobamba (San Martín), y Huaytapallana (Junín), entre otros. Se caracterizan por tener magnitudes pequeñas o moderadas, y porque su hipocentro es más superficial (>20km).

I-4

SISMOLOGÍA BÁSICA

1.3.3 CAUSA DE LOS SISMOS Y LA TECTÓNICA DE PLACAS La corteza terrestre está compuesta al menos por una docena de placas rígidas que se mueven a su aire. Estos bloques descansan sobre una capa de roca caliente y flexible, llamada astenósfera, que fluye lentamente a modo de alquitrán caliente. caliente. Teoría de Tectónica de Placas

La idea básica es que la corteza terrestre, la litosfera, está compuesta por un mosaico de doce o más bloques grandes y rígidos llamados placas, que se mueve uno respecto de otro. La corteza terrestre se encuentra dividida dividida en seis placas continentales (África, América, Antártida, Australia, Europa y la placa del Pacifico), y catorce placas sub continentales (Placa de Nazca, del Caribe, etc.) como se muestra en la figura 1. 3. La validez de la teoría de la tectónica de placas recibió un fuerte apoyo de los datos sísmicos reunidos a través de los años mediante la red sísmica mundial, que fue establecida hacia el final de la década de 1950. Los datos demostraron que las zonas en donde ocurren la mayor parte de los terremotos del mundo son muy estrechas y muy bien definidas, sugiriendo que la mayoría de los sismos registrados resultan de los movimientos de las placas en las zonas donde chocan unas contra otras. Una explicación plausible para la causa del movimiento de las placas se basa en el equilibrio térmico de los materiales que componen la Tierra. Nuestro planeta se formó por la unión de meteoritos. El incremento en la masa ha aumentado la radioactividad. Consecuentemente el planeta se ha calentado y su núcleo crece a costa de la fusión del manto. La parte superior del manto, que está en contacto con la corteza, se encuentra a una temperatura relativamente baja, mientras que la parte inferior que está en contacto con el núcleo a una temperatura mucho más alta. Es evidente que el material caliente posee una densidad menor al frio, lo que hace que tienda a subir, mientras que el material de la superficie una vez frio tiende a bajar por la acción de la gravedad. Este proceso cíclico se denomina convección. Las corrientes convectivas generan esfuerzos de corte en la base de las placas, provocando su movimiento en distintas direcciones. (Goytia y Villanueva, 2001).

I-5


Fig.1.3 Principales zonas tectónicas, lomos oceánicos y zonas de subducción – (Goytia y Villanueva, 2001)

Tipos de C ontactos ontactos o Fr onteras onteras

Las placas tienen tres tipos de bordes: divergente, divergente, convergente y de transformación.

a. Borde Divergente Se da cuando las placas se separan y producen ascensión del material del manto para crear nueva corteza oceánica en el lugar dejado por las placas en separación (depresión). Generalmente Generalmente sucede en suelo oceánico. Los focos son superficiales. superficiales.

b. Bordes Convergentes Se da cuando las placas se aproximan, conformando dos tipos de zonas:



Zona de Subducción; cuando una placa oceánica se introduce por debajo de otra placa que puede ser oceánica o continental. En el caso del Perú, muchos sismos tectónicos ocurren porque la placa de Nazca (oceánica) se introduce (o subduce) bajo la placa Sudamericana (continental).

La actividad sísmica, en las zonas de subducción, es mayor. Los sismos son de gran magnitud. Los focos sísmicos son poco profundos cerca de la costa, pero tierra adentro se localizan a profundidades comprendidas comprendidas entre 50 a 300 km.

I-6

SISMOLOGÍA BÁSICA



Zona de Colisión Frontal, cuando convergen dos placas continentales. Se han dado casos de que cuando las placas chocan, las rocas son empujadas hacia la superficie, formando grandes cadenas montañosas. montañosas.

c. Bordes de Transformación Transformación Se da cuando los bordes de las placas se constituyen en fallas que se deslizan una con respecto a la otra en forma paralela a la dirección del movimiento. Una falla se define como una zona de fractura en la corteza terrestre, en la cual dos bloques adyacentes, están desplazados uno con respecto al otro. En una falla de transformación no se origina ni destruye la corteza.

Fig.1.4 Teoría de Placas Tectónicas-Zona de Subducción – (Rothe, 1972)

Borde Transformación

Borde convergente asociado a Zona de Subducción

Borde Divergente

Borde Convergente asociado a zona de colisión

Fig.1.5 Movimiento de las placas – (Rothe, 1972)

I-7


1.4 EFECTOS DE LOS SISMOS La capacidad de destrucción de un sismo depende de la combinación de los siguientes aspectos: 

Magnitud



Distancia al foco donde se origina el terremoto. t erremoto.



Características del suelo, en especial su capacidad de amplificar las ondas del sismo que llegan a través de las rocas.



Resistencia de los elementos físicos sometidos a las fuerzas generadas por el temblor.



Grado de preparación que tenga la población y las instituciones para comportarse adecuadamente antes, a la hora, y después de lo ocurrido.

Muchos de los daños causados por un terremoto, se deben no solo a la violencia de la sacudida, sino que también en muchas ocasiones a otros fenómenos igualmente destructivos que pueden acompañar al evento. Los efectos más comunes provocados por los eventos sísmicos son los siguientes: 

Destrucción de viviendas: la destrucción de viviendas puede considerarse como el efecto de mayor impacto y con un alto costo social para la población.



Destrucción de Infraestructura (carreteras, líneas vitales y puentes): además de los inconvenientes que generan durante la atención de los desastres, la destrucción de las vías de comunicación terrestre, causan un impacto importante en la economía al impedir el transporte eficiente de productos así como el intercambio de bienes y servicios con la región afectada.



Daños diversos al suelo: por las características de los suelos, causa problemas importantes a nivel de infraestructura, líneas vitales y a la actividad agrícola. Los daños más importantes han sido fracturas, asentamientos, licuefacción (el terreno se comporta como arenas movedizas o bien presenta eyección de lodo de manera súbita).



Deslizamientos o derrumbes: permanentemente sus efectos causan graves daños a la ecología, viviendas, edificios, carreteras, puentes, líneas de transmisión eléctrica, acueductos, etc.



Tsunamis o maremotos: la mayoría se originan por eventos sísmicos de gran magnitud con epicentro en el fondo del mar.

I-8

SISMOLOGÍA BÁSICA 

Maremotos:

El fenómeno que llamamos maremoto o también "tsunami" es una serie de ondas oceánicas extremadamente largas generadas por perturbaciones asociadas principalmente con sismos que ocurren bajo o cerca del piso oceánico, en aguas someras. También pueden generarse por erupciones volcánicas y derrumbes submarinos. En el mar profundo, el largo entre una cresta de las ondas y la siguiente puede ser de 100 kilómetros o más pero con una altura de unas pocas decenas de centímetros. Ellas no pueden ser apreciadas a bordo de embarcaciones ni tampoco pueden ser vistas desde el aire en el océano abierto. En aguas profundas, estas ondas pueden alcanzar velocidades superiores a 800 kilómetros por hora. Los tsunamis son un riesgo para la vida y las propiedades de todos los residentes costeros que viven cerca del océano. Por ejemplo, en el lapso de 1992 a 1998 más de 6000 personas perecieron por tsunamis que ocurrieron Indonesia,

en Japón,

Nicaragua, Filipinas,

Perú y Papua-Nueva Papua-Nueva Guinea. Fig.1.6 Efectos del maremoto producido por el terremoto de Ja ón 11/03 11/03/2 /201 011 1 – Canal CNN Fuente: Servicio Hidrográfico y Oceanográfico de la Armada de Chile (2010) “Tsumanis-Las Grandes Olas” Valparaíso, Chile.

1.5 FALLAS GEOLÓGICAS Se entiende por falla una estructura tectónica a lo largo de la cual se ha producido una fractura y un desplazamiento diferencial de los materiales adyacentes. La longitud de la falla se relaciona directamente con la magnitud de los terremotos que puede generar y con el tiempo de duración de la ruptura, uno de los parámetros más importantes para el diseño sismo resistente. Estas consideraciones hacen ver que el conocimiento de la geometría de la falla y el análisis de las fuerzas que actúan sobre ella, son fundamentales en ingeniería sísmica.

I-9


DATOS IMPORTANTES DE LA CORDILLERA HUAYTAPALLANA: Forma parte a su vez de la Cordillera Oriental de los Andes los Andes Centrales del Perú. del Perú. Su Su nombre procede de los términos quechuas "huayta", que signfica flor, y "pallar", que significa recoger. Por lo tanto, Huaytapallana Huaytapallana significa "lugar donde se recogen las flores". Fig.1.7 Vista panorámica del Huaytapallana http://www.regionjunin.gob.pe/portal/in dex.php

El nevado de Huaytapallana tiene una altitud una altitud en su pico más alto de 5 557 metros. Su segundo pico, el Yanahucsha, mide 5530 metros. El área total de la zona comprende 378.40 km² 378.40 km² de superficie.

Una falla, es una discontinuidad discontinuidad que se forma en las rocas superficiales de la Tierra (hasta unos 200 km de profundidad) por fractura, cuando las fuerzas tectónicas superan la resistencia de las rocas. Ahora bien la falla del Huaytapallana forma parte de las denominadas fallas activas de la era cuaternaria, junto con Santa (Ancash), Tambomachay Tambomachay (Cusco) y otras, que están relacionadas relacionadas con una actividad sísmica. El Valle del Mantaro está rodeado rodeado por dos dos zonas de fallas activas importantes: importantes: La zona de fracturas fractu ras de los altos del Mantaro y la Falla de Huaytapallana. a) El sistema de fallas del Huaytapallan Huaytapallana a tiene una longitud longitud de 30km., pero datos datos geológicos e imágenes de satélite indican que su longitud podría alcanzar hasta 100km. La mayor intensidad de deformación sísmica ocurre al Este de la Cordillera Andina, la falla de Huaytapallana en la Cordillera Occidental muestra un alto grado de actividad sísmica. b) En la zona de Fracturas de los altos del Mantaro las fallas buzan el Oeste cuya longitud es de 40km., paralelo al valle del Mantaro, y los epicentros se ubican al Oeste a una distancia promedio de 8km., ubicadas en la Cordillera Occidental. En 1979 se realizó una evaluación preliminar de los niveles del potencial de peligro sísmico (Ocola 1987); el nivel del peligro para el área de Jauja, Concepción y Huancayo es:

I - 10

SISMOLOGÍA BÁSICA

Periodo de retorno (50 años) Aceleración Intensidad Localidad esperada máxima esperada Huancayo, Concepción, 420 420 cm/ cm/ss X, MSK 2 Satipo, Jauja 425 cm/s X, MSK Periodo de retorno (100 años) Aceleración Intensidad Localidad esperada máxima esperada 2 Huancayo, Concepción, 470 cm/s X, MSK 2 Satipo, Jauja 425 cm/s X, MSK El nivel del peligro sísmico, sería probablemente mayor, debido a la presencia de la falla de Huaytapallana sísmicamente activa a menos de 25km de distancia de las ciudades mencionadas. Se admite la posibilidad de sismos con magnitudes máximas que varían de Ms =6.8 a Ms=7.5. En Junín debido a la presencia de la falla de Huaytapallana ocurrieron los sismos siguientes: a) Satipo: 01 de Noviembre de 1947, Ms = 7.3 (sismo de magnitud superior). b) Pariahuanca: Pariahuanca: 01 de Octubre de 1969, Ms = 6.2 (sismo (sismo de magnitud intermedia intermedia). ). Alguna actividad podría además estar asociada con la zona de la fractura de Ricran y que tendría una mayor influencia en la zona de Jauja en vista de su proximidad. Así como también por el Nido de Pampas.

1.6 INSTRUMENTOS DE MEDICIÓN Y REGISTROS DE UN SISMO 1.6.1 INSTRUMENTOS DE MEDICIÓN Los instrumentos utilizados para medir la magnitud de los sismos son el sismógrafo.

Fi .1.9 .1.9 Acel Aceler eró ó rafo rafo

Fi .1.8 .1.8 Sismó ismó raf rafo

Fuente: http://www.cismid-uni.org/laboratorio-de-estructuras.html

I - 11


El Sismógrafo Proporciona registros de desplazamientos, con los cuáles se determinan los parámetros de origen de un sismo: hora, epicentro, profundidad del foco y magnitudes sísmicas.

El Acelerógrafo Acelerógrafo Proporciona el registro de las aceleraciones aceleraciones sísmicas durante el tiempo tiempo que dura el sismo, de lo cual se obtiene la aceleración máxima y el contenido de frecuencias de un sismo sismo determinado. determinado. Estos dos parámetros parámetros permiten definir definir el nivel de severidad del movimiento y su influencia en el comportamiento de las estructuras.

1.6.2 REGISTROS DE MEDICIÓN Los terremotos pueden ser medidos en función de la cantidad de energía liberada (Magnitud ) y/o mediante el grado de destrucción que ellos causan en el área afectada (Intensidad ). ).

A.

INTENSIDAD

La intensidad o escala de observaciones es la medida o estimación empírica de la vibración o sacudimiento del suelo, a través de cómo el hombre percibe las vibraciones sísmicas en el ambiente en que vive, el grado de daños que causan en las construcciones y los efectos que tienen sobre la naturaleza.

Fig. 1.10 Escala de intensidades – (Centro de Sismología Universidad del Oriente, 2007)

I - 12

SISMOLOGÍA BÁSICA

MERCALLI MODIFICADA – MM Presentada en 1902 por Mercalli, modificada por Wood y Neuman en 1931 y posteriormente por Richter en 1956, es utilizada en todo el continente americano. Tiene doce niveles niveles denominados en números números romanos I hasta XII. Richter identificó cuatro categorías de construcciones, para poder especificar los daños en ellas. A efecto de simplificar la descripción sin tener que hacer continuamente continuamente repeticiones, se indican con las letras A, B, C, D, diferentes clases de mampostería conforme a las especificaciones siguientes: MANPOSTERIA ‘A’.- Construida

con buenos materiales, buena mano de obra

y buen proyecto. Reforzada con armadura de acero o de concreto armado, proyectada para resistir esfuerzos laterales. MANPOSTERIA ‘B’.- Buena

mano de obra y buen mortero; reforzada, pero no

proyectada para resistir fuerzas laterales. MANPOSTERIA ‘C’.-

Mano de obra y morteros corrientes. No demasiado

débiles por falta de amarre en las esquinas, pero no reforzadas ni proyectadas para resistir fuerzas horizontales. horizontales. MANPOSTERIA ‘D’.- Materiales

débiles, como adobe, morteros pobres. Mala

mano de obra. Débil horizontalmente. horizontalmente.

GRADOS: I.

No sentidos sentidos por las personas. personas. Efectos Efectos marginales marginales y de periodos grandes de terreno lejanos.

II. Sentido por personas personas en reposo en pisos superiores, superiores, o favorablemente favorablemente situados. III. Sentido en el interior de las casas. Oscilan Oscilan objetos colgantes. Vibraciones Vibraciones como las producidas por un camión liviano pesado. Se puede estimar la duración. No se puede reconocer que se trata de un terremoto. IV. Oscilan objetos colgantes. colgantes. Vibraciones como las producidas por el paso de un camión pesado. Sensación de un golpe como el producido por una pesada pelota chocando las paredes. Balanceo de un camión parado. puertas, ventanas y tintinean .Los vasos suenan .Las losas chocan .En la parte superior de este grado, armadura y paredes de madera que crujen.

I - 13


V. Sentido en el exterior. se puede estimar la dirección dirección .Se despiertan las personas dormidas. dormidas. Se agitan las superficies superficies de los líquidos; líquidos; parte se vuelca. Pequeños objetos desplazan o caen. Las puertas oscilan, se abren o cierran. Postigos y cuadros se mueven. Relojes de péndulos se paran; se ponen en marcha o alteran su marcha. VI. Sentido por todos .Muchos se asustan y corren afuera. Las personas caminan con dificultad .Ventanas platos se rompen .Adornos, libros,.. etc. Salen de las repisas, cuadros se caen de las paredes. los muebles se mueven o caen. Revoques y mampostería clase „D‟ se agrietan. Pequeñas

campanas suenan (iglesias (iglesias y escuelas). Árboles y arbustos se mecen. VII. Difícil mantenerse en pie. Percibidos por personas manejando autos, objetos colgantes tiemblan .Los muebles se rompen .La mampostería „D‟ se

daña formando grietas .chimeneas débiles caen y se cortan a ras de la base. Caen revoques, se aflojan ladrillos, piedras, baldosas, cornisas. Reproducen algunas grietas e n la mampostería „c‟ ondas en los pantanos. Se enturbia el agua con barro .Pequeños deslizamientos de tierras y hundimientos en bancos de arena o ripio. Campanas grandes suenan se dañan canales de concreto para irrigación. VIII. Se hace dificultoso dificultoso manejar manejar un auto .Daños en la mampostería „C‟; se cae .Algunos daños en la mampostería „B‟ .Ninguno en la mampostería „A‟

.Caída de revoques y de algunas paredes de mampostería. Rotación y caída de chimeneas, pilas de mercaderías, monumentos, torres, tanques elevados. Los armazones de las casas se salen de sus fundaciones sino están anclados. Débiles tabiques se caen. Se rompen ramas de los árboles. Cambio en el caudal o en la temperatura de fuentes naturales y en pozos. Grietas en terrenos húmedos y en pendientes fuertes. IX. Pánico general. Se destruye la mampostería „D‟ .Fuertemente dañada la mampostería „C‟; „C‟; parte completa destrucción .Mampostería .Mampostería „B‟ seriamente seriamente

dañada .Las estructuras no bien ancladas se desplazan de las fundaciones. fundaciones. Las armaduras se rajan. Serios daños en los depósitos .Se rompen los caños subterráneos .Importantes grietas en los terrenos .En terrenos aluviones se producen eyecciones de arena y barro; cráteres de arena. X. La mayoría mayoría de las construcciones de mampostería y las las armaduras armaduras de las maderas de las maderas son destruidas. Algunas estructuras bien construidas se destruyen. Serios daños en los diques y terraplenes .Grandes desplazamientos .El agua sale de causes en canales, ríos, y lagos .Arenas y barro se desplazan horizontalmente en las playas y terrenos llanos .se doblan ligeramente los rieles. XI. Rieles que se doblan fuertemente .Canalizaciones subterráneas completamente destruidas. XII. Destrucción casi total. Grandes bloques bloques de roca desplazados desplazados .Cambio de niveles en el terreno. Objetos lanzados hacia arriba en el aire.

I - 14

SISMOLOGÍA BÁSICA

SISMOS DE MAYOR INTENSIDAD OCURRIDOS EN EL PERU (1940 – 2011) Escala modificada de Mercalli Lima

VIII

1940

___

Sihuas

VIII

1946

1600 muertos

Satipo

IX

1947

___

Cuzco

VII

1950

___

Tumbes

VIII

1950

___

Arequipa

VIII

1958

22 muertos

Arequipa

VII

1960

63 muertos

Huacho

VIII

1966

130 muertos

Ancash

VIII

1970

70 000 muertos

Lima

VII

1974

252 muertos

San Martín

VII

1991

40 muertos

Nazca

VI

1996

20 muertos

Arequipa

VIII

2001

240 muertos

Lamas

VII

2005

10 muertos

Pisco e Ica

VIII

2007

519 muertos

Pucallpa

VII

2011

1 muerto

Tabla 1.1 Terremotos de mayor intensidad en la escala de Mercalli Modificado ocurridos en la historia del Perú. Fuente: http://es.wikipedia.org/wiki/Anexo:T http://es.wikipedia.org/wiki/Anexo:Terremotos_en_el_Per%C3%BA erremotos_en_el_Per%C3%BA

MEDVEDET, SPONHEHUER Y KARNIK - MSK Propuesta en 1964 por Medvedet, Sponhehuer y Karnik, es utilizada mayormente en Europa. Tiene doce niveles denominados en números romanos I hasta XII.

ESCALA MACROSÍSMICA MACROSÍSMIC A EUROPEA - EMS Esta escala tiene también doce grados y es la escala oficial de los países de la comunidad económica europea.

I - 15


B.

MAGNITUD

Es una medida indirecta de la cantidad total de energía que se libera, por medio de las ondas sísmicas, durante el evento sísmico, la que puede estimarse de las amplitudes de las ondas sísmicas registradas en los sismógrafos, que son instrumentos muy sensibles especialmente diseñados para este fin, que generalmente se colocan sobre suelo rocoso. Los sismógrafos registran los sismos que ocurren en el mundo. A continuación se presentan las escalas de las magnitudes: Las escalas de magnitud son las siguientes: escala de Richter (M L), escalas según el tipo de onda sísmica (M b y Ms) y la escala de Kanamori (Ms).

LA ESCALA DE RICHTER Es

la

escala

de

magnitudes más usada, tiene 10 grados de medida. Sólo

puede

emplearse

para terremotos cercanos, es por este motivo que la magnitud en esta escala es local y se le conoce como ML.

Fig.1.11 Ejemplo del cálculo de la magnitud Richter M L de un terremoto local – (Centro de Sismología Universidad del Oriente, 2007)

MAGNITUD EN LA ESCALA

EFECTOS DEL SISMO

DE RICHTER Menos de 3.5

Generalmente no se siente, pero es registrado.

3.5 – 5.4

A menudo se siente, pero solo causa daños menores.

5.5 – 6.0

Ocasiona daños ligeros a edificios.

6.1 – 6.9

Puede ocasionar daños severos en áreas donde vive mucha gente.

I - 16

SISMOLOGÍA BÁSICA

7.0 – 7.9

Terremoto mayor. Causa graves daños.

8 o más

Gran

terremoto.

Destrucción Destrucción

total

comunidades cercanas. Tabla 1.2 La Escala de Richter.

LOS TERREMOTOS DE MAYOR MAGNITUD EN AMÉRICA LATINA Escala de Richter

Chile-Valdivia

9,5

22/05/1960 22/05/196 0

más de 2 000 muertos

Perú-Yungay

7,9

31/05/1970 31/05/197 0

66 000 muertos aprox.

Nicaragua

6,5

23/12/1972 23/12/197 2


Guatemala

7,6

04/02/1976 04/02/197 6

25 000 muertos aporx.

Chile-Argentina Chile-Argentina

7,5

03/03/1985

más de 150 muertos

México

8,1

19/09/1985 19/09/198 5


El Salvador

7,6

13/01/2001 13/01/200 1

Cientos de personas muertas

El Salvador

7,5

10/10/1986 10/10/198 6


6-6,8

05/03/1987 05/03/198 7

300 muertos aprox.

Ecuador

5,3

28/03/1996 28/03/199 6

70 muertos

Bolivia

6,8

22/05/1998 22/05/199 8

105 muertos

Perú

7,9

15/08/2007 15/08/200 7

519 muertos

Chile

7,7

14/11/2007

2 muertos

Costa Rica

6,2

09/01/2009 09/01/200 9

34 muertos

Haití

7,0

12/01/2010 12/01/201 0


Perú-Pucallpa Perú-Pucall pa

7,0

24/08/2011 24/08/201 1

1 muerto

Ecuador-Napo Ecuador-Nap o

Tabla 1.3 Terremotos de mayor magnitud en la escala de Richter ocurridos en América Latina. 

http://www.lanacion.com.ar/1221463-los-terremotos-en-america-latina

ESCALAS SEGÚN EL TIPO DE ONDA

Se utilizan dos tipos de escalas en función del tipo de onda:

-

mb, si se usan las ondas de cuerpo.

-

Ms, si se usan las ondas de superficie.

I - 17

a


LA ESCALA DE KANAMORI La escala escala de Kanamori Kanamori (M w) propuesta en 1977 se utiliza cuando las escalas mb y Ms se saturan alrededor alrededor de valores de 6.5 y 7.5 respectivamente. respectivamente. La escala Mw, no depende del proceso vibratorio, sino del tamaño de la ruptura y de los desplazamientos de los bloques de falla.

1.7 DEFINICIONES DEFINICIO NES RELACIONADAS AL SISMO 1.7.1 FOCO O HIPOCENTRO Los sismólogos los definen como el punto de comienzo de disipación de energía. El foco de un sismo puede encontrarse a diferentes diferentes profundidades. profundidades. De acuerdo a ello, los sismos se clasifican en superficiales, intermedios y profundos. La ubicación del foco se expresa por medio de sus coordenadas geográficas: latitud, longitud y profundidad.

Fig.1.12 Foco sísmico, hipocentro o fuentehttp://www.azulambientalistas.org/terremotos.html 

Cálculo del lugar del hipocentro

Se basa en el principio que tiene presente que la perturbación se propaga según frentes de onda esféricos, y que dice: "la intensidad del terremoto es inversamente proporcional al cuadrado de la distancia". Se necesita conocer la intensidad del terremoto en el epicentro y en otra estación.

I - 18

SISMOLOGÍA BÁSICA

Datos conocidos: Intensidad del terremoto en el epicentro = m Intensidad en el laboratorio = n Distancia entre el laboratorio y el epicentro = d

1.7.2 EPICENTRO Superficie geográfica ubicado encima del foco, usualmente la primera localidad afectada por el sismo se utiliza para darle nombre al sismo ocurrido.

Fig.1.13 Epicentro de un sismo-http://servidor-opsu.tach.ula.ve/alum/pd_5/sism_t/GLOSARII.html sismo-http://servidor-opsu.tach.ula.ve/alum/pd_5/sism_t/GLOSARII.html 

Distancia Epicentral

Es la distancia entre la proyección del foco en la superficie de la tierra y la estación. Se calcula por el intervalo que media entre la llegada de las distintas ondas P y S. Luego se consulta con tablas que nos indican la distancia epicentral. El intervalo en minutos entre las ondas P y las S, disminuido en una unidad, es igual a la distancia epicentral en miles de kilómetros. Por ejemplo, si entre las ondas P y S median 3 minutos, la distancia epicentral es de 2000 kilómetros. 

Cálculo del lugar del epicentro

Conocida la distancia epicentral, desde dos o tres estaciones se intersecan círculos con radio igual a la distancia epicentral y con centro en las estaciones. Desde una sola estación también es posible localizar el epicentro, conociendo: a) La distancia epicentral. b) Las componentes horizontales de los rayos sísmicos.

I - 19


Fig.1.14 Distancia Epicentral y Profundidadhttp://cienciageografica.blogspot.com/2011/09/clasificacion-de-los-sismos-segun-su.html

1.7.3 ONDAS SÍSMICAS Las ondas sísmicas son un tipo de onda elástica consistentes en la propagación de perturbaciones temporales del campo de tensiones que generan pequeños movimientos en un medio.

ONDAS DE CUERPO: Reciben el nombre de ondas de cuerpo por que pueden viajar a través del cuerpo del material. Las ondas que se generan son de compresión o de corte, respectivamente. 

Las ondas P , llamadas también primarias, longitudinales, compresionales o

dilatacionales; producen un movimiento de partículas en la misma dirección de la propagación, alternando compresión y dilatación del medio. 

Las ondas S , llamadas también ondas secundarias, transversales o de

cortante; producen un movimiento de partículas en sentido perpendicular a la dirección de propagación.

Fig.1.15 Propagación de ondas P-(Centro de Sismología Universidad del Oriente, 2007)

I - 20

SISMOLOGÍA BÁSICA

Fig.1.16 Propagación de ondas S-(Centro de Sismología Universidad del Oriente, 2007)

Las ondas P pueden propagarse a través de medios sólidos y líquidos, en tanto que las ondas S únicamente a través de medios solidos debido a que los líquidos no presentan rigidez al corte. Las ondas P son más veloces que las S, pero estas últimas son más destructivas. En principio, la onda longitudinal puede producir más daños porque mueve los cimientos y, por inercia, los edificios altos, tienden a quedar en su sitio con lo que se produce el derrumbe. Las ondas transversales deberían causar menos daño, moviendo los edificios hacia arriba y hacia abajo, pero si hay fallas en el terreno o son sitios de poca consistencia, el daño es grave. Normalmente, los sismos no tienen la onda tipificada en transversal o longitudinal, sino que combinan las dos, con lo que se produce un movimiento elíptico de efectos desastrosos.

Fig.1.17 Tipos de Ondas (Ondas P y Ondas S)-Ilustración Microsoft Encarta 2009

I - 21


Para determinar la distancia entre el sismógrafo y el epicentro es fácil deducir la siguiente expresión:

Dónde:

   

  

es el tiempo entre la llegada de las ondas P y las ondas S;

VP es la velocidad de las ondas P; y V S es la velocidad de las ondas S. Las velocidades de las ondas en diferentes medios: VELOCIDAD DE LA ONDA

VELOCIDAD DE LA ONDA

PRIMARIA (VP) en m/s

SECUNDARIA (VS) en m/s

Granito

5200

3000

Basalto

6400

3200

Calizas

2400

1350

Areniscas

3500

2150

MEDIO

Tabla 1.4 Velocidad de onda de acuerdo al tipo de material- (Alva y Meneses & Guzmán, 1984)”

ONDAS SUPERFICIALES Se denomina así porque su movimiento se restringe a la superficie terrestre. Pueden subdividirse en dos tipos: Las ondas Love (ondas L) y las ondas Rayleigh (ondas R). 

El movimiento movimiento de las las ondas L, es es similar al de las las ondas S que no tienen tienen componente vertical ya que mueven la superficie del suelo de lado a lado sobre un plano horizontal y en sentido perpendicular a la dirección de propagación.



El movimiento movimiento de las partículas partículas en las ondas R, es elíptico elíptico y tiene tiene lugar en planos perpendiculares a la superficie libre.

Fig. 1.18 Propagación de Ondas L y R (Centro de Sismología Universidad del Oriente, 2007)

I - 22

SISMOLOGÍA BÁSICA

Las ondas superficiales, son las responsables de la destrucción de obras y pérdida de vidas humanas.

Fig.1.19 Dirección de Propagación Propagación de las Ondas Sísmicas Sísmicas - (Kuroiwa, 2001)

Fig.1.20 Velocidades de las Ondas Sísmicas – (Aguilar, 2005)

1.8 AMPLIFICACIÓN AMPLIFI CACIÓN DE LAS ONDAS SÍSMICAS. SÍSMIC AS. Este fenómeno se produce cuando el material donde se apoya la edificación tiene un período natural de vibración que coincide con el de las ondas sísmicas emitidas desde el foco, magnificando de esta manera el movimiento sísmico.

I - 23


Ocurre en cualquiera de los siguientes casos: a) terrenos conformados por suelos blandos; b) terrenos ubicados en los bordes de mesetas, cimas y laderas de los cerros. La intensidad del movimiento sísmico del suelo es mayor en suelos blandos que en suelos firmes o rocosos. La figura, muestra muestra la amplificación amplificación de la onda onda sísmica al al pasar del lecho rocoso a suelo blando.

Fig.1.21 Amplificación de Ondas Sísmicas en Suelos Blandos http://www.lis.ucr.ac.cr/index.php?id=254

La amplificación sísmica en terrenos desfavorables; diversos estudios y observaciones observaciones de los efectos de los terremotos han demostrado que la topografía del terreno influye en la amplificación

del movimiento movimiento sísmico, cuando cuando se trata de ubicaciones

desfavorables, desfavorables, tales como los bordes de mesetas, mesetas, cimas y laderas de los cerros.

1.9

LA LICUACIÓN O LICUEFACCIÓN DE SUELOS

Se produce cuando un suelo arenoso y saturado pierde su capacidad para soportar carga y se comporta como si fuera un lodo líquido. Los suelos susceptibles de licuación son los limosos, arenosos y de rellenos. Durante los terremotos el movimiento del terreno puede causar una pérdida de la firmeza o rigidez del suelo que da como resultados el desplome de edificaciones, deslizamientos de tierra, daños en las tuberías, entre otros. El término licuación, incluye entonces todos los fenómenos donde se dan excesivas deformaciones o movimientos como resultado de transitorias o repetidas perturbaciones de suelos saturados poco cohesivos.

I - 24

SISMOLOGÍA BÁSICA

Ante las consecuencias producidas por la licuefacción de suelos en el tiempo, se fue avanzando y analizando para desarrollar nuevas tecnologías que mitiguen las acciones destructoras de un terremoto. El conocimiento del proceso y sus efectos se ha basado en tres diferentes principios: Observaciones de de campo durante y después después de los terremotos. terremotos. 

Experimentos en el el laboratorio laboratorio en muestras de suelos suelos saturados, y en en modelos modelos de fundaciones y estructuras.



Estudios teóricos.

Fig.1.22 Licuación de suelos en Chimbote, Perú Sismo en 1970. – (Aguilar, 2012)

Fig.1.23 y 1.24 Daños por licuación de suelos en Tambo de Mora (terremoto 15/08/2007) – (Aguilar, 2012) I - 25


1.10

PELIGRO SÍSMICO

Se define como peligrosidad sísmica, la probabilidad de ocurrencia, dentro de un periodo específico de tiempo y dentro de una región determinada, movimientos del suelo cuyos parámetros: aceleración, velocidad, desplazamiento, magnitud o intensidad son cuantificados.

Fig. 2.1 Peligro Sísmico

PELIGRO SÍSMICO Sismicidad + Exposición Sísmica = Amenaza Sísmica

RIESGO SÍSMICO Peligro Sísmico * Vulnerabilidad = Daños

CUADRO COMPARATIVO PELIGRO SISMICO Probabilidad de ocurrencia.

RIESGO SISMICO Probabilidad de producir pérdida de valor.

Fig. 1.25 Peligro Sísmico de Estructuras

I - 26

SISMOLOGÍA BÁSICA

1.10.1 PARAMETROS QUE INFLUYEN EN EL PELIGRO SISMICO Los parámetros más importantes que influyen en la determinación del peligro sísmico son: 

Origen del sismo



Magnitud



Ubicación del epicentro epicentr o



Profundidad del foco



Las condiciones locales del suelo donde se ubica el edificio.

1.10.2 PARAMETROS QUE INFLUYEN EN LA

EVALUACION DE PELIGRO

SISMICO Los parámetros del peligro sísmico pueden ser agrupados en tres categorías: 1. Movimientos del terreno. 

aceleración



velocidad



desplazamiento

2. Frecuencia predominante. predominante. 3. Duración.

1.10.3 DETERMINACIÓN DE LAS FUENTES SISMOGÉNICAS La distribución espacial de la actividad sísmica y las características neo tectónicas en el Perú, han permitido definir 20 fuentes sismogénicas con características sismo tectónico particulares. Se presentan estas fuentes como áreas, ya que no existen suficientes datos como para modelar las fallas como fuentes lineales. El hecho que la actividad sísmica en el Perú es el resultado de la interacción de las placas Sudamericana y de Nazca y el proceso de reajuste tectónico del Aparato Andino, nos permite agrupar a las fuentes en: Fuentes de Subducción y Fuentes Continentales. En la Tabla 2.1 se presentan los parámetros sismológicos de las veinte fuentes sismogénicas. Para determinar las profundidades representativas de los hipocentros en las zonas sismogénicas se realizó un análisis estadístico de cálculo de frecuencias de sismos versus profundidad. profundidad.

I - 27


Figura 1.26: Mapa sismotectónico del Perú (Castillo y Alva, 1993).

Figura 1.27: Distribución de las fuentes sísmicas de subducción de interplaca, intraplaca y fuentes de corteza (Monroy y Bolaños y Muñoz & Blondet, 2005).

I - 28

SISMOLOGÍA BÁSICA

FUENTE F1 F2 F3 F4 F5 F6 F7 F8 F9 F10 F11 F12 F13 F14 F15 F16 F17 F18 F19 F20

Mw a

b

3.7271

0.4795

6.0894

0.8392

5.4177

0.6828

5.6176

0.7528

5.5403

0.7337

3.7363

0.5305

3.2533

0.5746

4.489

0.7316

4.3551

0.6309

4.2485

0.5763

4.8948

0.6126

3.9508

0.6010

4.1138

0.6367

4.3627

0.6415

4.5287

0.6015

5.8866

0.8257

7.4704

0.9855

4.6431

0.5638

5.7901

0.7880

4.0533

0.5213

Mmin 4.0 5.1 4.3 4.7 4.7 3.8 4.3 3.8 4.3 4.5 4.0 4.0 4.0 4.3 4.5 4.7 5.3 4.3 4.9 5.1

Mmax 8.3 7.4 8.2 8.4 8.4 7.1 7.1 6.8 7.2 7.0 6.9 6.9 6.8 6.5 7.0 7.0 7.2 7.2 6.8 7.2

β

1.10 1.93 1.57 1.73 1.69 1.22 1.32 1.68 1.45 1.33 1.41 1.38 1.47 1.48 1.39 1.90 2.23 1.30 1.81 1.20

Tasa 1.59 1.61 7.57 3.00 3.09 1.31 0.15 1.28 1.10 1.13 6.96 0.88 0.92 1.01 1.66 2.53 4.42 4.14 2.12 0.62

PROF. (KM) 40 40 40 40 40 40 45 45 40 40 40 45 125 130 130 115 130 155 160 580

Tabla 1.1: Parámetros sismológicos de las fuentes sismo génicas

1.10.4 DETERMINACIÓN DE LOS PARÁMETROS SISMOLÓGICOS Cada una de las fuentes sismo génicas tiene características propias definidas por sus parámetros sismológicos: sismológicos: magnitud mínima de homogeneidad homogeneidad (Mmin), pendiente de la distribución Gutenberg-Richter (b), tasa media anual de actividad sísmica (m) y magnitud máxima (Mmax). Las escalas de magnitud más utilizadas son mb y Ms. Dependiendo Dependiendo de la escala utilizada, los sismos muestran valores asintóticos a partir de una cierta magnitud (Idriss, 1985). Para evitar este problema de saturación de la magnitud se utilizará la magnitud M definida como Max {Mb, Ms}. Para determinar la sismicidad de cada zona sismo génica se utiliza la expresión de Gutenberg y Richter: Para la evaluación de la peligrosidad sísmica en cada una de las áreas o fuentes es necesario calcular la relación de recurrencia de la actividad sísmica, propuesta por Gutenberg y Richter, cuya expresión es la siguiente:

 I - 29


Dónde: N

= Número acumulativo de sismos de magnitud M o mayor por unidad de tiempo.

a,b = Parámetros que dependen de la sismicidad de la zona.

La expresión anterior se puede escribir como:

 

Dónde:

Para determinar los valores de a y b se utilizó el método de la máxima verosimilitud que ajusta la recta al valor medio de los datos sobre la magnitud mínima de homogeneidad, incluida la máxima magnitud observada, normalizando el aporte que hacen los sismos de diferentes magnitudes. Esto hace que el valor de b refleje de mejor forma las características de la región (Bonilla y Ruiz, 1992). La tasa m es la tasa media anual de ocurrencia de eventos mayores o iguales que la magnitud mínima de homogeneidad. Para determinar la tasa m se utiliza una variación del diagrama de Gutenberg y Richter, que consiste en dibujar un número acumulativo de eventos mayores a una determinada magnitud versus el tiempo. De estos gráficos se puede determinar la magnitud mínima de homogeneidad (Mmin) y la tasa m. En la Tabla 2.2 se presentan los parámetros sismológicos de las veinte fuentes sismo génico. Para determinar las profundidades representativas de los hipocentros en las zonas sismo génicas se realizó un análisis estadístico de cálculo de frecuencias de sismos versus profundidad.

FUENTE F1 F2 F3 F4 F5 F6 F7 F8 F9 F10

Mw β Mmin Mmax 4.2 8.3 1.492 1.492 4.5 8.2 2.128 2.128 4.6 8.4 1.292 1.292 4.5 8.4 1.672 1.672 4.5 8.4 1.973 1.973 4.4 6.5 2.001 2.001 4.3 7.1 2.220 2.220 4.3 7.1 1.879 1.879 4.5 7.8 2.070 2.070 4.9

7.8

Tasa 3.014 4.750 8.683 7.132 8.320 1.104 2.722 3.754 3.591

2.022 11.211

FUENTE F11 F12 F13 F14 F15 F16 F17 F18 F19 F20

Mw β Mmin Mmax 4.5 7.5 1.271 1.27 1 4.1 7.1 1.962 1.96 2 4.6 7.5 2.079 2.07 9 4.8 7.3 1.810 1.81 0 4.4 6.3 2.385 2.38 5 4.8 6.9 2.977 2.97 7 4.6 7.5 1.842 1.84 2 4.6 7.4 1.881 1.88 1 4.8 7.2 2.450 2.45 0 4.3

6.9

Tabla 1.2: Parámetros sismológicos de las fuentes sismo génicas

I - 30

Tasa 4.421 3.099 2.145 4.650 0.782 1.890 1.966 2.220 2.589

2.010 2.01 0 1.409

SISMOLOGÍA BÁSICA

Para determinar las profundidades representativas de los hipocentros de las fuentes sismo génicas se utilizaron las secciones transversales a la Fosa Perú-Chile más próximas a los vértices de las fuentes, de tal manera que se modele la subducción de la placa de Nazca bajo la placa Sudamericana.

Magnitud Máxima En cada zona fuente, se debe de determinar la máxima magnitud Mmáx, que se espera, para ello existen diferentes fórmulas empíricas que relacionan la longitud de rotura de la falla L, con Mmáx. Una de las primeras relaciones fue suministrada por Idda (1959) para las fallas inversas.

   

La primera ecuación es para sismos profundos y la siguiente para sismos superficiales o intermedios. Se aprecia que la relación entre la Magnitud Máxima y el logaritmo de la longitud de rotura es de tipo lineal, de la forma:

 Donde A y B son constantes que se obtienen por regresión lineal, es conveniente que los valores de A Y B se obtengan con sismos de una determinada zona geográfica como lo propone Acharya (1979). Por otra parte, Siemmons (1977) propone calcular la magnitud máxima en base al tipo de falla. Para América del Sur, Acharya propone la siguiente ecuación, para encontrar la magnitud máxima, la misma que fue obtenida a partir de 31 eventos con magnitud superior a 7. Por lo tanto, para magnitudes inferiores su aplicación es incierta.

  Leyes De Atenuación Ley de atenuación es una expresión semiempírica que relaciona Magnitud-DistanciaIntensidad Sísmica; entendiéndose por estas últimas palabras a la aceleración, velocidad, desplazamiento e intensidad propiamente dicha de eventos sísmicos; estas relaciones se obtienen de los datos que existen sobre los parámetros mencionados. La filosofía de las leyes de atenuación se puede sintetizar en dos aspectos:

I - 31


- A una misma distancia, R se espera tener la misma intensidad sísmica (aceleración, velocidad, velocidad, desplazamiento desplazamiento e intensidad propiamente dicha). - La intensidad sísmica disminuye conforme la distancia aumenta y viceversa. determinada por Youngs: • Para las Fuentes de subducción, fue usado la relación determinada

         • Para las fuentes continentales, fue usado la relación derivada por Sadigh :

      (  )        Dónde: y: es la aceleración espectral en g. M: Magnitud Momento. r rup rup: Distancia más cercana al área de ruptura. En la siguiente Tabla 2.3 se tiene algunas leyes de atenuación que han sido utilizadas en estudios de peligrosidad sísmica en diferentes regiones del mundo.

REGIÓN

LEY DE ATENUACIÓN

AUTOR

Chile – Argentina

Ln Amáx. = 8.54 + 0.57M –

Saragoni et al (1982)

1.73 Ln (R+60) Perú

Ln Amáx. = 8.18 + 0.68M –

Saragoni et al (1982)

1.63 Ln (R+60) Perú

Ln Amáx. = 4.23 + 0.80M – Ln

Casaverde (1980)

(R+25) Ecuador

Ln Amáx. = 6.35 + 0.99M –

Aguilar (1989) (1989)

1.76 Ln (R+40) ± 0.60 Venezuela

Ln Amáx. = 3.75 + 0.47M –

Grases (1997)

0.57 Ln (R+10) ± 0.67 USA

Ln Amáx. = 6.98 + 0.50M –

I - 32

Donovan (1973)

SISMOLOGÍA BÁSICA

1.25 Ln (R+25)

USA – Japón Europa

Ln Amáx. = 0.14 Imm + 0.24M

Goula (1993)

– 0.68 Log R +B Tabla 1.3: Modelos para Leyes de Atenuación.

Para el caso de Perú, se han utilizado dos leyes de atenuación de aceleraciones, la primera, es la propuesta por Casa verde y Vargas (1980) y ha sido empleada para las fuentes asociadas al mecanismo de subducción. Esta ley está basada en los registros de acelerógrafos de las componentes horizontales de diez sismos peruanos registrados en Lima y alrededores.

1.10.5 EVALUACIÓN DEL DEL PELIGRO SISMICO El peligro sísmico se define por la probabilidad que en un lugar determinado ocurra un movimiento sísmico de una intensidad igual o mayor que un valor fijado. En general, se hace extensivo el término intensidad a cualquier otra característica de un sismo, tal como su magnitud, la aceleración máxima, el valor espectral de la velocidad, el valor espectral del desplazamiento del suelo, el valor medio de la intensidad Mercalli Modificada u otro parámetro. Tipo de fallas presentes en el área en estudio.

Magnitudes máximas de sismos anteriores.

Tipo de suelo

Ubicación geográfica de la zona

Antecedentes de sismos anteriores. Fig. 1.28: Parámetros sismológicos.

I - 33


Teoría de las Probabilidades es aplicable en el análisis del riesgo de su ocurrencia. Aplicando esta teoría se puede demostrar que si la ocurrencia de un evento A depende de la ocurrencia de otros eventos: E1, E2,........ En, mutuamente excluyentes excluyentes y colectivamente exhaustivos; entonces, de acuerdo al teorema de la "Probabilidad Total" se tiene para la probabilidad de ocurrencia de A:

      ∑         

Donde P (A/Ei) es la probabilidad condicional que A ocurra, dado que Ei ocurra. La intensidad generalizada (I) de un sismo en un lugar fijado puede considerarse dependiente del tamaño del sismo (la magnitud o intensidad epicentral) y de la distancia al lugar de interés. Si el tamaño del sismo (S) y su localización (R) son considerados como variables aleatorias continuas y definidas por sus funciones de densidad de probabilidad, fS(s) y fR(r) respectivamente; entonces, el peligro sísmico definido por la probabilidad que la intensidad "I" sea igual o mayor que una intensidad dada, será: P ( I ≥ i ) y está dada por:

   ∫∫* ∫∫ *+   Esta es la expresión que resume la teoría desarrollada por Cornell en 1968, para analizar el peligro sísmico. La evaluación de esta integral es efectuada por el programa de cómputo RISK desarrollado por McGuire (1976) en el cálculo del peligro sísmico.

Nivel de Confidencia En el presente estudio de peligro sísmico, el nivel de excedencia (RISK t) y probabilidad extrema se definen como la probabilidad que, en un tiempo determinado (tiempo de vida útil) ocurra un sismo de intensidad intensidad igual o mayor a una intensidad intensidad dada. El nivel de excedencia se expresa de la manera siguiente:

     

Dónde: t : tiempo de vida útil

Ry(a): periodo de retorno promedio en años de un sismo de intensidad > a. El nivel de confidencia se expresa como:

        I - 34

SISMOLOGÍA BÁSICA

Los movimientos de diseño que el ingeniero debe seleccionar están asociados a un nivel de excedencia suficientemente pequeño durante la vida útil de la edificación.

Identificación y Evaluación de las Fuentes Sismogénicas 

Evidencias geológicas



Evidencias Evidencias tectónicas



Sismicidad histórica



Sismicidad instrumental

ETAPAS DE LA EVALUACIÓN SÍSMICA En el gráfico adjunto se muestra las etapas que se siguen para la evaluación de la peligrosidad sísmica a nivel regional, tendientes a la obtención de parámetros para el diseño sismo resistente, expresados en términos t érminos probabilísticos. probabilísticos.

Fig.1.29: Etapas de Evaluación de peligro sísmico.

METODOLOGÍA DE LA EVALUACIÓN SÍSMICA La evaluación de la peligrosidad sísmica se ejecuta utilizando los algoritmos propuestos por Algermissen, cuya metodología de cálculo se resume a continuación: continuación: a. Dividir el país en una cuadricula de 30 minutos por 30 minutos. b.

Determinar en cada área fuente, los coeficientes a y b de la ecuación de recurrencia, con los datos correspondientes a sismos de magnitud mayor o igual a Mmin. Siendo Mmin la magnitud mínima seleccionada en el estudio.

c.

Determinar la longitud de rotura o falla y la máxima magnitud esperada. I - 35


d. Calcular la frecuencia frecuenc ia de ocurrencia de aceleraciones en cada vértice de la cuadricula. e. Obtener la aceleración o velocidad velocidad máxima esperada esperada en cada vértice de la cuadricula

MÉTODOS PARA LA EVALUACIÓN DEL PELIGRO SÍSMICO Los métodos utilizados para evaluar la peligrosidad sísmica pueden ser deterministas y probabilistas. Ambos consideran la sismicidad como un fenómeno estacionario, y suponen que los sismos que ocurrirán en el futuro serán de las mismas características que los sucedidos en el pasado. Como esta hipótesis no refleja bien la realidad física, también se han considerado modelos no estacionarios que tienen en cuenta la diferente probabilidad probabilidad de ocurrencia de los sismos antes y después de un terremoto t erremoto de notable magnitud (Campos-Costa y Duarte, 1992).

Métodos Deterministas Los métodos deterministas analizan la sismicidad propia de cada zona sismo genética que afecta al lugar cuya peligrosidad se estudia, con objeto de estimar el máximo sismo potencial o que razonablemente se puede esperar en cada una de ellas. Este es el único terremoto considerado en el análisis y se acepta que volverá a repetirse en el futuro. Por ello mide la contribución de la zona al peligro sísmico en el emplazamiento. En resumen el procedimiento de análisis por el método determinista: a. Identificación y caracterización caracterización de las fuentes sismogénicas. sismogénicas. b. Selección del parámetro parámetro de distancia distancia fuente – sitio, para cada fuente. c. Selección del terremoto dominante. d. Determinación Determinac ión de parámetros del movimiento producido por el terremoto dominante.

Método Probabilista Los métodos probabilistas parten del conocimiento de la sismicidad pasada para deducir las leyes estadísticas que regirán la actividad sísmica futura. Con ello se estima la probabilidad de que los distintos niveles de movimiento del suelo sean superados en un plazo dado. Así cada zona queda caracterizada por los parámetros a, b y las magnitudes máxima y mínima que acotan la línea de ajuste. Igual que en los estudios deterministas, una ley de atenuación adecuada traslada la influencia de cada zona al punto de análisis y la peligrosidad se evalúa sumando la influencia de todas las fuentes consideradas. Esto proporciona una curva de probabilidad anual de

I - 36

SISMOLOGÍA BÁSICA

superación de diferentes valores del parámetro elegido. A partir de ella se obtiene la probabilidad correspondiente al tiempo de vida útil de la estructura. El inverso de la probabilidad anual de excedencia se llama periodo de retorno e indica el número de años en el que se espera, con una probabilidad de aproximadamente el 63%, la superación del nivel elegido. La PSHA fue realizada utilizando la teoría propuesta por Cornell (1968) y empleando el programa de cómputo CRISIS 2007 (Ordaz et al., 2007). Se decidió evaluar el peligro sísmico para un 10% de probabilidad de excedencia en 50 años de vida útil (período de retorno de 475 años). Las curvas de peligro sísmico fueron obtenidas para las ciudades de Piura, Lima, Huancayo e Iquitos (figura 2.5 y tabla 2.4) y los cálculos c álculos de la aceleración máxima máxima del suelo (PGA) fueron computados para todo el Perú usando una malla regular de 0.5º.

Figura 1.30: Curvas de peligro sísmico para las ciudades de Piura, Li ma, Huancayo e Iquitos.

Tabla 1.4: Aceleraciones máximas esperadas en suelo firme

I - 37


En resumen el procedimiento de análisis por el método probabilístico: a. Identificación y caracterización caracterización de las fuentes sismo génicas. b. Caracterización Caracter ización de la sismicidad o distribución distribució n temporal de los sismos. c.

Determinación del movimiento sísmico.

d. Probabilidad Probabilidad de excedencia excedencia del del nivel de de movimiento movimiento sísmico determinado en un periodo de tiempo dado.

Aplicación del Método Probabilista En este apartado vamos a considerar las sucesivas etapas de un estudio de riesgo sísmico con una especial referencia al Perú. El punto de partida es, necesariamente, el conocimiento de la sismicidad de la región que rodea al emplazamiento y la delimitación de las zonas sismo genéticas que pueden afectarle. La extensión de la zona que debe ser evaluada depende del tipo de problema: emplazamiento emplazamiento de una instalación crítica; análisis del peligro sísmico de una zona o una población; estudio de microzonificación, etc. En el caso de una central nuclear el entorno alcanza los 350 km de radio, pero si la atenuación es muy pequeña puede ser necesario ampliarlo. Para emplazamientos en la costa el análisis debe incluir el peligro de tsunamis.

1.11

PELIGRO SÍSMICO Y LA NORMA E-030 “DISEÑO SISMORRESISTENTE”

La Norma establece las condiciones mínimas para que las edificaciones diseñadas según sus requerimientos tengan un comportamiento sísmico acorde con los principios señalados. a.

La estructura estructur a no debería colapsar, ni causar daños graves a las personas debido a movimientos sísmicos severos que puedan ocurrir en el sitio.

b. La estructura debería soportar soportar movimientos movimientos sísmicos sísmicos moderados, moderados, que puedan ocurrir en el sitio durante su vida de servicio, experimentando posibles daños dentro de límites aceptables. Esta norma se aplica al diseño de edificaciones; mientras que para estructuras especiales tales como reservorios, tanques, silos, puentes represas, torres de transmisión, muelles, estructuras hidráulicas, plantas nucleares y todas aquellas cuyo comportamiento difiera del de las edificaciones, se requieren consideraciones adicionales que complementen las exigencias en cada caso.

I - 38

SISMOLOGÍA BÁSICA

PARÁMETROS DE SITIO Zonificación El territorio nacional se considera dividido en tres zonas. La zonificación propuesta se basa en la distribución espacial de la sismicidad observada, las características generales de los movimientos sísmicos y la atenuación de éstos con la distancia epicentral, así como en información neotectónica. A cada zona se asigna un f actor Z según se indica en la Tabla 2.5. Este factor se interpreta interpret a como la aceleración máxima del terreno con una probabilidad de 10 % de ser excedida en 50 años. ZONA

Z

3

0.4

2

0.3

1

0.15

Tabla 1.5. Factores de zona

Figura 1.31: Distribución de isoaceleraciones, 10% de excedencia en 50 años (Castillo y Alva, 2003).

Figura 1.32: Zonificación propuesta por la norma E-030 Nivel de Sismo de Diseño

I - 39


1.12 PROBLEMAS DE APLICACIÓN PROBLEMA Nº 01 La máxima amplitud leída en el registro de un sismómetro estándar Wood-Anderson, ubicado a 100 km del epicentro es 1 cm. Calcular la Magnitud Local Richter M L.

SOLUCIÓN: Tenemos como datos:

     La escala de Richter es una forma de convertir las lecturas sismográficas en números que proporcionan una referencia sencilla para medir la magnitud M de un terremoto. Terremoto de nivel cero cuya lectura sismográfica mide 0.001 de milímetro a una distancia de 100 kilómetros k ilómetros del epicentro. Un terremoto cuya lectura sismográfica mide x milímetros tiene una magnitud M(x) dada por:

   Dónde:

  

, es la lectura de un terremoto de nivel cero a la misma distancia del

epicentro.



Entonces:

Por lo tanto resolviendo resolviendo el ejercicio tenemos:

    

De acuerdo a la fórmula anterior, si terremoto es:

, entonces la magnitud M(x) de este

Lo que indica que el terremoto mide:

M = 4.0

en la escala de Richter.

I - 40

SISMOLOGÍA BÁSICA

PROBLEMA Nº 02 Estime la energía liberada en el sismo que ocurrió en Lima el sábado 29/03/2008 29/03/20 08 (7:51 am), en que la magnitud fue M=5.0. Además, determine cuantas veces mayor fue la energía liberada en comparación al sismo que ocurrió ese mismo día en la madrugada (1:40 am) que fue de magnitud M=3.9.

SOLUCIÓN: Recurrimos Recurrimo s a la fórmula de energía en relación a la magnitud:

                  

(Ergios)

Reemplazando M=5.0:

Despejando tenemos:

Ergios



Para calcular cuantas veces mayor es la energía tendremos: EN CUANTO A ENERGIAS: Con la fórmula de energía que relaciona con magnitud:

a) Con M=5.0

Reemplazando:

Despejando:

                                    Ergios

b) Con M=3.9

Ergios

I - 41


Para saber cuántas veces más grande es la energía en Lima (7:51 am) que la energía liberada en Lima madrugada (1:40 am), hacemos este cociente:

         

Indica que el terremoto de Lima (7:51 am) fue 45 veces más intenso que el terremoto en Lima madrugada (1:40 am)

PROBLEMA Nº 03 La figura muestra las ubicaciones de 3 estaciones que registraron un sismo y 3 ubicaciones posibles del epicentro (A, B y C). Las distancias están en km. Las diferencias en los tiempos de llegada de las ondas P y S en las estaciones 1, 2 y 3 fueron 2´50”, 4´00” y 5´40”, respectivamente. Determine la ubicación más probable del

epicentro. El material por el que viajan las ondas tiene las siguientes características:

     ⁄           ⁄     √     √      

Fig. 1.33: Ubicación de posibles epicentros

I - 42

SISMOLOGÍA BÁSICA

SOLUCIÓN: Teniendo las fórmulas de velocidad para cada onda, reemplazando:

                                 Ahora remplazamos remplazamos los datos de de los elementos elementos y calculamos la elasticidad elasticidad del cuerpo.

       (  )    Teniendo los datos de los tiempos y convirtiendo estos tiempos a segundos.

           Teniendo los tiempos y velocidades de las ondas P y S, se calcula las distancias epicentrales para cada estación con la formula siguiente:

    Reemplazando:

                                                Ahora trazamos unos círculos con radio igual a la distancia d1, d2, d3. Y tenemos la siguiente figura.

I - 43


Fig. 1.34: Ubicación del epicentro

La intersección de los círculos nos indica el punto de epicentro en donde se origina la liberación de energía del sismo. Por lo que en este caso se tiene que ubicar a cuál de los lugares A, B o C está cerca al epicentro. Llegando a una conclusión de que el epicentro del sismo está cerca o en el lugar B, donde se intersecan los círculos de distancias epicentrales. Entonces: 

Lugar “B”

PREGUNTAS TEÓRICAS PREGUNTA 1: 1. ¿Explique que es piso blando en una edificación? edificación ? el problema de “piso blando” surge en aquellos edificios aporticados (compuestos

predominantemente predominantemente en su estructura por vigas y columnas), donde el piso en mención presenta alta flexibilidad por la escasa densidad de muros que impide controlar los desplazamientos laterales impuestos por los terremotos, en tanto que los pisos adyacentes son relativamente más rígidos por contener una mayor cantidad de muros. Este es el caso, por ejemplo, de aquellos edificios que presentan en su primer piso cocheras, tiendas o restaurantes, donde por el uso que se le da tiene pocos muros,

I - 44

SISMOLOGÍA BÁSICA

mientras que los pisos superiores, generalmente destinados a vivienda, contienen muchos tabiques de albañilería que los rigidizan lateralmente al actuar el tabique durante el sismo como una especie de puntal diagonal sobre el pórtico que lo enmarca.

Fig. 1.35 y 1.36: Edificios con piso blando www.eeri.org y www.iitk.ac.in

2. ¿Qué es el fenómeno de licuación o licuefacción? licuefacció n? La licuefacción sucede en un terreno por acción de un episodio sísmico (terremoto). La licuefacción es un tipo de corrimiento, provocado por la inestabilidad de un talud. es uno de los fenómenos f enómenos más dramáticos y destructivos y, además, más polémicos y peor explicados que pueden ser inducidos en depósitos por acciones sísmicas. 3. ¿Explique la diferencia diferencia entre riesgo sísmico sísmico y peligro peligro sísmico? sísmico? Peligro sísmico Sismicidad + exposición sísmica = amenaza sísmica Riesgo sísmico Peligro sísmico * vulnerabilidad = daños 4. ¿Qué es una ley de atenuación atenuación y que factores factores contienen? contienen? Ley de atenuación es una expresión semiempírica que relaciona magnitud-distanciaintensidad sísmica; entendiéndose por estas últimas palabras a la aceleración, velocidad, velocidad, desplazamiento desplazamiento e intensidad propiamente propiamente dicha de eventos sísmicos; estas relaciones se obtienen de los datos que existen sobre los parámetros mencionados.

I - 45


PREGUNTA 2: Marque con una X sobre la letra correspondiente si las siguientes oraciones son verdaderas (V) o falsas (F). (V) (F)

La placa del Pacífico se desplaza en el mismo sentido que la placa de Sudamérica. Rpta: (V) Justificación: Es cierto en la figura siguiente se puede apreciar.

Fig. 1.37: Principales zonas tectónicas, lomos oceánicos y zonas de subducción – (Goytia y Villanueva, 2001)

(V) (F)

Las ondas transversales se conocen como ondas Rayleigh o Love. Rpta: (F) Justificación: Las ondas S, llamadas también también secundarias, transversales transversales o de corte producen un movimiento de partículas en sentido perpendicular a la dirección de la propagación. En tanto las ondas R y L son subdivisiones de las ondas superficiales. superficiales.

(V) (F)

El riesgo sísmico es el producto del peligro sísmico por la vulnerabilidad y el costo. Rpta: (V) Justificación: RIESGO SÍSMICO = PELIGRO SÍSMICO*VULNERABILIDAD*COSTO SÍSMICO*VULNERABILIDAD*COSTO

(V) (F)

La vulnerabilidad de una edificación edificació n varía con la intensidad de un sismo.

I - 46

SISMOLOGÍA BÁSICA

Rpta: (F) Justificación: La vulnerabilidad sísmica depende de las características de la edificación, material, configuración, diseño estructural, calidad de la construcción. construcción. (V) (F)

Para que se presente un tsunami el epicentro del sismo debe estar en el mar. Rpta: (F) Justificación: Se tiene que especificar que los tsunamis se originan por eventos sísmicos de gran magnitud con epicentro en el fondo f ondo del mar.

PREGUNTA 3: Marque con una X sobre la letra correspondiente si las siguientes oraciones son verdaderas (V) o falsas (F). (V) (F)

El factor de zona tiene factores de aceleración. aceleración.

Rpta: (V) Justificación: Según la norma E-030, indica que Z se interpreta como la aceleración máxima del terreno con una probabilidad de 10% de ser excedida en 50 años. (V) (F)

El colapso de las edificaciones edificaciones debe evitarse a toda costa.

Rpta: (F) Justificación: Se sabe que las edificaciones se comportarán ante los sismos considerando: a) Resistir sismos leves sin daños. b) Resistir sismos moderados considerando la posibilidad de daños estructurales leves. c) Resistir sismos sismos severos severos con la posibilidad posibilidad de daños daños estructurales importantes con una posibilidad remota de ocurrencia del colapso de la edificación. (V) (F)

La forma de coeficiente C define la del espectro de diseño de la norma peruana.

Rpta: (V)

I - 47


Justificación: El factor de amplificación sísmica sísmica C permite estimar la amplificación de aceleraciones de la respuesta estructural respecto de la aceleración en el suelo. El espectro de diseño de la norma peruana está definido por:

(V) (F)

     

. Por lo que el coeficiente C hace variar el espectro de diseño.

Las estructuras se clasifican en regulares o irregulares. irregulares. Las irregulares se

diseñan con fuerzas mayores que las regulares.

Rpta: (V) Justificación: Es una clasificación válida e indica que las estructuras irregulares se diseñan con fuerzas mayores que las regulares debido a que tienen una configuración inestable. (V) (F)

Las edificaciones edificacion es de categoría A pueden ser irregulares.

Rpta: (F) Justificación: Según la norma E-0.30 nos dice que la categoría de edificación A solo puede ser regular. (V) (F)

En el método estático, cuando el periodo de una estructura es mayor que 0.7 seg se debe considerar una fuerza concentrada, F a, en la parte superior de la estructura.

Rpta: (V) Justificación: Es cierto la norma indica que si el periodo fundamental T, es mayor que 0.7 s, una parte de la fuerza cortante V, denominado F a, deberá aplicarse como la fuerza concentrada en la parte superior de la estructura. (V) (F)

En un sistema dual, los pórticos deben diseñarse, por lo menos, para resistir el 25% de la fuerza cortante total.

Rpta: (V) Justificación: Es cierto la norma indica que las acciones sísmicas son resistidas por una combinación de pórticos y muros estructurales. Los pórticos deberán ser diseñados para tomar por lo menos 25% del cortante en la base.

I - 48

SISMOLOGÍA BÁSICA

PREGUNTA 4: Marque la alternativa correcta: 1. La región de mayor sismicidad en nuestro país es: a. La costa peruana b. La selva peruana c. El Altiplano d. La región norte e. La región sur

Rpta: e. Justificación: Según los últimos registros se espera que en la región sur del país se manifieste mayor sismicidad. 2. Los sismos de mayor magnitud ocurren con menor frecuencia frecuenc ia que los de menor magnitud: a. Falso b. Cierto c. Cierto solamente para la zona amazónica d. Cierto solamente para la zona altiplánica e. Ninguna de las anteriores

Rpta: b. Justificación: Es cierto, los sismos de mayor magnitud ocurren con menor frecuencia y llegan a ser más destructivos. 3. Se define peligro sísmico como: a. El daño que produce un sismo b. El valor de la aceleración causada por un sismo en la base de la estructura c. La probabilidad probabilidad de que la estructura estructura pueda pueda ser afectada afectada por un sismo d. El factor Z de de la NTE E.030 es un ejemplo de peligro sísmico sísmico e. Ninguna de las anteriores

Rpta: d. Justificación: El factor Z son valores valores que dependen de la zonificación que es dividida en 3 zonas dependiendo de la sismicidad. Entonces sabemos que uno de los parámetros de la peligrosidad sísmica es la ubicación geográfica de la zona.

I - 49


1.13 PROBLEMAS PROPUESTOS PROBLEMA Nº 01 A que velocidad velocidad viaja la ola de un maremoto si el océano tiene una profundidad profundidad de 3200m. En cuanto tiempo llegaría esa ola desde unos 1500km de distancia. Si el periodo de la ola es de 14 minutos, cuanto mide su longitud de onda.

PROBLEMA Nº 02 En un sismograma se ha leído que la diferencia en el tiempo de llegada de las ondas P y S es de 25 segundos. El material material por el que viajan viajan las ondas tiene las siguientes siguientes características E=490000kg(fuerza)/cm E=490000kg(fuerza)/cm2, µ=0.25 y ρ=4100kg(masa)/m3. Deduzca una expresión que permita calcular la distancia focal y aplíquela a estos datos.

PROBLEMA Nº 03 Se tiene un perfil de suelo que está constituido por un suelo cohesivo cuya resistencia al corte típico en condiciones no drenada es de 40KPa. El estrato tiene 25m de espesor sobre roca, clasifique el perfil de acuerdo a la norma y establezca los valores de S y Tp que le corresponde. Si ahora, el estrato fuera de 20m de espesor, ¿cuál sería el tipo de perfil que le corresponde?

PROBLEMA Nº 04 La máxima amplitud leída en el registro de un sismómetro estándar Wood-Anderson, ubicado a 100km del epicentro es 1cm. Calcular la Magnitud Local Richter M L.

PROBLEMA Nº 05 Estime la energía liberada en el sismo que ocurrió en Lima el sábado 29/03/2008 (7:51 am), en que la magnitud fue M=5.0. Además, determine cuántas veces mayor fue la energía liberada en comparación al sismo que ocurrió ese mismo día en la madrugada (1:40 am) que fue de magnitud M=3.9.

PROBLEMA Nº 06 La figura muestra las ubicaciones de 3 estaciones que registraron un sismo, las distancias están en km. Las diferencias en los tiempos de llegada de las ondas P y S en las estaciones 1, 2 y 3 fueron 2‟50”, 4‟00” y 5‟40”, respectiva mente. Determine la

ubicación más probable del epicentro. El material por el que viajan las ondas tiene las siguientes características:

I - 50

SISMOLOGÍA BÁSICA

G = 3 x 106 ton/m2 ,

= 0.30 ,  = 0.245 ton-s2/m4



3000

Estación 3 (3600, 2800)

2500

2000

1500

Estación 1 (3000, 1000)

1000

Estación 2 (200, 200)

500

0 0

5 00

100 0

1 500

20 00

25 00

3 00 0

35 00

4000

PREGUNTAS TEÓRICAS N°01 1. ¿Un sismógrafo es un instrumento que funciona cuando cuando se presenta un movimiento que excede un nivel predeterminado de aceleración vertical? 2. ¿Las ondas transversales transversales se conocen también como ondas Rayleigh Rayleigh o Love? 3. ¿Los sismos profundos afectan regiones más extensas y en consecuencia son más devastadores que los sismos cuyo foco está a menos profundidad? 4. ¿La escala de Richter tiene 9 grados? 5. ¿Cuáles son los factores que influyen en la intensidad en una misma ciudad para un mismo sismo? 6. ¿Las placas continentales continenta les se desplazan entre 1 a 9cm al año, ocurriendo el mayor desplazamiento en la zona ecuatorial? 7. ¿La velocidad de las ondas sísmicas se incrementa en un medio más denso? 8. ¿La extensión de la falla comprometida con un sismo está relacionada con la magnitud? 9. ¿Qué evidencias evidencias confirmaron la teoría de la deriva deriva continental? 10. ¿Cuál es la principal fuer fuerza za que mueve las placas continentales? continentales?

I - 51


PREGUNTAS TEÓRICAS N°02 Indique si las siguientes oraciones son verdaderas (V) o falsas (F), marcando con un aspa (X) sobre la letra correspondiente. correspondiente. (V) (F)

Los sismos se acabarán cuando se estabilicen estabilicen las fuerzas internas en el manto.

(V) (F)

Las tormentas de fuego, ocasionadas ocasionadas por terremoto, solo se producen en los lugares cercanos a la línea ecuatorial en donde las temperaturas son altas.

(V) (F) ( F)

La Falla de san Andrés en los Estados Unidos es de tipo subducción.

(V) (F)

En un sismo moderado a menores profundidades profundidades causa más daño que un sismo severo pero más profundo.

(V) (F)

Las Fallas inversas producen esfuerzos cortantes en el terreno.

(V) (F)

Los sismos superficiales por lo general presentan más replicas como un sismo profundo.

(V) (F)

Las réplicas ocurren en las siguientes horas, días o semanas después de un terremoto.

(V) (F)

Las ondas sísmica P son más lentas que las ondas sísmicas S.

(V) (F)

El sismo más grande registrado a nivel mundial ha sido el de Tohoku en Japón en el año de 2011.

(V) (F)

La teoría del rebote elástico coincidía con la teoría de tectónica de placas en lo referente a creación de nuevo material en la litósfera.

(V) (F)

La dorsal oceánica se encuentra ubicada en el océano ÍNDICO

PREGUNTAS TEÓRICAS N°03 Complete las oraciones siguientes: 1. Un suelo gravoso con N del SPT de 35 que conforma un estrato de 30 m sobre roca, se clasifica según la Norma como suelo tipo ________ 2. Un suelo gravoso con N del SPT de 30 que conforma un estrato de 18 m sobre roca, se clasifica según la Norma como suelo tipo ________ 3. Un suelo cohesivo con resistencia al corte no drenada de 2kg/cm 2 que conforma un estrato de 50m sobre roca, se clasifica según la Norma como suelo tipo _________ _________ 4. ¿Cuándo se requieren estudios de microzonificación microzonif icación sísmica? ______________________ _________________________________ ______________________ ________________________ ________________________ _________________ ______ ______________________ _________________________________ ______________________ ___________________________ __________________________ _____________ ___

I - 52

ANÁLISIS DE LA NORMA E.030 “DISEÑO SISMORRESISTENT SISMORRESISTENTE” E”

CAPÍTULO II ANALISIS DE LA NORMA E-030 “DISEÑO SISMORRESISTENTE” 2.1 INTRODUCCIÓN En 1997 se promulgó la Norma de Diseño Sismorresistente que reemplazó a la versión de 1977. Esta introdujo una serie de cambios importantes que en opinión de los miembros del Comité Técnico Especializado, han contribuido a reducir daños en las edificaciones, a la luz de lo ocurrido en el sismo de Atico de junio del 2001. Varios de dichos cambios constituyeron sin embargo exigencias que fueron consideradas en algunos casos muy severos y en otros insuficientes. A iniciativa del SENCICO, se constituyó el Comité Permanente Permanente de la Norma de Diseño Sismorresistente, el único con este carácter entre todos aquellos constituidos para proponer normas. Esta condición ha sido una ventaja para esta Norma ya que ha permitido continuar estudiando las modificaciones que surgieron a raíz de su promulgación. El criterio para el desarrollo de la versión 2003, ha sido mantener el esquema básico de la Norma anterior. Es decir los cambios se limitan solamente a algunos aspectos. No se ha alterado el nivel de diseño único ni los procedimientos para determinar la fuerza sísmica.

2.2 ANTECEDENTES DE LA NORMA E-030 

1963: ACI introduce el Diseño a la Rotura.

1964: Primer proyecto de Norma Peruana, basada en la de SEAOC (Structural



Engineers Association of California). California). 1970: Primeros modelos analíticos para el análisis inelástico. Primera Norma



Peruana de nivel nacional. (Sismo de Lima 1966)

II - 1




1977: Segunda Norma Peruana. (Sismos de 1970,1974)

1997: Tercera Norma Peruana. (Sismos de México 1985, Loma Prieta 1989,



Northridge 1994, Kobe 1995, Nazca 1996) 

2003: Actualización de la Tercera Norma Peruana (Sismo del 23 de Junio del 2001)

INSTITUCIONES

Y

PROFESIONALES

QUE

INTEGRAN

EL

COMITÉ

ESPECIALIZADO: Cismid (Presidente: Dr. Javier Piqué del Pozo); Colegio de Ingenieros del Perú (Ings. Luis Zegarra Ciquero y Rafael Salinas Basualdo); Instituto Geológico del Perú (Dr. Leonidas Ocola Aquise); Universidad Nacional de Ingeniería (Dr. Hugo Scaletti Farina); Sencico (Ing. Marcos Tinman Behar); Pontificia Universidad Católica del Perú (Ings. Alejandro Muñoz Muñoz Peláez y Gianfranco Gianfranco Ottazzi Pasino). Pasino).

2.3 ALCANCES, FILOSOFÍA Y PRINCIPIOS DE LA NORMA E-030 2.3.1 ALCANCES La NTE E.030 - 2003 especifica las solicitaciones sísmicas y los requisitos de configuración y rigidez tanto para el proyecto de edificaciones nuevas como para el reforzamiento y reparación reparación de edificaciones edificaciones existentes. Adicionalmente Adicionalmente a lo indicado en esta esta Norma, señala que se deberá deberá tomar medidas medidas de prevención contra los desastres que puedan producirse como consecuencia del movimiento sísmico: fuego, fuga de materiales peligrosos, deslizamiento masivo de tierras u otros. Las normas son evolutivas y el ingeniero deberá actualizarse constantemente y practicar los mejores principios que se conozcan a la fecha de diseño.

2.3.2 FILOSOFÍA Y PRINCIPIOS DEL DISEÑO SISMORRESISTENTE Filosofía: Tal como se acostumbra en algunas ramas de la actividad profesional el término “filosofía” es empleado por el código con el sentido de “objetivo” o “aspiración general”, y según la norma los objetivos de un diseño sismorresistente son:

- Evitar pérdidas de vidas - Asegurar la continuidad de los servicios básicos - Minimizar los daños a la propiedad.

II - 2


Principios: De acuerdo al estado actual de conocimientos, los sismos son tratados como eventos aleatorios que podrían o no presentarse durante la vida de una determinada edificación. Los pequeños sismos tiene una alta probabilidad de ocurrencia mientras los grandes sismos tienen un baja probabilidad que podrían simplemente no ocurrir. Se reconoce que dar protección completa frente a todos los sismos no es técnica ni económicamente factible para la mayoría de las estructuras, por tanto la Norma establece los siguientes principios para el diseño: a. La estructura no debería colapsar, ni causar daños graves a las personas debido a movimientos sísmicos severos que puedan ocurrir. b. La

estructura

debería

soportar

movimientos

sísmicos

moderados, moderados,

experimentando posibles daños dentro de límites aceptables.

2.4 PRESENTACIÓN DEL PROYECTO Se refiere a las exigencias de presentación del proyecto pero con carácter transitorio mientras se publica el reglamento sobre presentación de proyectos que está en preparación. preparación. La Norma establece que los planos de un proyecto estructural deberán contener como mínimo la siguiente información: información: a. Sistema estructural estructural sismorresistente. sismorresistente. b. Parámetros para para definir la la fuerza sísmica sísmica o el espectro espectro de diseño. c. Desplazamiento máximo del último nivel y el máximo desplazamiento relativo de entrepiso. Hubo requerimientos para definir a que se refiere la Norma con Autoridad competente, sin embargo se optó por no especificarla en vista de que puede ser un tema cambiante, y por lo general se entiende que es la Autoridad Municipal o quien otorgue las licencias de construcción.

2.5 PARÁMETROS DE SITIO 2.5.1

ZONIFICACIÓN

La Norma, considera en el territorio nacional una división en tres zonas, según se muestra en la figura. La zonificación propuesta se basa en la distribución espacial de la sismicidad observada, las características generales de los movimientos sísmicos y la atenuación de éstos con la distancia epicentral, así como en

II - 3


información geotectónica.

COLOMBIA ECUADOR

BRASIL

Figura Nº 1. Mapa de Zonificación Sísmica

Tabla Nº 1 FACTORES DE ZONA

ZONA

Z

3

0,4

2

0,3

1

0,15

“La Norma E-030 divide al Perú en tres zonas sísmicas, tal como se puede observar en el mapa, además se muestran los valores del factor de zona “Z” para cada una de las tres zonas. El factor de zona “Z” multiplicado por la aceleración de la gravedad “g”, representa la aceleración máxima

en la base rocosa. En la zona 3 de mayor sismicidad, la aceleración máxima en la roca es 0.4 (g) y para las otras zonas es 0.3 (g) y 0.15 (g). Los valores Z indicados han sido obtenidos a través de métodos estadísticos, para una probabilidad de 10% de ser excedida en 50 años, en un período de retorno de 500 años.” (Sánchez, (Sánchez, 2006)

II - 4


EL FACTOR “Z” PARA EL DISEÑO DE OTRAS ESTRUCTURAS:

- Es importante importante notar que el uso del factor “Z” como aceleración de diseño, para obras que no sean edificaciones debe considerarse siempre en función del tiempo de vida y el riesgo que se acepte - Para el análisis de licuefacción del suelo de cimentación de un edifico común, será adecuado emplear el mismo tiempo de exposición ( 50 años) y un riesgo menor o al menos igual al aceptado para el edificio ( 10% o menos) por lo tanto el límite inferior de la aceleración pico en este caso debería ser el factor “Z”. - La aceleración para el análisis de estabilidad de taludes o muros de contención, debe estimarse con una clara aceptación de que el riesgo y el tiempo de exposición sean adecuadas para el proyecto.

2.5.2 CONDICIONES LOCALES La Microzonificación Sísmica: La microzonificación sísmica, consiste la división de un territorio urbano en microzonas geográficas, donde se pronostican comportamientos diferentes ante la ocurrencia de un sismo fuerte. Estos mapas constituyen un elemento esencial para la reducción del riesgo sísmico, ya que .permiten seleccionar los sitios más seguros para la construcción de las nuevas edificaciones La microzonificación sísmica de una ciudad es un procedimiento multidisciplinario, que involucra la realización de estudios geológicos, topográficos, sismológicos, geotécnicos, hidrológicos, de evaluación de daños sísmicos, y de amplificación sísmica. Estos estudios permiten delimitar zonas con diferente comportamiento sísmico dentro de una ciudad, considerando las condiciones locales de los suelos de cimentación. Se realizan en los siguientes casos: - Áreas de expansión de ciudades - Complejos industriales o similares - Reconstrucción de áreas urbanas destruidas por sismos y fenómenos asociados

Estudios de Sitio Son estudios similares a los de microzonificación, aunque no necesariamente en toda su extensión. Estos estudios están limitados al lugar del proyecto y suministran

II - 5


información sobre la posible modificación de las acciones sísmicas y otros fenómenos naturales por las condiciones locales. Su objetivo principal principal es determinar los parámetros de diseño. Estos estudios se realizan en los siguientes casos: - Limitados al lugar del proyecto - Para edificaciones del grupo A - Los parámetros no deberán ser inferiores a la Norma

Condiciones geotécnicas geotécnicas Se determinan los tipos de perfiles del suelo los cuales se clasifican tomando en cuenta las propiedades mecánicas del suelo, el espesor del estrato, el período fundamental de vibración y la velocidad de propagación de las ondas de corte. Los tipos de perfiles de suelos son cuatro: Tabla Nº 2

Parámetros del Suelo Tipo

Descripción

S1

Tp (s)

S

0,4

1,0

0,6

1,2

0,9

1,4

Roca o suelos muy rígidos

S2

Suelos intermedios

S3

Suelos flexibles o con estratos de gran espesor

S4

*

Condiciones excepcionales Parámetros del Suelo (Sánchez, 2006)

II - 6

*

ANÁLISIS DE LA NORMA E.030 “DISEÑO SISMORRESISTENT SISMORRESISTENTE” E” TP: Periodo que define la plataforma del espectro para cada tipo de suelo. S: Factor de suelo “La NTE -030, -030, considera el factor de amplificación de suelo S con respecto a la aceleración sísmica en

el lecho rocoso, con lo que la aceleración máxima en la cimentación del edificio, es SZ (g). Los factores de amplificación sísmica S, considerados por la Norma, corresponden corresponden a 4 tipos de suelos. En la Norma sólo se dan valores de S para los tres primeros tipos de suelos, también existe el parámetro Tp (período límite para cada tipo de suelo). Por ejemplo, en un edificio de 9 pisos, ubicado en la zona 3, sobre suelo de buena calidad (tipo S1, S=1.0), la aceleración en su base sería: 1.0x0.4 (g) = 0.4 (g). Si el mismo edificio estuviera ubicado sobre un suelo flexible (tipo S3, S=1.4), la aceleración máxima en su base sería: 1.4x0.4 (g) = 0.56 (g).”

(Sánchez, 2006)

Ejemplo de microzonificación sísmica y condiciones geotécnicas de Lima. N

Figura Nº 2. 2 . Microzonificación sísmica de la ciudad de Lima (Cismid, 2004)

Se han propuesto cinco zonas en base a las características geotécnicas sísmicas del terreno de cimentación:

II - 7


ZONA I. Conformada por afloramientos rocosos, estratos potentes de grava que conforman los conos de deyección de los ríos Rímac y Chillón.

ZONA II. Conformada por un estrato superficial de suelos granulares finos y suelos arcillosos, con potencias que varían entre 3.0 y 10.0 m.

ZONA III. Conformada en su mayor parte por depósitos de suelos finos y arenas de gran espesor en estado suelo.

ZONA IV. Conformada por depósitos de arenas eólicas de gran espesor y sueltas, depósitos marinos y suelos pantanosos ubicados en la zona del litoral.

ZONA V. Constituida por áreas puntuales conformadas por depósitos de rellenos sueltos de desmontes heterogéneos de excavaciones realizadas en el pasado.

2.6 FACTOR DE AMPLIFICACIÓN SÍSMICA

()

Donde “T” es el periodo fundamental. Los edificios con períodos menores o iguales a “Tp” experimentan la máxima amplificación de la aceleración del suelo y los edificios con períodos mayores a “Tp”, experimentan menores amplificaciones. Ejemplo de amplificación sísmica en dos edificios iguales, ubicados en zona de alta sismicidad, en dos suelos diferentes: suelo firme S1 y suelo blando S3. Acelerac Aceleración ión en en el edificio 0.44 (g)

Aceleración en la cimentación =0.4g

Aceleración en la roc ro ca =0 =0.4

Suelo firme S1

Acelera Aceleración ción en el edificio 1.4 (g)

Aceleración en la cimentación =0.56g

Aceleración en la ro roca ca =0 =0.4 .4

Suelo blando S3

Figura Nº 3. 3. Ejemplo de amplificación sísmica con suelos S1 y S3 (Sánchez, 2006)

La aceleración en el edificio será: ZSC (g). Para el edificio en la zona 3 cuyo período es T = 0.9 s, la aceleración de diseño en el edificio para los dos tipos de suelo sería:

II - 8




Suelo S1: S=1.0; Tp = 0.4s; Aceleración ZSC = 0.4 x 1.0 x 1.11 (g) = 0.44 0.44 (g)



Suelo S3: S=1.4; Tp = 0.9s; Aceleración ZSC ZSC = 0.4 x 1.4 x 2.5 (g) = 1.4 1.4 (g)

En conclusión, el edificio sobre suelo S 3 experimentaría una aceleración máxima 1.4 0.44

 3.18 veces mayor que si estuviera ubicado sobre suelo S 1.

2.7 CONSIDERACIONES GENERALES PARA EL DISEÑO SISMICO Elementos no estructurales estructurales Se tiene que los elementos no estructurales (tabiques, parapetos, etc.) pueden interactuar con la estructura y modificar significativamente su comportamiento. Según la norma es necesario decidir si los elementos no estructurales es necesario aislar o no de la estructura. Si se decide integrar a los muros de relleno, estas deberán ser diseñadas para las solicitaciones sísmicas que tomen, si por el contrario se decide aislar la tabiquería, cada muro deberá contar con los elementos de arriostramiento. arriostramiento.

Figura Nº 4. 4. Tabiquería interactuando en el comportamiento estructural estructural del edificio (Blanco, 2006)

En nuestro país probablemente el efecto de la columna corta es perjudicial entre tabiques y pórticos de concreto pero también los muros de relleno adecuadamente distribuidos han permitido controlar el daño estructural.

II - 9


Figura Nº 5. 5. Falla de columna corta (Fernández, 2010)

Dirección de las aceleraciones El criterio que se adopta consiste en asumir que las solicitaciones sísmicas actúan independientemente en cada una de las direcciones principales de la estructura o en aquellas que se produzca los resultados más severos para el edificio pero siempre actuando de manera independiente en cada dirección.

Solicitaciones sísmicas verticales Se deben considerar en elementos verticales en simultáneo con las solicitaciones horizontales en elementos post o pre tensados, y en voladizos.

Fuerzas de viento En nuestro país al no tener problemas de vientos fuertes y además de que es improbable que las fuerzas máximas de viento se presenten en simultáneo con las solicitaciones solicitaciones sísmicas máximas no se considera tales efectos.

Incremento de solicitaciones en elementos importantes La norma establece que en cada entrepiso los muros o pórticos sobre los que actúa una fuerza mayor al 30 % de la fuerza cortante de entrepiso, deberán diseñarse con una fuerza igual al 125 % de la fuerza obtenida del análisis. Esto quiere decir que debe incrementar se las fuerzas internas en vigas y columnas del pórtico o del muro en el entrepiso correspondiente.

2.8 CATEGORÍA DE LAS EDIFICACIONES Edificaciones esenciales cuya función no debería interrumpirse inmediatamente después que ocurra un sismo, como hospitales, centrales de comunicaciones,

II - 10


cuarteles de bomberos y policía, subestaciones eléctricas, reservorios de agua. Centros educativos y edificaciones que puedan servir de refugio después de un desastre. Este tipo es denominado como E dificacione dificacioness E s encia enciale less . Edificaciones donde se reúnen gran cantidad de personas como teatros, estadios, centros comerciales, establecimientos penitenciarios, o que guardan patrimonios valiosos como museos, bibliotecas y archivos especiales. Este tipo es denominado como E dificaciones dificaciones Importa Important ntes. es. Edificaciones comunes, cuya falla ocasionaría pérdidas de cuantía intermedia como viviendas, oficinas, hoteles, restaurantes, depósitos e instalaciones industriales cuya falla no acarree peligros adicionales de incendios, fugas, etc. Este tipo es denominado como Edificaciones Comunes. Edificaciones cuyas fallas causan pérdidas de menor cuantía y normalmente la probabilidad de causar víctimas es baja. Este tipo es denominado como

Edificaciones Menores. La norma establece que cada estructura debe ser clasificada de acuerdo con las categorías indicadas. El coeficiente de uso e importancia (U), se usará según la clasificación que se haga. U: Amplificador de las solicitaciones sísmicas para las edificaciones importantes en relación a las edificaciones comunes. N° 3 C ATEGOR Í A DE LAS EDIFIC AC IONES Tabla

CATEGOR ÍA

FACTOR U

A

Edif icaciones Esenciales

1,5

B

Edif icaciones Importantes

1,3

C

Edif icaciones Comunes

1,0

D

Edif icaciones Menor es

() *

2.9 CONFIGURACIÓN ESTRUCTURAL DE LAS EDIFICACIONES En general las estructuras continuas de formas regulares y simétricas tienen un mejor y superior comportamiento al de las estructuras irregulares y con discontinuidades marcadas.

II - 11


Es necesario garantizar que los edificios tengan sistemas estructurales regulares y que cuando se presenten problemas de configuración se tomen algunas consideraciones consideraciones especiales. especiales. La norma establece que se debe clasificar toda edificación como regular e irregular con el fin de establecer el procedimiento de análisis apropiado, el coeficiente de reducción de solicitaciones sísmicas (R) y eventualmente descalificar una estructura irregular para una edificación de Categoría Esencial. Esta clasificación debe de hacerse considerando irregularidades tanto en altura como en planta.

2.9.1

IRREGULARIDADES ESTRUCTURALES EN ALTURA

Irr egularidad egularidades es de R ig idez – Pis Pi s o bland blando o En la figura se nota que el primer entrepiso es mucho más flexible que los demás, debido a esta marcada flexibilidad, esta irregularidad se le denomina piso blando.

Placas

Piso blando

Columnas

Figura Nº 6. Irregularidades 6. Irregularidades de Rigidez

Condición de irregularidad

∑  ∑ ∑    ∑   ∑ ]   [∑  ó

II - 12


Dónde

 

Área Área de las secciones transversales resistentes al corte (columnas y

muros) de cada entrepiso.

Para pisos de altura diferente

⁄ ∑  ∑ ∑ 

; donde hd es altura

diferente de piso y h i es la altura típica de piso

Irreg Ir reg ulari ularida dad d de Mas Mas a Se considera que existe irregularidad de masa, cuando la masa de un piso es mayor que el 150% de la masa de un piso adyacente. No es aplicable en azoteas.

        Figura Nº 7. 7. Irregularidad de Masa

Irreg Ir reg ulari ularida dad d G eomét eométririca ca Vertical La dimensión en planta de la estructura resistente a cargas laterales es mayor que 130% de la correspondiente correspondie nte dimensión en un piso adyacente. No es aplicable en azoteas ni en sótanos.

Figura Nº 8. 8. Irregularidad Geométrica Vertical

II - 13


Dis Di s continuida continuidad d en los los S is tema temass R esi s tent tentes. es. Es cuando se presenta un desalineamiento de elementos verticales, tanto por un cambio de orientación, como por un desplazamiento de magnitud mayor que la dimensión del elemento.

Figura Nº 9. 9. Discontinuidad en los Sistemas Resistentes.

2.9.2

IRREGULARIDADES ESTRUCTURALES EN PLANTA

- Irr egul eg ula aridad Tors ional ional Se considerará sólo en edificios con diafragmas rígidos en los que el desplazamiento promedio de algún entrepiso exceda del 50% del máximo permisible. Es decir:

 

…………………(1)

En cualquiera de las direcciones de análisis, el desplazamiento relativo máximo entre dos pisos consecutivos, en un extremo del edificio, es mayor que 1,3 veces el promedio de este desplazamiento relativo máximo con el desplazamiento relativo que simultáneamente simultáneamente se obtiene en el extremo opuesto.

 

……………………………………(2)

Un edificio presenta irregularidad si se cumple simultáneamente la expresión (1) y (2). Dónde:

 ( ) II - 14


Figura Nº 10. Irregularidad 10. Irregularidad Torsional.

- E s quinas quinas E ntra ntrant ntes es Existirá irregularidad en la planta de la edificación si se cumplen simultáneamente las siguientes relaciones:

Figura Nº 11. Esquinas Entrantes.

         Si se tiene edificios con plantas irregulares (formas en “L”, “H”, “C”, etc.) los

diafragmas experimentaran deformaciones tan importantes que muchas veces fallan y no pueden seguir uniendo los elementos sismorresistentes.

II - 15


- Di s continuidad del Di afragma frag ma La falta de continuidad en los diafragmas durante sismos importantes hace que estos sufran deformaciones excesivas o fallen en su propio plano. Existe irregularidad si: Atotal

Aabierta

    Figura Nº 12. 12. Discontinuidad del Diafragma

2.10

SISTEMAS ESTRUCTURALES ESTRUCTURALES

Los sistemas estructurales se clasificarán según los materiales usados y el sistema de estructuración sismorresistente predominante en cada dirección. Según la clasificación que se haga de una edificación se usará un coeficiente de reducción de fuerza sísmica (R) establecido en la norma.

EDIFICIOS DE ACERO Según la norma se considera dos tipos de edificios de acero: El primer tipo corresponde a edificios de pórticos dúctiles con uniones resistentes a momento. En estos edificios la resistencia lateral está dada por el trabajo a flexo-compresión flexo-compresión de sus elementos. El segundo tipo está dado dado por pórticos cuya resistencia lateral está dada por pórticos arriostrados.

II - 16


EDIFICIOS DE CONCRETO La norma considera cuatro tipos de sistemas estructurales en concreto armado: El sistema de pórticos, los muros estructurales, el sistema dual y el sistema en base a muros de ductilidad limitada. En donde los tres primeros se definen de acuerdo al porcentaje de la fuerza cortante total que toman los pórticos y los muros estructurales. La estructura califica como sistema de pórticos si la fuerza cortante tomada por las columnas en conjunto es mayor o igual al 80 % de la fuerza cortante total. Califica como sistema de muros si la fuerza cortante que toman los muros estructurales (placas) es mayor o igual al 80 % del cortante total. Califica como dual si la fuerza que toman las columnas es un valor entre el 20 % y 80 % de la fuerza cortante total y en tal caso los pórticos se deben diseñar para tomar por lo menos el 25 % de la fuerza cortante total sobre el edificio. En el esquema siguiente se detalla los sistemas en concreto armado junto al porcentaje de fuerza cortante tomado por muros y columnas. 100

s a n 80 m u l o 20 c V %0

0

20

80

Porticos

Sistema dual

s o r u m V %

100 Estructura de muros

Figura Nº 13. Clasificación 13. Clasificación de los sistemas estructurales en concreto armado

El cuarto sistema corresponde a los muros con ductilidad limitada o sea edificios con gran densidad de muros que soportan las cargas de gravedad y constituyen al mismo tiempo el sistema sismorresistente. sismorresistente.

EDIFICIOS DE ALBAÑILERÍA Edificios donde la resistencia lateral esta dado fundamentalmente por muros de albañilería albañilería confinada o armada.

II - 17


2.11

FACTOR DE REDUCCIÓN “R” Tabla Nº 4. SISTEMAS ESTRUCTURALES ESTRUCTURALES Coeficiente de Reducción, Reducción, R Para estructuras regulares

Sistema Estructural Acero Pórticos dúctiles con uniones resistentes a momentos. Otras estructuras de acero. Arriostres Excéntricos Arriostres en Cruz Concreto Armado Pórticos Dual De muros estructurales Muros de ductilidad limitada Albañilería Armada o Confinada Madera (Por esfuerzos admisibles)

9,5 6,5 6,0 8 7 6 4 3 7

Según la norma la resistencia lateral de una edificación sea solo una fracción de la resistencia requerida para garantizar el comportamiento elástico ideal del edificio en un sismo severo. Así al dividir la resistencia requerida para lograr un comportamiento elástico ideal, entre el factor de reducción R se obtiene la resistencia lateral que se debe lograr durante el diseño y la construcción de la edificación. Para edificios con irregularidades se debe de usar factores de reducción iguales a los correspondientes a estructuras regulares.

2.12

CATEGORÍA, SISTEMA ESTRUCTURAL Y REGULARIDAD DE LAS

EDIFICACIONES De acuerdo a la categoría de una edificación y la zona donde se ubique, la norma especifica el sistema estructural que se puede emplear y establece la regularidad estructural como requisito indispensable. indispensable. Así por ejemplo un centro centro educativo educativo en cualquier zona zona sísmica deberá deberá ser siempre regular y no podrá hacerse de pórticos de concreto armado solamente sino que deberá incluir muros de corte (sistema de muros o sistema dual). Además el código exige que las Edificaciones Edificaciones Esenciales (hospitales, colegios etc.) tengan sistemas estructurales sin problemas de configuración estructural.

II - 18


2.13

DESPLAZAMIENTOS DESPLAZAMIENTOS LATERALES

Desplazamientos Laterales Permisibles La norma establece límites para el desplazamiento lateral según el tipo de estructura. Los desplazamientos de entrepiso se obtienen en base a los desplazamientos esperados en régimen inelástico. Por tanto los desplazamientos obtenidos del análisis

elástico

lineal

con

solicitaciones

reducidas

deben

amplificarse

previamente por 0.75R. Por lo tanto el máximo desplazamiento relativo de entrepiso no deberá exceder la fracción de la altura de entrepiso que se indica en la Tabla siguiente. Tabla Nº 5 LIMITES PARA DESPLAZAMIENTO LATERAL DE ENTREPISO Material Predominante

( i / hei )

Concreto Armado

0,007

Acero

0,010

Albañilería

0,005

Madera

0,010

Junta de separación sísmica (s) Toda estructura debe estar separada de las estructuras vecinas una distancia mínima s para evitar el contacto durante un un movimiento movimiento sísmico. La distancia mínima (S) no será menor que:

    

s  3  0,004  h  500

(h y s en centímetros)

s > 3 cm Dónde:

  

Desplazamientos máximos de cada edificación respectiva. Desplazamientos respectiva.

II - 19


h: Es la altura medida desde el nivel del terreno natural hasta el nivel considerado para evaluar s. El Edificio se retirará de los límites de propiedad adyacentes a otros lotes edificables, o con edificaciones, distancias no menores que 2/3 del desplazamiento desplazamiento máximo calculado ni menores que s/2.

Figura Nº 14. 14. Juntas de separación sísmica (Sánchez, 2006)

2.14

ANÁLISIS SÍSMICO DE EDIFICIOS

La norma establece dos procedimientos de análisis sísmico elástico: 

MÉTODO SÍSMICO ESTATICO



MÉTODO SÍSMICO DINAMICO

Una manera sencilla de desarrollar el análisis sísmico de una edificación consiste en efectuar el análisis usando el coeficiente sísmico o el espectro, según el método empleado sin considerar valores mínimos; en tal caso se obtendrá una fuerza cortante basal V que podría ser inferior al valor mínimo V min. Al multiplicar los desplazamientos de este análisis por el factor de reducción R se obtendrá los desplazamientos que se deben de emplear para verificar los valores tolerables del desplazamiento de entrepiso y el giro en planta. Si en la fase de diseño fuese necesario ajustar la fuerza cortante obtenida V, no será necesario rehacer el análisis bastara con multiplicar por el coeficiente (Vmin/V). Así por ejemplo para estructuras de concreto armado según la norma E. 060 en lugar de los factores (

     y ((

emplear los factores (

asociados a las solicitaciones sísmicas se deben de y

II - 20

.


Efectos de Segundo Orden (P-Delta) ( P-Delta) Los efectos de segundo orden deberán ser considerados cuando produzcan un incremento de más del 10 % en las fuerzas internas. Para estimar la importancia de los efectos de segundo orden, podrá usarse para cada nivel el siguiente cociente como índice de estabilidad: estabilidad: Q

N i   i V i  hei  R

Dónde: N i : Sumatoria de los pesos sobre el nivel “i”  i : Desplazamiento Desplazamiento horizontal V i :

Fuerza cortante en el entrepiso “i”

hei : Altura de entrepiso R : Coeficiente de

reducción de solicitaciones sísmicas.

Los efectos de segundo orden deberán ser tomados en cuenta cuando Q  0,1

2.14.1 ANÁLISIS SÍSMICO SÍSMICO ESTÁTICO ESTÁTICO Este método representa las solicitaciones sísmicas mediante un conjunto de fuerzas horizontales aplicadas en los centros de gravedad de cada nivel. Para el análisis estático solo puede emplearse para estructuras regulares de no más de 45 m de altura o para estructuras de muros portantes de no más de 15 m de altura, sean regulares regulares o irregulares. irregulares. Se realizara mediante el análisis de fuerzas estáticas equivalentes.

Período Fundamental Es uno de los parámetros de mayor influencia en los resultados del análisis, el periodo fundamental de vibración para cada dirección se estimará con la siguiente expresión aproximada:

II - 21


Figura Nº 15. Altura de la edificación

T 

hn C T

Dónde:



: Altura de la edificación

CT: coeficiente que depende del tipo de elementos estructurales a usar lo cual señala la norma. Como quiera que la expresión anterior presenta gran dispersión es aconsejable realizar usando algún procedimiento dinámico como la expresión de Raleigh.

 n    P i  Di   i   T  2   n   g   F i  Di   i   2

1

1

P i :

Peso del nivel “i”

Di : Desplazamiento elástico lateral del nivel “i”.

F i : Fuerza horizontal en el nivel “i”. g : Aceleración de la gravedad.

Cuando se omiten elementos estructurales, el periodo fundamental deberá tomarse como el 0,85 del valor obtenido por el análisis dinámico.

Peso de la Edificación El peso (P), se calculará adicionando a la carga permanente y total de la Edificación un porcentaje de la carga viva o sobrecarga que se indica en la tabla.

II - 22


Tabla Nº 6. Peso de La edificación TIPO DE EDIFICACION % DE LA CARGA VIVA Edificaciones esenciales e importantes 50 % CV Edificaciones comunes 25 % CV Depósitos 80 % CV Azoteas y techos 25 % CV Tanques, silos y similares 100 % de la carga que pueda contener

Fuerza Cortante en la Base del edificio Una vez determinado el periodo fundamental de vibración, se terminara el factor de amplificación de aceleraciones “C”. Luego de acuerdo al sistema estructural

que se emplee se establece el valor de C/R lo cual debe ser mayor que 0.125. Luego conociendo la ubicación y el suelo de la obra, así como su importancia, se determinaran los valores de “Z”, “S”, “U”

Finalmente con el peso de la estructura “P” y los factores señalados se determina la fuerza cortante en la base del edificio, V. Este valor sirve también para establecer el valor mínimo en el método dinámico.

V

ZUCS P R

V

= Fuerza Cortante en la Base de la Estructura

Z

= Factor de Zona

U

= Factor de Uso e Importancia

S

= Factor de Suelo

C

= Coeficiente Coeficient e de Amplificación Sísmica

R

= Coeficiente Coeficient e de Reducción de Solicitaciones Solicitacion es Sísmicas

P

= Peso Total de la Edificación

La fuerza cortante en la base “V” representa también la fuerza total actuante sobre

el edificio que luego debe distribuirse en la altura del edificio

II - 23


Distribución de la Fuerza Sísmica en Altura

Figura Nº 16. 16. Distribución de la Fuerza Sísmica

P i  hi

F i 

n

 V  F a 

 P j  h j

      j 1

Si:

Dónde: F i : Fuerza horizontal en el nivel “i” hi :

Altura desde el nivel de suelo hasta el piso Pi.

V : Cortante basal total P i :

Peso del nivel “i”

Fa : Fuerza horizontal en la azotea

Efectos de Torsión En cada nivel además de la fuerza actuante, se aplicará el momento accidental denominado Mt i que se calcula como: Mti =  Fi ei Dónde: ei=0.05B (según la norma) Mti : momento torsor accidental en el nivel “i”

II - 24


F i : Fuerza horizontal en el nivel “i”

ei : Excentricidad accidental en el nivel “i” B: Dimensión del diafragma en dirección perpendicular al análisis

Piso i

Figura Nº 17. Dimensiones 17. Dimensiones del diafragma

2.14.2 ANÁLISIS SÍSMCO SÍSMCO DINÁMICO DINÁMICO El análisis de cualquier estructura puede hacerse empleando el análisis dinámico, El análisis dinámico de las edificaciones podrá realizarse mediante procedimientos de: 

Combinación Combinación espectral



Análisis tiempo-historia.

Para edificaciones convencionales podrá usarse el procedimiento de combinación espectral; y para edificaciones especiales deberá usarse un análisis tiempohistoria.

Análisis por combinación modal espectral. espectral. a. Modos de Vibración Primeramente se va a determinar los modos de vibración del edificio. Los periodos naturales y modos de vibración podrán determinarse por un procedimiento de análisis que considere apropiadamente las características de rigidez y la distribución de las masas de la estructura.

II - 25


Figura Nº 18. Modos de Vibración

1er Modo

2er Mo Modo

3er Mo Modo

b. Aceleración Espectral Espectral Para cada una de las direcciones horizontales analizadas se utilizará un espectro inelástico de pseudo-aceleraciones pseudo-aceleraciones definido por:

Sa 

ZUCS g R

Figura Nº 19. Aceleración 19. Aceleración Espectral Espectros de aceleraciones 0.12

0.1

) 2 s / m ( a S

0.08

0.06

0.04

0.02 0 0

1

2

3

T(s)

Figura Nº 20. Espectros 20. Espectros de aceleraciones

Donde se utilizan los factores de zona (Z), uso (U), suelo (S) y reducción (R). No deberá considerarse el valor mínimo de C/R ya que esta consideración es solo para el método estático.

II - 26


Para el análisis en la dirección vertical podrá usarse un espectro con valores iguales a los 2/3 del espectro empleado para las direcciones horizontales.

c. Criterios de Combinación Mediante los criterios de combinación que se indican, se podrá obtener la respuesta máxima esperada (r) tanto para las fuerzas internas en los elementos componentes de la estructura, como para los parámetros globales del edificio como fuerza cortante cortante en la base, cortantes de entrepiso, entrepiso, momentos de volteo, desplazamientos desplazamientos totales y relativos relativos de entrepiso. entrepiso. La respuesta máxima elástica esperada (r) correspondiente al efecto conjunto de los diferentes modos de vibración empleados (ri) podrá determinarse usando la siguiente expresión. m

r  0,25   r i  0,75  i1

   

m

 r i2 i1

Respuesta estructural máxima esperada. Respuesta Respuestas elásticas correspondientes correspondientes al modo “i”.

Numero de modos usados en la combinación modal. Numero

Alternativamente, Alternativamente, la respuesta máxima podrá estimarse mediante la combinación cuadrática completa de los valores calculados para cada modo. En cada dirección se considerarán considerará n aquellos modos de vibración cuya suma de masas efectivas sea por lo menos el 90% de la masa de la estructura, estruct ura, pero deberá tomarse en cuenta por lo menos los tres primeros modos predominantes en la dirección de análisis.

d. Fuerza Cortante Mínima en la Base Para cada una de las direcciones consideradas en el análisis, la fuerza cortante en la base del edificio no podrá ser menor que el 80 % del valor calculado por el método estático para estructuras estructu ras regulares, ni menor que el 90 % para estructuras irregulares. irregulares. Si fuera necesario incrementar el cortante para cumplir los mínimos señalados, se deberán escalar proporcionalmente todos los otros resultados obtenidos, excepto los desplazamientos. desplazamientos.

II - 27


e. Efectos de Torsión La incertidumbre en la localización de los centros de masa en cada nivel, se considerará mediante una excentricidad accidental perpendicular a la dirección del sismo igual a

0,05 veces la dimensión del edificio en la dirección

perpendicular a la dirección de análisis. En cada caso deberá considerarse el signo más desfavorable. desfavorable.

Análisis Tiempo-Historia El análisis tiempo historia deberán utilizarse no menos de cinco registros debidamente escalonados a la aceleración máxima esperada en el sitio. Para edificaciones especialmente importantes el análisis dinámico tiempo-historia se efectuará considerando el comportamiento inelástico de los elementos de la estructura.

2.15

CIMENTACIONES

2.15.1

CAPACIDAD PORTANTE

Se denomina capacidad portante a la capacidad del terreno para soportar las cargas aplicadas sobre él. Técnicamente la capacidad portante es la máxima presión media de contacto entre la cimentación y el terreno tal que no se produzcan un fallo por cortante del suelo o un asentamiento diferencial excesivo. Por tanto la capacidad portante admisible debe estar basada en uno de los siguientes criterios funcionales: funcionales: - Si la función del terreno de cimentación es soportar una determinada tensión independientemente de la deformación, la capacidad portante se denominará carga de hundimiento. - Si lo que se busca es un equilibrio entre la tensión aplicada al terreno y la deformación sufrida por éste, deberá calcularse la capacidad portante a partir de criterios de asiento admisible. La presente norma nos señala que en todo estudio de suelos se deben considerar los efectos de sismos en la determinación de la capacidad portante.

II - 28


2.15.2

MOMENTO DE VOLTEO

En esta parte la norma es muy clara y nos precisa que en toda estructura y su cimentación deberán ser diseñadas para resistir el momento de volteo que produce un sismo considerando un mínimo valor de 1,5.

2.15.3

ZAPATAS AISLADAS Y CAJONES

Las zapatas aisladas son un tipo de cimentación superficial que sirve de base de elementos estructurales puntuales como son los pilares; de modo que esta zapata amplía la superficie de apoyo hasta lograr que el suelo soporte sin problemas la carga que le transmite. El término zapata aislada se debe a que se usa para asentar un único pilar, de ahí el nombre de aislada. La norma señala que para zapatas aisladas con o sin pilotes en suelos tipo S3 y S4 y para las zonas 3 y 2 se proveerá elementos de conexión y para el caso de pilotes y cajones deberá proveerse de vigas de conexión o deberá tenerse en cuenta los giros y deformaciones por efecto de la fuerza horizontal diseñando pilotes y zapatas.

2.16

ELEMENTOS NO ESTRUCTURALES, APÉNDICES Y EQUIPO

Se consideran como elementos no-estructurales, aquellos que estando o no conectados al sistema resistente a fuerzas horizontales, su aporte a la rigidez del sistema es despreciable. despreciable.

Figura Nº 21. Elementos no-estructurales (Piqué, 2010)

II - 29


La norma también señala que en el caso que los elementos no estructurales estén aislados del sistema estructural principal, estos deberán diseñarse para resistir una fuerza sísmica (V) asociada a su peso (P) tal como se indica a continuación.         

Tabla Nº 7. VALORES DE C1

2.17

- Elementos que al fallar puedan precipitarse fuera de la edificación en la cual la dirección de la fuerza es perpendicular a su plano. - Elementos cuya falla entrañe peligro para personas u otras estructuras.

1,3

- Muros dentro de una edificación (dirección de la fuerza perpendicular a su plano).

0,9

- Cercos.

0,6

- Tanques, torres, letreros y chimeneas conectados a una parte del edificio considerando la fuerza en cualquier dirección.

0,9

- Pisos y techos que actúan como diafragmas con dirección de la fuerza en su plano.

0,6

la

EVALUACIÓN Y REPARACIÓN DE ESTRUCTURAS DAÑADAS POR

SISMOS La Norma especifica que luego del sismo, la evaluación de la seguridad de una edificación, deberá ser desarrollada por un ingeniero civil, quien determinara si es necesario desarrollar un trabajo de reforzamiento estructural. Para el reforzamiento sísmico de edificaciones existentes se podrá emplear otros criterios y procedimientos diferentes a los indicados en la Norma, con la debida justificación y aprobación de la autoridad competente. Muchas edificaciones actualmente en funcionamiento se proyectaron y construyeron en décadas pasadas sin los criterios de seguridad ni los procedimientos de diseño sismorresistente sismorresistente que hoy se manejan; por consiguiente consiguiente los proyectos de reforzamiento de estas edificaciones antiguas, que se desarrollan con procedimientos y criterios convencionales muy ambiciosos, suelen conducir a soluciones además de caras, técnicamente complicadas y poco factibles de llevarse a la práctica.

II - 30


2.18

PROBLEMAS DE APLICACIÓN

PREGUNTAS: 1. Un suelo gravoso con N del SPT de 35 que conforma un estrato de 30 m sobre roca, se clasifica según la Norma como suelo tipo: E s un suel s uelo o tipo tipo S3, S 3, pues pues es un s uelo uelo tipo tipo g ravoso, que seg ún la la norma es dens o y con un S P T>30.

2. Un suelo gravoso con N del SPT de 30 que conforma un estrato de 18 m sobre roca, se clasifica según la Norma como suelo tipo: E s un s uelo uelo tipo S1, S 1, pues es un s uelo uelo que conforma conforma un estrato estrato menor menor a 20 m. m.

3. Un suelo cohesivo con resistencia al corte no drenada de 2 kg/cm 2 que conforma un estrato de 50 m sobre roca, se clasifica según la Norma como suelo tipo: Es un suelo tipo S3, pues por ser cohesivo, y está dentro de la resistencia al corte especificada, además de tener un estrato de gran espesor que cabe dentro de los los limites limites especificados. especi ficados.

4. ¿Cuándo se requiere requiere estudios estudios de microzonificación microzonificación sísmica? sísmica? E l reque requerimient rimiento o de es es tos tos estudios estudios s erá necesario necesario en los los s ig uientes uientes c as os: Á reas de ex ex pansión pans ión de ciudades ci udades.. - Áreas - Complejos industriales. - Reconstrucción de áreas urbanas destruidas por sismos y fenómenos

asociados.

PROBLEMA N° 01 a. Dimensionar una viga en voladizo de 3 m de longitud para una sobrecarga de

   

, acabados

   

. Ancho de influencia B=6 m. losa aligerada de

espesor e=0.25 m. (sirve como corredor de una edificación destinada a aulas de una Institución Educativa

, acabados

 

, tabiquería móvil

). Zona de alto riesgo sísmico. Cualquier otro dato que falta deberá

asumir con un criterio razonable. razonable.

II - 31


b. Cuanto de volado máximo puedo construir con un peralte de 0.7 m.

b=B/20 Lv

SOLUCIÓN: A. Por recomendaciones recomendaciones del ACI ACI 318-02: Zonas de alto riesgo sísmico sísmico Elementos de flexión: f lexión:

   

                                                                                                  

Por dato

Aplicando la la recomendación recomendación del ACI 318-02: Zonas Zonas de alto riesgo riesgo sísmico: 



B. Predimensionamiento Predimensionamiento de vigas en voladizo  

Aplicando en las las ecuaciones ecuaciones (1) y (2).

II - 32


C. Aplicando la tabla a continuación



(kg/m2)





250

13

13

500

11

11

750

10

10

1000

9

9

250

13

11.6

500

11

10.7

750

10

9.4

1000

9

8.5

Sobrecarga

         

(Tabla obtenida de diseño de concreto armado ICG)

Como:

          

Por tener una sobrecarga 500kg/m 2 Corresponde a Por lo tanto: Resolviendo:

           b=B/20 Lv

1/2(WuB)Lv

2

II - 33


Conclusión de (3), (4) y (5).

     

De los 3 casos el más recomendable por ser una viga en voladizo, se puede dimensionar como una viga equivalente de la luz del volado:



              

cuando el peralte h=0.70m

Resolviendo:

D. Aplicando la recomendación recomendación del ACI 318-02: Zonas Zonas de alto riesgo sísmico sísmico 

  

Conclusión de (7) y (8).

      

Por ser una viga en voladizo y de los casos mostrados con los resultados

   

Como máximo.

PROBLEMA N° 02 Se tienen dos bloques de edificios adyacentes cuyos desplazamientos máximos del piso superior de cada uno de ellos determinados del análisis son: 30 cm para el edificio alto y 15 cm para el más bajo. Determinar por aplicación del RNE cuál debe ser la junta sísmica “ s” y cuál debe ser la distancia desde el l ímite de propiedad.

II - 34


S

70 m 50 m

SOLUCION: LP ∆1

∆2

Datos:

   

De acuerdo al reglamento en el cual nos indica los parámetros para poder determinar el valor de “s” junta sísmica y LP límite de propiedad tenemos:

a. Para determinar “s” mínimo:

            II - 35


                                                                                                 Como también debe ser mayor que:

b. Para determinar LP:

Como también debe ser mayor que:

PROBLEMA N° 03: Se requiere diseñar un tanque de agua de concreto armado sobre un edificio de hospital ubicado en Tacna. El espesor de las paredes, fondo y tapa del tanque son de 0.20 m, mientras que las columnas de soporte tienen una sección transversal de 0.25 m x 0.25 m. La planta del tanque es cuadrada.

II - 36


a) Determinar la fuerza fuerza sísmica y el momento de volteo que actuarán sobre sobre el tanque y sus apoyos, de acuerdo a la norma E –030. b) Suponiendo Suponiendo que se usará un concreto de fć=210 kg/cm 2 y acero de refuerzo de fy = 4200 kg/cm 2. Determinar el refuerzo en las columnas de soporte.

SOLUCION:



Tanque agua, capítulo 6 norma E-030 C1= 0.9 Tacna



 

Zona 3

VZUC1 P V.1.P

Z= 0.4

V.P……… (β)

II - 37


Peso de techo  tapa  P .

ton .m.m.m.ton .m.m.m.ton11.ton11 11.ton11kg kg m

Peso de las  columnas  P .

ton  (..)(1.mm) (..)(1.mm)  1. ton 1 g m . .

0 0 2 . 0

1

.

.

.

4

3

0 0 2 . 1

0 0 2 . 0

2

.

4

3

.

0 0 0 . 2

.

3.000 . . . . .

3.500 0.250

3

3.000 0 0 2 . 0

7

0.250

5

4

6

8

0.200

3

0.200

0 0 2 . 0

4

5

0.100 0.125 0.12 5 1.750 3.375 3.400

II - 38

0 5 2 . 0

0 0 0 . 3

0 5 2 . 0

0 0 5 . 3


Elem. 1 2

Volumen

Vol.

m3 (b x h x ancho)

(m3)

3.5x3.5x0.2= (Área tapa x espesor) 3.5x3.5x0.2= (Área tapa x espesor)

P=Vol. x γ

X

M=P x X

(Kg/m3)

(kg)

(m)

(Kg.m)

2.45

2400

5880

1.75

10290

2.45

2400

5880

1.75

10290

0.4

2400

960

3.375

3240

0.4

2400

960

0.125

120

1.44

2400

3456

1.75

6048

γ

0.25x0.25x(1.2+2)x2= 3

Área columna x (altura 1er piso + altura 2do piso)

4 5

0.25x0.25x(1.2+0.2)x2= Columna 1er y 2do piso 0.20x3x1.2x2= (pared 2do piso)

6

0.20x3x1.2=

0.72

2400

1728

0.1

172.8

7

0.80x3x1.2=

0.72

2400

1728

3.4

5875.2

11.52

1000

11520

1.75

20160

32112

Meq=

56196

8

1.2x(3.5x3.5-3x0.2x4-0.25x0.25x4)= (Volumen de agua en tanque)

P=

P= peso del tanque más peso de las columnas 3 y 4(primer y segundo piso) Peso del tanque solo = Peso del tanque más peso de las columnas 3 y 4 (1er y 2do piso) – peso de las columnas 3 y 4 del primer piso Peso tanque = Sumatoria pesos – (área col. x cantidad col. x peso especif.) x altura 1er. Piso col. P. tanque= 32112 – (0.25 x 0.25 x 4 x 2400) x 2 = 30912 kg P. tanque= 30912 kg



F  V  Fuerza sísmica  Z  U  C1  P  .  1  .  1  111. kg  volteoF y

II - 39

kg-m


V=F

 volteo  111.  .  volteo  11. kg. m

Calculamos un factor de seguridad, con estos resultados FSV

eq Volteo

FSV

1  1.  1. 11.

1. Es mayor a 1.5, entonces podrá soportar la fuerza f uerza aplicada

                                    √  √                                 b)

,

El concreto que resiste la fuerza cortante mediante mediante la fórmula: fórmula:

……………. (α)

……………… (Ф)

II - 40


                                                                √  √               ⁄      ……………… (β)

(α) y (β) en (Ф)

Como

Usaremos estribos de 3/8 pulgadas

Luego el cortante que toma el acero será:

, 21 0.09cm

2.19

CUESTIONARIO DE PREGUNTAS

Responda brevemente a las siguientes preguntas: a.

¿Cuál es la propiedad más importante que debe tener una estructura ubicada en zonas de alta peligrosidad sísmica?

b.

¿Qué entiende usted por diafragma rígido y cuál es la hipótesis a la que conduce con respecto a los desplazamientos?

c. Qué

relación existe entre el valor de factor de reducción de la respuesta R, la

resistencia sísmica del edificio y el comportamiento inelástico.

II - 41


d.

¿Qué es una rótula plástica y cuando y donde se puede presentar? presentar ?

e.

Desde el punto de vista de la configuración configurac ión sismorresistente, sismorresistent e, explique qué defecto tiene la planta que se muestra y como lo podría evitar.

f.

¿Qué nivel de resistencia deberían tener las edificaciones diseñadas siguiendo las especificaciones especificac iones de la norma E-030? Explique ¿por qué?

g. Explique,

qué se entiende por comportamiento y estado límite de un elemento o

sistema estructural. Presente un ejemplo usando un croquis simple. h.

Cuáles son los criterios de diseño sismo resistente? resistent e? Explique qué se entiende entiende por “diseño por desempeño ”.

i.

¿Cómo se generan generan las fuerzas fuerzas de inercia y cuál cuál es el camino que recorren hasta la la cimentación?

j.

Explique en qué consiste el problema de piso blando y porqué afecta el comportamiento en los edificios?

k.

Describa el fenómeno de columna corta. Dé dos ejemplos de estructuras estructura s donde se produce comúnmente este fenómeno y explique cómo evitarlo.

l.

Qué es una rotula plástica y cuando y donde se puede presentar?

m. Cuáles

son las propiedades más importantes import antes que debe deb e tener una un a estructura estructu ra

ubicada en zonas de alta peligrosidad sísmica? n. Cuáles

son los niveles de desempeño o comportamiento que establece la Norma

Peruana? o.

Cuáles son los niveles de sismo que se deben resistir según la Norma Peruana?

p.

A qué intensidades corresponden los niveles de sismo que se deben resistir según la Norma Peruana?

q.

Describa el problema de torsión que se podría presentar en edificios, a) con una mala distribución de rigidez, y b) con una mala distribución de masas.

II - 42

RIGIDEZ LATERAL DE SISTEMAS ESTRUCTURALES

CAPÍTULO III RIGIDEZ LATERAL DE SISTEMAS ESTRUCTURALES La rigidez en estructuras es la capacidad que presenta para soportar esfuerzos soportar esfuerzos sin tener que adquirir grandes deformaciones grandes deformaciones o desplazamientos, adicionalmente cuando una edificación es sometida a acciones sísmicas, las solicitaciones sobre ésta son realmente de dirección diversa. Entonces al ser sometidas las estructuras a estas acciones dinámicas podemos diferenciar seis tipos de movimientos independientes, independientes, tres traslacionales y tres tr es rotacionales, de estas fuerzas debemos saber que las traslacionales se pueden analizar de manera independiente con respecto al eje en el cual se le aplica ya que la estructura como reacción ante dicha fuerza producirá giros pequeños los cuales representan a las fuerzas rotacionales de la estructura, las cuales en valor no serán de elevada importancia dentro del análisis de la estructura.

3.1

RIGIDEZ LATERAL DE ELEMENTOS VERTICALES

Al ser sometida una estructura bajo la acción de una fuerza, esta será desplazada en la dirección de dicha fuerza. Entonces la rigidez viene a ser la relación existente entre el cociente entre la fuerza aplicada y el desplazamiento producido, por lo tanto podemos deducir que a mayor rigidez de la estructura esta presentará menores deformaciones, así, para barras o vigas se habla de rigidez axial, rigidez flexional, rigidez torsional o rigidez frente a esfuerzos cortantes, etc. Presentando aquí dicha relación: relación:

  

Según estudios realizados teniendo en consideración un análisis dinámico no lineal de las estructuras compuestas de pórticos de varios niveles, se puede apreciar que dichas estructuras presentan comportamientos no contemplados dentro de las condiciones de diseño de nuestra Norma Sismo-resistente E-030, así entonces, a partir de esto podemos apreciar las limitaciones que presenta el solo basarnos en el diseño que nos presenta esta.

III - 1


RIGIDEZ LATERAL (KL): Es la fuerza cortante actuante (V) en un elemento vertical, si el desplazamiento desplazamiento lateral efectivo (δ e) es igual a 1cm.

    ()

En donde: KL: Rigidez lateral V: Fuerza cortante



e:

Desplazamiento lateral efectivo





δ

F1





δ

δ

δ

F2

F3

F4

V=F

1

<>

2

3

  F   F

4

  F

  F  

CASO 1: (Columna, Muro) “Base empotrada y libre en el otro extremo” δ

δ

H

δ

H

h

h

X

X

Y

Y

COLUMNA

MURO

  E,E,h,I,A 

III - 2


Ejemplo:

  H    

  H   

D

L

b

t SECCION Y-Y

SECCION X-X

1er TEOREMA DE ALBERTO CASTIGLIANO

                ∑∫ ∑∫ ∑∫ ∑∫                 x

H=P

t L

δ

h

PARA LA COLUMNA: Considerando sólo efectos de flexión

   ∑∫   

          ∫  ∫       → ∴          ∑∫ ∑∫        

 

PARA EL MURO: Considerando sólo efectos de flexión y corte

III - 3


           ∫ ∫      ∫   ∫               ∴     

En (1):

Sabemos:

EXPRESIÓN GENERAL PARA





K: Factor de forma; k=1.2 ; sección rectangular k1 ; sección en  k=10/9; sección circular

CASO PARTICULAR: “Sección Rectangular”

I A G   −    ∴   * ( )   ( )+ 

 





III - 4



EL CÁLCULO DE LA RIGIDEZ.


CASO 2: (Columna) “Base Empotrada y articulada en el extremo superior” δ

:

F

 j

θ

ø ji

øij



F

i

∗       ∅  ∗        ∅        ()      ()          ()  →        →   → ∴     









M ijij























































δ

F

δ

M ji ji j

Losa Rígida ø ji

øij

F

i

M iijj



       ()      (  ()   



III - 5





“Empotramiento perfecto” CASO 3: (Columna) “Empotramiento δ






   →    ∴    

3.2

CÁLCULO DE LA RIGIDEZ EQUIVALENTE

3.2.1 ELEMENTOS EN PARALELO X W

Fx

Fx

W C

K1

K2

<>

Ke= K1 + K2

SISTEMA DINÁMICO EQUIVALENTE

PÓRTICO

LOSA(DIAFRAGMA RÍGIDO)

X

W

Fx K3

CM

h/2

K1

Fx

K4

K2

V1 V2

VOLUMEN DE INFLUENCIA

<>

W

C Ke= K1 + K2 + K3 + K4

h/2

ESTRUCTURA GLOBAL

SISTEMA DINÁMICO EQUIVALENTE

IMPORTANTE: Se calcula la rigidez lateral total del sistema para cada dirección principal del sismo, es decir X-X e Y-Y.

   III - 6


X3

F3

F3 W3 C3 K7

K8

K9

Ke3= K7 + K8 + K9

F2

X2

F2

W2 K4

K6

K5

C2

<>

Ke2= K4 + K5 + K6

F1

X1

F1

W1 C1 K1

K3

K2

Ke1= K1 + K2 + K3

MODELO DINÁMICO

PÓRTICO VARIOS PISOS

DEMOSTRACIÓN: W

H

W

H







δ

δ

δ

δ

K1

K2

K3

v1

v2

v3

<>

SISTEMA "A"

Ke

SISTEMA "B"

E   A:             H         E   : H            : ∴   ∑ i …….. (1)





III - 7


K1

F1

K2

F2

K3

F3

<>

W



W



δ



δ

δ

y

y δ

SISTEMA "A"

CONDICION SUFICIENTE:

SISTEMA “A”:

Ke

SISTEMA "B"

  

δ

δ

δ

δ

     F  F  F   F    F    F                     ∗          

………………… (1)

………(2) ………(2)

(2) en (1):

……………….. ……………….. (3)

SISTEMA “B”

…………………………….. …………………………… .. (4)

3 en 4:

  ∑ i 



III - 8

L.q.q.d


3.2.2 ELEMENTOS EN SERIE δ

H



           

K3



W

H

K2

δ

<>



Ke

K1

SISTEMA "A"

SISTEMA "B"

RESERVORIO

E   A:

H     H (     )           (     )   E   : H       DD  y :     i  

DEMOSTRACIÓN:

W= F1

K1



 W= F2

K2

<>



 W= F3

K3

Ke

W

y



W





y

SISTEMA "A"

III - 9

SISTEMA "B"


CONDICION SUFICIENTE:

SISTEMA “A”:

  

δ

δ

δ

δ

     F  F  F   F    →   F  F    →   F  F    →   F                           

………………… (1) (1)

……… (2)

En la condición suficiente:

SISTEMA “B”

∴     i  

III - 10

L.q.q.d


3.2.3 PROBLEMAS DE APLICACIÓN: PROBLEMA N° 1: Determinar la rigidez lateral del muro de fachada de concreto de 0.10m de espesor. Considere sólo los efectos de flexión y corte. F’c = F’c = 210 kg/cm2

1.5 m

1m

1m

2m

1m

1m

1m

Solución:



   







1.5 m

4

3

5





1m

2

1

1m

2m

1m

1m

                   −     *()   ()+ III - 11

1m


E    ,  E   ;

Elemento

Ec

t

h

L

Ki

(i)

(ton/cm2)

(cm)

(cm)

(cm)

(ton/cm)

1

217.371

10

1

4

2675.335

2

217.371

10

1

1

310.53

3

217.371

10

1.5

1

120.762

4

217.371

10

1.5

1

120.762

5

217.371

10

1.5

1

120.762

                     ∴     

Cálculo opcional:



1.5 m

1

2

3

Junta sísmica

1m

1m

2m

1m TABIQUERÍA (Muro no estructural)

   III - 12

1m

1m


PROBLEMA N° 2:

−            * (  )   (  )+    ∴   

Determinar la rigidez lateral del muro de fachada de albañilería de 0.24 m. de espesor. Considere los efectos de flexión y corte. f’m = 55 kg/cm2

1m

0.5 m 1m

1m

1m

0.5 m

1m

1m

1m

0.5 m

1m

Solución: 

    





 10

1m



 0.5 m

6

7

0.5 m

3

4

8

1m

0.5 m



5



2

1

1m

9

1m

1m

E  ,   <>

III - 13

1m

0.5 m

1m




                                −     *()   ()+ Elemento (i)

Ec (ton/cm2)

t (cm)

h (cm)

L (cm)

Ki (ton/cm)

1

20

24

1

2.5

329.67

2

20

24

1

2.5

329.67

3

20

24

0.5

1

240

4

20

24

0.5

1

240

5

20

24

0.5

2.5

759.494

6

20

24

0.5

1

240

7

20

24

0.5

1

240

8

20

24

0.5

1

240

9

20

24

0.5

1

240

10

20

24

1

6

925.714

         ∴      III - 14


3.3

SISTEMAS CON ELEMENTOS RÍGIDOS L4

L5

L6

D

h5

L1

h4 C

h3 L2 h2 B

h1 L3 L1

L2

L3

A

1

3

2

ELEVACIÓN PORTICO: 1

4

PLANTA

3.3.1 CONSIDERACIONES BÁSICAS: 

Se aísla aísla al muro (placa) (placa) para para determinar determinar su rigidez lateral de cada entrepiso.



Se asume distribución distribución de carga lateral triangular inversa.

    

5P



4P



3P





2P

h5 h4 h3



  

P

h2



h1 L

    III - 15


P: Fuerzas sísmicas

 

: Desplazamiento absoluto : Desplazamiento relativo de entrepiso

3.3.2 MÉTODOS DE ANÁLISIS ANÁLISIS A. Piso X Piso B. Piso acumulado acumulado (Elementos independientes) independientes) C. Columna ancha (1 er T. A. Castigliano, Análisis matricial) D. Elementos finitos

A.

MÉTODO PISO POR PISO: Este método de análisis establece que para determinar la rigidez lateral de los muros, debe considerarse empotrado en la base y libre en la parte superior del muro. Esto tiene que hacerse para cada muro y para cada piso independientemente en cada dirección de análisis.





5P





L

h3

L



14P



h4



12P



h5



9P

L

h2



15P

h1

L

L 1° Piso

2° Piso

3° Piso

               III - 16

4° Piso

         

5° Piso


CASO GENERAL:

−                  −  *()   ()+

CASO PARTICULAR: Sección Rectangular

B.

MÉTODO DE ELEMENTOS INDEPENDIENTES INDEPENDIENTES Este método analiza al muro íntegramente desde la base, que debe considerarse empotrada; hasta el último nivel del muro. Se aplica las mismas expresiones del método anterior. Los desplazamientos en el extremo libre para la determinación de la rigidez lateral deben ser los efectivos. Este método debe limitarse hasta cinco o seis niveles, dependiente de los resultados.

5P









9P





12P

h5





14P

h4 h3





15P

h2

h1 L

L

L

L

L

5° Piso

4° Piso

3° Piso

2° Piso

1° Piso

CASO GENERAL:

        III - 17


           →                     →                    →                     →                    →                        * ()   ()+   


C. METODO DE LA COLUMNA ANCHA

C.1 1ER TEOREMA DE A. CASTIGLIANO: Este método, cuyos resultados expresan mejor el comportamiento de los muros y que puede aplicarse para cualquier numero de pisos de la estructura que se esta analizando, es el que mejor resultados nos brinda. Para la programación usamos el análisis matricial pero puede también aplicarse el primer Teorema de Alberto Castigliano cuyos resultados salen exactamente igual al del método matricial.

2P

P B

A





3P C





III - 18





5P

4P

D

F

E










      ∑∫ ∑∫         

EJEMPLO: calcular el desplazamiento lateral para cada piso del muro de 2 niveles.





2P

h2





P

h1 L

Solución: 2P

P 0

1

2









Calculo de



1:

2P

H=P

0

≤≤

Tramo 1 - 2: 0 X h2

h1

1

x h2

2

        −−  III - 19


≤≤

Tramo 0 - 1: 0 X h1 H+2P x

Calculo de



2:

2Ph2

1

h1

0

  H H h h H         −  ∫ −  h     ∫     −  ∫ h   ∫  − −−   hh  hh   h −−   h  hh   h   −−  −−    h  hh   h H=2P

P

0

≤≤

Tramo 1 - 2: 0 X h2

h1

1

H   III - 20

x

h2

2

H   


≤≤

Tramo 0 - 1: 0 X h1

−  ∫     ∫   − −−   h   h    H+P x

h1

0

Hh2

1

  H  Hh  Hh H  h       −  ∫ −  h h  ∫     −  ∫ h   h  ∫  − −−   (h   hh hh)   h −−   (h   hh  hh)   h    −−  −−    (h   hh  hh   h)    h  h            ∴            ∴               








 





 



III - 21


C.2 ANÁLISIS ANÁLISIS MATRICIAL: 5P 2P

P

D

C

B

A

4P

3P

F

E

Convención de signos: (+) 2, V

2, v

1, N

1, u

3, M

3,  FUERZAS

DESPLAZAMIENTOS

G.D.L.: Se pueden considerarse como las incógnitas ya que están asociadas al desplazamiento desplazamiento y a las fuerzas internas de la estructura. 1

1

3

2 2

5

3 4

7

4 6

9

5 8

10

EEE GD   EIh   EIh EIh   EIh EI EAh EI EI  EAh EI EIh  EIh EIh  EIh  h EA h h EA h EI  h EI EI h EI [  h  h h  h ]     

Matriz de rigidez para cada elementos:

Matricialmente lo podemos expresar como la solución al problema:

III - 22


3.3.3 EJEMPLO ILUSTRATIVO: Hallar la rigidez lateral del muro de 2 niveles, de espesor 0.10m de concreto armado (f’c = 210 kg/cm 210 kg/cm2). Por los métodos: a) Piso X Piso b) Elementos independientes c) Columna ancha (1er Teorema de A. Castigliano) d) Columna ancha (Análisis matricial) 2P

3m P L=2.5m t = 0.1m

3.5m

Sección Transversal del Muro

2.5m

SOLUCIÓN: a) Piso X Piso:



2P



3m V2=2P



3P



2.5m 3.5m V1=3P

1° Piso

2° Piso

III - 23


E    ,    −        ,  *()   ()+ −       *()   ()+ ∴       −     *()   ()+ ∴       <>

b) Elemento independiente:





2P

6.5m





3P

3.5m

2° Piso

1° Piso

              * ()   ()+        * ()   ()+


III - 24


         * ()   ()+      ∴         ∴          c) Columna ancha (1er Teorema de A. Castigliano):

                                                      ∴      ∴         III - 25


d) Columna ancha (Análisis ( Análisis matricial): 5

2P

Elemento 1:

4 6

En el elemento 1 tenemos 6 grados de libertad de los

2

cuales los 3 primeros primeros los consideramos consideramos 0 (respecto al

2

P

1

código de ensamble) por que en la estructura estos

3

grados de libertad no interviene por ser un apoyo 1

empotrado.

1

3

2

0

0

0

                      [      ]  

1 2 3 0 0 0

Elemento 2:

1

2

3

4

5

6

                          [      ]   III - 26

1 2 3 4 5 6


1

2

3

4

5

6

                               

                               ∴      ∴        

Vector de Fuerzas Externas Externas de la Estructura:

Cálculo del Vector Desplazamiento:

III - 27

1 2 3 4 5 6


CUADRO COMPARATIVO COMPARATIVO DE RIGIDECES POR LOS CUATRO MÉTODOS: KL (ton/cm) Nivel

Piso X piso

Elem.

Col. Ancha (1er Teorema

Col. Ancha (Análisis

Indep.

de A. Castigliano)

Matricial)

2

206.784

39.279

38.905

38.906

1

143.233

143.233

88.420

88.423

NTE E-030: Material “Concreto Armado”

 ≤h  ≤   ≤     → ∴   ≤      → ∴   ≤  

; ; Para Estructuras de Concreto

3.4

SISTEMAS CON ELEMENTOS FLEXIBLES

Se tiene que tener e cuenta el aporte de las rigideces relativas de las vigas que conectan a sus extremos de las columnas.

Métodos de cálculo: Método del Dr. Muto Método del Dr. W ilbur-Biggs

3.4.1

MÉTODO DE MUTO:

En donde:

 ∗ III - 28


 :

Rigidez Rigidez lateral de la columna. (Ton/cm)

a : constante adimensional (que depende de la relación entre la suma de las rigideces de las vigas que llegan a los extremos de la columna y las rigidez de la columna



en análisis) : Rigidez lateral de la columna en la condición de perfectamente empotrado.

  h I               

3

A. CASO GENERAL:

KV1

KV2

KC

KV3

 



KV4

B. EXTREMO EMPOTRADO: KV1

     

KV2

KC

C. EXTREMO ARTICULADO: KV1

      ∗   

KV2

KC

III - 29


NOTA:

          Ih         h D I    I   ,   

TAMBIEN:

CASOS PARTICULARES:

a. COLUMNA CON ALTURA: h’ < h

KL

h'

h

 ∗    (hhh )

b. COLUMNA COMPUESTA POR TRAMOS CORTOS:

h1, KL1

h

KL h2,KL2

h

   hh    hh  III - 30


3.4.2

MÉTODO DE WILBUR – BIGGS

Para el cálculo de la rigidez lateral de estructuras aporticadas Wilburg y Biggs presentaron los siguientes sistemas de ecuaciones, las cuales se emplearan debiendo tener en consideración el nivel de entrepiso del cual se calculará dicha rigidez, así como también el tipo de apoyos que idealizaremos para la estructura dentro del proceso de análisis y que se mantendrá durante la vida útil de esta, dichas ecuaciones se presentan: A) ÚLTIMO NIVEL

−

     −−    −      −−   

B) NIVEL TÍPICO

C) SEGUNDO NIVEL

C.1) BASE EMPOTRADA

−           −        

C.2) BASE ARTICULADA

D) PRIMER NIVEL

D.1) BASE EMPOTRADA

−

       

D.2) BASE ARTICULADA

−       III - 31


3.4.3 PROBLEMAS DE APLICACIÓN PROBLEMA Nº1 Para el sistema aporticado mostrado en la figura, determinar: a) La rigidez lateral total en la dirección “x” b) La rigidez lateral total en la dirección “y” Resolver el sistema empleando los métodos de Muto y Wilbur La resistencia de diseño del concreto será: f’c = 210 Kg/cm2 VS-101 (0.25 x 0.50) B

) 5 6 . 0 x 0 3 . 0 ( 1 0 1 P V

) 5 6 . 0 x 0 3 . 0 ( 2 0 1 P V

) 5 6 . 0 x 0 3 . 0 ( 2 0 1 P V

) 5 6 . 0 x 0 3 . 0 ( 2 0 1 P V

) 5 6 . 0 x 0 3 . 0 ( 1 0 1 P V

8.00

Y

VS-101 (0.25 x 0.50) X 0.40

0.30 3.00

1

3.00

2

A

3.00

3

3.00

4

5

PLANTA

4.00

4.00

3.00

8.00

PÓRTICOS: 1, 2, 3, 4 y 5

3.00

3.00

3.00

PÓRTICOS: A y B

SOLUCIÓN: Cabe resaltar que la finalidad de resolver la estructura empleando ambos métodos es para poder comparar los valores de rigidez que derivan de estos.

III - 32


1. MÉTODO DE MUTO: DIRECCIÓN “X”: PÓRTICOS A y B a) Cálculo de la rigidez relativa de vigas: Para lo cual calcularemos previamente la inercia de las vigas con respecto al eje X de análisis

   ∗      ∗     ∗       ∗

50.00 Z Y

25.00

b) Cálculo de la rigidez relativa de columnas. Como en el caso anterior calcularemos previamente la inercia de las columnas en la dirección “X” de análisis.

    ∗  ∗   ∗       ∗

40.00 Y X

30.00

c) Cálculo de K de columnas.



 √      ∗∗          

 

d) Cálculo de la rigidez lateral de columnas: Para lo cual debemos tener en consideración si lo que tenemos es una columna de esquina o interior del pórtico, como se muestra a continuación: d.1) Columna tipo:



: Vienen a ser las columnas de extremo del pórtico, en el sentido “X” de

análisis, contamos con dos columnas por eje:

III - 33


Kv1=0

K v2

Kc

d.2) Columna tipo:



    ∗∗                    ∗    

Vienen a ser las columnas intermedias del pórtico, para el sentido “X” de

análisis, podemos apreciar tres columnas por eje:

Kv1

     ∗ ∗∗                    ∗    

Kv2

Kc

e) Cálculo de la la rigidez lateral de cada pórtico: cómo podemos apreciar, apreciar, esta viene a ser la sumatoria de las rigideces de todos los elementos individuales que componen dicho pórtico:

        ∗    ∗   

f) Cálculo de la rigidez rigidez lateral total del sistema: Para Para el cálculo cálculo de la rigidez lateral lateral total de la estructura, debemos hacer la sumatoria de todos los pórticos que componen la estructura en el sentido en el cual estamos analizándola, en este caso viene a ser el eje “X” de “X” de análisis: Sismo “X-X “X-X””

      ∗    III - 34

m

x

KLx=29.55 Ton cm


DIRECCIÓN “Y”: PÓRTICOS 1, 2, 3, 4 y 5 a) Cálculo de la rigidez relativa de vigas.

    ∗  ∗     ∗       ∗

65.00

Z X

30.00

b) Cálculo de la rigidez relativa de columnas.

   ∗      ∗   ∗       ∗

80.00

Z X

40.00


              ∗∗    d) Cálculo de la rigidez lateral de de columnas: columnas:



: Son las columnas de extremo en el eje “Y”:

K v1 =0

K v2

Kc

    ∗∗              ∗    

e) Cálculo de las rigideces laterales de cada pórtico.

III - 35


        ∗   

f) Cálculo de la rigidez lateral total del sistema: Cómo ya sabemos es un sistema compuesto por cinco pórticos en la dirección “Y”, por lo cual realizaremos la sumatoria como se muestra:

Sismo “Y“Y-Y”:

      ∗   

2.

y

m

K Ly =41.61 Ton cm

MÉTODO DE WILBUR:

Para la solución del ejercicio empleando este método, los datos requeridos como las inercias, longitudes y altura de entrepiso son datos provistos o conocidos como consecuencia de la solución por el método anterior, con lo cual procederemos al cálculo directo de la rigidez lateral, primero de cada pórtico y finalmente del conjunto estructural: DIRECCIÓN “X”: PÓRTICOS A y B y B Para el cálculo de la rigidez de la estructura emplearemos la ecuación D.1, que viene a ser la ecuación para el cálculo de la rigidez para el primer nivel de un sistema estructural empotrado:

−

        a) Cálculo de la rigidez lateral de cada pórtico:

−

   ∗  ∗∗  ∗  ∗ ∗   ∗∗∗    III - 36


b) Cálculo de la la rigidez lateral total del sistema: (Sismo “X”)

      ∗   

x

m

K Lx =34.00 Ton cm

DIRECCIÓN “Y”: PÓRTICOS 1, 2, 3, 4 y 5 a) Cálculo de la rigidez lateral de cada pórtico:

−

∗    ∗ ∗   ∗  ∗∗    ∗∗∗          ∗   

b) Cálculo de la rigidez lateral total del sistema: (Sismo “Y”)

y

m

K Ly=53.62 Ton cm

Entonces como producto de la aplicación de ambos métodos presentamos el siguiente cuadro comparativo: MUTO

WILBUR

UND

Rigidez "X"

29.55

34.00

TON/cm

Rigidez "Y"

41.61

53.62

TON/cm

PROBLEMA Nº 2 Para el edificio de concreto armado el cual consta de un sistema aporticado de dos niveles que se muestra en la planta siguiente: Se pide determinar la rigidez lateral de cada entrepiso en la dirección de análisis del sismo Y-Y, empleando los métodos de Muto y Wilbur La resistencia del concreto: f’c = 210 Kg/cm 2

III - 37


Sy

(0.25 x 0.50)

0.40

C

0.60

8.00 ) 0 8 . 0 x 0 4 . 0 (

) 0 8 . 0 x 0 4 . 0 (

) 0 8 . 0 x 0 4 . 0 (

W 2 =140 Ton

KLy2ºP =?

3.00

B

(0.25 x 0.50) x 0.50) W 1 =140 Ton

6.00 KLy1ºP=?

Y X

4.00

(0.25 x 0.50) A

5.00

MODELO CORTANTE SIMPLE (Dirección de analisis Y-Y)

5.00

1

2

3

PLANTA TIPICA

3.00

ELEVACION (Pórticos: 1, 2 y 3) 4.00

6.00

8.00

SOLUCIÓN: 1. MÉTODO DE MUTO: DIRECCIÓN DE ANALISIS DEL SISMO: Y-Y: a) Cálculo de la rigidez rigidez relativa de vigas: La inercia de las vigas y su respectiva respectiva rigidez serán en este caso:

III - 38


    ∗  ∗     ∗       ∗     ∗       ∗

80.00

Z X

40.00

b) Cálculo de la rigidez relativa de columnas:

   ∗      ∗   ∗       ∗   ∗       ∗               ∗∗           ∗∗   

60.00

Y X

40.00


d) Cálculo de la rigidez lateral de columnas: Consideraremos columnas interiores y de esquina, además en este caso consideraremos si son columnas de primer o segundo nivel: d.1) Rigidez lateral de columnas de Primer nivel: Columna tipo:



: Siendo denominadas así, las columnas de extremo que presentan o se

idealizan como simplemente apoyadas:

III - 39


K v1=0

K v2

Kc

           ∗ ∗          ∗    



Columna tipo: Columnas intermedias del pórtico en análisis: Kv1

                    ∗    

Kv2

Kc

Columna tipo:



Kv1=0

Columnas de extremo del pórtico las cuales se encuentran empotradas en la base: Kv2

Kc

                  ∗    

La Rigidez lateral total del Primer Nivel de la estructura: Dentro del proceso de idealizacion de la estructura tenemos tres porticos identicos, por lo cual al haber analizado la rigidez lateral de uno de ellos, solo tendremos que multiplicar por la cantidad de pórticos existentes y asi calcularemos la rigidez total del Primer nivel de la estructura, contando con la siguiente expresion:

  ∑              d.2) Rigidez lateral de columnas de Segundo nivel:

III - 40


  

Kv1=0

:

Kv2

Kc

Kv3=0

Kv4

   Kv1

Kv2

Kc

Kv3

Kv4

   Kv1

Kv2=0

Kc

Kv3

Kv4=0

           ∗              ∗        :            ∗∗              ∗                 ∗               ∗    

Rigidez lateral total del Segundo Nivel de la estructura: Como en el caso anterior podemos emplear la misma expresión para calcular la rigidez lateral de todo el segundo nivel:

III - 41


  ∑              Entonces nuestro sistema presentara la siguiente configuración para su idealización y rigidez lateral: W 2 =140 Ton

KLy2ºP = 248.118 Ton/cm

W 1 =140 Ton

KLy1ºP= 123.603 Ton/cm

2. METODO DE WILBUR Como en el caso anterior los datos como las inercias, longitudes y alturas de entrepiso son datos ya conocidos, con lo cual procederemos al cálculo directo de la rigidez lateral de toda la estructura:

Primer nivel: Para los elementos que presentan la base empotrada emplearemos la ecuación D.1:

−

             ∗   ∗∗  (∗  ∗)   ∗∗∗   ∗ ∗  ∗        

Para los elementos que presentan la base articulada entonces emplearemos la

ecuación D.2:

III - 42


−       − ∗ ∗   ∗  ∗     ∗   ∗   (  )           ∗     

Cálculo de la rigidez lateral total del primer nivel:

Segundo nivel:

Para este caso emplearemos la ecuación A, que viene a ser la ecuación característica en último nivel:

−

     −−   

∗    ∗   ∗∗         ∗   ∗   ∗   ∗   ∗ ∗  (  ) (  )     

         ∗     

−

Cálculo de la rigidez lateral total del segundo nivel:

Entonces nuestro sistema presentará la siguiente configuración para su idealización y rigidez lateral:

III - 43


W2 =140 Ton


W 1 =140 Ton


Finalmente del proceso de cálculo de la rigidez lateral de la estructura de dos niveles obtenemos los siguientes valores de rigidez, los cuales compararemos con los resultados obtenidos con el Programa SAP 2000, como se muestra a continuación: MUTO

WILBUR

UND

PRIMER NIVEL

123.603

153.681

TON/cm

SEGUNDO NIVEL

248.118

232.941

TON/cm

Los resultados obtenidos con el SAP 2000 serán: Sin considerar la deformación por corte:

   ∗         ∗         ∗         ∗     

Considerando la deformación por corte:

PROBLEMA Nº 3

Para el sistema aporticado de concreto armado de dos niveles que se muestra en la siguiente gráfica, donde tenemos que la columna del eje 1, es una columna circular, la columna del eje 2 es una columna rectangular y la columna del eje 3 es una sección T, adicional a esto sabemos que la resistencia de diseño es f’c =210 Kg/cm2 y que todas las vigas que presenta la estructura serán de 0.30x0.50 m2 de área.

III - 44


3.00

4.00

ELEVACIÓN 2.00

1

4.00

2 0.30

3 0.30 0.30

0.30

0.50 0.50

0.30

SOLUCIÓN: Empezaremos la solución de este problema calculando el módulo de elasticidad y las inercias como se ve a continuación:

      

Para las secciones circular y rectangular tendremos el cálculo de sus inercias de manera rápida con la aplicación de las siguientes ecuaciones: Sección circular:

   ∗                           

Además de la inercia inercia de la sección sección circular calcularemos calcularemos para para cada nivel nivel el valor de:

III - 45


Sección rectangular:

   ∗                                             

Además de la inercia inercia de la sección sección rectangular rectangular calcularemos calcularemos para cada nivel nivel el valor valor de:

Para el cálculo de la inercia de la sección “T”, tendremos el siguiente procedimiento de cálculo:

      ̅   

Entonces conociendo el centro de gravedad y aplicando el teorema de Steiner tendremos que la inercia valdrá:

                 *      +      

                         

Además de la inercia inercia de la sección sección rectangular rectangular calcularemos calcularemos para cada nivel nivel el valor valor de:

Una vez conocidas las inercias de las columnas procedemos al cálculo de los



de cada

columna, como se realiza a continuación, empezando por el primer y acabando en el segundo nivel y llendo desde la columna circular, pasando por la columna cuadrada y terminando en la sección “T” para cada nivel, así: Col circular (Primer Nivel):

      ∗   III - 46


Col cuadrada (Primer Nivel):

      ∗           ∗           ∗         ∗           ∗    

Col en T (Primer Nivel):

Col circular (Segundo Nivel):

Col cuadrada (Segundo Nivel):

Col en T (Segundo Nivel):

Conocidos estos valores y como conocemos las dimensiones de nuestras vigas procedemos al cálculo de la rigidez lateral de cada columna como se aprecia a continuación: continuación: La inercia de las vigas, así como su rigidez vendrá como se muestra:

   ∗         

Debemos tener en consideración las luces a las cuales se somete nuestra viga para poder conocer cuál será el valor de rigidez que debemos agregarle a las ecuaciones que nos brindarán las rigideces de la estructura, como en el ejercicio anterior. Para cuando la luz de la viga vale L = 200 cm

                    

Para cuando la luz de la viga vale L = 400 cm

Entonces según Muto tenemos: t enemos:

III - 47


a.1) Rigidez lateral de columnas de Primer nivel:

Columna tipo:



: Siendo denominadas así, las columnas de extremo que presentan o se idealizan

como simplemente apoyadas:

Kv1=0

            ∗      ∗      ∗    

Kv2

Kc

Columna tipo:



Kv1

Columnas intermedias del pórtico las cuales se consideran empotradas: empotradas:

                   ∗    

Kv2

Kc

Columna tipo:



Kv1=0

Columnas de extremo del pórtico las cuales se encuentran empotradas en la base:

                       ∗    

Kv2

Kc

a.2) Rigidez lateral de columnas de Segundo nivel:

  

:

III - 48


Kv1=0

Kv2

Kc

Kv3=0

Kv4

   Kv1

Kv2

Kc

Kv3

Kv4

   Kv1

Kv2=0

Kc

Kv3

Kv4=0

          ∗                ∗        :          ∗∗               ∗                 ∗                 ∗    

Entonces despues de realizado todo este proceso de cálculo presentamos el siguiente esquema el cuál nos muestra el comportamiento de las rigideces que presenta la estructura de acuerdo al método de Mutto:

III - 49


K = 3.284

K = 5.471

K = 7.143

K = 0.393

K = 2.491

K = 4.725

2.00

1



4.00

2

3

3.4.4 PROBLEMAS DE CÁLCULO DE LA RIGIDEZ LATERAL CONSIDERANDO EL APORTE DEL ACERO DE REFUERZO PROBLEMA N° 04: Hallar la rigidez lateral de la columna de concreto armado f’c = 210 kg/cm 2 F

D=0.50m h=3m

b=0.50m

8  1"

a) Considerando sólo efecto de flexión

III - 50


 

    √     <>        ∴      

 



 







 

Norma E-030 E-030 “Diseño Sismoresistente” LIMITES DE DESPLAZAMIENTOS LATERALES

Material predominante

∆ei/hei

Concreto armado

0.007

Acero

0.010

Albañilería

0.005

Madera

0.010

Donde: ∆i ; Desplazamiento relativo del entrepiso i hei ; Altura del entrepiso entrepiso i

 ≤h  ≤     → ∴   ≤   −     *()   ()+ −     *(  )   (  )+ ∴            : : Material concreto

b) Considerando efectos de flexión y corte

c) Considerando el aporte del acero de refuerzo y sólo el efecto de flexión

III - 51


25cm

(n-1)As1

6cm

(n-1)As2

(n-1)As1

6cm

50 cm

                        ̃

                   ∑∑∗   ,        ∗  ∗     ∴   ∗∗          PROBLEMA N° 05:

Hallar la rigidez lateral de la placa de concreto armado F ’c = 210 kg/cm 2, Fy=4200 kg/cm2, h=3m

III - 52


 1/2" @0.20

 1/2" @0.20

t=0.25

L = 3.50 m

a) Sin considerar el aporte del acero de refuerzo CASO PARTICULAR: sección rectangular

−     *(  )   ( )+    √√FF      −     *()   ()+   ∴      

b) Considerando el aporte del acero de refuerzo

Se tiene:

      20cm

20cm

20cm

20cm

20cm

20cm

20cm

20cm

10

          AA    EE  A A          Dónde:

III - 53

(n-1)As


AA  A  A  A  A  A  A  A      AA  A  A  A  A  A  A  A                                                   −    ∴           

PROBLEMA N° 06:

Determinar la rigidez lateral del muro de albañilería confinada arriostrada por columnas de concreto armado. f’c = 175 kg/cm2 f’m = 55 kg/cm2 Vs (0.25 x 0.25)

h=3m

L=3.50m

III - 54


4

 1/2"

0.25 0.25

L=3.50m Sección Transversal

SOLUCIÓN: a) Primer caso: considerando toda el área de albañilería

         <>     <>     0.25

L=3.50m

                               −    ∴        

b) Segundo caso: considerando el área transformada de las columnas de confinamiento

III - 55


0.25

1.50m

nt=1.75

0.25

L=3.50m

  <>     <>              ̃                                         −    ∴        

c) Tercer caso: considerando sección transformada del concreto y el aporte del acero de refuerzo vertical.

III - 56


(n 1-1)As

162.50 cm 172.00 cm 151.75 cm

nt=1.75

0.25

L=3.50m

  <>     <>              ̃            ̃                                                                         −    ∴         III - 57


PROBLEMA N° 07: En la gráfica siguiente presentamos una columna con sección en “L” (Elemento Estructural Estruct ural Simple) con una altura de columna de 3m, cuya resistencia a la compresión es igual a f’c=210kg/cm2, para la cual se pide calcular la rigidez lateral que presenta en el eje “X”, teniendo en consideración: consideración: a) Solo el aporte de rigidez del concreto. b) El aporte a la rigidez rigidez del concreto concreto y del acero de de refuerzo por flexión. PLANTA

0.30

0.30 0.30

0.60

Y

0.30

X

0.60 12 Ø 3/4

SOLUCIÓN: a) Considerando solo el aporte a la rigidez del concreto:

       ∗ ∗     

Calcularemos la inercia de la sección: La inercia de la estructura estará calculada como se muestra: SECCION

B (cm)

D ( cm)

X

A

Y*A

1 2

30 30

60 30

30 15

1800 900

54000 13500

2700

67500

TOTAL

̅     III - 58


0.30

SECCION 2

0.30 0.30

0.60

0.30

SECCION 1

X

0.60

SECCION 1

I 540000

A 1800

d 5

d2 25

I + A*d2 585000

2

67500

900

-10

100

157500

Con esto la inercia de la estructura es:

        ∗∗    

Y finalmente podemos calcular la rigidez lateral de la columna como sigue:

b) Considerando el aporte a la rigidez del concreto y del acero por flexión. Tendremos para el área de la sección transformada:

     ∗ 

Entonces para cada uno de los casos, tendremos las siguientes áreas:

  ∗      ∗      ∗  ∗          ∗      ∗  ∗     = 2*10^6 / 217371 = 9.29 = 9

III - 59


SECCION TRANSF

0.30

0.30 0.60

0.30

X

0.60

SECCION TRANSF

Entonces conociendo las áreas equivalentes de sección transformada, procedemos a calcular la inercia total de la estructura como se presenta en la siguiente tabla:

SECCION

B (cm)

D ( cm)

X (CM)

I

A

A*X

d

d2

I + A*d2

1

30

60

30

540000

1800

54000

4.95

24.54

584175.72

2

30

30

15

67500

900

13500

-10.05

100.92

158329.99

3

As1

6

91.2

547.2

-19.05

362.75

33082.83

4

As2

24

91.2

2188.8

-1.05

1.09

99.78

5

As3

39

45.6

1778.4

13.95

194.71

8878.96

6

As4

54

45.6

2462.4

28.95

838.33

38228.02

Entonces la inercia será:

         ∗∗    

Y por lo tanto la rigidez lateral será:

III - 60


PROBLEMA N° 08: La columna de concreto armado mostrada a continuación presenta una sección “T” y una altura de 3 metros, considerando un sistema en voladizo y una resistencia de diseño de f’c=210 Kg/cm2 se pide calcular la rigidez lateral considerando: a) Solo el aporte de rigidez del concreto. b) El aporte a la rigidez rigidez del concreto concreto y del acero de de refuerzo por flexión. PLANTA

0.25 0.23 0.25

0.70

0.25

Y

0.23

X

0.50 10 Ø 5/8"

SOLUCIÓN: a) Considerando solo el aporte a la rigidez del concreto: 0.25 0.23 0.25

0.70 SECCION 2

SECCION 1 0.25

Y

X

0.23

X

0.50

SECCION

B (cm)

D ( cm)

X

A

Y*A

1

70

25

12.5

1750

21875.00

2

25

25

37.5

625

23437.50

2375

45312.50

TOTAL

III - 61


̅    SECCION

I

A

d

d2

I + A*d2

1

91145.83

1750

-12.5

156.25 1 56.25

364583.333

2

32552.08

625

12.5

156.25

130208.333

Con esto la inercia de la estructura es:

        ∗∗    

Y finalmente podemos calcular la rigidez lateral de la columna como sigue:

b) Considerando el aporte a la rigidez del concreto y del acero por flexión. Tendremos para el área de la sección transformada:

     ∗ 

SECCION TRANSF

0.25 0.23 0.25 0.70

0.25

Y

0.23

X

X

0.50 SECCION TRANSF

Entonces para cada uno de los casos, tendremos las siguientes áreas:



= 2*10^6 / 217371 = 9.29 = 9

 ∗

III - 62


     ∗      ∗  ∗        ∗      ∗  ∗    

Entonces conociendo las áreas equivalentes de sección transformada, procedemos a calcular la inercia total de la estructura como se presenta en la siguiente tabla: SECCION

B (cm)

D ( cm)

X (CM)

I

A

A*X

d

d2

I + A*d2

1

70

25

12.5

91145.83

1750

21875

-12.55

157.40

366599.75

2

25

25

37.5

32552.08

625

23437.5 23437.5

12.45

155.10

129490.83

3

As1

6

63.36

380.16

-19.05

362.75

22983.86

4

As2

19

63.36

1203.84

-6.05

36.55

2316.07

6

As3

44

31.68

1393.92

18.95

359.25

11381.16


         ∗∗    


PROBLEMA N° 09:

El sistema estructural de concreto armado mostrado a continuación presenta una sección “T” y una altura de 3 metros, considerando un elemento empotrado en un solo lado y una resistencia de diseño de f’c=210 Kg/cm 2 se pide calcular la rigidez lateral considerando: a) Solo el aporte de rigidez del concreto. b) El aporte a la rigidez rigidez del concreto concreto y del acero de de refuerzo por flexión. 12 Ø 3/4

Ø 1/2" @ 0.29

12 Ø 3/4

0.40 0.80

3.40

a) Considerando sólo el aporte de rigidez del concreto.

III - 63

0.80


SECCION

B (cm)

D ( cm)

X

A

Y*A

1

40

250

125

10000

1250000.00

2

20

170

85

-3400

-289000.00

6600

961000.00

d2 10000 3600

I + A*d2 152083333.3 -4051666.667 -4051666.66 7

TOTAL

SECCION 1 2

I 52083333.33 8188333.33

A 10000 -3400

d 100 60

     ∗ ∗∗         b) Considerando el aporte a la rigidez del concreto y del acero por flexión. Tendremos para el área de la sección transformada:

     ∗ 

SECCION TRANSF

SECCION TRANSF

0.29

SECCION TRANSF

SECCION TRANSF

SECCION

B (cm)

D (cm)

X (CM)

I

A

A*X

d

d2

I + A*d2

1

40

250 250

125

52083333.33

10000

1250000 1250000

99.95

9990.80

151991344.81

2

20

170

85

8188333.33

-3400

-289000 -289000

59.95

3594.48

-4032903.89

3

Ast1

0

20.32

0

-25.05

627.30

12746.78

4

Ast2

29

20.32

589.28

3.95

15.63

317.68

5

Ast3

58

20.32

1178.56

32.95

1085.97

22066.82

6

Ast4

87

20.32

1767.84

61.95

3838.30

77994.21

7

Ast5

116

20.32

2357.12

90.95

8272.63

168099.83

8

Ast6

145

20.32

2946.4

119.95

14388.96

292383.69

9

Ast7

175

63.36

11088

149.95

22486.20

1424725.67

10

Ast8

191

63.36

12101.76

165.95

27540.73

1744980.56

11

Ast9

209

63.36

13242.24

183.95

33839.07

2144043.62

12

Ast10

227

63.36

14382.72

201.95

40785.42

2584163.97

13

Ast11

245

63.36

15523.2

219.95

48379.76

3065341.59

III - 64



            ∗∗       


CUADRO COMPARATIVO (Ton/cm):

PROB 1 PROB 2 PROB 3 PROB 4 PROB 5 PROB 6

3.5

SÓLO CONCRETO CONCRETO Y ACERO 12.323 14.701 1067.558 1113.750 135.058 355.160 17.933 19.872 11.950 12.868 7150.622 15408.735

PROBLEMAS PROPUESTOS

PROBLEMA N°1 Para el sistema compuesto por una viga (E=2x10 5 kg/cm2) y una varilla de acero (E=2.1x10 6 kg/cm2) de 2cm2 de área colocado en uno de sus extremos tal como se muestra en la figura. ¿Cuál debe ser el momento de inercia “ ” de la viga para que el desplazamiento en el extremo libre debido a una carga de 30 toneladas hacia abajo, sea de 1cm?

III - 65


PROBLEMA N°2 La estructura mostrada en la figura es de concreto armado (E=2.2x10 6 kg/m2) y puede modelarse suponiendo un diafragma rígido y E vigas=. Se pide determinar la rigidez lateral para la dirección de análisis X-X. Considere la sección de columnas:

PROBLEMA N°3 Para la estructura de concreto armado (fć=280kg/cm 2) con Mezzanine mostrada en la figura, se pide determinar las rigideces laterales según el modelo dinámico propuesto (K L1, KL2 y KL3), para la dirección de análisis X-X. Considere: VIGAS: (0.30mx0.60m) (0.30mx0.60m) COLUMNAS: 0.40m

III - 66


Wmezzanine =1.50ton/m2 Wnivel superior =0.90ton/m =0.90ton/m2

PROBLEMA N°4 Para la estructura reticular de acero (todas las barras: E=2.1x10 6kg/cm2; A=20cm2), se pide determinar la rigidez lateral.

III - 67


PROBLEMA N°5 Para pequeñas oscilaciones verticales de la masa de la estructura con elementos biarticulados, biarticulados, se pide determinar la rigidez vertical. (E=2.1x10 6kg/cm2)

PROBLEMA N°6 Para el pórtico de concreto armado de 2 niveles mostrado en la figura, determinar la rigidez lateral de columnas columnas por los métodos de Muto Muto y Wuilbur. (E=210 ton/cm ton/cm 2)

III - 68

DINAMICA ESTRUCTURAL

CAPÍTULO IV DINÁMICA ESTRUCTURAL 4.1

ESTUDIO DE LAS ESTRUCTURAS MODELADAS COMO SISTEMAS DE UN GRADO DE LIBERTAD – 1GDL x+ (t)

x ¯(t) ¯(t )

F(t)

m

F(t)

CM k

C: coeficiente de amortiguamiento (tipo histerético)

Z Y 0

X

ESTRUCTURA

MODELO DINÁMICO

D.C.L. de la masa: m

Fuerza actuante

F(t)

KX(t) CX(t) Fuerzas de resistencia

           

De la 2da ley de Newton:

IV - 1


      

;

Ecuación general de la dinámica

K.X(t): Fuerza elástica.



C. (t): Fuerza de amortiguamiento. F(t): Fuerza excitadora.

AMORTIGUAMIENTOS: 1° HISTERÉTICO.- Es aquella que se da por fuerzas de reacomodo de sus partículas del material que el sistema sistema presenta ya sea concreto, acero, acero, albañilería, albañilería, etc. 2° DE COULUMB.- Es aquella que se da por fuerzas de fricción o rozamiento producidas en los nudos de la estructura. 3° VISCOSO.- Es aquella amortiguación que se define por motivación de fuerzas externas ya sea fuerzas puntuales o distribuidas. distribuidas. Es proporcional proporcional a la velocidad. velocidad. Liquido de viscosidad “C” F

v Liquido de viscosidad "C"

  

f a: Fuerza de amortiguació amortiguación. n.

Otra forma de obtener la ecuación general de la dinámica es haciendo uso del: PRINCIPIO DE D’ALAMBERT:

Este principio establece que un sistema puede ser puesto en estado de equilibrio dinámico agregando a las fuerzas externas una fuerza ficticia, comúnmente conocida como FUERZA DE INERCIA. Esta fuerza es igual a la masa multiplicada por la aceleración, aceleración , y debe estar siempre dirigida negativamente con respecto al movimiento.

      

El objetivo es resolver esta ecuación diferencial, para los diferentes casos que se pudieran presentar a fin de encontrar la expresión que describa el movimiento del sistema, es decir, predecir el desplazamiento desplazamient o o la velocidad de la masa “m”, en cualquier instante de tiempo “t” “t” a partir de las condiciones iniciales dadas en el instante t=0.

IV - 2


m F =mX(t) I

F(t)

KX(t) CX(t)

TIPOS DE MOVIMIENTO (VIBRACIONES) (VIBRACIONES) I.

Movimiento No Forzado (Libre): F(t)=0 1. MOVIMIENTO LIBRE NO AMORTIGUADO: (C=0)

           

2. MOVIMIENTO LIBRE AMORTIGUADO: (C≠0)

II.

Movimiento Forzado: F(t)≠0

3. MOVIMIENTO FORZADO NO AMORTIGUADO: AMORTIGUADO: (C=0)

           

4. MOVIMIENTO FORZADO AMORTIGUADO: AMORTIGUADO: (C≠0)

En el caso I, se refiere al planteamiento de ecuaciones diferenciales lineales de segundo orden homogéneas con coeficientes constantes. En el caso II, se refiere a ecuaciones diferenciales lineales de segundo orden no homogéneas con coeficientes constantes. Veamos el análisis de cada una de las ecuaciones planteadas anteriormente.

4.2

ESTUDIO DE LOS TIPOS DE MOVIMIENTOS VIBRATORIOS 4.2.1 MOVIMIENTO LIBRE (NO FORZADO NO AMORTIGUADO)

    

IV - 3


posicion de equilibrio o linea de referencia

x ¯

m

x+

k

Haciendo un cambio de variable:

                       ⁄               ⁄      ⁄      ⁄  Reemplazando:

Para raíces del tipo:

(raíces conjugadas complejas)

La solución es:

En nuestro caso:

Ecuación del movimiento de la masa.

C1 y C2 : constantes de integración que dependen de las condiciones iniciales del movimiento.

   

: Frecuencia angular del sistema (rad/seg).

IV - 4


Condiciones Condiciones iniciales: t=0

                                  

Desplazamiento inicial.

: Velocidad inicial. inicial.

Como:

Por consiguiente consiguiente reemplazánd reemplazándolo: olo:

      Ecuación de movimiento con condiciones condiciones iniciales. Examinemos ahora detalladamente esta ecuación que describe el movimiento vibratorio del oscilador simple sin amortiguamiento. Una simple transformaci t ransformación ón trigonométrica nos permite escribir: X(t) T=2 /w

x0

T=2 /w

x0 A t

w

     IV - 5


= A

) ² w / 0 X + + ( ² 0 X0 X X0/W

⁄                   | |                     ⁄ 

Ecuación del movimiento vibratorio del sistema.

En donde:

: Amplitud o máximo desplazamiento de la masa del

sistema.

: Angulo de fase.

Como vemos, el movimiento que describe la masa es ARMÓNICO y PERIÓDICO. -

ARMÓNICO: ARMÓNICO: Porque la ecuación es expresada como una función de “seno” o “coseno” del tiempo.

-

PERIÓDICO: Porque las oscilaciones o vibraciones (ciclos: “2π”)ocurren en intervalos iguales de tiempo.

También puede demostrarse:

      

PERIODO:

(seg): Periodo natural del sistema.

FRECUENCIA NATURAL:

     IV - 6

(herz), (hercios), (1/seg)


4.2.1.1 PROBLEMAS DE APLICACIÓN PROBLEMA N° 01: Determinar la frecuencia natural del sistema mostrado en la figura. Dirección de análisis X-X. f’m=50 kg/cm2 (muro de albañilería) (kg/cm2)

Em= 500 f’m t= 0.14 m

A

0.14

3m

B

0.14

3m

C

0.14 1.76

0.12

1.76

3m

D

0.14 0.24

4.72m

0.24

x

PLANTA

1.2 m

2m

2m

1.2 m

2m

MUROS: A, B y C

IV - 7


3.2 m

5.2 m

MURO: D x

W=55 ton

kL

              SOLUCIÓN: Calculo de la rigidez lateral del sistema

                                       

Frecuencia angular del sistema

Periodo natural del sistema

Frecuencia natural del sistema

IV - 8


PROBLEMA N° 02: Para la estructura mostrada en planta y elevación, considerando el análisis en la dirección Y-Y, se pide determinar: a) La frecuencia natural del sistema. b) Para las las condiciones condiciones iniciales x(0)=1.5 cm Ẋ(0)=30 cm/seg b.1 La amplitud del sistema. b.2 El ángulo de fase. b.3 El desplazamiento para t=0.05 seg t=0.5 seg f’c=210 kg/cm2

   

(kg/cm2) SY

0.30 0.40

B

8m

Y

A

X

1

3m

2

3m

3

3m

4

3m

5

PLANTA (0.30 x 0.65)

4m (0.30 x 0.40)

8m

Pórticos: 1, 2, 3, 4 y 5

IV - 9


W=100 ton

kL=53.617 ton/cm (WILBUR)

SOLUCIÓN: FRECUENCIA ANGULAR: (W)

                                             *      ⁄   ⁄*                     

PERÍODO NATURAL: (T)

FRECUENCIA FRECUENCIA NATURAL: (f)

AMPLITUD DEL MOVIMIENTO: MOVIMIENTO: (A)

ANGULO DE FASE: (α)

POSICIÓN DE LA “M” PARA:

Como:

Para: t=0.05 seg → X(0.05)=1.810 X(0.05)=1.810 cm t=0.5 seg → X(0.5)= -0.495 cm

IV - 10


PROBLEMA N° 03 Al centro del puente de 30m de luz se ha detenido un camión que pesa 25 ton. Un funcionario del MTC en una visita de inspección mide la deformación (flecha) que produce el peso del camión al centro del puente es de 6.1 cm. El puente tiene la sección transversal mostrada, mostrada, las vigas son de 40 cm de ancho, el concreto concreto tiene un 2 módulo de elasticidad E=280 000 kg/cm , Calcular la frecuencia natural y el período de vibración del puente en los casos:



a) El puente vibra conjuntamente con el camión detenido al centro. b) El puente vibra solo.

L=30 m

0.2 1.3

8m

SOLUCION: 1.- cálculo de KL: P

    

Por análisis estructural:

L

            k

IV - 11


Calculo de la ubicación del eje neutro:

Ȳ

N.R. y

E.N.

     ∑ ̅ ∑ ∑                                      Cálculo del momento de inercia: I

Reemplazando en (1):

2.-Calculo del coeficiente de longitud efectiva del puente: α L

=6.1 cm P+w

                            IV - 12


  

  

El peso efectivo del puente que actúa en la deformación es:

    

3.- Cálculo de W y T con el camión: P

k/2

W

P=25 ton

                       4.- Calculo de W y T sin peso del camión:

            IV - 13

k/2


PROBLEMA N° 04: Calcule la frecuencia natural del movimiento horizontal del pórtico de acero, en los siguientes casos: a. Si el elemento horizontal es infinitamente infinitament e rígido b. Si el elemento horizontal es flexible y tiene un momento de inercia de

           

X

W = 15 000 kp.

 =7 200 5m



5m

SOLUCIÓN: A.

ELEMENTO HORIZONTAL RÍGIDO: a. Cálculo de la rigidez lateral lateral del sistema: (k) (k)

                  

b. Cálculo de la frecuencia frecuencia angular: ( )

               IV - 14




c. Cálculo del periodo: ( )

       d. Calculo de la frecuencia frecuencia natural: (f)

      B.

ELEMENTO HORIZONTAL FLEXIBLE: FLEXIBLE : a. Cálculo de la rigidez lateral lateral del sistema: (k) (k)



        

 5m



5m

POR MUTO:

                             IV - 15












                                         [    ]                     

POR WILBUR:

b. Cálculo de la frecuencia frecuencia natural: (f)

                      IV - 16


Muto:

Wilbur:

                     

PROBLEMA N° 05: Determine la frecuencia natural para el movimiento horizontal del pórtico de acero. Considere las vigas horizontales infinitamente rígidas y desprecie la masa de las columnas. (E=2.1x10 6 kp/cm2;

   

) x

W=2500 Kp

4m

4

4

I1=3400cm

4

I2=1200cm

7m

I1=3400cm

7m

Considere:

k k

     

SOLUCIÓN: 1° Cálculo de la rigidez lateral del sistema (K)

     IV - 17


                                

2° Cálculo de la frecuencia frecuencia angular (ω)

3° Cálculo del periodo (T)

            

4° Cálculo de la frecuencia natural (f) (herz)

PROBLEMA N° 06: Considere el péndulo simple de masa “m” mostrado en la figura. Si la longitud de la cuerda es “L”, determine el movimiento del péndulo para un ángulo de oscilación “θ” pequeño y para un desplazamiento y velocidad inicial

  ̇ y

L

m x(t) Posiciòn de equilibrio

SOLUCIÓN: D.C.L.

IV - 18

, respectivamente. respectivamente.


Y T F=mx

x mg

En X: Por D’ALAMBERT (Equilibrio Dinámico)

 ̈       

En Y:

(Equilibrio Estático)

        ̈       ̈                      ̇   ̇  ̈    ̈     ̈   ̈                 ̇   

(2) en (1)

Como: “para pequeñas oscilaciones”

ó

En (3):

IV - 19


         ̇     4.2.1.2 PROBLEMAS PROPUESTOS PROBLEMA N° 01: Para la estructura aporticada de concreto armado (E=2.2x10 6 kg/m2), se pide determinar el periodo de vibración para ambas direcciones de análisis X e Y. Considerar a la losa como diafragma rígido y E vigas=. Para el cálculo del peso de la estructura considerar 1ton/m 2 de área techada (despreciar el amortiguamiento). Considere la sección de columnas:

IV - 20


PROBLEMA N°02 Para la estructura de concreto armado (fć=280kg/cm 2) con Mezaninne mostrada en la figura, se pide determinar el periodo de vibración para la dirección de análisis X. despreciar el peso de la mezaninne. Considere: VIGAS: (0.30mx0.60m) (0.30mx0.60m) COLUMNAS: 0.40m

Techo 1er nivel

Wnivel superior =600 ton. Mezaninne

IV - 21


4.2.2 MOVIMIENTO NO FORZADO AMORTIGUADO x

m

k

C

                                                           √       

Solución de la ecuación diferencial:

Haciendo los cambios en los coeficientes:

Quedando:

Cambio de variables:

Reemplazando:

, ecuación cuadrática (2 raíces)

IV - 22


La forma final de las raíces de la ecuación del movimiento depende del signo de la expresión bajo el radical. Se presentan tres casos:

1° CASO: LA CANTIDAD BAJO EL RADICAL ES CERO (Ɛ=1)

 

“Sistema con amortiguación amortiguación critica” critica” (estado crítico o límite) lí mite) RAZÓN DE AMORTIGUAMIENTO AMORTIGUAMIENTO

       √          


           

Ecuación del movimiento en estado crítico. Cuando:

    

La magnitud del desplazamiento inicial decrece exponencialmente con el tiempo, hasta hacerse cero. -

C1 y C2 son constantes de integración que depende de las condiciones iniciales del movimiento.

-

El movimiento movimiento no es oscilatorio, el amortiguamiento amortiguamiento es lo suficientemente suficientemente grande que evitan las oscilaciones.

-

Dependiendo Dependiendo de las condiciones condiciones iniciales, se presentan presentan tres posibilidade posibilidadess en este movimiento.

IV - 23


A x0 (pequeño)

X(t)

x0

X0

m

x0 ¯ k

0

C

t

A x0

X(t) X0

m

x0

x 0+ k

0

C

t

A

X(t)

x0 (Grande) X0

m

x0 x0 ¯ k

0

C

t

-

Cualquier ligero incremento en la cantidad de amortiguamiento amortiguamiento cambiará la situación del movimiento y estaremos frente a un movimiento sobre amortiguado.

-

Cualquier ligero decremento en la cantidad de amortiguamien amortiguamiento to cambiará cambiará la situación y estaremos ante un movimiento OSCILATORIO AMORTIGUADO o SUBAMORTIGUADO.

IV - 24


Por lo tanto el 1 ° caso es un caso límite.

POSITI VA: (Ɛ>1) 2° CASO: LA CANTIDAD BAJO EL RADICAL ES POSITIVA: “sistema sobre amortiguado” amortiguado” C>Ccr

√  

Raíces conjugadas reales

Solución de la ecuación diferencial

               √   (√ √ ))   √ Ecuación del movimiento en estado sobre amortiguado o sobre crítico.

-

C1 y C2 son constantes de integración que dependen de las condiciones iniciales del movimiento.

-

El movimiento no es oscilatorio

-

Las curvas del movimiento movimient o que representan representa n los desplazamientos desplazamient os de sistema sobre amortiguados son similares a la curva del sistema con amortiguación crítica, Sólo que el regreso a la posición de equilibrio requiere más tiempo a medida que la amortiguación amortiguación aumenta (son curvas más tendidas). Como el sistema muestra mayor amortiguamiento tarda más tiempo en regresar (recuperar) su posición inicial (equilibrio). Curvas más t endidas.

IV - 25


x(t) Xo

Xo-

0

t

x(t)

Xo

Xo+

0

t

x(t)

Xo

-

Xo 0

t

3° CASO: LA CANTIDAD BAJO EL RADICAL ES NEGATIVA: ( ε<1) “Sistema Sub-amortiguado” Sub-amortiguado”

     √ 

(Raíces conjugadas complejas )


              √ √    √  

IV - 26


Llamando:

 √       

; Frecuencia amortiguada. amortiguada. ; Ecuación de amortiguamiento

en estado sub-amortiguado o sub-critico.

-

C1 y C2 son constantes de integración que dependen de las condiciones iniciales del movimiento.

-

El movimiento es oscilatorio. PERIODO DE VIBRACIÓN CON AMORTIGUAMIENTO:

    √    √     

FRECUENCIA NATURAL DEL SISTEMA CON AMORTIGUACIÓN:

Introduciendo las condiciones iniciales del desplazamiento desplazamiento para:

         ̇   ̇        ̇          ̇    

Las constantes C1 y C2 son:

Quedando:

Una simple transformación trigonométrica nos permite escribir:

IV - 27


     ̇     εω



 

ω

α

̇  



 



β





    

;

Ecuación del movimiento sub-

amortiguado. Dónde:

       ̇        ̇   + ε



; Amplitud de movimiento movimiento

; Ángulo de fase

Otra forma de expresar la ecuación del movimiento sub-amortiguado sub-amortiguado es:

     ̇          , REPRESENTACIÓN REPRESENTACIÓN GRÁFICA DEL MOVIMIENTO SUB-AMORTIGUADO: SUB-AMORTIGUADO:

                         

Dónde:

Factor 1: Factor 2:

IV - 28


-

Factor 1: Se llama factor de amortiguamiento ó amplitud que varía con el tiempo. Este tiende a cero cuando t→ ∞

-

armónico. Factor 2: Es el factor periódico oscilatorio, representa un movimiento armónico.

-

El producto producto de estos dos dos factores representa por lo tanto, un movimiento oscilatorio en el que las oscilaciones oscilaciones llegan a ser cada vez más pequeñas.

x(t)

Punto de máxima amplitud Punto de tangencia

En la práctica se considera coincidentes

Xo=0

A*e^(- e w

t)

Cos(Wa*t-  ) A

Xo

Xo Xo

Xo X1

X2

0

t

A*e^(- e w t)

DECREMENTO LOGARÍTMICO: Se define como logaritmo natural de la razón de 2 amplitudes máximas consecutivas en vibración libre.

   *

El decremento logarítmico permite a través de un método práctico determinar experimentalmente el coeficiente de amortiguamiento de un sistema. Consiste en iniciar su vibración libre, obtener una representación gráfica del movimiento vibratorio y medir la proporción en que decrece la amplitud del movimiento. Para 2 desplazamientos desplazamientos máximos consecutivos:

       IV - 29


Dividiendo estas dos amplitudes máximas y tomando logaritmos naturales, obtenemos:

   *              √  El valor del coeficiente de amortiguamiento en estructuras reales es considerablemente menor que el coeficiente critico de amortiguación; generalmente fluctúa entre el 2% y el 20% del 20% del valor crítico. - Edificaciones de concreto armado

ε = 7% ~ 10%

- Edificaciones de Acero

ε = 3% ~ 5%

- Edificaciones de Albañilería

ε = 5%

Por lo tanto, edificaciones edificaciones en general:

~ 8%

ε ≤ 20%

Con esta consideración, sustituyendo este valor máximo en la ecuación siguiente:

√ √     √  

ε = 0.2 (20%) ; Por lo tanto:

;

En la práctica, la frecuencia natural de un sistema con amortiguamiento se considera igual a la frecuencia calculada en el sistema sin amortiguamiento.

IV - 30


4.2.2.1 PROBLEMAS DE APLICACIÓN PROBLEMA N° 01 Un sistema vibratorio que se compone de un peso de 5 kg. Y kg. Y un resorte de constante K= 2.5 kg/cm, tiene kg/cm, tiene una amortiguación tipo viscosa tal que la razón de 2 amplitudes consecutivas máximas es de 1.0 a 0.85 , determine:(g determine:(g = 980 cm/seg2) a. La frecuencia angular del sistema sin amortiguamiento. amortiguamiento. b. El decremento logarítmico. logarítmico. c.

La razón de amortiguación.

d. El coeficiente de amortiguación. amortiguación. e. La frecuencia angular con amortiguación. amortiguación. Para las condiciones iniciales iniciales siguientes:

   ̇ 

f. Graficar el movimiento oscilatorio del sistema.

SOLUCIÓN:

                    

a. Frecuencia angular sin amortiguamiento. ( )

b. Decremento Logarítmico. ( )

c. Razón de amortiguación. ( )

      

  

d. Coeficiente de amortiguación. ( )

     

e. Frecuencia angular amortiguada. (

IV - 31

)


           

f. Gráfica del movimiento libre amortiguado.

      ̇     

Condiciones Condiciones iniciales: -

 ̇   

= 1cm = 20 cm/seg2

= 0.026 (2.6%) = 22.136 rad/seg. = 22.128 rad/seg.

= 1.365 cm

MOVIMIENTO LIBRE A MORTIGUADO MORTIGUADO

∆t=0.01 seg.

t(s e g)

X(c m )

0

A*e^-(εwt) *e^-(εwt)

1

(-1)*(A (-1)*(A*e^-( *e^-(εwt)) εwt))

1 .3 6 5

-1 .3 6 5

0 .0 1

1 .1 7 3

1 .3 5 7

-1 .3 5 7

0 .0 2

1 .2 8 7

1 .3 4 9

-1 .3 4 9

0 .0 3

1 .3 3 7

1 .3 4 2

-1 .3 4 2

0 .0 4

1 .3 2 2

1 .3 3 4

-1 .3 3 4

0 .0 5

1 .2 4 3

1 .3 2 6

-1 .3 2 6

0 .0 6

1 .1 0 4

1 .3 1 9

-1 .3 1 9

0 .0 7

0 .9 1 4

1 .3 1 1

-1 .3 1 1

0 .0 8

0 .6 8 1

1 .3 0 4

-1 .3 0 4

0 .0 9

0 .4 1 8

1 .2 9 6

-1 .2 9 6

0 .1

0 .1 3 8

1 .2 8 9

-1 .2 8 9

0 .1 1

-0 .1 4 6

1 .2 8 1

-1 .2 8 1

0 .1 2

-0 .4 2 0

1 .2 7 4

-1 .2 7 4

0 .1 3

-0 .6 7 0

1 .2 6 7

-1 .2 6 7

0 .1 4

-0 .8 8 4

1 .2 5 9

-1 .2 5 9

0 .1 5

-1 .0 5 4

1 .2 5 2

-1 .2 5 2

0 .1 6

-1 .1 7 0

1 .2 4 5

-1 .2 4 5

0 .1 7

-1 .2 2 8

1 .2 3 8

-1 .2 3 8

0 .1 8

-1 .2 2 6

1 .2 3 1

-1 .2 3 1

0 .1 9

-1 .1 6 4

1 .2 2 4

-1 .2 2 4

0 .2

-1 .0 4 7

1 .2 1 7

-1 .2 1 7

0 .2 1

-0 .8 8 0

1 .2 1 0

-1 .2 1 0

0 .2 2

-0 .6 7 3

1 .2 0 3

-1 .2 0 3

0 .2 3

-0 .4 3 5

1 .1 9 6

-1 .1 9 6

0 .2 4

-0 .1 7 9

1 .1 8 9

-1 .1 8 9

IV - 32


x(t) 2.000

A*e^(-e w t)

1.500 1.000

A 0.500

Ao

0.000

0.5

1

1.5 1.

2.5

2

t

-0.500 -1.000 -1.500

-A*e^(- e w t)

-2.000

PROBLEMA N° 02: Una plataforma que pesa w = 2 000 kg . Esta soportada por cuatro columnas empotradas en los cimientos y en la plataforma. Se ha determinado experimentalmente que una fuerza estática horizontal F= 500 kg aplicada en la plataforma, produce un desplazamiento

δ=0.05 cm. También

se ha estimado que la

razón de amortiguación es del orden del 5% de la amortiguación crítica. Determine: ( g = 980 cm/seg2) a. La frecuencia angular del sistema sin amortiguación. amortiguación. b. El coeficiente coeficient e de amortiguación c.

El decremento logarítmico

d. El número de ciclos y el tiempo requerido para que la amplitud amplitud del movimiento se reduzca desde un valor inicial de 0.3 cm a 0.03 cm.

SOLUCIÓN:



a. Frecuencia angular sin amortiguamiento. ( ) Sabemos:

                             IV - 33


X δ

W = 2 000 kg.

δ

F

VISTA LATERAL



b. Coeficiente de amortiguación. ( )

            

c. Decremento Logarítmico. ( )

  √   √   

d. d.1. Numero de ciclos. ( )

                   *  *   *   *           

Aplicando logaritmo logaritmo natural: natural:

IV - 34


Reemplazando los valores:

   *

                                                        

OTRA FORMA:



d.2. tiempo requerido. ( ) x(t) Ta

Ta

...

Ao=0.3cm

A1

A2

Ta

........

An=0.03cm

0

t

                      IV - 35


PROBLEMA N° 03: Una masa cuyo peso es de 10 ton está ton está sujeta por un resorte que tiene constante igual a 15 ton/cm. Se mueve experimentando la fuerza de amortiguación viscosa, se observó que al final de 4 ciclos de movimiento la amplitud se ha reducido a la mitad. Determine: (g (g = 980 cm/seg2) a.

La razón de amortiguación amortiguació n

b.

El periodo de vibración amortiguado. x(t) Ta

Ta

Ta

Ta

Ao Ao/2 0

t2

t1

SOLUCIÓN:

       *                                               

a. Razón de amortiguación. ( )

b. Periodo amortiguado. ( )

IV - 36

t


PROBLEMA N° 04: Se ha efectuado un ensayo de vibración libre amortiguado en un sistema, encofrándose que luego de 6 ciclos la amplitud es el 45% de la amplitud inicial, si

   

determine: determine:

a. La frecuencia frecuenc ia angular amortiguada. b. El decremento logarítmico c.

La razón de amortiguación amortiguació n

d. La frecuencia frecuenc ia angular sin amortiguación amortiguació n e. La amplitud en el 10° ciclo.

x(t) Ta

Ta

Ta

Ta

Ta

Ta

Ao 0.45Ao 0

t

SOLUCIÓN:

           

a. Frecuencia angular amortiguada. (



b. Decremento Logarítmico. ( )

      *      * IV - 37

)




c. Razón de amortiguación. ( )

                                *       *      *       

d. Frecuencia angular sin amortiguamiento. amortiguamiento. ( )

e. Amplitud en el 10° ciclo. (

)

PROBLEMA N° 05: Se ha observado que la amplitud de vibración del sistema de la figura, decrece 5% en cada ciclo. Determinar el coeficiente de amortiguación del sistema y la amplitud en el 10° ciclo. K=50 kg/cm, m = 12.5 kg-seg2/cm.

x

m

k

c

IV - 38


SOLUCIÓN: x(t)

0.95(0.95Ao) 0.95(0.95(0.95Ao)) Ao

0.95Ao 0

...



  *                                                    

a. Coeficiente de amortiguación. ( )

b. Amplitud en el 10° 10° ciclo. (

4.2.2.2

)


PROBLEMA N° 01: Para el sistema mostrado en la figura, calcule la ecuación de movimiento.

c

Fo Sen w t

F(t)

m 4m

k

k

a

2a

a

IV - 39

2a

t


PROBLEMA N° 02: Resolver y encontrar las respuestas a las interrogantes mostradas en línea en cada pregunta. a. En una planta en la que se procesa chatarra, un electroimán, electroimán, cuya masa es 200 kg, está apoyado en una estructura cuya rigidez k , es 200 N/cm. El amortiguamiento amortiguamiento es despreciable. El electroimán levanta 100 kg de chatarra. Al soltar (en tiempo cero) este material, se observa una vibración cuya amplitud es ______ cm, con una frecuencia de ______ Hertz, es decir un periodo de ______ segundos. b. Para estimar las propiedades dinámicas de una estructura (que se supone un sistema de 1 GDL) se le aplica una fuerza lateral de 20 ton, con lo que se observa un desplazamiento de 5 mm. Al retirar instantáneamente la fuerza, la estructura vibra libremente. Después de 0.8 segundos se completa un ciclo, teniéndose entonces un desplazamiento máximo de 4mm. El amortiguamiento es ɛ = = ______. Al completar el sexto sexto ciclo la amplitud amplitud es ______ ______ mm. c. Un sistema de 1 GDL no amortiguado tiene

          

. El

desplazamiento inicial 3cm. La velocidad inicial no es conocida. Después de 1 segundo de vibración libre se observa nuevamente el desplazamiento de 3cm. La amplitud de la vibración (es decir, el máximo desplazamiento) es ______ cm. d. Los datos siguientes corresponden a un sistema de 1 GDL con amortiguamiento viscoso: m=4kg, k=64N/cm y C=0.2N/(cm/seg). El sistema se somete a un desplazamiento inicial, dejándose luego vibrar libremente; la razón de las amplitudes en dos ciclos consecutivos consecutivos es_____. e. La amplitud de desplazamiento de un sistema de un GDL sometido a una fuerza sinusoidal depende de la frecuencia de la excitación. Cuando se observa resonancia se mide un desplazamiento máximo de 10cm. Si se aplica la misma fuerza pero con una frecuencia 10 veces mayor, la amplitud del desplazamiento se reduce a 0.01cm. El amortiguamiento, ɛ , es aproximadamente aproximadamente ______. f. Sobre un sistema no amortiguado amortiguado de 1 GDL se se aplica una fuerza sinusoidal, sinusoidal, con una frecuencia que coincide con la frecuencia natural del sistema. ¿Después de aproximadamente aproximadamente cuantos ciclos de vibración se tendría una amplificación dinámica dinámica del orden de 10? ______ ciclos.

IV - 40

DINÁMICA ESTRUCTURAL

4.2.3

MOVIMIENTO FORZADO NO AMORTIGUADO AMORTIGUADO

 ̈ ()  (() () ()  S ̅ ∶  ̅

X m

F(t)

ω

Fuerza de Excitación Armónica

: Amplitud Máxima de la Fuerza.

K

ω

: Frecuencia Angular de la Fuerza Excitadora

En esta parte estudiaremos la respuesta de sistemas con un grado de libertad a EXCITACIONES ARMÓNICAS. La solución de la Ecuación Diferencial puede ser expresada como:

 ̈ ()  (()  ̅  ()  ()  ()  ...

Dónde:

() ()

: Es la solución complementaria que satisface a la ecuación homogénea, osea:

 ̈ ()  ()   ()  

. . .③

: Es la solución particular de la ecuación no homogénea.

()  ̅  ...

Tomando como solución particular:

()  ̅  ̇ ()  ̅̅  ̈ ()  ̅̅ IV - 41


Donde A1 es el valor máximo o amplitud de la solución particular, particular , Reemplazando en la ecuacion



se obtiene la siguiente ecuación:

̅̅ ̅ ̅ ̅        ̅        ̅⁄    ̅            ()    ̅       

Amplitud de la Solución Particular

Remplazando

en

Reemplazando ③ y

queda:

en

:

()    ̅

ECUACIÓN DEL MOVIMIENTO FORZADO NO AMORTIGUADO Si las condiciones iniciales en el instante: t=0 se toman iguales a cero, es decir, parte del reposo.

    ̇   

Resulta:

,

debido a que el movimiento lo genera la fuerza excitadora.

      

IV - 42


Quedando finalmente f inalmente::

  ( )    (̅ )

ECUACION DEL MOVIMIENTO EN LA CONDICION DE FORZADO NO AMORTIGUADO

En la ecuación se puede ver que la respuesta viene dada por la superposición de dos términos armónicos de frecuencias diferentes. Sin embargo el movimiento resultante no es armónico.

()    ̅      RESPUESTA PERMANENTE

RESPUESTA TRANSITORIA

Esta respuesta transitoria no desaparece con el tiempo, sin Para efecto de análisis y diseño, se

embargo y debido a que las

tomara en cuenta tan solo este

estructuras

estado

algún grado de amortiguamiento,

reales

presentan

este segundo término desaparece eventualmente, como veremos en el

siguiente

análisis

del

movimiento forzado amortiguado.

()    ̅

ω

ECUACUACIÓN DEL MOVIMIENTO FORZADO NO AMORTIGUADO EN ESTADO DE RESPUESTA PERMANENTE

Amplitud permanente

IV - 43


FENOMENO DE RESONANCIA:

̅

Cuando la frecuencia forzada

   ̅  

es igual a la frecuencia natural w (r=1), la amplitud del

movimiento tiende a aumentar infinitamente. Un sistema que actúa bajo una excitación

̅

externa con una frecuencia forzada que coincide con la frecuencia natural del sistema w, se dice que está en resonancia. En estas circunstancias, la amplitud aumenta gradualmente hacia el infinito. Los materiales comúnmente usados en la práctica están sujetos a límites de resistencia y los fallos estructurales ocurrirán mucho antes de que las amplitudes puedan alcanzar valores extremadamente altos. AMPLIACION DINAMICA:

      

   =

Amplitud Amplitud en la condición condición de carga carga Aplicada Aplicada Estáticamente

4.2.3.1 PROBLEMAS DE APLICACIÓN PROBLEMA N° 1:

Determine la amplitud permanente del movimiento horizontal del pórtico de acero. Considere el miembro superior del pórtico infinitamente rígido y desprecie la masa de las columnas y la amortiguación en el sistema. (

F = 2600 Sen12t (kp)

)

.

W = 200 kp/m

4 I = 7200 cm

7m.

IV - 44

5m.


SOLUCIÓN:

- Cálculo de la Rigidez lateral del sistema: (K)

  IhC             √   √         

- Cálculo de la frecuencia angular. ( )

NOTA: W=200x7 =1400 kp.

- Cálculo de la Amplitud Permanente. (A)

     ̅    ̅           ̅          ()) 

NOTA:

: Fuerza Excitadora Armónica

Amplificación Dinámica: Dinámica:

                   IV - 45


PROBLEMA N° 2

La viga mostrada en la figura, de masa y amortiguación despreciable, está sujeto a una vibración armónica armónica en su punto medio igual a F (t)=500sen (9.42t) kg. Al centro actúa un peso W=1100 kg., (

)     ;

.

Determinar: a) La amplitud de vibración de la respuesta permanente. b) El esfuerzo normal máximo dinámico debido a la respuesta permanente. c) Considerando la respuesta total y considerando que el sistema parte del reposo, cuál sería el desplazamiento cuando t=1seg. F(t) A h=25 cm. W A

y

L=3m

L=3m

SOLUCIÓN:

a). AMPLITUD DE LA RESPUESTA PERMANENTE - Cálculo de la rigidez flexionante de la viga. viga. (K) L

L

0=0

      I           I              

- Cálculo de la Frecuencia Angular. ( )

IV - 46

b=20 cm A - A


       - Cálculo de la Amplitud Permanente. (A)

   ̅     ̅    ()      ̅       ( )  Como:

Amplificación Dinámica: Dinámica:

         b). ESFUERZO NORMAL MÁXIMO DINÁMICO

  I   I  

Fo + W = 1600kg 3m

3m A m 800 kg

M max

800 kg

 ( ()           IV - 47


Reemplazando

              c). DESPLAZAMIENTO CONSIDERANDO CONSIDERANDO LA RESPUESTA RESPUESTA TOTAL

()   (̅)     ̅         ( ))    

.

Respuesta Total:

Respuesta en Estado Permanente:

IV - 48


PROBLEMA N° 3:

Un sistema masa-resorte sin amortiguamiento tiene una frecuencia natural de



  ̅       ̅ ̅ ̅  

. Y está sujeto a una fuerza

para

a)

sen t. calcule el D (Factor de Amplificación Dinámica)

, b)

y c)

. El sistema está en reposo.

SOLUCIÓN: X

        ̈  ̅ C()         ()  −r2  ̅   ̅ ω

k

F0 Sent

m

4π 4π

ω

ω

()  C()  ()

ω

ω

,

ω ω

()   ̅ ()   ̅              ()   ̅  ̅         ̅      ()      ̅         

Condiciones iniciales en

:

,

ω

a) Para:

 

ω

,

,

IV - 49

.


̅        ̅        ̅      () () ()  ()     ()()          ̅            ̅        ̅    [  ]]   ()    [  ] ]  

b) Para:

c) Para:

,

. (Resonancia)

,

4.2.3.2 PROBLEMAS PROPUESTOS PROBLEMA N° 01:

Sobre un sistema no amortiguado de

1 GDL se

aplica una fuerza sinusoidal, con una

frecuencia que coincide con la frecuencia natural del sistema. ¿Después de aproximadamente cuantos ciclos de vibración se tendría una amplificación dinámica del orden de 10?

PROBLEMA N° 02:

Una unidad de aire acondicionado pesa 1200kg y está localizado en la mitad de dos vigas de acero paralelas simplemente apoyadas cuya longitud es de 5m cada una. El momento de inercia de cada viga es de 1000cm 4. El motor opera a una frecuencia de 300 r.p.m. y su rotor produce una fuerza rotatoria desbalanceada de 50kg a esta velocidad. Suponiendo que no hay amortiguamiento y despreciando el peso de las vigas, determine la amplitud del movimiento permanente o estacionario.

IV - 50


4.2.4 MOVIMIENTO FORZADO AMORTIGUADO m

X(t) F(t)=Fo Sent

 ̈    ̇     ̅  ̅ ω

: Fuerza de Excitación Armónica

C K

: Amplitud Máxima de la Fuerza.

ω

: Frecuencia Angular de la Fuerza Excitadora

La solución de la ecuación diferencial puede ser expresada como:

 ̈    ̇     ̅       Donde:

          ̈    ̇     

      ②            ̈    ̇     ̅

Correspondiente Correspondiente al movimiento oscilatorio SUBAMORTIGUADO.

...

Como:

    

 ̈     ̇       ̅  ̈   ̇      ̅ IV - 51


Tomando como solución particular:

  ̅ ̅  ̇   ̅̅ ̅̅ ̈   ̅̅ ̅̅ Reemplazando en la ecuación no homogénea.

̅̅ ̅̅ ̅̅ ̅̅         ̅ ̅    ̅ [ ̅ ̅ ]̅ [̅    ̅]    ̅   ̅ Igualando coeficientes del coseno y seno:

 ̅  ̅     ̅    ̅       ̅        ̅    ̅      ̅        ̅   ̅  …

…

2εωω

Resolviendo:

ω

ω

2εωω

ω

ω

ω

ω

2εωω

Definiendo a “A” como el valor máximo o Amplitud de la solución particular particular (Movimiento (Movimiento

Permanente).

  √   

A

I A A1I 

A2

  √  ̅ ̅    ̅ ̅   ( (  )  

""

, dividiendo entre “ ω

, Como:



̅

IV - 52

 


                ̅ ̅   ̅ ̅  ̅  ̅    ̅    ③    ||  (̅̅)  ̅̅ ∴  ( ) ②③ 

Amplitud del Movimiento

Permanente

2ε



Como:

A A1 

A2

Queda:

…

ANGULO DE FASE: ( )

, Entre: “ω ”

Angulo

2ε

α

Reemplazando

y

en

de

fase

del

Movimiento Permanente

:

      ̅    ECUACION DEL MOVIMIENTO FORZADO AMORTIGUADO

  y

: Son constantes de integración que deben ser calculadas a partir de las condiciones iniciales iniciales usando la respuesta total.



    ̇   

       A      α

ε

α

α



Examinando la ecuación del movimiento forzado Amortiguado, puede verse que la presencia del factor exponencial



hará que la primera componente del movimiento

desaparezca con el tiempo, por consiguiente:

IV - 53


  ̅      Respuesta Permanente

Respuesta Transitoria

X (t)

Para efectos de diseño de Cimentación de máquinas se toma en cuenta tan solo este estado

ESTADO PERMANENTE

ESTADO TRANSITORIO Xc(t): Influye

Xc(t): Despreciable

Queda solo el Movimiento Permanente:

̅   √           

ECUACION DEL MOVIMIENTO FORZADO AMORTIGUADO

EN

ESTADO

DE

RESPUESTA PERMANENTE.

AMPLIFIACIÓN DINÁMICA: DINÁMICA: (D) La razón entre la amplitud del componente del Movimiento Permanente “A” y la

"

, se conoce con el nombre de amplificación dinámica.

deformación estática “

    √      

4.2.4.1 PROBLEMAS DE APLICACIÓN PROBLEMA N° 1: El pórtico de acero mostrado en la figura soporta una maquina rotante que produce una fuerza horizontal de F(t)=100Sen(5.3t) kp. Suponiendo un 5% de amortiguación critica, determine: a) La amplitud permanente de vibración. b) La fatiga (esfuerzo (esfuerzo normal) normal) dinámica máxima en las las columnas. columnas. Considere que el miembro superior del pórtico es rígido, el módulo de la sección de las columnas es

           ,

,

IV - 54


X W = 7000 kp.

F(t) = 100 Sen(5.3t)kp.

I = 2880 cm

4

5m.

Solución: a). AMPLITUD PERMANENTE DE VIBRACIÓN - Cálculo de la rigidez lateral del sistema. sistema. (K)

        ∴             - Cálculo de la Frecuencia Angular. (w)

                  - Cálculo de la Amplitud Permanente. Permanente. (A)

  ̅ ̅   ( (   )      ̅         

,

Como:

IV - 55

 %


̅  ∴     - Amplificación Dinámica:

           ⁄   

b). FATIGA DINÁMICA MÁXIMA EN C/COLUMNA. - Cálculo del “Vmáx.” en c/columna.

  

M 

V



h

    ∴   

V

- Cálculo del “Mmáx.” en c/columna.

               ,         ;               

- Cálculo de la Fatiga Máxima. (

)

IV - 56


PROBLEMA N° 2: Para el Problema N° 1, considerando la respuesta total y considerando que el sistema

          ̅ 

parte del reposo, calcular el desplazamiento para vs Tiempo.

. Graficar el Desplazamiento

SOLUCIÓN: - De las condiciones iniciales: iniciales: t=0

    ̇   

  ̅                     %̅         ( )    

- Sabemos:

ε

ω

ω

- Cálculo del Angulo de Fase: ( )

- Cálculo de las constantes de integración:

     (     ) - Cálculo del Desplazamiento Desplazamiento para: t=1seg.

  √    √           IV - 57


PROBLEMA N° 3: Un sistema de vibración No Amortiguado masa - resorte, que por acción de la gravedad tiene una deflexión de 1pulg., se encuentra sometido a una fuerza excitadora con una



frecuencia forzada de 4 ciclos/seg. Calcular la razón de amortiguación “ ” necesario

para reducir la amplitud de condiciones forzadas a la mitad del sistema sin amortiguación amortiguación forzado.

   

C K

K

m

m

F(t)=Fo Sent

F(t)=Fo Sent

CASO I:

CASO II:

SOLUCIÓN: CASO I:

    " "                  ∴  

CASO II:

̅  ̅    ∴ ̅     ̅  ω ω

π

ω

Además:

IV - 58






Trabajando con la componente

Trabajando con la componente

de Respuesta Permanente:

de Respuesta Permanente:;

  √                     √                         √    ∴  % 2ε

Condición del problema:

ε

PROBLEMA N° 4: Se tiene resultados de 2 ensayos, con maquina vibratoria portátil, determinar las propiedades dinámicas de la estructura: X(t)

m

 

, T, , y C.

1er Ensayo: F(t)=Fo Senwt

    ̅        ° ω

C

K

α

2do Ensayo:

   ̅         ° ω

α

SOLUCIÓN: Consideramos la componente de Respuesta Permanente:

  √          ;  ( ))  ②②;; ② De

Amplitud Permanente

Angulo de Fase

:

2

r ) 2  2 ( 2 ) + + r 1 (  2

1-r

IV - 59

2r


        √       ③   √       ④ ③          ̅    ̅   ,      ̅   ̅     ⑤ ⑤       °    ⑤      °                                         en

:

,

Del 1er Ensayo en

:

Del 2do Ensayo en

:

De y :

Por lo tanto:

-

Cálculo de la Razón de Amortiguación: Amortigu ación: ( )

IV - 60






④          ̅   ̅    ̅  ⑥ ⑥  °      ⑥  °               ∴        %     en

:

,

Del 1er Ensayo en

:

Del 2do Ensayo en

:

-





Calculo del Coeficiente Coeficient e de Amortiguación: Amortiguac ión: (C)

PROBLEMA N° 5: Un sistema es modelado por dos masas vibrantes m 1 y m2 interconectadas por un resorte

̅

k

y un elemento de amortiguamiento

c .

Para una fuerza armónica

aplicada a la masa m 2. Determine:

 

a) La ecuación diferenc diferencial ial del movimiento, en función del movimiento relativo de las dos masas

    

.

b) La solución permanente del movimiento relativo X 1

X 2

k

F(t)=Fo Sent m1

m2 C

IV - 61


SOLUCIÓN: a) Del diagrama de cuerpo libre para cada masa: m1 X 1

m1 X 2

Fo Sent

kU m1

m2 CU

 ② ②

De la masa

:

De la masa

:

Sumando:

+

 ̈    ̇    ̈    ̇ ̅ ② ... ...

 ̈    ̈   ̅ ③       ̇   ̇    ̇   ̈  ̈   ̈  ̈   ̈    ̈ ④ ④ ③  ̈    ̈    ̈   ̅ ̈      ̈    ̅ ⑤ ⑤ ②  *   ̈    ̅ +   ̇ ̅ ...

Como:

Luego: en

...

:

. . .

en

:

Despejando:

b)

 

∴     ̈   ̇   ̅

       ̅̅ ̅  ̅̅  ̈   ̇ ̅ ⑥

Llamando:

,

,

Euler:

. . .

Asumiendo como como solución: solución:

  ̅  ⑦ ...

IV - 62


 ̇ ̅ ̅  ̈  ̅ ̅ ⑦ ⑥ ̅ ̅ ̅ ̅̅  ̅   ̅̅  √̅ ̅   ⑧ ⑧ ⑦   √̅̅ ̅ ,

en

:

. . .

en

:

Trabajando con la parte imaginaria:

Donde:

    ̅   √  ̅  ̅    ̅    ̅  ̅    ̅    √  ̅  ̅  ̅    ∴    √     

En forma de parámetros adimensionales:

,

ω

θ

ε

4.2.4.2 PROBLEMAS PROPUESTOS PROBLEMA N° 01: El pórtico de concreto armado de la figura, presenta un 4% de amortiguamiento crítico, las columnas laterales y la viga tienen una sección transversal de 25cmx40cm . La longitud L= 4m, la altura es h=3m, el módulo de elasticidad del material es 250000kg/cm 2, la carga W = 7080 kg/m (no incluye el peso propio de los elementos). Se pide, para las siguientes condiciones: Si soporta una maquina vibratoria que ejerce una fuerza horizontal al nivel de la viga de F (t)= 500 sen(11t) kg. ¿Cuál es la máxima fuerza cortante en las columnas debida a la

vibración permanente?

IV - 63






 

h=3m

Articulado

L=4m

PROBLEMA N° 02: Se debe instalar un instrumento sensible, m = 100 kg , en un sitio donde la aceleración máxima (vertical) es 25 cm/seg2 a a una frecuencia de 20 Hertz . Para reducir la vibración en el instrumento, se propone usar una base flexible, de peso despreciable, con

  y

. ¿Qué aceleración se transmitirá al instrumento? (considerar

solo la parte estacionaria de la respuesta). Despreciar la flexibilidad del instrumento.

PROBLEMA N° 03: Se tiene un sistema de un grado de libertad (1GDL) con 5% de amortiguamiento. Si se aplica un desplazamiento inicial a la masa y se la deja vibrar libremente: a. En qué porcentaje desciende la máxima amplitud en cada ciclo? b. Cuántos ciclos se necesitan para que la amplitud esté por debajo de 10% de la inicial? c. Depende este número del período del sistema?

IV - 64


4.3

RESPUESTA DE LOS SISTEMAS DE 1 GDL A EXCITACIONES EXCIT ACIONES DINÁMICAS DINÁMIC AS GENERALES

En el tema anterior hemos estudiado la respuesta de los sistemas a excitaciones armónicas. En muchos casos, las estructuras reales están sometidas a excitaciones que no son armónicas. En esta parte estudiaremos la respuesta de un sistema en 1GDL excitado por una fuerza de tipo general. Veremos que la respuesta puede obtenerse mediante una integral (Integral de Duhamel), que puede ser calculada analíticamente en muchos casos en que las excitaciones se expresan por medio de funciones simples. Para el caso general será necesario recurrir a un procedimiento numérico de integración. EXCITACIÓN POR IMPULSO (DE LA MASA) EXCITACIÓN POR EL MOVIMIENTO DE LA BASE (DE APOYO)

4.3.1 EXCITACIÓN POR IMPULSO Una excitación impulsiva o por impulso, es una excitación aplicada durante un corto

intervalo

de

tiempo

(las

explosiones

por

ejemplo).

El

impulso

correspondiente a este tipo de excitación se define como el producto de la fuerza por el tiempo de duración. F() m

x(t )

F()

k

I

c

 

+d

t d

d

FASE I

FASE II

FUNCIÓN GENERAL DE EXCITACIONES CONSIDERADAS COMO IMPULSOS

La respuesta de un sistema sujeto a carga impulsiva, se determina en dos fases. FASE I:

La fase de vibración forzada, que abarca el tiempo de excitación.

FASE II:

La fase en vibración libre, que continua al finalizar la acción de la carga impulsiva.

IV - 65


El impulso

de la fuerza

      

en el instante “ ”, durante el intervalo

representado por el área sombreada y es igual a:



, está

Cuando este impulso actúa sobre un cuerpo de masa “m”, le produce una

cantidad de movimiento al sistema que es igual al producto de la masa por la



velocidad (esta velocidad inicial “ x0” en el instante “ ”).

̇      ̇  ̇      ̈    ̈        ̇                             ̇                                

Como (1) = (2):

A. MOVIMIENTO LIBRE NO AMORTIGUADO

Considerando a este impulso

actuando en la estructura estructur a representada representa da por

el oscilador simple sin amortiguamiento. En el instante el oscilador experimenta una velocidad inicial dada por (3), esta velocidad inicial junto con el desplazamiento inicial

, en el instante , le producirá el movimiento al

sistema a partir del impulso en un tiempo

De la ecuación:

La función de la excitación se considera como una serie de impulsos cortos, que se presentan a incrementos de tiempo

, cada una de las cuales produce una

respuesta diferencial en el tiempo “ ” de la forma dada por la ecuación (4).

Por lo tanto, el desplazamiento total en el instante “ ” debido a la acción continua de la fuerza

está dado, desde el instante

al instante

(DESPLAZAMIENTO TOTAL PRODUCIDO POR LA FUERZA EXCITANTE SIMPLE SIN AMORTIGUAMIENTO)

IV - 66



, por:

APLICADA AL OSCILADOR


La ecuación del movimiento (desplazamiento) debido a impulsos continuos en un oscilador simple sin amortiguación incluye ambos componentes, el permanente y el transitorio. La integral en esta ecuación se conoce como INTEGRAL DE DUHAMEL. Esta integral puede ser resuelta de forma analítica o usando un método numérico apropiado. Para incluir el efecto del desplazamiento inicial

̇   ̇ 

, en el instante:



  

y el de la velocidad inicial

, solo es necesario agregar la solución dada para

los efectos, producidos por las condiciones iníciales, es decir:

     ̇           

ECUACIÓN GENERAL DEL MOVIMIENTO DEL OSCILADOR SIMPLE SIN AMORTIGUAMIENTO

Veamos algunas aplicaciones para algunos casos de funciones simples de fuerzas por los cuales es posible integrar explícitamente la ecuación anterior.

FUERZA CONSTANTE x

F()

F(t )

m

Fo

K





Consideramos el caso de una fuerza constante de magnitud “ ”. Aplicada repentinamente al oscilador simple sin amortiguación en el instante



.

El desplazamiento inicial y la velocidad inicial son iguales a cero, por lo tanto:

             Integrando:

        |       IV - 67


           

   

Amplitud del sistema producido por una fuerza constante pero, aplicada repentiname r epentinamente nte

Importante: Hemos

encontrado

un

resultado

elemental

pero

importante:

El

desplazamiento máximo en un sistema lineal y elástico producido por una fuerza constante aplicada REPENTINAMENTE, es el doble que el desplazamiento causado por la misma fuerza aplica estadísticamente GRADUALMENTE GRADUALMENTE (o LENTAMENTE). LENTAMENTE). Este resultado para los desplazamientos es también valido para las fuerzas internas y para las fatigas de la estructura.

FUERZA RECTANGULAR x

F(t )

m

F()

Fo

K

 t
td

t >t d FASE I

IV - 68

FASE II




Consideremos un segundo caso, en que una fuerza constante “ ” se aplica repentinamente, pero solo durante un tiempo limitado de duración



“ ”.

       

FASE I:

Para:

Otra forma:

                                          ̇            

Para:

Derivando:

FASE II: Para:

Para obtener la respuesta después del instante “

”, aplicamos la ecuación

de vibración libre no amortiguada, tomando como condiciones iníciales el desplazamiento y la velocidad en el instante “

).

”, y remplazando



De la ecuación:

         ̇       ∫          IV - 69


                 

Reemplazando ( ) y ( ):

                                Otra forma:

                        

FUERZA TRIANGULAR x

F()

F(t )

m

Fo K

F()=Fo( 1 -  ) t 

td

Consideremos ahora un sistema representado por el oscilador simple sin amortiguación e inicialmente en reposo. Una fuerza con un valor inicial “

que decrece lentamente (linealmente) hasta cero en el tiempo a la masa del oscilador.

            ̇  

Para:

;

Condiciones iniciales

En la ecuación:

     ̇     ∫                        IV - 70





"

se aplica


Integrando:

   ∫         ∫       (I1)

(I2)

  ∫         |         ∫      ∫                     *  +      |                Reemplazando:

                               ̇          ̇             ̇         

Para:

Derivando:

Para:

IV - 71


  

Para:

Los valores de



y , pueden ser considerados como las condiciones

iniciales en el instante tenemos:

  

, para este intervalo y considerando



,

De la Ecuación:

    ̇   Reemplazando α y β:

         *                 + *       +             FUERZA SINOIDAL O SINUSOIDAL

B. MOVIMIENTO LIBRE AMORTIGUADO

̈  ̇  

La respuesta de un sistema amortiguado, expresada por la integral de Duhamel, se obtiene de manera equivalente al análisis del sistema sin amortiguación. Fijando:

Y sustituyendo:

   ̇         IV - 72


En la Ecuación: “Sistema Sub -amortiguado”

̇            ̇  Relacionando:

  *   +                  Respuesta de un sistema amortiguado en función a la ecuación de Duhamel.

4.3.2 EXCITACIÓN POR MOVIMIENTO DE LA BASE DE APOYO (SOPORTE) Existen muchas situaciones en los que el cimiento o apoyo de la estructura está sujeta a un movimiento que varía con el tiempo (su propio dominio temporal). Las estructuras afectadas por el movimiento del terremoto debido a temblores o sismos u otras excitaciones como explosiones son ejemplos en los cuales el movimiento del apoyo debe ser considerado en el análisis dinámico de la estructura. x(t )

x

m

xr=x-xg k

c

xg() xg() xg

REGISTRO SÍSMICO Componente horizontal de una onda sísmica de entrada. La onda sísmica de entrada se asume como la aceleración de la base de la edificación o estructura.

IV - 73


En una estación sísmica.- Se registran dos componentes horizontales y una componente vertical del sismo.

COMPONENTE HORIZONTAL (N - S)

COMPONENTE HORIZONTAL (E - W)

COMPONENTE VERTICAL

IV - 74


                          ̇  ̇  ̇ ̈  ̈  ̈ ̈  ̈  ̈ ̈  ( (̇ )  (  )   (̇  ̈) ̇     ̈ ̇   ̈ Derivando:

Despejando:

D.C.L. de la masa. FI= m x(t)

k (x-xg)

c=(x-xg)

xr(t)

x(t) m

k

F()= -mxg()

m

c

<>

k

c

xg() xg()

De modelo dinámico equivalente:

̈   ̇    ̈ ̈ ̇    ̈

    

Aplicando Directamente Directamente la Integral Integral de Duhamel Duhamel Duhamel:

          ∫  IV - 75


   ̈                ̈             √        ̈             

Para sistemas con poca amortiguación, edificaciones en general

4.3.3 PROBLEMAS DE APLICACIÓN PROBLEMA 01: Para el sistema que se muestra en la figura, calcular:

(g=980 cm/seg 2)

a. El desplazamiento desplazamiento máximo relativo b. La fuerza cortante en la base c. La fuerza inercial d. El momento momento de volteo del del sistema, sistema, si h=3m x(t )

x(); gals

W=180 tn

xg()=100 200 gals

k=220 tn/m

xg()=0  (seg)

xg() xg()

0

2

4

xg()=100  - 400 -200 gals

SOLUCIÓN:

    ̈                       ̈      

xr()

Como:

F()=-mxg() k

Hallando:

SISTEMA EQUIVALENTE

IV - 76


                  

Intervalo:

x(); gals xg()=100

 (seg) 0

2

4

t

                   ∫       {                     | |                                    

Integrando:

Intervalo:

x(); gals



0

2

(seg)

4

xg()=100 - 400 t

    ∫           ∫       (I)

(II)

IV - 77


                                                                                                                    |                                                                       Sumando (I) + (II)

                   *         +                    

Intervalo:

x(); gals

xg()=0  (seg) 0

2

t

IV - 78

4


    ∫           ∫         ∫                                        |                                                                                                                                                                                        (I)

(II)

Sumando: (I) + (II)

a) Cálculo

de : "

"

¿Dónde se produce la mayor vibración?

2do Intervalo (Ver gráfico)

Iterando:

xr max max=0

F=104.5

b)

m

K

c)

V=104.5

d)

M=313.5

IV - 79


t

x r(t)

0

0.000

0.1

- 0.008

0.2

- 0.016

0.3

- 0.025

0.4

- 0.033

0.5

- 0.041

0.6

- 0.049

0.7

- 0.057

0.8

- 0.066

0.9

- 0.074

1

- 0.082

1.1

- 0.090

1.2

- 0.099

1.3

- 0.107

1.4

- 0.115

1.5

- 0.123

1.6

- 0.132

1.7

- 0.140

1.8

- 0.148

1.9

- 0.156

2

- 0.165

2.1

0.475

2.2

- 0.116

2.3

0.332

2.4

0.039

2.5

0.114

2.6

0.232

2.7

- 0.099

2.8

0.379

2.9

- 0.231

3

0.417

3.1

- 0.235

3.2

0.322

3.3

- 0.117

3.4

0.127

3.5

0.070

3.6

- 0.098

3.7

0.246

3.8

- 0.272

3.9

0.335

GRAFICA: DESPLAZAMIENTO VS TIEMPO INTERVALO:

0≤

≤

2

Xr(t)=-0.083483t+0.0024121 sen(34.61 t) INTERVALO:

2≤

≤

4

Xr(t)=0.33393-0.083483t+0.0024121 sen(34.61 t)-0.33393 cos34.61(t-2) INTERVALO:

≥

4

Xr(t)=0.0024121 sen(34.61 t)-0.0024121 sen34.61(t-4)-0.33393 cos34.61(t-2)

DESPLAZAMIENTO VS TIEMPO Xr(t), (cm) 0.6 0.5 0.4 0.3 0.2 0.1

t (seg)

0 -0.1 0 -0.2 -0.3 -0.4

IV - 80

2

4

6

8

10


PROBLEMA 02: Para el sistema mostrado de vibración amortiguada, se pide determinar: (g= 980 cm/seg 2)

a) b)

 

x(t )

; Ecuación del Mov.

W=120 tn

m

; El máximo desplazamiento relativo. relativo.

k=120 tn/cm k

c) Fuerza cortante en la base.

=5 %

d) Momento de volteo. (h= 3m)

xg()

MOVIMIENTO EN LA BASE DADA POR LA FUNCIÓN ARMÓNICA

SOLUCIÓN: 

Cálculo de la frecuencia del sistema :

          

Cálculo de "xr (t)": (t)": xr(t)

k

        ̈     

F()= -mxg()

m

c

Para sistemas con poca amortiguación:

  

IV - 81


t

x r(t)

0.00

0.000

0.02

- 0.023

0.04

- 0.081

0.06

- 0.150

0.08

- 0.205

0.099

- 0. 0.2256

0.10

- 0.2257

0.101

- 0. 0.2256

0.11

- 0.221

0.15

- 0.126

0.18

- 0.047

0.20

- 0.027

0.22

- 0.042

0.25

- 0.107

0.28

- 0.171

0.30

- 0.186

0.32

- 0.171

0.35

- 0.111

0.38

- 0.051

0.40

- 0.034

0.42

- 0.042

0.45

- 0.087

0.48

- 0.133

0.50

- 0.143

0.52

- 0.131

0.55

- 0.086

0.58

- 0.039

0.60

- 0.025

0.62

- 0.029

0.65

- 0.059

0.68

- 0.090

0.70

- 0.097

0.72

- 0.088

0.75

- 0.052

0.80

- 0.004

0.801

- 0.003

0.802

- 0.003

MAX

0.000

MIN

- 0.2257

GRAFICA: GRAFICA: DESPLAZAMIEN DESPLAZAMIENT T O VS T IEMPO INTERVALO: 0

≤

≤

t t



x r  t   3.83325 e

-1.5625 t-τ 

.cos 1.5708τ  .sen .sen31 31.3 .305 05  t-τ t-τ  dτ

0

DESPLAZAMIENTO VS TIEMPO Xr(t), (cm) 0.0

t (seg) 0.0

0.2

0.4

0.6

0.8

1.0

-0.1

x r  t 

máx

=0.2257cm

-0.2

-0.3

Amplitud Amplitud (Máximo valor de desplazamiento)

IV - 82


PROBLEMA N° 03: El pórtico de concreto armado de la figura, presenta un 4% de amortiguamiento critico, las columnas laterales y la viga tienen una sección transversal de 25cmx40cm, la longitud L=4m, la altura es h=3m, el módulo de elasticidad de material es 250 000 kg/

    , la

carga es w=7080 kg/m (no incluye peso propio de los elementos). Si soporta una maquina

vibratoria vibratori a que ejerce una fuerza horizontal al nivel de la viga de

   

. ¿Cuál es la máxima fuerza cortante en las columnas debida a la

vibración permanente?



F()

h=3 m

L=4 m SOLUCIÓN:

                                              

Rigidez de la estructura Calculamos la rigidez del pórtico

IV - 83


Por muto:

             

         Para el extremo empotrado:

Iv =333.333 L 1

Iv =0 L 1

k c = Ic =444.44 h

         ̅          ̅              Para el extremo articulado:

k v

1

k v =333.33 2

k c = Ic =444.44 h

      IV - 84


̅̅              Masa de la estructura El peso w:

   Peso de la viga

   Consideremos peso de la mitad de las columnas

   Peso total: 30 toneladas t oneladas

                                    Columna empotrada

      Columna articulada

      IV - 85


PROBLEMA N° 04: Se tiene una losa maciza cuadrada como se muestra en la figura, de concreto armado

        

de 15 cm de espesor y de 5 m de lado.

Sobre ella se ha colocado una maquina que aplica una fuerza de 2300 kg a una frecuencia de 2 Hz. Para representar la losa se puede suponer que está constituida por dos "vigas" de 1m de ancho perpendiculares entre sí, como se muestra en la figura. También se puede suponer que la masa asociada con la vibración es la dada por un área cuadrada de 2.5 m de lado centrada con la losa (ver figura). Suponiendo 5% de amortiguamiento determine:

a.

El máximo desplazamiento al centro de la losa debido a la carga dinámica de la máquina, considerando únicamente el movimiento permanente o estacionario. estacionario.

b. l refuerzo que será necesario necesario para resistir los efectos de esta carga carga más el peso muerto. El momento de peso muerto es 1.975 ton-m. Considerar un factor de carga de 1.25 para la combinación combinación (D+S).

F() 2.5 m

5m

2.5 m 5m

SOLUCIÓN: 

Cálculo de la rigidez: 0.15 m L=2.5 m

L=2.5 m

           ̅                                            

Como las vigas actúan en paralelo entre ellas, entonces:



1.0 m

Cálculo de la masa:

IV - 86


                                                               

a. Cálculo del máximo desplazamiento desplazamient o :

b. Cálculo del refuerzo necesario: necesario :

                                                                                                                                                               Entonces:



Cálculo del esfuerzo máximo:



Cálculo del refuerzo: usando

IV - 87


                

Usando fierros de

PROBLEMA N° 05: El tanque de agua que se muestra en la figura, es analizada como una estructura de un solo grado de libertad. Como resultado de una explosión el tanque responde a una carga dinámica. Se pide determinar el máximo momento de volteo en la base del tanque. w F() , ton

F()

180 K

18 m  (seg)

0.4

SOLUCIÓN:

                       

Para un movimiento libre no amortiguado: F() , ton 180

F()=180-450

 (seg)

0.4

a. Para

  ∫                                              IV - 88


   (         )                                                                                      b. Para

Cálculo de : "

", en el primer tramo:

Iterando:

PROBLEMA N° 06:

Para la función de la excitación representada en la figura, deduzca la expresión para el Factor de Amplificación Dinámica de un oscilador simple sin amortiguamiento como función de

  

. F(t) F0

o

td

t

SOLUCIÓN: Ecuación del Movimiento

 ̈       IV - 89


X

k

F(t)

m

La ecuación del desplazamiento: desplazamiento:

                                                                         *   + +                 

A) Para:

,

Luego:

Integrando por partes:

,

,

Luego:

     

                *   +                       

B) Para:

,

,

,

En el instante

Luego:

IV - 90


                                                                                                                       

Luego:

el

PROBLEMA N° 07: Para el sistema dinámico mostrado en la figura, determine y represente en un diagrama el desplazamiento como función del tiempo, en el intervalo la amortiguación crítica.

     



seg., para 10% de

X t) F( t)

K=200 kp/cm 50 kp

100 kp

F(t)

C 0 (a)

0.2

0.4

(b)

Solución: Datos del Problema: Masa

:

Constante del resorte

:

⁄    ⁄  

IV - 91

t


√ √  √           √ √             

Coeficiente Coeficient e de amortiguamiento amortiguamient o

:

Frecuencia natural

:

Frec. Natural con Amortiguamiento Amortiguamiento

:

Periodo Natural

:

Razón de Amortiguamiento Amortiguami ento

: 0.10

MÉTODO DE SOLUCIÓN DIRECTA O INTEGRACIÓN DIRECTA Incremento de tiempo seleccionado:

     

EXPRESIONES A USAR EN LA HOJA DE CÁLCULO:

                    La velocidad viene dada por la derivada de esta ecuación:

 ̇                       ̇                  ̇             ̈    [   ̇   ] Las constantes de integración

son:

En el instante:

Finalmente la aceleración en el instante:

IV - 92

, , será


ti (seg) 0 0.02 0.04 0.06 0.08 0.1 0.12 0.14 0.16 0.18 0.2 0.22 0.24 0.26 0.28 0.3 0.32 0.34 0.36 0.38 0.4 0.42 0.44 0.46 0.48 0.5 MAX MIN

F(ti)

A(ti)

B(ti)

C(ti)

D(ti)

1000 1000 1000 1000 1000 1000 1000 1000 1000 1000 1000 900 800 700 600 500 400 300 200 100 0 0 0 0 0 0

0.000 0.000 0.000 0.000 0.000 0.000 0.000 0.000 0.000 0.000 -25.000 -25.000 -25.000 -25.000 -25.000 -25.000 -25.000 -25.000 -25.000 -25.000 0.000 0.000 0.000 0.000 0.000 0.000

5.000 5.000 5.000 5.000 5.000 5.000 5.000 5.000 5.000 5.000 5.080 4.580 4.080 3.580 3.080 2.580 2.080 1.580 1.080 0.580 0.000 0.000 0.000 0.000 0.000 0.000

-5.000 -1.828 2.863 3.035 -0.520 -2.655 -1.091 1.453 1.667 -0.192 -1.486 -0.336 0.968 0.806 -0.299 -0.796 -0.215 0.498 0.448 -0.136 -0.346 -0.440 0.021 0.355 0.183 -0.173

-0.502 4.039 2.666 -1.643 -3.001 -0.410 2.105 1.505 -0.791 -1.617 0.099 1.270 0.638 -0.629 -0.851 0.010 0.669 0.368 -0.313 -0.463 -0.410 0.173 0.417 0.100 -0.268 -0.229

X(ti) (cm) 0.000 3.172 7.863 8.035 4.480 2.345 3.909 6.453 6.667 4.808 3.594 4.244 5.047 4.386 2.781 1.784 1.864 2.078 1.528 0.444 -0.346 -0.440 0.021 0.355 0.183 -0.173 8.035 -0.440

v(ti) (cm/seg) 0.000 263.098 148.154 -121.383 -183.684 -8.943 137.955 84.646 -59.727 -99.526 -9.550 56.240 8.720 -69.253 -76.169 -19.365 18.006 -5.169 -47.312 -53.001 -23.399 13.559 25.851 4.002 -17.870 -13.178 263.098 -183.684

DESPLAZAMIENTO DESPLAZAMIENTO MÁXIMO

= 8.04 (cm.)

VELOCIDAD MÁXIMA

= 253.10 (cm/seg.)

ACELERACIÓN ACELERACIÓN MÁXIMA

= 13078.02 (cm/seg (cm/seg2)

IV - 93

a(ti) (cm/seg2) 0.000 3871.117 -13078.024 -10377.914 4336.752 10520.856 2548.455 -6754.977 -5787.684 1999.344 5631.328 299.327 -4215.198 -2606.648 1813.517 3050.382 305.964 -2202.302 -1478.327 881.935 1647.445 1556.493 -405.985 -1440.28 -494.999 842.457 10520.856 -13078.024


REPRESENTACIÓN GRÁFICA DE LA RESPUESTA

IV - 94


PROBLEMA N° 08. Una estructura que ha sido modelada por el oscilador simple con un 10% de la amortiguación amortiguación crítica



está sometida a la fuerza impulsiva mostrada en la figura.

Determinar la respuesta.

X F(t) 2

K=2000 kp/cm m = 2 (kp.seg / cm) F(t)

 = 10 %

200 kp

0 (a)

0.10

t

(b)

Solución: Datos del Problema: Masa Constante del resorte Coeficiente Coeficient e de amortiguamiento amortiguamient o

Frecuencia natural

  ⁄   √ √  √                    √ √                       :

:

:

:

Frec. Natural con Amortiguamiento Amortiguamiento

:

Periodo Natural

:

Razón de Amortiguamiento Amortiguami ento

:

Incremento del tiempo seleccionado seleccionado :

MÉTODO DE SOLUCIÓN DIRECTA O INTEGRACIÓN DIRECTA EXPRESIONES A USAR:

                    ̇     IV - 95


        ̇        ̈    [   ̇   ]         , será

ti (seg) 0 0.02 0.04 0.06 0.08 0.1 0.12 0.14 0.16 0.18 0.2 0.22 0.24 0.26 0.28 0.3 0.32 0.34 0.36 0.38 0.4 0.42 0.44 0.46 0.48 0.5 MAX MIN

F(ti)

A(ti)

B(ti)

C(ti)

D(ti)

0 400 800 1200 1600 2000 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0

10.000 10.000 10.000 10.000 10.000 -50.000 0.000 0.000 0.000 0.000 0.000 0.000 0.000 0.000 0.000 0.000 0.000 0.000 0.000 0.000 0.000 0.000 0.000 0.000 0.000 0.000

-0.063 0.137 0.337 0.537 0.737 1.316 0.000 0.000 0.000 0.000 0.000 0.000 0.000 0.000 0.000 0.000 0.000 0.000 0.000 0.000 0.000 0.000 0.000 0.000 0.000 0.000

0.063 -0.124 -0.244 -0.261 -0.182 -0.425 1.152 1.022 0.537 -0.086 -0.604 -0.841 -0.744 -0.388 0.066 0.443 0.613 0.541 0.281 -0.051 -0.324 -0.448 -0.393 -0.203 0.039 0.238

-0.311 -0.271 -0.137 0.031 0.017 2.096 0.268 -0.433 -0.894 -0.975 -0.692 -0.191 0.319 0.653 0.710 0.502 0.137 -0.235 -0.477 -0.517 -0.364 -0.097 0.173 0.349 0.377 0.265

X(ti) v(ti) a(ti) (cm) (cm/seg) (cm/seg2) 0.000 0.000 0.000 0.013 1.855 175.600 0.093 6.449 266.527 0.276 11.788 249.801 0.555 15.842 144.728 0.892 17.292 144.291 1.152 4.791 -1.114 1.022 -16.860 -1182.438 0.537 -29.812 -915.730 -0.086 -30.393 -347.960 -0.604 -19.860 278.788 -0.841 -3.362 729.762 -0.744 12.397 861.976 -0.388 21.779 665.260 0.066 22.132 250.180 0.443 14.401 -206.490 0.613 2.356 -533.866 0.541 -9.114 -628.350 0.281 -15.910 -483.282 -0.051 -16.117 -179.838 -0.324 -10.442 152.899 -0.448 -1.648 390.542 -0.393 6.700 458.035 -0.203 11.622 351.070 0.039 11.736 -113.187 0.238 7.572 -285.684 1.152 22.132 861.976 -0.841 -30.393 -1182.438

DESPLAZAMIENTO DESPLAZAMIENTO MÁXIMO

= 1.15 (cm.)

VELOCIDAD MÁXIMA

= 30.39 (cm/seg.)

ACELERACIÓN ACELERACIÓN MÁXIMA

= 1182.44 (cm/seg (cm/seg2)

IV - 96


REPRESENTACIÓN GRÁFICA DE LA RESPUESTA

IV - 97


4.3.4 PROBLEMAS PROPUESTOS PROBLEMA 01: Se desea investigar la vibración de la losa aligerada de 20cm de espesor que constituye el techo de una casa. La losa está simplemente apoyada con una luz de 5m se puede suponer que la masa que vibra incluye un metro de ancho de losa y está concentrada al centro, su peso es de 3ton. En la figura se muestra el modelo y la sección transversal de la losa. Considerar un metro de ancho como colaborante. El módulo de elasticidad del material es de 230000kg/cm 2. Al centro actúa una fuerza pulsante F(t) con un valor máximo de 10ton y una frecuencia natural de 4hertzios. a. Luego de 10seg de vibración determine cuál será la frecuencia frecuenc ia angular a la que vibra la masa al centro de la viga? La viga tiene un amortiguamiento de 5% del crítico. b. Cuál es la máxima deformación que la carga actuante produce al centro de la losa? c. Si se aplicara únicamente un desplazamiento desplazamiento inicial. Cuántos ciclos ciclos se necesitan para que el desplazamiento se reduzca al 5% del inicial?

SECCIÓN DE LA LOSA

PROBLEMA 02: El pórtico de la figura está sometido a un movimiento de la base definido por



 ̈ 

cm/seg2. Las columnas laterales y la viga tienen una sección transversal de

25cmx40cm y a nivel de la viga hay un peso total de 19.72ton que incluye la parte proporcional de las columnas. El módulo de elasticidad del material es 250000kg/cm 2. Suponga que no hay amortiguamiento. L=8m y h=4m. Determine el máximo desplazamiento de la viga respecto a su base.

IV - 98


PROBLEMA 03: El pórtico de la figura está sometido a un movimiento de la base definido por



 ̈ 

cm/seg2 que actúa durante 1seg. Las columnas laterales y la viga tienen una

sección transversal de 25cmx40cm y a nivel de la viga hay un peso total de 19.72ton que incluye la parte proporcional de las columnas. El módulo de elasticidad del material

es 250000kg/cm 2. Suponga que no hay amortiguamiento. L=8m y h=4m. Las columnas y la viga solamente pueden soportar un momento máximo de 10tonxm luego del cuál las secciones fluyen (giran sin incrementar la carga). a. Determine si bajo el movimiento especificado el pórtico “fluye” y de ser así en que tiempo sucede. b. Determine la expresión del desplazamiento de la viga en el rango plástico. Calcule la máxima demanda de ductilidad que experimentará el pórtico.

PROBLEMA 04: Se tiene una viga simplemente apoyada de 30 metros de luz, y un peso al centro de 4ton. La sección de la viga es de 30cmx150cm. El módulo de elasticidad del material es de 250000kg/cm 2, se pide:

IV - 99


a. Calcular cuál es la máxima fuerza F 1 que se puede aplicar bruscamente para que el desplazamiento al centro no exceda de L/500. b. Si la viga tiene un amortiguamiento de 2% del crítico, cuanto tiempo tomará para que la deformación producida por esta carga descienda por debajo del 50%.

PROBLEMA 05: Se tiene una estructura conformada por dos pórticos como el mostrado en la figura. Las vigas se pueden considerar infinitamente rígidas. El peso total a la altura del techo es de 40ton. La altura es 4 m. La sección transversal de las columnas es de 25cmx30cm orientada con la mayor dimensión en el plano del pórtico. El concreto es de f’c=210kg/cm2. El módulo de elasticidad se puede considerar 250000kg/cm 2. Este

pórtico es sometido a un sismo representado por el espectro de diseño mostrado. a. Suponiendo en una primera etapa que sólo hay columnas (sin muro) y que todas son iguales. Suponiendo un factor de carga (factor de mayoración para rotura) para el sismo de 1.4, determinar el máximo esfuerzo cortante debido al sismo que se presentará en las columnas. Diga si este esfuerzo resulta mayor que el esfuerzo cortante admisible del concreto v cu=6.53kg/cm2. b. Al construir se ha adosado al lado de la columna de un extremo un muro de 2.4m de alto. Calcule cuanto es ahora el esfuerzo de corte en esta columna acortada debido a la presencia del muro.

IV - 100

ANÁLISIS SÍSMICO DINÁMICO DE SISTEMAS DE 1GDL

CAPÍTULO V ANÁLISIS SÍSMICO DINÁMICO DE SISTEMAS DE 1GDL Un problema fundamental fundament al en dinámica de estructuras estructur as es encontrar como responde un sistema, con una masa M, una rigidez K, un coeficiente coeficient e de amortiguamiento C a una solicitación sísmica sísmica en la base de la estructura estructura caracterizada caracterizada por una aceleración aceleración

̈ 

.

g

En el sistema equivalente: equivalente:

como:

̈ ̇    ̈  ̈   ̇     ̈ 

    





Reemplazando:

̈ ̇    ̈  

Aplicando la la integral de Duhamel Duhamel o integral de de coinvolución. coinvolución.

     ̈           √   V-1

    


5.1

ECUACIONES BÁSICAS DEL MÉTODO TIEMPO – HISTORIA

Por matemáticas:

       ̇           ()      Definiendo:

    ̈           ̈        Derivando: Aplicando la la expresión (II)

 ̇         ̇         ̈  Reemplazando en (I)

     √

   

El desplazamiento, desplazamiento, es importante importante conocer porque porque nos permite permite evaluar el grado de flexibilidad flexibilidad y/o rigidez de de la estructura. estructura.

Derivando (1):

 

    ̇ ̇    √        ̇    √ V-2


̇   √    

  

La velocidad, es importante conocer por que nos permite evaluar la disipación de energía.

Derivando (2):

   ̇ 

̈   √    ̇   ̇ ̈   √               ̈  ̈   ̈   √ √          ̈  √     La aceleración absoluta, es importante conocer por que nos permite evaluar la fuerza sísmica.

 ̈ 

Las ecuaciones (1), (2) y (3), son las ecuaciones básicas del método: Tiempo – Historia PARA SISTEMAS CON POCO AMORTIGUAMIENTO AMORTIGUAMIENTO

   ̈                  ̈     ̇        ̈     ̈   

  

Las ecuaciones (4), (5) y (6), constituyen las ecuaciones Tiempo – Historia con poco amortiguamiento.

V-3


5.2

ECUACIONES BÁSICAS DEL MÉTODO ESPECTRAL ESPECTRAL

a.- VALOR ESPECTRAL DE DESPLAZAMIENTO (Sd): Es el mayor valor de la respuesta dinámica de desplazamientos relativos a la base, siempre positivo.

   |||   ||

b.- VALOR ESPECTRAL DE VELOCIDAD (Sv): Se define como el mayor valor de la respuesta dinámica de velocidades relativas a la base, siempre positivo.

||  ||

   |̇ ||  ||

Pero:

c.- VALOR ESPECTRAL DE ACELERACIÓN (Sa): Es el mayor valor de la respuesta dinámica de aceleraciones absolutas.

   |̈ ||  || En resumen:

    ||         ||  ||    | ||     

              

Las ecuaciones (7), (8) y (9), constituyen las ecuaciones básicas del método Espectral 5.3

ESPECTRO DE RESPUESTA SÍSMICA SÍSMIC A

Para fines de diseño sismo – resistente lo que normalmente nos interesa conocer únicamente la respuesta máxima. Por ejemplo, nos interesa conocer el desplazamiento desplazamient o lateral máximo, el cortante basal máximo, el momento de volteo máximo, etc.

V-4


Una de las herramientas más útiles para evaluar la severidad de la respuesta máxima de una estructura a un sismo dado es el ESPECTRO DE RESPUESTA. Un ESPECTRO ESPECTRO DE RESPUESTA RESPUESTA

es la representación representación gráfica gráfica de la respuesta respuesta

máxima en función del periodo natural de vibración del sistema. Esto es, el espectro de respuesta nos da información de la repuesta máxima para toda una familia de sistemas (del mismo material



) ) de 1GDL.

Por lo tanto, si queremos queremos determinar la respuesta respuesta máxima, disponiendo disponiendo del diagrama espectral para una excitación especifica (sismos) en la base, es necesario saber solamente la la frecuencia natural del sistema. 5.4

CONSTRUCCIÓN CONSTRUCCIÓ N DE UN ESPECTRO DE RESPUESTA

Para ilustrar la construcción de un gráfico de respuesta espectral, consideremos a una familia de sistemas de 1GDL que presentan en común el mismo grado de amortiguamiento sísmica

̈ 

.



(mismo material), y a las que le sometemos a la misma acción

Trabajando con los sistemas equivalentes: equivalentes:

        

        

SISTEMA: 1

SISTEMA: 2

V-5


     

        

SISTEMA: 3

SISTEMA: 4

SOLICITACIÓN SÍSMICA:

La función de aceleración que excita el apoyo (base) de cada sistema, está dada por la gráfica: REGISTRO SISMICO (COMPONENTE HORIZONTAL)

Registro sísmico del Perú 10 de marzo de 1974 (COD.7050) 5.4.1

ESPECTRO DE RESPUESTA DE DESPLAZAMIENTOS DESPLAZAMIENTOS

Debido a que las edificaciones en general presentan poca amortiguación trabajaremos con la expresión simplificada.

V-6



,


          ̈   Calculo de la respuesta máxima:

SISTEMA: 1 (i=1)

          ̈   Desarrollando Desarrollando y graficando.

Desplazamiento del sistema 1 (Registro sísmico del Perú 10 de marzo de 1974 (COD.7050)

  

, Valor espectral de desplazamiento desplazamiento del sistema 1.

SISTEMA: 2 (i=2)

          ̈      Desarrollando Desarrollando y graficando.

V-7


Desplazamiento del sistema 2 (Registro sísmico del Perú 10 de marzo de 1974 (COD.7050)

  

, Valor espectral de desplazamiento del sistema 2.

Similarmente se obtiene los demás valores espectrales del resto de sistemas. Ahora plateando los puntos se obtiene la gráfica del espectro de desplazamientos. desplazamientos. Espectro de Respuesta Respuesta de Desplazamie Desplazamiento. nto.

Registro sísmico del Perú 10 de marzo de 1974 (COD.7050) 5.4.2

ESPECTRO DE RESPUESTA DE VELOCIDADES. VELOCIDADE S.

 ̇     ̈   Calculo de la respuesta máxima:

V-8


SISTEMA: 1 (i=1)

̇    ̈  

Desarrollando Desarrollando y graficando.

Registro sísmico del Perú 10 de marzo de 1974 (COD.7050) Velocidades del sistema 1

̇   

, Valor espectral de velocidades del sistema 1.

SISTEMA: 2 (i=2)

 ̇      ̈   Desarrollando Desarrollando y graficando.

Velocidades del sistema 2 (Registro sísmico del Perú 10 de marzo de 1974 (COD.7050))

̇   

, Valor espectral de velocidades del sistema 2.

V-9


De forma similar se procede procede a obtener los valores espectrales espectrales de los demás sistemas. Plateando los puntos y uniéndolos se obtiene la gráfica del espectro de velocidades.

Espectro de Respuesta de Velocidades (Registro sísmico del Perú 10 de marzo de 1974 (COD.7050)) 5.4.3

ESPECTRO DE RESPUESTA DE ACELERACIONES

   ̈ ̈  

Espectro de Respuesta de Aceleraciones (Registro sísmico del Perú 10 de de marzo de 1974 (COD.7050)) Si no se quiere calcular toda la historia de velocidades y aceleraciones para cada periodo, los espectros de velocidades y aceleraciones pueden calcularse en forma aproximada por medio de las siguientes relaciones:



  

Si para cada “ ” se grafica “Sv” se tiene un espectro aproimado del espectro de

velocidades velocidades que se le conoce como SEUDO ESPECTRO DE VELOCIDADES.

V - 10


Al igual que en el caso de las velocidades velocidades máximas las aceleraciones aceleraciones máximas también se pueden calcular en forma aproximada a partir de los desplazamientos máximos por medio de la siguiente relación:

La grafica de “T” vs “



    ” así obtenido se conoce con el nombre de ESPECTRO DE

SEUDO ACELERACIONES. ACELERACIONES. 5.5

CONSIDERACIONES CONSIDERACIO NES BÁSICAS

1) El nombre “seudo” s e emplea para distinguirlo del espectro exacto, sin embargo para valores pequeños de amortiguamiento y para periodos de vibración entre 0.2 seg. A 3.0 seg., el error que se comete es muy pequeño. 2) A partir del espectro de aceleraciones aceleracion es o el espectro de seudo aceleraciones es posible obtener al MAXIMO CORTANTE BASAL de la estructura a partir de la siguiente expresión: O bien:

Dónde: W; Peso total de la estructura

       

 ; Representa el llamado COEFICIENTE COEFICIENTE SISMICO. 3) Es importante aclarar que la aceleración espectral representa la aceleración en la estructura, la cual puede ser mayor o menor a la máxima aceleración del terreno “PGA”. En un espectro de respuesta de aceleraciones, la máima

aceleración del terreno está representada como la ordenada del espectro para un periodo igual a cero(aceleración de entrada)

Registro sísmico del Perú 10 de marzo de 1974 (COD.7050))

V - 11


Por ejemplo, para el espectro de aceleraciones mostrado en la figura, la aceleración máxima del terreno es igual al 20% de la aceleración de la gravedad. Asimismo, puede verse que estructuras con periodos de vibración menores a 1.5 segundos (periodos cortos) son sometidos a aceleraciones mayores a las del terreno, quiere decir sufren un AMPLIFICACION de aceleraciones, mientras que estructuras con periodos de vibración mayores a 1.5 segundos (periodos largos) tienen aceleraciones máximas en la estructura que son menores a la máxima aceleración del terreno. 4) La influencia del amortiguamiento en la respuesta de edificios a sismos, son dos, a mayor amortiguamiento: a) Disminuye las ordenadas espectrales, esto es la respuesta es menor. 5) B) Se suaviza el espectro, esto es existe una menor variación de ordenadas espectrales para pequeños cambios en el periodo de vibración.

Registro sísmico del Perú 10 de marzo de 1974 (COD.7050)) INFLUENCIA DEL AMORTIGUAMIENTO EN EL ESPECTRO DE ACELERACIONES

V - 12


5.6


PROBLEMA N°1:

Para el sistema mostrado, despreciando la masa del mezaninne; determine: a) El cortante basal b) El momento de volteo c) La fuerza fuerza cortante cortante que toma cada cada elemento elemento vertical. vertical. Considere que las rigideces laterales de las columnas de un mismo tipo son iguales y que la estructura presenta un coeficiente de amortiguación de 10% respecto del crítico. Considerar un análisis para la dirección x-x.

                ESPECTRO DE RESPUESTAS DE ACELERACIÓN SOLUCION:

1) Cálculo del “Keq”

         V - 13


                    

2) Obtenemos la “ ”

24.637 rad/seg

3) Determinando el “T”

     

0.255 seg

Del espectro de repuesta: T = 0.255 seg. Sa = 0.45g

4) Cálculo del “V”

            5) Cálculo del “M” F = V = 144 ton. M = F x h = 144 x 5 =720 ton.m

6) Cálculo de la



que toma cada columna

  ∑  

                           

= 7.273 ton = 56.727 ton

= 7.273 ton = 14.182 ton

V - 14


PROBLEMA N°2:

Calcular y dibujar aproximadamente el espectro de respuesta de desplazamientos relativos “Sd” para un movimie nto de la base definido por que tiene una duración de 1seg. Graficar solamente para un rango de periodo entre 0 y 2 seg.

̈ 

No considerar amortiguamiento. amortiguamiento.

SOLUCION:

 ̈     ̈           ̈

         ̈        ̈                            *  *      Sistema sin amortiguamiento: amortiguamiento:

Intervalo: 0

V - 15


      ̈                              *  *                  ̇           ̇      Intervalo:

OTRA FORMA:

Pero: t = t –

t = t – 1

De:

              ̇         ̇      ̇    ̇     En (1):

                                          ((    )           V - 16


         EXPRESANDO EN FUNCION DEL PERIDODO

                            [       ]           

    

0

Eligiendo a una familia de edificios (5 sistemas de 1 GDL), que presentan el mismo grado de amortiguamiento ( = 0%), es decir del mismo material, se tiene:



T (seg)

S1

0

S2

1/2

S3

1

S4

3/2

S5

2

   

                                    0

                                 [    ]             

V - 17


ESPUESTA ESPECTRAL DE DESPLAZAMIENTOS: Sd

T (seg)

0 1/2

1 3/2 2

                   



0

(m)

0

   

GRAFICA: “ESPECTRO DE RESPUESTA DE DESPLAZAMIENTOS” DESPLAZAMIENTOS”

V - 18


EJEMPLO DE ANÁLISIS:

         Para:

Sistema: S4

                                     

                         [    √    ]            √        V - 19


    √                               

                   

SUPERPONIENDO: Se encuentra la máxima respuesta para el sistema

V - 20



.


PROBELMA N° 3:

Para el problema anterior considerando K=100 ton/cm, W = 2485 ton, se pide calcular (g = 9.81 m/ ); La respuesta del sistema:



a) Por el método tiempo historia. b) Por el método espectral SOLUCION:

1) Cálculos previos: Frecuencia natural:

                        

Periodo natural:

2) Método tiempo- historia:

       ̈                                                                 Intervalo:

Cálculo del

Intervalo:

, en cada intervalo:

;

V - 21


                                           

Por lo tanto:

;

3) Método espectral:  T

= 1seg.

(del espectro de desplazamientos)

Como:

       



V = K. = 15.198 ton

PROBLEMA N° 04:

Considere el pórtico plano de la figura 1, constituido por una placa empotrada en su base, de 3m de altura, 10cm de espesor y de 1.5 m de largo. Un pórtico de 2.6 m de luz, la altura es de 3.2 m .La sección transversal de las columnas y de la viga es de 25cmx40cm, orientadas con la mayor dimensión en el plano del pórtico. Al nivel de la viga se ha estimado un peso total de 120 toneladas. El material de ambos elementos es de concreto con un

  √ √   ,

.Este pórtico es

sometido a un sismo representado por el espectro de diseño mostrado en la figura 2. Suponiendo un factor de carga para pasar a rotura (factor de amplificación de la carga) de sismo de 1.4, determinar el máximo esfuerzo cortante que se presentara en la placa debida al sismo, Vsu. Diga si este esfuerzo resulta mayor que el esfuerzo cortante admisible del concreto

    

FIGURA 1

V - 22

.


FIGURA 2 SOLUCIÓN:

1. CÁLCULOS PREVIOS:

√ √                      

2. CÁLCULO DE LA RIGIDEZ LATERAL DEL PÓRTICO Y PLACA:

                      ,

         

  

V - 23


                                                                      ∑                        

RIGIDEZ TOTAL:

FRECUENCIA ANGULAR:

PERIODO:

Entonces de la figura 2:

CORTANTE ÚLTIMO:

CORTANTES DE LA PLACA

ESFUERZO CORTANTE DE LA PLACA

POR LO TANTO

V - 24


PROBLEMA N° 05:

El sistema estructural estruct ural mostrado en la figura consiste en 8 columnas de concreto

       

armado ( B:

), de sección circular (columnas A:

   

, columnas

), empotradas en la cimentación y conectadas con una losa que puede

considerarse como infinitamente rígida para acciones en su plano (diafragma rígido).Usando el espectro espectro de respuesta mostrado para el amortiguamiento amortiguamiento crítico del del 5%, determinar: a) El desplazamiento desplazamiento horizontal máximo. b) El cortante cortante en las columnas columnas de concreto. concreto.

SOLUCIÓN:

     √ √   V - 25


1. Hallando el valor de los momentos de inercia de la columnas: COLUMNAS A:

COLUMNAS B:

                    

2. Hallando el valor de la rigidez de cada columnas, como se sabe que la losa es infinitamente rígida se calcula de la siguiente manera:

  

COLUMNAS A:

                 COLUMNAS B:

                 3. Hallando el valor de la rigidez de la estructura (como se ve las rigideces de las columnas están en paralelo):

                   4. Desplazamiento Desplazamiento horizontal máximo de la la estructura: estructura: Hallando Hallando el cortante en la base de la estructura

                      V - 26


              

De la gráfica de espectro de respuesta para

Se obtiene

                      

Por lo tanto el desplazamiento desplazamiento será:

       5. La cortante en las columnas : COLUMNAS A:

   ∑             COLUMNAS B:

   ∑            V - 27


PROBLEMA N° 06:

La estructura de un piso mostrado en la figura, tiene muros de albañilería

                 y

pórticos

de

concreto

  

armado

. Considerando al

sismo actuando en la dirección Y-Y y usando el espectro de respuesta mostrado para el amortiguamiento crítico del 5%, determinar: c) El desplazamiento desplazamient o horizontal máximo a nivel del techo de la estructura. estructur a. d) El esfuerzo cortante en los muros de albañilería. albañilería. e) El cortante cortante en las columnas columnas de concreto. concreto.

V - 28


SOLUCION:

Consideramos: 

Muros de albañilería:

      

(Muro artesanal sin tarrajear) t arrajear)

Concreto armado:

      1. Hallando el valor de I, K de las columnas y de las vigas:

                                                    2. Calculo de rigideces 

Hallando la rigidez de cada columna del pórtico del eje B-B por método de Muto

V - 29


                          

    

    ̅             ̅̅                        Para el cálculo del valor de :



Hallando la rigidez del muro de albañilería:

             

V - 30


                                                                                                 

Siendo



Hallando la rigidez total en la dirección Y-Y:

                    3. Calculo del peso en el eje eje de la losa

           METRADO DE CARGAS: 

Losa

                                                                                               

:

Columnas:



Muros:



Muro 1 Muro 2 Muro 3 Vigas:



:

:

: 1.5

Vigas eje Y-Y

:

Vigas eje X-X : 

Sobrecarga

:

V - 31


4. Desplazamiento horizontal máximo a nivel del techo de la estructura: estructur a:



Hallando Hallando el cortante en la base de la estructura

                             

De la gráfica de espectro de respuesta para

obtiene

                         

Por lo tanto el desplazamiento desplazamiento será:

       

5. El esfuerzo cortante en los muros de albañilería:



Muro del eje A – A

V - 32

Se


   ∑          



Muro del eje C1 – C1

          ∑      



Muro del eje C2 – C2

   ∑              

6. La cortante en las columnas :

  ∑             V - 33


PROBLEMA N° 07:

Calcular la respuesta dinámica de un tanque con agua el cual soporta una explosión cuya

                     

histograma de fuerza se muestra en la figura 2, considerar g=981

FRECUENCIA ANGULAR:

PERIODO:

1.

LA ECUACION PARA EL PRIMER TRAMO 0 < t < 0.01 :

         V - 34

.


Se tiene que:

                 A

B

                                          ∫                                                                                          ∫                    

Luego:

Luego:

V - 35


                               

Luego

                                        CALCULANDO LA VELOCIDAD:

                                                                                                                                      Usando:

Usando:

V - 36


                                                            LUEGO:

 ̇          De la integral de Duhamel para las condiciones iniciales en T=0.01 seg.

      ̇               Dónde:

                          *  *          +      [  [           ]

   

V - 37


                     

    *  *         +  [  [        ]     LUEGO EL DESPLAZAMIENTO DESPLAZAMIENTO SERA:

      ̇                           CALCULANDO LA VELOCIDAD:

       [  [             ]                                         V - 38


DERIVANDO:

                       [  [        ]                       

                       DERIVANDO:

            

También se tiene:

 ̇    * ̇ +   ̇                (  ̇      )  

FINALMENTE:

V - 39


5.7


PROBLEMA N° 01:

Calcular y dibujar aproximadamente los espectros de respuesta de desplazamientos relativos (Sd vs T), de velocidades relativas (Sv vs T) y de aceleraciones absolutas (Sa vs T), para un movimiento en la base definido por

 ̈    

, en

cm/seg2. Graficar solamente para un rango de periodo entre 0 y 2seg. No considerar amortiguamiento. PROBLEMA N° 02:

La estructura de concreto armado mostrada en la figura, está ubicada en el distrito de Chilca- Huancayo. Sera usada para oficinas y está asentada sobre un suelo que ha sido clasificada como intermedio. Las vigas son 25 cm x 40 cm, las columnas de 30 cm x 60 cm. Las placas tienen un espesor de 20 cm. La losa es un aligerado de 20 cm que pesa 300 kg /m², considerar 100 kg/m² de tabiquería, sobrecarga de 100 kg/m². la altura d piso es 4m. Usando el espectro de respuesta de la norma E-0.30 , para la dirección Y-Y se pide: a) Calcular la cortante cortant e en las columnas de la estructura b) Calcular la cortante en las placas de la estructura estructura

V - 40

SISTEMAS DE MULTIPLES GRADOS DE LIBERTAD

CAPÍTULO VI SISTEMA DE MÚLTIPLES GRADOS DE LIBERTAD 6.1

ESTUDIO DE LAS ESTRUCTURAS MODELADAS COMO SISTEMA DE MULTIPLES GRADOS DE LIBERTAD F3 F3(t)

W3

W2

M3

W1

CM2

W2

X2(t)

K3 M2

F1 F1(t)

W3

X3(t) F2

F2(t)

CM3

X1(t)

CM1

W1

K2 M1 K1

ESTRUCTURA (3GDL)

F3(t) C3 F2(t) C2 F1(t) C1

MODELO DINÁMICO

imple. Se tomará como modelo estructural a un modelo al que llamaremos edificio s imple

Un edificio simple puede ser definido como un edificio en el cual no se produce rotaciones en los miembros horizontales a la altura de los pisos. A este respecto, el edificio simple, sometido a excitaciones que producen desplazamiento horizontal, tiene muchas de las características de una viga en voladizo deformada solamente por el esfuerzo de corte. Para conseguir esta deformación debemos suponer las siguientes condiciones: a) A toda la masa de la estructura está concentrado al nivel de los pisos. b) Las vigas en los pisos son infinitamente rígidas, con relación a la rigidez de las columnas.

VI - 1



c) La deformación de la estructura es independiente de las fuerzas axiales presentes en las columnas (efecto PΔ y desplazamientos verticales)

La primera condición transforma el problema de un sistema con un número infinito de GDL, a un sistema que tiene tantos GDL como numero de masas concentradas a nivel de los pisos. DLC Para cada masa: 1ra. Masa:

  ̈ +   ̇ +   + ( ̇ ̈   ̇) +        ̈ +  +  ̇ + ̇ +  +  +   2da. Masa:

  ̈ +  ̇   ̇ +     +  ̇   ̇ +        ̈ + ̇ +    + ̇ + +  +  +   3ra Masa:

VI - 2



 ̈ + (  ̇   ̇) +        ̈ + ̇ +   ̇ +   +      ̈ +  +  ̇ + ̇ +  +  +  ……………………. . … .  1   ̈ + ̇ +    + ̇ + +  +  +   …2   ̈ + ̇ +   ̇ +   +     ……………………………………. … .  3

Ecuación del movimiento:

Expresando matricialmente:

 0 0 00    ̈̈ + + + 0    ̇̇ + + + 0      0 0   ̈ 0    ̇ 0    

 ̈  +   ̇ +    

Ecuación general

de la

dinámica del movimiento de las masas del sistema.

Nota: De los cuatro casos que se pueden analizar solo dos tienen calificación práctica, por lo tanto analizaremos cada uno de ellos a) Movimiento libre. b) Movimiento forzado amortiguado.

6.2

  ̈ +    0

SISTEMAS EN VIBRACION LIBRE:

El análisis de un sistema en movimiento libre proporciona las propiedades dinámicas más importantes de la estructura como son las frecuencias naturales y los modos de vibración. Para la vibración libre de una estructura sin amortiguamiento buscamos soluciones de la forma: Las vibraciones del sistema linealmente elástico

∅  ∅+ + 1,2,3,……,n

;

En donde:

cuando es apartado de la posición de equilibrio por una perturbación momentánea presenta un movimiento de vibración de tipo armónico.

VI - 3



n∅NúNúme me ro r o de GDL G DL Amplitud del movimiento de la masa "", queque no dependen dependen del tiempo.mpo.    ∅+ + Usando notación vectorial:

La solución se está expresando en función de los modos normales multiplicados por factores que son funciones senoidales del

tiempo. En donde:

  ∅ 

: Vector de desplazamientos.

: Vector de amplitudes.

: Frecuencia natural de vibración de las masas del sistema. T X3(t)=Ø3Sen(wt+a)

Ø3

m3

X2(t)=Ø2Sen(wt+a)

X3(t)

Ø2

m2

X1(t)=Ø1Sen(wt+a)

X2(t)

Ø1

m1

X1(t)

Ø3

Ø2

Ø1

a=0

MODOS NORMALES

 

. Se llama modo de

vibración normal o natural al movimiento armónico de vibración en que todas las masas de la estructura se mueven en fase con la misma frecuencia



.

∅∅  +  + + + + 0

Derivando y remplazando:

VI - 4



 +   0

Ecuación matemática que representa el problema de valores y vectores propio. EIGENVALORES y EIGENVECTORES.

En donde las variables son:

: ∅:

Valores propios: La raíz cuadrada de los valores propios son las frecuencias naturales de vibración de cada modo. Vectores propios: Son las formas de modo de vibración del sistema.

EJEMPLO: En un sistema plano de 3 niveles (3GDL). 1

1

X3 m3

2

X3

Ø3

X3

3

X3

3

2

Ø3

Ø3

K3 1

1

X2 m2

<>

K2 X1 m1

2

X2

Ø2

X2

3

X2

2

Ø2

+ 1

Ø1

3

Ø2

+

1

2

X1

Ø1

2

X1

3

Ø1

3

X1

K1

MODELO DE CORTANTE SIMPLE (3GDL)

1ra FORMA DE MODO DE VIBRACION

Modo Fundamental :

Periodo Fundamental : 

∅  

2da FORMA DE MODO DE VIBRACION

∅  

< >

3ra FORMA DE MODO DE VIBRACION

< >

∅  

El número de formas de modo de vibración de un sistema, es igual al número de de GDL del mismo e igual al número de masas.



Cada modo de vibración tiene su propia frecuencia o ritmo de vibración.



Un modo de vibración es un vector cuyos coeficientes expresan las amplitudes relativas y son conocidos como un modo normal (natural) o una forma modal.

VI - 5



Conclusión: La respuesta total del sistema linealmente elástico, puede calcularse como la superposición de la respuesta de cada modo de vibración dicho en otras palabras el cálculo de la respuesta por medio de la descomposición modal, y su proporción de las respuestas modales, se conoce como análisis modal.

        +    +    

CONSIDERACIONES CONSIDERACIONES BÁSICAS:

1. En teoría un sistema presenta un número infinito de modos de vibración, como lo demostraremos más adelante; y la superposición debe incluirlas a todos. En la práctica se puede lograr una buena precisión utilizando solo los primeros modos de vibración permitiendo simplificar el análisis. 2. Una de las características de los modos normales es que son ortogonales respecto a las matrices de masas, de rigidez y amortiguamiento. 3. El análisis a desarrollar es el de superposición modal y el método puede ser el cronológico (tiempo-historia) (tiempo-historia) o el espectral.

4. La aplicación más común es el método espectral, debido a la obtención de los valores máximos de la respuesta de la estructura. El método modal espectral, refleja mejor la distribución real de las fuerzas laterales, que el método de las fuerzas estáticas equivalentes que contempla la norma peruana NTE E-030.

Como existen un infinito número de modos de vibración, entonces hablaremos de modos normalizados. 6.2.1 NORMALIZACION NORMALIZACION DE MODOS:

∅

Si el vector { } es un modo natural, natural, cualquier vector proporcional es en esencia el mismo modo natural que satisface la ecuación

  . ∅  0

.

Como el sistema de ecuaciones es linealmente dependiente, significa que hay una gran cantidad de vectores propios. Al existir un infinito número de vectores propios, se habla de vectores propios

normalizados. La forma más común de normalizar los modos es:

∅∅    1

. Donde es una constante de normalización que puede tener cualquier

valor. Algunos consideran el valor promedio de las masas, otros lo formalizan de tal forma

que

.

VI - 6



Llamando: En donde:

∅ ∝ ∅

     ∅∅::          ∝:   óó ∝ ∅  ∝ ∅   ∝   ∅ ∅

Reemplazando:

Expresión para cálculo de coeficientes de conversión.

6.2.2 PROPIEDAD DE ORTOGONALIDAD ORTOGONALIDAD DE LOS MODOS NORMALES Introducimos ahora una propiedad muy importante de los modos normales, la propiedad de ortogonalidad.

∅  ∅ ;   1,2,3…3… +  ∅∅    0 0 ∅∅   1 +∅+∅∅ ∅∅……………………….  ∅……………. . 2

De la ecuación:

Para sistema con 2GDL:

Por extensión

m2

2

i

2

i

m2wiØ2

Ø'2

2

K2

m1

m1wiØ1

Ø'1

K1

VI - 7


i

F2=m2wiØ2

2

i

F1=m1wiØ1


D.C.L. 2

i

2

i

m2wiØ2 m2 i

i

i

i

k2(Ø2-Ø1)

k2(Ø1-Ø2) m1wiØ2 m1 i

k1Ø1

Por equilibrio:

 1 +∅+∅∅ ∅∅……………………….  ∅……………. . 2 ∅  ∅   ∅  ∅

Estas ecuaciones escritas en esta forma pueden interpretarse estático como las ecuaciones de equilibrio de un sistema con fuerzas exteriores de magnitud aplicadas a las masas

y

Los modos normales pueden, entonces, ser estáticas de vidas a las fuerzas

, respectivamente.

considerados como las deformaciones para cualquiera de los modos.

Para: i=1 (SISTEMA I)

Reemplazando en (1) y (2)

 3 +∅+∅∅ ∅∅……………………….  ∅……………. . 4 VI - 8



Para: i=2 (SISTEMA II) 2

2

m2w2Ø2

2

Ø2

2

Ø1

2

2

m1w2Ø1

Reemplazando en (1) y (2)

∅ ……………5 +∅+∅∅ ∅∅………………. …6

SISTEMA I

SISTEMA II

∅   ∅∅ ;   ∅ ∅  ∅ ∅

∅  ∅∅ ;   ∅ ∅  ∅ ∅

Fuerzas:

Fuerzas:

;

;

Desplazamientos:

Desplazamientos:

;

;

Esta interpretación como un problema estático, nos permite utilizar la teoría general para estructuras linealmente estáticas. En partículas, podemos hacer uso del TEOREMA DE BETTI, el cual establece lo siguiente: “En

una

estructura

sometida

a

dos

sistemas

de

fuerzas

y

sus

respectivos

desplazamientos, el trabajo efectuado por el primer sistema de fuerzas a lo largo de los desplazamientos producidas por el segundo sistema de fuerzas, es igual al trabajo que realiza este segundo sistema de fuerzas a lo largo de los desplazamientos producidos por el primer sistema”.

VI - 9



APLICANDO APLICANDO EL TEOREMA TEOREMA DE BETTI: BETTI:

Como:

 ≠ 

    ∅ . ∅ + ∅. ∅  ∅. ∅ + ∅. ∅ ∅ . ∅ + ∅. ∅  ∅. ∅ + ∅. ∅   (∅ . ∅ + ∅. ∅)  0

∅. ∅ + ∅. ∅  0

Que es la relación de ortogonalidad entre los modos

normales de un

sistema de 2 GDL. EXPRESANDO MATRICIALMENTE

∅ ∅ 0 0 ∅∅  0 ∅∅  0 ;

El modo 1 y 2 son ortogonales entre sí, por lo que estos son los modos principales del

sistema.

En general, para un sistema con “n” GDL

∅∅  0  ≠  ∅∅  1     ∅    ∅   , ; para ; para

En donde sistema.

(si los vectores son normalizados)

son dos vectores modales cualesquiera y son



es es la matriz de masa del

Otra condición de ortogonalidad se obtiene también respecto a la matriz de rigidez. De:

∅  ∅ VI - 10



Multiplicando por:

Para:

∅ ∅∅   ∅∅ 01  ≠  ∅∅  0    ∅∅  

Por lo tanto, una de las características de los modos es que son ortogonales respecto, no solo a matrices de masa y de rigidez, sino también a la matriz de amortiguamiento. 6.2.3 MÉTODOS DE CÁLCULO CÁLCULO DE LOS PERIODOS PERIODOS Y FORMAS FORMAS DE MODOS DE VIBRACIÓN A. MÉTODO DEL DEL POLINOMIO POLINOMIO CARACTERÍSTICO CARACTERÍSTICO Y VALORES PROPIOS. PROPIOS. B. MÉTODO ITERATIVO DE STODOLA Y HOLTZER. C. MÉTODO NUMÉRICO DE JACOBI. D. MÉTODO DE RAYLEIGH. A. MÉTODO DE POLINOMIO CARACTERÍSTICO CARACTERÍSTICO

   ∅  0 ∅ ≠ 0     0    Pλ  |  |  0

…. …. (1)

La ecuación tiene soluciones

, (no triviales es sin sentido), solamente si es

determinante si el determinante de la matriz de coeficiente es nulo.

Llamado:

; (valores propios)

… (2) (Polinomio característico) característico)

Al resolver la ecuación del determinante, determinante, se obtiene obtiene un polinomio característico característico y será del orden del número de GDL del sistema. Una vez calculado los valores propios, con la ecuación (2), se procede a calcular los vectores propios con la ecuación (1).

VI - 11



    ∅  0 Como la ecuación presenta (n-1) ecuaciones independientes, se recurre a la CONDICIONAL siguiente: 1. 2. 3.

∅∅  11 ∅ áá  1

6.2.4 PROBLEMAS DE APLICACIÓN PROBLEMA N° 01: Para la estructura mostrada en la figura, se pide: a) Encontrar los valores propios. b) Hallar los modos de vibración.

   0.196     0.131   120   100 

SOLUCION:

1) Cálculo y desarrollo del polinomio característico característi co Llamando

  

|  |  0   +   212000 110000

……………. (1)

En donde:

VI - 12



  0 0  0.1096 0.1031 0010.0196 1000. |  | . 2200. 0010.0131  0 |  |  2200. 2200.196961000. 1000.13131 100100  0.025675 48.42+12000  293. 5 16 1592.29

NOTA: Cuando se resuelva el polinomio característico siempre se anotaran las raíces de menor a mayo, es decir:

 ≤  ≤ ……………… ≤ 

2) Cálculo de las propiedades dinámicas.

Una vez que se ha resuelto el problema de valores propios y se han obtenido las raíces del polinomio características característi cas se pasa a calcular las frecuencias y los periodos de vibración de cada modo

 293.516→    17.132  →   2 0.366.  1592.29→    39.904  →   2 0.157.  ∅   ∅  0 162.14070086 61.5140904 ∅∅  00

3) Cálculo de los modos de vibración

Cada uno de los valores propios “ ”, ”, está asoci ado a un modo natural natural de vibración.

Estos modos de vibración indican la forma como va a responder la estructura y son ADIMENSIONALES. ADIMENSIONALES.

3.1) CALCULO DE 1er MODO DE VIBRACION:

.

VI - 13



Aparente mente se tiene dos ecuaciones con dos con dos incógnitas, incógnitas, pero eso no es cierto, ya que si a la 2da ecuación se multiplica multipli ca por -1.6247086, se obtiene la 1ra. Ecuación y es una de las características de los vectores propios SIEMPRE HAY UNA ECUACION MENOS. De tal manera que el sistema de ecuaciones es LINEALMENTE DEPENDIENTE, eso significa que hay una gran cantidad de VECTORES PROPIOS, que satisfacen la ecuación. Por ejemplo: Si:

Si:

 1,6247 ∅∴ ∅1→∅   1.61247 ∅∴1→ 1∅ →0.0∅.61550.6155 1

CÁLCULO DE MODOS NORMALIZADOS Al existir un infinito número de VECTORES propios, se habla de VECTORES PROPIOS NORMALIZADOS, la forma más común de normalizar los modos es en relación a las masas.

∅∅  

………………….. (1)

Donde “R” es una constante de normalización que puede tener cualquier valor. Algunos

consideran el valor promedio de las masas, otros normalizan de tal forma que R=1 (Método de Jacobi). Normalizaremos el modo de vibración encontrado para una constante de normalización

∅ ∝ ∅

igual a 1 (R=1) Llamando: En donde:

En (1):

………….. (2)

     ∅∅::          ∝:   óó ∝ ∅  ∝ ∅   VI - 14



∝   ∅ ∅

Expresión para cálculo de coeficientes de conversión.

Reemplazando Valores

̅̅∅ 1.61247 ∅  0.11961.62407    0 0.131 ∝1.3585727 R=1

Resolviendo: En (2)

∅ 1.3585727. 1.61247 ∴ ∅  1.2.1.32585727 072731 ∅   ∅ 92.10080884 108.15080999 ∅∅  00 ∅  1 92.08884∅  100∅  0 ∅ 0.9208881 ∴ ∅  0.920888

3.2) CALCULO DE 2do MODO DE VIBRACION:

.

Asumiendo: Asumiendo: Entonces:

2do Modo Normalizado: Calculando R=1

∝

VI - 15



1  ̅∅  0.920888 ̅∅  1 0.920888   0.1096 0.1031 ∝   ̅∅ ̅∅ 1.804533885 ∅ ∝ ̅∅ ∴ ∅  1.1.80453388 6617736 Estos dos modos de vibración encontrados, indican cómo se comportará la estructura bajo la acción de un sismo o de una excitación dinámica.

1. 8 0453388  ∅  1.2.1.32585727   ∅     072731 1. 6 617736  0.17.366. 132   39.0.1957. 04    PROBLEMA N° 02: Para el sistema de 2 niveles mostrada en la figura, determinar sus periodos y formas de modo de vibración (g=980cmseg 2).

VI - 16



W2=118ton

X2(t)

m2 K2=100ton/cm

W1=192ton

X1(t)

m1 K1=120ton/cm

SOLUCIÓN:

    192 <>1.5     128 <> <>  120<>1. 2  100<>

1.- Cálculo del Polinomio Característico.

Como:

Haciendo:

  0 0   1.50 0    +    2.2 

    0 2.2.21.5    0   ""     2.21.    2 11 .5 11  2.2.21.51    1111  0  1.5 3.7+1.20 VI - 17



 0.384151  2.08252

Resolviendo:

Siempre considerar:

 <  <  …

2.- Cálculo de frecuencia y periodos. Como:

  .        / 294. 116   √ √ π294.294.1π1617.150    .. 0.366      / 1594. 429    √ √ π1594. 1594.π42939.930      . 0.157    ∅  0  294.116  2.2.21.5   ∅∅  00 ∅ 1.0 1621.03077 611.50805 1.1∅.0  00 ∅ 1.624 ∅  1.1.6024 , entonces

(1er valor característico) característico)

(1ra frecuencia)

1er periodo (periodo fundamental) (2do valor valor característico característico))

(2da frecuencia)

2do periodo

3.- Cálculo de los modos de vibración. 1er Modo:

.

Condición adicional: .

Entonces:

VI - 18



2do Modo:

 1594.429  2.2.21.5   ∅∅  00 ∅ 1.0 921.03078 10180.2052 1.1∅.0  00 ∅ 0.924 ∅  0.1.9024 .

Condición adicional:

.

Entonces:

B. MÉTODO ITERATIVO DE STODOLA Y HOLTZER. B.1 MÉTODO ITERATIVO DE STODOLA STODOLA VIANELLO Nos permite determinar la primera frecuencia y su correspondiente modo de vibración del sistema.

Asumir

X3

X3

X3

m3

V3

K3

h3 X2

X2

V2

K2

h2 X1

X1

X1= X1

m1

MODELO CORTANTE

NOTA:

FI2

X 2

m2

K1

FI3

FI1 V1

h1

    ̈̈         →∆  ̈ →  + ∆      +  → ∆   →    + ∆    +  → ∆   →   ∆

1er MODO DE VIBRACION (W1)

  +  +; ó    VI - 19



Entonces:

  ̈ ̇  + + +   +   ̈ ∴      ̈     ̈     ̈      ∅  1        23 <> <> ∅∅ ≈ ∅  ;

;

Iniciar con:

PROBLEMA N° 03 Para el sistema de 3 niveles mostrado en la figura, determine el periodo fundamental y su correspondiente modo de vibración (g=980cm/seg 2). X3

W3=127ton

m3 K3=117ton/cm X2

W2=132ton

m2 K2=296ton/cm X1

W2=135ton

m1 K1=359ton/cm

Solución:

     <>1.063      <>1.039      <> <>   359<>3.068  296<>2.53  117<> ;

;

;

;

1ra Iteración 1.063

3.068K

1.039

2.53K

m

K

VI - 20



{? }

1.0

2.0

3.0

{FI}

1.063

2.078

3.0

2

mw1 2

{V}

6.141

5.078

3.0

mw1

{X}

2.002

2.007

3.0

mw1 k 2 mw1 k

2

{X}

2.002

4.009

7.009

{? cx}

1.0

2.002

3.501

{FI}

1.063

2.08

3.501

2da Iteración

2

mw1 2

{V}

6.644

5.581

3.501

mw1

{X}

2.166

2.206

3.501

mw1 k 2 mw1 k

{X}

2.166

{? cx} {FI}

2

4. 4.372

7.873

1.0

2.018

3.635

1.063

2.097

3.635

3ra Iteración 2

mw 1 2

{V}

6.795

5.732

3.635

mw 1

{X}

2.215

2.266

3.635

mw1 k 2 mw1 k

{X}

2.215

4.481

2

8.116

4ta Iteración {? cx}

1.0

2.023

3.664

{FI}

1.063

2.102

3.664

2

mw1 2

{V}

6.829

5.766

3.664

mw1

{X}

2.229

2.279

3.664

mw1 k 2 mw1 k

2

{X}

2.226

4.505

8.169

{? cx}

1.0

2.024

3.669

∴ ∅  2.3.1.0602469 2.2.226+4.505+8.16969   1.0+2.024+3.669 ∴  20.139    π  .π 0.312 (Periodo Fundamental)

VI - 21



B.2. METODO ITERATIVO DE HOLTZER: Una vez calculado el periodo fundamental y su correspondiente modo de vibración, se determinaran las demás frecuencias y modos de vibración por el método iterativo de Holtzer. Se asumen conocidas las frecuencias de los modos a calcular "



".

CRITERIO PARA ASUMIR FRECUENCIAS: (Para edificios de varios pisos)

X3 X3

x 3

m3

K3

X2 X2

x 2

m2

K2 X1 X1 m1

1  3  5  7  ⋯            → ∆   →    + ∆            → ∆   →    + ∆       ∆    →   ∆

x1

K1

Modo “i” (Asumo:

Para un valor asumido de:

)

      ≈0        . . . . .. Debe cumplirse:

EN GENERAL:



VI - 22



. . . . . .   

Graficando: Ri

2

2

2

w1

w2

w3

2

wi

PROBLEMA N° 04: Para el ejemplo anterior; se pide determinar la segunda y tercera frecuencia natural y su correspondiente forma de modo de vibración.

  5 ⇒  2025  ⁄   15 ⇒⇒  6075 ⁄  ;

m1= 0.138

K1= 359

m2= 0.135

K 2= 296

m3= 0.130

ton/cm

K 3= 117

2do. MODO DE VIBRACION:

 20252 ᴨ ⁄ >   45 ⁄    >  0.1396   2025/   2025 /   ∆∆    +  267.462 62 267. 267.36363 0.099≈0 10

1.269

-1.016

279.45

346.913

-267.462

79.55

-267.363

0.269

-2.285

359

1.0

VI - 23


ton-seg2 cm


3do. MODO DE VIBRACION:

∅  1.1.1.020070  6075 ⁄ 

 ∆∆       297. 297.376376  28.28.30707  326 326..043      ⁄   6280   1.866.064 0.606.715177 0.103.127683 ∆∆ 3591.0 507. 6 4 98. 5 37 1. 7 15 0. 8 42      103.68398.537 5.146  ≈0  62802ᴨ ⁄  ⇒  79.246 ⁄    ⇒   0.0.079079  ∅   0.0.1.10727015 1.00

-0.619

-0.377

838.35

-507.657

-297.736

359

-479.35

28.307

1.00

-1.169

0.242

!

Tanteando:

COMENTARIO:

El amortiguamiento que normalmente existe en una estructura es relativamente pequeña y prácticamente no afecta al cálculo de las frecuencias naturales y a los modos normales. Por lo tanto se desprecia el efecto del amortiguamiento cuando se determinan las frecuencias naturales y los modos normales de las estructuras. En consecuencia; en la práctica; el problema característico de una estructura amortiguada se resuelve omitiendo la amortiguación y usamos los mismos métodos empleados en esta sección.

VI - 24



6.2.5 PROBLEMAS PROPUESTOS PROBLEMA N° 01: Para el modelo dinámico de la estructura mostrada en la figura,

se

conocen

los

periodos

de

vibración

T2=0.136seg, T 3=0.079seg, correspondientes a la segunda y tercera forma de modo de vibración. Se pide determinar sus formas de modo de vibración. Normalice respecto a la matriz de masas y respecto a la matriz de rigideces cada modo de vibración. W1 = 135 ton; K 1 = 359 ton/cm W2 = 131 ton; K 2 = 296 ton/cm W3 = 127 ton; K 3 = 127 ton/cm

PROBLEMA N° 02: Considere un sistema de cuatro grados de libertad. a. Estime la frecuencia y el periodo fundamental de vibración utilizando el método de Rayleigh. b. Determine el periodo del tercer modo, considerando como hipótesis una forma de modo como Nivel 1 2 3 4

6.3

∅  1 0.5 1 1

Masas (ton-seg2 /m) 10 10 10 6.5

Rigidez (ton/cm) 34 34 34 33

SISTEMAS SISTEM AS CON MOVIMIENTO MOVIMIE NTO FORZADO AMORTIGUADO (ANÁLISIS SÍSMICO DE EDIFICACIONES) EDIFICACIONES)

6.3.1 MÉTODO MODAL TIEMPO-HISTORIA En el caso anterior hemos demostrado que el movimiento libre de un sistema dinámico puede expresarse en función de los modos en vibración libre. Ahora demostraremos que el movimiento forzado amortiguado de tal sistema también puede ser expresado en función de los modos normales de vibración, y que la respuesta total puede obtenerse mediante la superposición de las soluciones modales independientes.

VI - 25



En otras palabras, nuestro propósito en este caso es mostrar que los modos normales puede ser usado para transformar el sistema de ecuaciones diferenciales ACOPLADAS en un nuevo conjunto de ecuaciones diferenciales DESACOPLADAS, en el que cada ecuación contiene de una sola variable dependiente. Por lo tanto, el MÉTODO DE SUPERPOSICIÓN MODAL reduce el problema de encontrar la respuesta de un sistema con múltiples GDL a la determinación de las respuestas de sistemas de un solo GDL. Volviendo a la ecuación general del movimiento:

 . ẍ + . ⨰ + .   mn Kn

m

Fn(t) Cn F (t) 



K

m2 K2

m1 K1

C



F2(t) C2 F1(t) C1



La fuerza excitadora es la correspondiente a la fuerza inercial del sismo la misma que es representada como una aceleración horizontal en la base del edificio:

∴     ẍ   ẍ + ⨰ +    ẍ

NOTA: el desplazamiento es el relativo {x}

Remplazando:

Queremos transformar este sistema acoplado de ecuaciones diferenciales en un sistema de ecuaciones independientes o desacopladas en el que cada ecuación contenga solo una incógnita en función del tiempo. Primero es necesario expresar la solución en función de los modos normales multiplicados por factores que son funciones generales del tiempo y que definen la contribución de cada modo.

VI - 26



   ∅.     ∅  ∅  ∅  ∅  . . ∅  . . ∅   ∅ ∅ … ∅ … ∅   ∅ ∅ … ∅ … ∅        ∅ ∅ … ∅ … ∅   ∅ ∅ … ∅ … ∅  ̈̇   ∅ẏ   ∅ ӱ  ∅̈  + ∅̇  + ∅   ẍ ∅ ∅∅̈  + ∅∅̇  + ∅∅  ∅̈   ∅∅   ∅∅   ∅ ∅ ̈  + ̇  +   ∅̈  ⁞

⁞

⁞

⁞

⁞

⁞

⁞

⁞

⁞

⁞

.

⁞

⁞

Derivando una y otra vez:

Reemplazando:

Multiplicando por

:

En Donde: Gracias a la ortogonalidad de los modos normales, se encuentra: : Matriz diagonal de masa generalizada. :

: Matriz diagonal de amortiguamiento generalizado. : :

Matriz diagonal de rigidez generalizada.

Sustituyendo:

Por extensión:

VI - 27



  0 ̈̈    0 ̇̇  ⋱ ⋱ ⋮ ⋮ + . 0 ∝ ̇ ⋱ ̈⋮∝ ̇ 0 ∝ ̇ ⋱ ̇⋮∝ ̇ +  } {̈} {   } {̇} {   0  ∅∅ + 0 ⋱ ∝ ̇ ⋱ . ⋮⋮∝ ̇   ∅⋮⋮  } {} {∅} {   ̇ ̈  ̇ +  ̇ ̇  ̇ +  ̇ ̇  ̇  ∅̈  .

Para la masa genérica “ ”:

Desde el punto de vista matemático, lo que hemos conseguimos con esta ecuación es separar (desacoplar), con un cambio de variable, el sistema original de ecuaciones diferenciales. En consecuencia, cada ecuación corresponde a un sistema con un solo GDL. Dividiendo entre

Haciendo:

Además:

""

     ∅    ∝ ∝ ̇ ̇ ̈ ∝ ̇ + ∝ ̇ ̇ ∝ ̇ + ∝ ̇ ∝ ̇   ∝ ̇ ̈ ∝ ∝̇ ̇  2 ∝∝ ̇ ̇     ∅∅

   0   ∅∅ > 0 ⋱ 

 ∅∅ . ∅∅ … ∅ ⋮{∅}

  ∅    ̈ ∝ ̇ + 2̇ ∝ ̇ +  ∝ ̇   ∅∅  ̈.  VI - 28



FACTOR DE PARTICIPACIÓN MODAL

""



""

El factor de participación modal, define el porcentaje de participación del modo de vibración también es llamado factor de participación estática del modo . también

      ∑ ∅  ∅   ∝= ∝ =    ∅∅    ∑∝= ∅ 

El factor de participación modal (FPM), físicamente representa la energía contenida en el modo cuando la excitación es senoidal unitaria, es el "VALOR DE ESCALA" que mide la importancia del modo en el intercambio total de energía del sistema. Cuando los modos están normalizados con respecto a la matriz de masa, los factores de participación de masas se calculan con la expresión: Reemplazando:

     ∑=  ̈  + 2̇  +  ̈

La solución de esta ecuación diferencial puede obtenerse por cualquiera de los métodos existentes. En particular, la solución puede ser fácilmente expresada por medio de la integral de DUHAMEL, que es:

̈−− .sen 1          ∫ √ 1  √1 ≤20%    1   0.98≈        ∫ ̈−− sen    ∅∅ ∅∅ ⋯… ∅∅ ⋯⋯ ∅∅    ∅ ⇒  ̇ ⋮⋮  ∅⋮⋮ ̇ ∅⋮⋮ ̇ …⋱⋱ ∅⋮⋮ ̇ ⋯⋱⋱ ∅⋮⋮ ̇  ̇ ⋮⋮ {} [∅ ∅ ⋯ ∅ ⋯ ∅] {}

Edificaciones en general:

Por lo tanto:

Como:

VI - 29


ING. RONALD SANTANA TAPIA Masa “

” "" de de modo

.

  ∅ + ∅ +⋯+∅  +⋯+∅ X

m

Modo "i"

   = ∅     = ∅        ∅= ..  ∫ ̈−−. sen  



Ecuación para el cálculo del desplazamiento relativo a la base de una determinada masa " ". DETERMINACIÓN DE LAS FUERZAS SÍSMICAS DE INERCIA FUERZAS CORTANTES Y MOMENTOS DE VOLTEO: VOLTEO: Para el modo

""

VI - 30



X3

m3

K3

m2 X2

K2

X1

m1

K1

F3 =V3

C3

V3= K3x3= K3 (x3-x2)

F2=V2-V3

C2

V2= K2x 2= K2 (x2-x1)

F1=V1-V2

C1

V1= K1x1= K1x1

m3

h3

K3

C3

m2

h2

K2

F2

M3= F 3 h 3 = V3h3

C2

m1

h1

F3

K1

F1

M2= F 3 (h3+h2 ) + F 2 h2 = V3 h3+ V2 h2

C1

M1= F 3 (h3+h2+h1) + F 2 (h2+h1) + F1 h1 = V3 h3 + V2 h2+ V1 h1

Modelo cortante simple A. FUERZAS SÍSMICAS DE INERCIA: INERCIA:

    +       +                                   VI - 31



Expresando matricialmente:

  + + 0  .   0        .      10 11 11 .    0 0 1      .     ℎ0 ℎℎ ℎℎ .   0 0 ℎ     .  

B. FUERZAS CORTANTES

C. MOMENTOS DE VOLTEO:

6.3.1.1 PROBLEMAS PROBLEMAS DE APLICACIÓN PROBLEMA N° 01: El sistema sin amortiguamiento ( ԑ=0%) mostrado en la figura, es sometido a una fuerza de excitación de tipo armónica. Usando el método modal tiempo historia (cronológico), se pide determinar la respuesta de desplazamientos. Considerar la solución de estado permanente.

∅

I.

Usando los modos para la condición de amplitud

=1

II.

Usando los modos normalizados con respecto a la matriz de masa.

80  ; 150;  50; 16/ VI - 32



W2

X2(t)

m

K

W1

Fsen(wt) 0

X1(t)

2m

2K

SOLUCIÓN: I.


1° Formulación matricial Sabemos que:

∅

=1

 ̈  +       0 0  220 0    +   3     0 220 0  ̈̈ + 3    0 3| 22|0 0       0   0 3 2    0       0 3 32+2 2 5+2  0 ………………………..(1) ………………………..(1)

Acoplando Acoplando a la ecuación ecuación 1

2° Cálculo de los modos de vibración por el método de polinomio característico:

VI - 33



20   2 20   2 150/   261.1.26 6 150/  1045.23   280981/   280 981/    →  16.17 ,   2 →  0.39    →  32.33 ,   2 →  0.19   ∅  0  3    220 0  ∅∅  00 3 k2wk m k kwm ∅∅  00 3k2w  32 3 2 ∅  ∅  0 ∅ 1 ∅  3+2  3∗802∗16.8017 ∗150/981 0.499 ⇒ ∅  0.01.5   ∅  0  3    220 0  ∅∅  00 3 2    ∅∅  00 32 32 32∅ ∗∅  0

Resolviendo la ecuación obtenemos:

Modo: 1

Efectuando:


Modo: 2

Efectuando:

VI - 34



∅ 1 ∅  3+2  3∗802∗32.8033 ∗150/981 1.004 ⇒ ∅  111   ∅∅ ∅∅  ⇒   ∅ ̇̈   ∅̇̈          ∅   ̈  + ̈                   ∅  +  ∅        ∅  ̈  ∅ ∅ +∅ ∅  ∅ ∅  ∅∅ ∅∅  01.5 11 ∅  10.5 11 ∅∅  01.5 11 220 0  01.5 11  1.50 30  ∅∅  10.5 11 3  01.5 11  0.705 60  ∅  10.5 11 0  0.0.5 1.50 30  ̈̈  + 0.705 60    0.0.5 1.5∗̈̈  +0.75∗ 0.5………… 3∗   +6∗   …………


3° análisis modal

Derivando:

De la ecuación 1:

Multiplicando

Reemplazando:

VI - 35



La ecuación representa un movimiento forzado no amortiguado Dónde:

̈ +    1 / ,     ...    75∗80       0.01..755   1.50.∗150/981  1/  0.51/16106.75  19.9216 6∗80       366   3∗150/981  1/  1/16166   0. 1416 ∴     0.19.9124 16         ∅    01.5 11 0.19.9124 16 10.19.10.1708 16

Considerando solo movimiento permanente:

Como:

VI - 36



20 15 10 5 0

10

20 20

30

40

50

60

10

20 20

30

40

50

60

-5 -10 -15 -20

10 5 0 -5 -10

II.

Usando los modos normalizados con respecto a la matriz de masas.

Modos sin normalizar:

1° normalización de modos

∅  0.01.5 ∅  111 ∅∅      1 ∅ ∗ ∅  1 ∅  ∗ ∅  1    ∅1∅ ∅  ∅ ∅    ∅ 

Los modos normalizados serian:

VI - 37



1 2.088    0.5 1 2201 0  0.01.5   1.5∗150/981 1 1.4765    11 1 2201 0  111   3∗150/981 ∅ 2.08888 0.01.5  1.2.1.004488 765 111  1.1.1.44765765 ∅ 1.4765 ∅  ∅∅ ∅∅  12..004848 11.4.4776655 ⇒ ∅  11..0447465 12.4.078685 ∅̈  + ∅∅  ∅ ∅  ∅∅  11..0447465 12.4.078685 220 0  12..004848 11.4.4776655  6.504 6.504 ∅∅  11..0447465 12.4.078685 3  12..004848 11.4.4776655  3.207 13.008 ∅  11..0447465 12.4.078685 0  1.1.0444765 6.504 6.504 ̈̈  + 3.207 13.008   1.1.0444765 6.54∗̈ ̈  +3.27∗ 1.044………… 6.54∗  +13.08∗  1.4765………… ̈ +    1/ ,     ...

Por lo tanto los modos normalizados serian:

La ecuación representa un movimiento forzado no amortiguado

Dónde:

VI - 38



Considerando solo movimiento permanente:

Como:

   27∗80       6.3.3.5247   6.53.4∗150/981  1/  1.0441 /16163.27  9.3214316 08∗80       16.3.5048   6.53.4∗150/981  1/  1.47651  161/613. 08   0. 093416 ∴     0.9.321430934 16         ∅    12..004848 11.4.4776655 0.9.32143093416 19.9.83695252 16

VI - 39



PROBLEMA N° 02:

̈ 3/

Al sistema del problema anterior, se le somete esta vez a un movimiento de la base definido por I. II. III. IV. V. VI.

. Se pide determinar:

Los modos de vibración normalizados con respecto a la matriz de masa. Los modos de vibración normalizados con respecto a la matriz de rigideces Usando los modos para la condición de amplitud =1 Los factores de participación modal (FPM), con los modos del ítem (I) Los factores de participación modal (FPM), con los modos del ítem (III) La respuesta tiempo historia de desplazamientos relativos del sistema.

∅

W2

X2(t)

m

K

W1

X1(t)

2m

2K

Xg (O)

SOLUCIÓN: m

X2(t)

m

K

2m

X2(t)

F2 () -m2Xg

X1(t)

F1()

K

X1(t)

2K

<>

2m

-m1Xg

2K

Xg ()

Sistema equivalente (desplazamientos relativos)

VI - 40



I.

Usando los modos de vibración normalizados normalizados con respecto a la matriz de masa.

1° Formulación matricial

  ̈ +       0 0  220 0    +   3        ̈̈ 220 0  ̈̈ + 3    ̈̈ 0.0.5 |  |  0 11 ∅   1  ∅   1  ∅∅ ;    1 ∅  ∗ ∅  1    ∅1∅ ∅  ∅ ∅    ∅  1 2.088    0.5 1 2201 0  0.01.5   1.5∗150/981 1 1.4765    11 1 2201 0  111   3∗150/981

Sabemos que:

………………………..(ec. 01) ………………………..(ec.

Por lo tanto:

Acoplando Acoplando a la ecuación ecuación 1

2° Cálculo de los modos de vibración:

Normalización de modos.


VI - 41




II.

∅ 2.08888 0.01.5  1.2.1.004488 765 111  1.1.1.44765765 ∅ 1.4765

Calculo de los modos de vibración normalizados con respecto a la matriz de rigideces

∅∅  ;    1 ∅  ∗ ∅  1    ∅∅ ∅  ∅ ∅    ∅  16.17 2.066    0.5 1 3  0.0.5   0.5∗150/981   1 32.33 1.4756    11 1  3   11   6∗150/981   1 ∅ 2.06666 0.01.5  1.2.1.004488 756 111  1.1.1.44756756 ∅ 1.4756 ∅   16.1717 / /   16.1717 / /

1) Normalización Normalizaci ón de modos.



III.


=1

Del problema anterior tenemos:

VI - 42



  ∅  0  3    220 0  ∅∅  00 3 k2wk m k kwm ∅∅  00 3k2w  32 3 2  ∗ ∅ ∗∅  0 ∅  1  ∅  3+2    3∗802∗16.8017 ∗150/981 2.0 ⇒ ∅  12   ∅  0  3    220 0  ∅∅  00 32    ∅∅  00 32 ∅ ∗∅  0  32 3 2 ∅  1 ∅  3+2   3∗802∗32.803 3 ∗150/981 0.996 ⇒ ∅  11    ∅     ∅∅  2 2        1 . 0 4 4 2 . 0 8 8    ∅       ∅∅  1.044 2.088 220 0  1.2.1.004488 0.63857

Modo: 1

Efectuando:


Modo: 2

Efectuando:


IV.

Los factores de participación modal (FPM), con los modos del ítem (I)

VI - 43



V.

VI.

 63.857% 22        1 . 4 7 6 5 1 . 4 7 6 5    ∅       ∅∅  1.4765 1.4765 220 0  1.1.1.44765765 0.22576  22.576%   ∅     ∅∅  2 2        1 2     ∅     ∅∅  1 2 220 0  12 0.6667  66.67%22       1 1     ∅     ∅∅  1 1 220 0  11  0.3333  33.33%

Los factores de participación modal (FPM), con los modos del ítem (III)

La respuesta tiempo historia de desplazamientos relativos del sistema. 1) análisis modal

Derivando:

  ∅∅ ∅∅  ⇒   ∅ ̇̈   ∅̇̈          ∅   ̈  + ̈                   ∅  +  ∅        ∅  ̈  ⇒ ∅ ∅ + ∅∅  ∅ ∅  ∅∅ ∅∅  12 11 

De la ecuación 1:

Multiplicando

VI - 44



⇒ ∅  11 12  ∅∅  11 12  220 0  12 11   660 30  ∅∅  11 12  3  12 11   330 60  ∅  11 12  ̈̈  ̈̈ 2̈̈ 660 30  ̈̈  + 330 60    ̈̈ 2̈̈  ̈  2  6∗̈̈  +3∗  ̈̈ 2̈ ̈  ………… 3∗ +6∗  + ………… ̈ +̇ +   ̈   1  ∫ −− ∗   0%    1 ∫   ̈ ̈   2         ∫     ̈2 ̈ 1   ̈+ ̈ 1 3∗80  16.174174 //       633   6∗150/981 6∗80  32.3535 /       366   3∗150/981 /

La ecuación representa una excitación por movimiento en la base. Dónde:

Como (

VI - 45



Entonces tenemos:

Como:

150 150     2∗ 2 ∗ 3  3  2 ∗ 3  3 981 981  2 ∗ 150981 ∗16.174 116.174 1500.02294116. 1 74  150     2∗ 2 ∗ 3  3 + 3  3 981 981  150981 ∗32.35 132.35  0. 002866132. 3 5  22941116. 1 74  ∴     0.0.0.0002866 32.35         ∅  22941116. 1 74    12 11  0.0.0.0002866  32. 3 5      22944588 116. 1 16. 1 74 74 +0. 0 02826 02826 132. 1 32. 3 5 5   0.0.0.002294 4588116. 116.17474 0.002826 02826132. 132.355 20 15 10 5 0

10

20 20

30

40

50

60

20

30

40

50

60

-5 -10 -15 -20

10 5 0

10

-5 -10

VI - 46

SISTEMA DE MÚLTIPLES GRADOS DE LIBERTAD


6.3.1.2 PROBLEMAS PROPUESTOS PROBLEMA N° 01 Para una estructura idealizada con un modelo de masas acopladas de dos grados de libertad, se tiene la siguiente matriz de rigidez lateral (en ton/m):

,-   

Los pesos (en ton) asociados a los grados de libertad 1 y 2 son 120 y 100, respectivamente, respectivamente, las formas f ormas de modo y frecuencias asociadas a la estructura son: NIVEL 1 2



FORMAS DE MODO MODO 1 MODO 2 1 1 2.2685493 -0.5289724 4952.445

25599.246

 ̈     

Si la estructura está sujeta a un movimiento en la base de la forma , y considerando un amortiguamiento crítico del 5% para todos los modos, determinar: a. Forma de modos normalizadas respecto a la matriz de masas. b. Factores de de participación participación estática de cada modo. Considerando solo la respuesta permanente debido al movimiento de la base: c. d. e. f.

Ecuaciones modales debido a la excitación sísmica. Desplazamientos Desplazamiento s de piso en función del tiempo. Fuerzas de piso en función del tiempo. Desplazamientos Desplazamiento s de piso y fuerzas de piso cuando t=1seg.

PROBLEMA N° 02 Determinar el máximo desplazamiento desplazamiento relativo del apéndice en el estado constante; si: M=100m K=50k

̈      

 

VI - 47

    


6.3.2 MÉTODO MODAL ESPECTRAL

       ∫  ̈    A.

VECTOR DESPLAZAMIENTOS: DESPLAZAMIENTOS:

Para la masa “α” del modo “i”:

       Si se dispone de un espectro de respuesta:

Ejemplo:

 | |    ||        

“sistema con 3 GDL”

VI - 48


n=3 Nivel:

Nivel:

Nivel:

                       

En forma vectorial:

           En general: “Para sistemas con n GDL”

*⏟+  *+  *+   *+   {}    {} Total

Modo 1

Modo 2

 

Para el modo “ ”:

Como:

  

Modo 3

Modo i

Modo n

Se observa que se cumple el principio de superposición.

* +  *   +  *   +  *   + {}  *+ {}    *+ VI - 49


Además:

  

{}    *+



”. Expresión para el cálculo del vector de desplazamientos del modo “ ”.

B.

FUERZA SÍSMICA INERCIAL:



Para la masa “α” del modo “ ”: ”:

       ||  ||

Se dispone de un espectro de respuesta:

  ||      

||   ∑   VI - 50


Ejemplo: “sistema con 3 GDL”

n=3 Nivel

Nivel

Nivel



:

                                              :

:

Expresado en forma vectorial:

           En general para sistemas con “n” GDL:

TOTAL

* +   ()   ()   ()     (( )     () MODO 1

MODO 2

 

MODO 3

MODO i


* +  * +  * +  * +    { }    * +

Para el modo “ ”: ”:

VI - 51

MODO n


{ } { }





”. Expresión para el cálculo del vector de fuerzas sísmicas del modo “ ”.

Otra forma:

{ }  ,-{}



Esta expresión nos permite obtener el vector de fuerzas sísmicas para cada modo de vibración, mediante el producto de la matriz de rigidez lateral de la estructura para los desplazamientos de cada modo.

C.

FUERZA CORTANTE:



Para la masa “α” del modo “ ”: ”:

             VI - 52


Ejemplo: “sistema con 3 GDL”

n=3 Nivel: α=1

  ∑  ∑            

                         Nivel: α=2

  ∑  ∑            

                Nivel: α=3

  ∑  ∑                   

Expresando en forma vectorial:

                                         VI - 53

ING. RONALD SANTANA TAPIA En general “para sistemas con n GDL”: G DL”:

   *⏟+                     MODO 1

TOTAL

MODO 2

MODO 3

MODO i



MODO n


*+  *  +  *  +  *  +    {  }    *  + 

Para el modo “ ”: ”:

 {}    





Expresión para el cálculo del vector de fuerzas cortantes del modo “ ”. ”.

Otra Forma:

{ }  ,-{} ,-   ;

D.

  

MOMENTO DE VOLTEO:

     VI - 54


                      

Se sugiere al lector demostrar:

 {}      MÉTODO SÍSMICO ESTÁTICO Fuerza cortante máxima en la base para el modo de vibración



-esimo y su distribución en altura de la edificación -esimo



Del modo “ ”: ”:

{ } } { } VI - 55

ING. RONALD SANTANA TAPIA Nivel “k”:

 

        ∑ 

………………

(1)

………………

(2)

Fuerza cortante en la base:

(1) en (2):

        

Despejando:

      ∑  

En función de pesos:

Si:

{} 



  ∑       Corresponde a una deformada linealmente elástica.

VI - 56


En función de alturas:



              ∑ 

Expresión que corresponde al código peruano de diseño sismorresistente.

CRITERIOS DE COMBINACION MODAL: 1) SUMA ABSOLUTA (Límite superior)

||  ||  ||  ||  ||   ||  ||  ||  

2) MEDIA CUADRATICA (Límite inferior)

3°) PROMEDIO DE LA SUMATORIA ABSOLUTA Y LA MEDIA CUADRATICA

 ∑   √ ||  

NORMA PERUANA (2003) (NTE-E030)

|| | ||    | ||     VI - 57


6.3.2.1 PROBLEMAS DE APLICACIÓN PROBLEMA Nº 01

Para el sistema de 3 niveles de concreto armado mostrado en la figura, determine. 1. 2. 3. 4.

El vector de desplazamientos El vector de fuerzas inerciales El vector de fuerzas cortantes El vector vector de de momentos momentos de volteo volteo

Por los métodos siguientes: Análisis dinámico (modal espectral)  Análisis estático (fuerzas estáticas equivalentes) 

ANÁLISIS DIRECCIÓN DEL SISMO SISMO X-X

Para ambos análisis se hará uso del código peruano de diseño sismo resistente (NTE-E030). DATOS:  UBICACIÓN: Lima pueblo libre  USO: oficinas  SISTEMA: Mixto o Dual Tipo , suelo sobre el que se cimentará.  SUELO:



VI - 58


SOLUCIÓN:


I.

MÉTODO SÍSMICO DINÁMICO:

1° Paso: Formulación matricial para el Análisis Dinámico.

                                            

           ,-                          ,-          =

=

VI - 59


2° Paso:

Cálculo de los periodos y formas de modo de vibración. De la ecuación dinámica:

,- {}   ,- {} Aplicando los métodos iterativos de Stodola y Holtzer o el programa de computo JACOBI se obtuvo.

            * +               * +             * +   ,

,

,

,

,

,

3° Paso: Cálculo de los factores de participación modal (FPMi)

   { }   *+,*-*+ + VI - 60




Modo 1:

  * +                  *  +                  ∑        ∑             

En general:

Modo 2:

Modo 3:

              Además:

     4° Paso: Cálculo de la aceleración espectral: (Sai) Norma: (NTE-E030).

      Parámetros sísmicos: Z=0.4 (Lima) U=1.0 (Oficinas) S=1.0 (Suelo rígido)

    

R=7.0 (Sistema Mixto o Dual)

VI - 61

… (1)


Estructuras en general: Tomar:

    

; Para estructuras estructuras regulares. ; Para estructuras Irregulares.

  

Además:

         ./       

Modo 1:

,

, OK

En (1):

Modo 2:

      ./          ,

En (1):

,

Modo 3:

      ./           ,

En (1):

ACELERACION ACELERACION ESPECTRAL (Sa)

VI - 62

,

SISTEMA DE MÚLTIPLES GRADOS DE LIBERTAD Para cada modo de vibración de la estructura: Z U S R

0.4 1.0 1.0 7.0 0.4



DATOS Lima Oficinas Suelo Rígido Sistema Dual Periodo del suelo

Formulas:

            

ACELERACIÓN ESPECTRAL T (seg) C Sa ( 0.00 0.10 0.20 0.30 0.35 0.38 0.39 0.40 0.41 0.45 0.50 0.55 0.60 0.70

2.500 2.500 2.500 2.500 2.500 2.500 2.500 2.500 2.439 2.222 2.000 1.818 1.667 1.429

140.143 140.143 140.143 140.143 140.143 140.143 140.143 140.143 136.725 124.571 112.114 101.922 93.429 80.082



RESULTADOS DE Sa ( MODO T (seg) C 1 2 3

0.534 0.195 0.138

VI - 63

)

1.873 2.500 2.500

) Sa

104.976 140.143 140.143




ESPECTRO TEÓRICO (NTE-E030)

Sa vs T

5° Paso: Calculo del vector de desplazamientos.

{}   {}          * +       

Modo 1:

Modo 2:

Modo 3:

         * +                       * +       

Combinación modal:

|| ∑| ∑||   ∑|∑|| VI - 64

…. (1)


En (1):

| | | | | |                      ||  ||||  |||| ||||       | | | | | |      |       |       |       ||    |||| ||||||||              *+       

Norma: (NTE-E030) ( NTE-E030)

Los desplazamientos obtenidos del análisis elástico, deberán corregirse por 0.75R. Para nuestro caso: (R=7)

   *+       *+   


VI - 65


Verificación: “Desplazamientos L aterales”

          

(Estructuras de concreto)

Primer piso:

ok!

Segundo piso:

Tercer piso:

6° Paso:

ok!

ok!

Cálculo del vector Fuerzas Sísmicas.

{} }   Modo 1:

           * +      

             * +                   * +                  

Modo 2:

Modo 3:

VI - 66


Combinación Modal:

||  ||                ∑     ∑| |   

       *+   

7° Paso:

Cálculo del vector de fuerzas cortantes.

{}  ,-{} En donde:

,- 

Matriz cuadrada, diagonal superior con unos de coeficientes.

Modo 1:

*+         VI - 67


Modo 2:

Modo 3:

              *+        

* +  

Combinación modal:

||  ||                      | |   

        { }     

VI - 68


8° Paso:

Cálculo del vector momento de volteo.

{}  ,-{}

En donde:

,-

= matriz cuadrada, diagonal superior cuyos coeficientes corresponden a los valores de las alturas de los entrepisos. Modo 1:

            

     * +    Modo 2:

            

     * +    Modo 3:

              

     * +    Combinación modal:

||  ||                     | |       VI - 69


     *+       II.

MÉTODO SÍSMICO ESTÁTICO:

1° Paso: Cálculo del Cortante Basal.

   

En donde: Z U S R

 Además:

Periodo fundamental f undamental::

Altura total del edificio: edificio:

0.4 1.0 1.0 7.0 0.4

… (1)

DATOS Lima Oficinas Suelo Rígido Sistema Dual Periodo del suelo



  ./                 VI - 70


                      

Sistema mixto:

Peso total del edificio:

                  


             

2° Paso:

Distribución de “V” en altura .

  ∑      

; Fuerza Horizontal en la Base del Edificio

NIVEL 1 2 3 TOTAL

500 440 400 1340

4.3 7.8 10.8

VI - 71

2150 3432 4320 9902

41.565 66.349 83.516 191.430



191.430 149.865 83.516


3° Paso: Vector de Fuerzas Sísmicas.

4° Paso:

       *+   

Vector de Fuerzas Cortantes.

       *+    VI - 72


5° Paso: Vector de Desplazamientos. Desplazamientos.

NIVEL 1 2 3

          ⁄   

191.43 149.865 83.516

325 270 315

0.589 0.555 0.265

0.589 1.144 1.409

Norma: (NTE-E030) ( NTE-E030) De igual manera, los desplazamientos obtenidos por este método, deberán corregirse por 0.75R para obtener los desplazamientos reales.

       *+      

ANÁLISIS DE DIRECCIÓN DEL DEL SISMO X-X

Verificación: “Desplazamientos L aterales”

 

(Estructuras de concreto)

VI - 73


Primer Piso:

     

NO CUMPLE!

Segundo Piso:

     

OK!

OK!

Tercer Piso:

      COMENTARIO:

Para el desplazamiento lateral del Primer piso, no cumple con la norma, por lo tanto debe rigidizarse más la estructura en dicha dirección de análisis. Para el análisis dinámico:

Para el análisis estático:

         

Podemos mencionar que, en cuanto al análisis estático, la diferencia es ajustada. Respecto al análisis dinámico cumple sobradamente. Por lo tanto, la decisión de reestructuración y recalculo, es exclusivamente exclusivamente del diseñador, si queremos queremos ser más conservadores. 6° Paso: Vector de Momentos de Volteo.

{}  ,-{} En donde:



: Matriz cuadrada, diagonal superior cuyos coeficientes coeficient es corresponden a los valores de las alturas de los entrepisos.

VI - 74


               *+      

     *+       PROBLEMA Nº 02 Para la estructura que se muestra en la figura 1 y 2 sometida a una onda sísmica representada por el espectro de respuesta de la f igura 3 determine para dirección X:

a) Considerando Considerando los grados de libertad, determine determine sus periodos y formas de modo de vibración. b) Despreciando la masa del mezzanine y considerar a la estructura como sistema de un grado de libertad, determine la fuerza cortante que toma cada columna. Las Columnas de Las Columnas de

 

de altura son: de altura son:

   

    

Considere que la rigidez lateral de las columnas es igual al 70% de la rigidez como elementos empotrados en sus extremos. Igualmente .

VI - 75


PLANTA Fig.1

ELEVACIÓN TÍPICA Fig.2

ESPECTRO DE RESPUESTA DE DESPLAZAMIENTO Fig.3

VI - 76


SOLUCIÓN: 1° Paso: Cálculos previos.

C-1:

C-2:

Módulo de elasticidad:

                                           √   √ √    VI - 77


2° Paso: Modelamiento. Considerando 2° GDL

3° Paso:

                                  

Ecuaciones de Equilibrio Dinámico.

           ̈  ̈           

VI - 78


         ̈  ̈            ̈̈      23   ,-     0  1 ,-     0 1

Expresando matricialmente: matricialmente:

Polinomio característico:

         |,-   ,-|        ,-  ,-                 *+  23              *+  23 VI - 79


4° Paso: Considerando 1 GDL y despreciando la masa del mezzanine. Modelamiento:

                          

Cálculo de desplazamiento

Del gráfico Sd Vs T:

        VI - 80


Cálculo de la fuerza inercial

Como:

                                        

En las columnas C-1

En las columnas: C-2

PROBLEMA Nº 03

Para la estructura de concreto armado que se muestra determinar: a) Los periodos y formas de modo de vibración. b) Despreciando Despreciando la masa del mezzazine, el periodo de vibración, los valores espectrales y la fuerza cortante que toma cada columna.

                

VI - 81


Espectro elástico de diseño de aceleración absoluta

SOLUCIÓN: 1° Paso:

        VI - 82


DCL:

                           

Para la masa

Para la masa



  ̈           ̇    ̇    ̇    ̈   ̇     ̇            ̈      ̇        ̇    ̇    ̈   ̇   ̇           

… (1)

… (2)

Matricialmente:

VI - 83


    ̈̈   0 1  ̇̇         ,-* ̈ +  ,-* ̇+  ,-*+  *+ ,-{ ̈ }  ,-*+  *+         *+  *+  ̇ +  *+   *   *̈ +  *+       *+   

En general:

Considerando movimiento libre:

Derivando:

Remplazando:

,- *+    ,- *+    *+ [,-   ,-]*+  *+ ,-*+   ,-*+  *+

Aplicando Polinomio característico: característico:

,-*+  *+ ,          |,-  ,-|  

Condición adicional: Det

a) Calculo de Periodos y Formas de modo de vibración: a.1) PERIODOS

,-     0 1 ,-     0 1 VI - 84


  |,-  ,-|         0 1   0 1                            √                 √           

a.2) MODOS DE VIBRACIÓN: MODO 1:

[,-  ,-]*+  *+ 0 1   0 1   23

                        Condición adicional:

VI - 85


              2 3      2 3 MODO 2:

[,-  ,-]*+  *+  0 1   0 1   23


  

         23      23 b) Calculo en la parte „‟b‟‟

        

Calculo de la Rigidez (K)

             VI - 86


       Calculo de la Frecuencia (W)

             Calculo de la Periodo (T)

Valor Espectral:

Con:

   

         

                              VI - 87


                                                  

Calculo de la Fuerza Cortante: Cortante Basal ( ):

Cortante en Columnas:

EJE „‟D‟‟

VI - 88


6.3.2.2 PROBLEMAS PROPUESTOS PROBLEMA N° 01 Para el sistema de masas acopladas de tres grados de libertad mostrada en la figura, se han obtenido las propiedades dinámicas para cada modo de vibración:

NIVEL



1 2 3

(rad/seg) T (seg)

FORMAS DE MODO MODO 1

MODO 2

MODO 3

0.5367 0.9903 1.2371

-1.1075 -0.3709 1.1166

-0.8157 1.1551 -0.7020

260.970 16.155 0.389

1742.474 41.743 0.151

3460.181 58.823 0.107

Se pide: a. Verificar que las formas de modo están normalizadas con respecto a la matriz de masas, si la masa esta expresada en (kN-seg 2/m). b. Calcular los Factores de Participación Modal (FPM) de cada modo. Usando el espectro de diseño y la combinación modal de la norma peruana, para Z=0.3; U=1.5; R=7.5 y S=1.4 (T P=0.9seg), determinar mediante un análisis modal espectral: c. Los desplazamientos desplazamient os de piso. d. Los desplazamientos desplazamientos de entrepiso. entrepiso. e. Las Cortantes de entrepiso. entrepiso. f. Las Fuerzas de piso.

PROBLEMA N° 02 La estructura mostrada está ubicada en la ciudad de Huancayo. Será usada para vivienda y está asentada sobre un suelo que ha sido clasificado como intermedio. Tiene un total de ocho pisos. Las vigas son de 25cmx50cm y las columnas de 30cmx60cm. Las placas tienen un espesor de 25cm. La losa es un aligerado de 20cm que pesa 300 kg/m². Considerar 100 kg/m² de acabados y 200 kg/m² de tabiquería, donde sea aplicable. La sobrecarga es de 200 kg/m² en el piso típico y 100 kg/m² en la azotea. La altura del piso típico es 3m, 3m , la del primero 4m y el último piso 2.8m. Usando

VI - 89


el Método de Fuerzas Estáticas Equivalentes Equivalentes de la Norma E-0.30, para el análisis en la dirección Y, determinar: a. El peso correspondiente a cada piso, con precisión ingenieríl, evitando duplicar los pesos. Puede considerar el peso específico del concreto 2.4 ton/m 3. Considere que la rigidez de las columnas es igual al 70% de la rigidez en la condición de perfectamente empotrado; para el caso de las placas considere empotrado en la base y libre en el extremo superior, se pide:

b. Calcular

el

entrepiso

y

desplazamiento desplazamient o verificar

con

lateral los

de

valores

admisibles de la norma E-030. c. Determinar las fuerzas sísmicas sísmicas de piso. piso. d. Determinar

las

fuerzas

cortantes

de

entrepiso. e. Determinar los momentos de volteo de pisos. f. Para los ítem c y d, dibujar dibujar los diagramas diagramas correspondientes de la variación en altura, sin escala pero guardando las proporciones

PROBLEMA N° 03 Para los espectros de aceleraciones que se muestran en la figura, calcular y dibujar los espectros de desplazamientos relativos correspondientes, desde T=0 hasta T=2seg. Comente las diferencias.

VI - 90


PROBLEMA N° 04 La estructura aporticada de concreto armado (f` c=210kg/cm²) cuyos detalles se muestran en la Figura 3(a), está sometida a un sismo representado por el espectro de aceleraciones del evento sísmico del 31/05/1970 (Huaraz), Figura 3(b), se pide: a. Considerando los dos grados de libertad, determine sus periodos y formas de modo de vibración. b. Aplicando el análisis dinámico modal espectral, determine la fuerza cortante que toma cada columna. Considerar Z=0.3, U=1; S 2=1.2 (Tp=0.6); R=7. Considere que la rigidez lateral de las columnas es igual al 70% de la rigidez como elementos empotrados en sus extremos. VIGAS: (0.30x0.60) m 2 ; COLUMNAS: =0.40m Wmezannine =1.50ton/m2 ; Wnivel superior =0.90ton/m =0.90ton/m2

Figura 3(a)

VI - 91


Espectro de Respuesta de Aceleraciones (Sismo Huaraz Mayo 1970) 1.4

1.2

1 5% ) g ( a S

0.8

10%

0.6

0.4

0.2

0 -

0.50

1.00

1.50

2.00

T (seg)

Figura 3(b) PROBLEMA N° 05 Sea un edificio de cuatro pisos destinado a central de comunicaciones, situado en Huancayo y asentado sobre un suelo intermedio. La estructura es un sistema dual de concreto armado. La altura del primer piso es 4.50m y los otros tres pisos son de 3m el “piso” quinto corresponde a un tanque elevado. Como se sabe, la fuerza lateral sísmica

en los tanques elevados de los edificios se puede calcular con el procedimiento simple de la norma NTE E-030 (Cap. 6, Art. 23). Es un error calcularla con la expresión que se usa para determinar el cortante en la base del edificio, porque el tanque no está sobre el terreno, realmente interactúa con el conjunto del edificio. Con esas consideraciones y con los resultados de los periodos y formas de modo de vibración de los tres primeros modos en la dirección de análisis que se consignan en la tabla, se pide calcular: a. La fuerza sísmica en el tanque elevado, usando el método estático de Fuerzas Estáticas Equivalentes contemplado en la norma NTE E-030. b. La fuerza sísmica en el tanque elevado, usando el análisis dinámico modal espectral con las especificaciones de la norma NTE E-030. c. La fuerza sísmica sísmica calculada con el procedimiento procedimiento simplificado. simplificado. ¿Qué variación variación tiene respecto a la fuerza calculada en los ítems a y b? d. El máximo desplazamiento desplazamient o relativo del primer piso.

VI - 92

SISTEMA DE MÚLTIPLES GRADOS DE LIBERTAD Nivel

1er. Modo

2do. Modo

3er. Modo

5 4 3 2 1 Periodo (seg)

0.6087 0.5347 0.4507 0.3319 0.1741

-0.9041 -0.1940 0.1267 0.2816 0.2226

0.8746 -0.3249 -0.1433 0.1889 0.2706

0.329

0.129

0.098

Masa (ton-seg2 /m) 5.00 22.29 26.75 26.75 26.75

PROBLEMA N° 06 Se proyectó una estructura aporticada de concreto armado de un piso para vivienda, ubicada en Huancavelica, y cimentada sobre un suelo que podría clasificarse como tipo S2 (suelo intermedio). En el proyecto, las columnas tenían una sección 0.25mx0.50m, orientadas en la misma dirección. Pero al construir el edificio se hizo la columna A-2 con la orientación cambiada, como se muestra en la planta. Para esta condición del problema y usando el análisis estático de la Norma E-030, para hallar el cortante del entrepiso, se pide determinar para la dirección X del sismo, la fuerza cortante de diseño para cada columna de acuerdo a la norma E-030, considerando el efecto de torsión en planta. El peso de la edificación puede estimarse considerando 1ton/m 2 de área techada. Para el cálculo de la rigideces laterales de las columnas, las vigas pueden considerarse como infinitamente infinitamente rígidas. Suponga que el módulo de elasticidad del concreto es E=250000 kg/cm 2. Si el esfuerzo de corte resistente máximo del concreto es 7.5 kg/cm 2, defina si la columna A-2 es capaz de resistir el cortante que le corresponde (use un factor de mayoración de 1.25 para el cálculo del esfuerzo ultimo).

VI - 93


PROBLEMA N° 07 Como resultado de resolver el problema de valores y vectores característicos se han obtenido los siguientes resultados para las formas de modo y sus correspondientes periodos de vibración para un sistema de cuatro grados de libertad.

Masa

Nivel

1er modo

2do modo

3er modo

4

0.17679389

0.04570077

-0.08441333 -0.084413 33

22.29

3

0.09086774

0.10215215

-0.03175121 -0.031751 21

26.75

2

0.05294662

-0.09973948 -0.099739 48

0.1199779

26.75

1

0.01667639

-0.12353062 -0.123530 62

-0.12666009 -0.126660 09

26.75

Período (seg.)

0.312

0.080

0.045

(ton-seg²/m)

Usando el espectro de diseño de la norma E-030 para: Z = 0.4; U = 1.5; R = 7.5 y S = 1.4 (Tp = 0.9 seg), se pide determinar mediante mediante un análisis dinámico modal espectral: a. Verificar el Art. 18.2, ítem c, de la norma E-030, que a la letra dice: “En cada dirección se considerarán considera rán aquellos modos de vibración cuya suma de masas efectivas sea por lo menos el 90% de la masa de la estructura, estruct ura, pero deberá tomarse en cuenta por lo menos los tres primeros modos predominantes en la dirección de análisis”.

b. La Cortante Basal. c. El desplazamiento desplazamient o del último piso.

PROBLEMA N° 08 La estructura de concreto armado mostrada en la figura, está ubicada en el distrito de Chilca - Huancayo. Será usada para oficinas y está asentada sobre un suelo que ha sido clasificado como intermedio. Tiene un total de ocho pisos. Las vigas son de 25cmx40cm y las columnas de 30cmx60cm. Las placas tienen un espesor de 20cm. La losa es un aligerado de 20cm que pesa 300kg/m². Considerar 100kg/m² de acabados y 200kg/m² de tabiquería, donde sea aplicable. La sobrecarga es de 250kg/m² en el piso típico y 100kg/m² en la azotea. La altura del piso típico es 3m y la del primero 4m. Usando el Método de Fuerzas Estáticas Equivalentes de la Norma E030, para la dirección de análisis X, se pide:

VI - 94


a. Calcular el peso correspondiente correspondiente a cada piso y el peso total del edificio, edificio, realizando realizando un metrado de cargas con gran precisión ingenieríl. Puede considerar el peso específico del concreto 2.4 ton/m 3. b. Calcular el cortante cortant e en la base de la edificación. edificación . c.

Determinar las fuerzas fuerzas sísmicas sísmicas en cada cada piso y las fuerzas cortantes en cada entrepiso.

Y

8m

8m

8m

5m

5m

X PLANTA

PROBLEMA N° 09 Un edificio de 03 pisos destinado a oficinas, estructurado como un sistema dual de pórticos con muros de concreto armado, configuración en planta: Irregular, fue analizado con un modelo de cortante en ambas direcciones principales. Habiendo resuelto el problema de valores y vectores característicos, se han obtenido las formas de modo normalizadas respecto a la matriz de masas. Usando el espectro de diseño de la norma peruana; - Ubicación: Huancayo - El Tambo; - Suelo: Grava Compacta, Determine: a. Verifique que las formas de modo están normalizadas con respecto a la matriz de masas. b. Factores de participación participaci ón estática de cada modo. Mediante un análisis dinámico modal espectral, usando la norma peruana E-030: c. Desplazamientos Desplazamientos relativos de de entrepiso. Compare Compare con el límite admisible admisible de la Norma E030 y diga si cumple con tal requerimiento. d. Fuerzas de piso.

VI - 95


Piso

h (m)

Masa (t-s2 /cm)

Rigidez (t/cm)

1er Modo

2do Modo

3er Modo

1

4.5

0.50

300

0.5257775793

-1.1210393195

-0.6832486965

2

3.5

0.50

350

0.8747158670

-0.2497102238

1.0828282209

3

3.0

0.45

400

1.0319507358

0.8698120157

-0.6330299823

135.437

1144.076

2409.376

2

(rad/seg2)

PROBLEMA N° 10 La estructura cuya planta se adjunta está ubicada en Huancavelica. Será usada para oficinas y está asentada sobre un suelo que ha sido clasificado como intermedio. Tiene un total de diez diez pisos, cada uno de 3.6m. Por simplicidad simplicidad se puede considerar considerar que el conjunto de losas, vigas, columnas y sobrecarga pesa 1.2 ton/m 2 y el área de cada piso es de 200 m 2. Usando el Método de Fuerzas Estáticas Equivalentes de la Norma E-030, determinar las fuerzas sísmicas de piso y las fuerzas cortantes de entrepiso. Dibujar los diagramas correspondientes de la variación en altura de las fuerzas sísmicas y cortantes.

Muros de corte

PLANTA

VI - 96

TORSIÓN EN PLANTA

CAPÍTULO VII TORSIÓN EN PLANTA Cuando una estructura es afectada por la acción de un sismo se generan no solamente fuerzas inerciales en los niveles de losas si no también momentos de torsión en planta que deben deben

ser considerados considerados en el análisis como parte

complementaria del análisis sísmica plano. El análisis de la torsión en planta se realiza para cada entrepiso individualmente. individualmen te. El efecto de la torsión en planta genera incremento en la fuerza cortante de los elementos verticales para ambas direcciones principales.

7.1

DEFINICIONES DEFINICI ONES GENERALES

7.1.1 CENTRO DE MASA. Punto donde actúa la fuerza inercial sísmica en un piso G (X G,YG) Y

Y

FX1 G1

FXi Gi

FY1

FYi X

Piso: 1

X

Piso: “i”

Y

FXn Gn FYn X

Piso: “n”

VII - 1

ING. RONALD SANTANA TAPIA Para el piso “i”:

    ∑    ∑ 

    ∑    ∑ 

 

m = Numero de elementos verticales en el piso “i” α = Elemento genérico

7.1.2 CENTRO DE RIGIDEZ. Punto de resistencia de los elementos verticales en un entrepiso R (X R,YR) Para el entrepiso “i”:

m = Numero de elementos verticales

;

α = Elemento genérico

Y A

B

C

D

E

F

G

H

I

y  x 

J

L

 M

N

O X



          ∑ 

            ∑ 

7.1.3 CENTRO DE CORTANTES. Punto donde actúa la fuerza cortante en un entrepiso. V (X V,YV) Para el entrepiso entrepiso “i”:

m = Numero de elementos verticales β = Elemento genérico

VII - 2

TORSIÓN EN PLANTA

         ∑ 

         ∑ 

7.2 FUERZA CORTANTE PARA UN ENTREPISO Para el entrepiso “i”: Dirección “X”

         

Dirección “Y”

     

7.3 CORTANTE DIRECTO Para el entrepiso “i”, cuando el centro de cortante Vi coincide con el centro de rigidez Ri, el desplazamiento desplazamiento que experimenta es exclusivamente exclusivamente de traslación:

  

Para el entrepiso “i”: Dirección “X”

 

Dirección “Y”

δ

Hxi

Vi,Ri

V = Y  . δ

Vi,Ri

V = X  . δ

Hyi

δ 

Para un elemento “α”

           ∑   ∑   

           ∑   ∑    VII - 3


El reparto o disminución del cortante de un entrepiso es proporcional a la rigidez de cada elemento vertical.

7.4 CORTANTE POR TOSIÓN EN PLANTA ( Vi ǂ Ri ) Cuando el centro de cortante “V i” no coincide con el centro de rigidez “Ri” se produce

la excentricidad teórica o natural generándose el efecto del momento torsionante.

7.4.1 CORTANTE POR TORSIÓN TEÓRICA Para el entrepiso “i”: Dirección “X”

Dirección “Y”

y'

Y

Y

Mtxi

Mtyi x'

Ri o

Hxi

y'

o

eyi

Hxi

x'

Ri exi

Vi

Hyi

Vi Hyi

X

X

Por torsión:

        

        

Para el elemento “α”

Ubicación: (X α, Yα) Dirección “X”

 ⁄            VII - 4

TORSIÓN EN PLANTA

 ⁄             Dirección “Y”

 ⁄             ⁄             En donde: Momento Polar de Inercia del piso “i”.

                        DEMOSTRACIÓN: Dirección de Análisis X – X

o

Mtxi Ri

Ri

Hxi

o

Hxi

eyi

<>

Vi

Vi

Entrepiso i, elemento α: δ

Mtxi Ri Hxi

Mtxi Ri

Ri

o

Hxi

Vi

=

o

o Vi

+

Vi 

Traslación pura

VII - 5

Rotación Pura


y'

Y

θ

δ =  . 

 δ 

Mtxi Ri Hxi

o

x'

 



v

θ

 =  .  δ 

v  Y

X

X

En X:

δ  δ  δ     

Desplazamiento Desplazamiento total en X. ………. (1)

En Y:

δ  δ   

Desplazamiento Desplazamiento total en Y. ………. (2)

En X´ – Y´:

          De (1) se conoce:

  ∑    Cortante directo o por efecto de traslación.

VII - 6

TORSIÓN EN PLANTA

Por torsión:

               

………………… (3) ………………… (4)

Además:

         

………………… (5) ………………… (6)

Para el entrepiso “i”

            (5) y (6) en (7):

                (3) y (4) en (8):

                    [       ]    Como:

           Además:

    En (9):

  [       ]  

   VII - 7


Momento Polar de Inercia: J i

                                  (10) en (9):

         (11) en (3) y (4):

       ⁄                   ⁄             En la dirección “Y”

De forma similar.

        En donde:

  ∑  VII - 8

TORSIÓN EN PLANTA

Por lo tanto:



⁄            ⁄            Algunos Investigadores Recomiendan:

  )   ( (  (    )  ( Por ejemplo: Dirección “X”:

100%HX; 30%HY

      |  | Dirección “Y”:

100%HY; 30%HX

      |  | 7.4.2 CORTANTE POR TORSIÓN ACCIDENTAL NTE E-030: La incertidumbre en la localización de los centros de masa en cada nivel, se considerarán mediante una excentricidad accidental perpendicular a la dirección del sismo igual a 5% veces la dimensión del edificio en la dirección perpendicular a la dirección de análisis. En cada casi se deberá considerarse el signo más desfavorable. Se puede suponer que las condiciones mas desfavorables se obtienen considerando las excentricidades accidentales con el mismo signo en todos los niveles. Se considerarán únicamente los incrementos de las fuerzas fuerzas horizontales horizontales no así las disminuciones. Para el piso “i”: Dirección “X” :

       VII - 9


)       (  ) )        (  ) Dirección “Y”

       )       (  ) )        (  ) 7.5 CORTANTE DE DISEÑO: Para cada dirección de análisis, el cortante de diseño de cada elemento vertical “” del entrepiso “i”, se tomará el mayor valor de entre:

a)

      

Cuando el cortante directo se incrementa por la cortante teórica, se amplifica en (1.5). Es decir cuando b)

  

tienen el mismo signo.

      

Cuando el cortante directo disminuye por la cortante teórica (no se amplifica). Es decir cuando c)

  

tienen signos diferentes.

  

El cortante de diseño no deberá ser menor que el cortante directo.

VII - 10

TORSIÓN EN PLANTA

7.6


PROBLEMA N° 01: Para la estructura aporticada de concreto armado (fć=210kg/cm 2) mostrada en la figura, se pide determinar para los elementos verticales: verticales: a)

El cortante directo.

b)

El cortante por torsión teórica

c)

El cortante por torsión accidental

d)

El cortante de diseño

Considere el análisis para ambas direcciones “X” e ”Y” Y

Y

B

B

8m A

8m

X

8m 2

1

8m A

8m 1

3

1RA PLANTA

X

8m 2

3

2DA PLANTA

COLUMANAS: Fx2 = Fy2 = 10 ton

1er Piso:

   

Fx1 = Fy1 = 10 ton

2do Piso:

    SOLUCIÓN: 1.

Cálculos previos:

1.1.

Cálculo del centro de Masas

Y

Y

FX1 G1

FX2 G2

FY1

FY2

X

X

1er Piso: G1 = (8,4) m

2do Piso: G2 = (12,4) m

VII - 11


1.2.

Cálculo del centro de rigidez

1er piso:

   ∑    ∑     ∑    ∑                            2do piso:

   ∑    ∑     ∑    ∑                            VII - 12

TORSIÓN EN PLANTA

1.3.

Cálculo del Centro de Cortante

1er piso:

         ∑                      ∑             2do piso:

       

         ∑ 

                  ∑           

        VII - 13


2.

CÁLCULO DE LA FUERZA CORTANTE

DIRECCIÓ N “X”

1er piso

2do piso:

3.

DIRECCIÓ N “Y”

              

              

1er piso

       

       





2do piso:

            

            

CÁLCULO DE LA CORTANTE DIRECTO

Para el entrepiso “i”

DIRECCIÓN “X”

DIRECCIÓ N “Y”

   ∑  

   ∑  

Elemento vertical

Elemento vertical

1er Piso:

1er Piso:

  ∑    PRIMER PISO:

  ∑           RIGIDEZ



COLUMNA

1 2 3

A1 A2 A3



K Ton/cm 12 12 12

VII - 14



K Ton/cm 12 12 12

DIRECCIÓN DIRECCIÓN X Y V K Ton Ton 3.333 3.333 3.333 3.333 3.333 3.333





TORSIÓN EN PLANTA

4 5 6

B1 B2 B3

12 12 12 72

TOTAL

12 12 12 72

2do Piso:

3.333 3.333 3.333 20

3.333 3.333 3.333 20

2do Piso:

  ∑    SEGUNDO PISO:

  ∑           RIGIDEZ



COLUMNA

1 2 3 4

A2 A3 B2 B3





K Ton/cm 12 12 12 12 48

TOTAL

Y

DIRECCIN X V Ton 2.50 2.50 2.50 2.50 10



Ton/cm 12 12 12 12 48

DIRECCIN Y



Ton 2.50 2.50 2.50 2.50 10

Y

3.333

3.333

3.333

3.333

3.333

3.333

3.333

2.250 2.250

3.333

3.333

2.250

2.250

2.250

2.250

X 3.333

3.333

3.333

2.250

1er Piso

2.250

2do Piso

4

CORTANTE POR TORSIÓN EN PLANTA

4.1

CÁLCULO DEL CORTANTE POR TORSIÓN TEÓRICA

1er PISO: DIRECCION “X”

DIRECCION “X”

        

         VII - 15

X


        (   )               (    )          

Elemento “ ”

Ubicación: Ubicación: (

)

DIRECCIÓN “X”:

DIRECCIÓN “Y”:

     (   )            ( )           En donde:   ∑   (  )  ∑   (   ) PRIMER PISO:

    

RIGIDEZ

   (  )  (   )





COLUMNA

1 2 3 4

A1 A2 A3 B1

5

B2

12

6

B3

12

UBICACIÓN

(ton/cm) (ton/cm) 12 12 12 12 12 12 12 12

0 8 16 0

0 0 0 8

192 192 192 192

768 0 768 768

12

8

8

192

0

12

16

8

192

768

1152

3072

SUMA=

 

VII - 16

TORSIÓN EN PLANTA

PRIMER PISO: MOMENTOS TORSORES DIRECCIÓN X DIRECCIÓN Y

DATOS GENERALES

                

               

            

FUERZA CORTANTE CORTANTE POR TORSIÓN TEÓRICA RIGIDEZ DIRECCIÓN X COLUMNA K K V V Ton/cm Ton/cm Ton Ton 1 A1 12 12 0 0 2 A2 12 12 0 0 3 A3 12 12 0 0 4 B1 12 12 0 0 5 B2 12 12 0 0 6 B3 12 12 0 0











DIRECCIÓN Y V V Ton Ton -0.455 -0.909 -0.455 0 -0.455 0.909 0.455 -0.909 0.455 0 0.455 0.909



2do PISO: DIRECCIÓ N “X”:

DIRECCIÓ N “Y”:

    

       

       (   )                (    )          

Elemento

:


DIRECCIÓN “X”:

VII - 17




DIRECCIÓN “Y”:

    (   )            ( )                       (  )       (   )

En donde:





SEGUNDO PISO:

    (    )     ( )         RIGIDEZ



COLUMNA

1 2 3 4

A2 A3 B2 B3

UBICACION

Ton/cm Ton/cm 12 12 12 12 12 12 12 12 SUMA=

m 8 16 8 16

m 0 0 8 8

 

K .

K

192 192 192 192 768

192 192 192 192 768

SEGUNDO PISO: DATOS GENERALES

MOMENTOS TORSORES DIRECCIÓN X

                  

                            

FUERZA CORTANTE CORTANTE POR TORSIÓN TEÓRICA RIGIDEZ UBICACIÓN COLUMNA K K Ton/cm Ton/cm m m 2 A2 12 12 8 0 3 A3 12 12 16 0 5 B2 12 12 8 8 6 B3 12 12 16 8





DIRECCIÓN Y

  

VII - 18

DIRECCIÓN X V K Ton Ton 0 0 0 0 0 0 0 0





DIRECCIÓN Y V K Ton Ton 0 0 0 0 0 0 0 0





TORSIÓN EN PLANTA

Y 0.00

0.909 0.455

0.909

0.455

0.455

0.00

0.909

0.909

X 0.455

0.455

0.455

1er. Piso

Y 0.00

0.00

0.00

0.00

0.00

0.00

X 0.00

0.00

2do. Piso

4.2

CÁLCULO DEL CORTANTE POR TORSIÓN TORSIÓ N ACCIDENTAL

1er PISO: DIRECCION “X”:

      

DIRECCION “Y”:

      





DIRECCION “X”:

   

     (  )      (   ) 



VII - 19

ING. RONALD SANTANA TAPIA DIRECCION “Y”:

     (  )      (   ) 



PRIMER PISO: MOMENTOS TORSORES DIRECCIÓN X

DATOS GENERALES

DIRECCIÓN Y

                                                  







FUERZA CORTANTE CORTANTE POR TORSIÓN ACCIDENTAL



COLUMNA

1 2 3 4 5 6

A1 A2 A3 B1 B2 B3

RIGIDEZ K K

UBICACION

  

Ton/cm

Ton/cm

12 12 12 12 12 12

12 12 12 12 12 12

m 0 8 16 0 8 16

 m 0 0 0 8 8 8

DIRECCIÓN X V Ton Ton 0.091 0.182 0.091 0.000 0.091 0.182 0.091 0.182 0.091 0.000 0.091 0.182

 

DIRECCIÓN Y V Ton Ton 0.182 0.364 0.182 0.00 0.182 0.364 0.182 0.364 0.182 0.000 0.182 0.364

2do. PISO: DIRECCIÓ N “X”:

      

DIRECCIÓ N “y”:

      





DIRECCIÓ N “X”:

   

     (  )      (   ) 



VII - 20

 

TORSIÓN EN PLANTA


     (  )      (   ) 



SEGUNDO PISO:

MOMENTOS TORSORES DIRECCIÓN X

DATOS GENERALES

                 

DIRECCIÓN Y

                               









FUERZA CORTANTE CORTANTE POR TORSIÓN ACCIDENTAL



COLUMNA

2 3 5 6

A2 A3 B2 B3

RIGIDEZ K K

UBICACIÓN

   

Ton/cm

Ton/cm

12 12 12 12

12 12 12 12

m 8 16 8 16

m 0 0 8 8

DIRECCIÓN X V V Ton Ton 0.125 0.125 0.125 0.125 0.125 0.125 0.125 0.125





Y 0.00

+ - 0.364

+0.182

+0.364

+0.364

+0.182

+ - 0.364

0.00 +0.182

+ - 0.182

+0.182

1er Piso

VII - 21

+0.182

X

DIRECCIÓN Y V V Ton Ton 0.125 0.125 0.125 0.125 0.125 0.125 0.125 0.125






Y +- 0.125

+- 0.125

+- 0.125

+- 0.125

+ - 0.125

+- 0.125

+- 0.125

X

+- 0.125

2do. Piso

5. CORTANTE CORTANTE DE DISEÑO Para ambas direcciones de análisis “X” e “Y”

                                

Para el entrepiso elemento “”





FUERZA CORTANTE DIRECTO Y 3.333

3.333

3.333

3.333

3.333

3.333

3.333

3.333

3.333

X 3.333

3.333

1er Piso

VII - 22

3.333

TORSIÓN EN PLANTA

Y 2.250

2.250 2.250

2.250

2.250

2.250

2.250

2.250

X

FUERZA CORTANTE POR TORSIÓN TEÓRICA

Y 0.00

0.909 0.455

0.909

0.455

0.455

0.00

0.909

0.909

X 0.455

0.455

0.455

1er. Piso

Y 0.00

0.00 0.00

0.00

0.00

0.00 0.00

VII - 23

0.00

X


FUERZA CORTANTE POR TORSIÓN ACCIDENTAL

Y 0.00

+ - 0.364

+0.182

+0.364

+0.364

+0.182

+0.364

0.00 +0.182

+0.182

+0.182

+0.182

X

1er Piso

Y + - 0.125

+0.125

+ - 0.125

+0.125

+0.125

+0.125 + - 0.125

2do Piso

1er Piso: Dirección X: Columna A1

       {                     

Dirección Y: Columna A3

                            

VII - 24

+0.125

X

TORSIÓN EN PLANTA

PRIMER PISO: FUERZA CORTANTE DE DISEÑO DIRECCIÓN X COLUMNA

Vdirecto (Ton)

Vtorteor (Ton)

A1 A2 A3 B1 B2 B3

3.333 3.333 3.333 3.333 3.333 3.333

-0.455 -0.455 -0.455 0.455 0.455 0.455

Vtoracc (Ton) 0.182 0.182 0.182 0.182 0.182 0.182 

DIRECCIÓN Y Vdiseño (Ton) 3.06 3.06 3.06 4.198 4.198 4.198

3.333 3.333 3.333 4.198 4.198 4.198

Vdirecto (Ton)

Vtorteor (Ton)

3.333 3.333 3.333 3.333 3.333 3.333

-0.909 0.000 0.909 -0.909 0.000 0.909

Vtoracc (Ton) 0.364 0.00 0.364 0.364 0.00 0.364 

Vdiseño (Ton) 2.788 3.333 5.061 2.788 3.333 5.061

3.333 3.333 5.061 3.333 3.333 5.061

2do Piso: Dirección X: Columna A2

              

Dirección Y: Columna A2

                      

SEGUNDO PISO: FUERZA CORTANTE DE DISEÑO DIRE DIREC CCI N X VtorVtor- acc teor (Ton) (Ton)

Vdiseño (Ton)

COLUMNA

Vdirecto (Ton)

A2

2.5

0.00

1.125

2.625

2.625

2.5

0.00

0.125

2.625

2.625

A3

2.5

0.00

1.125

2.625

2.625

2.5

0.00

0.125

2.625

2.625

B2

2.5

0.00

1.125

2.625

2.625

2.5

0.00

0.125

2.625

2.625

B3

2.5

0.00

1.125

2.625

2.625

2.5

0.00

0.125

2.625

2.625

VII - 25

Vdirecto (Ton)

DIRE DIREC CCI N Y VtorVtor- acc teor (Ton) (Ton)

Vdiseño (Ton)


PR0BLEMA N° 02 Se muestra una estructura de tres, se pide determinar para cada elemento vertical. a) El cortante directo b) El cortante por torsión teórica c) El cortante por torsión accidental d) El cortante de diseño Fx3 = Fy3 = 12.3 ton

2

1

Fx2 = Fy2 = 10 ton

8m Fx1 = Fy1 = 8.1 ton

3

4 6m

1. Kx = Ky = 18.5 Ton/cm 2. Kx = 1.6 Ton/cm Ky = 149.6 Ton/cm 3. Kx = 16.7Ton/cm Ky = 26.3 Ton/cm 4. Kx = 149.6Ton/cm Ky = 1.6 Ton/cm

SOUCIÓN 1 Cálculo del centro de Masa.

Y

Y

FX1 G1

FXn Gn

8m

FYn

FY1 6m

8m

X

6m

VII - 26

X

TORSIÓN EN PLANTA

1er Piso: G 1 = (3,4) m 2do Piso: G2 = (3,4) m 3er Piso: G 3 = (3,4) m 1.1 Cálculo del centro de rigidez 1er, 2do y 3er piso

   ∑    ∑     ∑    ∑                                                          1.2

Cálculo Del Centro De Cortante

1er piso:

         ∑                  

VII - 27


         ∑                           2do piso:

         ∑ 

                         ∑                

       

3er piso:

         ∑ 

   

VII - 28

TORSIÓN EN PLANTA

               ∑           2

       

CÁLCULO DE LA FUERZA CORTANTE

DIRECCIÓ N “X”

1er piso

DIRECCIÓN “Y”

                

1er piso

                                    

2do piso:

3er piso:

VII - 29

              

                                      

2do piso:

3er piso:


3

CALCULO DE LA CORTANTE DIRECTO

DIRECCIÓ N “X”

DIRECCIÓ N “Y”

   ∑  

   ∑  

Elemento vertical

Elemento vertical

1er Piso:

1er Piso:

  ∑    PRIMER PISO

  ∑           RIGIDEZ



COLUMNA

1 2 3 4

1 2 3 4 TOTAL





K Ton/cm 18.5 1.6 16.7 149.6 186.4

2do Piso:

K Ton/cm 18.5 149.6 26.3 1.6 196





3.02

2.87

0.26

23.20

2.72

4.08

24.40

0.25

30.4

30.4

2do Piso:

  ∑   SEGUNDO PISO



DIRECCIÓN DIRECCIÓN X Y V K Ton/cm Ton/cm

  ∑           RIGIDEZ

COLUMNA



K Ton/cm

VII - 30



K Ton/cm






TORSIÓN EN PLANTA

1 2 3 4

1 2 3 4

18.5 1.6 16.7 149.6 186.4

TOTAL

18.5 149.6 26.3 1.6 196

2do Piso:

2.21

2.10

0.19

17.02

2.00

2.99

17.90

0.18

22.3

22.3

2do Piso:

  ∑   SEGUNDO PISO

  ∑           RIGIDEZ



COLUMNA

1 2 3 4

1 2 3 4 TOTAL



K Ton/cm 18.5 1.6 16.7 149.6 186.4



K Ton/cm 18.5 149.6 26.3 1.6 196






1.22

1.16

0.11

9.39

1.10

1.65

9.87

0.10

12.3

12.3

5

CORTANTE POR TORSION EN PLANTA

5.1

CALCULO DEL CORTARTE POR TORSIÓN TEÓRICA

1er PISO

2er PISO

DIRECCIÓ N “X”

DIRECCIÓN “X”

           

        

Elemento “ ”


)

VII - 31


DIRECCIÓN “X”:

    (   )                (    )           DIRECCIÓN “Y”:

    (   )            ( )             ∑   (  )  ∑   (   )         (  ) (   ) 

En donde:

RIGIDEZ

UBICACIÓN

COLUMNA

1 2 3

1 2 3

4

4

 

16514.56

(ton/cm) (ton/cm) 18.5 18.5 1.6 149.6 16.7 26.3 149.6 1.6 SUMA=

0 6 6

8 8 0

870.6026

943.1226

1.18336

7626.54816

12.35132

19.45148

0

0

7040.11616

1.18336

7924.25344

8590.3056



MOMENTOS TORSORES DATOS GENERALES DIRECCIÓN X

                

                

VII - 32

DIRECCIÓN Y

            

TORSIÓN EN PLANTA

FUERZA CORTANTE CORTANTE POR TORSIÓN TEÓRICA



COLUMNA

1 2 3 4

1 2 3 4

RIGIDEZ K K Ton/cm Ton/cm 18.5 18.5 1.6 149.6 16.7 26.3 149.6 1.6





DIRECCIÓN X V V Ton/cm Ton/cm





DIRECCIÓN Y V V Ton/cm Ton/cm



-0.111

0.094

0.057

-0.049

-0.010

0.008

-0.046

3.608

0.603

-0.511

-0.475

0.634

5.400

-4.574

0.464

-0.004

2do piso: DIRECCIÓ N “X”:


      

       

        (   )                (    )          

ELEMENTO



:


DIRECCIÓN “X”:

DIRECCIÓN “Y”:

     (   )            ( )           EN DONDE:

            (  )       (   )

VII - 33


SEGUNDO PISO X Y

    

COLUMNA

1 2 3 4

 (  ) (   )     

RIGIDEZ

1 2 3 4



UBICACIÓN K .

K K Ton/cm Ton/cm 18.5 18.5 1.6 149.6 16.7 26.3 149.6 1.6 SUMA=

m 0 6 6 0

m 8 8 0 0

K

V Ton/cm

K Ton/cm

870.6026

943.1226

1.18336

7626.54816

12.35132

19.45148

7040.11616

1.18336

7924.25344

8590.3056

  SEGUNDO PISO MOMENTOS TORSORES DATOS GENERALES

DIRECCIÓN X

DIRECCIÓN Y

                                                  

FUERZA CORTANTE POR TORSIÓN TEÓRICA



COLUMNA

1 2 3 4

1 2 3 4

RIGI RIGIDE DEZ Z K K Ton/cm Ton/cm 12 12 12 12 12 12 12 12





UBIC UBICAC ACII N





8 16 16 8

0 0 8 8

DIRE DIRECC CCII N X V K Ton/cm Ton/cm





DIRE DIRECC CCII N Y V K Ton/cm Ton/cm



-0.081

0.069

0.042

-0.036

-0.007

0.006

-0.033

2.642

0.443

-0.374

-0.349

0.464

3.965

-3.349

0.340

-0.003

3er piso: DIRECCIÓN “X”:


      

       

  

ELEMENTO

:


VII - 34



TORSIÓN EN PLANTA

DIRECCIÓN “X”:

    (   )                (    )           DIRECCIÓN “Y”:

    (   )            ( )                       (  )       (   )

EN DONDE:





TERCER PISO X Y

    

COLUMNA

1 2 3 4

1 2 3 4

 (  ) (   )     

RIGIDEZ



K K Ton/cm Ton/cm 18.5 18.5 1.6 149.6 16.7 26.3 149.6 1.6 SUMA=

UBICACIÓN K . m 0 6 6 0

m 8 8 0 0

 

SEGUNDO PISO MOMENTOS TORSORES DATOS GENERALES

DIRECCIÓN X

K

V Ton/cm

K Ton/cm

870.6026

943.1226

1.18336

7626.54816

12.35132

19.45148

7040.11616

1.18336

7924.25344

8590.3056

DIRECCIÓN Y

                                                 VII - 35


FUERZA CORTANTE CORTANTE POR TORSIÓN TEÓRICA RIGIDEZ UBICACIÓN DIRECCIÓN X DIRECCIÓN Y COLUMNA K K V K V K Ton/cm Ton/cm Ton/cm Ton/cm Ton/cm Ton/cm -0.045 0.038 0.0 23 0.023 -0.020 1 1 18.5 18.5 8 0 -0.004 0.003 -0.018 1.461 2 2 1.6 149.6 16 0 0.244 -0.207 -0.193 0.257 3 3 16.7 26.3 16 8 2.187 -1.852 0.188 -0.002 4 4 149.6 1.6 8 8





  









4.2 CALCULO DEL CORTANTE POR TORSIÓN ACCIDENTAL 1er PISO DIRECCIÓN “X”:

     

DIRECCION “X”:


1er PISO DIRECCIÓ N “y”:

     

      {       (  )       (   )       (  )       (   )

SEGUNDO PISO MOMENTOS TORSORES DATOS GENERALES

DIRECCIÓN X

DIRECCIÓN Y

                                               16514.56

VII - 36

TORSIÓN EN PLANTA

FUERZA CORTANTE CORTANTE POR TORSIÓN TORSIÓN TEÓRICA TEÓRICA



COLUMN A

1 2 3 4

1 2 3 4

RIGI RIGIDE DEZ Z K K Ton/cm Ton/cm









18.5 1.6 16.7 149.6

18.5 149.6 26.3 1.6

0 8 16 0

0 0 0 8

2do PISO DIRECCIÓ N “X”:

     

Elemento “

UBIC UBICAC ACIO ION N





DIRE DIRECC CCII N X V K Ton/cm Ton/c m





DIRE DIRECC CCII N Y V K Ton/cm Ton/cm





0.015

0.012

0.008

-0.006

0.001

0.001

-0.006

0.447

-0.083

-0.063

-0.066

0.079

-0.746

-0.567

0.064

-0.001

2do PISO DIRECCIÓ N “y”:

     

      {       (  )       (   )       (  )       (   )

DATOS GENERALES

SEGUNDO PISO MOMENTOS TORSORES DIRECCIÓN X

DIRECCIÓN Y

                                                                                           16514.56

VII - 37


FUERZA CORTANTE CORTANTE POR TORSIÓN TEÓRICA



COLUMNA

1 2 3 4

1 2 3 4

RIGIDEZ K K Ton/cm Ton/cm 18.5 18.5 1.6 149.6 16.7 26.3 149.6 1.6





UBICACIÓN





8 16 8 16

0 0 8 8

3er PISO DIRECCIÓ N “X”:

Elemento “

DIRECCIÓN X V K Ton/cm Ton/cm





DIRECCIÓN Y V K Ton/cm Ton/cm





0.011

0.009

0.006

-0.004

0.001

0.001

-0.005

0.328

-0.062

-0.046

-0.049

0.058

-0.554

-0.416

0.048

0.000

3er PISO DIRECCIÓ N “y”:

                   {       (  )       (   )       (  )       (   )



SEGUNDO PISO MOMENTOS TORSORES DIRECCIÓN X

DATOS GENERALES

                    16514.56

DIRECCIÓN Y

         

   

         

FUERZA CORTANTE CORTANTE POR TORSIÓN TEORICA



COLUMNA

1 2 3 4

1 2 3 4

RIGIDEZ K Ton/cm 18.5 1.6 16.7 149.6





K Ton/cm 18.5 149.6 26.3 1.6

UBICACION

DIRECCIÓN X V K Ton/cm Ton/cm



 

8 16 8 16

0 0 8 8

VII - 38



DIRECCIÓN Y V K Ton/cm Ton/cm





0.006

0.005

0.003

-0.002

0.001

0.000

-0.003

0.181

-0.034

-0.026

-0.027

0.032

-0.306

-0.229

0.026

0.000

TORSIÓN EN PLANTA

5. CORTANTE CORTANTE DE DISEÑO Para ambas direcciones de análisis “X” e “Y”

                                          

Para el entrepiso elemento “

1er Piso: Dirección -X Columna 1-1

       {       Columna 2-2

                                     

Dirección -y

Columna A1

       {                                       

Columna B3

VII - 39

ING. RONALD SANTANA TAPIA DIRE DIRECC CCII N X

DIREC IRECC CI N Y

COLUMNA

VDirecto (Ton)

Vtorteor (Ton)

Vtoracc (Ton)

VDiseño (Ton)

VDirecto (Ton)

Vtorteor (Ton)

Vtoracc (Ton)

1

3.02

-0.111

3.02

6.207

2

0.26

-0.01

0.26

3

2.72

0.603

4

24.4

5.4

VDiseño (Ton)

3.02

2.87

0.094

2.87 2 .87

5.599

5.599

0.535

0.26

23.2

0.008

23.2 23. 2

46.388

46. 388

2.72

4.536

2.72

4.08

-0.511

4.08

8.927

8.927

24.4

40.700

24.4

0.25

-4.574

0.25

7.361

7.361

PROBLEMA N° 03: Se proyectó un tanque de agua de concreto armado sobre un edificio para vivienda multifamiliar ubicada en Arequipa. En el proyecto las columnas del soporte del tanque tenían una sección de 0.25mx0.40m orientados en la misma dirección Pero al construir el edificio se hizo la columna A-2 con la orientación cambiada, como se muestra en la planta. El espesor de las paredes, fondo y tapa de tanque son de 0.20m. Considere la intersección de los ejes A y 1 el origen del sistema de coordenadas en planta. Suponga que el módulo de elasticidad del concreto es E=250000 kg/cm 2. Determine mediante un análisis en la dirección X, la fuerza cortante en cada una de las columnas de soporte de acuerdo a la norma E-030. Considerando el efecto de torsión en planta. Si el esfuerzo de corte resistente máximo del concreto es 7.5 kg/cm2, defina si la columna columna A-2 es capaz de de resistir el cortante que corresponde corresponde (use un factor de mayoración de 1.25 para el cálculo del esfuerzo último). 1

0.2m

2 3.0m

B

2.0m

0.2m 5.0m

2.0m

A

ELEVACIÓN

PLANTA

VII - 40

TORSIÓN EN PLANTA

SOLUCIÓN: 1. CÁLCULO DE LA FUERZA CORTANTE Tanque de agua, edificio de vivienda en Arequipa.

                                                                                 

Cortante

(E-030; Capítulo 6)

2. CÁLCULO DEL MOMENTO DE INERCIA INERCIA

                              3. CÁLCULO DE LA RIGIDEZ DE CADA ELEMENTO RIGIDEZ EN X:

                                                   

RIGIDEZ EN Y:

                                                    VII - 41


4. CÁLCULO DEL CENTRO DE MASA:

    ∑    ∑ 

    ∑    ∑                          

                        5. CÁLCULO DEL CENTRO DE RIGIDEZ

         ∑  

         ∑  

                          6. HALLANDO HALLA NDO CENTRO DE CORTANTES Como existe solo una fuerza esta actúa en el centro de masa.

                ∑    ∑         

VII - 42

TORSIÓN EN PLANTA

7. CORTANTE POR TORSIÓN TEÓRICA

        

        

                ⁄             Determinando Momento Polar De Inercia:

                             

      

C

CA1

19.531

50

1.726

0

2.713

0

58.184

368.018

CB1

19.531

50

1.726

4.6

2.713

0

161.324

368.018

CB2

19.531

50

1.726

4.6

2.713

2.75

161.324

0.068

CA2

50

19.531

1.726

0

2.713

2.75

148.954

0.027

∑

= 529.785

∑

=736.132

         ⁄       ⁄                   ⁄       ⁄                    ⁄       ⁄              

Reemplazando en:

VII - 43


   ⁄       ⁄                8. CORTANTE EN CADA ELELEMENTO

  ∑                                                                        CORTANTE RESISTENTE MÁXIMO DEL CONCRETO = 7.5 KG/CM 2 Cortante que resisten las columnas = 7.5 x 40 x 20 = 6000kg = 6ton

En la columna CA2:

       

                          VII - 44

TORSIÓN EN PLANTA

7.7 PROBLEMAS PROPUESTOS PROBLEMA N°01 Se proyectó una estructura aporticada de concreto armado de un piso para vivienda, ubicada en Huancavelica, y cimentada sobre un suelo que podría clasificarse como tipo S2 (suelo intermedio). En el proyecto, las columnas tenían una sección 0.25mx0.50m, orientadas orientadas en la misma dirección. Pero al construir el edificio se hizo la columna A-2 con la orientación cambiada, como se muestra en la planta. Para esta condición del problema y usando el análisis estático de la Norma E-030, para hallar el cortante del entrepiso, se pide determinar para la dirección X del sismo, la fuerza cortante de diseño para cada columna de acuerdo a la norma E-030, considerando el efecto de torsión en planta. El peso de la edificación puede estimarse considerando 1ton/m2 de área techada. t echada. Para el cálculo de la rigideces laterales de las columnas, las vigas pueden considerarse como infinitamente rígidas. Suponga que el módulo de elasticidad del concreto es E=250000 kg/cm 2. Si el esfuerzo de corte resistente máximo del concreto es 7.5 kg/cm 2, defina si la columna A-2 es capaz de resistir el cortante que le corresponde (use un factor de mayoración de 1.25 para el cálculo del esfuerzo ultimo).

PROBLEMA N°02 Para la estructura aporticada de concreto armado (f’c=210kg/cm2) de 3 pisos mostrada en la figura, considerando el primer nivel, determinar las fuerzas cortantes para los elemento vertical en la dirección X, incluyendo el 30% del efecto de las fuerzas sísmicas en la dirección transversal y una excentricidad accidental del 100% que exige la norma peruana E-030.

VII - 45


ELEMENTO:

A1, B1 y B2

Kx = 14.8 ton/cm;

Ky = 13.6 ton/cm

A2

Kx = 122 ton/cm;

Ky = 0.86 ton/cm

PLANTA

FUERZAS SÍSMICAS DIRECCIONES X e Y

VII - 46

ANÁLISIS SÍSMICO SEUDOTRIDIMENSIONA SEUDOTRIDIMENSIONALL

CAPÍTULO VIII ANÁLISIS SÍSMICO SEUDOTRIDIMENSIONAL SEUDOTRIDIMENSIONAL El modelo para el análisis tridimensional deberá considerar una distribución espacial de masas y rigidez que sean adecuadas para calcular los aspectos más significativos del comportamiento dinámico de la estructura. Una estructura espacial puede ser modelada como un ensamble de pórticos planos, con propiedades de rigidez lateral solamente en sus planos respectivos, admitiendo que las rigideces ortogonales a sus planos son bastante menores y pueden no ser consideradas. El análisis en 3D requiere el uso intenso de recursos, por lo que para efectos prácticos se simplifica el modelo considerando hipótesis razonables.

8.1 HIPÓTESIS PARA EL ANÁLISIS ANÁLISIS SEUDOTRIDIMENSIONAL El análisis seudotridimensional corresponde al análisis en 3D simplificado bajo ciertas hipótesis como son: a) La masa de la estructura está concentrada al nivel de los pisos. b) Las losas en los pisos son infinitamente rígidas (diafragma (diafragma rígido). c) La deformación de la estructura es independiente de las fuerzas axiales presentes en las columnas (efecto PΔ y desplazamientos desplazamientos verticales).

Para edificios en los que se pueda razonablemente suponer que los sistemas de piso funcionan como diafragmas rígidos, se podrá usar un modelo con masas concentradas y 3 GDL por diafragma, asociados a dos componentes ortogonales de traslación horizontal y una rotación en su plano. En tal caso, la distribución en planta de las fuerzas horizontales deberá hacerse en función a las rigideces de los elementos resistentes. Bajo estas condiciones de simplificación, se podrán analizar las estructuras mediante la aplicación del análisis matricial seudotridimensional basado en el método de las rigideces.

VIII - 1


8.2 SISTEMAS ESTRUCTURALES Y MÉTODOS DE ANÁLISIS SÍSMICO 8.2.1 SISTEMAS ESTRUCTURALES ESTRUCTURALES (NTE E-030) La norma peruana de diseño sismorresistente E-030, considera tres tipos de sistemas estructurales, a saber: sistema estructural aporticado, sistema estructural mixto o dual y sistema estructural con muros estructurales de corte.

8.2.2 MÉTODOS DE ANÁLISIS SÍSMICO Por la forma como se aplica la carga sísmica a la estructura, existen dos métodos de análisis sísmico; análisis sísmico estático y análisis sísmico dinámica. El primero es el de las Fuerzas Estáticas Equivalentes de fácil aplicación y que considera la norma E-030 y el segundo método está referido al análisis modal (esto último contempla la norma E-030) tiempo historia y/o espectral (esto

VIII - 2


8.3 PLANTEAMIENTO PLANTEAMIENTO DEL MODELO MODELO ESTRUCTURAL ESTRUCTURAL El modelo a considerar es el de tipo cortante, este modelo es el más simple de un sistema de varios grados de libertad, que corresponde a una serie de masas interconectadas por resortes sin peso. Este modelo se denomina sistema de acoplamiento cercano con masas concentradas, y es aplicable estrictamente a las

vibraciones laterales, es decir a deformaciones que sean principalmente laterales y despreciando las deformaciones axiales. Para estructuras reales sin embargo, las masas están conectadas por elementos flexibles y el modelo no es aplicable. El modelo real sería uno en que las masas se encuentran todas interconectadas dando origen a lo que se denomina modelo de acoplamiento lejano.

MODELO DE ACOPLAMIENTO CERCANO

MODELO DE ACOPLAMIENTO LEJANO

VIII - 3


8.4 FORMULACIÓN MATRICIAL MATRICIAL PARA PARA EL ANÁLISIS ANÁLISIS SÍSMICO SÍSMI CO El análisis matricial seudotridimensional en estructuras puede realizarse considerando para cada diafragma rígido dos componentes horizontales de traslación y una de rotación en planta, referidos a su centro de masa. Las consideraciones para el análisis matricial de estructuras son las siguientes: a. Se toman como elementos a los pórticos planos (muros o mixto) de cada eje definido en el proyecto (dirección X e Y; principal y secundario). b. Se consideran 3 GDL por piso o diafragma. c. Los GDL están asociados a los desplazamientos laterales latera les y a las fuerzas sísmicas de inercia. d. La fuerza sísmica actúa en el centro de de masa de cada piso. e. Para cada piso, si el centro de masa no coincide con el centro de rigidez, se origina una excentricidad real, produciéndose un momento de torsión el cuál produce un incremento en los cortantes de los elementos verticales, estos incrementos deben ser considerados para efectos de diseño. f. Asimismo, la incertidumbre en la localización de los centros de masa en la estructura física posconstrucción (que no necesariamente coincide con el obtenido en el proyecto), se considerará mediante una excentricidad accidental perpendicular a la dirección del sismo e igual a ±0.05 veces la dimensión del edificio en la dirección perpendicular a la dirección de análisis. Para el análisis seudotridimensional, la matriz de masas y la matriz de rigidez se calcula para cada piso y para cada dirección principal de análisis (X e Y) y por ensamble se obtiene para la estructura.

8.4.1 MATRIZ DE MASAS DE LA ESTRUCTURA Para un análisis sísmico dinámico se requiere definir y conformar la matriz de masas de cada piso y de la estructura en general. Es común y conveniente considerar masas concentradas, por lo que la matriz de masas de cada piso y el de la estructura serán matrices diagonales. Considerando 3GDL por piso se obtiene una matriz de orden 3x3, y para la estructura será de orden 3nx3n; en donde n es igual al número de pisos de la estructura. Para el piso i :

VIII - 4


La matriz de masas



es una matriz diagonal, cuyos dos primeros coeficientes

 

están asociados a los grados de libertad de traslación ( , ) correspondiéndole el valor de la masa



y el tercer coeficiente está asociado al grado de libertad

rotacional ( i) correspondiéndole el valor del momento polar de la masa

        [   ] 



.

La matriz de masas M para la estructura, para n GDL se obtiene por ensamble y corresponderá al modelo de acoplamiento cercano:

      

     

MOMENTO POLAR DE MASAS

                   

      

El momento polar de masa de la estructura se determina para cada entrepiso. Como definición del momento polar de inercia de masa de un cuerpo respecto a un eje de giro, se entiende como la resistencia que ofrecen los cuerpos a la rotación.

VIII - 5


Considerando al cuerpo como un sistema de masa continua, que gira en torno al eje Z con una aceleración angular Un elemento de masa



constante.

, tiene una componente de la aceleración tangente a su

       

trayectoria circular, denominada aceleración tangencial: componente corresponde a la aceleración normal:

 (la otra

). ).

La fuerza tangencial resultante en esa dirección que actúa sobre este elemento será:

                       

El momento de esta fuerza f uerza

respecto al eje Z será:





En donde:

Momento polar de la masa de la estructura.

Para el caso de un sistema con masas concentradas, el momento polar de inercia con respecto al eje Z es la suma de los momentos de inercia parciales de las masas con respecto al eje Z dado. Así, si se designan por m 1, m2, m3, m4,..... las masas de los puntos de un sistema, y por r 1, r 2, r 3, r 4,...... las distancias de los puntos al eje Z, el momento de inercia del sistema puede expresarse como sigue:

En donde:

                

Momento polar del sistema de masas del cuerpo

El significado físico del momento de inercia de la masa de un cuerpo es, que si un cuerpo está en libertad para girar alrededor de un eje, cuanto más lejos del eje esté colocado el material (esto es, cuanto mayor sea el momento de inercia del cuerpo), mayor es el momento de las fuerzas necesarias para producir una aceleración angular dada del cuerpo.

VIII - 6


Teorema del eje –paralelo para masas. Si se conoce el momento de inercia de un cuerpo con respecto a un eje que pase por su centro de masa, puede hallarse el momento de inercia del cuerpo con respecto a cualquier eje paralelo, sin necesidad de integrar, utilizando la siguiente proposición: “ El El momento de inercia de un cuerpo con respecto a un eje cualquiera es igual al momento de inercia del mismo con respecto a un eje paralelo que pase por su centro de masa, más m ás el producto de la masa del cuerpo por el cuadrado de la distancia entre los dos ejes”

Esta proposición puede expresarse por medio de la siguiente ecuación, para el caso de un sistema de masas:

 ∑  ∑ 

Caso Particular :

El momento de inercia de un paralelepípedo homogéneo (caso de una losa), con respecto a un eje central Z es:

                                              





 

VIII - 7

=




Como:

                  

MÉTODO APROXIMADO: También, para el cálculo del momento polar de masas de cada entrepiso, es frecuente aproximarlo considerando que las masas de cada nivel están aproximadamente uniformemente distribuidas, y que por consiguiente los momentos polares de inercia pueden determinarse a partir de las dimensiones del área de la losa en planta, suponiendo que el radio de giro de las masas es el mismo que el de las áreas.

8.4.2 MATRIZ DE RIGIDEZ DE LA ESTRUCTURA En una primera etapa se consideran separadamente los pisos que conforman la estructura. Para cada uno de ellos debe obtenerse la matriz de rigidez lateral. Esta es una matriz que relaciona fuerzas y desplazamientos horizontales. El procedimiento habitual para determinar la matriz de rigidez lateral de la estructura consiste en ensamblar la matriz de rigidez de los pisos con mayor grado de libertad (incluyendo aquellos asociados a los desplazamientos verticales) y luego eliminar los grados que no corresponden a los desplazamientos laterales, utilizando un proceso de condensación estática. La hipótesis de losas horizontales infinitamente rígidas para acciones en su plano permite condensar más el modelo. Por un lado, en cada nivel el desplazamiento horizontal de cada pisos puede relacionarse con tres componentes de desplazamientos que definen el movimiento de la losa. De otro lado, las fuerzas actuantes en cada uno de los pisos pueden reducirse a una resultante con dos componentes y un momento, equivalentes en un punto arbitrario, usualmente el centro de masas de la losa. Se pueden entonces expresar las ecuaciones de equilibrio de cada piso en términos de fuerzas y desplazamientos en el punto de referencia (centro de masas) de cada nivel. Mediante un ensamble de las expresiones para los niveles se obtiene una relación entre las componentes de desplazamiento del punto de referencia y las correspondientes fuerzas a nivel

VIII - 8


global, es decir para la estructura en conjunto. Este proceso es un caso particular de condensación cinemática. Las condensaciones estáticas y cinemáticas permiten obtener una matriz de rigidez lateral para un modelo seudotridimensional, con tres grados de libertad por piso. Si el análisis se realiza con fuerzas estáticas equivalentes basta entonces resolver

un

sistema

de

ecuaciones

algebraicas

para

determinar

los

desplazamientos de las losas en cada nivel. Si en cambio se requiere un análisis dinámico, debe definirse primero la correspondiente matriz de masas; se resuelven entonces las ecuaciones diferenciales de equilibrio, típicamente por superposición superposición modal espectral. A partir de las componentes de desplazamiento desplazamiento de las losas en cada nivel, se obtienen los desplazamientos en cada elemento (pórticos de ejes definidos de la estructura). Finalmente, a partir de los desplazamientos se determinan las solicitaciones internas en los elementos (fuerzas cortantes), que es el principal objetivo del análisis. Es importante resaltar que al resolver el problema por descomposición modal espectral todo el proceso debe resolverse por separado para cada modo; la combinación modal solo debe hacerse como etapa final.

MATRIZ DE RIGIDEZ DE UN ELEMENTO Piso Elemento

:i : j Eje del elemento j

VIII - 9


En donde:

     

Componentes del desplazamiento del centro de masa. Componentes

Orientación del elemento j con referencia al eje X global. Orientación

Distancia del centro de masas (xo, yo) al eje del elemento. Distancia

Rigidez lateral del elemento en dirección local. Rigidez

La hipótesis de losas infinitamente rígidas para acciones en su plano,

Eje del elemento j

permiten relacionar las componentes de desplazamiento de la losa con las de los muros. Para pequeños desplazamientos de la losa aplicaremos el principio de superposición para cada grado de libertad del piso i (ui, vi, i). El desplazamiento horizontal en su eje local del elemento j está relacionado con

las

componentes

de

desplazamiento de la losa, como sigue:

                           







Matricialmente, Matricialmente, se tiene:











Luego: 

En donde:



Desplazamiento lateral del elemento j para el piso i

Vector de desplazamientos del centro de masa de la losa (u i, vi, i) Matriz de transformación transformación del sistema global al sistema local.

Se puede demostrar fácilmente f ácilmente que:

  (  )   ( )  

En donde:

( )  



= Un punto cualquiera sobre o en la proyección del eje del elemento (generalmente se elige el punto medio o centroide del elemento). = Es el centro de masa de la estructura para el piso i.

VIII - 10


Relacionando la fuerza local lateral del elemento con el equivalente en eje global, se tiene:

                           (  )              

En el sistema local:





En el sistema global:

Por lo tanto:

Desarrollando Desarrollando el triple producto, resulta para cada elemento:

 Cos 2 ij  I  K Cos Sen ij  ij   r ij Cos ij

Cosα Senα ij ij

α

K

 ij

α

α

ij

Sen

           [          

Elementos orientados en Y: (

α

ij

r Senα ij ij

α

Elementos orientados en X: (

2

)

)

VIII - 11

  ]   

   ij   

r Cosα ij ij r Senα ij 2 r ij


Para determinar la matriz de rigidez para un piso i:

          

MATRIZ DE RIGIDEZ DE LA ESTRUCTURA Para determinar la matriz de rigidez de la estructura, se procede al ensamble de las rigideces de todos los pisos del edificio, usando un modelo con un sistema de acoplamiento cercano con masas concentradas. Para una estructura de “n” psos:

                                           [       ]  

8.5 ANÁLISIS SÍSMICO 8.5.1

ANÁLISIS SÍSMICO DINÁMICO (NTE E-030)

El análisis sísmico dinámico de las edificaciones podrá realizarse mediante procedimientos de combinación espectral o por medio del análisis tiempo-historia. Para edificaciones convencionales podrá usarse el procedimiento de combinación espectral; y para edificaciones edificaciones especiales deberá usarse un análisis tiempo-historia. De acuerdo a la norma peruana de diseño sismorresistente E-030, para edificios de muchos pisos o para aquellos casos en que el método general de las Fuerzas Estáticas Equivalentes no sean suficientemente exactos se hará un análisis

dinámico modal espectral. Sea un sistema de n grados de libertad (GDL) sometida a una excitación sísmica la

 ̈ 

cual es representada generalmente como una aceleración horizontal en la base de la edificación

 como como se muestra en la ffigura. igura.

VIII - 12


mn

Xn

h

X

n

Kn

.. -m X g ( i+1

i+1

i+1

K i+1

h

i

.. -m X g ( i

Ki

m

i-1

i-1

-m

K i-1

h

.. X g(

1

i-1

.. -m X g ( 1

K1

C1

)

MODELO DE CORTANTE SIMPLE Haciendo el D.C.L. para la masa genérica m i: . . C i+1 (X i - X i+1) K i+1 (X i - X i+1) .. -m i Xg (

.. mi xi

)

K i (X i - X i-1 ) C i (X i - X i-1 )

Por equilibrio de fuerzas:

    ̈   (̇  ̇ )  ( ̇  ̇ )          ̈   



VIII - 13

.. Xg (

)

C i-1

m 1

X1

)

Ci

i-1

h

)

C i+1

mi

Xi

)

Cn

m i+1

h

X

.. -mn X g (

)


Reemplazando para valores de i:

i=1

 ̈      ̇    ̇           ̈    ̈   ̇      ̇   ̇           ̈   

i=2



........................................................................................................................ ........................................................................................................................

i=n

 ̈    ̇    ̇         ̈    ̈    ̇      ̈   




;

Ecuación General de la dinámica de la estructura.

A. OBTENCIÓN DE LOS PERÍODOS NATURALES Y FORMAS DE MODO DE VIBRACIÓN Para obtener las propiedades dinámicas de la estructura se hará un análisis del sistema en movimiento libre.

 ̈     

……. (1)

Haciendo un cambio de variable y derivando:

       ̇       ̈                   
















….. (2)

Ecuación matemática de valores y vectores propios .

VIII - 14


En donde:

      =



Matriz de masas de la estructura estructur a (diagonal y definida positiva) Matriz de rigidez de la estructura estructur a (simétrica y definida positiva) Valores característicos característicos del sistema (real y positivo). Los i son las frecuencias angulares del sistema, y el periodo de vibración será T i=2 /i Vectores característicos del sistema (llamado también modo).

Para el análisis dinámico de edificios para determinar las frecuencias naturales i

 

y sus correspondientes modos de vibración  , se resolverá la ecuación (2), correspondiendo ésta al problema matemático de evaluación de valores y vectores característicos. MÉTODO DEL POLINOMIO CARACTERÍSTICO Y VALORES PROPIOS La ecuación:

     *   +      



Puede también reescribirse como:



La expresión tiene soluciones no triviales solo si la matriz singular, es decir si su determinante es igual a cero.

  

Llamando: 

  *  *   +  

*   +

es



P() se denomina polinomio característico. Siendo K y M matrices cuadradas de

    

orden (nxn), P( ) es un polinomio de grado n, cuyas raíces son    .......  ,. En lo que sigue se sabe que:

                                      





Como:



 b. 

a. c.



VIII - 15


Existen otros procedimientos como los métodos iterativos de Stodola y Holtzer descrtos en capítulo anteror; de gual manera el método de Jacob “ Clásco” o Jacob “Generalzado”.

B. CÁLCULO DE LA RESPUESTA RESPUEST A ESTRUCTURAL Para el cálculo de la respuesta de la estructura ante acciones de sismo que actúa en el suelo de fundación del edificio, se resolverá la ecuación general de la dinámica de la estructura mediante la descomposición modal.

 ̈    ̇      ̈   

Para desacoplar las n ecuaciones diferenciales dependientes del movimiento (nGDL) y reducirlos a la solución de n ecuaciones independientes de 1GDL, hacemos el siguiente cambio de variable:

 ̇     ̇   ̈     ̈    ̈     ̇       ̈         ̈      ̇          ̈                   ̈    ̇        ̈    ̈    ̇      ̈     

Reemplazando en la ecuación general:









Multiplicando por









:











Llamando:





; Matriz diagonal de masa generalizada





; Matriz diagonal de amortiguamiento generalizado





; Matriz diagonal de rigidez generalizada.

Tenemos:



Analzando para la masa “”: “”:



VIII - 16


 ̈    ̇        ̈                       ̈     ̇          ̈  

Dividiendo entre:



Definiendo:

Tenemos:









FACTOR DE PARTICIPACIÓN MODAL (FPMi).- El factor de participación modal de masas se define como el porcentaje de participación del modo de vibración



. También es llamado Factor de Participación Estática del modo i.

           ̈     ̇     ̈   



Por consiguiente: consiguiente:





Se ha logrado desacoplar las ecuaciones diferenciales del movimiento del sistema, reduciéndola a la solución de n ecuaciones independientes de un grado de libertad mediante la aplicación de la integral de DUHAMEL.

    √ √    ∫  ̈        

AMORTIGUAMIENTOS. AMORTIGUAMIENTOS.- Para edificaciones edificaciones en general indistintamente del material usado la norma considera el amortiguamiento como el =5% respecto del crítico. Sin embargo, mostramos valores de amortiguamientos existente en la literatura del medio internacional (Freeman, 1984) para cada material de uso preferencial en nuestro medio. Lineal

 

Edificaciones de Concreto Armado Edificaciones de Acero Edificaciones de Albañilería Albañilería

VIII - 17

= 5% = 2% = 7%

No Lineal 10% 16% 12%




Edificaciones en general: 

20%



                 ∫  ̈     







Por lo tanto, para edificaciones con poco amortiguamiento:



Hay dos formas de resolver la integral de Duhamel:

a. TIEMPO –HISTORIA –HISTORIA .- Resolviendo cada ecuación modal en el dominio del tiempo t, es decir integrando directamente o en el dominio de frecuencias mediante transformadas de Fourier. Generalmente se opta por el primero donde los valores de





son almacenados para cada . Luego se aplica el

principio de superposición en cada intervalo de tiempo y el tiempo –historia para cada efecto, se revisa para encontrar su máximo valor. Este método requiere el uso intenso de recursos si se desea determinar muchas respuestas. Este procedimiento es conocido como Análisis Modal TiempoHistoria.

b. ESPECTRAL.- Considerando para cada modo solo la máxima respuesta

        

 

. esto es particularmente conveniente cuando se usa un espectro de

respuesta como el de las Normas de Diseño Sismorresistente E-030. El valor de  

. se lee directamente del espectro para el amortiguamiento

deseado  

.



A este procedimiento es el que se conoce

como Análisis Modal Modal Espectral .

Para el análisis sísmico dinámico de edificaciones, el procedimiento de análisis de mayor preferencia y aplicación es el modal espectral, debido a la obtención de los valores máximos de la respuesta de la estructura.

||          

Del cambio de variable efectuado:

     

VIII - 18




                             [     ]                                                                                ∑            























Desarrollando:































..............................................................................................



Para una determinada masa











el desplazamiento desplazamient o relativo a la base es:













….. (b)

Reemplazando (a) en (b):



En general:



En función de

:





Expresón para el cálculo del vector de desplazamentos del modo “ i”

VIII - 19


COMBINACIÓN MODAL La norma peruana de Diseño Sismorresistente (2003) prescribe para el caso en que se use el análisis dinámico modal espectral que los modos se combinen usando la siguiente expresión:

     ∑|∑||   ∑ 

Para estructuras más rígidas, es decir cuando se incluyan muros de corte, los coeficientes pueden reemplazarse por 0.30 y 0.70. En cada dirección se considerarán aquellos modos de vibración cuya suma de masas efectivas sea por lo menos el 90% de la masa de la estructura, pero deberá tomarse en cuenta por lo menos los tres primeros modos predominantes en la dirección de análisis.

DESPLAZAMIENTOS DESPLAZAMIENTOS LATERALES PERMISIBLES La norma peruana de diseño sismorresistente E-030, especifica que los desplazamientos laterales obtenidos del análisis lineal y elástico con las solicitaciones sísmicas reducidas por “R”, deberán corregirse multiplicando los valores calculados por 0.75R. Según nuestro código, el máximo desplazamiento relativo de entrepiso, calculado con la descripción anterior, no deberá exceder la fracción de la altura de entrepiso que se indica en la Tabla siguiente: LÍMITES PARA DESPLAZAMIENTO LATERAL DE ENTREPISO Estos límites no son aplicables a naves industriales Material Predominante

(D /h i ei)

Concreto Armado

0.007

Acero

0.010

Albañilería

0.005

Madera

0.010

Verificación del



:

Concreto Armado : Acero

:

Albañilería Albañilería

:

       

VIII - 20


Según la configuración estructural en planta y elevación, debe considerarse: PARA ESTRUCTURAS REGULARES: Debiendo corregirse:

R=R

       

PARA ESTRUCTURAS IRREGULARES: Debiendo corregirse:

; concreto armado.

R = 3/4R

         

; ; concreto armado.

CÁLCULO DE LOS FACTORES DE PARTICIPACIÓN MODAL FPMi La solución del problema de valores y vectores característicos da como resultado las frecuencias (períodos), formas de modo y factores de participación. participación.

        

Los factores de participación modal expresión:

se calculan ca lculan aplicando a plicando la siguiente sig uiente





Las formas de modo

  



han sido normalizadas respecto a la matriz de masas,

de manera que el producto:

     ∑  (  )      



También, desarrollando desarrollando las matrices, se obtiene:



Recuérdese que al momento de desacoplar las ecuaciones de movimiento mediante la descomposición modal, estas ecuaciones se plantean por separado para cada dirección de la aceleración de la base. Por consiguiente, se tomará en

        

cuenta si el sismo es en la dirección X, en cuyo caso solo los

   

cálculo del

y el resto no contribuye, es decir y

en la dirección Y, solo los

 

. Si el sismo es

contribuyen y el resto no, esto es contribuyen

igual forma para determinar el no, = = 0 y = = 0.

= = 0 y

del del efecto torsión solo

VIII - 21

contribuyen contribuyen en el = = 0 y

. De

contribuye contribuye y el resto


CÁLCULO DE LA ACELERACIÓN ESPECTRAL Sai Para cada modo de vibración, en función a su periodo de vibración calculado, se obtiene la aceleración espectral usando el espectro inelástico de respuesta de seudoaceleraciones absolutas que presenta la norma de diseño sismorresistente E-030 (2003). Cabe indicar que, el espectro teórico parametrizado de la norma E030, se obtuvo considerando seis registros de tres eventos sísmicos del 66, 70 y 74, considerando un nivel de amortiguamiento del 5% respecto del crítico.

     

En donde: Z U S R g C

: Factor de zona : Factor de uso e importancia : Factor de suelo : Coeficiente Coeficient e de reducción por ductilidad : Aceleración de la gravedad : Coeficiente de amplificación amplificación sísmica.

El Factor o Coeficiente de Amplificación Sísmica C, de acuerdo a las características de sitio, se define por la siguiente expresión:

      ;

Período predominante del suelo

Período de vibración de la estructura Período

DETERMINACIÓN DE LAS FUERZAS SÍSMICAS DE INERCIA, FUERZAS CORTANTES Y MOMENTOS DE VOLTEO A. FUERZAS SÍSMICAS DE INERCIA Del gráfico tenemos:

                                               ........................................................................................................

........................................................................................................

VIII - 22



               [ 

       

     

             ] 

            

mn Xn

Kn

hn

Xi+1

hn+1

C

i+1

mi

K

X i-1

h n-1

i-1

Ci

   

V i+1= K i+1

Vi = K i

X i+1=K i+1( X

i+1 -X i

X i =K i (X i -X i-1 )

C i-1

V i-1 = K

i-1

X

i-1=K i-1(

X

i-1 -X i-2

F1 = V1 -V2

C

1

V1 = K 1

X 1 =K 1 X 1

Expresión para el cálculo del vector de fuerzas sísmicas del modo “”.

VIII - 23

)

Fi-1 = V i-1-V i

m1

K1

Xn =Kn (Xn -X n-1)

F i = Vi -V i+1

m i-1

K

X1

i

Vn = Kn

Fi+1= Vi+1-V i+2

i

hi

Analzando Analzando para la masa “”: “”:

Cn

m i+1

K i+1

X

h1

Fn = Vn

)


Esta expresión nos permite obtener el vector de fuerzas sísmicas para cada modo de vibración, mediante el producto de la matriz de rigidez lateral de la estructura por los desplazamientos de cada modo. Las fuerzas sísmicas de inercia, se puede también obtener determinando las aceleraciones modales espectrales para cada modo y multiplicando por las masas, según la siguiente expresión:

    

Fuerza Sísmca para la forma de modo “ i”

COMBINACIÓN COMBINACIÓN MODAL

     ∑|∑||   ∑ 

B. FUERZAS CORTANTES Para determinar los efectos globales de la estructura a nivel de fuerzas cortantes de entrepiso y fuerzas sísmicas de inercia de piso, es necesario efectuar la combinación de las contribuciones modales. Debemos recordar que la solución estructural del edificio para cada modo es un problema estático, de manera que aplicando al edificio los desplazamientos de un modo se puede determinar todos los efectos, tanto globales como locales para luego combinar la contribución de cada modo para cada efecto por separado. Para determinar los cortantes de entrepiso se calculará para cada modo, con cualquiera de los procedimientos que señalamos a continuación:

   

Expresón para el cálculo del vector de fuerzas cortantes del modo “”.

En donde:



= Matriz Matr iz cuadrada cuad rada diagonal diag onal siempre sie mpre de orden tres, t res, cuyos c uyos elementos son sub matrices diagonal superior con unos de coeficientes y de orden igual al número de pisos del edificio en análisis

VIII - 24


Por ejemplo, para la dirección de análisis X-X de nuestro edificio,



será una

matriz cuadrada diagonal de orden tres; que son las relacionadas a las direcciones traslacionales

  

y y rotacional

i,

cuyos elementos serán sub matrices diagonal

superior de coeficientes uno y de orden cuatro. vectoriales ui de orden (4x1),



 

Tendrá tres componentes

de orden (4x1) y

Independientemente se efectuará el producto de



de orden (4x1).

con cada una de de estas

componentes vectoriales y luego se realizará la combinación de la contribución de cada modo. Otra forma de calcular el vector de fuerzas cortantes de cada modo es usando la siguiente expresión:

     ∑   



Fuerza cortante en el nivel COMBINACIÓN COMBINACIÓN MODAL

C.

para la forma de modo “ i”

     ∑|∑||   ∑ 

MOMENTOS DE VOLTEO

                                                   ...............................................................................................

...................................................................................

Expresando Matricialmente: Matricialmente:

Expresón para el cálculo del vector de momentos de volteo del modo “”.

Donde H es la matriz cuadrada triangular superior cuyos coeficientes corresponden a las alturas de los entrepisos.

VIII - 25


      

    

    

    

    

De igual manera se realizará la combinación modal haciendo uso de la expresión contemplada en la norma NTE-E0.30. COMBINACIÓN COMBINACIÓN MODAL

     ∑|∑||   ∑ 

8.5.2

ANÁLISIS SÍSMICO ESTÁTICO NTE E-030

Según la norma de diseño sismorresistente E-030, este método representa las solicitaciones sísmicas mediante un conjunto de fuerzas horizontales actuando en cada nivel de la edificación. Debe emplearse sólo para edificios sin irregularidades y de baja altura. En efecto, las estructuras clasificadas como regulares de no más de 45m de altura y las estructuras de muros de corte de no más de 15m de altura (aún cuando sean irregulares), podrán analizarse mediante este método de las fuerzas estáticas equivalentes.

FUERZA CORTANTE EN LA BASE La fuerza horizontal o cortante total en la base de la estructura debido a la acción sísmica, es determinada por:

    

Debiendo considerarse para C/R  0.125, y donde:

VIII - 26


V

: Fuerza cortante en la base de la estructura

Z

: Factor de zona

U

: Factor de uso e importancia

S

: Factor de suelo

C

: Coeficiente Coeficient e de amplificación amplificació n sísmica

R

: Coeficiente Coeficient e de reducción de solicitaciones solicitacio nes sísmicas

P

: Peso total de la edificación

El factor o coeficiente de Amplificación Sísmica C, de acuerdo a las características de sitio y el periodo fundamental de vibración de la estructura, es:



    

Período predominante predominante del suelo

Periodo fundamental de la estructura Periodo

PERIODO FUNDAMENTAL

  

El periodo fundamental para cada dirección se estimará con la siguiente expresión.

En donde:

ℎ  

: Altura total de la edificación en metros.

=35 : Para edificios edificios cuyos elementos elementos resistentes resistentes en la dirección dirección considerada considerada sean únicamente pórticos. =45 : Para edificios de concreto armado armado cuyos elementos sismorresistentes sismorresistentes sean pórticos y las cajas de ascensores y escaleras.

=60 : Para estructuras estructuras de mampostería mampostería y para todos los edificios edificios de concreto armado cuyos elementos sismorresistentes sean fundamentalmente muros de corte.

DISTRIBUCIÓN DE LA FUERZA SÍSMICA EN ALTURA Si el periodo fundamental T es mayor que 0,7seg, una parte de la fuerza cortante V, denominada Fa, deberá aplicarse como fuerza concentrada en la parte superior de la estructura. Esta fuerza Fa se determinará mediante la expresión:

  VIII - 27


Donde el período T será el mismo que el usado para la determinación de la fuerza cortante basal. El resto de la fuerza cortante, es decir (V - F a) se distribuirá entre los distintos niveles, incluyendo el último, de acuerdo a la siguiente expresión:

EFECTOS DE TORSIÓN

    

Se supondrá que la fuerza horizontal en cada nivel F i actúa en el centro de masas del nivel respectivo. Si el centro de masas no coincide con el centro de rigidez del piso en consideración, se produce excentricidad y como consecuencia un momento torsor en planta que genera incrementos en los cortantes de los elementos; estos incrementos deben ser considerados para efectos de diseño sismorresistente.

EXCENTRICIDAD Centro de Masas.- corresponde al metrado de cargas en la que se incluye el peso

de los elementos estructurales y de los no estructurales. El centro de masas de la estructura para cada entrepiso se determina respecto a un sistema referencial X –Y, mediante la siguiente expresión:

         VIII - 28


En donde:

    

= Centro de masas del piso i = Centro de masa del elemento j en el nivel i = Masa ó Peso que soporta el elemento j en el nivel i

Centro de Rigidez.- El centro de rigidez de la estructura en un piso dado, se

determina considerando solamente las rigideces de los elementos estructurales. El centro de rigidez para cada piso de la estructura, se determina respecto a un sistema de coordenadas referencial X –Y, mediante la siguiente expresión: expresión:

       



En donde:

      (

,

)

        



= Centro de rigidez del piso i = Centro de rigidez del elemento en el nivel

= Rigidez lateral del elemento en el nivel orientado en dirección Y

= Rigidez lateral del elemento en el nivel orientado en dirección X

.- La incertidumbre en la localización de los centros de Excentricidad accidental .masa en cada nivel (posconstrucción, que no coincide necesariamente con lo del proyecto), proyecto) , se considerará mediante una excentricidad excentricida d accidental accidenta l perpendicular a la dirección del sismo igual a 0.05 veces la dimensión del edificio en la dirección perpendicular a la dirección de análisis. En cada caso deberá considerase el signo más desfavorable. desfavorable. Para cada dirección de análisis, además de la excentricidad directa se considerará el efecto de la excentricidad accidental. Análisis en dirección dirección X:

VIII - 29


Excentricidad Excentricidad directa

:

Excentricidad Excentricidad accidental :

     

Análisis en dirección dirección Y:

Excentricidad Excentricidad directa

:

Excentricidad Excentricidad accidental :

      

MOMENTO TORSOR En cada nivel además de la fuerza sísmica actuante, se aplicará el momento torsor



que se calcula bajo las dos condiciones siguientes: que

Condición 1: Condición 2:

           



)

: el signo de ; el signo de

 

será igual al de



será diferentes al de



En donde:

 

Fuerza horizontal sísmica en el nivel i.

VECTOR DE FUERZAS SÍSMICAS CON EFECTO DE TORSIÓN Para cada dirección de análisis, deberá considerarse además de la fuerza sísmica directa las combinaciones con el de la fuerza por momento torsor de las dos condiciones anteriores, planteándose tres casos de análisis: CASO 1: CASO 2: CASO 3:

             VIII - 30


VECTOR DE DESPLAZAMIENTOS DE LA ESTRUCTURA Con la matriz de rigidez lateral de la estructura





y el vector de fuerzas sísmicas

se puede calcular el vector vect or de desplazamientos de la estructura e structura

considerando la ecuación de equilibrio estático siguiente:

 

   

Para resolver esta ecuación, puede usarse cualquier método o técnica de resolución de sistema de ecuaciones lineales. El método de eliminación de Gauss

    

Jordan es el método más eficiente para este tipo de cálculos. Esta se basa en calcular la inversa de la matriz

para luego efectuar el producto: para

Esta operación se realizará para cada uno de los tres casos planteados anteriormente.

DESPLAZAMIENTOS DESPLAZAMIENTOS LATERALES Los desplazamientos laterales calculados deberán verificarse con el valor límite que exige la norma E-030, tanto a nivel global (de la estructura) como de los elementos. Previamente, los desplazamientos laterales obtenidos del análisis lineal y elástico con fuerzas reducdas por “R”, deberán ser corregidas multiplicando los valores calculados por 0.75R. A NIVEL GLOBAL.- Se verificarán los desplazamientos laterales de cada entrepiso de la estructura y a nivel global, a través de su centro de masas de pisos de la estructura (X 0, Y0). A NIVEL LOCAL.- El desplazamiento desplazamiento lateral de entrepiso y a nivel de altura total de cada elemento, se verificarán calculándose mediante la siguiente expresión. Piso Elemento

:i : j

           









En donde: ij :

Es el desplazamiento absoluto del nivel i para el elemento j.

VIII - 31




Para el desplazamiento desplazamiento relativo de entrepiso:

            

PRIMER PISO

:





SEGUNDO PISO

:







TERCER PISO

:





 , etc.

Según la configuración estructural en planta y elevación, se debe considerar: PARA ESTRUCTURAS REGULARES: Debiendo corregirse:

R=R

                        

; concreto armado.

; Acero

; Albañilería

PARA ESTRUCTURAS IRREGULARES: Debiendo corregirse:

R = 3/4R

; concreto concreto armado. ; Acero ; Albañilería Albañilería

FUERZAS CORTANTES EN LOS ELEMENTOS La fuerza cortante para cada elemento y para cada nivel, se calcula en función de los desplazamientos desplazamientos globales de la estructura dada a través de su centro de masas. Piso Elemento

:i : j

                









Por consiguiente, la fuerza cortante será:



En donde:

   

Componentes de desplazamiento del centro de masas.  : Componentes



: Orientación Orientació n del elemento j con referencia al eje X global. : Distancia del centro de masas (X CM, YCM) al elemento. : Rigidez lateral del elemento.

VIII - 32


8.6 PROBLEMA DE APLICACIÓN PROBLEMA ILUSTRATIVO: Para la edificación aporticada de concreto armado de un piso mostrado en la figura, se pide realizar el análisis sísmico seudotridimensional usando el método de las rigideces. (Considerar g=9.80m/seg 2) Aplicar los métodos métodos siguientes: siguientes: -

Análisis sísmico dinámico (modal espectral).

-

Análisis sísmico estático (fuerzas estáticas equivalentes). equivalentes).

Para ambos análisis se hará uso del código peruano de diseño sismorresistente NTE E-030 (2003)

        VIII - 33


DATOS GENERALES: -

Ubicación

: Lima, Pueblo Libre

-

Uso

: Vivienda Vivienda

-

Sistema estructural

: Aporticado

-

Suelo de cimentación

: Tipo s1 (suelo rígido)

DATOS DE DISEÑO:

SOLUCION:

              

1°) Rigidez lateral de los elementos:

Por Wilbur: Wilbur: Base Empotrada.

                                 VIII - 34


        





         2°) Centro de masas:

     

  

VIII - 35


                                          VALOR APRÓXIMADO: Centro geométrico del área en planta.

  

   

              

         

3°) Centro de rigidez:

   VIII - 36


                                    

       VIII - 37


4°) Excentricidad: Excentricidad:



Excentricidad directa:

                                                   

Excentricidad accidental:

Excentricidad real: Condición 1:

Condición 2:

5°) Momentos torsores:

Dirección De Análisis: X

Dirección De Análisis: Y

VIII - 38

ANÁLISIS SÍSMICO SEUDOTRIDIMENSIONA SEUDOTRIDIMENSIONALL Condición 1:

       

Condición 2:

I.

       

ANALISIS SÍSMICO DINÁMICO:

1º) Cálculo de la matriz de masas de la estructura: Para “n” pisos:

Para el piso “i”:

Cálculo de





            [      ]            

:

Considerando el peso igual a 1 ton/m 2 de área techada se tiene:

Cálculo de

                     ̅      ∑     ∑       : (Momento polar de inercia)

VIII - 39


Para el cálculo del momento polar de masas, es frecuente aproximarlo considerando que las masas de cada piso están aproximadamente uniformemente distribuidas, y por consiguiente los momentos polares de inercia pueden determinarse a partir de las dimensiones del área de losa en planta, suponiendo que el radio de giro de las masas es el mismo que el de las áreas.

                                                                                     Área:

Área:

Por lo tanto:

VIII - 40


2º) Cálculo de la matriz de rigidez de la estructura:

   ∑ 

Piso j:



p = Número total de elementos del pso “j” En donde para el elemento “”:

             [       (  )(  (  )           

Elemento

cm

(ton/cm)

Pórtico 1

11.426

(0,0)

Pórtico 2

11.426

(0,600)

Pórtico 3

7.443

(0,1200)

Pórtico A

11.426

(0,0)

Pórtico B

11.426

(600,0)

Pórtico C

7.443

(1200,0)

  

    ]       0

1

500

0

1

-100

0

1

-700

1

0

-500

1

0

100

1

0

700

                                                        

E leme lementos ntos direcc ionados ionados en X-X :

(

)

VIII - 41

(cm)


                                                       

E leme lementos ntos direcc ionados ionados en Y -Y :

(

)

                                                     

Ensamblando:

3º) Cálculo de los periodos y formas de modo de vibración:

                               

De la ecuación dinámica:

Resolviendo:

VIII - 42


                                        

4º) Cálculo de los factores de participación modal:

Recuérdense que al momento de desacoplar las ecuaciones de movimiento mediante la descomposición modal, estas ecuaciones se plantean por separado para cada dirección del sismo. Por consiguiente, se tomara en cuenta si el sismo es la dirección x

           

en cuyo caso solo las es decir

y

contribuyen en el cálculo del

  

y en el resto no contribuye, y

. O si el sismo es en la dirección y, sola las

resto no, esto es

y

contribuyen contribuyen y el

.De igual forma para determinar el

torsión solo contribuye contribuye el resto no.

Para nuestro caso, como nuestro edificio es de un solo nivel

los factores factor es de

participación modal serán:

Las formas de modo



         

han sido normalizados de manera que el producto:

      ∑         ∑    VIII - 43

del del efecto


FACTORES DE PARTICIPACIÓN MODAL DE LA ESTRUCTURA

L E V I N

1

1



0 1 x 7 1 2 1 . 4





1

0 1

4

0 1 x 4 9 7 3 . 4

1









0 0 3 1 . 2





6 5 2 1 . 2

1



0 1  x  4 9  7 9 . 4

  

1

3

0 1 x 4 9 7 9 . 4

0 1 x 9 8 1 1 . 4





1

0 1 x 0 0 0 0 . 5

0 1 x 0 0 0 0 . 5



 



6 5 2 1 . 2

1







k i : O D O M

0 1 x 0 2 0 1 . 1

1

1

4

 0 0 1 1

 

0 2 0 1 . 1

5 4 2 4 . 2

2

3

1

5 1



0 1 x 9 9 4 6 . 4 0 1



0 1 x 7 1  2 1 . 4

1

2

0 1 x 0 7 6 3 . 1

0 1 x 5 6 0 5 . 1

0 1 x 4 7 4 3 . 2

1

0 0 3 1 . 2

0 0 3 1 . 2

1

1





0 1 x 4 9 7 3 . 4

 4 0

0 1 x = = 0 A 1 2 M M 0 1 . U P 1 S F

0 1 x 0 2 0 1 . 1

1

2





1

2

0 1 x 0 7 6 3 . 1

0 1 x 5 6 0 5 . 1









3

3

1

0 1 x 5 9 5 0 . 2

0 1 x 5 9 5 0 . 2

0 1 x 8 8 5 9 . 9



0 0 0 0 . 1





 1 3  

0 1 x 0 7 6 3 . 1

0 1 x 0 7 6 3 .  1

1



0 1 x 0 9 0 4 . 6

1

 4 0

1 x 5 4 2 4 . 2

0 1 x 0 2 0 1 . 1

1 x 5 4 2 4 . 2

3

1

2

3

VIII - 44

0 0 0 0 . 1

1

0 1 x = = 0 A 2 2 M M 0 1 . U P 1 S F

2

0 1 x 9 3 5 5 . 1

0 1 x 4 7 4 3 . 2

0 1 x 5 2 4 3 . 2

0 0 3 1 . 2

2



1



4

6 5 2 1 . 2

0 1 x 0 9 0 4 . 6

1



0 0 0 0 . 1

0 1 x 8 1 6 0 . 1

1





3



0 1 x 5 2 4 3 . 2

6 5 2 1 . 2

5





1 3 9 9 . 9



3

= = A 3 M M U P S F


     

5º) Cálculo de la aceleración espectral: NORMA E-030 (2003):

Parámetros Sísmicos:

Z = 0.4 (Lima, Pueblo Libre) U = 1.0 (Vivienda) S = 1.0 (Suelo Rígido)

   

R = 6.0 (Sistema aporticado e irregular; ¾*8)



C = 2.5 ( ) ; C ≤ 2.5 Para estructuras en general: Tomar:

R=R

: Para estructuras regulares

R=¾R

: Para estructuras irregulares. irregulares.

                                           → → →

6º) Cálculo del vector desplazamiento:

Di rección de análisi nálisi s X:

                                  

MODO: 1

MODO: 2

MODO: 3

VIII - 45


COMBINACIÓN MODAL:

                                                   

NORMA E-030 (2003):

Los desplazamientos obtenidos del análisis deberán ser corregidos por 3/4R.

Di rección de de análisi nálisi s Y :

                                                                                

MODO: 1

MODO: 2

MODO: 3

COMBINACIÓN MODAL:

NORMA E0-30 (2003):

VIII - 46


EFECTO ROTACIONAL

                                                                                        

MODO: 1

MODO: 2

MODO: 3

COMBINACIÓN MODAL:

POR LO TANTO:

II.

ANÁLISIS SÍSMICO ESTÁTICO

      

1º) Cálculo del cortante basal:

Parámetros Sísmicos: Z = 0.4

(Lima)

U = 1.0

(Vivienda)

VIII - 47


   

S = 1.0

(Suelo Rígido)

R = 6.0

(Sistema aporticado e irregular)



C = 2.5 ( ) ; C ≤ 2.5 Periodo fundamental de la estructura.

                                                                                  

(Sistema Aporticado). Aporticado).

Peso total del edificio:


I.

A nális nális is en la dirección X:

2º) Cálculo del vector de fuerzas externas: Para la dirección X: CASO - 1: CASO - 2: CASO - 3:

CASO 1:

VIII - 48


CASO 2:

CASO 3:

                                                                                                    

3º) Cálculo del vector desplazamiento:

CASO 1:

CASO 2:

CASO 3:

Se eligen los de mayor valor:

VIII - 49


  

DESPLAZAMIENTO DESPLAZAMIENTO LATERAL: NORMA E-030 (2003):

Los desplazamientos obtenidos del análisis deberán ser corregidos por 3/4R.

                  

Por lo que deberá reestructurarse (aumentar la rigidez en dirección X) y recalcularse la

estructura.

                     

4º) Cálculo del desplazamiento de cada elemento:

(

(

ELEMENTO

α

cosα

1

0°

1

2

0°

3

Senα

(cm) (cm)

(cm)

CASO 1

CASO 2

CASO 3

0

500

0.610507

0.545277

0.638193

1

0

-100

0.593203

0.603077

0.589012

0°

1

0

-700

0.575900

0.660878

0.539832

A

90°

0

1

-500

-0.015029

0.050201

-0.042715

B

90°

0

1

100

0.002275

-0.007599

0.006466

C

90°

0

1

700

0.019578

-0.065400

0.055647

5º) Cálculo de la fuerza cortante de cada elemento:

     





CASO 1

CASO 2

CASO 3

CASO 1

1

11.426

0.610507

0.545277

0.638193

2

11.426

0.593203

0.603077

3

7.443

0.575900

A

11.426

B C

ELEM.

(ton/cm)

(cm) (cm)



(ton) (ton)

CASO 2

CASO 3

6.976

6.230

7.292

0.589012

6.778

6.891

6.730

0.660878

0.539832

4.286

4.919

4.018

-0.015029

0.050201

-0.042715

-0.172

0.574

-0.488

11.426

0.002275

-0.007599

0.006466

0.026

-0.087

0.074

7.443

0.019578

-0.065400

0.055647

0.146

-0.487

0.414

VIII - 50


II.

A nális nális is en la dirección Y :

Se seguirá el mismo procedimiento y se obtendrán los mismos resultados que el de la dirección X-X.

VIII - 51


8.7


PROBLEMA N° 01: Para una estructura de ocho pisos se ha realizado un análisis dinámico modal espectral seudotridimensional y se han obtenido las formas de modos y periodos naturales de vibración que se consignan en la tabla. Se dan también las alturas, las masas y su ubicación correspondiente. Se ha usado el espectro de la norma peruana E-030, con Z=0.4, U=1, S=1 y R=7. Las unidades, donde correspondan, están expresadas en metros, segundos y toneladas. a. Cuando el sismo actúa en en la dirección X, determinar la fuerza que se produce en el séptimo piso en la dirección Y, debido al segundo modo. b. Determine el momento torsor que se originará en el tercer nivel cuando el sismo actúa en la dirección Y, debido a la contribución de los modos 2, 5 y 8. Nivel 8 7 6 5 4 3 2 1

Altura de entrepiso 2.35 2.80 2.80 2.80 2.80 2.80 2.80 3.63

XCM 5.65 6.53 6.52 6.52 6.52 6.52 6.52 6.52

Masa 5.5 18.6 16.4 24.5 24.5 24.5 24.5 24.5

YCM 6.85 9.13 9.18 7.15 7.15 7.15 7.15 7.15

J 12.2 491 449 870 870 870 870 870

TABLA: Las formas de modo están en orden descendente, la primera fila corresponde al piso ocho. MODO 2 T=

0.3160

MODO 5

seg.

T=

0.1279

MODO 8

seg.

T=

0.0706

seg.

Sa= 1. 868

Sa= 1.868

Sa= 1.868

Sd= 0.004724

Sd= 0.000774

Sd= 0.0002358

Vector caracterís tico:



u

v

θ

u

v

θ

u

v

θ

-0.000208

0 .1 .165689

-0.001754

-0.005424

-0.387093

0 .0 .019236

0.040542

0 .0 .044859

0 .0 .025453

0.000141

0 .1 .135932

-0.000263

0.002203

0 .0 .038832

-0.001376

-0.017929

-0.087071

0 .0 .017318

-0.000043

0 .1 .109497

-0.000172

0.003071

0 .0 .042678

-0.001643

0.000297

-0.026776

0 .0 .005379

-0.000382

0.083753

-0.000102

-0.000858

0.042325

-0.001644

0.009285

0.025389

-0.004710

-0.000345

0.060112

-0.000047

-0.001244

0.036694

-0.001413

0.003273

0.055596

-0.010231

-0.000275

0.038590

-0.000007

-0.001396

0.027914

-0.001059

-0.005741

0.065261

-0.012006

-0.000183

0.020628

0.000018

-0.001179

0.017580

-0.000654

-0.011073

0.054479

-0.010078

-0.000087

0.007910

0.000021

-0.000641

0.008045

-0.000294

-0.008863

0.030614

-0.005783

Factores de partici paci ón: -0.03047

10.40768

Factores de partici pación: -0 - 0.32914

-0.06908

2.54464

Factores de parti cipación: -5 - 5.58289

-0.42630

3.86869

-26.02174

PROBLEMA N° 02: Calcule el corte que debe ser usado en el diseño según especifica la Norma E-030 en los cuatro pórticos de la estructura cuya planta se muestra. En el centro de la planta actúa una fuerza cortante V y de 100 ton.

VIII - 52


2K

A

B

2

K

2K

V y

1

6m

K 6 m

PROBLEMA N° 03: Calcule el corte que debe ser usado en el diseño según especifica la Norma E-030 en los En el proceso de estimación de las fuerzas sísmicas es necesario clasificar a las estructuras como regulares o irregulares. Se desea conocer si la estructura cuyos desplazamientos se han calculado califica como irregular por torsión en planta. Los desplazamientos del centro de masas en el piso 2 son: (m, rad) NIVEL

V0

0

-5.35E-06

-3.61E-05

U0

2

3.42E-03

Las coordenadas del centro de masas son X 0=6.52m, Y0=7.15m. Se ha calculado el desplazamiento del eje 3 cuando el sismo actúa en la dirección X, igual a 4.68E-03m. Haga los cálculos que considere convenientes y diga si la estructura es o no IRREGULAR por este concepto. Y

A

B 4m

5m

D

C 5m

3 8m

2 60°

8m

1 PLANTA

VIII - 53

X


PROBLEMA N° 04: Para una estructura de ocho pisos, cuya planta es la del problema anterior, se ha realizado un análisis dinámico modal espectral seudotridimensional y se han obtenido las siguientes primeras nueve formas de modos que se consignan a continuación. Se dan también las alturas, las masas y su ubicación correspondiente. Se ha usado el espectro de las Normas Peruanas, con Z=0.4, U=1, S = 1, R = 7.5. Las unidades, donde correspondan, están expresadas en metros, segundos y toneladas. Si el sismo actúa en la dirección Y: a) Determine el desplazamiento relativo del pórtico del eje D en el segundo entrepiso, debido solamente a la contribución de los modos 2, 5 y 8. b) Usando los requisitos que exige la norma E-030 para este cálculo, compare con el máximo permitido en ella. Diga si está dentro del admisible.

nivel

Altura de entrepiso

Xo

Yo

Masa

Jm

2

2.80

5.65

6.85

2.45E+01

8.70E+02

1

3.63

6.52

7.15

2.45E+01

8.70E+02

Las formas de modo están normalizadas con respecto a la matriz de masas. Las componentes están en orden descendente, la primera fila corresponde al piso ocho. Modo 2

Modo 5

Modo 8

T = .3160 seg

T = .1279 seg

T = .0706 seg

Sa = 1.281E+00 Sv = 6.442E-02 Sd = 3.240E-03

Sa = 1.307E+00 Sv = 2.661E-02 Sd = 5.417E-04

Sa = 1.307E+00 Sv = 1.468E-02 Sd = 1.649E-04

Vector Característico: u v -.000208 .000141 -.000043 -.000382 -.000345 -.000275 -.000183 -.000087

.165689 .135932 .109497 .083753 .060112 .038590 .020628 .007910

 -.001754 -.000263 -.000172 -.000102 -.000047 -.000007 .000018 .000021

Factores de Participación: -.030469 10.407680 -.329139

Vector Característico: u v -.005424 .002203 .003071 -.000858 -.001244 -.001396 -.001179 -.000641

-.387093 .038832 .042678 .042325 .036694 .027914 .017580 .008045

 .019236 -.001376 -.001643 -.001644 -.001413 -.001059 -.000654 -.000294

Factores de Participación: -.069083 2.544637 -5.582891

VIII - 54

Vector Característico: u v .040642 -.017929 .000297 .009285 .003273 -.005741 -.011073 -.008863

.044869 -.087071 -.026776 .025389 .055596 .065261 .054479 .030614

 .025453 .017318 .005379 -.004710 -.010231 -.012006 -.010078 -.005783

Factores de Participación: -.426295 3.868685 -26.021770

VULNERABILIDAD ESTRUCTURAL

CAPÍTULO IX VULNERABILIDAD ESTRUCTURAL Durante un terremoto se pone a prueba una edificación ya que la zona de alta sismicidad donde vivimos se debe tener un adecuada norma sismo resistente, donde la construcción debe ser rigurosa y el sismo de diseño es representativo a la amenaza sísmica real que se presenta en los cuales se puede ver que a pesar de que la norma establece valores mínimos estos son cambiantes ante nuevos hallazgos o estudios que pueda aclarar mejor esa parte, pero también se pueden encontrar las fallas comunes.

La ingeniería sísmica, se ha desarrollado con la experiencia que se obtuvo de los desastres causados por terremotos anteriores, cuyo objetivo ha sido “no repetir los mismos errores en eventos futuros.” y poder mitigar las perdidas ante la posibilidad de un nuevo sismo para lo cual se hacen estudios de sus comportamientos y revisión en el mismo lugar donde sucedió un terremoto y cuál fue su causa.

9.1 CONCEPTO DE VULNERABILIDAD La vulnerabilidad estructural se refiere a la susceptibilidad de la estructura frente a posibles daños en aquellas partes de una edificación que lo mantienen en pie ante un sismo intenso. Esto incluye cimientos, columnas, muros, vigas y losas. Para esto se debe entender el comportamiento sísmico de las estructuras es por esto que se identificó identific ó las características caracter ísticas que conducen a las fallas como también el buen comportamiento comportamiento estructural que debe contar la estructura.

Tomando una mayor prioridad a la configuración estructural con la magnitud de los daños que pueda sufrir, dicha configuración puede considerarse como regular e irregular en valores como el tamaño y forma de los mismos, la colocación de los elementos estructurales y de la masa.

IX - 1


La forma del edificio, tamaño, naturaleza y localización de los elementos resistentes como muros, columnas, pisos, núcleos de servicio, escaleras así como también los elementos no estructurales como la cantidad y tipo de divisiones interiores, la forma en que los muros exteriores se disponen se denomina configuración. En esto también predomina la geometría, geología y clima del lugar de construcción entre otros factores.

En este tipo de estudio se toma en cuenta el efecto de terremotos anteriores y el de referencia mas próxima es el del año 2010 que afecto a chile donde se pudo ver los diferentes tipos de falla pero con estructuras que contaban con muros de corte de tal manera que ahora ya no solo se puede confiar en que los muros de corte proporcionen la un buen comportamiento necesario. necesario.

9.2 FACTORES QUE INFLUYEN EN LA VULNERABILIDAD Selección del sitio y tipo de proyecto: 

Amplificación de intensidades intensidades sísmicas



Susceptibilidad Susceptibilidad de licuefacción



Efectos de sitio



Terrenos inestables

Vulnerabilidad estructural por configuración arquitectónica: 

Sencillez y simetría arquitectónica



Compatibilidad, Compatibilidad , uniformidad y proporcionalidad proporcio nalidad

Vulnerabilidad de elementos estructurales 

Columnas cortas



Fallas por insuficiente insuficient e adherencia o anclaje de los refuerzos



Fallas frágiles por cortante cortante o por flexión

Vulnerabilidad global de la estructura 

Piso débil



Torsión en planta

IX - 2


Juntas de dilatación sísmicas 

Mala práctica constructiva



Mal mantenimiento mantenimie nto



Holgura insuficiente insuficient e

Interacción entre los elementos estructurales y los no estructurales 

Estructura flexible



Mampostería mal confinada y/o mal arriostrada arriostr ada

Deformaciones, Deformaciones, ductilidad global y mecanismo de falla deseables 

Deformaciones Deformacione s

deseables:

Distorsiones

de

entrepiso entrepis o

con

máximos

admisibles. 

Mecanismo de falla deseable: Lo deseable es el denominado mecanismo de falla dúctil y el sistema denominado denominado columna fuerte, viga débil.

Se produce mayor vulnerabilidad cuando exista asimetría asimetr ía o irregularidades tanto en en la planta como en la elevación de la estructura.

9.3 CARACTERISTICAS QUE CONDUCEN A LAS FALLAS EN ESTRUCTURAS 9.3.1 IRREGULARIDADES IRREGULARIDADES VERTICALES Son cuando hay un cambio notorio de resistencia, rigideces, geometría y masa que conducen a una distribución irregular de fuerzas y deformaciones a lo largo de la altura del edificio.

Irregularidad vertical típica del edificio

Esto conduce a la f alla de elementos verticales y al colapso del piso.

IX - 3


Falla de piso débil del segundo nivel FUENTE:http://www.comexperu.org.pe

Para este caso se encontró cinco diferentes tipos de irregularidades estructurales verticales:

IRREGULARIDAD DE RIGIDEZ (PISO BLANDO) Es cuando su rigidez lateral es menor del 70% de la rigidez del piso superior o menor del 80% de la rigidez promedio de los 3 pisos superiores al piso blando, en al caso se considera irregular.

Irregularidad en Rigidez (Piso blando) Rigidez Kzot < 0.70K1 Rigidez Kzot< 0.80(k1+k2+k3)/3

IX - 4


Falla Por Piso Blando. Edificio residencial, primer nivel uso de garaje. FUENTE:http://www.comexperu.o FUENTE:http://www.comexperu.org.pe rg.pe

Las columnas del nivel inferior ante la presencia de un sismo deben de resistir una fuerza cortante grande en la base presentándose: presentándose: - Distorsión -Aumento de momento de volteo Con consecuencias como alterar las fuerzas axiales en las columnas externas

generándose

falla por compresión, transfiriéndose transfirié ndose el corte a

conexiones conexiones mediante las losas.

IRREGULARIDAD DE PESO (MASA) Se da cuando la masa efectiva de cualquier piso es mayor del 150% de la masa efectiva de uno de los pisos contiguos. No es necesario considerar un techo que sea más liviano que el piso inferior.

Irregularidad de Peso (Masa) m1 > 1.5 m4

Falla Por Irregularidad De Peso

IX - 5


IRREGULARIDAD VERTICAL GEOMÉTRICA Se presenta cuando la dimensión horizontal del sistema de resistencia a las fuerzas laterales en cualquier piso es mayor del 130% de la de un piso colindante. No es necesario considerar los pisos de azotea de un solo nivel.

Irregularidad Vertical Geométrica A >1.30B

DISCONTINUIDAD EN EL PLANO DE LOS ELEMENTOS VERTICALES RESISTENTES A LAS FUERZAS LATERALES Se considera este tipo de irregularidad cuando existe un desplazamiento en el plano de los elementos resistentes a las cargas laterales mayor que la longitud de esos elementos.

Falla por discontinuidad de elementos verticales

IX - 6


DISCONTINUIDAD EN CAPACIDAD (PISO DÉBIL) Es aquel en que la resistencia del piso es menor del 80% de la resistencia del piso inmediatamente superior, en tal caso se considera irregular. La resistencia del piso es la resistencia total de todos los elementos resistentes a las fuerzas sísmicas que comparten el esfuerzo cortante del piso en la dirección bajo consideración. consideración.

Discontinuidad en Capacidad (Piso Debil) Resistencia Piso 3 < 0.70 resistencia Piso 4

Falla Por Piso Débil

Falla de Edificio por Concentración de Daño en Piso Débil. FUENTE:http://catarina.udlap.mx

9.3.2 IRREGULARIDADES IRREGULARID ADES HORIZONTALES IRREGULARIDAD EN PLANTA: Se refiere a formas asimétricas en planta como F, L, T, U o discontinuidades en elementos de resistencia horizontal como cortes, aberturas, esquinas entrantes u otros cambios abruptos. abruptos.

IX - 7


Tipos de Geometría Irregular en Planta

Cuando una edificación presenta asimetría en planta se encuentran que hay partes con diferentes cualidades cualidades vibratorias.

Fuerzas Sísmicas en estructuras tipo L La NTP E - 0.30 recomienda que si uno de los tramos de extensión de la construcción principal es mayor a 20% se debe hacer una separación entre ambos asiéndoles asiéndoles independientes. independientes.

IX - 8


En este tipo de planta a sido necesario dividir a la planta en 2 bloques aislados cada uno con sus propios periodos de vibración.

PLANTA EXTREMADAMENTE LARGA: La longitud en planta de una construcción influye en la respuesta estructural de la estructura , en vista de que el movimiento del terreno consiste en una transmisión de ondas, la cual se da con una velocidad que depende de las características de masa y rigidez del suelo de soporte, la excitación que se da en un punto de apoyo del edificio en un momento dado difiere de la que se da en otro, diferencia que es mayor en la medida en que sea mayor la longitud del edificio en la dirección de las ondas. Los edificios cortos se acomodan más fácilmente a las ondas que los edificios largos.

Planta extremadamente larga en una direccionn. direccionn .

IX - 9


Es necesario desdoblarlo en bloques para evitar el golpeteo para ello se proyectara juntas sísmicas entre las divisiones que presente.

Division de Edificacion Extremadamente larga

EFECTO DE VIBRACION TORSIONAL La asimetría en la distribución en planta de los elementos estructurales resistentes de una edificación causa una vibración torsional ante la acción sísmica y genera fuerzas elevadas en elementos de la periferia del edificio.

Excentricidad entre centro de masa y centro de cargas

IX - 10


Efecto de excentricidad giro de la planta o torsión.

Si se contempla además la situación en altura, el panorama de la torsión puede complicarse

aún

más

cuando

hay

irregularidades

verticales,

como

los

escalonamientos. En efecto, la parte superior del edificio transmite a la inferior un cortante excéntrico, lo cual provoca torsión del nivel de transición hacia abajo, independientemente de la simetría o asimetría estructural de los pisos superiores e inferiores. Como todos los problemas de configuración, el de la torsión debe ser enfrentado desde la etapa de diseño espacial y de forma de la edificación. Los correctivos necesarios para el problema de la torsión pueden resumirse en general en los siguientes puntos: 

Las torsiones deben ser consideradas considerada s inevitables, debido a la naturaleza del fenómeno y a las características de la estructura. Por esta razón, se sugiere proveer a los edificios de rigidez, mediante la cual se busca reducir la posibilidad de giro en planta.



A efectos del control de la torsión, debe estudiarse con cuidado el planteamiento de la estructura en planta y en altura, así como la presencia y la necesidad de aislamiento de los muros divisorios no estructurales que puedan intervenir estructuralmente estructuralmente en el momento de un sismo.

Finalmente, el objetivo debe ser proveer a la estructura con la mayor simetría posible de la rigidez con respecto a los elementos que compone cada piso.

IX - 11


9.3.3 OTRAS CAUSAS QUE CONDUCEN A LA FALLA EN ESTRUCTURAS HIPERESTATICIDAD Si existe continuidad y es monolítico la estructura ósea que sea hiperestático, entonces mayor será la posibilidad de que sin convertirse en un mecanismo inestable se formen articulaciones plásticas, con alta capacidad de absorción de energía que proviene del sismo. Con esto también se evitan fallas locales serias, debido a grandes esfuerzo locales por los desplazamientos y rotaciones causadas por el sismo presente en uniones entre vigas y losas y entre vigas y columnas.

En este caso es conveniente diseñar estructuras que durante un sismo intenso los daños se concentren en zonas previstas para servir de disipadores, mediante deformaciones inelásticas sin que se produzcan daños graves en el resto de la estructura.

IX - 12


SISTEMA COLUMNA FUERTE – VIGA DEBIL En estructuras de edificios aporticados es requisito que los miembros horizontales fallen antes que los verticales de tal manera que permitan el retraso del colapso total de una estructura. Las vigas y las losas generalmente no fallan aun después de un daño severo en aquellos lugares que se hayan formado las articulaciones plásticas, en cambio las columnas colapsan rápidamente bajo su carga vertical, cuando haya ocurrido aplastamiento del concreto.

Falla de Columna por Fuerza Cortante. FUENTE:http://catarina.udlap.mx

Es necesario formar la bisagra plástica en el fondo de las columnas del primer nivel para la formación del mecanismo plástico total, pero la formación de rótulas plásticas en las columnas del primer nivel, sujetada a la alta fuerza axial, debe ser retrasada tanto cuanto sea posible proporcionando una resistencia a la flexión extraordinariamente extraordinariamente más alta.

Deformación plástica en las rótulas plásticas por fluencia y los mecanismos de colapso

IX - 13


GOLPETEO ENTRE EDIFICIOS El contacto con edificios adyacentes son causas de daño estructural. Una distancia apropiada se debe mantener entre los edificios adyacentes o en las juntas de dilatación. Cuando se estima la distancia requerida, la deformación oscilante causada por el movimiento telúrico debe ser considerada. Cuando una serie de edificios se construye de lado a lado en algunos lugares, los edificios del borde son empujados a menudo hacia fuera golpeando del edificio interno adyacente y sufren daño severo mientras que los edificios internos se protegen contra la deformación lateral excesiva.

Esquema de golpe entre estructuras

Falla por golpeteo entre edificios adyacentes que no coinciden en alturas los entrepisos.FUENTE:http://catarina entrepisos.FUENTE:http://catarina.udlap.mx .udlap.mx

IX - 14


CONCENTRACION DE MASAS EN NIVELES SUPERIORES Las fuerzas sísmicas son proporcionales a la masa, entonces si en un piso superior se concentran elementos como tanques de almacenamiento de agua, equipos, bodegas o archivos, las fuerzas sísmicas aumentan en ese nivel. Lo recomendable es colocar estos elementos pesados en el sótano o en sitios aledaños a la estructura principal.

Falla por Sobrecarga de Amplificación

COLUMNAS CORTAS La interacción con elementos no estructurales como muros divisorios y las columnas de marco de concreto provocan concentración de fuerza cortante en los extremos libres de la columna, mismas que tienden a fallar frágilmente por cortante.

En la imagen se puede ver que los muros divisorios adosados a la columna restringen a esta hasta donde llega la altura de ellos por lo que la parte libre de la columna sufre un mayor efecto de la fuerza cortante la cual excede su diseño.

IX - 15


Esto provoca una insuficiencia dúctil de la columna acortada la falla se genera por tensión diagonal producida por elevados esfuerzos cortantes y es mas frágil respecto a las demás columnas no restringidas debido a que su longitud deformable es menor, para evitar esto se hacen juntas entre la columna y el muro de relleno para que así esta se deforme libremente en un sismo.

Falla por incremento de fuerza cortante en columna corta. FUENTE: http://www.civil.cicloi http://www.civil.cicloides.com/cestructur des.com/cestructurales/2.2.3/ ales/2.2.3/ Para evitar este tipo de falla el ACI recomienda que debe haber una separación entre la columna y la tabiquería (junta de construcción).

CONFINAMIENTO (ESTRIBOS) DEFICIENTE EN COLUMNAS La principal razón de esta falla es la falta de refuerzos de los estribos debido a que tienen una gran separación entre ellos que no ayuda al confinamiento y la fuerza

IX - 16


cortante que puede soportar en un sismo provoca que la aparición de las rotulas plásticas sea mas rápida y a lo largo del sismo cuando se incremente las fuerzas puede causar la falla total del elemento estructural como columnas.

Rotulas plásticas en una estructura sometido a fuerzas sísmicas

Los casos extremos donde se presentan las rotulas plásticas se pueden calcular donde se presentaran en la estructura guiándonos del diagrama de momento flector con respecto a la curvatura

FUENTE: http://osirisdeleon.com http://osirisdeleon.com

La conexión columna – viga presenta elevadas concentraciones y complejas condiciones de esfuerzo lo cual condujo a distintos y numerosos casos de falla especialmente especialmente en las uniones entre muros y losas de estructuras.

IX - 17


Falla en unión viga – columna por escasez de anclaje en la conexión de la columna con el piso. FUENTE:http://catarina.udlap.mx

FALTA DE REDUNDANCIA El diseño estructural sismo resistente contempla la posibilidad de daño de los elementos estructurales para los sismos más intensos.

Desde este punto de vista, el diseño de la estructura debe buscar que la resistencia a las fuerzas sísmicas dependa de un número importante de elementos, puesto que cuando se cuenta con un número reducido de elementos (poca redundancia) la falla de alguno de ellos puede tener como consecuencia el colapso parcial o total durante el sismo. En este sentido, debe buscarse que la resistencia a las fuerzas sísmicas se distribuya entre el mayor número de elementos estructurales estructurales posible.

Marco sin redundancia, si falla una

Marco con redundancia, si falla una

columna la estructura colapsa

columna la estructura sigue estable

IX - 18


Redundancia optima de un edificio

DETERIORO CON LA EDAD El deterioro deterior o

de los materiales estructurales estructurale s debido al envejecimiento envejecimien to y a las

condiciones ambientales agresivas reduce el funcionamiento potencial de un edificio. Es importante mantener la estructura en un intervalo regular o seguir las especificaciones especificac iones

de construcción construcció n rígidas

para

la

construcción.

Falla por desgaste de la edificación Fuente: CIP-investigaciones.pe CIP-investigaciones.pe

IX - 19

durabilidad

durante

la


CALIDAD DE MATERIALES Es fundamental en toda estructura; si se tienen varillas lisas como se aprecia en la fotografía y peor aún si en el agregado grueso es de origen marino. Es necesario un tratamiento tratamien to previo como el lavar la arena. Entonces se debe velar para que los materiales que se utilicen en la construcción en general sean resistentes y tengan una ductilidad adecuada en el caso de las varillas de acero.

Falta de adhesión entre acero y concreto. FUENTE:http://blog.pucp.edu.pe

ELEMENTOS NO ESTRUCTURALES Los elementos no estructurales, tales como muros de albañilería o concreto y las escaleras, pueden contribuir perceptiblemente a la rigidez del sistema que enmarcan. La existencia existencia de estos elementos elementos no estructurales de

alta-rigidez

puede causar distribuciones irregulares de la rigidez en planta o a lo largo de la altura.

Falla de muro por mala calidad de elementos de construccion Fuente: www.fallastructurales.pdf www.fallastructurales.pdf

El daño de elementos no estructurales o arquitectónicos, tales como particiones, de ventanas, puertas e instalaciones mecánicas, interrumpe el uso de un edificio.

IX - 20


El costo de trabajo de la reparación de un edificio es gobernado a menudo por el reemplazo de los elementos no estructurales dañados, en vez del trabajo de la reparación

sobre

elementos

estructurales.

Los

daños

de

elementos

no

estructurales pueden crear un peligro para la gente en los interiores del edificio, al evacuar el edificio; además, los elementos que se caen pueden bloquear las rutas de la evacuación en un edificio seriamente dañado.

Imagen de elementos no estructurales derrumbados. FUENTE: publico.es

9.4 MÉTODOS PARA EVALUAR LA VULNERABILIDAD SISMICA Existen una variedad de metodologías y técnicas propuestas por diferentes autores para la evaluación de la vulnerabilidad sísmica de diferentes tipos de instalaciones. Estas técnicas de evaluación dependen dependen principalmente de los siguientes factores: 

Naturaleza y objetivo del estudio.



Información disponible. disponible.



Características del elemento elemento que se pretende estudiar.



Metodología de evaluación empleada.



Resultado esperado.



Destinatario de esta información. información.

9.4.1 CLASIFICACIÓN CLASIFIC ACIÓN DE LAS METODOLOGÍAS MÉTODOS EMPÍRICOS Se caracterizan por un alto grado de subjetividad. Están basados en la experiencia experiencia sobre el comportamiento comportamiento de tipos t ipos de edificaciones durante sismo y la caracterización de deficiencias sísmicas potenciales. Se usan cuando se dispone de limitada información, cuando se admite un resultado menos ambicioso y/o

IX - 21


para evaluaciones preliminares. Son enfoques menos exigentes y más económicos de implementar.

Los métodos empíricos, incluyen tanto los métodos de categorización como los métodos de inspección y puntaje.

MÉTODOS DE CATEGORIZACIÓN O CARACTERIZACIÓN Clasifican las edificaciones

según su tipología en clases de vulnerabilidad

atendiendo a la experiencia sobre el desempeño sísmico que han tenido estructuras similares ante terremotos relevantes. El resultado suele ser bastante subjetivo por lo que generalmente es limitado a evaluaciones preliminares. Un ejemplo de esta metodología es la clasificación de los tipos de estructuras según su clase de vulnerabilidad propuesta por la EMS-98 (Grünthal, 1998).

MÉTODOS DE INSPECCIÓN Y PUNTAJE Permiten identificar y caracterizar las deficiencias sísmicas potenciales de una edificación, atribuyen atribuyendo do valores numéricos (tantos o puntos) a cada componente significativo de la misma, que ponderado en función de su importancia relativa, conduce a la determinación de un índice de vulnerabilidad. Aunque estos métodos son bastante subjetivos, la aplicación a edificaciones de una misma tipología de regiones de sismicidad importante permite una evaluación preliminar orientativa, suficiente para jerarquizar relativamente el nivel de vulnerabilidad sísmica de cada edificación. edificación.

MÉTODOS ANALÍTICOS O TEÓRICOS Evalúan la resistencia estimada de las estructuras a los movimientos del terreno utilizando

como

base

modelos

mecánicos

de

respuesta

estructural

e

involucrando como datos las características mecánicas de las estructuras. Constituyen un enfoque muy completo, exigente y costoso.

Generalmente son bastante laboriosos y dependen en cierta medida del grado de

sofisticación sofisticac ión de la evaluación, de la calidad de la información y de la

representatividad representatividad de los modelos empleados.

IX - 22


MÉTODOS EXPERIMENTALES Recurren a ensayos dinámicos para determinar las propiedades de las estructuras y/o sus componentes. componentes . Generalmente constituyen ensayos “in situ” (menos frecuente de laboratorio), orientados a determinar las propiedades dinámicas y otras características esenciales de la estructura, involucrando aspectos tan importantes como la interacción suelo-estructura, la incidencia de los

elementos

no

estructurales,

etc.

Aunque

sus

resultados

no

son

determinantes, permiten en algunos casos orientar sobre el estado de la edificación y los posibles efectos que un sismo ha tenido sobre ella.

Nota:

La aplicación exhaustiva de cada una de estas metodologías sobre una misma Edificación puede dar origen a importantes discrepancias en los resultados, difíciles de interpretar y que en algunos casos puede dar origen a conclusiones erradas. En este sentido, para el análisis de la vulnerabilidad sísmica se recomienda combinar los métodos analíticos y empíricos, con algún método o técnica experimental que permita incrementar la confiabilidad del análisis de vulnerabilidad.

9.4.2 TÉCNICAS ABSOLUTAS ABSOLUTAS PARA PARA VULNERABILIDAD VULNERABILIDAD SÍSMICA

LA LA

CUANTIFICACIÓN CUANTIFIC ACIÓN

DE

LA

Entre las técnicas absolutas para la cuantificación de la vulnerabilidad sísmica se destacan las basadas en la definición de: A. Matrices de probabilidad probabilidad de daño daño B. Funciones de de vulnerabilidad vulnerabilidad y curvas curvas de fragilidad. fragilidad.

A. MATRICES DE PROBABILIDAD PROBABILID AD DE DAÑO ATC (ATC-13, 1985) Para la evaluación de las pérdidas por sismos, clasifica en diversos tipos o clases de vulnerabilidad las edificaciones definidos sobre:



Base de la opinión de expertos.



Materiales empleados en la construcción.



El sistema estructural o resistente a sismos.

IX - 23




Altura de la edificación.



Nivel de diseño sísmico que está directamente directament e relacionado con la ductilidad de la estructura .

EMS-92 (Grünthal, 1993) Clasifica los tipos de estructuras en seis clases de vulnerabilidad que van desde la A (la de mayor vulnerabilidad) vulnerabilidad) hasta la F (la de menor vulnerabilidad) vulnerabilidad) descritas en la Tabla 5.7., en función de los materiales empleados en la construcción y el nivel de diseño sísmico. Esta clasificación representa una evolución de la primitiva y simple escala de intensidad MSK que clasifica los edificios en tres grandes tipologías A, B y C.

EMS-98 (Grünthal, 1998) Mantiene la definición de las seis clases de vulnerabilidad y modifica la definición de las tipologías estructurales incorporando las estructuras metálicas y discriminando el sistema resistente de las estructuras de hormigón armado entre pórticos y muros.

IX - 24


B. FUNCIONES DE VULNERABILIDAD VULNERABILID AD Y CURVAS DE FRAGILIDAD. FUNCIONES DE VULNERABILIDAD Las funciones de vulnerabilidad son relaciones gráficas o matemáticas que expresan en forma continua la relación media entre el daño y la intensidad del movimiento sísmico, por tipo de edificación. Estas relaciones pueden ser derivadas a partir del ajuste numérico de un conjunto de observaciones de daños para diferentes tipologías estructurales (vulnerabilidad observada) o generadas a través de un proceso de simulación numérica (vulnerabilidad calculada).

Una de sus principales variantes constituye las funciones de vulnerabilidad expresadas en términos del índice de vulnerabilidad. En este formato, la calificación de la vulnerabilidad de la estructura se hace a través del índice de vulnerabilidad, de manera que los niveles de daño esperados para un sismo determinado

pueden ser

correlacionados correlaciona dos a través de las funciones de

vulnerabilidad.

CURVAS DE FRAGILIDAD Las curvas de fragilidad representan la probabilidad de excedencia de un estado límite de daño como una función de un parámetro representativo de la severidad del movimiento o asociado a la respuesta estructural. estructural.

IX - 25


Las curvas de fragilidad representan relaciones movimiento-daño para diferentes tipos de edificaciones. Estas relaciones pueden derivarse a partir de la información discreta asociada a los parámetros que sirven para caracterizar el movimiento y el daño.

Generalmente se expresan como la probabilidad acumulada de alcanzar o superar un determinado estado de daño, para una tipología de edificación dada, sujeta a diferentes niveles de severidad del movimiento sísmico. De manera que a diferencia de las funciones de vulnerabilidad, estas curvas describen de manera continua la probabilidad de excedencia de los estados límites de daño convencionalmente adoptados.

9.4.3 NECESIDAD DE EVALUACIÓN Con el fin de obtener estimaciones aceptables del riesgo sísmico es necesario evaluar la vulnerabilidad sísmica de los elementos expuestos. Esta condición es propia de cada edificación y su evaluación es un proceso complejo y laborioso.

EN EDIFICACIONES CONVENCIONALES: Donde la filosofía de diseño sísmico tiene como objetivo fundamental, prevenir la pérdida de vidas humanas asociada al colapso de las edificaciones, la evaluación de la vulnerabilidad estructural se considera determinante y gobierna la toma de decisiones. En este caso, la evaluación de la vulnerabilidad no estructural es menos relevante y es prácticamente intrascendente la evaluación de la vulnerabilidad funcional.

Edificación convencional (Nazca 1996) .FUENTE:http://www.comexperu.org.pe

IX - 26


EDIFICACIONES EDIFICACIONES ESENCIALES: ESENCIALES: El planteamiento es totalmente diferente, su cuyo funcionamiento en condiciones de crisis sísmica es vital para afrontar la situación de emergencia, hace que tanto la vulnerabilidad funcional, como la no estructural y la estructural sean determinantes para la evaluación del riesgo sísmico.

Edificación esencial (Fotos E. Fierro) FUENTE:http://www.comexperu.org.pe De

los

varios

métodos

presentados

para

evaluar

la

vulnerabilidad

de

las

construcciones se tiene que evaluar el gasto y la precisión. El tipo de método a escoger va depender del tipo de: 

Datos y tecnología.



Pericia del observador.

9.5

DETERMINACION DETERMINACIO N VISUAL RAPIDA DE EDIFICACIONES EDIFIC ACIONES A POTENCIALES RIESGOS SISMICOS ATC – 21 (FEMA 154, 2002)

Este método se originó en 1988 con la publicación de FEMA 154 que es un reporte de selección rápida y visual de los edificios para los posibles riesgos sísmicos, este manual dedicado para un público diverso como ingenieros y supervisor de construcción, este permite que se pueda clasificar los edificios estudiados en dos categorías: los que tienen un riesgo aceptable para la vida y los que son más propensos a los daños sísmicos y que deben ser evaluados con mayor minuciosidad por un ingeniero estructurista con experiencia en diseños sísmicos. Los recientes terremotos que sufrió California y otros lugares hicieron que los efectos mostraron nuevos datos importantes de las edificaciones en terremotos, la distribución que se espera, la severidad, y la ocurrencia del terremoto debido al temblor de la tierra por lo cual se debió hacer varios cambios y especificaciones en el manual que se tenía anteriormente.

IX - 27


9.6

CUESTIONARIO DE PREGUNTAS

1. ¿Qué relación relación existe existe entre el valor valor del factor de reducción reducción de la respuesta respuesta R, R, la resistencia sísmica del edificio y el comportamiento inelástico? Para un diseño sismorresistente según la NTP E – 030 – 030 la relación que existe entre el factor R es debido a la configuración estructural estructura l que tenga la edificación ya que para un análisis de diseño sísmico de un edificio se considera los valores de R = 4 0 4 ¾ para estructuras irregulares. Este factor viene influenciado por la ductilidad, sobreresistencia y la redundancia que pueda tener la edificación de análisis.

2. ¿Qué es una rotula rotula plástica, plástica, cuando cuando y donde se puede presentar? presentar? Este tipo de rotula se presenta cuando un elemento estructural como una columna o viga por efecto de fuerzas cortantes o axiales llevan al elemento aun estado plástico en su sección transversal este tipo de rotula es útil para poder disipar en medida los efectos del sismo, para esto se diseña las estructuras en el sistema viga débil columna fuerte de tal manera que la edificación no se derrumbe por efecto del sismo.

3. ¿Cuáles son las propiedades más importantes que debe tener tener una estructura ubicada en zonas sísmicas de alta peligrosidad sísmica? Entre los factores principales para una edificación sismo resistente se encuentra: -

Debe tener diafragmas rígidos en este caso para cajas de escaleras el área no debe ser mayor al 30% sino no se consideraría elemento rigido.

-

Rigidez lateral: para el comportamiento comportamie nto adecuado de una edificación se debe tener que una adecuada rigidez lateral usando elementos estructurales como: columnas, placas o tabiquerías.

-

Simetría en Planta

-

Menor Peso Posible

-

Evitar irregularidades irregularidades en planta

-

Evitar columnas cortas y débiles

-

Rigidez torsional

-

Tener juntas sísmicas

-

Evitar Irregularidad Irregulari dad de cargas en la elevación

IX - 28


4. ¿Qué diferencia hay entre piso blando y piso débil? Piso Blando: se da generalmente en el primer piso o en el caso de que tenga un sótano que no cuenta con la rigidez necesaria para soportar fuerzas cortantes y lo cual provoca el colapso del edificio se considera piso blando cuando la rigidez de dicho piso es menor al 80% y mayor del 70%

Piso Débil: Este tipo de falla vertical se da por una mala configuración arquitectónica arquitectón ica que pueda tener en los niveles superiores en este caso la rigidez de dicho piso es menor al 70% de la rigidez de los niveles adyacentes de este piso.

IX - 29

Antisismica Ing Santa Ana-1

Recommend Documents