ESTADISTICA 4 (1)

UNIVERSIDAD NACIONAL PEDRO RUIZ GALLO

ESTADISTICA

Ejercicio 3: Sean ̅̅̅ y ̅̅̅ las medidas de dos muestras independientes de tamaños respectivamente escogidas de una población X poison con parámetro a) Proba que la estadística

̅̅̅̅

̅̅̅̅

es un estimador insesgado del parámetro

. b) Hallar la varianza del estimador.

Solución

Var(x) = Var(x)= Hallando la varianza: E(

̅̅̅̅

E(

=

[

=

[

=

[

̅̅̅̅̅

̅̅̅

⌈

var(

̅̅̅ ] ]

]=

̅̅̅̅

⌉

̅̅̅̅ {

=

̅̅̅ ̅̅̅ }

̅̅̅̅ ,

= =

[

̅̅̅̅

{

} =

]=

Ejercicio 5: dos métodos diferentes e independientes dieron lugar a dos estimadores insesgados ̂

̂ del parámetro . Las desviaciones estándares de estos

ESCUELA PROFSIONAL DE INGENIERIA CIVIL

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ESTADISTICA

estimadores son 0.4 y 0.6 respectivamente .los estimadores son combinados de la siguiente manera. ̂

̂

̂

Hallar el valor de r que haga mínima la varianza del estimador ̂:

Solución √ √ ̂

̂

r=?

r=0.6923

=var[ ̂

̂ ]

r = 0.6923

=var[( ̂ ) =

̂ ]

(̂ )

̂

F=

)

Ejercicio 6: sea

,….,

,

, una muestra aleatoria de tamaño de una población de

bernulli B (1,p) de las siguientes estadísticas:

̂

∑

;̂

∑

a) ¿Cuáles son estimadores de máxima verosimilitud para p? b) Estimar p, si

,

,….,

,=100


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ESTADISTICA

Solución

Cuando es insesgado: E muestra=E población E(

E( +

=E*

=E*

E (̂

=E*

∑

+ + ]

= E[

[

]=

Si es insesgado

= {

} = p q+p2=p(1-p)+p2

=p – p2+p2 = p  La varianza: = var [∑

Var ( = var * =

] +

{

}

= Var (


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=

(

ESTADISTICA

)

Var ( ∑

PARA: ̂

 LA ESPERANZA: E [

Var(x2)= ( =[

] {(

[

] ]

)

Ejercicio 7 pág. 388: sea

}=0

,

,….,

una muestra aleatoria de tamaño 50 escogida

de una población de distribución geométrica para metro p 0 P[

] a) Determinar el estimador de máxima verosimilitud b) Estimar p,

Solución


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ESTADISTICA

 Parte a (

∑

) ∑

∑

∑

̅

̅

 Parte b

P=

P=

Ejercicio 9 pág. 388: el número de ventas diarias de cierta mercadería es una variable aleatoria x poison con un promedio a) si

,

,….,

venta días:

son la ventas de 50 días estimar

por el método de máxima

verosimilitud b) si en los 50 días se han hecho 30ventas de tal mercadería estimar el promedio de ventas diarias.

Solución


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ESTADISTICA

 parte a: ∑

F(x)=

=l(

∑

L(

∑

∑

∑

∑ ∑

̂

∑

∑

̂

 parte b: ̂

∑

̂

Ejercicio 10 pág. 389: de una población de variable aleatoria continua X se extrae una muestra aleatoria

y se define la variable aleatoria bernoulli. Y *

a) Usando la máxima verosimilitud estimar la proporción p de todos los valores usados positivos estimar p=P[

].

b) Estime el valor de p si una muestra aleatoria de tamaño de80 de x ha dado 64 valores positivos y 16 valores negativos ESCUELA PROFSIONAL DE INGENIERIA CIVIL

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c) Si x N(

ESTADISTICA

, utilizando a y b, calcular aproximadamente el valor

.

Solución Y *

∑

∑ ∑

∑

∑ ∑

∑

̂

∑

 Parte c:

̂ = = (

)

Ejercicio 11 pág. 389: el tiempo en meses, que dura una componente electrónica, es una variable aleatoria T de distribuciones exponenciales con parámetro

se prueban

30 componentes y se encuentran que 18 faltan antes de los 6 meses. a) Utilizando el método de máxima verosimilitud, estimar la proporción de todas las componentes que fallan antes de los 6 meses. b) Utilice el resultado de a)para estimar la máxima verosimilitud

Solución ESCUELA PROFSIONAL DE INGENIERIA CIVIL

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ESTADISTICA

) Parte ) n =30

̂=

 Parte b: ̂

̂

l

̂ EJERCICOS N°12 1:12. La longitud de cierto tipo de objeto producidos por una maquina, puede estar por arriba o por abajo de la medida estandar de 2 pulgadas. Suponga que tal longitud tiene distribucion normal /V(u, 0.0025). a)

Utilizando el metodo de maxima verosimilitud estime la proporcion p de

todos los objetos cuya longitud esta por arriba de 2 pulgadas. b)

Si en una muestra de 1,000 de tales objetos se encontrd que 992 tenian

longitud por arriba de 2 pulgadas, utilizando a) estime la media de la longitud de todos los objetos producidos. ESCUELA PROFSIONAL DE INGENIERIA CIVIL

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ESTADISTICA

Solución

ya se demostro

a).-

̂

∑

a).-

̂

=0.992

̂ (

(

)

)

X

= -2.41

̂

̂

ejercicioN°13 13)._ Una maquina produce objetos cuyo peso en gramos tiene distribucion normal N(30, a2), con a desconocido. Los objetos son defectuosos si el peso es menor que 26 o mayor que 34 gramos. Para estimar a se pesa un objeto cada vez hasta que un defectuoso sea obtenido. Hallar el estimador de maxima verosimilitud de a si en un control el primer defectuoso se hallo en la decima prueba. Solucion


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ESTADISTICA

D: p

+

fracaso: (1-p)

(

)-

)

El primer defectuoso se halla en la decima prueba ̂ ( ) 0.95=

(

)

( )

( )

̂

1.645=

̂

Ejercicos 1 1.

Una maquina llena un determinado producto en bolsas cuyo peso medio

es u gramos. Suponga que la poblacion de los pesos es normal con desviacion estandar 20 gramos. a)

Estime u de manera que el 99.38% de las bolsas tengan pesos no

superiores a 550 gramos. b)

Estime u mediante un intervalo de confianza del 95%, si una muestra

aleatoria de 16 bolsas ha dado una media de 495 gramos


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ESTADISTICA

solucion

X : peso medio ̅–

̅+

√

N=16

√

Z0.975=1.96(5) = 9.8

(495

= 0.9938

(

) u=500

ejercico N°02 2.

Se decide estimar la media \x del nivel de ansiedad de todos los

estudiantes preuniversitarios. Se supone que la poblacion de los puntajes de la prueba para, medir la ansiedad se distribuye normalmente con desviacion estandar igual a 10 puntos. a)

Determinar el intervalo para Li con confianza del 95%, si una muestra

aleatoria de tamano 100 ha dado una media de 70 puntos.


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b)

ESTADISTICA

Si u. se estima en 70 puntos con el nivel de confianza del 98%, i,es el

error de la estimacion puntual superior a 5 puntos? c)

Si Ud. considera que el intervalo encontrado en a) no es muy preciso,

^que action deberia tomar para que el intervalo de estimacion al 95% sea mas preciso?. Solucion

X= nivel de insideil

)

Z0.975=1.96

X : puntajes ̅

a).̅–

√

̅+

√

( 70

Z0.99=2.33

( )

c)._ si R

ejercico N°03 3.

El tiempo en minutos que utilizan los clientes en sus distintas operaciones

en un banco local es una variable aleatoria cuya distribucion se supone normal con una desviacion estandar de 3 minutos. Se han registrado los tiempos de las operaciones de 9 clientes delbanco resultando una media igual a 9 minutos: a)

Hallar el nivel de confianza si la estimacion de Ji es el intervalo de 7 a 11

minutos.


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b)

ESTADISTICA

Si u se estima por x, calcular la probabilidad de que la media de los

tiempos. de todas las muestras de tamano 9 este entre 6.5 y 11.5 minutos.

x: tiempo en minutos a) (7 b) ̅

̅

X

n=9

̅

) Z 1-

7

√

Z 1-

Z 1- = 2

= 0.9772 ( ̅

̅–

) Z 1-

√

√

̅+

√

Z 1- = 2.5

= 0.9938

ejercico N°04 4. Un fabricante afirma que el peso promedio de las latas de fruta en conserva que saca al mercado es 19 onzas. Para verificar esta afirmacion se escogen al azar 20 latas de la fruta y se encuentra que el peso promedio es 18.5 onzas Suponga que la poblacion de los pesos es normal con una desviacion estandar de 2 onzas. l. a) Utilizando un intervalo de confianza del 98% para u, i,se puede aceptar la afirmacion del fabricante?


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b) ^Que tamano de muestra se debe escoger para estimar u si se quiere un error no superior a 0.98 onzas con confianza del 95%?.

̅

= Z0.99 =2.33

18.5 - 2.33

18.5 + 2.33

√

√

19.542

e=

√

N= 16

Ejercicio n°5 5.

Se quiere hacer una encuesta para estimar e! tiempo promedio por

semana que

los niños ven television. Por estudios anteriores se sabe que la

desviacion estandar de dicho tiempo es de 3 horas. Con el nivel de confianza de! 99%. a)

Que tamano de muestra se deberfa elegir si el error de la estimacion

puntual no es superior a media hora?


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ESTADISTICA

b) Qu6 costo se debe presupuestar para hacer la encuesta si esta tiene un costo fijo de $5000 mas un costo variable de $2 por cada entrevista,?

solucion X; tiempo promedio por semana que niños ven tv

√

Z0.995 = 2.575 a).($ 2 por c/ entrevista) b)._ C = 5000 + 2x

u=500


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