CURSO: ESTADÍSTICA GENERAL FACULTAD DE ESTUDIOS DE LA EMPRESA TEMA
:
MEDIDAS DE POSICIÓN.
Semana: 05 MEDIDAS DE TENDENCIA CENTRAL LA MEDIA ARITMÉTICA: Definicin.- La media aritmética, promedio o simplemente media, se define como la división de la suma de todos los valores entre el número de valores.
I.
Representación: X = media muestral u = media poblacional C!"c#"$% &e "a me&ia
CASO '. A PARTIR DE DATOS NO AGRUPADOS n
X =
∑
n
X i
i
u =
i 1 =
n
∑ X i 1 =
N
Xi = cada valor n = tamao de la muestra ! = tamao de la población
E(em)"$ '. "ara cubrir las # vacantes en el departamento de contabilidad de una empresa en una prueba escrita los postulantes seleccionados obtuvieron los si$uientes punta%es: 1#&, 1'(, )), 1*#, 1#1, 11', 1++, )(, 11#, 1#*.allar el punta%e promedio: R)*a. E" )#n*a(e )+$me&i$ a"can,a&$ )$+ "$% '0 )$%*#"an*e% f#e &e ''-/ )#n*$%. CASO /. A PARTIR DE DATOS DE LOS CUALES ALGUNOS SE REPITEN CON CIERTA FRECUENCIA. n
∑ X Y i i
X
=
i =1
n
Xi = cada valor n = tamao de la muestra o población fi = frecuencia absoluta
E(em)"$ /. n el curso de estadstica en la primera pr/ctica calificada se obtuvieron los si$uientes resultados: "0!23 4Xi5 !6 de alumnos 47i ó fi5 +& * +8 & +) 1+ 1+ 1# 1# 11 1' 9 1) * otal ! = &+ alcule el punta%e promedio obtenido R)*a. '0.- )#n*$%.
CASO . A PARTIR DE DATOS DATOS AGRUPADOS EN TA1LAS CON INTER2ALOS.
n
∑ X Y i i
X
=
i =1
n
Xi = cada valor n = tamao de la muestra o población 7i = ;arca de clase.
E(em)"$ . l cuadro si$uiente resume la distribución de '+ traba%adores de la empresa ? ?.2.@ se$ún sus sueldos mensuales en dólares en marAo de #+1'. [soles >
'++-(++ (++-1#++ 1#++-#+++ #+++-'+++
!6 de traba%adores 4fi5 1# 1) 9 * n = '+
"romedio de clase 47i5 9++ 1+++ 19++ *+++
alcule el sueldo mensual promedio correspondiente al mes de marAo. R)*a: ''/0 &"a+e%.
E(em)"$ 3. L %efe del departamento de ciencias le pre$unta al docente de estadstica sobre los resultados de la primera evaluación a sus alumnos a lo cual el responde: n el $rupo 2 ten$o *# alumnos 7 su promedio es de 1#,* puntos. n el $rupo B ten$o '( alumnos 7 su promedio es de 1*,' puntos. n el $rupo ten$o solamente #* alumnos. Recuerdo Cue el promedio de las * secciones es 1*,& puntos, lo Cue no se en este momento es el promedio de la sección pero maana a primera Dora se lo puedo alcanAar. l %efe sonriente responde: no se preocupe, con los datos Cue me Da entre$ado lo puedo calcular. Eu/l es el punta%e promedio obtenido en el $rupo F. Gatos : Hrupo
!6 de alumnos
"unta%e promedio 4i5
Rpta. '53 )#n*$%.
E(em)"$ 5. ?e tienen & números cu7o promedio es 1++. ?i se aumenta al $rupo un número adicional, el nuevo promedio sube a 1+', Eu/l es el valor del nuevo número a$re$adoF R)*a. '/3
PROPIEDAD IMPORTANTE DE LA MEDIA: Si a todos los valores de un conjunto de datos se les suma, resta, multiplica o divide por un mismo nmero, el nuevo promedio !uedar" aumentado, disminuido, multiplicado o dividido por dic#o nmero$
"R>BL;2 G 2!2LI?I? 4Referente a la información del e%emplo *5 Gebido al alAa de costos de vida la empresa ? ?.2.@ est/ planificando un aumento a partir del mes de %unio, para lo cual est/ evaluando # alternativas: 2LR!2I2 I : 0n aumento de *++ soles a cada uno de los traba%adores. 2LR!2I2 II: 0n aumento del #+J a cada uno de los traba%adores. a. Eu/l sera el nuevo sueldo promedio de se$uirse la alternativa IF b. Eu/l sera el nuevo sueldo promedio de se$uirse la alternativa IIF c. Eu/l de las # alternativas conviene m/s a la empresaF d. Eu/l conviene m/s a los traba%adoresF
fe Eu/l sera el sueldo Cue debe tener un traba%ador como mnimo para Cue le conven$a la alternativa IIF.
II. LA MEDIANA. s la medida Cue divide a un con%unto de datos en dos partes i$uales, la mitad menores 7 la otra mitad ma7ores al valor de dicDa medida. C4LCULOS. A. PARA DATOS NO AGRUPADOS. Caso 1
CUANDO EL NUMERO DE DATOS ES IMPAR
PRIMERO: se ordenan los valores de menor a mayor SEGUNDO: Se calcula el valor
n +1
#
TERCERO: El valor mediano será el nmero !ue ocu"a la "osici#n
n +1
#
E(em)"$ '. ?e evaluaron a trece candidatos para cubrir dos vacantes en el departamento de contabilidad de la empresa de calAado
CUANDO EL NUMERO DE DATOS ES PAR
PRIMERO: se ordenan los valores de menor a mayor SEGUNDO: Se calcula el valor
n +1
#
TERCERO: El valor mediano será el "romedio de los dos nmeros en$re los cuales se u%ica el valor
n +1
#
E(em)"$ /. l departamento de control de calidad de una empresa esco$e aleatoriamente una muestra de 1+ obreros para evaluar el número de conservas Cue ellos etiCuetan por Dora de traba%o. Los resultados obtenidos en número de conservas etiCuetadas durante una Dora fueron: #+(, 1)', #1*, #18, #1&, #+8, 1)), #1', #*', 1('. Getermine e interprete el valor mediano. Rpta. #1*.& puntos. I!R"R2IK!: l &+J de obreros etiCuetan m/s de #1*.& conservas por Dora 4o menos de #1*.& conservas por Dora5
O%e+6acin im)$+*an*e . Recuerde Cue en el caso de la mediana, la interpretación puede ser con ma7or o menor Cue, 7a Cue un &+J de datos son ma7ores 7 un &+J son menores al valor mediano. ?e puede interpretar como ma7or o i$ual o menor o i$ual cuando se conoce o eiste la posibilidad de Cue al$uno de los datos sea i$ual al valor de la mediana. B. 2L0L> G L2 ;GI2!2 "2R2 G2>? 2HR0"2G>? ! 2BL2? >! I!R2L>?. ?e presentan dos casos:
Ca%$ I: uando el valor
n #
no coincide con nin$una frecuencia acumulada M%.
n O #
Mórmula: ;e = Li N 2
Fj
− F j −1 − F j −1
Morma: M %-1 P nO# P M % M %-1 = Mrecuencia acumulada inmediata inferior al valor nO# M % = Mrecuencia acumulada inmediata superior al valor nO# I; = Intervalo mediano. s aCuel intervalo Cue se ubica en la misma fila o altura de la M % Li = Lmite inferior del intervalo mediano I; 2 = 2mplitud o ancDo del intervalo mediano I; !>2: n al$unos tetos de estadstica en la fórmula de la mediana reemplaAan el valor M % - M %-1 por el valor fi lo cual es lo mismo 7a Cue fi es la frecuencia absoluta del intervalo mediano Cue resulta de restar estas dos frecuencias acumuladas.
Ca%$ II: uando el valor nO# si coincide con al$una frecuencia acumulada. n este caso la mediana tomar/ el si$uiente valor: ;e = Lmite superior del intervalo Cue se encuentra a la altura de la M% coincidente. M>R;2: M3-1 = nO# P M3 >bserve Cue cuando coincide nO# con al$una frecuencia acumulada, este valor nO# se i$uala a M %-1 7 por lo tanto la mediana ser/ i$ual al valor de la frecuencia acumulada inmediata superior.
E(em)"$ '. alcule el valor mediano de las $anancias semanales de '+ comerciantes informales considerados en el si$uiente cuadro: Intervalos !úmero de !úmero de "orcenta%e "orcenta%e ;arca de Q soles comerciantes comerciantes 4DiJ5 acumulado clase 4 fi 5 acumulado 4%J 5 447i 5 4M%5 Q*++ - *&+ Q*&+ - '++ Q'++ - '&+ Q'&+ - &++ Q&++ - &&+ Q&&+ - 9++
( ) 9 8 ' 9 n = '+
( 18 #* *+ *' '+
#+.++ ##.&+ 1&.++ 18.&+ 1+.++ 1&.++ 1++.++
#+.++ '#.&+ &8.&+ 8&.++ (&.++ 1++.++
*#& *8& '#& '8& &#& &8&
;e = '#& soles I!R"R2IK!. El &'( de los comercian$es encues$ados $ienen una )anancia semanal menor o i)ual a *+& soles,
E(em)"$ /. 2 continuación se presenta la distribución de '#+ pacientes atendidas en la li$a peruana de lucDa contra el c/ncer de la ciudad de ru%illo, en el primer trimestre del presente ao de acuerdo a su edad. !úmero de pacientes Q dad en aos S 1& T #+ #+ T #& #& T *+ *+ T *& *& T '+
4fi5 #( '& 9( 9) )*
!úmero acumulado de pacientes 4M%5 #( 8* 1'1 #1+ *+*
;arca de clase 4i5 18.& ##.& #8.& *#.& *8.&
'+ T &+ &+ T 9+ 9+ T 8+ otal
&) '( 1+ n='#+
*9# '1+ '#+
'&.+ &&.+ 9&.+
Getermine e interprete el valor mediano. ;e = *& aos I!R"R2IK!. l &+J de pacientes tuvieron una edad menor o i$ual a *& aos.
III: LA MODA: 7 M$8 Definicin. La moda se define como el valor m/s frecuente o Cue m/s se repite en un con%unto de valores dados. I9 Pa+a &a*$% n$ +#)a&$%. "ara Dallar su valor en un con%unto de datos no a$rupados basta con ver cual de los valores es el Cue m/s se repite. a7 ocasiones en el Cue dos o m/s valores se repiten la misma cantidad de veces 7 se constitu7en en el m/imo valor. n estos casos se tratar/ de una moda: bimodal, trimodal, etc. ?i nin$uno de los valores se repite no Da7 moda. II9 Pa+a &a*$% a+#)a&$% en *a"a% c$n in*e+6a"$%.
∆ ∆ + ∆ 1
Mórmula: ;> = Li N 2
1
#
n donde: fi = ;a7or frecuencia absoluta fi-1 7 fiN1 son las frecuencias absolutas inmediatas anterior 7 posterior a fi Li, 2 = Lmite inferior 7 amplitud del intervalo Cue corresponde a la frecuencia fi es decir Cue es el intervalo Cue en el cuadro estadstico se ubica en la misma fila Cue la frecuencia fi. ∆1 =
f i
−
f i −1
∆ = f i − f + #
i
1
E(em)"$ '. Las edades de una muestra de 1+ traba%adores son las si$uientes: 1(, #8, #', *1, *(, #8, #', #8, '&, 9#. allar e interpretar el valor modal. Rpta. #8 aos. I!R"R2IK!: La edad m/s frecuente en los traba%adores seleccionados fue de #8 aos o la ma7ora de los traba%adores tienen #8 aos.
E(em)"$ /. 2 continuación se presenta la distribución de 1*& familias residentes en las urbaniAaciones de ?an 2ndrés, alifornia 7 La ;erced de acuerdo a su $asto semanal en lecDe. Hasto semanal en soles + T 1+ 1+ T #+ #+ T *+
!úmero de familias 4 fi 5 #' ## &1
;arca de clase 4 i 5 & 1& #&
*+ T '+ '+ T &+ otales
#8 11 n=1*&
*& '& &&
alcule e interprete el valor de la media, mediana 7 moda.
PRO1LEMAS ADICIONALES. 1. El sueldo promedio percibido por los trabajadores de la empresa de calzado "7 vidas" en el último mes ha sido de S/. 1280. Calcule el nuevo sueldo promedio si el siguiente mes a. Se produce un aumento para cada trabajador de 120 soles. b. Se produce un aumento para cada trabajador del 2!" de su sueldo. c. Se produce un aumento para cada trabajador del 1#" m$s una boni%icaci&n de 1'0 soles. 2. En una empresa trabajan 1!000 trabajadores. (a empresa est$ estudiando conceder un aumento ) encarga hacer un estudio de %actibilidad. (a comisi&n encargada de este estudio toma una muestra de 180 trabajadores in%ormando *ue ganan en promedio 10+0 soles. Considerando *ue estos datos muestrales se pueden asumir como datos de la poblaci&n laboral a. Calcule el nuevo sueldo promedio si se produjera un aumento general de 2,! soles. b. Si por %iestas patrias los trabajadores reclaman una boni%icaci&n e-traordinaria de 2,0 soles ) consiguen su objetivo. Calcule el nuevo sueldo promedio. c. Calcule el nuevo sueldo promedio en el caso *ue se produjera un aumento general del 1,!" de los sueldos m$s una cantidad %ija de +8 soles. d. cu$nto asciende el monto pagado por la empresa a los trabajadores en el caso de *ue se produjera un aumento del 1+2!" de los sueldos m$s una boni%icaci&n de 1'! soles '. (a empresa de transporte de pasajeros E( S3( S.. cuentan con 80 trabajadores los cuales se distribu)en de acuerdo a su edad 4en a5os6 de la siguiente manera 5os
1!720
2072!
2!7'0
'07'!
'!7,0
,07,!
,!7!0
!07!!
9 de trabajadores
,
:
1#
2'
1,
:
'
1
a. Calcule e interprete la media la mediana ) la moda. b. (a empresa *uiere proponer un plan de seguro %amiliar si la edad promedio de los trabajadores supera los '! a5os. Con la in%ormaci&n *ue se tienen Se propondr$ este plan de seguro %amiliar. c. (a empresa desea conocer tambi;n si el !0 " de su poblaci&n de trabajadores es menor de '0 a5os. Es menor a '0 a5os
